反比例函数的图象与性质导学案

反比例函数的图象与性质
【学习目标】
1.进一步熟悉画函数图像的主要步骤会画反比例函数图像；
2.体会函数三种表示方式的相互转换，对函数进行认识上的审核；
3.理解反比例函数的性质。

【学习过程】
一、自主学习：
1．若ab < 0，则函数y = ax 与y = b x
在同一平面直角坐标系中的图象大致是( )2．如图是三个反比例函数y = k 1x ，y = k 2x ，y = k 3x
，在x 轴的上方的图象，由此观察得到k 1．k 2．k 3的大小关系为（ ）
A ． k 1 > k 2 > k 3
B ． k 2 > k 3 > k 1
C ． k 3 > k 2 > k 1
D ． k 3 > k 1 > k 2
3．已知点P 、Q 在反比函数y =−3x
的图象上。

（1）若P (1，a )，Q (2，b )， 比较a ．b 的大小；
（2）若P (−1，a )，Q (−2，b )，比较a ．b 的大小；
（3）你能从中发现y 随x 增大时的变化规律吗？
（4）若P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1<x 2，你能比较 y 1　与 y 2的大小吗？
二、小组交流，合作探究
反比例函数的图象是由 组成的。

（通常称为 ）当＞时，两支曲线分别位于第 象限内，在每一象限内，的值 当＜时，两支曲线分别位于第 象限内，在每一象限内，的值
三、全班交流，例题学习
例1．一次函数y = kx – k 与反比例函数
y =
在同一直角坐标系内的图象大致是x k y k 0y k 0y k
x
y=g(x)
y
o
（ ）
例2．已知反比例函数 y =
的图象上有两点P (1，a )，Q (b ，2．5)。

（1） 求a ．b 的值；（2） 过点P 作y 轴的垂线交于点M ，求△PMO 的面积；
（3） 过点Q 作x 轴的垂线交于点N ，求△QNO 的面积；
（4）过双曲线上任意一点A (m ， n )作x 轴(或y 轴)的垂线，垂足为B ，
求△ABO 的面积
（5）你发现了什么规律？
例3．如图，是反比例函数y = 2－m
x 的图象的一支。

（1）函数图象的另一支在第几象限？
（2）求常数m 的取值范围。

（3）点A （－3，y 1）（－1，y 2），（2，y 3）都在这个反比例函数的图象上，
比较y 1．、 y 2和y 3的大小。

例4．已知反比例函数 和一次函数的图象都过点P （，2）。

（1）求与的值；（2）在同一坐标系中画出这两个函数的图象；
（3）若两函数图象的另一个交点是Q (0.5，4)，利用图象指出：当x 为何值时，有y 1 > y 2？
x
5x
a y 21-=22+=kx y a a a k
【达标检测】
1．已知反比例函数的图象在第二、四象限内，函数图象上有两点，，则与的大小关系为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．无法确定
2．已知一次函数y=kx+b 的图象经过第二、三、四象限，则反比例函数 的图象在（　）
A ．第一、二象限；
B ．第三、四象限；
C ．第一、三象限；
D ．第二、四象限。

3．若反比例函数
y=的图象经过第二、四象限，则函数的解析式为。

4．已知反比例函数的图像与一次函数y=kx+m 的图像相交于点A （2，1）。

（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）当
x 取什么范围时，反比例函数值大于0；
（3）若一次函数与反比例函数另一交点为B ，且纵坐标为-4，当x 取什么范围时，反比例函数值大于一次函数的值；
（4）试判断点P （—1，5）关于x 轴的对称点P ‘是否在一次函数y=kx+m 的图像上。

【作业布置】
一、选择题
1．已知函数，则其图象在平面直角坐标系中可能是（ ） 2．如图1，A ．B 是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC ∥轴，AC ∥轴，△ABC 的面积记为，则（ ）
k y x
=1)A y 2(5)B y ，1y 2y 12y y <12y y =12y y <kb y x =
2421
2-+m x m k y x
=1y x
=-2y x
=x y S
A ．
B ．
C ．
D ．3． (知识点1)如图2，在直角坐标系中，点是轴正半轴上的一个定点，点是双曲线（）上的一个动点，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会 （ ）
A ．逐渐增大
B ．不变
C ．逐渐减小
D ．先增大后减小
二、填空题：
1．如图3，直线l 与双曲线交于A ．C 两点，将直线l 绕点O 顺时针旋转度角（0°＜≤45°），与双曲线交于B ．D 两点，则四边形ABCD 的形状一定是_______________形。

三、解答题：
1．点(-2，)、(-1，)、(1，)在反比例函数
= (k < 0)的图象上，比较、、的大小。

2．已知反比例函数 =
与一次函数= mx + b 的图象交于P (-2，1)和Q (1，n )两点。

（1）求反比例函数的解析式；（2）求n 的值；（3）求一次函数 = mx + b 的解析式。

2S =4S =24S <<4
S >图1图2图3
A x
B 3y x
=0x >B OAB △αα1y 2y 3y y x k 1y 2y 3y y x
k y y
3．正比例函数 = 2x 的图象与反比例函数=
的图象有一个交点的横坐标是3，（1）求k 的值；（2）根据反比例函数的图象，当-3 < x < -1时，求的取值范围；
（3）当-3 < < -1时，求x 的取值范围；
（4）当
0 < x < 3时， > ；当x > 3时，0 < < ，即是小于 的正数；当x > 时，是小于1的正数。

（5）当x 为何值时，> ？ 当x 为何值时，<？
选做题：
4．已知一次函数= kx + b (k ≠ 0)的图象与x 轴、轴交于A ．B 两点，且与反比例函数= (m ≠ 0)的图象在第一象限交于点C ，CD ⊥x 轴于D ，且OA = OB = OD =1。

（1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式。

1y 2y x
k 2y 2y 2y 2y 2y 2y 1y 2y 1y 2y y y y x
m。