“恒成立问题”解决的基本策略
不等式中恒成立问题求解基本策略与方法
不等式中恒成立问题求解的基本策略与方法摘要：本文研究解不等式恒成立问题基本方法，得出一般性解题规律。
关键词：不等式恒成立求解策略中图分类号：g63 文献标识码：a 文章编号：1673-9795（2013）04（c）-0105-01在不等式综合问题中，经常会遇到当一个结论对于某一参数的某一个取值范围的所有值都成立的问题，这就是不等式中的恒成立问题，这类问题综合性强，解法灵活，对思维能力要求较高，有利于考查考生的综合解题能力。
解答此类问题的基本策略是：利用化归与转化思想，将未解决的问题化归转化为已解决的函数问题，利用函数的性质、图象，通过灵活的代数变形求解。
基本的方法有以下几种。
1 最值转化法所谓最值转化法是指：形如 f （x）≥g（k）或 f （x）≤g（k）的不等式对于给定范围内的一切x恒成立，求k取值范围时，可转化为与之等价的命题g（k）≤f （x）min或g（k）≥f （x）max 即可。
例1：设x>f >z，n∈n，且（x-z）（+）≥2a+2恒成立，则实数a的取值范围是。
解：∵x>f >z，∴x-z=（x-f ）+（ f -z）。
∴（x-z）（+）=[（（x-f ）+（ f -z）] （+）=2++≥4（当且仅当x+z=2y时取等号）。
∴4≥2a+2，即a≤1。
即满足条件的实数a的取值范围是（-，1]。
点评：运用最值转化法要理解两个转化式：f （x）≥g（k）恒成立f （x）min≥g（k），f （x）≤g（k）恒成立f （x）max≤g （k），依此转化为求函数的最值问题与解不等式问题。
2 参数分离法若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等式的两边，写成g（λ）≥f （x）或g（λ）≤ f （x）恒成立形式，再利用最值转化法求解。
例2：设函数 f （x）=x2-1，对任意x∈[，+），f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是_______ 。
与二次函数有关的“恒成立”问题的求解策略
ʏ张亮昌解决不等式恒成立问题常见的方法有:判别式法,分离参数法,主参换位法等㊂下面举例分析这类问题的求解策略㊂方法一:判别式法例1 已知不等式(m 2+4m -5)x 2+4(1-m )x +3>0对任意实数x 恒成立,则实数m 的取值范围是㊂①当m 2+4m -5=0时,可得m =-5或m =1㊂若m =-5,则不等式化为24x +3>0,这时对任意实数x 不可能恒大于0㊂若m =1,则3>0恒成立㊂②当m 2+4m -5ʂ0时,根据题意可得m 2+4m -5>0,Δ=16(1-m )2-12(m 2+4m -5)<0,解得m <-5或m >1,1<m <19,所以1<m <19㊂综上可知,所求实数m 的取值范围是{m |1ɤm <19}㊂评注:对于一元二次不等式a x 2+b x +c >0(a >0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0;一元二次不等式a x 2+b x +c <0(a <0)在R 上恒成立,则Δ=b 2-4a c <0㊂方法二:分离参数法例2 不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,则实数a 的取值范围是㊂不等式x y ɤa x 2+2y 2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立,等价于a ȡyx -2yx2对于1ɤx ɤ2,2ɤy ɤ3恒成立㊂令t =y x ,则1ɤt ɤ3,所以a ȡt -2t 2在1ɤt ɤ3上恒成立㊂令函数y =-2t 2+t =-2t -142+18,当t =1时,y m a x =-1,则a ȡ-1㊂故实数a 的取值范围是{a |a ȡ-1}㊂评注:若a ȡf (x )恒成立,则a ȡf (x )m a x ;若a ɤf (x )恒成立,则a ɤf (x )m i n ㊂方法三:主参换位法例3 已知函数y =a x 2-2a x +8+3a ,若对于1ɤa ɤ3,y <0恒成立,则实数x 的取值范围为㊂已知函数可化为关于a 的函数y =a x 2-2a x +8+3a =(x 2-2x +3)a +8㊂由题意知,y <0对于1ɤa ɤ3恒成立㊂因为x 2-2x +3>0恒成立,且y 是关于a 的一次函数,在1ɤa ɤ3上随x 的增大而增大,所以y <0对1ɤa ɤ3恒成立等价于y 的最大值小于0,即3(x 2-2x +3)-8<0,也即3x 2-6x +1<0,解得3-63<x <3+63,所以实数x 的取值范围为x 3-63<x <3+63㊂评注:在一个函数式中,有两个自变量,其中给出一个自变量的范围,这时可把问题转化为关于已知范围的那个自变量的函数(本题是一次函数)㊂在R 上定义运算⊗:A ⊗B =A (1-B ),若不等式(x -a )⊗(x +a )<4对x ɪR 恒成立,则实数a 的取值范围为㊂提示:(x -a )⊗(x +a )=(x -a )[1-(x +a )]=-x 2+x +a 2-a <4对x ɪR 恒成立,即x 2-x -a 2+a +4>0对x ɪR 恒成立,所以Δ=4-4(-a 2+a +1)=4a 2-4a <0,所以0<a <1,即实数a ɪ(0,1)㊂作者单位:湖北省巴东县第三高级中学(责任编辑 郭正华)61 知识结构与拓展 高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
数学高考复习中恒成立问题及解题策略
数学高考复习中恒成立问题及解题策略
数学高考复习中常见的恒成立问题包括：三角函数、平面几何、立体几何、数列等方面的常见恒等式是否成立。
解决这些问题需要
我们掌握以下策略：
1. 掌握基本定义。
了解三角函数、平面几何、立体几何、数列
等基本定义，理解它们的概念和性质，这是解决恒成立问题的前提。
2. 理解证明步骤。
对于一些基本的恒等式，如三角函数的基本
恒等式、半角公式等，需要深入理解其证明步骤，这样能解决很多
基本的恒成立问题。
3. 对比特殊情况。
对于一些复杂的恒等式，可以考虑先验证一
些特殊情况，如取特殊的几个值来代入验证，这样可以对恒等式是
否成立有一个大致的判断。
4. 利用常见定理。
多运用常见的几何定理或性质的结论，如勾
股定理、中线定理、垂直平分线定理等，也可以用对等三角形、相
似比、余弦、正弦等基本知识来解决。
5. 探索新的思路。
对于一些比较难的恒等式，可以多思考，开
拓思路，寻找新的解题方法，这样可以解决不同的问题，丰富解题
经验。
总之，解决恒成立问题需要我们理解基本定义和证明步骤，利
用特殊情况和常见定理，同时具有创新和探索的精神。
恒成立问题解题策略
恒成立问题解题策略
等式恒成立问题解题策略：
① 赋值法； ② 化为基本函数； ③ 分离变量；
不等式恒成立问题解题策略：
① 分离参数法； ② 转换主元法； ③ 数形结合型
赋值型—利用特殊值求解
• 例1：已知函数f(x)=sinx+acosx图像的一
条对称轴方程为x= 4 ,求实数a的值
解：f (0) f ( ) a 1 2
1
思路1：化简----乘积的形式常通过约分。 但本题难以完成。 思路2：回到基础-----利用函数单调性求最值。 求差法运算复杂，考虑用求商比较法（这是由 特点所至）
f (n 1) f ( n)
1 2n 3 (1 ) 2n 3 2n 5
2n 4 2n 5 2n 3
f (n 1) f ( n)
4n 2 16 n 16 4n 2 16 n 15
1
因此，f (n 1) f (n), f (n)为单调递增函数， 4 n 1时，f (n)最小值为 。 3 5 4 5 所以，a . 15
【解题后的反思】
1、不等式恒成立，确定参数取值范围——分离参数法。
变式：方程 22 x m2 x 1 0 恒有两个不同实数解， 求m的取值范围.
解1：令t 2 (0, )
x
原式为t 2 mt 1 0 转化为方程在(0, )有两个不同解 0 m2 4 0 x1 x2 m 0 x x 1 0 1 2
思考：已知函数f x 2sin(3x )(| | 的一条对称轴方程为x
2
)图像
4
求实数的值
三角函数型不等式恒成立问题的7种策略
三角函数型不等式恒成立问题的7种策略
三角函数型不等式是一系列十分重要的数学问题，它往往会让学生困惑，因此，学习它的有效策略，是不可缺少的。
下面介绍一些解决三角函数型不等式问题的策略：
一、掌握三角函数加强基础：搞清三角函数的定义，学会把几何图形映射到三
角函数的概念；掌握三角函数的性质，对不等式的解及解题思路做正确的认识；学会三角函数的各种运算，以及它们的图像和几何意义。
二、学会分类解题：将三角函数型不等式分成几类来解决，如按不等式中函数
的奇偶性，及不等式转移性来解题，有一定的规律，也更方便理解它的每一个解；
三、熟记基本定理：学习和理解像柯西不等式、分式不等式、有理函数不等式
等基本定理，以及它们的证明过程，尤其是分歧不等式定理等，可以加深对三角函数型不等式的理解；
四、合理分解：将复杂的三角函数的不等式分解成几个解决起来比较容易的不
等式，然后将其逐个解答，把一个很长的不等式变成几个比较小的不等式，以便于解决；
五、学会使用图论：分图法，是三角函数型不等式问题最常用的解决方法，它
要求我们在象限上画出性质函数的图形，由于几何图像可以使不等式变得更清晰；
六、探究三角函数的关系：学习和理解相关的公式，学会把一些经典例题及它
们之间的联系记住；
七、练习精解三角函数：背诵常用的公式和定理：通过多练习，使自己能更敏
锐地发现问题的特点，从而更准确、快速地解答不等式。
以上是解决三角函数型不等式问题的7种策略，希望可以为学生提供一定的帮助，让他们更加明白三角函数型不等式，学会如何有效解决这类问题，为研究长进打下坚实的基础。
求解有关恒成立、存在性问题的四种策略
求解有关恒成立、存在性问题的四种策略对于有关恒成立、存在性问题，一直是高考命题的热点，往往以全称命题或特称命题的形式出现，同时结合函数的单调性、极值、最值等知识进行考查，在高考中多以压轴题或压轴题中的压轴问的形式出现。
如何突破这一难关呢？关键是细心审题及恰当地转化。
现就如何求解恒成立、存在性问题中的参数问题加以分析。
方法1：分离参数法例1.设函数f(x)=lnx-ax,g（x）=ex-ax，其中a为实数。
若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1,+∞)上有最小值，求a的取值范围。
解：因为f`(x)=-a,g`(x)=ex-a,由题意得f`（x）≤0对x∈(1,+∞)恒成立，即a≥对x∈(1,+∞)恒成立，所以a≥1。
因为g`(x)=ex-a在x∈(1,+∞)上是单调增函数，所以g`(x)>g`(1)=e-a。
又g(x)在(1,+∞)上有最小值，则必有e-a<0，即a>e。
综上，可知a的取值范围是(e,+∞)。
点评：求解问题的切入点不同，求解的难度就有差异。
在恒成立问题中有时需要取交集，有时需要取并集，本题解法需要取交集。
一般而言：在同一问题中，若是对自变量作分类讨论，其结果要取交集；若是对参数作分类讨论，其结果要取并集。
方法2：构造函数法例2.已知函数f(x)=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是()。
A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.［-2，1］D.[-2，0]解：当x≤0时,|f(x)|≥axx2－(2+a)x≥0，对x≤0恒成立。
记g(x)=x2－(2+a)x=（x-）2-。
当<0即a<－2时,g(x)的最小值为－，不可能满足条件。
当≥0即a≥－2时,g(x)的最小值为0，满足题意。
当x>0时,|f(x)|≥axln(1+x)－ax≥0a≤，对x>0恒成立。
令θ(x)=，则θ`(x)=。
设t=x+1,则t>1。
记L(t)=-lnt,则L`(t)=<0,所以L(t)在t∈(1,+∞)上为减函数。
探索“恒成立” 问题的求解策略
探索“恒成立” 问题的求解策略摘要：本文分析了六种“恒成立”问题的求解策略，旨在帮助学生提高数学思维能力和解题能力。
关键词：数学；恒成立；策略作者简介：陈友兰，任教于河南省登封市第一高级中学。
近年来，高考数学和竞赛数学试题中常常出现这样一类问题：含参数变量的“恒成立”不等式问题。
成功解决这类问题往往需要有良好的观察与分析、灵巧的转化与代归、高水平的运算与推理。
怎样转化问题才能有利于问题的解决，始终是同学们倍感头疼的事情。
笔者认为下面几种策略比较实用，同时还有助于学生提高数学思维。
策略1：实施变量分离已知不等式f(x,a)≥0（或≤0）对于任意x∈A恒成立。
如果f(x,a)≥0（或≤0）可变形成a≥g(x),则a≥g(x)的最大值（或极大值）；如果f(x,a)≥0（或≤0）可变形成a≤g(x),则a≤g(x)的最小值（或极小值）。
例1：设f(x)是定义在R上的单调增函数，若对于任意a∈[－1,1]恒成立，求x的取值范围。
解：因为f(x)是R上的增函数，所以，且a∈[－1,1]，分离a,使。
① 当1－x>0时，上式转化为，对于任意a∈[－1,1] 恒成立，只要即可。
故求得0≤x＜1,或x≤－1.②当1－x＜0时，上式可转化为，对于a∈[－1,1] 恒成立。
只要即可，求得x>1。
③当1－x=0时，显然有≥0成立。
即x=1。
综上可知x的取值范围是：x≤－1,或x≥0。
策略2：利用函数的最大值、最小值例2：已知不等式对于任意正数x恒成立，则实数k的取值范围是。
（2008年高考京师预测卷）分析：该题若令f(x)= ,只需求出f(x)的最大值，让其最大值小于即可。
又，因为x>0 ，所以k>0。
当>0时，解得：,当<0时，解得：。
故可得在时，，即得，结合条件得：0<k≤1。
评注：利用函数的最大值或最小值是转化“恒成立”问题的基本方法（变量分离法求解“恒成立”问题也是利用了这种方法的基本思想）。
三元方程(不等式)中存在与恒成立问题解答策略
三元方程(不等式)中存在与恒成立问题解答策略
一、什么是三元方程(不等式)
三元方程(不等式)是一种由三个未知数组成的方程，它可以用来求解三个未知数的值。
它
可以用来求解比较复杂的问题，也可以用来解决组合数学中的问题。
二、三元方程(不等式)中存在与恒成立问题
在解决三元方程(不等式)时，有时会遇到“与恒成立”问题。
这种情况下，当我们把三元
方程(不等式)中的三个未知数替换为实际的值时，方程的结果不会改变，也就是说，方程
的结果是恒定的。
三、解决三元方程(不等式)中存在与恒成立问题的策略
1. 检查方程中的未知数：首先，我们需要在解决三元方程(不等式)时，检查方程中的未
知数是否存在重复，如果有，则可以直接排除，因为重复的未知数会导致方程的结果与恒
成立。
2. 改变方程的形式：如果方程中的未知数没有重复，那么我们可以尝试改变方程的形式，比如把方程中的未知数改变为不同的变量，或者把方程变换为其他形式，这样可以有效地
避免方程的结果与恒成立。
3. 使用数值解法：如果改变方程的形式仍然不能解决问题，那么我们可以尝试使用数值
解法，比如使用牛顿迭代法或其他数值解法，来求解三元方程(不等式)中的未知数。
4. 使用图像解法：如果以上方法都不能解决问题，那么我们可以尝试使用图像解法，比
如用图像来可视化三元方程(不等式)的解，以此来求解未知数。
总结
以上就是解决三元方程(不等式)中存在与恒成立问题的策略，即检查方程中的未知数，改
变方程的形式，使用数值解法和图像解法。
在解决三元方程(不等式)时，如果遇到“与恒
成立”问题，可以使用上述方法来解决。
常见不等式恒成立问题的几种求解策略
常见不等式恒成立问题的几种求解策略不等式恒成立问题是近几年高考以及各种考试中经常出现，它综合考查函数、方程和不等式的主要内容，并且与函数的最值、方程的解和参数的取值范围紧密相连，本文结合解题教学实践举例说明几种常见不等式恒成立问题的求解策略，以抛砖引玉。
1 变量转换策略例1 已知对于任意的a ∈[-1,1]，函数f (x )=ax 2+(2a -4)x +3-a >0 恒成立，求x 的取值范围.解析 本题按常规思路是分a =0时f (x )是一次函数，a ≠0时是二次函数两种情况讨论，不容易求x 的取值范围。
因此，我们不能总是把x 看成是变量，把a 看成常参数，我们可以通过变量转换，把a 看成变量，x 看成常参数，这就转化一次函数问题，问题就变得容易求解。
令g (a )=(x 2+2x -1)a -4x+3在a ∈[-1,1]时，g (a )>0恒成立，则⎩⎨⎧>>-0)1(0)1(g g ，得133133+-<<--x . 点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。
2 零点分布策略例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以考虑f (x )的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(220f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(220f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x 轴的上方或在x 轴上就行了.3 函数最值策略例3 已知a ax x x f -++=3)(2，若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 本题可以化归为求函数f (x )在闭区间上的最值问题,只要对于任意2)(],2,2[m in ≥-∈x f x .若2)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立⇔2)(],2,2[m in ≥-∈∀x f x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥-=-=-≤-237)2()(22m in a f x f a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥--=-=≤-≤-243)2()(2222m in a a a f x f a 或⎪⎩⎪⎨⎧≥+==>-27)2()(22m in a f x f a ，即a 的取值范围为]222,5[+--.点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用m x f >)(恒成立m x f >⇔m in )(；m x f <)(恒成立m x f <⇔m ax )(.本题也可以用零点分布策略求解.4 变量分离策略例4 已知函数|54|)(2--=x x x f ，若在区间]5,1[-上，k kx y 3+=的图象位于函数f (x )的上方，求k 的取值范围.解析 本题等价于一个不等式恒成立问题,即对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立,式子中有两个变量,可以通过变量分离化归为求函数的最值问题. 对于543],5,1[2++->+-∈∀x x k kx x 恒成立3542+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,3542-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则],8,2[,10)16(∈++-=t t t y 4=∴t 当,即x =1时2m ax =y , ∴k 的取值范围是k >2.变式 若本题中将k kx y 3+=改为2)3(+=x k y ，其余条件不变，则也可以用变量分离法解.由题意得，对于54)3(],5,1[22++->+-∈∀x x x k x 恒成立22)3(54+++->⇔x x x k 对于]5,1[-∈∀x 恒成立,令]5,1[,)3(5422-∈+++-=x x x x y ,设]8,2[,3∈=+t t x ,则,169)454(1101622+--=-+-=t t t y ]8,2[∈t ， 时即当51,454==∴x t ,169m ax =y , ∴k 的取值范围是k >169.点评 本题通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题构造的函数求最值对学生来说有些难度，但通过换元后巧妙地转化为“对勾函数”，从而求得最值. 变式题中构造的函数通过换元后转化为“二次函数型”，从而求得最值.本题也可以用零点分布策略和函数最值策略求解.5 数形结合策略例5 设函数x x a x f 4)(2+-+-=,a ax x g +=)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,试求实数a 的取值范围.解析 由题意得)()(x g x f ≤a ax x x 242+≤+-⇔,令x x y 421+-=①,a ax y 22+=②.①可化为)0,40(4)2(1212≥≤≤=+-y x y x ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a 为斜率的直线，要使)()(x g x f ≤恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有21|22|2=++a a a ，即33±=a ，由图可知，要使)()(x g x f ≤恒成立，实数a 的取值范围是33≥a ． 点评 本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.6 消元转化策略例 6 已知f (x )是定义在[-1,1]上的奇函数,且f (1)=1,若0)()(0],1,1[,>++≠+-∈n m n f m f n m n m 时，若12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立，求实数t 的取值范围.解析 本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f (x )是定义在[-1,1]上的增函数,故 f (x )在[-1,1]上的最大值为f (1)=1,则12)(2+-≤at t x f 对于所有的]1,1[],1,1[-∈-∈a x 恒成立⇔1212+-≤at t 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，即022≤-t ta 对于所有的]1,1[-∈a 恒成立，令22)(t ta a g -=，只要⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(g g ，022=≥-≤∴t t t 或或． 点评 对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题,可以根据题意依次进行消元转化,从而转化为只含有两变量的不等式问题,使问题得到解决.以上介绍的几种常见不等式恒成立问题的求解策略，只是分别从某个侧面入手去探讨不等式中参数的取值范围。
“恒成立问题”解决的基本策略
“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略 （一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m≥⇔∈≥上恒成立在思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
(二)、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，那么a=（ ）. A .1 B .-1 C .2 D . -2.略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有)(0)(<<n f m f例2．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。
一道恒成立问题的三种处理策略
一道恒成立问题的三种处理策略杨苍洲（福建省泉州第五中学城东校区362000）摘要：“含参数的恒成立问题”是高考常见考点，其处理参数的策略往往有三种：分离参数；半分离参数；不分离参数．无论哪种方法，都渗透着高中的四大重要数学思想———函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想、分类与整合思想．关键词：高考；解题技巧；恒成立问题中图分类号：G632文献标识码：A 文章编号：1008－0333（2019）10－0033－02收稿日期：2019－01－05作者简介：杨苍洲（1979．12－），男，福建省惠安人，本科，理学学士，中学高级教师，从事中学数学教学及高考命题研究．题目若关于x 的不等式x 1+ln ()x +2k ＞kx 的解集为A ，且A 2，+()ɕ，则整数k 的最大值是．本题主要考查函数、导数及其应用、不等式等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查数形结合思想、函数方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．本题具有一定的难度，是高考模拟题的填空压轴题．求解本题时，从处理参数的角度看，常见的解题思路有：（1）分离参数；（2）半分离参数；（3）不分离参数．下面我们分别从这三个角度对本题进行分析与解．一、分离参数参数分离是处理恒成立问题的常见策略之一．当题干所给的等式或不等式含有多个变量时，往往通过恒等变形，把参数a 与变量x 完全分开，分别置于等式或不等式的两边；再把含变量x 的一边构造成函数()f x ；最后通过研究动直线y =a 与曲线y =()f x 的位置关系，从而得到参数a 的取值范围．解法一由x 1+ln ()x +2k ＞kx 得，k ＜x 1+ln ()x x －2．令()f x =x 1+ln ()x x －2（x ＞2），则()f 'x =x －4－2ln xx ()－22．令()g x =x －4－2ln x （x ＞2），则()g'x =1－2x＞0，所以()g x 在2，+()ɕ单调递增．又因为g ()8=4－2ln8＜0，g ()10=6－2ln10＞0，所以存在t ∈8，()10，使得()g t =0．且当x ∈0，()t 时，()g t ＜0，()f 't ＜0，()f x 单调递减；当x ∈t ，+()ɕ时，()g t ＞0，()f 't ＞0，()f x 单调递增．所以f min ()x =()f t =t 1+ln ()t t －2．又由()g t =0得ln t =t －42，所以f min ()x =t 1+t －4()2t －2=12t ∈4，()5．又因为k ＜f min ()x ，k ∈Z ，所以k 的最大值为4．二、半分离参数“化生为熟”是常见的解题方向．我们常常考虑把题干所给式子分解成两个熟悉的函数f （x ），g （x ），其中f （x ）不含参数a ，g （x ）为过定点的一次函数；然后以导数为工具研究函数f （x ）的性质，并作出大致图象；最后通过研究动直线的运动情况，寻找满足条件的动直线，进而限制出参数a 的取值范围．解法二由x 1+ln ()x +2k ＞kx ，得x 1+ln ()x ＞k x ()－2．令()f x =x 1+ln ()x （x ＞2），则()f 'x =ln x +2＞0．所以()f x 在2，+()ɕ单调递增．又因为()f ᵡx =1x＞0，所以()f x 在2，+()ɕ下凹．()f x 的图象大致如图：设直线l ：y =k 0x ()－2与曲线y =()f x 切于点P m ，()n （m ＞2），则n =k 0m ()－2，n =m 1+ln ()m ，k 0=2+ln m {，整理得，e k 0－2－2k 0=0（*），其中k 0＞2+ln2．令()g x =e x －2－2x （x ＞2+ln2），则()g'x =e x －2－2＞0．所以()g x 在2+ln2，+()ɕ单调递增．又因为g ()4=e 2－8＜0，g ()5=e 3－10＞0，所以方—33—程（*）存在唯一解k 0，且k 0∈4，()5．由图可知k ＜k 0，又因为k ∈Z ，所以k 的最大值为4．三、不分离参数当分离参数使得问题变得更加复杂时，我们往往考虑带参讨论．首先需要构造含参数a 的函数()f x ，然后对参数a 的不同取值进行讨论，并研究所对应的动曲线y =()f x 的不同性态，从中寻找满足题意的曲线，从而得到参数a 的取值范围．解法三由x 1+ln ()x +2k ＞kx ，得x 1+ln ()x +2k －kx ＞0．令()f x =x 1+ln ()x +2k －kx （x ＞2），则()f 'x =x －2kx 2．（1）当k ≤1时，()f 'x ＞0，()f x 在2，+()ɕ单调递增，()f x ＞f ()2=1+ln2＞0，满足题意；（2）当k ＞1时，由()f 'x =0，得x =2k．当x ＞2k 时，()f 'x ＞0，()f x 单调递增；当2＜x ＜2k 时，()f 'x ＜0，()f x 单调递减．故f min ()x =f 2()k =ln 2()k +2－k ，所以ln 2()k +2－k ＞0（*）．令()g x =ln 2()x +2－x （x ＞2），则()g'x =1x－1＜0，()g x 在2，+()ɕ单调递减．又因为g ()4=ln8－2＞0，g ()5=ln10－3＜0，故存在t ∈4，()5，使得()g t =0．所以不等式（*）的解集为2，()t ，其中t ∈4，()5．综上述，k ＜t ∈4，()5．又因为k ∈Z ，所以k 的最大值为4．参考文献：［1］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准［M ］．北京：人民教育出版社，2003：2－3．［2］许银伙，杨苍洲．解压轴题：离散问题离散解决［J ］．数理化解题研究，2017（4）：29－30．［3］许银伙，杨苍洲．解压轴题：熟记定论引领思路［J ］．数理化解题研究，2017（5）：30－31．［责任编辑：杨惠民］例谈用三角换元法解重点大学自主招生试题甘志国（北京市丰台二中100071）摘要：用三角换元法（其本质是用公式sin 2θ+cos 2θ=1进行换元）解题是一种重要的解题方法，用这种方法可以解答很多重点大学自主招生试题．关键词：三角换元法；自主招生试题；解题中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2019）10－0034－04收稿日期：2019－01－05作者简介：甘志国（1971－），湖北省竹溪人，高级教师，特级教师，从事解题研究、高考研究和初等数学研究．一、前言普通高中课程标准实验教科书《数学·选修4－4·A 版·坐标系与参数方程》（人民教育出版社，2007年第2版）中介绍了圆、椭圆与双曲线的参数方程：（1）若点P 在圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）上，则可设点P 的坐标是（r cos θ，r sin θ）；（2）若点P 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0，a ≠b ）上，则可设点P 的坐标是（a cos θ，b sin θ）；（3）若点P 在双曲线x 2a 2－y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）上，则可设点P 的坐标是a cos θ，b sin θcos ()θ．二、举例及解析下面将用以上结论来解答几道重点大学自主招生试题．例1（2018年上海交通大学自主招生数学试题第3题）给定正整数n 和正常数a ，对于满足条件a 21+a 2n +1≤a的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，求∑2n +1i =n +1a i 的最大值．—43—。
恒成立和存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f mi n mi n ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f m i n m a x≥ 7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f m a x m i n≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
恒成立问题求解策略
恒成立问题求解策略恒成立问题能够很好的考察函数不等式等知识以及转化化归等数学思想，所以备受命题者青睐。
本文试将此类题的求解策略作一总结，供同学们参考。
策略一、确定主元，借助函数单调性解决。
例1、 对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：多元不等式问题求解关键在于确定哪个量为主元。
此问题因为常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论。
不过若将p 定位主元，则可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
解：不等式转化为(x-1)p+x 2-2x+1>0, 设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原题转化为设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1＞0在[-2，2]上恒成立易得 ⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.策略二、转化为二次函数，利用实根分布解决。
例2、 不等式sin 2x ＋acosx ＋ a 2≥1＋cosx 对一切x ∈R 恒成立，求负数a 的取值范围。
解：原不等即cos 2x ＋（1－a ）cosx －a 2≤0令cosx=t ，由x ∈R 知t ∈[-1，1]， 设f(t)=t 2＋（1－a ）t －a 2则原题转化为f(t)=t 2＋（1－a ）t －a 2≤0 在 t ∈[-1，1]上恒成立易得 ⎪⎩⎪⎨⎧≤---=-≤--+=<0)1(1)1(011)1(022a a f a a f a ⇔⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≥-≤<10120a a a a a 或或⇔a ≤-2故所求的a 的范围为(-∞,-2].策略三、分离变量，借助不等式性质解决。
例3．已知数列{}n a 中，*65()n a n n N =-∈，设13+=n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n mT <对所有n N *∈都成立的最小正整数m 。
二次函数恒成立问题 适用于高中一轮复习 单元复习
二次不等式恒成立问题一：恒成立问题常见的解题策略：策略一：利用二次函数的判别式对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有：（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a例1.若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
二:利用函数的最值（或值域）（1）)(x f m ≤对任意x 都成立min )(x f m ≤⇔；（2）)(x f m ≥对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。
简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。
由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例2.已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.解析 ：分三种情况。
a 的取值范围为[-7，2].三：分离参数法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。
一般地有：1）为参数）a a g x f )(()(<恒成立max )()(x f a g >⇔2）为参数）a a g x f )(()(>恒成立max )()(x f a g <⇔例3.函数),1[,2)(2+∞∈++=x a x x x f ，若对任意),1[+∞∈x ，0)(>x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
变式：已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
四：确定主元在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量x 看成是主元（未知数），而把另一个变量a 看成参数，在有些问题中这样的解题过程繁琐。
例说“恒成立”问题的处理方法与策略
图象法是处理“ 恒成立 ” 问题的一种较为便捷 的 方法， 图象法既直观形象 ， 又生动有趣。图象法是使 用 最 为 普 遍 的一 种 方 法 ， 求 考 生 熟 悉 常 见 的初 等 要 函数的图象以及 一些 作图技巧。
例 １ 关 于 的 方 程 ￣ ２ ＝ 一 ＋２总 有 ／ —
・ ．
．
ｋ＋１ ＜０， ｋ＜ 一１ 即 。
Ｉ
当。 一１１时 ｛１０ ∈（ ，） ，ｆ）ｔ （１ ≥ －＞ ）
．
．
ｌ 一０＜ ， Ｓ 法
｛＋＋ 。 ≥ 一 ｘｘ ＞： 或 。 矿 。 ＇ 。 ≤ ２≥ －２
若把 。换 为 ， 而求 ｎ的范 围 ， 见下面的例题 ： 例 ５ 当 ∈（ ，） ， 一１ １时 不等式 ＋ 一口＋１ ＞０恒成立 ， 。的范 围。 求 分析 ： 不等式没有改变 ， 仅是 。与 的地位 发生 了变化 ， 时 是 主变 量 ， 此 而是 。参 变量 ， 最终是要 求 参 变 量 。的 范 围 。这 样 左 边 的 函 数 Ｙ＝ ＋一 一 ｎ＋１ 变成 了关 于 的二次 函数 ， 由于 函数 的图象未 确定 ， 因而需 对对称轴分三种情况进行讨论 ， 略。 此 注： 本题也可 以用 变量 分 离法 求 。的范 围 ， 读 者不妨试一试 。 以上谈 了“ 恒成立 ” 问题 处理 的三 种方法 ， 中 其 图象法是最为根本 的方 法 ， 他 的两个方 法都 可以 其 由图象法演变 而来 。请 同学们 注意 ， 三种方 法既 这 相互联 系 ， 又相对独立 ， 三种方法都体现 了函数思 但 想、 数形结合思想 等一些 重要 的数学 思想 。在 实际 应用 中 ， 同学们好好体会 。 请 （ 作者 单位 ： 江苏省江都 中学）
０
浅谈中学数学恒成立问题的解决策略与方法
斗
为ｌ ｎ ｘ— ≤。 ． 构 造 函数 ｇ （ ） ＝ｌ ｎ ｘ— ， 贝 ０ ｇ （ ） ＝— 一１ ．
当 ０＜ ＜ １时 ， ｇ （ ）＞ ０ ； 当 ≥１ 时， ｇ （ ） ≤０ 。所 以 ＝ １ 是ｇ （ ） 的最大值点． ｇ （ ） 的最大值是 ｇ （ １ ）：一１ ， 从 而 ｎ的取值范 围是 ［一 １ ， ∞） ． 由以上题 目可以看出 ， 函数最值法是解决恒成立 问题的 简单而有效的方法， 但关键是对题 目的恰 当变形处理． 二、 分 离 参 数 法 “ 恒成立” 问题 类型多样 ， 在 面对不 同类 型的问题时 ， 解题方法也不同． 例如 ， 面对 函数不 等式类型 的“ 恒成立 ” 问题时应该采用 分 离参数 法． 和 函数最 值法 类似 在采 用 分离参数法 时首先 要将 函数进 行变 形处 理 ， 经 过变形 处 理 的函数其参 数被 分离 出来 ， 当函数 变成 只含有 一段 的 解析式 ， 这样 函数 变得 更加 简单 、 明 了． 有助 于 快速解 决 “ 恒成立问题” 例如 ： 已知 ２ ｎ一 ３ ｂ ＝ １ ， 证明 。 ＋ ｂ ｙ ＝ ５这条直线恒过 定点． 在这道题 中已知 ２ 。一 ３ ｂ ＝１ ， 便可 以得 出 Ⅱ＝１ ／ ２ （ ３ ｂ ＋１ ） ， 把其 代 入 直线 方 程式 后 ， 分离 参数 ６可 以出 （ 一 １ ０ ） ＋ｂ （ ３ ｘ ＋ ２ ｙ ） ＝ ０ ． 又由 一１ ０＝ ０与 ３ ＋２ ｙ ＝ ０得 到 １ ０ ， Ｙ：一ｌ ５ ． 所以 （ 一１ ０ ）＋６ （ ３ ＋ ２ ｙ ）＝ ０表 示 经 过 １ ０＝ ０与 ３ ＋ ２ ｙ ＝ ０这两条直线 的交 点 （ １ ０ ， 一１ ５ ） 的直 线系方程． 因此 当 ２ ｏ一３ ｂ＝１的时候 ， 坐标 （ １ ０ ， 一１ ５ ） 是 直线 Ｏ Ｘ＋ ， ｂ ｙ＝ ５的恒 过定 点． 该例题采用分离参 数法来解 决“ 恒成立” 问题时 ， 主要 将含参 数的项集 中到一 起 ， 不含 参数 的项另集 中到一起 ， 再用恒等式的方法 加以解决． 三、 把不等式恒成立 问题转化为函数图象问题 对于不等式恒 成立 问题 ， 这类 题 目可 能一 开始 束手 无策 ， 很难用初等数学的知识 去解这个 不等式 ， 但如果想
高中数学恒成立常见问题及求解策略
课程篇恒成立作为高中数学中常见的问题，其涵盖了函数、不等式、几何等多种数学知识，求解恒成立问题是对高中生数学知识掌握能力与灵活运用能力的系统考查。
通过运用不同解题方法，可以有效将数学知识串联成体系，对培养高中生形成完备的数学思维有着极大的助益。
一、应用函数法解决恒成立问题以下题为例，已知存在x ∈R ，使得不等式nx 2+2x +3>0恒成立，求n 的取值范围。
针对此题进行求解，可引入二次函数知识，设二次函数f （x ）=nx 2+2x +3，并画出函数图象。
通过图象可得知，当n =0时，不等式成立；当n >0时，可求得二次函数图象开口向上，选取x 轴上方部分；当n <0时，同理也选取x 轴上方部分。
经过以上针对n 的分情况讨论与计算，从而得出n 的取值范围为（0，3）。
二、应用分离参数法解决恒成立问题当解决带有参数的恒成立问题时，应用分离参数法将其中的参数提取出来，将不等式变形，可以使得原有的复杂恒成立问题得到简化与快速解答。
以下题为例，存在x ∈R 满足不等式4m +sin x +m 2≥0，且该不等式恒成立，求m 的取值范围。
在求解这道题时，我们可以发现其中包含了x 和m 两个变量，且m 含有二次项，因此在处理此问题时可先将不等式变形，将不等号的一端转化为只含有m 的方程，另一端只含有x ，从而得到代数式m 2-4m ，然后将不等式另一端整体看做一个函数，求解出函数最值。
接下来考虑关于m 的代数式，可得出不等式m 2-4m >5，最终求得m 的取值范围。
三、应用变化主元法解决恒成立问题在求解恒成立问题的过程中，经常需要证明不等式，涉及许多参量变化。
由于常见的思维定式，我们往往习惯把多元不等式看成是关于x 的不等式[1]。
而通过对参量进行还原处理，可以高效便捷地解决恒成立问题。
以下题为例，对于任意的a ≤2，倘若能够使函数f （x ）=ax 2-2x +1-a <0恒成立，求x 的取值范围。
处理恒成立问题基本方法
处理有关“恒成立”的思路方法乐山市井研县马踏中学廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了保障。
对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。
它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。
恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以是历年高考的热点。
一．恒成立问题的基本类型按区间分类可分为：①在给定区间某关系的恒成立问题；②在全体实数集上某关系的恒成立问题。
二．处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法①变量分离思路处理；②利用函数的性质，图象思路处理。
若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边，则可将恒成立问题转化为函数的最值问题求解。
在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用。
≥∈--∈∴≥=--=+∴≥- 21例2：若不等式x2+ax+10对一切x (0,]成立,则a 的取值范围为（ ）25A. 0B. -2C. -D.-32111解析：由于x (0,],a 21115()在(0,]上单调递增，在x=取得最小值2225,故选2方法2：利用函数的性质，图象 其主要体现在：1，利用一次函数的图象性质 x x x x f x x x a C≠≥≤≥≥∈⇔≥≤≤∈⇔≤若原题可化为一次函数类型，则由数形结合给定一次函数f(x)=ax+b (a 0).若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0(或f(x)0)，则 根据函数的图象可得：f(m)0 f(x)0，x [m,n]恒成立{f(n)0f(m)0f(x)0，x [m,n]恒成立{f(n)0 2，利用二次函数的图象性质：>≠⇔∆<≤∈220若 f(x)=ax +bx+c (a 0)大于0恒成立{若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达 定理求解。
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“恒成立问题”解决的基本策略一、恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R ;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
因此也成为历年高考的一个热点。
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。
二、恒成立问题解决的基本策略 （一）两个基本思想解决“恒成立问题”思路1、m ax )]([)(x f m D x x f m≥⇔∈≥上恒成立在思路2、m in )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采取合理有效的方法进行求解,通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值。
这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。
(二)、赋值型——利用特殊值求解等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例1．由等式x 4+a 1x 3+a 2x 2+a 3x+a 4= (x+1)4+b 1(x+1)3+ b 2(x+1)2+b 3(x+1)+b 4 定义映射f ：(a 1,a 2,a 3,a 4)→b 1+b 2+b 3+b 4,则f ：(4,3,2,1) → ( )A.10B.7C.-1D.0略解：取x=0，则 a 4=1+b 1+b 2+b 3+b 4,又 a 4=1,所以b 1+b 2+b 3+b 4 =0 ，故选D例2．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，那么a=（ ）.A .1B .-1C .2D . -2.略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.（三）分清基本类型，运用相关基本知识，把握基本的解题策略 1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形结合思想利用一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有)(0)(<<n f m f例2．对于满足|a|≤2的所有实数a,求使不等式x 2+ax+1>2a+x 恒成立的x 的取值范围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及a,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x 2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x 2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3. 即x ∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方法，在今后的解题中自觉运用。
（1）若二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的分布知识求解。
例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围. 分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立， 所以，①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a a a 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a例4.已知函数2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a的取值范围.分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.解：22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥ 73a ∴≤ 又4a > a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥ 62a ∴-≤≤ 又44a -≤≤ 42a ∴-≤≤⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥ 7a ∴≥- 又4a <- 74a ∴-≤<-综上所述，72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立. ⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .解法二：（运用根的分布）⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥ ()54,3a ∴≤∉+∞ a ∴不存在. ⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，222222-≤≤-a －2224-≤≤-∴a⑶当22a->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥， 5a ∴≥- 54a ∴-≤<-综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数，求最值时，轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采用判别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min ;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max .(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值)例5.已知三个不等式①0342<+-x x，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时满足①②的所有x 的值满足③，求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x 的值满足③, 即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立，即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x所以 9≤m 例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f又1)1()(]1,1[)(m ax ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1，0211222≥-⇒≥+-∴at t at t 都成立对所有又]1,1[-∈a ，即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，2020202{22-≤=≥⇒≥+≥-∴t t t t t t t 或或即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题 4、根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x) (f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。
5、直接根据图象判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a . 故实数.3），的取值范围是（-∞-a 本题中若将a a x x x 恒成立，求实，不等式对任意实数>--+21改为①a a x x x 恒成立，求实，不等式对任意实数<--+21，同样由图象可得a>3;②a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>-++21,构造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，介绍一些基本的解题策略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法。