2018届高考数学(理)一轮复习：微专题8 运用基本不等式求多元变量的最值问题

微专题8 运用基本不等式求多元变量的最值问题
变量的填空题把关题处理中的解法探究、思路剖析和策略思考，窥探学生在处理多元变量求范围(最值)过程中所要具备的解题感、认识观和心理机制，不难发现，求解多元变量问题的关键是减少变量的个数(减元)，通过对自身条件的化简、变形、换元、配凑、拆分、性质等
减元策略，可以把分散的条件联系起来，使隐含的条件显露出来，将问题转化成ax ＋b
x
型结
构，再利用基本不等式解决问题．
(16C 的最小值是________．
·变式训练·
在△ABC 中，若sin A ＝13sin B sin C ，cos A ＝13cos B cos C ，则tan A ＋tan B ＋tan C 的值是________．
(16苏州调研)已知ab ＝14，a ，b ∈()0，1，则11－a ＋2
1－b
的最小值为________．
已知函数f (x )＝3x ＋a 与g (x )＝3x ＋2a 在(b ，c )上都有零点，则a 2ac ＋4bc
b 2－2b
c ＋c 2
的
最小值为________．
若△．
(16南通调研)设x，y，z均为大于1的实数，且z为x和y的等比中项，则lg z
4lg x＋lg z
lg y的最小值为________．
1.________．
2．(17的最大值为________．
3．已知x＋y＝1，x＞0，y＞0，则1
2x＋
x
y＋1
的最小值为________．
4．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的取值范围是______________．5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数)的导函数为f′(x)．对任意x∈R，不等
式f(x)≥f′(x)恒成立，则b2
a2＋c2
的最大值为________．
6．若实数x，y满足x≥－1，y≥－1且2x＋2y＝4x＋4y，则22x－y＋22y－x的取值范围是________．
微专题9恒成立与存在性问题
各个部分内容中，扮演着重要的角色．解决恒成立与存在性问题的关键是转化与化归思想的运用．
恒成立与存在性问题的处理方法主要有以下两种：
(1)构造函数，转化为含参数的函数的最值问题或有解问题；
(2)分离参数，转化为确定函数的最值问题或函数的值域问题．
解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，
含参数方程有解问题的基本处理方法是分离参数，并构造函数将其转化为求确定函数的值域问题．
基本模型：将方程转化为a ＝f (x )在其定义域D 上有解，即求函数y ＝f (x )，x ∈D 的值域C ，则a
x 1x 1，x 2，使得f (x 1)＝g (x 2)＝0，且||x 1－x 2≤1，则实数a 的取值范围是________．
二、含参数不等式的恒成立问题
含参数不等式恒成立问题的基本处理方法
(1)分离参数，并构造函数将问题转化为求确定函数的最值问题． 基本模型：将不等式转化为a ≥f (x )(a >f (x ))在其定义域上恒成立，或转化为a ≤f (x )(a <f (x ))在其定义域上恒成立，进而转化为a ≥f (x )max (a >f (x )max )或转化为a ≤f (x )min (a <f (x )min )．
(2)直接构造函数，将问题转化为含参函数的最值问题，通常对参数进行分类讨论． 基本模型：将不等式转化为f (x )≥0(f (x )>0)在其定义域上恒成立，或转化为f (x )≤0(f (x )<0)在其定义域上恒成立(其中f (x )含有参数)进而转化为f (x )min ≥0(f (x )min >0)或转化为f (x )max ≤0(f (x )max <0)(其中f (x )max min
已知函数f (x )＝1
2
x 2，g (x )＝a ln x .
(1)若曲线y ＝f (x )－g (x )在x ＝1处的切线的方程为6x －2y －5＝0，求实数a 的值；
(2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，若对任意两个不等的正数x 1，x 2，都有h （x 1）－h （x 2）
x 1－x 2
>2恒成
立，求实数a 的取值范围；
(3)若在[1，e]上存在一点x 0，使得f ′()x 0＋1
f ′（x 0）
＜g (x 0)－g ′(x 0)成立，求实数a 的取
值范围．
·变式训练·
已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是____________．
三、含参数不等式的有解问题
含参数不等式有解问题的基本处理方法
(1)分离参数，并构造函数将问题转化为求确定函数的最值问题．
基本模型：将不等式转化为a≥f(x)(a>f(x))在其定义域上有解，或转化为a≤f(x)(a<f(x))在其定义域上有解，进而转化为a≥f(x)min(a>f(x)min)或转化为a≤f(x)max(a<f(x)max)．
(2)直接构造函数，将问题转化为含参函数的最值问题，通常对参数进行分类讨论．
基本模型：将不等式转化为f(x)≥0(f(x)>0)在其定义域上有解，或转化为f(x)≤0(f(x)<0)在其定义域上有解(其中f(x)含有参数)进而转化为f(x)max≥0(f(x)max>0)或转化为f(x)min≤0(f(x)min<0)(其中f(x)max，f(x)min均含有参数a)，最后转化为解关于a的不等式．
已知函数f(x)＝x
ln x－ax(x>0且x≠1)．
(1)若函数f(x)在(1，＋∞)上为减函数，求实数a的最小值；
(2)若x1，x2∈[e，e2]，使f(x1)≤f′(x2)＋a成立，求实数a的取值范围．
·变式训练·
设函数y＝x2－3×2n－1x＋2×4n－1(n∈N*)的图象在x轴上截得的线段长为d n，记数列{}
d n 的前n项和为S n，若存在正整数n，使得log2(S n＋1)m－n2≥18成立，则实数m的最小值为________．
1.若f (x )＝x －1－a ln x ，g (x )＝
e x
e x
，a <0，且对任意x 1，x 2∈[3，4](x 1≠x 2)，||f （x 1）－f （x 2）<⎪⎪
⎪
⎪1
g （x 1
）－1
g （x 2
）恒成立，则实数a 的取值范围为________． 2.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－||x 3
－2x 2
＋x ，x <1，
ln x ，x ≥1，
若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数k 的取
值范围是________________．
3．若m 2x －1mx ＋1
<0(m ≠0)对一切x ≥4恒成立，则实数m 的取值范围是________．
4.若关于x 的不等式ax 2＋x －2a <0的解集中仅有4个整数解，则实数a 的取值范围为________．。