2019届江西省南昌市高三复习模拟测试卷文科数学(五)
2019年江西省南昌市高考数学三模试卷(文科)
2019年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合＝，＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可．【解答】＝＝或，＝＝＝，则＝，则＝，2. 已知复数的实部为，则其虚部为A. B. C. D.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于求得值，则虚部可求．【解答】解：∵的实部为，即，∴则的虚部为.故选．3. 已知等差数列的前项和为，＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】等差数列的前项和为，∴，解得＝（10）∴＝＝＝（11）4. 若＝，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据二倍角的正切公式即可求出．【解答】∵＝，∴＝，5. 已知直线＝与圆＝相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆＝的圆心坐标为，代入点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离，求出弦长，然后求解三角形的面积．【解答】圆＝的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，弦长为：，则的面积为：．6. 对具有相关关系的两个变量，，收集了组数据：，…，，根据最小二乘法得到线性回归方程，则下列说法一定正确的是（）A.，都有＝B.，使得＝C.，都有D.，使得【答案】D【考点】求解线性回归方程 【解析】线性回归直线一定经过样本点的中心，样本点不一定在回归直线上，由此逐一核对四个选项得答案． 【解答】如果变量 与 之间存在着线性相关关系，根据试验数据得到的点 ＝ ,…, 将散布在回归直线的附近，故 错误；线性回归方程不一定经过样本点，故 错误；样本点可能在回归直线的两侧，故 错误， 正确．7. 设，， ＝ ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】容易得出，，，从而可得出 ， ， 的大小关系．【解答】∵，，，∴ ．8. 如图，长方体 ， ＝ ＝ ， ＝ ，点 在线段 上，的方向为正（主）视方向，当 最短时，棱锥 的左（侧）视图为（ ）A.B.C.D.【答案】 B【考点】简单空间图形的三视图 【解析】依题意，棱锥 的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱 ， 被底面 遮挡，显示为虚线，当 最短时， ，因为 ＝ ， ＝，所以，所以两虚线的交点离点更近，即离右下角更近．【解答】依题意，棱锥的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱，被底面遮挡，显示为虚线，当最短时，，因为＝，＝，所以，所以两虚线的交点离点更近，即离右下角更近．9. 如图所示框图，若输入个不同的实数，输出的值相同，则此输出结果可能是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，画出函数的图象即可得解．【解答】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，作出函数的图象如下：由题意，输入个不同的实数，输出的值相同，可得，比较各个选项可得输出结果可能是．10. 若直线＝与曲线＝相切，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设切点为，求出函数的导数，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，再由切点在曲线上和切线上，列出满足条件的方程，求出和的值．【解答】设切点为，函数＝的导数为＝，则切线的斜率为＝，又＝＝，所以，解得＝，所以＝，11. 已知抛物线＝，其焦点为，准线为，为抛物线上第一象限内的点，过点作的垂线，垂足为当周长为时，的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设出求出、的坐标，利用三角形的周长，求解的长，判断三角形的形状，然后求解三角形的面积．【解答】如图所示，设＝，则，，，∴，∵周长为，所以，解得＝，∴＝，所以三角形是边长为的正三角形，所以三角形的面积为：．12. 如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将，、，、，分别对应重合为，，，得到组合体关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】画出正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形，连接，，运用等边三角形的性质和线面垂直的判定和性质，可判断①②；取的中点，连接，，，设边长为，运用余弦定理和诱导公式计算可判断③．【解答】如图正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形如右图：连接，，可得，，可得平面，即有，，即有，，取的中点，连接，，，设边长为，可得＝＝＝，可得，，可得＝，即，，三点共线，可得四边形，，，为菱形，即有，故①②③都对．二.填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分已知向量，，则＝________．【答案】【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】求出的坐标，然后求解向量的模即可．【解答】向量，，则，则若，满足约束条件，则＝的最小值为________．【答案】【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可得到结论．【解答】作出，满足约束条件如图：由＝得＝，平移直线＝，由图象可知当直线＝经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时＝＝，已知函数＝若存在使＝对一切实数恒成立，则＝________．【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】由＝对一切实数恒成立转化出满足条件的等式，从而列式求出值．【解答】∵函数＝对一切实数恒成立，∴＝对一切实数恒成立，化简得，＝对一切实数恒成立，化简展开得，＝对一切实数恒成立，∴只能＝，又∵∴．已知等差数列的前项和＝，若存在正整数，使得，，成等比数列，则的最大值与最小值的和为________．【答案】【考点】数列的求和【解析】由数列的递推式：＝时，＝；当时，＝，结合等差数列的通项公式可得＝，再由等比数列的中项性质，化简可得，再由基本不等式和，为正整数，可得所求最值之和．【解答】由＝，可得＝＝；当时，＝＝＝，由题意可得＝，则＝，，存在正整数，使得，，成等比数列，可得＝，即为＝，即＝，则＝，由，可得的最小值为，的最小值为；由＝，＝，或＝，＝，可得的最大值为，则的最大值为，可得则的最大值与最小值的和为三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分如图所示，在直角坐标系中，扇形的半径为，圆心角为，点是弧上异于，的点．Ⅰ若点，且，求点的横坐标；Ⅱ求面积的最大值．【答案】（1）连接，根据题意，在中，＝，，＝，所以，所以点的横坐标为．（2）设＝，，则，＝，因为，所以，所以当时，面积最大，且最大值为．【考点】余弦定理【解析】Ⅰ连接，根据题意在中，由余弦定理可求，进而可求点的横坐标．Ⅱ设＝，，则，利用三角形的面积公式可得，根据范围，利用正弦函数的性质可求其最大值．【解答】（1）连接，根据题意，在中，＝，，＝，所以，所以点的横坐标为．（2）设＝，，则，＝，因为，所以，所以当时，面积最大，且最大值为．如图，四边形是梯形，，，＝＝，是菱形，＝，平面平面．Ⅰ求证：Ⅱ过点作一平面与平面平行，设＝，＝，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，在，由已知可得＝，＝，，＝，∴＝，得．又∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面平面，∴，，又∵，∴＝＝，则是的中点，在中，∵，是的中点，∴是的中点，因此．设的中点为，∵＝＝，∴，又∵平面平面，∴平面．∴．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】Ⅰ取中点，连接，在，由已知可证．再由平面平面，利用面面垂直的性质可得平面，从而得到；Ⅱ由平面平面，得，，再由已知证得是的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积．【解答】（1）证明：如图，取中点，连接，在，由已知可得＝，＝，，＝，∴＝，得．又∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面平面，∴，，又∵，∴＝＝，则是的中点，在中，∵，是的中点，∴是的中点，因此．设的中点为，∵＝＝，∴，又∵平面平面，∴平面．∴．某校高三文科（1）班共有学生人，其中男生人，女生人．在一次地理考试后，对成绩作了数据分析（满分，成绩为分以上的同学称为“地理之星”，得到了如图表：如果从全班人中任意抽取人，抽到“地理之星”的概率为．Ⅰ完成“地理之星”与性别的列联表，并回答是否有以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关？Ⅱ若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为，方差为，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由．（得分均为整数分）参考公式：，其中＝．临界值表：【答案】,,,,,,,,【考点】独立性检验【解析】Ⅰ根据题意求出“地理之星”的总人数，填写列联表，计算，对照临界值得出结论；Ⅱ没有得满分的同学，讨论（1）若有个以上的满分时，和（2）若恰有个满分时，此时方差都与题意方差为不符，由此得出结论．【解答】（1）根据题意知“地理之星”总人数为，填写列联表如下；根据表中数据，计算，所以没有的把握认为获得“地理之星”与性别有关；（2）没有得满分的同学，记各个分值由高到低分别为，，…，；（1）若有个以上的满分，则，不合题意；（2）若恰有个满分，为使方差最小，则其他分值需集中分布在平均数的附近，且为保证平均值为，则有个得分为，其余个得分为，此时方差取得最小值；∴，与题意方差为不符，所以这些同学中没有得满分的同学．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，以为直径的圆过点．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点且斜率大于的直线与圆的另一个交点为，与直线＝的交点为，过点且与垂直的直线与直线＝交于点，求面积的最小值．【答案】（1）在圆的方程中，令＝，得＝，所以，，又因为，所以点坐标为，所以＝＝，则＝，＝，因此椭圆的标准范畴为；（2）设直线，所以点坐标为，将直线代入椭圆的方程得到＝，设，，所以所以，直线的方程为：，所以，所以，直线的方程为，所以点坐标为，所以＝，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】Ⅰ根据题意，求得点坐标，根据椭圆的定义，即可求得和的值，求得椭圆方程；Ⅱ设直线的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得的横坐标，求得直线方程，求得点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得面积的最小值．【解答】（1）在圆的方程中，令＝，得＝，所以，，又因为，所以点坐标为，所以＝＝，则＝，＝，因此椭圆的标准范畴为；（2）设直线，所以点坐标为，将直线代入椭圆的方程得到＝，设，，所以所以，直线的方程为：，所以，所以，直线的方程为，所以点坐标为，所以＝，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．已知函数（为自然对数的底数）．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ当＝，时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）因为函数（为自然对数的底数）．所以，若，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（2）当＝，时，等价于，当＝时，当时，得，设＝，则恒成立，因为＝，若，则＝，函数单调递增，＝，∴符合题意，若，令＝＝，即＝，存在＝，使得，即＝为方程的解，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增：而＝，所以必存在，，则与恒成立矛盾．所以不合题意舍去，综上可知，；【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】Ⅰ求函数的导数，分类讨论的范围可得函数的单调性；Ⅱ当＝，时，若恒成立，等价于，分类讨论当＝时，，当时，得，设＝，则恒成立，分别讨论验证的范围满足恒成立即可求实数的取值范围．【解答】（I）因为函数（为自然对数的底数）．所以，若，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（2）当＝，时，等价于，当＝时，当时，得，设＝，则恒成立，因为＝，若，则＝，函数单调递增，＝，∴符合题意，若，令＝＝，即＝，存在＝，使得，即＝为方程的解，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增：而＝，所以必存在，，则与恒成立矛盾．所以不合题意舍去，综上可知，；（二）选考题：共10分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线＝．Ⅰ求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；Ⅱ若点的直角坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为＝（4）直线＝（0）转换为直角坐标方程为．（2）利用Ⅰ的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），代入圆的方程＝，得到，所以，＝（和为、对应的参数），所以．【考点】圆的极坐标方程【解析】Ⅰ直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用Ⅰ的直线，首先求出直线的参数式，进一步利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】（1）曲线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为＝（4）直线＝（0）转换为直角坐标方程为．（2）利用Ⅰ的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），代入圆的方程＝，得到，所以，＝（和为、对应的参数），所以．选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知＝，＝．Ⅰ若恒成立，求实数的取值范围；Ⅱ若存在实数，，使得等式＝成立，求实数的取值范围．【答案】（1）＝＝，若恒成立，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（2）由Ⅰ知，的值域为，又＝，所以的值域为；若存在实数，，使得等式＝成立，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法与证明函数恒成立问题【解析】Ⅰ利用绝对值不等式求出的最小值，把化为关于的不等式，求出解集即可；Ⅱ分别求出、的值域，问题化为两个值域的交集非空时实数的取值范围即可．【解答】（1）＝＝，若恒成立，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（2）由Ⅰ知，的值域为，又＝，所以的值域为；若存在实数，，使得等式＝成立，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．。
江西省南昌市2019届高三第二次模拟考试数学文科试题有答案
ABCDEFG2019 年 高 三 测 试 卷数学(文科)参考答案及评分标准13． 2 14． 2- 15． 1316． 2212x y -= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解：（Ⅰ）由点,C B 的坐标可以得到34AOC π∠=，23AOB π∠=，…………2分 所以cos cos()COB AOC AOB ∠=∠+∠1()2222=---4=-；……………………………………………6分 （Ⅱ）因为c =23AOB π∠=，所以3C π=，所以2sin sin a b A B ===，…8分所以22sin 2sin()3a b A A π+=+-2sin()6A π=+，2(0)3A π<<，……………11分 所以当3A π=时，a b +最大，最大值是12分18．解：（Ⅰ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中遇到空气重度污染的选择有：5日，6日，7日，11日，12日，13日，……3分 所以运动会期间未遇到空气重度污染的概率是16711313P =-=；…………………6分 （Ⅱ）该校运动会开幕日共有13种选择，其中运动会期间至少两天空气质量优良的选择有：1日，2日，3日，5日，9日，10日，12日，……………………………………9分 所以运动会期间至少两天空气质量优良的概率是2713P =．…………………………12分 19．（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，因为2AD DC CB ===，4AB =，4212cos 22CBA -∠==，所以60,ABC ∠=︒由余弦定理求得AC =90ACB ∠=︒即BC AC ⊥，又因为平面AEFC ⊥平面ABCD ，所以BC ⊥平面AEFC ，所以BC AG ⊥，………………………………3分在矩形AEFC 中，tan 1AE AGE EG ∠==，4AGE π∴∠=，tan 1CF CGF GF ∠==，4CGF π∠=， 所以2CGF AGE π∠+∠=，即AG CG ⊥，所以AG ⊥平面BCG ；…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知道,,CA CB CF 两两垂直，所以可以把四棱锥B AEFC -补成以,,CA CB CF 为同一顶点的一个长方体，………………………………………………8分 其外接球的直径2R ==所以球O 的表面积是2419S ππ==．………………………………………12分 20．解：（Ⅰ）当l 垂直于OD 时||AB 最小，因为||OD ==，所以2r ==，…………………………2分 因为圆1C 222:(0)x y r r +=>的一条直径是椭圆2C 的长轴，所以2a =，又点D 在椭圆22222:1(0)x y C a b a b +=>>上，所以291414b b +=⇒=所以圆1C 的方程为224x y +=，椭圆2C 的方程为22143x y +=；…………………5分 （Ⅱ）椭圆2C 的右焦点F 的坐标是(1,0)，当直线m 垂直于x 轴时，||PQ = ||4MN =，四边形PMQN 的面积S =当直线m 垂直于y 轴时，||4PQ =，||3MN =，四边形PMQN 的面积6S =，…6分 当直线m 不垂直于坐标轴时，设n 的方程为(1)y k x =-(0)k ≠，此时直线m 的方程为1(1)y x k=--，圆心O 到直线m 的距离为：d =所以||PQ ==8分 将直线n 的方程代入椭圆2C 的方程得到：()22224384120k x k x k +-+-=， ||MN =所以：四边形PMQN 的面积1||||2S PQ MN =⋅=— 高三数学(文科)答案第4页 —==(6,，综上：四边形PMQN的面积的取值范围是[6,．………………………………12分21．解：（Ⅰ）21221'()22x ax f x x a x x-+=+-=(0)x >，记2()221g x x ax =-+…………………………………………………………………2分 （一）当0a ≤时，因为0x >，所以()10g x >>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………………………………………………………………………………………………3分 （二）当0a <≤时，因为24(2)0a =-≤△，所以()0g x ≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；………………………………………………………………………………4分(三)当a >0()0x g x >⎧⎨>⎩，解得x ∈， 所以函数()f x在区间()22a a -+上单调递减，在区间)+∞上单调递增．……………………………………6分 （Ⅱ）由（1）知道当a ∈时，函数()f x 在区间(0,1]上单调递增， 所以(0,1]x ∈时，函数()f x 的最大值是(1)22f a =-， 对任意的)a ∈，都存在0(0,1]x ∈使得不等式20()ln f x a a a +>-成立，等价于对任意的)a ∈，不等式222ln a a a a -+>-都成立，…………………………8分即对任意的a ∈，不等式2ln 320a a a +-+>都成立，记2()ln 32h a a a a =+-+，则(1)0h =，1(21)(1)'()23a a h a a a a--=+-=，…………………………………………………10分因为a ∈，所以'()0h a >，当对任意a ∈， ()(1)0h a h >=成立。
江西省南昌市2019届高三上学期调研测试卷(数学文)
江西省南昌市 2019 届高三上学期调研测试卷（数学文）数 学 (文科 )本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4页，共 150 分． 第 I 卷考生注意：1．答题前，考生务必然自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目 ”与考生自己准考证号、姓名可否一致．2．第 I 卷每题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并回收．参照公式：若是事件A ，B互斥，那么球 的 表 面积公式P( A B) P( A) P( B)S 4πR 2若是事件A ，B互相独立，那么其中 R 表示球的半径P( A B) P( A) P( B)球 的 体 积公式若是事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，V 4 πR 33那么 n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径P ( k )C k p k (1p ) n knn一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分.在每题给出的四个选项中，只有 一项为哪一项切合题目要求的 . 1．已知会集A { x | yln x} ，会集 B{2, 1,1,2} ，则 ABA ． (1,2)B ． {1,2}C ．{1, 2}D ． (0,)5i 2．已知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 ，则 z =2A ．2 iB ．2 iC ．2 iD ．2 i3． 若函数 f ( x) x 2 ax(a R ) ，则以下结论正确的选项是A ．存在 a ∈ R ， f x 是偶函数B ．存在 a ∈ R ， f x是 奇函数C ．关于任意的 a ∈R ， f x在 (0,＋∞)上是增函数D ．关于任意的 a ∈ R ， f x在(0,＋∞)上是减函数 4．以以下列图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个几何体的体积为1 / 83A ． 2B ．2 C ．3 D ．4S 3 S 215．已知数列{ a n }的前 n 项和为S n，且满足 3{ a n } 的公差是 2，，则数列 1A ．2 B ．1C ．2D ．36．若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是A ．k 9B ．k 8C ．k 8D ．k 8]π7 ．已知函数 y Asin( x) m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2 ，直线πx3 是 其图象的一条对称轴，则切合条件的函数分析式是y 4sin 4x π y 2sin 2 x π6 2A. B. 3y 2sin 4x π y 2sin 4x π2 2C. 3D.6f xa 2 x1, x ≤1,8．已知函数 log a x,x1.若 f x 在,上单调递加，则实数 a的 取值范围为A ． 1,2B ． 2,3C ． 2,3D ．2,9．直线 l 过抛物线y 22px ( p0)的焦点，且与抛物线的交于A 、B 两点，若线段 AB的长是 8， AB 的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线方程是A ． y 212xB ． y 28xC ． y 26 xD ． y 2 4x10．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD — A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同样样，有以下四个说法： ①水的部分向来呈棱柱状； ②水面四边形 EFGH 的面积不改变； ③棱 A1D1 向来与水面 EFGH 平行；④当 E AA 1 时， AE BF 是定值 .其中正确说法是A ． ①②③B ．①③C ．①②③④D ．①③④二．填空题：本大题共 5 小题，每题5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上．2 / 8x 2911．函数 f(x)=log 2(x 1)的定义域为 _________.x 1y 0 12．已知 O 为坐标原点，点M (3,2)，若N ( x, y)满足不等式组xy 4，则 OM ON的最大值为 __________.13．已知正三棱柱 ABC A 1B 1C1 的所有棱长都等于6，且各极点都在同一球面上，则此球的表面积等于 。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题部分 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =，集合{2}A x x =>，{1,2,3,4}B =，那么()U C A B =（ ）A ．{3,4}B ．{1,2,3}C ．{1,2}D ．{1,2,3,4}2.若复数(1)3z a i =-+（a R ∈）在复平面内对应的点在直线2y x =+上，则a 的值等于（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．63. 已知,αβ均为第一象限的角，那么αβ>是sin sin αβ>的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4.某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n 人中，抽取81人进行问卷调查，已知高二被抽取的人数为30，那么n =（ ） A ．860 B ．720 C ．1020 D ．10405.若双曲线222:1y C x b-=（0b >）的离心率为2，则b =（ ）A ．1B ．26.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos 2sin A A =，2bc =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．2 7.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A ．6B ．22log 31+C ．22log 33+D ．2log 31+8. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，若()1f α=，则3()2f πα+=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．29. 我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙，各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱.A ．28B ．32C ．56D ．7010. 某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ） A ．323 B ．643C ．16D ．32 11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()ln 1f x x x =-+，则函数()()x g x f x e =-（e 为自然对数的底数）的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．312. 抛物线28y x =的焦点为F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y是抛物线上的两个动点，124x x ++=，则AFB ∠的最大值为（ ） A ．3π B ．34π C ．56π D ．23π第Ⅱ卷（非选择题部分 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若1sin()43πα-=，则cos()4πα+= ． 14.已知单位向量12,e e 的夹角为3π，122a e e =-，则a 在1e 上的投影是 ． 15. 如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，//AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为 ．16.已知实数,x y 满足323036022x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，在这两个实数,x y 之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18. 某中学的环保社团参照国家环境标准制定了该校所在区域空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表（假设该区域空气质量指数不会超过300）该社团将该校区在2016年100天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制了如图的频率分布表，将频率视为概率，估算得全年空气质量等级为2级良的三数为73天（全年以365天计算）.（1）求,,,x y a b 的值；（2）请在答题卡上将频率分布直方图补全（并用铅笔涂黑矩形区域），并估算这100天空气质量指灵敏监测数据的平均数.19. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，2AB DC ==ACBD F =，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点，G 为PAD∆重心.（1）求证：//GF 平面PDC ； （2）求三棱锥G PCD -的体积.20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为12,A A ，左、右焦点分别为12,F F ，离心率为12，点(4,0)B ，2F 为线段1A B 的中点. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点B 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 的交于,M N 两点，已知直线1A M 与2A M 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.21. 已知函数2()(24)(2)x f x x e a x =-++（a R ∈,e 是自然对数的底数）. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程； （2）当0x ≥时，不等式()44f x a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参数方程为1x a y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，a R ∈），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且2PA PB =，求实数a 的值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =-+-，a R ∈（1）若不等式()21f x x ≤--有解，求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为3，求实数a 的值.江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分．13. 13; 14. 32; 15. (3)π; 16. 9三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由345S S S +=可得：1235a a a a ++=，即253a a =， 所以3(1)14d d +=+，解得2d =.∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：1(1)(21)n n b n -=-⋅-. ∴ 21357(23)(21)n T n n =-+-++⋅---(2)2n n =-⨯=-.18.【解析】（Ⅰ）36573b =，0.2b ∴=，又0.3a b += 故0.1a =，10,20x y ==（Ⅱ）补全直方图如图所示由频率分布直方图，可估算这100天空气质量指数监测数据的平均数为： 250.1750.21250.251750.22250.152750.1145⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.19.【解析】（Ⅰ）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，CD AB //且2AB DC =，知21AF FC =又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH = 在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作AD GN //交PD 于N ,过F 作AD FM //交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，32==PE PG ED GN ,33232==∴ED GN , 又ABCD 为梯形，CD AB //,21=AB CD,21=∴AF CF 31=∴AD MF ,332=∴MF ∴FM GN = 又由所作AD GN //，AD FM //得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.PCD MN PCD GF MN GF 面，面⊆⊄,// ,∴//GF 面PDC方法三：过G 作GK //PD 交AD 于K ,连接,KF GF , 由PAD ∆为正三角形, E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心， 得23DK DE =，∴13DK AD =又由梯形ABCD ，CD AB //，且2AB DC =， 知21AF FC =,即13FC AC = ∴在ADC ∆中， KF //CD ，所以平面GKF //平面PDC又 GF ⊆平面GKF ，∴//GF 面PDC（Ⅱ） 方法一:由平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥，BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE =由（Ⅰ）知GF //平面PDC ，∴13G PCD F PCD P CDF CDF V V V PE S ---∆===⨯⨯又由梯形ABCD ，CD AB //，且2AB DC ==13DF BD =又ABD ∆为正三角形，得60CDF ABD ∠==，∴1sin 2CDF S CD DF BDC ∆=⨯⨯⨯∠，得13P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯=∴三棱锥G PCD -方法二: 由平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆与ABD ∆均为正三角形，E 为AD 的中点 ∴PE AD ⊥，BE AD ⊥，得PE ⊥平面ABCD ，且3PE = 由23PG PE =，∴221333G PCD E PCD P CDE CDE V V V PE S ---∆===⨯⨯⨯而又ABD ∆为正三角形，得120EDC ∠=，得1sin 2CDE S CD DE EDC ∆=⨯⨯⨯∠．∴212133333P CDF CDF V PE S -∆=⨯⨯⨯=⨯⨯=G PCD -20.【解析】（Ⅰ）设点12(,0),(,0)A a F c -，由题意可知：42a c -+=，即42a c =- ① 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c = ② 联解方程①②可得：2,1a c ==，则2223b a c =-= 所以椭圆C 的方程为22143y x +=． （Ⅱ）方法一：要证以G 点为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切．只需证2GF x ⊥轴，即证1G x =． 证明：设1122(,),(,)M x y N x y ，联解方程22(4143)x y k x y +-==⎧⎪⎨⎪⎩可得：2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>．由韦达定理可得：21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+ （*）因为直线111:(2)2A M y l y x x =++，222:(2)2A N y l y x x =-- 即证：1212322y y x x -=+-，即12213(4)(2)(4)(2)k x x k x x -⋅-=--⋅+． 即证1212410()160x x x x -++=．将（*）代入上式可得22222224(6412)1032160163203403434k k k k k k k⋅-⨯-+=⇔--++=++． 此式明显成立，原命题得证．所以以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切． 方法二：设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，因为,,B M N2212222122222212123(1)3(1)444(4)(4)(4)(4)x x y y y x x x x x --=⇒=⇒=-----， 整理得121225()80x x x x -++=． 又1,,A M G112y x =+ ① 又2,,A N222y x =- ② ①与②两式相除得：222221233212121222231231212123(1)(2)22(2)(2)(2)(2)4()2(2)2(2)(2)(2)3(1)(2)4x x x x y x y x x x x y x x x x y x x x -+++++++=⇒===-------- 即2321121231212122(2)(2)2()4()2(2)(2)2()4x x x x x x x x x x x x x x ++++++==----++， 将121225()80x x x x -++=即12125()402x x x x =+-=代入得2332()92x x +=-，解得34x =（舍去）或31x =．所以2GF x ⊥轴，即以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切． 方法三：显然l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(4)y k x =-，1122(,),(,)M x y N x y . 由22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)3264120,0k x k x k +-+-=∆>.设112233(,),(,),(,)M x y N x y G x y ，123,,x x x 两两不等，则21223234k x x k +=+，2122641234k x x k -=+，12||x x -=由1,,A M G112y x =+ ① 由2,,A N222y x =- ②， ①与②两式相除得：32121121212312121212122(2)(4)(2)()3()812(2)(4)(2)3()()83x y x k x x x x x x x x x y x k x x x x x x x x ++-+-++--====------++-+． 解得34x =（舍去）或31x =，所以2GF x ⊥轴，即以点G 为圆心，2GF 的长为半径的圆总与x 轴相切． 21.【解析】（Ⅰ）当1a =时，有2()24)(2)x f x x e x =-++（， 则'()22)24x f x x e x =-++（'(042)2f ⇒=-+=． 又因为(0)440f =-+=，∴曲线()y f x =在点(0,(0))P f 处的切线方程为02(0)y x -=-，即2y x =． （Ⅱ）因为'()22)2(2)x f x x e a x =-++（，令()'()22)2(2)x g x f x x e a x ==-++（ 有'()22x g x x e a =⋅+（0x ≥）且函数'()y g x =在[)0,x ∈+∞上单调递增当20a ≥时，有'()0g x ≥，此时函数'()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，则'()'(0)42f x f a ≥=- （ⅰ）若420a -≥即12a ≥时，有函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增， 则min ()(0)44f x f a ==-恒成立； （ⅱ）若420a -<即102a ≤<时，则在[)0,x ∈+∞存在0'()0f x =， 此时函数()y f x =在0(0,)x x ∈ 上单调递减，0(,)x x ∈+∞上单调递增且(0)44f a =-， 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；当20a <时，有'(0)20g a =<，则在[)0,x ∈+∞存在1'()0g x =，此时1(0,)x x ∈上单调递减，1(,)x x ∈+∞上单调递增所以函数'()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增．又'(0)240f a =-+<，则函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增且(0)44f a =-． 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意； 综上所述，实数a 的取值范围为12a ≥． 22.【解析】（Ⅰ）曲线1C参数方程为1x a y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,∴其普通方程10x y a --+=，由曲线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=,∴222cos 4cos 0ρθρθρ+-= ∴22240x x x y +--=,即曲线2C 的直角坐标方程24y x =.（Ⅱ）设A 、B 两点所对应参数分别为12,t t，联解241y x x a y ===+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩得22140t a -+-=要有两个不同的交点，则242(14)0a ∆=-⨯->,即0a >，由韦达定理有1212142t t a t t +=-⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 根据参数方程的几何意义可知122,2PA t PB t ==， 又由2PA PB =可得12222t t =⨯，即122t t =或122t t =-∴当122t t =时，有2122212311036422t t t a t t t a ⎧⎪⇒=>⎨⎪⎩+==-⋅==，符合题意． 当122t t =-时，有21222121442902t t t t t a a t ⎧⎪⇒=>⎨⎪+=-=-⋅=-=⎩，符合题意． 综上所述，实数a 的值为136a =或94． 23.【解析】（Ⅰ）由题()21f x x ≤--，即为||112a x x -+-≤． 而由绝对值的几何意义知||1|1|22a a x x -+-≥-， 由不等式()21f x x ≤--有解，∴|1|12a -≤，即04a ≤≤． ∴实数a 的取值范围[0,4]．（Ⅱ）函数()21f x x a x =-+-的零点为2a 和1，当2a <时知12a < ∴31()2()1(1)231(1)a x a x a f x x a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩如图可知()f x 在(,)2a -∞单调递减，在[,)2a +∞单调递增， ∴min ()()1322a a f x f ==-+=，得42a =-<（合题意），即4a =-．。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试卷及解析
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合M ={x|x 2−4≤0}，N ={x|log 2x <1}，则M ∩N =( )A. ∅B. (0,2)C. (−2,2)D. [−2,2)2.已知复数z =i(1+2i)，则|z|=( )A. √5B. √3C. √2D. 33.已知抛物线方程为x 2=−2y ，则其准线方程为( )A. y=−1 B. y=1 C. y =12D. y =−124.设函数f(x)={x 2−2x ,(x ≤0)f(x −3),(x >0)，则f(5)的值为( )A. -7B. -1C. 0D. 125.已知平面向量a ⃑⃑ ，b ⃑⃑ ，|a |=2，|b ⃑ |=1，则|a −b⃑ |的最大值为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 56.已知a =25ln 52，b =lne e（e 是自然对数的底数），c=ln22，则a,b,c 的大小关系是( )A. c<a <b B. a <c <b C. b<a <c D. c<b <a7.已知r>0，x,y ∈R ,p ：“x 2+y 2≤r 2”，q ：“|x|+|y|≤1”，若p 是q 的充分不必要条件，则实数r 的取值范围是( ) A. (0,√22] B. (0,1] C. [√22,+∞) D. [1,+∞)8.如图所示算法框图，当输入的x 为1时，输出的结果为( )答案第2页，总16页…………装………………○…………线…………○※请※※不※※要※※在※答※※题※※…………装………………○…………线…………○A. 3B. 4C. 5D. 69.2021年广东新高考将实行3+1+2模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率( ) A. 12B. 13C. 16D. 1910.函数f(x)=ln(√x 2+1+x)−3xx +1的图像大致为( )A. B. C. D.11.过双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1作圆x 2+y 2=a 2的切线交双曲线的右支于点P ，且切点为T ，已知O 为坐标原点，M 为线段PF 1的中点（M 点在切点T 的右侧），若ΔOTM 的周长为4a ，则双曲线的渐近线的方程为( ) A. y=±34xB. y =±43xC. y =±35xD. y =±53x12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为2n−1，若去除所有为1的项，依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,⋯，则此数列的前55项和为( )…………装………线…………○…校:___________姓名：_______…………装………线…………○…A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.已知{a n }为等差数列，若a 2=2a 3+1，a 4=2a 3+7，则a 3=__________．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为__________． 15.已知锐角A 满足方程3cosA −8tanA =0，则cos2A =__________．16.若对任意t∈[1,2]，函数f(x)=t 2x 2−(t +1)x +a 总有零点，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题（题型注释）17.函数f(x)=2sin(ωx +φ)（0<ω<π2，|φ|<π2）的部分图像如下图所示，A(0,√3)，C(2,0)，并且AB∥x 轴.（1）求ω和φ的值； （2）求cos∠ACB 的值. 18.如图，四棱台ABCD−A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是菱形，CC 1⊥底面ABCD ，且∠BAD =60∘，CD =CC 1=2C 1D 1=4，E 是棱BB 1的中点.答案第4页，总16页○…………订…………线…………○※※订※※线※※内※※答※※○…………订…………线…………○（1）求证：AA 1⊥BD ；（2）求三棱锥B 1−A 1C 1E 的体积.19.市面上有某品牌A 型和B 型两种节能灯，假定A 型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B 型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如下频率分布直方图：某商家因原店面需要重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5支（同种型号）即可正常营业.经了解，A 型20瓦和B 型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知A 型和B 型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换.（用频率估计概率）（Ⅰ）根据频率直方图估算B 型节能灯的平均使用寿命；（Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p ，那么n 支灯管估计需要更换np 支.若该商家新店面全部安装了B 型节能灯，试估计一年内需更换的支数；（Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由. 20.如图，椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)与圆O ：x 2+y 2=1相切，并且椭圆E 上动点与圆O 上动点间距离最大值为2+√62.…线…………○……线…………○…（1）求椭圆E 的方程；（2）过点N(1,0)作两条互相垂直的直线l 1，l 2，l 1与E 交于A,B 两点，l 2与圆O 的另一交点为M ，求ΔABM 面积的最大值，并求取得最大值时直线l 1的方程.21.已知函数f(x)=e x (lnx −ax +a +b)（e 为自然对数的底数），a,b ∈R ，直线y =e2x 是曲线y=f(x)在x =1处的切线.（Ⅰ）求a,b 的值； （Ⅱ）是否存在k ∈Z ，使得y =f(x)在(k,k +1)上有唯一零点？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+t,y =1+√3t（t 为参数），曲线C 的参数方程为{x =4+2cosθy =3+2sinθ（θ为参数），以坐标原点为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求C 的极坐标方程；（2）设点M(2,1)，直线l 与曲线C 相交于点A,B ，求|MA|⋅|MB|的值. 23.已知函数f(x)=|x +m 2|+|x −2m −3|. （1）求证：f(x)≥2；（2）若不等式f(2)≤16恒成立，求实数m 的取值范围.答案第6页，总16页参数答案1.B【解析】1.解一元二次不等式简化集合M ，再由对数的运算性质求出N ，再由交集的运算求出结果． 解：∵x 2−4≤0，∴﹣2≤x ≤2， ∴M ＝[−2,2]， ∵log 2x ＜1，∴0＜x ＜2， ∴N ＝(0,2)， ∴M ∩N=(0,2)，故选：B ． 2.A【解析】2.求出z ＝i +2i 2＝﹣2+i ，由此能求出|z |． 解：∵z ＝i （1+2i ）＝i +2i 2＝﹣2+i ， ∴|z |=√(−2)2+12=√5．故选：A ． 3.C【解析】3.利用抛物线方程直接求解准线方程即可． 抛物线x 2＝-2y 的准线方程为：y =12，故选：C ． 4.D【解析】4.利用分段函数的性质即可得出．∵函数f(x)={x 2−2x ,(x ≤0)f(x −3),(x >0)，∴f (5)=f (5−3)=f (2)=f (2−3)=f (−1)=(−1)2−2−1=12故选：D 5.C【解析】5.利用数量积运算可得|a ⃑⃑ −b ⃑⃑ |=√5−2a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ ，根据a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ ∈[−2,2]可得结果. ∵|a |=2，|b⃑ |=1， ∴|a ⃑⃑ −b ⃑⃑ |=√(a ⃑⃑ −b ⃑⃑ )2=√a ⃑⃑ 2−2a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ +b⃑⃑ 2=√5−2a ⃑⃑ ∙b⃑⃑ 又a ⃑⃑ ∙b ⃑⃑ ∈[−2,2] ∴|a ⃑⃑ −b ⃑⃑ |∈[1,3] ∴|a−b⃑ |的最大值为3 故选：C 6.A【解析】6.由题意构造函数f (x )=lnx x，利用函数单调性即可比较大小.记f (x )=lnx x，f′(x )=1−lnx x 2=0,可得x=e可知：f (x )在(0，e )上单调递增，又2＜52＜e∴ln22＜ln 5252＜lne e，即c <a <b 故选：A 7.A【解析】7.先作出不等式：“|x|+|y|≤1”，“x 2+y 2≤r 2”表示的平面区域，再结合题意观察平面区域的位置关系即可得解答案第8页，总16页………订…………○……※※线※※内※※答※※题※※………订…………○……解：“|x|+|y|≤1”，“x 2+y 2≤r 2”表示的平面区域如图所示，由p 是q 的必要不充分条件，则圆心O （0，0）到直线AD ：x +y ﹣1＝0的距离小于等于√22， 即0＜r≤√22，故选：A ．8.C【解析】8.根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可． 当x ＝1时，x ＞1不成立，则y ＝x+1＝1+1＝2， i ＝0+1＝1，y ＜20不成立，x ＝2，x ＞1成立，y ＝2x ＝4，i ＝1+1＝2，y ＜20成立， x ＝4，x ＞1成立，y ＝2x ＝8，i ＝2+1＝3，y ＜20成立， x ＝8，x ＞1成立，y ＝2x ＝16，i ＝3+1＝4，y ＜20成立x ＝16，x ＞1成立，y ＝2x ＝32，i ＝4+1＝5，y ＜20不成立，输出i ＝5， 故选：C ． 9.B【解析】9. 基本事件总数n =9，他们选课相同包含的基本事件m ＝3，由此能求出他们选课相同的概率．解：今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，…外…………○……学校:_____…内…………○……则基本事件有(地，地)，(地，化)，(地，生)，(化，地)，(化，化)，(化，生)，(生，地)，(生，化)，(生，生)，总数n =9，他们选课相同包含的基本事件m ＝3， ∴他们选课相同的概率p =m n=39=13．故选：B ． 10.A【解析】10.利用函数的对称性及特殊值即可作出判断.f (x )+f (−x )=ln(√x 2+1+x)−3xx 2+1+ln(√x 2+1−x)+3xx 2+1=0,即f (−x )=− f (x )，故f (x )为奇函数，排除C ，D 选项；f(1)=ln(√2+1)−32<0,排除B 选项，故选：A 11.B【解析】11.先从双曲线方程得：a ，b ．连OT ，则OT ⊥F 1T ，在直角三角形OTF 1中，|F 1T |＝b ．连PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点得出|MO |﹣|MT |=12PF 2﹣（ 12MF 1﹣F 1T ）=12（PF 2﹣MF 1）﹣b 最后结合周长与勾股定理可得结果.解：连OT ，则OT ⊥F 1T ， 在直角三角形OTF 1中，|F 1T |=√OF12−OT 2=√c 2−a 2=b ．连PF 2，M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点答案第10页，总16页∴OM =12PF 2，∴|MO |﹣|MT |=12PF 2﹣（ 12PF 1﹣F 1T ）=12（PF 2﹣PF 1）+b=12×(−2a)+b =b ﹣a ．又|MO |+|MT |+|TO |=4a ，即|MO |+|MT |=3a 故|MO |=b+2a2, |MT |=4a−b2, 由勾股定理可得：a 2+(4a−b 2)2=(b+2a 2)2，即b a =43∴渐近线方程为：y =±43x故选：B 12.A【解析】12.利用n 次二项式系数对应杨辉三角形的第n +1行，然后令x ＝1得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．解：由题意可知：每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列， 则杨辉三角形的前n 项和为S n =1−2n 1−2=2n ﹣1，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，……，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列， 则T n =n(n+1)2，可得当n ＝10，所有项的个数和为55， 则杨辉三角形的前12项的和为S 12＝212﹣1， 则此数列前55项的和为S 12﹣23＝4072， 故选：A ． 13.−4【解析】13.利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 3． 解：∵{a n }为等差数列，a 2=2a 3+1，a 4=2a 3+7，第11页，总16页……订…………________考号：_________……订…………∴{a 1+d =2(a 1+2d)+1a 1+3d =2(a 1+2d)+7，解得a 1＝﹣10，d ＝3， ∴a 3＝a 1+2d ＝﹣10+6＝−4． 故答案为：−4． 14.√6【解析】14.作出符合题意的图形P ﹣ABC ，取底面中心O ，利用直角三角形POC 容易得解．解：如图，正三棱锥P ﹣ABC 中，O 为底面中心， ∵侧面为等腰直角三角形，AC ＝6， ∴PC =3√2， ∴OC =2√3，∴OP =√18−12=√6，故答案为：√6． 15.79【解析】15.化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sin 2A+8sinA ﹣3＝0，解得sinA 的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．∵锐角A 满足方程3cosA ﹣8tanA ＝0，可得：3cos 2A ＝8sinA ， ∵cos 2A+sin 2A ＝1，∴3sin 2A+8sinA ﹣3＝0，解得：sinA =13，或﹣3（舍去），∴cos2A＝1﹣2sin 2A ＝1﹣2×19=79．答案第12页，总16页故答案为：79．16.(−∞，916]【解析】16. 由函数f(x)=t 2x 2−(t +1)x +a 总有零点可得∆≥0，变量分离后求最值即可. ∵函数f(x)=t 2x 2−(t +1)x +a 总有零点，∴∆=(t +1)2−4at 2≥0对任意t ∈[1,2]恒成立，∴a ≤(t+12t)2=(12+12t)2记y =(12+12t)2在[1,2]上单调递减，∴(12+12t)2≥(12+12×2)2=916∴a ≤916故答案为：(−∞，916]17.（1）ω=φ=π3；（2）5√714.【解析】17.（1）根据函数过A ，C 两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出B 的坐标，利用向量法进行求解即可．（1）由已知f(0)=2sinϕ=√3， 又|ϕ|＜π2，所以ϕ=π3，所以f(x)=2sin(ωx +π3)⋯⋯⋯（3分）由f(2)=0，即2sin(2ω+π3)=0，所以2ω+π3=2kπ+π，k ∈Z ， 解得ω=kπ+π3，k ∈Z ，而0<ω<π2，所以ω=π3.（2）由（Ⅰ）知，f(x)=2sin(π3x +π3)，令f(x)=√3，得π3x +π3=2kπ+π3或π3x +π3=2kπ+2π3，k∈Z，所以x ＝6k 或x ＝6k+1，由图可知，B(1，√3)．第13页，总16页…○…………外………装…………○…………订…………______姓名：___________班级：___________考号：_________…○…………内………装…………○…………订…………所以CA →=(−2，√3)，CB →=(−1，√3)，所以|CA|→=√7，|CB →|=2，所以cos∠ACB=CA →⋅CB →|CA →||CB →|=2√7=5√714．18.（1）详见解析；（2）2√33.【解析】18.(1) 推导出CC 1⊥BD ．BD ⊥AC ．从而BD ⊥平面ACC 1，由此能证明BD ⊥AA 1； (2)利用等积法即可得到三棱锥B 1−A 1C 1E 的体积. （1）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以.又，所以平面.又由四棱台知，四点共面.所以.（2）由已知，得，又因为，所以.19.（Ⅰ）3440小时；（Ⅱ）4；（Ⅲ）应选择A 型节能灯.【解析】19.（Ⅰ）由频率直方图即可得到平均使用寿命；（Ⅱ）根据题意即可得到一年内需更换的支数；（Ⅲ）分别计算所花费用，即可作出判断. （Ⅰ）由图可知，各组中值依次为，对应的频率依次为，故型节能灯的平均使用寿命为小时.（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，故估计一年内支型节能灯需更换的支数为.（Ⅲ）若选择型节能灯，一年共需花费5×120+3600×5×20×0.75×10−3=870元；答案第14页，总16页……○……○若选择型节能灯，一年共需花费元.因为967.5>820，所以该商家应选择A 型节能灯.20.（1）x 23+y 2=1；（2）面积的最大值为√62，此时直线l 1的方程为x =±√22y +1.【解析】20.（1）由题意可得b ＝1，a ﹣1=2+√62，即可得到椭圆的方程；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据l 2⊥l 1，可设直线l 1，l 2的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出|AB|、|MN|，即可得到三角形ABC 的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值． （1）椭圆E 与圆O ：x 2+y 2＝1相切，知b 2＝1；又椭圆E 上动点与圆O 上动点间距离最大值为2+√62，即椭圆中心O 到椭圆最远距离为√62， 得椭圆长半轴长a=√62，即a 2=32； 所以椭圆E 的方程：x 232+y 2=1（2）①当l 1与x 轴重合时，l 2与圆相切，不合题意． ②当l 1⊥x 轴时，M （﹣1，0），l 1：x ＝1，|AB|=√3，此时S △ABM =12×2√33×2=2√33．…（6分） ③当l 1的斜率存在且不为0时，设l 1：x ＝my+1，m≠0，则l 2：x =−1my +1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{x =my +1，2x 23+y 2=1得，（2m 2+3）y 2+4my ﹣1＝0，所以y 1+y 2=−4m 2m 2+3，y 1y 2=−12m 2+3， 所以|AB|=√1+m 2|y 2−y 1|=2√3√m 2+1√2m 2+12m 2+3．由{x =−1m y +1，x 2+y 2=1得，(1m +1)y 2−2my =0，解得y M =2mm 2+1，所以|MN|=√1+1m2|y M |=√m 2+1， 所以S △ABM=12|AB||MN|=12⋅2√3√m 2+1√2m 2+12m 2+3⋅2=2√3√2m 2+12m 2+3=√3√2m 2+1+2√2， 因为√2m 2+1＞1，第15页，总16页………外…………○…………装…………○…………○…………线……学校:___________姓名：___________班级：__________………内…………○…………装…………○…………○…………线……所以√2m 2+1√2≥2√2，当且仅当m=±√22时取等号．所以S △ABM≤√62（2√33＜√62）综上，△ABM 面积的最大值为√62，此时直线l 1的方程为x =±√22y +1．21.（Ⅰ）a =1,b =12；（Ⅱ）存在k=0或2.【解析】21.（Ⅰ）由导数的几何意义布列方程组即可得到结果；（Ⅱ）研究函数f(x)的单调性与极值即可得到结果. （Ⅰ），由已知，有，即，解得a =1,b =12.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则令，则恒成立，所以在上单调递减，又因为，， 所以存在唯一的，使得g(x 0)=0，且当时，，即，当时，，即.所以在上单调递增，在上单调递减. 又因为当时，，，，，所以存在或，使得在上有唯一零点.22.（1）ρ2−8ρcosθ−6ρsinθ+21=0；（2）4.答案第16页，总16页【解析】22.（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果． （1）由参数方程{x =4+2cosθy =3+2sinθ，得普通方程(x −4)2+(y −3)2=4， 所以极坐标方程ρ2−8ρcosθ−6ρsinθ+21=0. （2）设点A,B 对应的参数分别为t 1,t 2，将{x =2+t,y =1+√3t代入得(x −4)2+(y −3)2=4得t 2−(√3+1)t +1=0所以t 1t 2=1,直线l :{x =2+t,y =1+√3t （t 为参数）可化为{x =2+12×2t,y =1+√32×2t， 所以|MA|⋅|MB|=|2t 1||2t 2|=4|t 1t 2|=4.23.（1）详见解析；（2）[−3,√14−1].【解析】23.（1）由绝对值不等式性质得f (x )≥|(x +m 2)−(x −2m −3)|即可证明；（2）由f (2)=m 2+2+|2m +1|去绝对值求解不等式即可.（1）因为f(x)=|x +m 2|+|x −2m −3|≥|(x +m 2)−(x −2m −3)|，所以f(x)≥|m 2+2m +3|=(m +1)2+2≥2.m 2+2m +3≤16,即(m +1)2≤14（2）由已知，f (2)=m 2+2+|2m +1|①当m≥-12时，f(2)≤16等价于m 2+2m +3≤16,即(m +1)2≤14，解得−√14−1≤m ≤√14−1所以−12≤m ≤√14−1②当m<-12时，f(2)≤16等价于，m 2−2m +1≤16,解得-3≤m≤5,所以-3≤m<−12综上，实数m 的取值范围是[−3,√14−1].。
江西南昌市2019—2019学年度高三第一次模拟测试数学文
南昌市2021学年度高三第一次模拟测试数学〔理〕试题本试卷分第I 卷〔选择题〕和第n 卷〔非选择题〕两局部,共 150分. 考生注意：1 .做题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在做题卡上,考生要认真核对做题卡粘贴的条形码的 准考证号、姓名、测试科目 〞与考生本人准考证号、姓名是否一致.2 .第I 卷每题选出答案后,用 2B 铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,第n 卷用 0.5毫米的黑色墨水签字笔在做题卡上作答,假设在试题卷上作答,答案无效.3 .测试结束,监考员将试题卷,做题卡一并收回.一、选择题：本大题共 10小题,每题5分,在每题给出的四个选项中,只有 一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合A, B,那么AUB =庆是OB = B 的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .假设复数z 满足匕义=i 〔i 为虚数单位〕,那么z 的虚部为 zA . 2iB . 2 C. -ID. -13 .在数列｛aj 中,假设a=2,且对任意的n w N*有2a n 由=1 +2a n ,那么数列｛aj 前10项的和为x-xe - eC. y =24. 5. B. 10八 5C.一2函数f 〔x 〕 = Acosgx 十日〕的图象如下图 f 〔-〕=C.卜列函数中,既是偶函数,又在区间〔22A . y = cos x -sin x1, 2) B. 5D.一42 一 二不那么f(\) =2 3内是增函数的为y = lg | x |3D . y 二x10 .点P 的底边长为2卮 高为2的正三棱柱外表上的动点,PM PN 取值范围是A . [0, 2]B . [0, 3]第II 卷考前须知：第n 卷须用黑色墨水签字笔在做题卡上书写作答,假设在试题上作答,答案无效.6.X 2V 2 .............. 1 9 ........................................... ..................................... ...............................................双曲线二=1与抛物线y=-X 2有一个公共焦点F,双曲线上过点F 且垂直实轴的弦长为b 2 a 2 82-3 ,那么双曲线的离心率等于 3 2,3 B . -------- 3 3.2C. ---------2D. .37.设a, b 是夹角为30.的异面直线,那么满足条件 'a Eu ,b =比且口 _L P 〞的平面口邛 A .不存在 展开式的三项为10,那么y 关于x 的函数图象的大致形状为8. riB.有且只有一对C.有且只有两对 D,有无数对9. 卜列四个命题中,①e x dx = e;②设回归直线方程为V= 2 — 2.5x,当变量x 增加一个单位时,y 大约减少2.5个单位；③服从正态分布 N仃2),且 P(-2 < <0) = 0.4 ,那么:P(£ a 2) =0.1④对于命题p :"之0"那么「p:x -1< 0"错误的个数是B, 1个C. 2个D. 3个MN 是该棱柱内切球的一条直径,那么C [0, 4]D. [-2, 2]11 . e , = (cos — ,sin —), e 2 = (2sin —4 6 4T12 .假设一个圆台的主视图如下图,那么其全面积等于 . 13 .三个好朋友同时考进同一所高中,该校高一有10个班,那么至少有 2人分在同一班的概率为.14 .函数 f (x) = asin( —x)+btan(—x)(a,b 为常数,x^R),右 f(1A 1 那么不等式55f(31) >log 2 x 的解集为 .三、选择题：请考生在以下两题中任选一题作答,假设两题都做,那么按做的第一题评阅计分,此题共5分.15 . (1)(坐标系与参数度方程选做题)在平面直角坐标系 xoy 中,圆 C 的参数方程为x - 3 3cos 二 $,(€为参数),平面直角坐标系的原点作为极点, x 轴的正半轴为以极轴, 并在y =1.3 sin 二两种坐标系中取相同的单位长度建立极坐标系, 直线l 的极坐标方程为 Pcos (日十二)=0 ,那么直6线l 裁,圆C 所得的弦长为.(2)(不等式选做题)假设对任意的aWR,不等式|x| + |x —1|引1+a|—11 —a|恒成立,那么实数 x的取值范围是.四、解做题：本大题共 6小题,共75分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.A ,…16 .(本小题总分值12分)设角A, B, C 为4ABC 的三个内角.(1)设fA) A A2n+,3 A 做0________________ _ __________________________ ___________________ T时,f(A)取极大值f(A 0),试求A 0和f (A O )的值；(2)当A 取A 0时,而AB-AC =—1,求BC 边长的最小值.17 .(本小题总分值12分)某市电视台的娱乐频道 好声音〞节目,制定第一轮晋级互第二轮的规那么如下; 每名选手准备三首有顺歌曲,按顺序唱,第一首歌专业评审团全票通过那么直接晋级到第二轮；否那么唱第二首歌和第三首歌,第二首歌由专业评审团投票是否通过,第三首歌由媒体评审团投 票是否通过.假设第二首歌获得专业评审团三分之二票数以上通过,且第三首歌获得媒体评审团三分之二票数以上通过,晋级到第二轮；假设第二首歌,没有获得专业评审团三分之二票数通过,但第三首歌,媒体评审团全票通过,也同样晋级到第二轮,否那么淘汰.某名选手估计自己三首 歌通过的概率,4cos —),e e 2 =3如下表：假设晋级后面的歌就不需要唱了,求( 1)求该选手晋级唱歌首数之的分布列及数学期望；(2)求该选手晋级概率.18.(本小题总分值12 分)设f (x) = ln(1 + x)—x—ax2.(1)当x=1时,f(x)取到极值,求a的值.1 1 ............................(2)当a满足什么条件时, f(x)在区间［—-,--］有单调递增区间.2 319.(本小题总分值12分)如图民多面体ABC—A1B1C1和它的三视图.(1)线段CC1上是否存在一点巳使BE,平面A1CC1,假设不存在请说明理由,假设存在请找出并证实；(2)求平面C1A1C与平面A1CA夹角的余弦值.20.(本小题总分值14 分)点M(—1,0), N(1,0),动点P(x,y)满足：|PM |+|PN |=2,3,(1)求P的轨迹C的方程；(是否存在过点N(1,0)的直线l与曲线C相交于A , B两点,并且曲线C存在点Q,使四边形OAQB为平行四边形？假设存在,求出直线l的方程；假设不存在,说明理由.21.(本小题总分值14分)设正项数列｛a n｝的前项和是S n,假设｛a n｝和｛底｝都是等差数列,且公差相等,求｛a n｝的通项公式；(2 )假设a1,a2,a 3恰为等比数列｛b n｝的前三项,记数列24bC n = ---------------- n—,数歹U{c n}的前n项和为T n ,求证：对任意nW N*,者B有T n <2.(12b n -1)参考答案一、选择题 (本大题共10题,每题 5分,共50分) 题目 1 2 3 4 5 答案 C D C A B 二、填空题 (本大题共4小题,每题5,共20分)11. 2 12.5二 3 5：713.—三、选做题 (此题共 5分)257 8 9 D D C 14. 0,210 C四、解做题(本大题共 6小题,共75分)A 2AA A A 16.解：(1)由于 f (A) =cosA+cos —=2cos —+cos —-1 =(2cos ——1)(cos-+1). .......................................... 2 分 2 2 2 2 2A . 一 一 一 一A 1 由于 0 < A ,那么 cos — +1 >0.由 f (A) >0 ,得 cos — >-,222所以 0< 一 < 一 即 0<A< ............................................................................................................... 4 分 2 3 32 二一 2二2二 所以当A = (0,——)时,f(A)为增函数；当AJ ——,n)时,f (A)为减函数.故A O = ——3 33f(A)取极大值f (A 0) = f (―)=匹3 3 2⑵由A BAC = —1 知 bc =2而 a =出 +c 2 +bc 之"3bc =\Z6 , .................................................................. 当且仅当b=c=J2时,BC 边长的最小值为 爬 .................17.解：(1) E=1,3.P(X = 1)= 0.田占=(=3) 08分 10分 12分6分15.①4拒②(q,」]U[3,/)6 B (2)设该选手第一首歌专业评审团全票通过晋级到第二轮的事件为A,第二首歌三分之二以上专业 评审团通过且第三首歌三分之二以上媒体评审团通过晋级到第二轮、第二首歌不到三分之二专业评审团通过且第三首歌媒体评审团全票通过晋级到第二轮的事件分别为B 、C .那么(i)P(A) =0.2, ............................................................................................................... 7 分(ii)P(B) =(1-0.2)父0.5父0.8 =0.32, ............................................................................................ 9 分 (iii )P(C) =(1—0.2)父(1—0.5)M0.4=0.16 ............................................................................... 11 分 .•・该选手晋级的概率为： P 2 =P(A)+P(B)十P(C) = 0.68 ........................................................ 12分18.解：(1) f(x)的定义域为(—1,收),1 2ax -(2a 1)xf '(x): ---------- _2ax-1 ; ------------------ - ........... —1 x 1 x1 由题意得：f'(1)=0,那么 二a —2a —1 = 0,得 a = —1 4p1,又a = _一时,4当0 <x <1时,1 f'(x) = 2：x(x —1)=2 ,1 x所以f(1)是函数 f '(x) <0 ,当 x >1时,f(x)的极大值,所以a'(x)>0, 1—；.…41 1⑵ 要使的f(x)在区间［—―,-一］有单调递增区间,即要求2 3 …、八.11,f '(x) >0在区间［——,--］有解,当2 32①当1 ,, 一,§ 时 f '(x)>0 等价于 2ax+(2a +1)>0.=0时,不等式恒成立;②当 A0时得x ③当 <0时得x 2a 综上所述,a •(」,；)••2a 1 A- ------- ,此时只要2a 2a 1 <- ------ ,此时只要12分 2a 1 2a 2a 1 2a 1 3< 一一,解得 a >3 4 1 … ,> 一一,解得 a > -1 10分 11分19.证实：由(1)知AAABAC 两,垂直,如图建系,BC = 2J5,那么A0 %-2,0),G(-七1,2) , CC I =(-1,1,2)AG=(-1,-1,0),AC=(0,-2,1). ....................................................................................设 E(x,y,z),那么 CE =(x,y+2,z), E C 1 = (—1 — x,—1 — y,2 — z),A (0,0,2) ,B(-2,0,0),*2x 一一’ - ' x y 2 — —1 — 1 y |z =2= /z-'-2 - ' 2 ■■■ ■ 一那么 E(H ,：—,丁),BE=( 1 1 1 1 1 1由 BE AC =0< __ h ___ ■ B E AC =02十尢十2十九 -1+1 —2 —九十 2九二0 ,得九=2 二0所以线段CC I 上存在一点E , CE =2EG,使BE _L 平面ACC 1 另证：补形成正方体,易证 CE : EC 1 =2:1 ⑵设平面ACQ 的法向量为m = (x,y,z),那么由 m AC I =0-x- y = 0r ,得?取 x =1 ,那么 y = -1, z =1.故 m = (1, —1,1),1分3分4分显然 cos Z MPN 1 ,假设 cos/MPN =1 ,那么 P(±V3,0) 否那么,P,M,N 构成三角形,在 APMN 中,(PM +PN )2=12,即 PM +PN|=25/322所以P 的轨迹C 的方程为—+-y- =1……32(2)设A(x 1,y 1)、B(x 2,y-,由题意知l 的斜率一定不为0,故不妨设l :x = my + 1,代入椭圆方程 整理得(2m 2+3)y 2 +4my —4 = 0,显然 0 >0. 那么 y + y 2 = -------42m- , y 1y 2 = ---------- 4—— 2m 2 3 2m 2 3假设存在点Q,使得四边形OAQB 为平行四边形,其充要条件为 OQ=OA+OB,那么点Q 的坐标为22,、 (x x2)(y V 2)(x 1 +乂2»+丫2).由点 Q 在椭圆上,即」一 j(y 1 y 2) =1. 3 2整理得 2x ； 3y l 2 2x 22 3V2 44x 2 6y l y 2 =6. ...................................................................................... 又 A 、B 在椭圆上,即 Zx,+BySna 2x 22+3y 22=6.故 2x 1x 2+3y 1y 2= —3 ……②将x 1x 2 =(my i +1)(my 2 +1) =m 2y 1 y 2 +m(y [ +y 2) +1 代入由①②解得 m = .即直线l 的方程是：x = ±-y +1,即2x ±J 2y —2=02d =工,2 2n -1(3n -1)2(3n -1)(3n -3) - (3n -1)(3n " -1) - 3n4 -1 3n -13 2 32 2 3n 3 1当 n"时,T n =3+^r A T +HI +^r J -T^3+(I -2 (3 -1) (3 -1) 2 221.解：设｛a n ｝的公差为d ,那么J S T = Jdn,且 a-a 2 2=0 ............ 2 分(2)易知b n1 =—3 42 3n2 3n 2 3n42 3n 弓二(3n -1)21 7分.而平面A 1AC 的一个法向量为n = (1,0,0),那么' 3 m n 1 cos；：,ml, n * =^= mn 」353 ........ 11 分 飞3平面GAC 与平面ACA 夹角的余弦值为 、3312分20.解：(1)由 PM LPN| =1 cos. MPN得 PM [_PN|cos/MPN =4-PM 」PN4 = MN2=PM ,2+ PN -2PML PN cosZMPN =|PM 2 +| PN 2-2(4 - PM JPN|)10分13分, 2d 1a [二一二一a n 32 -1nr(3n」-1 3n -1 )=23n -114分.且工=3 <；2故对任意n^N , T n <2 ..............................................................................2。
江西省南昌市2019届高三三模数学(文)试题(扫描版,含解析)
— 高三文科数学(三模)第1页(共4页) —NCS20190607项目第三次模拟测试卷文科数学本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水笔写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回．一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合0|2 x x x A ， 2|21x B x ，则()A B RA.[1,2)B.(0,1)C.(1,2)D.[0,1] 1．D 【解析】由20x x 得0x 或1x ，所以[0,1]A R ，由2e1x 得2 x ， 所以)2,( B ， 所以()[0,1]A B R .2. 已知复数(i)(32i)z a (R)a 的实部为1 ，则其虚部为 A.73B.7i 3C.5D.5i 2.C 【解析】(i)(32i)(32)(23)i z a a a ，所以123 a ，解得1 a ， 所以复数z 的虚部为53)1(2 ．3.已知等差数列 n a 的前9项和为45，13 a ，则7aA. 11B. 10C. 9D. 8 3. A 【解析】设 n a 的前9项和为9S ，则45959 a S ，所以55 a ，所以11)1(102357 a a a ．4. 若tan()26，则2tan(23等于 A．2 B ．43C．2 D ．43— 高三文科数学(三模)第2页(共4页) —D111Q PD 1C 1B 1A 14.B 【解析】22tan()246tan(2)tan(2)3331tan (6． 5．已知直线:0l x 与圆22:(1)1C x y相交于,O A 两点，O 为坐标原点，则COA 的面积为A.4B. 2C. D.5. A 【解析】注意到直线l ，圆C 均过原点，通过图形观察可知 COB 为等边三角形，所以2144COB S，故选A . 6.对具有相关关系的两个变量,x y ，收集了n 组数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，根据最小二乘法得到线性回归方程y bx a ，则下列说法一定正确的是 A ．{1,2,3,,}i n ，都有i i y bx a B ．{1,2,3,,}i n ，使得i i y bx a C ．{1,2,3,,}i n ，都有i i y bx a D ．{1,2,3,,}i n ，使得i i y bx a 6.D 【解析】最小二乘法是根据21()niii y bx a 最小来确定,b a ，有可能这n 个点都不在回归直线上，所以A ，B 错误，这n 个点不可能都在回归直线下方，一定存在点在直线上或直线上方，所以选D ．7.设1213214,log ,log 23a b c，则,,a b c 的大小关系是 A .a b c B.a c b C.c a b D. c b a7．B 【解析】首先2311,log 31,log 212a b c ，故b 最大；其次31log 2a c ，即a cb ，故选B .8．如图，长方体1111ABCD A B C D 中，12,3AA AB BC ,点P 在线段11B D 上，BA的方向为正（主）视方向，当AP 最短时，棱锥11P AA B B 的左(侧)视图为8．B 【解析】如图，依题意可知，若AP 最短时，则11AP B D ， 又因为12,3AA AB BC ，所以1B P— 高三文科数学(三模)第3页(共4页) —得111111413B PC Q BD C D ，故选B .9. 如图所示框图，若输入3个不同的实数x ，输出的y 值相同，则此输出结果y 可能是 A.12B. 1C. 4D. 29. A 【解析】该程序框图是求分段函数243,03,0x x x y x x 的函数值，此函数图像如图所示：当13y 时x 有三个值，故选A .10. 若直线kx y 与曲线xx y 122相切，则 k A.1 B. 1 C. 2 D. 310. D 【解析】设切点为)12,(0200x x x ， 由x x y 122 得，214xx y ，所以曲线在该点处的切线方程为))(14()12(0200020x x x x x x y ，又切线过原点， 所以0200201412x x x x ，解得10 x ， 所以3 k .11．已知抛物线2:4C y x ，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ,当PFQ 周长为12时，PFQ 的面积为A.B .C .D .11．C 【解析】设00(,)P x y ，则200:4C y x ，根据定义01PF PQ x，QF，依题意02112x ，解得03x ，所以314PQ PF，0y011422PFQ S PQ y，故选C ． 12．如图，一个正四棱锥D C AB P 111 和一个正三棱锥S C B P 222 ，所有棱长都相等，F 为棱11C B— 高三文科数学(三模)第4页(共4页) —的中点，将21,P P 、21,B B 、21,C C 分别对应重合 为C B P ,,，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①AD SP ；②AD SF ；③//AB SP ，其中错误的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 12. A 【解析】由于正四棱锥111P AB C D 和一个正三棱锥222P B C S ，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：P 点对应正四棱锥的上底面中心1O ，S 点对应另一正四棱锥的上底面中心2O ，由图形可知拼成一个三棱柱，设E 为AD 的中点，由此可知AD SP ，又因为AD 平面PEFS ，所以AD SF ，因为//EF SP ，//EF AB ，所以//AB SP .二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13. 已知向量)2,1(),1,2( b a ，则 |2|b a ．13.5【解析】由已知得，)5,0()4,2()1,2(2 b a ，所以5|2| b a ．14. 若y x ,满足约束条件,074,0432,03y x y x y x 则y x z 2的最小值为 ．14.4【解析】画出可行域如图阴影部分，当直线y x z 2经过点A 时，z 取得最小值. 由 03,0432y x y x 得，)2,1(A . 所以y x z 2的最小值为4.15. 已知函数1)3π2cos()(x x f ，若存在)π,2π( ，使2)()( x f x f 对一切实数x 恒成立，则 ． 15.11π12【解析】依题设，函数)(x f 的图像关于点)1,( 中心对称，由2ππ3π2 k x 得6π52π k x ，Z k ，所以函数1)3π2cos()( x x f 的图像关于点))(1,6π52π(Z k k 对称．— 高三文科数学(三模)第5页(共4页) —又因为)π,2π( ，所以12π11 .16.已知等差数列{}n a 的前n 项和21n S n a ，若存在正整数,m k 使得a a a a k m ,24,成等比数列，则m k a a 的最大值与最小值的和为 .16.334【解析】当2n 时，121 n S S a n n n ，而a a 1也满足此通项公式，故1a ，即2,24,2m k 成等比数列，从而144 mk ，所以max max ()[2()2]288m k a a m k ，当且仅当1,144m k 或144,1m k 时等号成立；min min ()[2()2]46m k a a m k ，当且仅当,m k 都等于12m k 时取最小值，所以m k a a 的最大值与最小值的和为334.三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，扇形O A B 的半径为2，圆心角为3π2，点M 是弧AB 上异于B A ,的点.（Ⅰ）若点)0,1(C ，且2 CM ，求点M 的横坐标；（Ⅱ）求MAB 面积的最大值.17．【解析】（Ⅰ）连接OM ，依题设，在OCM 中，2,2,1OM CM OC ，所以43122)2(12cos 222 COM ， ………………3分所以点M 的横坐标为23432 . ………………6分（Ⅱ）设)3π2,0(, AOM ，则 3π2BOM ，OAB OBM OAM MAB S S S S 232221)]3π2sin([sin 22213)6πsin(32 ， ………………9分因为3π2,0( ，所以6π5,6π(6π ，所以当3π时，MAB 面积最大，且最大值为3. ………………12分— 高三文科数学(三模)第6页(共4页) —18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是梯形，CD AB //，AD BA ，121CD AD AB ，BDEF 是菱形，DF BD ，平面 BDEF 平面ABCD . （Ⅰ）求证：DF BC ；（Ⅱ）过点B 作一平面 与平面ADE 平行，设,DC MEC N ，求三棱锥D MNB 的体积. 18．【解析】（Ⅰ）证明：如图，取CD 的中点M ， 连接BM ，则CD BM .由已知可得，2,2,2,1,1 CD BD BC CM BM ，所以222CD BD BC ，所以BD CB ， ………………3分 又因为平面 BDEF 平面ABCD ，且平面 BDEF 平面BD ABCD ，所以 CB 平面BDEF ， 又 DF 平面BDEF ，所以DF BC . ………………6分（Ⅱ）如图，因为平面// 平面ADE ，所以//.//AD BM DE MN ，又因为//AB DM ，所以1DM AB ，所以点M 是DC 的中点，又CDE 中，//,MN DE M 是DC 的中点，所以点N 是EC 的中点， ………………8分因此1122D MNB N DMBE DMBF DMB V V V V， 设BD 的中点为O ，因为DF DB BF ，所以FO DB ,又因为平面 BDEF 平面ABCD ，所以FO 平面ABCD ， ………………10分所以11111=22362224D MNB F DMB BDM V V FO S . ………………12分19．（本小题满分12分）某校高三文科（1）班共有学生45人，其中男生15人，女生30人.在一次地理考试后，对成绩作了数据分析（满分100分），成绩为85分以上的同学称为“地理之星”，得到了如下图表：如果从全班45人中任意抽取1人，抽到 “地理之星”的概率为13. （Ⅰ）完成“地理之星”与性别的22 列联表，并回答是否有90%以上的把握认为获得“地— 高三文科数学(三模)第7页(共4页) —理之星”与“性别”有关？（Ⅱ）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90，方差为7.2，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由.（得分均为整数分）参考公式：22n ad bc K a b c d a c b d ，其中n a b c d .临界值表：19．【解析】（Ⅰ）易知“地理之星”总人数为14515人，得到22 列联表： ………………4分则 224572288 1.8 2.70615301530K ，所以没有90%的把握可以认为获得“地理之星”与“性别”有关. ………………6分 （Ⅱ）没有得满分的同学. 记各个分值由高到低分别为1215,x x x ，则（1）若有两个以上的满分， 则22222315140[(10090)(10090)(90)(90)]7.2153s x x， 不合题意； ………………8分（2）若恰有一个满分，为使方差最小，则其它分值需集中分布于平均数90的附近，且为保证平均值为90，则有10个得分为89，其余4个得分为90，此时方差取得最小值…10分2222min 122[(10090)4(9090)10(8990)]7.2153s，与题意方差为7.2不符，所以这些同学中没有得满分的同学． ………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上一点，以1PF 为直径的圆229:(22E x y 过点2F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率大于0的直线1l 与圆E 的另一个交点为A ，与直线4x 的交点为B ，过点P 且与1l 垂直的直线2l 与直线4x 交于点D ，求ABD 面积的最小值.— 高三文科数学(三模)第8页(共4页) —20. 【解析】（Ⅰ）在圆E 的方程中，令0y ，得24x ，所以12(2,0),(2,0)F F… 2分又因为21//2OE F P，所以P点坐标为，所以122||||2a PF PF a b ，因此椭圆C 的方程为：22184x y . ……………………5分（Ⅱ）设直线1:(2)(0)l y k x k ，所以点B的坐标为2)k ……6分 将直线1l 的方程代入圆E的方程得到：2222(1)4)440k x k x k ，所以22221A k x k ， ………………………………7分直线2l的方程为：1(2)y x k，所以点D坐标为2(4k，所以2211262(4)|||2|221ABDA B D k S x y y k k k (10)分 6=2k k62k k即k 时取等号， 综上，ABD面积的最小值是12分21. （本小题满分12分）已知函数()ex kxf x(,0)k k R （e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1k ，0x 时，若2()()0f x f x ax 恒成立，求实数a 的取值范围.21. 【解析】（Ⅰ）因为(1)()e xk x f x， 若0k ，当(,1)x 时，()0f x ，函数()f x 递增；当(1,)x 时，()0f x ，函数()f x 递减； ………………2分若0k ，当(,1)x 时，()0f x ，函数()f x 递减；当(1,)x 时，()0f x ，函数()f x 递增； ………………4分（Ⅱ）当1k ，0x 时，2()()0f x f x ax 等价于2e e 0x x x x ax ， 当0x 时，a R ；— 高三文科数学(三模)第9页(共4页) —当0x 时，得e e x x ax ，设()e e x x g x ax ，则()0g x 恒成立，()e x x g x e a ，若2a ，则()e 20x x g x e a a ，函数()g x 单调递增，()g(0)0g x ，2a 符合题意； ………………8分若2a ，令()e 0x x g x e a ，即2(e )e 10x x a ( )，存在00x x，使得e 12x a ，即0ln 2a x 为方程( )的解，所以当0(0,)x x 时，()0g x ，函数()g x 单调递减，当0(,)x x 时，函数()g x 单调递增；而(0)0g ，所以必存在0(0,)x x ，()0g x ，则与()0g x 恒成立矛盾. 所以2a 不合舍去.综上可知，2a . ………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin 21,cos 22y x （ 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l cos sin 10 . （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点M 的直角坐标为)0,1( ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||MA MB 的值. 22．【解析】（Ⅰ）由参数方程sin 21,cos 22y x ，得曲线C 的普通方程22(2)(1)4x y .因为直线:l cos sin 10 ， sin ,cos y x ， 所以直线l 的直角坐标方程为013 y x .（Ⅱ）设点,A B 对应的参数分别为1t 、2t ，因为点)0,1( M 在直线l 上，所以直线l 的参数方程可写为ty t x 21,231（t 为参数），将其代入22(2)(1)4x y 得，06)133(2 t t ，所以06,01332121 t t t t ， 所以21,t t 均大于0. 所以133||||21 t t MB MA .— 高三文科数学(三模)第10页(共4页) —23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|,()|1||32|.f x x a x g x x x （Ⅰ）若()2f x 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，使得等式12()()f x g x 成立，求实数a 的取值范围. 23.【解析】（Ⅰ）因为()|2||21||1|f x x a x a ，所以)(x f 的最小值为|1| a . 由已知|1|2a ，解得1a 或 3.a所以实数a 的取值范围是(,3][1,) . ………………………………5分（Ⅱ）()f x 的值域为[|1|,)a ，23,12()41,13223,3x x g x x x x x，故()g x 的值域为5(,]3， ………………………………7分依题意5[|1|,)(,]3a ，从而582|1|.333a a所以实数a 的取值范围是32,38[ . ………………………………10分。
江西省南昌市2019届高三上学期调研测试卷(数学文).doc
江西省南昌市 2019 届高三上学期调研测试卷（数学文）数 学 (文科 )本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷 1 至 2 页，第 II 卷 3 至 4页，共 150 分． 第 I 卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目 ”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第 I 卷每小题选出答案后，用 2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A ，B互斥，那么球 的 表 面积公式P( A B) P( A) P( B)S 4πR 2如果事件A ，B相互独立，那么其中 R 表示球的半径P( A B) P( A) P( B)球 的 体 积公式如果事件 A 在一次试验中发生的概率是P ，V 4 πR 33那么 n次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径P ( k )C k p k (1p ) n knn一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 . 1．已知集合A { x | yln x} ，集合 B{2, 1,1,2} ，则 ABA ． (1,2)B ． {1,2}C ．{1, 2}D ． (0,)5i 2．已知复数 z 的实部为 1 ，虚部为 ，则 z =2A ．2 iB ．2 iC ．2 iD ．2 i3． 若函数 f ( x) x 2 ax(a R ) ，则下列结论正确的是A ．存在 a ∈ R ， f x 是偶函数B ．存在 a ∈ R ， f x是 奇函数C ．对于任意的 a ∈R ， f x在 (0,＋∞)上是增函数D ．对于任意的 a ∈ R ， f x在(0,＋∞)上是减函数 4．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为 1 的正方形，俯视图是一个直径为 1 的圆， 那么这个几何体的体积为3A ． 2B ．2 C ．3 D ．4S 3 S 215．已知数列{ a n }的前 n 项和为S n，且满足 3{ a n } 的公差是 2，，则数列 1A ．2 B ．1C ．2D ．36．若下框图所给的程序运行结果为 S=20，那么判断框中应填入的关于k的条件是A ．k 9B ．k 8C ．k 8D ．k 8]π7 ．已知函数 y Asin( x) m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2 ，直线πx3 是 其图象的一条对称轴，则符合条件的函数解析式是y 4sin 4x π y 2sin 2 x π6 2A. B. 3y 2sin 4x π y 2sin 4x π2 2C. 3D.6f xa 2 x1, x ≤1,8．已知函数 log a x,x1.若 f x 在,上单调递增，则实数 a的 取值范围为A ． 1,2B ． 2,3C ． 2,3D ．2,9．直线 l 过抛物线y 22px ( p0)的焦点，且与抛物线的交于A 、B 两点，若线段 AB的长是 8， AB 的中点到y轴的距离是 2，则此抛物线方程是A ． y 212xB ． y 28xC ． y 26 xD ． y 2 4x10．如图，在透明塑料制成的长方体 ABCD — A1B1C1D1 容器内灌进一些水，将容器底面一边 BC 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形 EFGH 的面积不改变； ③棱 A1D1 始终与水面 EFGH 平行；④当 E AA 1 时， AE BF 是定值 .其中正确说法是A ． ①②③B ．①③C ．①②③④D ．①③④二．填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．把答案填写在题中横线上．x 2911．函数 f(x)=log 2(x 1)的定义域为 _________.x 1y 0 12．已知 O 为坐标原点，点M (3,2)，若N ( x, y)满足不等式组xy 4，则 OM ON的最大值为 __________.13．已知正三棱柱 ABC A 1B 1C1 的所有棱长都等于6，且各顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学(文)试卷(有答案)
NCS20190607项目第一次模拟测试卷文科数学NCS20190607项目第一次模拟测试文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合13． 14.15. 16. 三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解析】（Ⅰ）由已知，又，所以，所以 ………3分由，即，所以，， 解得，，而，所以. ………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，， 令得或，， 所以或，由图可知， . ………8分 所以，所以， ………10分 所以. ……………………………………………12分18．【解析】（Ⅰ）证明：因为底面，所以.因为底面是菱形，所以.………2分又，所以平面.又由四棱台知，四点共面.所以. ………6分（Ⅱ）由已知，得， 又因为， 所以. ………………………………………………………………12分 4-799(,]16-?3sin 2)0(==ϕf 2||πϕ<3πϕ=)3sin(2)(πω+=x x f (2)0f =2sin(2)03πω+=23k πωπ+=k Z ∈26kπωπ=-k Z ∈02πω<<3πω=)33sin(2)(ππ+=x x f ()f x =2333x k ππππ+=+22333x k ππππ+=+Z k ∈6x k =61x k =+(1B )3,1(),3,2(-=-=2||,7|==CA 1475725||||cos ===∠CB CA ACB ⊥1CC ABCD BD CC ⊥1ABCD AC BD ⊥C CC AC =1 ⊥BD 1ACC 1111D C B A ABCD -11,,,C C A A 1AA BD ⊥1111111111112121C B A C C B A B C B A E E C A B V V V V ----===334432sin 221313*********=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆-πAA S V C B A C B A C 332111=-E C A B V19．【解析】（Ⅰ）由图可知，各组中值依次为， 对应的频率依次为， 故型节能灯的平均使用寿命为小时. ………4分（Ⅱ）由图可知，使用寿命不超过小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，故估计一年内支型节能灯需更换的支数为. ………7分（Ⅲ）若选择型节能灯，一年共需花费元；…9分若选择型节能灯，一年共需花费元 .…11分因为，所以该商家应选择型节能灯.20．【解析】（Ⅰ）椭圆与圆：相切，知； ……………………………2分又椭圆上动点与圆，即椭圆中心得椭圆长半轴长，即；所以轨迹的方程为. ……………………………………………………………5分 （Ⅱ）①当与轴重合时，与圆相切，不合题意. ②当轴时，，，，此时.…6分 ③当的斜率存在且不为时，设，，则， 设，由得，， 所以， ……………8分 所以. 由得，，解得， …………9分 所以， 所以 3700,3500,3300,31002.0,4.0,3.0,1.0B 34402.037004.035003.033001.03100=⨯+⨯+⨯+⨯36008.08.05B 48.05=⨯A 3512036005200.7510870-⨯+⨯⨯⨯⨯=B5.9671075.0555360025)45(3=⨯⨯⨯⨯+⨯+-967.5820>A E O 221x y +=21b =E O O a =232a =E 22213x y +=1l x 2l x l ⊥1)0,1(-M 1:1=x l3||=AB 332233221=⨯⨯=∆ABM S 1l 01:1+=my xl 0≠m 11:2+-=y mx l ),(),,(2211y x B y x A 221,213x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(23)410m y my ++-=12122241,2323m y y y y m m +=-=-++21|||AB y y =-=⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1,1122y x y m x 02)11(22=-+y m y m 122+=m m y M |||M MN y ==11||||22ABM S AB MN ∆==， ……………10分，当且仅当时取等号. 所以. 综上，面积的最大值为，此时直线的方程为.……………12分21．【解析】（Ⅰ），……………2分 由已知，有，即，解得. ……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，则 令，则恒成立，…………7分 所以在上单调递减，又因为，， 所以存在唯一的，使得，且当时，，即， 当时，，即. ……………10分 所以在上单调递增，在上单调递减.又因为当时，，，，， 所以存在或，使得在上有唯一零点. ……………12分22．【解析】（Ⅰ）由参数方程，得普通方程， 所以极坐标方程. ……………5分（Ⅱ）设点对应的参数分别为、，将代入得2223m ==+1>≥m =ABM S ∆≤ABM ∆21l 12x y =±+)1(ln e )(b x ax x x f x ++-='⎪⎩⎪⎨⎧='=2e )1(,2e )1(f f ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=2e )1e(,2e e a b b 21,1==b a )23(ln e )(+-=x x x f x )211(ln e )(++-='x x x x f x 211ln )(++-=x x x x g 01)(22<+--='x x x x g )(x g ),0(+∞021)1(>=g 012ln )2(<-=g )2,1(0∈x 0()0g x =),0(0x x ∈0)(>x g 0)(>'x f ),(0+∞∈x x 0)(<x g 0)(<'x f )(x f ),0(0x ),(0+∞x 0→x 0)(<x f 02e )1(>=f 0)212(ln e )2(2>-=f 0)e 25(e )(e <-=e f 0=k 2)(x f y =)1,(+k k ⎩⎨⎧+=+=θθsin 23cos 24y x 22(4)(3)4x y -+-=28cos 6sin 210r r q r q --+=,A B 1t 2t ⎩⎨⎧+=+=ty t x 31,222(4)(3)4x y -+-=， 所以， ……………8分直线（为参数）可化为， 所以. ……………10分23．【解析】（Ⅰ）因为， 所以. ……………5分（Ⅱ）由已知，， ①当时，等价于，即， 解得，所以； ……………7分 ②当时，等价于， 解得，所以. ……………9分 综上，实数的取值范围是. ……………10分 01)13(2=++-t t 121=t t ⎩⎨⎧+=+=t y t x l 31,2:t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=)2(231),2(212t y t x 1212|||||2||2|4||4MA MB t t t t ⋅===22()|||23||()(23)|f x x m x m xm x m =++--?---22()|23|(1)22f x m m m ≥++=++≥|12|2)2(2+++=m m f 21-≥m (2)16f £16322≤++m m 14)1(2≤+m 114114-≤≤--m 11421-≤≤-m 21-<m (2)16f £16122≤+-m m 53≤≤-m 213-<≤-m m ]114,3[--。
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学
江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}z x x x A ∈≤=,2|||，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+=R x x x B ,011|，则=⋂B C A R （ ）A ．(－1,2]B ．C ．{－1,0,1,2}D ．{0,1,2} 2. 若复数11i z i +=-，z 为z 的共轭复数，则()2017z = （ ） A. i B. i - C. 20172i - D. 20172i3. “5a =”是“直线4y x =+与圆22()(3)8x a y -+-=相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知数列{}n a 满足1*393,()n n a a n N +=⋅∈ 且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=（）A. 13- B. 3 C. 3- D. 135. F 是抛物线22y x =的焦点，A B 、是抛物线上的两点，8AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（ ）A. 4B. 92C. 72D.3 6. 在区间(0,4]内随机取两个数a b 、，则使得“命题‘x R ∀∈，不等式220x ax b ++>恒成立’为真命题”的概率为（ ）A.14B. 12C. 13D.347. 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a b 、分别为4，10，则输出的a 为 ( )A.0B.2C.4D.68. 已知函数()2sin 43sin 26x f x x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象与()g x 的图象关于直线12x π=对称，则()g x 的图象的一个对称中心可以为（ ） A. 06π⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 03π⎛⎫ ⎪⎝⎭， C. 04π⎛⎫ ⎪⎝⎭， D. 02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为 ( )A ．32πB ．6πC ．3πD ．24π 10. 若()x x ae e x f -+=为偶函数，则()e e x f 112+<-的解集为（ ） A.()2,∞- B.()+∞,2 C.()2,0 D.()()+∞⋃∞-,20,11. .抛物线px y C 2:2=)0(>p 的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若三角形OFM ∆的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为π36，则p 的值为（ ）2.A 4.B 6.C 8.D12. 设()f x 满足()4()f x f x +=，且当(]1,3x ∈-时，()215,114412,13x x fx x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎪--<≤⎩,若函数()()g x f x kx =-有且仅有五个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1(,26-B. 11(,)62C. 55(,)3216D. (42-- 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，则=______．正视图 侧视俯视图14．函数f（x）=e x（2x﹣1）在（0，f（0））处的切线方程为______．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为______．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，S m=19，S m+5=14，则m的值为______．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA ﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若，AC边上的中线，求△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 4146 46 47中位数进行比较，写出两个统计结论；（2）绿化部门分配这20株树苗的栽种任务，小王在株高大于40cm的5株树苗中随机的选种2株，则小王没有选到甲苗圃树苗的概率是多少？19．如图，在底面为梯形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD=CD=2，BC=4．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若PA=PB，且三棱锥D﹣PAC的体积为，求AP的长．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．21．设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分10分）24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1---5 CBDCC 6---10 DBCBC 11---12 DA二、填空题：本大题共4小题，每小题5分1，3，5．13．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，则=4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据正六边形的性质得出的模长和夹角，代入向量的数量积定义式计算．【解答】解：∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴AB=2，AD=4，∠BAD=60°，∴=4×2×cos60°=4．故答案为：4．14．函数f（x）=e x（2x﹣1）在（0，f（0））处的切线方程为y=x﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求得函数的导数，求得切线的斜率和切点，由斜截式方程即可得到所求方程．【解答】解：f（x）=e x（2x﹣1）的导数为f′（x）=（2x+1）e x，可得在（0，f（0））处的切线斜率为k=1，切点为（0，﹣1），函数f（x）=e x（2x﹣1）在（0，f（0））处的切线方程为y=x﹣1．故答案为：y=x﹣1．15．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣附近波动．经计算x i=11，y i=13，x i2=21，则实数b的值为．【考点】线性回归方程．【分析】求出各对应点的坐标，代人曲线方程，可以求出实数b的值．【解答】解：根据题意，把对应点的坐标代人曲线y=bx2﹣的方程，即y1=b﹣，y2=b﹣，…，y6=b﹣，∴y1+y2+…+y6=b（++…+）﹣×6；又y i=13，x i2=21，∴13=b×21﹣6×，解得b=．故答案为：．16．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3=3，S m=19，S m+5=14，则m的值为9．【考点】等差数列的前n项和．【分析】法一：设等差数列{a n}的公差为d，由等差数列通项公式和前n项公式列出方程组能求出m．法二：由a3=3，求出S5，从而得到，由此能求出m．【解答】解法一：设等差数列{a n}的公差为d，则由已知得（从上往下依为①，②，③）②﹣①得…④；③﹣①得…⑤④÷⑤得，解得m=9．解法二：由a3=3得，于是，所以，而，解得m=9．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA ﹣2sinA）cosC=0．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若，AC边上的中线，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由题意和和差角的三角函数公式可得tanC=2，再由同角三角函数基本关系可得；（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b2﹣4b+3=0，解方程分别由三角形的面积公式可得．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC，∵cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，又∵cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0，∴sinAsinC﹣2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴sinC﹣2cosC=0，∴tanC=2，由同角三角函数基本关系可得；（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理得BM2=BC2+CM2﹣2BC•CMcosC，代入数据可得b2﹣4b+3=0，解得b=1或b=3，当b=1时，△ABC的面积；当b=3时，△ABC的面积．18．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm）甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 4146 46 47中位数进行比较，写出两个统计结论；（2）绿化部门分配这20株树苗的栽种任务，小王在株高大于40cm的5株树苗中随机的选种2株，则小王没有选到甲苗圃树苗的概率是多少？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】（1）根据题意，做出茎叶图，计算甲、乙的平均数与中位数，比较可得答案；（2）由题意可得，在甲苗圃中有1棵株高大于40cm，乙苗圃中有4棵株高大于40cm，列举可得在这5株中任取2棵的情况，可得其情况数目与其中不含a的情况数目，由古典概型公式，计算可得答案．【解答】解：（1）画出茎叶图如下：①甲地树苗高度的平均数为28cm，乙地树苗高度的平均数为35cm，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数；②甲地树苗高度的中位数为27cm，乙地树苗高度的中位数为35.5cm；∴甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数；（2）根据题意，分析可得，在甲苗圃中有1棵株高大于40cm，乙苗圃中有4棵株高大于40cm，记甲苗圃这株苗为a，乙苗圃中4株苗分别为b、c、d、e，则任取两株共有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种情况，其中不含a的有6种bc、bd、be、cd、ce、de，∴小王没有选择到甲苗圃树苗的概率为=．19．如图，在底面为梯形的四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD=CD=2，BC=4．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）若PA=PB，且三棱锥D﹣PAC的体积为，求AP的长．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．（I）连结AC，由△ACD为等腰直角三角形可得AC=2，∠BCA=45°，【分析】利用余弦定理解出AB，根据勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，由面面垂直的性质得出AC⊥平面PAB，故AC⊥PB；（II）取AB中点G，连接PG，则PG⊥平面ABCD，于是，解出PG，利用勾股定理计算PA．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC，因为AD⊥DC，AD=DC=2，所以，因为AD∥BC，所以∠BCA=∠DAC=45°，在△ABC中，，BC=4，所以AB2=AC2+BC2﹣2AC•CBcos45°=8，即，所以AC2+AB2=BC2，所以AC⊥AB．因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，所以AC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，所以AC⊥PB．解：（Ⅱ）取AB中点G，连接PG，因为PA=PB，所以PG⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PG⊂平面PAB，所以PG⊥平面ABCD，所以，得PG=1，所以．20．若椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．（1）求椭圆的离心率；（2）过点C（﹣1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）由c+=3（c﹣），能够求出椭圆的离心率．（2）设直线l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，知2y2+y1=0，由，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，再利用韦达定理，结合题设条件，能够求出椭圆方程．【解答】解：（1）由题意知，c+=3（c﹣），…∴b=c，∴a2=2b2，…∴e===．…（2）设直线l：x=ky﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），∵，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①…由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，由，消去x，得（k2+2）y2﹣2ky+1﹣2b2=0，∴，…②，…③由①②知，，，…∵=，∴S=3•=3•≤3•=，…当且仅当|k|2=2，即k=时取等号，此时直线的方程为x=或x=．…又当|k|2=2时，=﹣=﹣1，∴由，得b2=，∴椭圆方程为．…21．设函数f（x）=（2x2﹣4ax）lnx+x2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以，由此即可求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（4x﹣4a）lnx+（2x﹣4a）+2x…=4（x﹣a）（lnx+1）（x＞0）…①当a≤0时，f（x）在上单调递减，上单调递增…②当时，f（x）在（0，a）、上单调递增，在上单调递减…③当时，f（x）在（0，+∞）单调递增…④当时，f（x）在，（a，+∞）上单调递增，在上单调递减…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以，对任意x≥1，有f（x）≥f（1）=1＞0符合题意…当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以…由条件知，a2（1﹣2lna）＞0，解得…综上可知，…[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．如图，在正△ABC中，点D、E分别在边BC，AC上，且BD=BC，CE=CA，AD，BE相交于点P．求证：（Ⅰ）四点P、D、C、E共圆；（Ⅱ）AP⊥CP．【考点】圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）由已知条件推导出△ABD≌△BCE，由此能证明四点P，D，C，E共圆．（II）连结DE，由正弦定理知∠CED=90°，由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，由此能证明AP⊥CP．【解答】证明：（I）在△ABC中，由BD=，CE=，知：△ABD≌△BCE，…∴∠ADB=∠BEC，即∠ADC+∠BEC=π．所以四点P，D，C，E共圆．…（II）如图，连结DE．在△CDE中，CD=2CE，∠ACD=60°，由正弦定理知∠CED=90°．…由四点P，D，C，E共圆知，∠DPC=∠DEC，所以AP⊥CP．…[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系中，已知曲线C1：=1（0＜a＜2），曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，Q是C2上的动点，P是线段OQ延长线上的一点，且P满足|OQ|•|OP|=4．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，化C2的方程为极坐标方程，并求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M、N分别是C1与C3上的动点，若|MN|的最小值为，求a的值．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ代入曲线C2，运用三角函数的恒等变换可得极坐标方程；设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），代入极坐标方程，化简整理可得所求点P的轨迹C3的方程；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），运用点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，可得最小值，解方程可得a的值．【解答】解：（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C2：x2+y2﹣x﹣y=0，即为ρ2﹣ρ（sinθ+cosθ）=0，可得C2的极坐标方程为，设Q（ρ'，θ），P（ρ，θ），则，由|OQ|•|OP|=4得ρ'•ρ=4，从而，即有ρ（sinθ+cosθ）=4，故C3的直角坐标方程为x+y=4；（Ⅱ）设M（acosθ，sinθ），则M到直线C3的距离，所以=，解得．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）24．设a、b为正实数，且+=2．（1）求a2+b2的最小值；（2）若（a﹣b）2≥4（ab）3，求ab的值．【考点】基本不等式．【分析】（1）根据基本不等式得出ab（a=b时等号成立），利用a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）求解即可．（2）根据+=2．∴a，代入得出（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3，即（2）2﹣4ab≥4（ab）3求解即可得出ab=1【解答】解：（1）∵a、b为正实数，且+=2．∴a、b为正实数，且+=2≥2（a=b时等号成立）．即ab（a=b时等号成立）∵a2+b2≥2ab=（a=b时等号成立）．∴a2+b2的最小值为1，（2）∵且+=2．∴a∵（a﹣b）2≥4（ab）3，∴（a+b）2﹣4ab≥4（ab）3即（2）2﹣4ab≥4（ab）3即（ab）2﹣2ab+1≤0，（ab﹣1）2≤0，∵a、b为正实数，∴ab=1。
2019年江西省南昌市高考数学一模试卷(文科)-教师用卷
2019年江西省南昌市高考数学一模试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的求法以及不等式的求解，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题先分别求出集合M和N，由此能求出．【解答】解：集合，，．故选B．2.已知复数，则A. B. C. D. 3【答案】A【解析】解：由，得．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.已知抛物线方程为，则其准线方程为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由抛物线方程为，可得抛物线的焦点在y轴负半轴上，则其准线方程为，，，，则抛物线的直线方程为．故选：C．直接由抛物线方程可得其准线方程．本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线直线方程的求法，是基础题．4.设函数，则的值为A. B. C. 0 D.【答案】D【解析】解：．故选：D．根据的解析式即可得出．考查分段函数的定义，已知函数求值的方法．5.已知平面向量，，，，则的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】C【解析】解：设平面向量，的夹角为平面向量，，，，则，故的最大值为3，故选：C．设平面向量，的夹角为，根据向量的数量积公式即可求出．本题考查的向量的数量积和向量的模，以及三角函数的性质，属于基础题．6.已知，是自然对数的底数，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：构造函数，，当时，，当时，，即在为增函数，在为减函数，又，所以，故选：A．构造函数，利用导数研究函数的单调性可得：在为增函数，在为减函数，再比较大小即可本题考查了构造函数，利用函数的单调性比较大小，属中档题．7.已知，x，，p：“”q：“”，若p是q的充分不必要条件，则实数r的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：知由p：“知p代表的点为以原点为圆心，r为半径的圆上和圆内的点；q代表的点是直线，，，围成的正方形内部和边界，因为p是q的充分不必要条件，所以圆的半径最大时为正方形内切圆，所以，故选：A．根据条件确定p，q，所代表的图形的大小，从而得到实数r的取值范围．本题考查了集合的包含关系与简易逻辑的联系，属于基础题．8.如图所示算法框图，当输入的x为1时，输出的结果为A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】解：当时，不成立，则，，不成立，，成立，，，成立，，成立，，，成立，，成立，，，成立，成立，，，不成立，输出，故选：C．根据程序框图，利用模拟验算法进行求解即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：语文数学英语必选，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式．今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，基本事件总数，他们选课相同的概率为，他们选课相同的概率为．故选：B．先求出基本事件总数，他们选课相同的概率为，由此能求出他们选课相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.函数的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，即函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D，，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性与图象对称性之间的关系，利用特殊值的对应性是否一致利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法是解决本题的关键．11.过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点P，且切点为T，已知O为坐标原点，M为线段的中点点在切点T 的右侧，若的周长为4a，则双曲线的渐近线的方程为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设，，由双曲线的定义可得，由MO为的中位线，可得，在直角三角形中，可得，，由题意可得，即，解得，，由直角三角形OMT可得，化为，可得双曲线的渐近线方程为，即为故选：B．设，，由双曲线的定义可得，运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理，求得m，n，再由勾股定理化简变形可得，即可得到所求双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查直角三角形的勾股定理和三角形的中位线定理，考查变形能力和运算能力，属于中档题．12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，，则此数列的前55项和为A. 4072B. 2026C. 4096D. 2048【答案】A【解析】解：n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，例如，系数分别为1，2，1，对应杨辉三角形的第3行，令，就可以求出该行的系数之和，第1行为，第2行为，第3行为，以此类推即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，则杨辉三角形的前n项和为，若去除所有的为1的项，则剩下的每一行的个数为1，2，3，4，，可以看成构成一个首项为1，公差为1的等差数列，则，可得当，去除两端的“1”可得，则此数列前55项的和为．故选：A．利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第行，然后令得到对应项的系数和，结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可．本题主要考查数列的求和，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数列、等差数列的求和公式是解决本题的关键，二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知为等差数列，若，，则______．【答案】【解析】解：方法一：为等差数列，，，，解得，，．方法二：，，，，，，故答案为：．方法一：利用等差数列的通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出．方法二，根据等差数列的性质，即可求出．本题考查等差数列中第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为______．【答案】【解析】解：过A向底面BCD做垂线，垂足为O，由正三棱锥知，底面为正三角形，O为三角形ABC的中心，所以，因为侧面为等腰直角三角形，所以侧棱，在中，有勾股定理所以．故答案为．由正三棱锥知，底面为正三角形，得OB长，在直角三角形OAB中得AO即为正三棱锥的高．本题考查正三棱锥的性质，属于简单题．15.已知锐角A满足方程，则______．【答案】【解析】解：锐角A满足方程，可得：，，，解得：，或舍去，．故答案为：．化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求，解得的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题考查了一元二次方程的解法，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．16.若对任意，函数总有零点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：若对任意，函数总有零点，则判别式在上恒成立，即，，，即当时，，取得最小值为，即，得，即实数a的取值范围是，故答案为：根据函数恒有零点，转化为判别式在上恒成立，利用参数分离法转化求最值即可．本题主要考查函数零点的应用，根据条件转化为不等式恒成立，利用参数分离法求函数的最值是解决本题的关键综合性较强，质量较高．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数的部分图象如图所示，，，并且轴．Ⅰ求和的值；Ⅱ求的值．【答案】解：Ⅰ由已知，又，所以，所以分由，即，所以，，解得，，而，所以分Ⅱ由Ⅰ知，，令，得或，，所以或，由图可知，分所以，所以，分所以分【解析】Ⅰ根据函数过A，C两点，代入进行求解即可．Ⅱ根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．18.如图，四棱台中，底面ABCD是菱形，底面ABCD，且，，E是棱的中点．Ⅰ求证：；Ⅱ求三棱锥的体积．【答案】证明：Ⅰ因为底面ABCD，所以．因为底面ABCD是菱形，所以．又，所以平面．又由四棱台，知，A，C，四点共面．所以．解：Ⅱ由已知，得，又因为，所以三棱锥的体积：．【解析】Ⅰ推导出，从而平面由此能证明．Ⅱ三棱锥的体积．本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5000小时，经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图频率分布直方图：某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年新店面只需安装该品牌节能灯5支同种型号即可正常营业经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装已知A型和B型节能灯每支的价格分别为120元、25元，当地商业电价为元千瓦时，假定该店面一年周转期的照明时间为3600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯管更换用频率估计概率Ⅰ根据频率直方图估算B型节能灯的平均使用寿命；Ⅱ根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为p，那么n支灯管估计需要更换np支若该商家新店面全部安装了B型节能灯，试估计一年内需更换的支数；Ⅲ若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由．【答案】解：Ⅰ由图可知，各组中值依次为3100，3300，3500，3700，对应的频率依次为，，，，故B型节能灯的平均使用寿命为：小时．Ⅱ由图可知，使用寿命不超过3600小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，故估计一年内5支B型节能灯需更换的支数为．Ⅲ若选择A型节能灯，一年共需花费元，若选择B型节能灯，一年共需花费元．因为，所以该商家应选择A型节能灯．【解析】Ⅰ根据频率直方图能估算B型节能灯的平均使用寿命．Ⅱ使用寿命不超过3600小时的频率为，将频率视为概率，每支灯管需要更换的概率为，由此能估计一年内5支B型节能灯需更换的支数．Ⅲ若选择A型节能灯，一年共需花费元，若选择B型节能灯，一年共需花费元从而该商家应选择A型节能灯．本题考查平均数、频数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力，考查数形结合思想，是基础题．20.如图，椭圆E：与圆O：相切，并且椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ过点作两条互相垂直的直线，，与E交于A，B两点，与圆O的另一交点为M，求面积的最大值，并求取得最大值时直线的方程．【答案】解：Ⅰ椭圆E与圆O：相切，知；分又椭圆E上动点与圆O上动点间距离最大值为，即椭圆中心O到椭圆最远距离为，得椭圆长半轴长，即；所以椭圆E的方程：分Ⅱ当与x轴重合时，与圆相切，不合题意．当轴时，，：，，此时分当的斜率存在且不为0时，设：，，则：，设，，由得，，所以，分所以．由得，，解得，分所以，所以，分因为，所以，当且仅当时取等号所以综上，面积的最大值为，此时直线的方程为分【解析】Ⅰ由题意可得，，即可得到椭圆的方程；Ⅱ设，，根据，可设直线，的方程，分别与椭圆、圆的方程联立即可得可得出、，即可得到三角形ABC的面积，利用基本不等式的性质即可得出其最大值．本题主要考查了椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，同时考查了推理能力和计算能力及分析问题和解决问题的能力21.已知函数为自然对数的底数，a，，直线是曲线在处的切线．Ⅰ求a，b的值；Ⅱ是否存在，使得在上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：Ⅰ的导数为，由已知，有，，解得，；Ⅱ由Ⅰ知，，则，令，则恒成立，所以在上单调递减，又因为，，所以存在唯一的，使得，且当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减．又因为当时，，，，，所以存在或2，使得在上有唯一零点．【解析】Ⅰ求得的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；Ⅱ求得的导数，设，求得导数，判断单调性，求得，的符号，判断的零点范围，可得的零点范围，即可得到所求k的值．本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求C的极坐标方程；Ⅱ设点M，直线l与曲线C相交于点A，B，求的值．【答案】解：Ⅰ由曲线C的参数方程为为参数，得普通方程，所以极坐标方程．Ⅱ设点A、B对应的参数分别为、，将直线l的参数方程为为参数，转换为单为参数，代入，得到：，所以：．则：．【解析】Ⅰ直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．Ⅱ利用直线的参数方程的转换，利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数．Ⅰ求证：；Ⅱ若不等式f，对于任意x恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：Ⅰ因为，所以分Ⅱ由已知，，当时，等价于，即，解得，所以；分当时，等价于，解得，所以分综上，实数m的取值范围是分【解析】Ⅰ根据绝对值不等式的性质证明即可；Ⅱ求出，通过讨论m的范围，得到关于m的不等式，解出即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查不等式的证明以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
江西省南昌市2019-2020学年高考数学五模考试卷含解析
江西省南昌市2019-2020学年高考数学五模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若向量(1,5),(2,1)a b ==-v v ，则(2)a a b ⋅+=vv v （ ）A ．30B ．31C ．32D ．33【答案】C 【解析】 【分析】先求出2a b +r r ,再与a r相乘即可求出答案.【详解】因为2(1,5)(4,2)(3,7)a b +=+-=-r r ,所以(2)35732a a b ⋅+=-+⨯=r r r.故选:C. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里 B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】 【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则61112378112a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a =，从而可得3241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=.故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．如图，点E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF//BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值 【答案】C 【解析】 【分析】采用逐一验证法，根据线线、线面之间的关系以及四面体的体积公式，可得结果. 【详解】 A 错误由EF ⊂平面AEC ，1BC //1AD 而1AD 与平面AEC 相交，故可知1BC 与平面AEC 相交，所以不存在EF//BC 1 B 错误，如图，作11B M BD ⊥由11,,AC BD AC BB BD BB B ⊥⊥⋂=又1,BD BB ⊂平面11BB D D ，所以AC ⊥平面11BB D D 又1B M ⊂平面11BB D D ，所以1B M AC ⊥由OE //1BD ，所以1B M OE ⊥AC OE O =I ，,AC OE ⊂平面AEC所以1B M ⊥平面AEC ，又AE ⊂平面AEC 所以1B M AE ⊥，所以存在 C 正确四面体EMAC 的体积为13M AEC AEC V S h -∆=⋅⋅ 其中h 为点M 到平面AEC 的距离，由OE //1BD ，OE ⊂平面AEC ，1BD ⊄平面AEC 所以1BD //平面AEC ，则点M 到平面AEC 的距离即点B 到平面AEC 的距离， 所以h 为定值，故四面体EMAC 的体积为定值D 错误由AC //11A C ，11A C ⊂平面11A C B ，AC ⊄平面11A C B 所以AC //平面11A C B ，则点F 到平面11A C B 的距离1h 即为点A 到平面11A C B 的距离， 所以1h 为定值所以四面体FA 1C 1B 的体积1111113F A C B A C B V S h -∆=⋅⋅为定值 故选：C 【点睛】本题考查线面、线线之间的关系，考验分析能力以及逻辑推理能力，熟练线面垂直与平行的判定定理以及性质定理，中档题.4．若复数()(1)2z i i =++（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【解析】 【分析】将z 整理成a bi +的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限. 【详解】解：221()()2313z i i i i i =++=++=+，所以z 所对应的点为()1,3在第一象限.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把2i 当成1进行计算. 5．设复数z 满足21z i z -=+，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2430x y --= B ．2430x y +-= C ．4230x y +-= D ．2430x y -+=【答案】B 【解析】 【分析】设z x yi =+，根据复数的几何意义得到x 、y 的关系式，即可得解； 【详解】 解：设z x yi =+∵|2||1|z i z -=+，∴2222(2)(1)x y x y +-=++，解得2430x y +-=. 故选：B 【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，属于基础题.6．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ）A ．12ω=B ．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数()f x ，在()0,π上是单调函数，确定 01ω<≤，然后一一验证， A.若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，由02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得34πϕ=，但13sin 8482πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫= ⎪⎭⎪⎝⎭⎝f .B.由8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，确定()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x ，再求解8f π⎛⎫-⎪⎝⎭验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算54f π⎛⎫⎪⎝⎭是否为0.因为函数()f x ，在()0,π上是单调函数， 所以2T ≥π ，即22ππω≥，所以 01ω<≤ ，若12ω=，则()12sin 2ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭f x x ，又因为02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即1sin 0222ππϕ⎛⎫⎛⎫⨯+= ⎪⎝=⎪⎝⎭⎭f ，解得34πϕ=，而13sin 84822πππ⎛⎫⨯+≠ ⎛⎫=⎪⎭⎪⎝⎭⎝f ，故A 错误. 由2sin 022πωπϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭f ，不妨令2ωπϕπ+= ，得2πωϕπ=-由sin 882ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，得 2+84ππωϕπ⨯+=k 或32+84ππωϕπ⨯+=k 当2+84ππωϕπ⨯+=k 时，2=23k πω+，不合题意. 当32+84ππωϕπ⨯+=k 时，22=33k πω+，此时()222sin 33π⎛⎫=+⎪⎝⎭f x x所以222272sin 2sin 2sin 8383383122ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-+=⨯-+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，故B 正确. 因为22,,0,2333ππππ⎡⎤⎡⎤∈--+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x x ，函数()f x ，在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增，故C 错误. 525232sin 2sin 043432f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯+==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用，还考查了运算求解的能力，属于较难的题.7．直线0(0)ax by ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D 【解析】 【分析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为d =222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．8．已知集合M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，N ＝{x|x （x+3）≤0}，则M∩N ＝（ ） A ．[﹣3，2） B ．（﹣3，2） C ．（﹣1，0] D ．（﹣1，0）【答案】C 【解析】 【分析】先化简N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}，再根据M ＝{x|﹣1＜x ＜2}，求两集合的交集. 【详解】因为N ＝{x|x （x+3）≤0}={x|-3≤x≤0}， 又因为M ＝{x|﹣1＜x ＜2}， 所以M∩N ＝{x|﹣1＜x≤0}. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A B C ．4- D ．2【答案】D 【解析】 【分析】推导出函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称，由题意得出()10f -=，进而可求得实数m 的值，并对m 的值进行检验，即可得出结果. 【详解】()()()221cos 138f x x m x m m =+-+++-Q ，则()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m -+=-++--++++-=-++-，()()()2222111cos 1138cos 38f x x m x m m x m x m m --=--+---+++-=-++-，()()11f x f x ∴-+=--，所以，函数()y f x =的图象关于直线1x =-对称.若函数()y f x =的零点不为1x =-，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，()10f -=，即2280m m +-=，解得4m =-或2.①当4m =-时，令()()()214cos 140f x x x =+-+-=，得()()24cos 141x x +=-+，作出函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象如下图所示：此时，函数()4cos 1y x =+与函数()241y x =-+的图象有三个交点，不合乎题意；②当2m =时，()cos 11x +≤Q ，()()()212cos 120f x x x ∴=+-++≥，当且仅当1x =-时，等号成立，则函数()y f x =有且只有一个零点. 综上所述，2m =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出()10f -=，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//A Q 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14B ．13C ．12 D ．23【答案】B【解析】 【分析】作出图形，设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，推导出11//B P C G ，由线面平行的性质定理可得出1//C G DF ，可得出点F 为11C D 的中点，同理可得出点E 为11A D 的中点，结合中位线的性质可求得11MD MB 的值. 【详解】 如下图所示：设平面α分别交11A D 、11C D 于点E 、F ，连接DE 、DF 、EF ，取CD 的中点G ，连接PG 、1C G ，连接11A C 交11B D 于点N ，Q 四边形ABCD 为正方形，P 、G 分别为AB 、CD 的中点，则//BP CG 且BP CG =，∴四边形BCGP 为平行四边形，//PG BC ∴且PG BC =，11//B C BC Q 且11B C BC =，11//PG B C ∴且11PG B C =，则四边形11B C GP 为平行四边形， 11//B P C G ∴，1//B P Q 平面α，则存在直线a ⊂平面α，使得1//B P a ，若1C G ⊂平面α，则G ∈平面α，又D ∈平面α，则CD ⊂平面α， 此时，平面α为平面11CDD C ，直线1A Q 不可能与平面α平行， 所以，1C G ⊄平面α，1//C G a ∴，1//C G ∴平面α，1C G ⊂Q 平面11CDD C ，平面11CDD C I 平面DF α=，1//DF C G ∴，1//C F DG Q ，所以，四边形1C GDF 为平行四边形，可得1111122C E DG CD C D ===，F ∴为11C D 的中点，同理可证E 为11A D 的中点，11B D EF M =Q I ，11111124MD D N B D ∴==，因此，1113MDMB=.故选：B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算，涉及线面平行性质的应用，解答的关键就是找出平面α与正方体各棱的交点位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83B．3 C．113D．4【答案】C【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，由柱体、椎体的体积公式进一步求出几何体的体积.【详解】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为由一个三棱柱体，切去一个三棱锥体，如图所示：故：111112221122323V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积、需熟记柱体、椎体的体积公式，考查了空间想象能力，属于基础题. 12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论： ①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④【答案】C 【解析】 【分析】①利用,x y 之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为,x y 的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据,x y 满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于4π. 【详解】①：当x 变为x -时， ()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y 轴对称；当y 变为y -时，()32222x yx y +=不变，所以四叶草图象关于x 轴对称；当y 变为x 时，()32222x yx y +=不变，所以四叶草图象关于y x =轴对称；当y 变为x -时，()32222x y x y +=不变，所以四叶草图象关于y x =-轴对称；综上可知：有四条对称轴，故正确；②：因为()32222x y x y +=，所以()222322222x y x yx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，所以2214x y +≤12≤，取等号时2218x y ==，所以最大距离为12，故错误；③：设任意一点(),P x y ，所以围成的矩形面积为xy ， 因为()32222x y x y +=，所以()()3322222x y x y xy =+≥，所以18xy ≤，取等号时x y ==，所以围成矩形面积的最大值为18，故正确；④：由②可知2214x y +≤，所以四叶草包含在圆2214x y +=的内部，因为圆的面积为：144S ππ=⋅=，所以四叶草的面积小于4π，故正确. 故选：C. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中,x y 去分析证明. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届江西省南昌市高三第一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
（Ⅰ）根据频率直方图估算 型节能灯的平均使用寿命； （Ⅱ）根据统计知识知，若一支灯管一年内需要更换的概率为 ，那么 支灯管估计需 要更换 支.若该商家新店面全部安装了 型节能灯，试估计一年内需更换的支数； （Ⅲ）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明 理由. 【答案】（Ⅰ）3440 小时；（Ⅱ）4；（Ⅲ）应选择 A 型节能灯. 【解析】（Ⅰ）由频率直方图即可得到平均使用寿命；（Ⅱ）根据题意即可得到一年内需 更换的支数；（Ⅲ）分别计算所花费用，即可作出判断. 【详解】
力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．已知抛物线方程为
，则其准线方程为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】利用抛物线方程直接求解准线方程即可．
【详解】
抛物线 x2＝-2y 的准线方程为：y ， 故选：C． 【点睛】 本题考查抛物线的简单性质的应用，熟记抛物线的简单几何性质是关键，是基本知识的 考查．
，
（1）求 和 的值；
（2）求
的值.
【答案】（1）
；（2） .
【解析】（1）根据函数过 A，C 两点，代入进行求解即可．（2）根据条件求出 B 的坐标，
利用向量法进行求解即可．
【详解】
（1）由已知
，
又
，所以 ，
所以
（3 分）
由
，即
，所以
，，
解得
， ，而
，所以 .
（2）由（Ⅰ）知，
，令
，
得
或
所以 x＝6k 或 x＝6k+1，由图可知，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查归纳推理的应用，结合杨辉三角形的系数与二项式系数的关系以及等比数
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2019届江西省南昌市高三复习模拟测试卷文科数学（五）本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．客观题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．主观题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．2．选做题为二选一，先在答题卡上把对应要选做的题目标号涂黑，没有选择作答无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回必做部分一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知R 为实数集，集合{|(,1)(1,0)(1,)}A x x =∈-∞--+∞，{}1|(1)()02B x x x =+->，则集合()R C A B 为A. {1}[0,1]-B. 1[0,]2C. 1[1,]2- D. 1{1}[0,]2- 2．在复平面内，复数z 的对应点坐标为(1,2)-，则复数2z 为A.3+4i -B.34i --C.54i -D. 5+4i 3.函数2()ln 3ln 2f x x x =-+的零点是A ．(,0)e 或2(,0)eB ．(1,0)或2(,0)eC ．2(,0)eD ．e 或2e 4.已知实数x 、y ，满足224x y +=，则xy 的取值范围是A ．2xy ≤B ．2xy ≥C ．4xy ≤D ．22xy -≤≤ 5．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为A ．15 B. 16 C. 24 D. 256．已知实数x 、y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为A.94 B. 274 C. 9 D. 272 7. “sin cos 122x x=+”是“sin 0x =”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8．如图，椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中心为O ，其离心率为2，则:ABF BFO S S ∆∆=A. (2:3B. 3):3C. (2:2D. 3):29．A 、B 、C 、D 四位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能带一大人和一小孩，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车概率是A.13 B. 12 C. 59 D. 2310．已知数列{}n a 中第15项15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且 1n n n a a b +=⋅，则1a =A.12B.1C.2D.411．如图，ABC ∆的一内角3A π=，||3AB =, ||2AC =,BC 边上中垂线DE 交BC 、AB 分别于D 、E 两点，则AC CE ⋅u u u r u u u r值为A.54B.74C.114- D.134-12. 已知函数()log ,()ln(1)log 4(1)a x f x x x g x x a a =+=--+>，若存在实数0x ，使得00()()f x g x =，则a =A.2B.3C.4D.5 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．已知函数2,(0)()2(2),(0)x x f x f x x +≤⎧=⎨->⎩ ，则(3)f = ．14．已知过抛物线22y x =-的焦点F ，且斜率为的直线与抛物线交于A 、B 两点，则||||||AF BF AB ⋅= ．15．网格纸上小正方形的边长为1，粗虚、实线画出的是某 个长方体挖去一个几何体得到的几何图形的三视图，则该被 挖去的几何体的体积为 ．16．数列{}n a 是公差为d 的等差数列，其前n 和为n S ，存在非零实数t ，对任意*n N ∈恒有(1)n n n S a n t a =+-⋅成立，则t 的值为 ．三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知()2sin(2)cos 26f x x a x π=++（a R ∈），其图象在3x π=取得最大值．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）当(0,)3πα∈，且6()5f α=，求sin 2α值． 18．（本小题满分12分）如图：直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形ABCD ，四棱锥P ABCD -的顶点P 在平面α上， AB ，AD =，AD DB ⊥， AC BD O =I ， //OP AQ ，2AQ =，M 、N 分别是AQ 与CD 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面QBC ； （Ⅱ）求三棱锥Q PBC -的体积．19．（本小题满分12分）中国海军，正在以不可阻挡的气魄向深蓝进军。
在中国海军加快建设的大背景下，国产水面舰艇吨位不断增大、技术日益现代化，特别是国产航空母舰下水，航母需要大量高素质航母舰载机飞行员。
为此中国海军在全国9省9所优质普通高中进行海航班建设试点培育航母舰载机飞行员。
2017年4月我省首届海军航空实验班开始面向全省遴选学员，有10000名初中毕业生踊跃报名投身国防，经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选，最终招收50名学员。
培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质，要求每月至少参加一次野营拉练活动（下面简称“活动”）并记录成绩．10月某次活动中海航班学员成绩统计如图所示： （Ⅰ）根据图表，试估算学员在活动中取得成绩的 中位数（精确到0.1）； （Ⅱ）根据成绩从[50,60)、[90,100)两组学员中任意选出两人为一组，若选出成绩分差大于10，则 称该组为“帮扶组”，试求选出两人为“帮扶组”的概率．20．（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线1l ：by x c =与椭圆相交于A 、B 两点，椭圆的上顶点E 与焦点2F 关于直线1l 对称，且2||EF =1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点． （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求四边形ACBD 面积的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ln f x x mx m n =-+-． （Ⅰ）当1m n ==时，求曲线()f x 经过原点的切线方程； （Ⅱ）若在0x >时，有()0f x ≤恒成立，求nm的最小值．选做部分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1+2cos 1+2sin x y θθ=⎧⎨=-⎩（θ为参数）.（Ⅰ）求曲线C 的普通方程；（Ⅱ）经过点(2,1)M -作直线l 交曲线C 于,A B 两点，若M 恰好为线段的三等分点，求直线l 的普通方程. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x a a =--++，()124g x x x =-++. （Ⅰ）解不等式|()|6g x <；（Ⅱ）若存在12x x R ∈、,使得12()()f x g x =成立, 求实数a 的取值范围. 、高三文科数学（五）选择填空详细解析1．D 【解析】由(,1)(1,0)(1,)A =-∞--+∞，1(,1)(,)2B =-∞-+∞，所以A B1(,1)(1,0)(,)2=-∞--+∞，所以 1(){1}[0,]2R C A B =-，故选D ．2．B 【解析】易知1+2z i =-，2214+434z i i i =-=--，故选B ．3.D 【解析】2()ln 3ln 2(ln 1)(ln 2)f x x x x x =-+=--，由()0f x =得x e =或2x e =，而函数零点指的是曲线与坐标横轴交点的横坐标，故选D.D 【解析】由2242||x y xy +=≥，知22xy -≤≤，故选D.5．B 【解析】进入循环， 当1i =时， 15<，i 为奇数，1S =；当2i =时，25<，i 为偶数，1+23S ==；当3i =时，35<，i 为奇数，3+58S ==；当4i =时，45<，i 为偶数，8+816S ==；当5i =时，55≥，结束循环，输出16S =.故选B ．6．B 【解析】满足约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，如图所示：可知14x ≤≤范围扩大，实际只有03x ≤≤，其平面区域 表示阴影部分一个三角形，其面积为1327(3)3224S =+⨯= 故选B ．7．A 【解析】由sincos 122x x =+，得sin cos 122x x -=，得2(sin cos )122x x -=，2sin cos 022x x-=， sin 0x =，但反之是2(sin cos )122x x -=，即sin cos 122x x =+或sin cos 122x x=-，故选A.8．B 【解析】由ABF ABO BFO S S S ∆∆∆=-，得:ABF BFO S S ∆∆=():ABO BFO BFO S S S ∆∆∆-():ab bc bc =-而c a =，所以:3):3ABF BFO S S ∆∆=，故选B ． 9．D 【解析】设A 、B 、C 、D 的小孩分别是a 、b 、c 、d ，共有坐车方式有(,,,)Ab Ba Cd Dc 、 (,,,)Ab Bd Ca Dc 、(,,,)Ab Bc Cd Da 、(,,,)Ac Ba Cd Db 、(,,,)Ac Bd Ca Db 、(,,,)Ac Bd Cb Da 、(,,,)Ad Ba Cb Dc 、(,,,)Ad Bc Ca Db 、(,,,)Ad Bc Cb Da ，则A 的小孩坐C 妈妈或D 妈妈的车有六种情况，其概率为23；另解，A 的小孩等概率坐B 妈妈或D 妈妈或C 妈妈车，故选D ．10．C 【解析】由212221421214log log log log 7b b b b b b +++=⋅⋅⋅=，得712142b b b ⋅⋅⋅=，又1n n n a a b +=⋅，即1n n n ab a +=，有1214b b b ⋅⋅⋅=315214121314a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅=815112a a a =，故12a =．11．C 【解析】如图，以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，由条件知(0,0)A 、(3,0)B(1C 、D ，(BC =-u u u r ，设(,0)E x ，得(2,DE x=-u u u r ，由垂直知(2,(0x -⋅-=，得54x =，即1(,4CE =u u u r ，111(,44AC CE ⋅=⋅=-u u u r u u u r ，故选C ．12. A 【解析】由已知00000,log ln(1)log 4,a x x x x x a ∃+=--+ 即00(log log )a x x a +00(ln(1)) 4.x x +--= 而01,1x a >> ，故00001log 0,log 0log log a x a a x a x x >=>⇒0+log 2x a ≥，设()l n (h x x x =--，容易求得当2x =时()h x 的最小值为2，0000(log log )(ln(1))4a x x a x x ∴++--≥， 当“=”成立的时候00log 12a x x =⎧⎨=⎩，故 2.a =13．4【解析】(3)2(1)4(1)4f f f ==-=．14．12【解析】由22y x =-知1p =，由焦点弦性质112+2||||AF BF p ==，而||||||AF BF AB ⋅= ||||1111||+||22+||||AF BF p AF BF AF BF ⋅===．15．12【解析】根据三视图知长方体挖去部分是一个底面为等腰梯形（上底为2，下底为4，高为2）高为2的直四棱柱，所以1(24)22122V Sh ==+⨯⨯=．16．1或12【解析】对0t ≠有(1)n n n S a n t a =+-⋅①，∴ 当2n ≥时，111(2)n n n S a n t a ---=+-⋅②，由①-②得：11(1)(2)n n n n n a a n t a a n t a --=+-⋅---⋅，得11(1)(1)(1)n n n n t a n t a t a ---⋅--⋅=-，即11(1)()(1)n n n n t a a t a ---⋅-=-对2n ≥、t R ∈恒成立．设n a 的公差为d ，①当1t =，此时，0d =，}{n a 是以1a 为首项，0为公差的等差数列；②当1t ≠时，1(1)1n ta n d t-=--，赋值可得1112n n t a a d d d t -⋅-==⇒=-，此时，}{n a 是以d 为首项，d 为公差的等差数列．综上1=d 或=d 12．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分，共20分) 13. 4 14.12 15. 12 16. 1或12三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.【解析】（Ⅰ）()2sin(2)cos 26f x x a x π=++2sin 2cos2cos 2sincos 266x x a x ππ=++2(1)cos2x a x ++由在3x π=取得最大值，22()(1)cos 333f a πππ=++=∴2(2)0a +=，即2a =-，经检验符合题意∴()2cos 22sin(2)6f x x x x π=-=-．（Ⅱ）由(0,)3πα∈，∴(2)(,)662πππα-∈-，又6()2sin(2)65f παα=-=，∴3sin(2)65πα-=，得(2)(0,)62ππα-∈，∴4cos(2)65πα-=∴sin 2sin[(2)+]sin(2)cos cos(2)sin 666666ππππππαααα=-=-+-341+525210=⨯⨯=． 18.【解析】（Ⅰ）连接,OM ON ，底面ABCD 为平行四边形 ∵N 是CD 的中点，O 是BD 的中点，∴//ON BC ∵M 是AQ 的中点，O 是AC 的中点，∴//OM QC而ON OM O =I ，BC QC C =I ，∴平面//OMN 平面QBC MN ⊆平面OMN ，∴//MN 平面QBC ；（Ⅱ）由AQ ⊥平面α，AQ ⊥平行四边形ABCD∴平面//α底面ABCD ，//OP AQ ， 2OP AQ ==，PO ⊥底面ABCD∴四边形PQAO 为矩形， 即四边形PQAC 为直角梯形，∴平面PQAC ⊥平面ABC ， 过B 作BE AC ⊥交AC 于E （如图）,∴BE ⊥平面PQAC ，即BE ⊥平面PQC由AB =，AD AD DB ⊥，知112OB BD == ，24AC OC ==∴1122BE OC OB BC ⨯=⨯，得 BE =∴11122332Q PBC B PQC PQC V V BE S --∆==⨯⨯=⨯⨯=． 19.【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知：成绩在[50,60)频率为0.04，成绩在[60,70)频率为0.20，成绩在[70,80)频率为0.40，成绩在[80,90)频率为0.28，成绩在[90,100)频率为0.08， 可知中位数落在[70,80)组中，设其为x ，则0.04+0.20+(70)0.040.5x -⨯=，得76.5x = （Ⅱ）海航班共50名学员，成绩在[50,60)组内有500.042⨯=人，设为12,A A ，成绩在[90,100)组内有500.084⨯=人，设为1234,,,E E E E ，从中选两人有12(,)A A 、11(,)A E 、12(,)A E 、13(,)A E 、14(,)A E 、21(,)A E 、22(,)A E 、23(,)A E 、24(,)A E 、12(,)E E 、13(,)E E 、14(,)E E 、23(,)E E 、24(,)E E 、34(,)E E 共15种； 而“帮扶组”有11(,)A E 、12(,)A E 、13(,)A E 、14(,)AE 、21(,)A E 、22(,)A E 、23(,)A E 、24(,)A E 8种，故选出两人为帮扶组的概率815P =．20.【解析】（Ⅰ）由顶点E 与焦点2F 关于直线1l ：by x c=对称，知1b c =，即b c =又2||EF =228b c +=，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=； （Ⅱ） 设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184+x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩由（Ⅰ）知直线1l ：y x =，代入椭圆得(A B，得||AB = 由直线2l 与线段AB 相交于点P，得(m ∈12|||CD x x =-==而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，∴1||||2ACBD S AB CD =⨯=由(m ∈，得232(,0]3m -∈-3232(,]93∴四边形ACBD 面积的取值范围3232(,]93．21.【解析】（Ⅰ）当1m n ==时，()ln f x x x =-，'1()1f x x =-设切线与曲线()f x 相切于000(,ln )x x x - ，则切线斜率为011k x =-得切线方程为00001(ln )(1)()y x x x x x --=--，由它过原点，代入00（，）可得0x e =，即切线方程为：1(1)y x e =-．（Ⅱ）由题知'11()mx f x m x x-=-=①当0m ≤时，恒有'()0f x >，得()f x 在0+∞（，）上单调递增，无最值，不合题意； ②当0m >时，由'()0f x =，得1x m =，在10m（，）上，有'()0f x >，()f x 单调递增； 在1+m∞（，）上，有'()0f x <，()f x 单调递减；则()f x 在1x m =取得极大值，也为最大值，1()()ln 1f x f m m n m≤=-+-- 由题意ln 10m m n -+--≤恒成立，即ln 1n m m ≥-+-（0m >） ∴ln 1+1n m m m m ≥--（0m >），再令ln 1()+1m g m m m =--，得'2ln ()mg m m= 知在(0,1)m ∈时，'()0g m <，()g m 递减；知在(1,+)m ∈∞时，'()0g m >，()g m 递增；∴()(1)0g m g ≥=，即nm的最小值为0．22.【解析】 （Ⅰ）由曲线C 的参数方程，得12cos +12sin x y θθ-=⎧⎨=⎩（θ为参数）所以曲线C 的普通方程为22(1)(1)4x y -++=.（Ⅱ）设直线l 的倾斜角为α，则直线的参数方程为2cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得22(1+cos )(sin )4t t αα+=，即22cos 30t t α+-=所以12122cos 3t t t t α+=-⎧⎨=-⎩ ，由题意可知122t t =-，得所以2222cos 23t t α-=-⎧⎨-=-⎩，即cos sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或cos sin αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.即k =k =.所以直线l330y --=+30y -=. 【解析】（Ⅰ）由1246x x -++<①当2x ≤-时，1246x x -+--<，得3x >-,即32x -<≤-；②当21x -<<时，1246x x -+++<，得1x <,即21x -<<； ③当1x ≥时，1246x x -++<，得1x <,即x ∈Φ；综上：不等式|()|6g x <解集是(31)x ∈-，； （Ⅱ）存在12x x R ∈、,使得12()()f x g x =成立，即()f x 、()g x 两个函数值域有交集 由()2f x x a a =--++，知()(,2]f x a ∈-∞+，由()|1||24|g x x x =-++，知()min{(2),(1)}min{3,6}3g x g g ≥-==所以23a +≥，即1a ≥为所求.。