舍菲尔德影响问题解决的四要素

舍菲尔德影响问题解决的四要素

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舍菲尔德影响问题解决的四要素

一、影响数学问题解决的因素

影响问题解决的要素是指对问题解决过程有着较大影响的一些成分。因为问题解决是一个复杂的心理过程，它需要学生必须对问题的条件进行加工处理，从认识问题的基本关系与特征开始重新组织已知概念、定理,调节问题中基本元素的关系，探索和猜测问题解决的策略和方法。因此,影响问题解决的因素有很多，如知识、经验、动机、信心、思维能力、元认知等,总体说来,可归为以下三类:

(1)经验因素,包括解题者的个人特征和问题的情境要素。如知识结构、关于解题策略的熟悉程度、问题的陈述方式等。

（2)认知因素：如直觉、想象、抽象、概括、推理、分析、综合、元认知等多种智力因素。

(3）情感因素：如关心、欲望、动机、兴趣、意志、信念等非智力因素。

经验因素、认知因素和情感因素三者之间并没有严格的界限,它们是相互联系,相互补充和制约的,其关系如图2—3：

二、舍菲尔德影响问题解决的四要素

1９７４年秋天,正在从事拓扑和测度论研究的舍菲尔德,阅读了波利亚的名著《怎样解题》。他惊奇地发现，书中所描述的问题解决策略与他在数学研究中所采用的策略竟是如此的相似。这使他非常兴奋,同时也感到十分的遗憾:波利亚的书１9４5年就出版了,但是那些有用的策略在他的学生时代竟然没有人介绍过,如果有人在他大学一年级时就介绍这本书，那他就可以少走许多弯路。

第二天，他问一位担任普特南数学竞赛培训工作的同事是否用波利亚的书，得到的回答是:“没有,它没什么用。”这使他很惊讶,他知道这位同事在数学竞赛培训上卓有成效,他说的话也许不无道理；但同时，他也肯定波利亚作了一件很有价值的事。他觉得这中间一定存在着分歧。

从那时起，两个问题一直萦绕在他的脑中:

“数学式的思维”表示什么意思?

我们如何帮助学生进行数学式的思维?

这两个问题促使舍菲尔德开始了长达十年的实验和研究。１974

年至1９８5年，他在波利亚思想的启发下对数学问题解决进行了深入、透彻和系统的研究。他在常年开设关于数学问题解决课程的同时，进行了大量的有创意的实验和案例分析，并在此基础上进一步发展了波利亚的数学问题解决的思想,系统论述了影响问题解决的四个要素（认识的资源、探索法、控制、观念)，提出了许多具有普遍意义的观点和建议，其主要成果都汇集在1985年出版的名著《数学解题》(ＭａｔhematｉcaｌProblｅm Solｖｉng)中。这本书使他成为在国际数学教育界有重要影响的数学问题解决专家。

舍菲尔德通过长期的实验研究和个案分析，认为在众多影响数学问题解决的因素中的主要因素为：认识的资源、探索方法、调节和观念系统。

（1）认识的资源

即解决问题时个体所拥有的数学知识、已掌握的事实和算法。显然，“问题解决”以一定的知识为必要条件，但舍菲尔德强调的是知识的表述方式，知识的良好组织。事实上，波利亚也曾明确地提出了这一思想：“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本。

良好的组织使得所提供的知识易于用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要。”

学习的认知理论把学习者头脑中的数学知识结构称为数学认知结构。数学认知结构是指学习者头脑中的数学知识,按着自己的感觉、知觉、记忆、思维等认知特点，组合成的一个具有内部规律的整体结构。人的思维依赖于必要的知识和经验。数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借。但是，仅仅在头脑中存在知识，并不能保证它能得到有效的应用,丰富的知识并加以优化的结构才能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件。即良好的认知结构才有利于在问题解决过程中信息的提取和运用。

Lawson和Ｃhｉnnａpan（1994）对愿意学习而成绩不佳者的问题解决行为进行了研究。他们采用考试后让学生自由回忆和提取回忆的方法，发现优生能够唤起大量的相关的知识并能有效地利用之，而学习困难生不仅唤起的知识量少而且也不能有效地利用之。即学习困难生的知识结构联系质量不高，或是某种联系建立得不够完善，没有联系的知识不能被激活,而联系微弱的知识不容易被激活，知识组织不良易导致问题解决的失败。而数学优秀生大多会自觉地、不断地建立知识之间的联系,使之在“内化”过程中成为一个有机的整体的、网状的或立体结构状的结构。例如，数学优秀生会把函数图像与ｘ轴的相交与方程和不等式的解统一起来考虑，于是，解析式与图像、函数与方

程、交点与解都成为同一研究对象的不同侧面,或不同表达方式，而不是不同的对象。

(2)探索方法

即处理非熟悉或者非常规问题的策略与技术,是影响问题解决的重要要素。包括画出图形、引进适当的符号、探索相关的问题、重新表述问题、进一步考虑、试验与确定程序等。

舍菲尔德在《数学解题》中，不但结合解题的过程详细地指明了各阶段的探索法则（请参考第三节），还集中地对如何使“探索法”具体化的问题进行了探讨。舍菲尔德指出：对某一探索法则进行描述以使学生能认出并欣赏这一法则的应用,并不等于学生本人即能有效地应用这一法则去解决问题。事实上，后者要比前者困难得多；但这却又正是“探索法”教学(更为一般地说，就是数学教学)所应实现的目标。舍费尔德认为，为了实现这一目标，“探索法”的教学就应更为细致。

例如，为了帮助学生较好地掌握“特殊化”的方法,舍费尔德列举了如下例子:

例2—4:两个边长为5的正方形叠合放置,其中一个的中心恰好位于另一个的一个顶点之上,试确定重合部分的面积的可能范围?

考虑特殊情形,即如图2—４、图2—５所示的情况

（３)调控

调控是指对于所从事的解题活动的自我意识、自我分析和自我调整，有人也称为元认知。包括解题者运用已有知识的效率;认识资源和解题策略的选择;对整个解题过程的调节、监控与评价。可以说对“调控”的突出强调,是波利亚以来“问题解决”理论研究所取得的重要

进展之一。

元认知(ｍeｔaｃoｇｎiｔion,又译为反省认知),是描述个人对自己认知过程的自我意识和自我调节、监控的术语。这一术语最初是由弗雷威尔提出的,它强调信息加工过程中个人的主观意识。元认知对整个加工过程起到控制、执行的功能，是影响个体能否有效地加工信息、解决问题的关键。正因为如此,它受到心理学家越来越多的重视,以至斯腾伯格提出的智力成份理论将元认知作为一个重要的成份。

舍菲尔德通过学生和数学家实际解题过程的比较研究发现:学生往往不加思考地采取某一方法或解题途径,或总是在各种“可能的”解题途径之间徘徊，却始终未能构思出一个较为明确的解题方案；另外,在沿着某一解题途径走下去时，则又往往不能对自己目前的处境做出