2004年上海市普通高等学校春季招生考试数学试题及答案
2004年普通高等学校招生全国统一考试上海卷文科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生上海卷文史类数学试题一.填空题(本大题满分48分,每小题4分)1.若tgα=21,则tg(α+4π)= . 2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= .4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=-21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= . 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .6.已知点A(-1,5)和向量a ={2,3},若=3a ,则点B 的坐标为 .7.当x.y 满足不等式组2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时,目标函数k=3x-2y 的最大值为 .8.圆心在直线x=2上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)10.若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a.b 的取值范围是 .11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是 第 组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二.选择题(本大题满分16分,每小题4分)13.在下列关于直线l.m 与平面α.β的命题中,真命题是( )(A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.(C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.14.三角方程2sin(2π-x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+3π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±3π,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15. 若函数)(x f y =的图象与函数)1lg (+=x y 的图象关于直线0=-y x 对称,则)(x f =( )(A)110-x (B) x101-(C) x --101 (D) 110--x16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.三.解答题(本大题满分86分)17.(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.18.(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x.y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x.y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分如图, 直线y=21x 与抛物线y=81x 2－4交于A.B 两点, 线段AB 的垂直平分线与直线y=－5交于Q 点.(1) 求点Q 的坐标；(2) 当P 为抛物线上位于线段AB 下方(含A.B) 的动点时, 求ΔOPQ 面积的最大值.21.(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D.E.F 分别为棱长PA.PB.PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体；(2) 若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的 大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22.(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n .(1) 若C 的方程为92x －y 2=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=162, 求点P 3的坐标； (只需写出一个)(2) 若C 的方程为y 2=2px(p≠0). 点P 1(0,0), 对于给定的自然数n, 证明：(x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2成等差数列；(3) 若C 的方程为12222=+by a x (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时, 求S n 的最小值.2004年普通高等学校招生上海卷文史类数学参考答案一.填空题(本大题满分48分,每小题4分)1.32.(5,0)3.{1,2,5}4.25.(－2,0)∪(2,5]6.(5,4)7.6 8.(x －2)2+(y+3)2=5 9.114 10.a>0且b≤0 11.用代数的方法研究图形的几何性质 12.①.④二.选择题(本大题满分16分,每小题4分)13.B 14.C 15.A 16.B三.解答题(本大题满分86分)17.【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i, 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.18.【解】由题意得xy+41x 2=8,∴y=x x 482-=48x x -(0<x<42). 于定, 框架用料长度为l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x 16≥4246+. 当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.19.【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1,∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2)∪[21,1)20.【解】(1) 解方程组212148y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得42x y =-⎧⎨=-⎩或84x y =⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1).由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=21(x －2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ 的方程为x+y=0, 设P(x,81x 2－4). ∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x , 25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x<43－4或43－4<x≤8.∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增,∴当x=8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30.21.【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF ∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体.【解】(2)取BC 的中点M,连拉PM,DM.AM.∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM,则∠DMA 为二面角D-BC-A 的平面角.由(1)知,P-ABC 的各棱长均为1,∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得 sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33. (3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为81sinα=V. ∵正四面体P-ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. 22.【解】(1) a 1=1OP 2=9,由S 3=23(a 1+a 3)=162,得a 3=3OP 3=99. 由22221999x y x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩得22909x y ⎧=⎨=⎩ ∴点P 3的坐标可以为(310,3).(2)对每个自然数k,1≤k≤n,由题意k OP 2=(k －1)d,及2222(1)k k k k y px x y k d⎧=⎨+=-⎩得x 2k +2px k =(k －1)d 即(x k +p)2=p 2+(k －1)d,∴(x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2是首项为p 2,公差为d 的等差数列.(3) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =nOP 2=a 2+(n －1)d≥b 2, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0 ∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增, 故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n), 由2222222(1)1k k k k x y a k d x y ab ⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩解得y 2k =222)1(b a d k b ---∵0< y 2k ≤b 2,得122--k a b ≤d<0 ∴122--n a b ≤d<0 以下与解法一相同.。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校招生全国统一考试上海秋考卷
2004年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有22道试题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1、若1tan 2α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3.2、设抛物线的顶点坐标为()0,2，准线方程为1-=x ，则它的焦点坐标为()5,0.3、设集合(){}3log ,52+=a A ,集合{}b a B ,=，若{}2=⋂B A ,则=⋃B A {}1,2,5.4、设等比数列{}n a ()N n ∈的公比21-=q ，且()38...lim 12531=++++-∞→n n a a a a ,则=1a 2.5、设奇函数()x f 的定义域为[]5,5-，若当[]5,0∈x 时，()x f 的图像如右图, 则不等式()x f 0<的解是()(]2,02,5-⋃.6、〖文〗已知点()5,1--A 和向量()2,3a =，若a AB3=，则点B 的坐标为()5,4. 〖理〗已知点()2,1-A ，若向量AB 与()2,3a =AB 132=，则点B 的坐标为()5,4.7、〖文〗当y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≤≤8342y x y x 时，目标函数y x k 23-=的最大值为6.〖理〗在极坐标系中，点⎪⎭⎫⎝⎛3,4πM 到直线():2cos sin 4l ρθθ⋅+=的距离=d 2155. 8、〖文〗圆心在直线2=x上的圆C 与y 轴交于两点()()2,0,4,0--B A ，则圆C 的方程为()()22235x y -++=.〖理〗圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于()()2,0,4,0--B A ，则圆C 方程()()22235x y -++=.9、若在二项式()101+x 的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是411.(结果用分数表示)10、若函数()2+-=b x a x f 在[)+∞,0上为增函数,则实数b a ,的取值范围是00a b >≤且.11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质. 12、若干个能唯一确定一个数列的量我们称为该数列的基本量，设{}n a 是公比为q 的无穷等比数列，下列{}n a 的四个量中，一定能成为该数列“基本量”的是第⑴、⑷组.（写出所有符合要求的组号）⑴1S 与2S ⑵2a 与3S⑶1a 与n a⑷q 与n a（其中n 为大于1的整数，n S 为{}n a 的前n 项和）二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（无论是否都写在圆括号内）一律得零分.13、在下列关于直线m l ,与平面βα,的命题中,真命题是—————————————————————————(B )()A 若β⊂l 且βα⊥，则α⊥l()B 若β⊥l 且α∥β，则α⊥l()C 若β⊥l 且βα⊥，则l ∥α()D 若m =⋂βα且l ∥m ，则l ∥α14、〖理〗()x f y =是周期为π2的函数，当[)π2,0∈x 时()2sin x x f =，则()21=x f 的解集为—————（C ）()A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ()B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,352ππ ()C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,32ππ ()D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k ,31ππ〖文〗三角方程12sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛-x π的解集为————————————————————————————（C ）()A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,32ππ ()B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,352ππ ()C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±=Z k k x x ,32ππ()D ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=Z k k x x k ,31ππ15、若函数()x f y =的图像可由函数()1lg +=x y 的图像绕坐标原点O 逆时针旋转︒90得到，则()=x f ———(A )()A 110--x()B 110-x()C x --101()D x 101-16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是——(B )()A 计算机行业好于化工行业 ()B 建筑行业好于物流行业 ()C 机械行业最紧张()D 营销行业比贸易行业紧张三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
2004年普通高等学校招生全国统一考试
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分) （1）若tgα=21,则tg(α+4π)= . （2）设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 . （3）设集合A={5,log 2(a +3)},集合B={a ,b}.若A∩B={2},则A ∪B= . （4）设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= .（5）设奇函数f(x)的定义域为[－5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .（6）已知点A(1, －2),若向量与a ={2,3}同向,=213,则点B 的坐标为 .（7）在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l :ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= . （8）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, －4),B(0, －2),则圆C 的方程为 .（9）若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 . (结果用分数表示)（10）若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞]上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .（11）教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.（12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)（13）在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是（A ）若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. （B ）若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.（C ）若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.（D ）若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α. （14）三角方程2sin(2π－x )=1的解集为（A ）{x │x =2kπ+3π,k ∈Z}.（B ）{x │x =2kπ+35π,k ∈Z}.（C ）{x │x =2kπ±3π,k ∈Z}.（D ）{x │x =kπ+(－1)K ,k ∈Z}.（15）若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x +1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则f(x)=（A ）10－x －1.（B ）10x －1. （C ）1－10－x .（D ）1－10x .（16）某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是（A ）计算机行业好于化工行业. （B ）建筑行业好于物流行业.（C ）机械行业最紧张.（D ）营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分) （17）(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i )z 1=－1+5i , z 2=a －2－i , 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.（18）(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B. （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).（Ⅰ）求函数f(x)的表达式；（Ⅱ）证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= fA有三个实数解.如图，P —ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)（Ⅰ）证明：P —ABC 为正四面体； （Ⅱ）若PD=21PA, 求二面角D —BC —A 的大小；(结果用反三角函数值表示) （Ⅲ）设棱台DEF —ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF —ABC 有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2, a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n .（Ⅰ）C 的方程为2510022y x +=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标； (只需写出一个)（Ⅱ）若C 的方程为12222=+by a x (a >b>0). 点P 1(a ,0), 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求S n 的最小值；（Ⅲ）请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.2004年普通高等学校招生全国统一考试 数学参考答案（理工类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)（1）3 （2）(5,0) （3）{1,2,5} （4）2 （5）(－2,0)∪(2,5] （6）(5,4) （7）5152 （8）(x －2)2+(y+3)2=5 （9）114（10）a >0且b≤0 （11）用代数的方法研究图形的几何性质 （12）①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)（13）B （14）C （15）A （16）B 三、解答题(本大题满分86分) （17）【解】由题意得 z 1=ii++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.（18）【解】由题意得 x y+41x 2=8,∴y=x x 482-=48x x -(0<x <42). 于定, 框架用料长度为 l=2x +2y+2(x 22)=(23+2)x +x 16≥4246+.当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. （19）【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x <－1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞](2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1). ∵B ⊆A, ∴2a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥21或a ≤－2, 而a <1, ∴21≤a <1或a ≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1) （20）【解】(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a =1, ∴f 1(x)= x 2. 设f 2(x)=xk(k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k ,k )B(－k ,－k )由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x )=x 8.故f(x)=x 2+x8. (2) 【证法一】f(x)=fA ,得x 2+x 8=a 2+a8,即x 8=－x 2+a 2+a8.在同一坐标系内作出f 2(x)=x8和f 3(x)= －x 2+a 2+a8的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a 2+a8)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点, 即f(x)=fA 有一个负数解. 又∵f 2(2)=4, f 3(2)= －4+a 2+a8 当a >3时,. f 3(2)－f 2(2)= a 2+a8－8>0, ∴当a >3时,在第一象限f 3(x )的图象上存在一点(2,f (2))在f 2(x)图象的上方. ∴f 2(x )与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=fA 有两个正数解. 因此,方程f(x)=fA 有三个实数解. 【证法二】由f(x)=fA ,得x 2+x 8=a 2+a8, 即(x －a )(x+a －ax8)=0,得方程的一个解x 1=a. 方程x+a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0, 由a >3,△=a 4+32a >0,得 x 2=a a a a 23242+--, x 3=aa a a 23242++-,∵x 2<0, x 3>0, ∴x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3.若x 1= x 3,即a =aaa a 23242++-,则3a 2=a a 324+, a 4=4a ,得a =0或a =34,这与a >3矛盾, ∴x 1≠ x 3. 故原方程f(x)=fA 有三个实数解.（21）【证明】(1) ∵棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+OE+PF. 又∵截面DEF ∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P —ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M,连拉PM,DM.AM. ∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM, 则∠DMA 为二面角D —BC —A 的平面角. 由(1)知,P —ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得 sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33. (3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF —ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为81sinα=V .∵正四面体P —ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. （22）【解】(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 3=70.由 2510022y x +=1 ,得x 23=60 X 23+y 23=70y 23=10∴点P 3的坐标可以为(215, 10).(2)【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a . ∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d≥b 2,∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =n a 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为n a 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +.【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由 x 2k +y 2k =a 2+(k －1)d,解得y2k =222)1(b a dk b ---22a x k +22b y k =1∵0< y 2k ≤b 2,得122--k ab ≤d<0 ∴122--n a b ≤d<0 以下与解法一相同.(3)解法一】若双曲线C:22a x －22b y =1,点P 1(a ,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0. ∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2,∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.【解法二】若抛物线C:y 2=2x ,点P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.理由同上【解法三】若圆C:(x －a )+y 2=a 2(a ≠0), P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d≤142-n a .∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP =0, ∴d>0且n OP 2=(n －1)d≤4a 2.即0<d≤142 n a .。
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 12-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）。
(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnS S 。
于是50005.11)5.11(128>=--n n S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此8≥n 。
所以，到2011年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31。
20. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P ∠,在PMN ∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a 。
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2004年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、若,则= .2、设抛物线的顶点坐标为,准线方程为,则它的焦点坐标为 .3、设集合,集合.若,则.4、设等比数列（）的公比,且,则 .5、设奇函数的定义域为.若当时,的图象如右图,则不等式的解是 .6、已知点,若向量与同向, =2,则点B的坐标为 .7、在极坐标系中,点到直线的距离 .8、圆心在直线上的圆C与y轴交于两点,,则圆C的方程为 .9、若在二项式的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)10、若函数在[0,+∞)上为增函数,则实数a、b的取值范围是 .11、教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是.12、若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列,下列的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第组.(写出所有符合要求的组号)①与; ②与; ③与; ④与.其中n为大于1的整数, 为的前n项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、在下列关于直线、与平面、的命题中,真命题是( )A．若且,则. B．若且∥,则.C．若且,则∥. D．若且∥,则∥.14、三角方程的解集为( )A．. B．.C．. D．.15、若函数的图象可由函数的图象绕坐标原点O逆时针旋转得到,则( )A．. B．. C．. D．.16、某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )A．计算机行业好于化工行业. B．建筑行业好于物流行业.C．机械行业最紧张. D．营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17、(本题满分12分)已知复数满足,, 其中为虚数单位,, 若,求a的取值范围.18、(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm2. 问x、y分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数的定义域为,() 的定义域为B.(1) 求；(2) 若, 求实数a的取值范围.20、(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数的图象以原点为顶点且过点,反比例函数的图象与直线的两个交点间距离为8,.(1) 求函数的表达式；(2) 证明：当时，关于的方程有三个实数解.21、(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC为正四面体；(2) 若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22、(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设, ,…,() 是二次曲线C上的点, 且, , …, 构成了一个公差为（）的等差数列, 其中O是坐标原点. 记.（1）若C的方程为,. 点及, 求点的坐标；(只需写出一个)（2）若C的方程为(a>b>0). 点, 对于给定的自然数n, 当公差d变化时, 求的最小值；（3）请选定一条除椭圆外的二次曲线C及C上的一点P1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点存在的充要条件,并说明理由.2004年全国普通高等学校招生统一考试理科数学参考答案（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1、32、(5,0)3、{1,2,5}4、25、(－2,0)∪(2,5]6、(5,4)7、 8、(x－2)2+(y+3)2=5 9、 10、a>0且b≤011、用代数的方法研究图形的几何性质 12、①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13、B 14、C 15、A 16、B三、解答题(本大题满分86分)17、【解】由题意得 z1==2+3i,于是==,=.<,得,.18、【解】由题意得,∴ ().于定, 框架用料长度为.当,即时等号成立.此时, x≈2.343,y=2≈2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时, 用料最省.19、【解】(1), 得, 或即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由, 得.∵,∴, ∴.∵, ∴或, 即或, 而,∴或, 故当时, 实数的取值范围是(－∞,－2]∪[,1) 20、【解】(1)由已知,设,由,得, ∴.设 (k>0),它的图象与直线的交点分别为，由,得, ∴.故.(2) 【证法一】,得,即.在同一坐标系内作出和的大致图象,其中的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, 与的图象是以为顶点,开口向下的抛物线.因此与的图象在第三象限有一个交点,即有一个负数解.又∵，当时,,∴当时,在第一象限的图象上存在一点在图象的上方.∴与的图象在第一象限有两个交点,即有两个正数解.因此,方程有三个实数解.【证法二】由,得,即,得方程的一个解.方程化为,由，,得, ,∵, ∴,且.若,即,则, ,得或,这与矛盾, ∴.故原方程有三个实数解.21、【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC是正四面体. 【解】(2)取BC的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC⊥PM,BC⊥AM, ∴BC⊥平面PAM,BC⊥DM,则∠DMA为二面角D-BC-A的平面角.由(1)知,P-ABC的各棱长均为1,∴PM=AM=,由D是PA的中点,得,∴.(3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为,底面相邻两边夹角为,则该六面体棱长和为6, 体积为.∵正四面体P-ABC的体积是,∴,.可知故构造棱长均为,底面相邻两边夹角为的直平行六面体即满足要求.22、【解】(1) ,由,得.由，得∴点的坐标可以为.(2) 【解法一】原点O到二次曲线（）上各点的最小距离为,最大距离为.∵, ∴,且,∴. ∵,>0∴在[,0)上递增,故的最小值为·=.【解法二】对每个自然数,由，解得∵,得∴以下与解法一相同.(3) 【解法一】若双曲线－=1,点,则对于给定的, 点存在的充要条件是.∵原点O到双曲线C上各点的距离,且,∴点存在当且仅当2>2,即d>0.【解法二】若抛物线,点,则对于给定的, 点存在的充要条件是.理由同上【解法三】若圆（）, ,则对于给定的n, 点存在的充要条件是.∵原点O到圆C上各点的最小距离为0,最大距离为2,且=0, ∴d>0且.即.文档已经阅读完毕，请返回上一页！。
2004年普通高等学校招生全国统一考试上海卷理科数学试题及答案
2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1.若tgα=21,则tg(α+4π)= . 2.设抛物线的顶点坐标为(2,0),准线方程为x=－1,则它的焦点坐标为 .3.设集合A={5,log 2(a+3)},集合B={a,b}.若A∩B={2},则A ∪B= .4.设等比数列{a n }(n ∈N)的公比q=－21,且∞→n lim (a 1+a 3+a 5+…+a 2n-1)=38,则a 1= . 5.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时,f(x)的图象如右图,则不等式f(x)<0的解是 .6.已知点A(1, －2),若向量与={2,3}同向=213,则点B 的坐标为 . 7.在极坐标系中,点M(4,3π)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= .8.圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A(0, -4),B(0, -2),则圆C 的方程为 .9.若在二项式(x+1)10的展开式中任取一项,则该项的系数为奇数的概率是 .(结果用分数表示)10.若函数f(x)=a 2+-b x 在[0,+∞)上为增函数,则实数a 、b 的取值范围是 .11.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是 .12.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是第 组.(写出所有符合要求的组号)①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n .其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.二、选择题(本大题满分16分,每小题4分)13.在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是( )(A)若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α. (B) 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.(C) 若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α. (D) 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.14.三角方程2sin(2π-x)=1的解集为( ) (A){x│x=2kπ+3π,k ∈Z}. (B) {x│x=2kπ+35π,k ∈Z}. (C) {x│x=2kπ±3π,k ∈Z}. (D) {x│x=kπ+(-1)K ,k ∈Z}. 15.若函数y=f(x)的图象可由函数y=lg(x+1)的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则 f(x)=( )(A) 10-x -1. (B) 10x -1. (C) 1-10-x . (D) 1-10x .16.某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是( )(A)计算机行业好于化工行业. (B) 建筑行业好于物流行业.(C) 机械行业最紧张. (D) 营销行业比贸易行业紧张.三、解答题(本大题满分86分)17.(本题满分12分)已知复数z 1满足(1+i)z 1=－1+5i, z 2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若21z z -<1z ,求a 的取值范围.18.(本题满分12分)某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x 、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?19.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A, g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1) 的定义域为B. (1) 求A ；(2) 若B ⊆A, 求实数a 的取值范围.20.(本题满分14分) 第1小题满分6分, 第2小题满分8分已知二次函数y=f 1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f 2(x)的图象与直线y=x 的两个交点间距离为8,f(x)= f 1(x)+ f 2(x).(1) 求函数f(x)的表达式；(2) 证明:当a>3时,关于x 的方程f(x)= f(a)有三个实数解.21.(本题满分16分) 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分如图,P-ABC 是底面边长为1的正三棱锥,D 、E 、F 分别为棱长PA 、PB 、PC 上的点, 截面DEF ∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)(1) 证明：P-ABC 为正四面体；(2) 若PD=21PA, 求二面角D-BC-A 的 大小；(结果用反三角函数值表示)(3) 设棱台DEF-ABC 的体积为V , 是否存在体积为V 且各棱长均相等的直平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.22.(本题满分18分) 第1小题满分6分, 第2小题满分4分, 第3小题满分8分设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n .(1) 若C 的方程为2510022y x +=1,n=3. 点P 1(3,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标； (只需写出一个)(2)若C 的方程为12222=+by a x (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时, 求S n 的最小值；. (3)请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.2004年普通高等学校招生上海卷理工类数学试题参考答案一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1. 32.(5,0)3.{1,2,5}4.25.(－2,0)∪(2,5]6.(5,4)7.5152 8.(x －2)2+(y+3)2=5 9.114 10.a>0且b≤0 11.用代数的方法研究图形的几何性质 12.①、④二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13.B 14.C 15.A 16.B三、解答题(本大题满分86分)17.【解】由题意得 z 1=ii ++-151=2+3i, 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13.4)4(2+-a <13,得a 2－8a+7<0,1<a<7.18.【解】由题意得xy+41x 2=8,∴y=x x 482-=48x x -(0<x<42). 于定, 框架用料长度为l=2x+2y+2(x 22)=(23+2)x+x 16≥4246+. 当(23+2)x=x16,即x=8－42时等号成立. 此时, x≈2.343,y=22≈2.828.故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省.19.【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x<－1或x≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞)(2) 由(x －a －1)(2a －x)>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0.∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1).∵B ⊆A, ∴2a≥1或a+1≤－1, 即a≥21或a≤－2, 而a<1,∴21≤a<1或a≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2]∪[21,1) 20.【解】(1)由已知,设f 1(x)=ax 2,由f 1(1)=1,得a=1, ∴f 1(x)= x 2.设f 2(x)=xk (k>0),它的图象与直线y=x 的交点分别为A(k ,k )B(－k ,－k )由AB =8,得k=8,. ∴f 2(x)=x 8.故f(x)=x 2+x8. (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a8, 即x 8=－x 2+a 2+a8. 在同一坐标系内作出f 2(x)=x8和 f 3(x)= －x 2+a 2+a 8 的大致图象,其中f 2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f 3(x)与的图象是以(0, a 2+a8)为顶点,开口向下的抛物线. 因此, f 2(x)与f 3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f 2(2)=4, f 3(2)= －4+a 2+a8 当a>3时,. f 3(2)－f 2(2)= a 2+a 8－8>0, ∴当a>3时,在第一象限f 3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f 2(x)图象的上方. ∴f 2(x)与f 3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解. 因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由f(x)=f(a),得x 2+x 8=a 2+a 8, 即(x －a)(x+a －ax 8)=0,得方程的一个解x 1=a. 方程x+a －ax8=0化为ax 2+a 2x －8=0, 由a>3,△=a 4+32a>0,得x 2=a a a a 23242+--, x 3=aa a a 23242++-, ∵x 2<0, x 3>0, ∴x 1≠ x 2,且x 2≠ x 3.若x 1= x 3,即a=aa a a 23242++-,则3a 2=a a 324+, a 4=4a,得a=0或a=34,这与a>3矛盾, ∴x 1≠ x 3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.21.【证明】(1) ∵棱台DEF-ABC 与棱锥P-ABC 的棱长和相等,∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.又∵截面DEF ∥底面ABC,∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P-ABC 是正四面体.【解】(2)取BC 的中点M,连拉PM,DM.AM.∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM,则∠DMA 为二面角D-BC-A 的平面角.由(1)知,P-ABC 的各棱长均为1,∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点,得 sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33. (3)存在满足条件的直平行六面体.棱台DEF-ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为81sinα=V. ∵正四面体P-ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. 22.【解】(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 3=70. 由222211002570x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,得226010x y ⎧=⎨=⎩ ∴点P 3的坐标可以为(215, 10).(2) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a.∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d≥b 2,∴122--n a b ≤d<0. ∵n≥3,2)1(-n n >0∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增, 故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数k(2≤k≤n),由 ()222222211k k k k x y a k d x y a b ⎧+=+-⎪⎨+=⎪⎩,解得y 2k =222)1(b a d k b --- ∵0< y 2k ≤b 2,得122--k a b ≤d<0 ∴122--n a b ≤d<0 以下与解法一相同.(3) 【解法一】若双曲线C:22a x －22by =1,点P 1(a,0), 则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.∵原点O 到双曲线C 上各点的距离h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2,∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.【解法二】若抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0.理由同上【解法三】若圆C:(x －a)+y 2=a 2(a≠0), P 1(0,0),则对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d≤142-n a . ∵原点O 到圆C 上各点的最小距离为0,最大距离为2a ,且1OP =0, ∴d>0且n OP 2=(n －1)d≤4a 2.即0<d≤142-n a .。
2004年春季高考.上海卷.数学试题及答案
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 V A E ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y ax 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.ABC VE 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 B 1C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等 （1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．145 10．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由012<+x，解得12-<<-x ，12-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ， 则有,5.7≈n 因此8≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}nc 的变化规律： 解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()())54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f 22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(21=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min ==f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在ABC ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________.6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 V A E ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）A B CVE 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等 （1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．1)2()3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnSS 于是5000)5.11(128>=-nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此8≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()())54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y ax 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23m in )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2m in +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||m in =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2m in +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||m in ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t x。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnS S 于是50005.11)5.11(128>=--n n S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
DA2004年高考数学(上海卷理工类)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学参考答案（文史类）（上海卷）一、填空题(本大题满分48分,每小题4分)1．3 2．(5,0) 3．{1,2,5} 4．2 5．(－2,0)∪(2,5] 6．(5,4) 7．6 8．(x －2)2+(y+3)2=5 9．11410．a >0且b ≤0 11．用代数的方法研究图形的几何性质 12．①、④ 二、选择题(本大题满分16分,每小题4分) 13．B 14．C 15．A 16．B 三、解答题(本大题满分86分) 17．【解】由题意得 z 1=ii++-151=2+3i , 于是21z z -=i a 24+-=4)4(2+-a ,1z =13. 由4)4(2+-a <13,得a 2－8a +7<0,1<a <7.18．【解】由题意得x y+41x 2=8, ∴y=x x 482-=48x x -(0<x <42). 于是,框架用料长度为l =2x +2y+2(x 22)=(23+2)x +x16≥=4246+.当(23+2)x =x16,即x =8－42时等号成立. 此时, x ≈2.343,y=22≈2.828. 故当x 为2.343m,y 为2.828m 时, 用料最省. 19．【解】(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x <－1或x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞) (2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a )<0.∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1). ∵B ⊆A, ∴2 a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥21或a ≤－2, 而a <1, ∴21≤a <1或a ≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是 (－∞,－2]∪[21,1）20．【解】(1) 解方程组 y=21x 得 x 1=－4, x 2=8y=81x 2－4y 1=－2, y 2=4即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB 的中点为M(2,1). 由k AB ==21,直线AB 的垂直平分线方程y －1=－2 (x －2). 令y=－5, 得x =5, ∴Q(5,－5) (2) 直线OQ 的方程为x +y=0, 设P(x ,81x 2－4). ∵点P 到直线OQ 的距离d=24812-+x x =3282812-+x x , 25=OQ ,∴S ΔOPQ =21d OQ =3281652-+x x . ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上,∴－4≤x <43－4或43－4<x ≤8. ∵函数y=x 2+8x －32在区间[－4,8] 上单调递增, 且当x =－4时，|x 2+8x －32|=48 当x =8时，|x 2+8x －32|=96 ∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值3096165=⨯. 21．【证明】(1) ∵棱台DEF —ABC 与棱锥P —ABC 的棱长和相等, ∴DE+EF+FD=PD+PE+PF. 又∵截面DEF ∥底面ABC, ∴DE=EF=FD=PD=PE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°, ∴P —ABC 是正四面体. 【解】(2)取BC 的中点M,连接PM,DM.AM.∵BC ⊥PM,BC ⊥AM, ∴BC ⊥平面PAM,BC ⊥DM,则∠DMA 为二面角D —BC —A 的平面角. 由(1)知,P —ABC 的各棱长均为1, ∴PM=AM=23,由D 是PA 的中点, 得sin ∠DMA=33=AM AD ,∴∠DMA=arcsin 33.(3)存在满足条件的直平行六面体. 棱台DEF —ABC 的棱长和为定值6,体积为V.设直平行六面体的棱长均为21,底面相邻两边夹角为α, 则该六面体棱长和为6, 体积为81sin α=V .∵正四面体P —ABC 的体积是122,∴0<V<122,0<8V<1.可知α=arcsim(8V) 故构造棱长均为21,底面相邻两边夹角为arcsim(8V)的直平行六面体即满足要求. 22．【解】(1) a 1=1OP 2=9,由S 3=23(a 1+a 3)=162,得a 3=3OP 3=99. ∴点P 3的坐标可以为(310,3).(2)对每个自然数k,1≤k ≤n,由题意k OP 2=(k －1)d,及y 2k =2px k ,得x 2k +2p x k =(k －1)dx 2k+y 2k=(k －1)d即(x k +p)2=p 2+(k －1)d,∴(x 1+p)2, (x 2+p)2, …,(x n +p)2是首项为p 2,公差为d 的等差数列.(3) 【解法一】原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a >b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a .∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =nOP 2=a 2+(n －1)d ≥b 2, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n ≥3,2)1(-n n >0 ∴S n =n a 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为n a 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +. 【解法二】对每个自然数k(2≤k ≤n),由x 2k +y 2k =a 2+(k －1)d,解得y 2k=222)1(b a d k b ---由239x －23y =1,得x 23=90x 23+y 23=99 y 23=922a x k +22by k=1∵0< y 2k≤b 2,得122--k a b ≤d<0 ∴122--n a b ≤d<0 以下与解法一相同.。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnS S 于是50005.11)5.11(128>=--n n S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等 腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形.A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量OP 与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nn S S 于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a（3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
2004年普通高等学校春季招生考试数学(上海卷)(附解答)
2004年上海市普通高校春季高考数学试卷(考试时间：2003.12.20)一、填空题（本大题满分48分）1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是__________. 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x __________.3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ， 则=c __________.4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、 AB 为直径的圆方程是________________. 5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x __________. 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若 的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为_____________(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x上，则=+∞→2)1(lim n a nn _____________.8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n ___________个点.（1） （2） （3） （4） （5）9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是__________（结果用分数表示）. 10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是___________________. 11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 _____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a必定是常数数列然而在等比数列}{n a 中，对某 些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是____________. 二、选择题（本大题满分16分）13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）x tgy 2π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等A B CV E 第0行 1第1行 1 1 第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1 …… …… ……腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ） （A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=aa p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的是 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）17. （本题满分12分） 在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车， 随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问： (1) 该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？(2) 到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ， 1BB PN ⊥交1CC 于点N . (1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角 之间的关系式，并予以证明.A A 1B 1 BC 1 C MNP21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知函数()a x x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间； （3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB . (1) 求点B 的坐标；(2) 若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；(3) 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2003年上海市普通高校春季高考数学试卷参考答案一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．1 6．41arctg 7．3 8．12+-n n 9．14510．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数 二、选择题 13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由OQ OP ⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p . 212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得3110000>+nnS S 于是50005.11)5.11(128>=--n n S （辆），即326575.1>n ，则有,5.7≈n 因此≥n 所以，到2011年底，3120. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP∠,在PMN∆中，c o s 2222⇒∠⋅-+=M N PMN PN MN PN PM MNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}n c 的变化规律：解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()()4)54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=13222y x y a x 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则4221621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当4123≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ， 当423>+t ，即5>t 时，)(x f 在]4,1[上单调递减，∴1)4()4(||2min +-==t f PQ ； 当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，)1(||min =f PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ， 当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ； 当点P 的点在点'A 的右边，5>t时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。
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2004年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷2003年12月20日考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．若复数z 满足2)1(=+i z ，则z 的实部是 . 2．方程1)3(lg lg =++x x 的解=x .3．在A B C ∆中，c b a 、、分别是A ∠、B ∠、C ∠所对的边若 105=∠A ， 45=∠B ，22=b ，则=c .4．过抛物线x y 42=的焦点F 作垂直于x 轴的直线，交抛物线于A 、B 两点，则以F 为圆心、AB 为直径的圆方程是 .5．已知函数)24(log )(3+=xx f ，则方程4)(1=-x f 的解=x . 6．如图，在底面边长为2的正三棱锥ABC V -中，E 是BC 的中点，若VAE ∆的面积是41，则侧棱VA 与底面所成角的大小为 .(结果用反三角函数值表示).7．在数列}{n a 中，31=a ，且对任意大于1的正整数n ，点),(1-n n a a 在直线03=--y x 上，则=+∞→2)1(limn a nn . 8．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有 个点.9．一次二期课改经验交流会打算交流试点学校的论文5篇和非试点学校的论文3篇.若任意排列交流次序，则最先和最后交流的论文都为试点学校的概率是 （结果用分数表示）.10．若平移椭圆369)3(422=++y x ，使平移后的椭圆中心在第一象限，且它与x 轴、y 轴分别只有一个交点，则平移后的椭圆方程是 .11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第 行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.12．在等差数列}{n a 中，当s r a a =)(s r ≠时，}{n a 必定是常数数列.然而在等比数列}{n a 中，对某些正整数r 、s )(s r ≠，当s r a a =时，非常数数列}{n a 的一个例子是 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．13．下列函数中，周期为1的奇函数是 （ ）（A ）x y π2sin 21-= （B ）)32(sin ππ+=x y （C ）tan2y x π= （D ）x x y ππcos sin =14．若非空集合N M ⊂，则“M a ∈或N a ∈”是“N M a ∈”的 （ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15．在ABC ∆中，有命题：①=-；②=++；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅，则ABC ∆为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）（A ）①② （B ）①④ （C ）②③ （D ）②③④16．若21++=a a p )0(>a ，t q arccos =)11(≤≤-t ，则下列不等式恒成立的 （ ）（A ）q p >≥π （B ）0≥>q p （C ）q p ≥>4 （D ）0>≥q p三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17. （本题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知点)22cos 2,1cos 2(++x x P 和点)1,cos (-x Q ，其中],0[π∈x . 若向量与OQ 垂直，求x 的值.18. （本题满分12分）已知实数p 满足不等式0212<++x x ，试判断方程05222=-+-p z z 有无实根，并给出证明.19. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.某市2003年共有1万辆燃油型公交车有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的31？20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第一小题满分6分，第2小题满分8分.如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.21.(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知函数()ax x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相（1）求a 的值；（2）求函数()()x g x f +的单调递增区间；（3）若n 为正整数，证明：()()4)54(10<⋅n g n f .22.(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；若直线l 与双曲线1:222=-y a x C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值； 对于平面上任一点P ，当点Q 在线段AB 上运动时，称||PQ 的最小值为P 与线段AB 的距离. 已知点P 在x 轴上运动，写出点)0,(t P 到线段AB 的距离h 关于t 的函数关系式.2004年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准一、填空题1．1 2．2 3．2 4．4)1(22=+-y x 5．16．14arctan 7．3 8．12+-n n 9．145 10．14)2(9)3(22=+--y x 11．34 12．)0(,,,,≠--a a a a a ，r 与s 同为奇数或偶数二、选择题13．D 14．B 15．C 16．B 三、解答题17. 由⊥，得0)22cos 2()1cos 2(cos =+-+x x x ，利用1cos 22cos 2-=x x ，化简后得0cos cos 22=-x x ，于是0cos =x 或21cos =x ，],0[π∈x ，32ππ或=∴x . 18. 由0212<++x x ，解得212-<<-x ，212-<<-∴p . 方程05222=-+-p z z 的判别式)4(42-=∆p .212-<<-p ，4241<<∴p ，0<∆，由此得方程05222=-+-p z z 无实根. 19.(1)该市逐年投入的电力型公交车的数量组成等比数列}{n a ，其中,5.1,1281==q a 则在2010年应该投入的电力型公交车为14585.11286617=⨯=⋅=q a a （辆）(2)记n n a a a S +++= 21，依据题意，得31>nn S于是50005.11)5.11(128>=--nn S （辆），即326575.1>n ， 则有,5.7≈n 因此8≥n 所以，到201131 20. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MN P∠,在PMN∆中，c os 2222⇒∠⋅-+=M N P MN PN MN PN PM MN CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 21.(1)由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以=a(2)()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增； 当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 (3)设()()n g n f n c )(1054⋅=，考查数列{}nc 的变化规律： 解不等式11<+nn c c ，由0>n c ，上式化为1)54(1032<⋅+n解得7.3238.0lg 21≈->n ，因N n ∈得4≥n ，于是4321c c c c ≤≤≤，而 >>>654c c c 所以()()()())54(10)54(10)54(1025344<⋅=⋅≤⋅g f n g n f 22. (1) 直线AB 方程为3-=x y ，设点),(y x B ，由⎩⎨⎧=++--=18)2()1(322y x x y 及0>x ，0>y 得4=x ，1=y ，点B 的坐标为)1,4(（2）由⎪⎩⎪⎨⎧=--=1322y x y ax 得0106)1(212=-+-x x a ，设),(,),(2211y x F y x E ，则421621=-=+-a a x x ，得=a （3）(解法一)设线段AB 上任意一点Q 坐标为)3,(-x x Q ，22)3()(||-+-=x x t PQ ，记2)3(223222)(2)3()()(-++-=-+-=t t x x x t x f )41(≤≤t ， 当413≤≤+t 时，即51≤≤-t 时，2|3|23min )(||-+==t t f PQ ，当123<+t ，即1-<t 时，)(x f 在]4,1[上单调递增，4)1()1(||2min +-==t f PQ综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h t (解法二) 过A 、B 两点分别作线段AB 的垂线，交x 轴于)0,1('-A 、)0,5('B ，当点P 在线段'B A 上，即51≤≤-t 时，由点到直线的距离公式得：2|3|min ||-=t PQ ；当点P 的点在点'A 的左边，1-<t 时，4)1(||||2min +-==t PA PQ ；当点P 的点在点'A 的右边，5>t 时，||||min ==PB PQ 综上所述，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤≤--<+-=-.51)4(;51;14)1()(22|3|2t t t t t t h tx。