九年级数学下册26.2实际问题与反比例函数(第1课时)教案

26.2实际问题与反比例函数
第一课时
一、教学目标 1．核心素养
通过本课的学习，培养学生的模型思想和应用意识． 2．学习目标
（1）运用反比例函数的知识解决实际问题．
（2）经历“实际问题—建立模型—拓展应用”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力．
（3）经历运用反比例函数解决实际问题的过程，进一步体会数学建模思想，培养学生数学应用意识． 3．学习重点
运用反比例函数的概念、性质，分析和解决一些简单的实际问题 4．学习难点
抽象出实际问题中的反比例函数关系 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1
阅读教材P12－P13，回忆圆柱体积、底面积与高之间的关系． 任务2
工作效率、工作时间与工作总量之间有什么关系？ 任务3
在上述两个问题中，当哪个量为常量时，它们成反比例函数关系？ 2．预习自测
1．某工厂需生产230吨某产品，若每天生产x 吨，则生产这批产品需要y 天，则y 与x 之间的关系式为（ ） A ．x y 230= B ．230y x =
C ．x
y 230
-230= D ．x y -230=
【知识点：反比例函数的定义】 【答案】B
2．小明乘车沿同一条路从秀山到彭水，行车的平均速度y （km/h ）和行车时间x （h ）之间的函数图象是（ ）
【知识点：反比例函数的图象及性质；数学思想：数形结合】 【答案】B
3．在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变窗口的体积时，气体密度也会随之改变，密度ρ（kg/m 3
）是体积V （m 3
）的反比例函数，如图，当V=10m 3
时，气体的密度是（ ）
A ．5 kg/m 3
B ．2 kg/m 3
C ．100 kg/m 3
D ．1 kg/m 3
【知识点：反比例函数的图象及性质；数学思想：数形结合】 【答案】D （二）课堂设计 1．知识回顾
（1）柱体体积等于底面积乘以高，圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一倍． （2）工程问题：工作总量工作时间工作效率=⨯．
（3）在以前的学习中，还有哪些与反比例函数有关的知识点，请举例说明． 2．问题探究
问题探究一 回顾旧知 类比关联 ●活动一 回顾旧知，引入新课
A
B
C
问题1 （1）我们已经学过反比例函数的哪些内容？
（2）前面已经学过了一次函数、二次函数，类比前面的学习过程，我们继续探究什么？基本方法有哪些？
学生独立解答，教师重点关注学生对本节课的学习对象是否清楚，基本方法是否了解，让学生进一步熟悉函数学习的基本过程和方法．
问题探究二 创设情境 探究学习●活动一 反比例函数与等积变换
例1 市燃气公司要在地下修建一个容积为105m 3
圆柱形煤气储存室．
（1）储存室的底面积S （单位：m 2
）与其深度d （单位：m ）有怎样的函数关系？
（2）公司决定把储存室的底面积S 定为5000m 2
，施工队施工时应该向地下掘进多深？ （3）当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m 时，公司临时改变计划把储存室的深度改为15m ，相应地，储存室的底面积就改为多少（结果精确到单位1）？ 【知识点：反比例函数的应用】 思考：
（1）柱体体积与底面积、高之间的关系是什么？
（2）当柱体的高固定不变时，柱体体积与底面积之间是什么函数关系？当柱体体积固定不变时，柱体体积与高之间是什么函数关系？
（3）当柱体体积不变时，随着底面积的增大（或减小），相应的高有什么变化趋势？ 详解：（1）由题意得：Sd =10
5
∴S 与d 的函数关系为：d 105
=S
（2）∵d
105
=S
∴当S=5000时，d =20(m)（3）∵d 105
=S
∴当d =15时，S=666715
105
≈(m 2) 答：略
点拨：在反比例函数的定义中，要求常数0k ≠，在涉及反比例函数的实际问题中，会受到现实情境的限制，常数k 及两个变量经常只能取正数，甚至有时只能取正整数． 相应的，
它的图象也会受到现实情境的限制．
问题探究三 实践运用 解决问题●活动一 反比例函数与不等关系
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了10天时间． （1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v （单位：吨/天）与卸货天数t 之间有怎样的函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？
【知识点：反比例函数的应用】 对比与反思：
（1）此题中有现成的k 吗？若没有，怎样确定k 的值？ （2）“不超过”用数学语言怎么表示？
（3）除了用不等式求解，能否用反比例函数的增减性得到答案？请说说你的做法． 详解：（1）设轮船上的货物总量为k 吨，由题意得：3003010=⨯=k ∴v 与t 的函数解析式为t
240
v =
（2）∵t
v 300
=
∴当t =5时，605
300
==
v （吨/天） 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完那么每天卸载60吨． 对于函数t
v 300
=
，当t >0时，t 越小，v 越大． 这样若货物不超过5 天卸载完，那么每天至少要卸载60吨．
点拨：（1）在实际问题中，若没告诉k 的值，则需要先由已知条件先确定k 的值，然后再由此得出相关问题的答案；（2）在涉及反比例函数与不等关系的问题时，很多时候可以将其转化为等式进行解答，然后再考虑实际情况得出相关答案．
●活动二 适当追问 拓展提高追问：如果码头工人先以30吨/天的速度卸载货物两天后，由于紧急情况，船上剩下的货物必须在不超过2天内卸载完，那么剩下的时间平均每天要卸载多少吨？
教师提出问题，引导学生思考、交流．
（1）工作先以每天30吨的速度卸载货物两天后，还有多少货物？
（2）剩下的货物必须在不超过4天内卸载完，此时还需要的卸载时间与卸载速度之间的函数关系发生了变化吗？
（3）你列出的函数解析式是什么？ 【知识点：反比例函数的应用】
详解：（1）由例2知，以每天30吨的速度卸载两天后，还剩下240302300=⨯-（吨）． （2）由于加快了速度，函数关系会发生变化．
（3）因为1202240=÷（吨/天），所以此时还需要的卸载时间t 与卸载速度v 的之间满足如下函数关系：v
t 240
=
（120≥v ）． 点拨：（1）由于生活中的实际问题受到多种因素的影响，函数解析式会随着情境的变化而变化；（2）还可做以下的追问：卸载总时间与后期卸载速度之间有什么函数关系？通过这种类似的追问，引起学生的深入思考，从而提高教学效率． 3．课堂总结 【知识梳理】
(1) 柱体体积等于底面积乘以高，圆锥的体积等于底面积乘以高的三分之一倍． 当体积为常量时，底面积与高成反比．
(2) 工程问题：工作总量工作时间工作效率=⨯． 当工作总量为常量时，工作效率与工作时间成反比．
(3)学习生活中还有很多成反比例函数关系的例子．如当矩形面积不变时，矩形的长和宽成反比；当三角形的面积为常量时，三角形的底和高成反比． 有很多类似的例子． 【重难点突破】
(1)在“柱体体积等于底面积乘以高”这一关系中，当体积为常量时，底面积与高成反比；当底面积为常量时，体积与高成正比；当高为常量时，体积与底面积成正比．在其它实际问题中，也会有类似的情况．
(2)在例2和它的变式中清楚地告诉大家这样一个事实：在实际问题中，要特别注意自变量的取值范围； 很多实际问题的解析式为分段函数．
(3)在实际问题中，自变量的取值经常会受到现实条件的限制，如人的个数只能取整数；底面积、高、边长等不能取负数．
(4)实际问题中的不等关系有时可以转化为等量关系来解答，再根据实际情境得出准确答案． 4．随堂检测
1．某地燃料总量Q 一定，该地人均燃料享有量y 与人口数x 的函数关系图象是（ ）
答案：B 解析：
2．某气球内充满了一定质量的某种气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m 3
)的反比例函数，如图，当气球内的气压大于160kPa 时，气球将爆炸．为了安全起见，气体的体积应（ ）
A ．不小于35m 3
B ．小于35m 3
C ．不小于53m 3
D ．小于5
3m 3
答案：C 解析：
3．为了更好保护水资源，造福人类，某工厂计划建一个容积为V(m 3
)的污水处理池，池的底面积S(m 2
)与其深度h(m)满足关系式：sh =V （0≠V ），则当容积V 为定值时，S 与h 的
函数图象大致是（ ）
）
）
）
）
答案：C 解析：
4．如图，A 、B 两地相距s 千米，汽车从A 地匀速行驶到B 地，如果汽车每小时耗油a 升，那么汽车从A 地到B 的总耗油量y 升与汽车的行驶速度v 千米/时的函数图象是（ ）
答案：C 解析：
5．把一个长、宽、高分别为3cm 、2.5cm 、2cm 的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积S(cm 2
)与高h(cm)之间的函数关系式为 ． 答案：h
15 S 解析：
D
C
B
A。