序列的傅里叶变换(DTFT)——非周期序列的频谱
傅里叶变换与频谱分析
傅里叶变换与频谱分析傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它是基于法国数学家傅里叶的研究成果而得名的。
频谱分析是利用傅里叶变换将信号分解为不同频率成分的过程。
通过傅里叶变换和频谱分析，我们可以理解信号的频域特性，以及从频域的角度对信号进行处理和解释。
傅里叶变换的基本原理是将一个周期为T的连续函数f(t)分解为一组基函数的线性组合。
这组基函数是正弦和余弦函数，它们的频率是f(t)中的频率成分。
在数学表达上，傅里叶变换是通过将一个信号f(t)与一个复指数函数e^(jωt)相乘，再对整个信号进行积分来实现的。
傅里叶变换公式如下所示：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)是信号f(t)在频率ω处的振幅和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以将一个时域信号从时间域转换到频率域。
在频率域中，我们可以分析信号的频率特性，包括信号的频率成分以及它们在整个信号中所占的比例。
这些信息对于了解信号的谐波分量、周期性、滤波等操作非常重要。
频谱分析是基于傅里叶变换得到的频域信息进行的。
它可以将一个信号在频谱上进行可视化，以便我们更好地理解信号的频域特性。
频谱分析通常呈现为频谱图，横轴表示频率，纵轴表示振幅或功率。
在频谱图中，我们可以观察到信号的频率成分，它们以峰值的形式显示在不同的频率点上。
峰值的强度代表了该频率在信号中的强度或重要性。
通过观察频谱图，我们可以推断信号的频率含量、周期性、峰值频率等信息。
除了用于频域分析的信号处理外，傅里叶变换还在其他领域有广泛应用，例如图像处理、通信等。
在图像处理中，我们可以将图像转换为频域，通过分析图像的频谱特性来实现图像增强、压缩等操作。
在通信领域，傅里叶变换在调制、解调、滤波等过程中被广泛使用。
在实际应用中，由于傅里叶变换涉及到复杂的数学操作和积分运算，计算复杂度较高。
因此，为了提高计算效率，人们发展出了快速傅里叶变换（FFT）算法。
FFT算法通过巧妙地利用信号的对称性质，将傅里叶变换的计算量从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算速度。
序列傅里叶变换
d 则 DTFT [ nx( n ) ] = j X dω
(e )
jω
jω
( 5 ) 反折性：
Байду номын сангаас
若 DTFT [ x( n ) ] = X (e )
则 DTFT [ x( − n ) ] = X
(e )
− jω
DTFT的性质 的性质
( 6 ) 卷积性：
若 DTFT [ x1 ( n ) ] = X 1 (e ),
∞
( 7 ) 帕塞瓦尔定理（能量定理）：
若 DTFT [ x( n ) ] = X (e )
jω
则
n=-∞
∑
1 x( n ) = 2π
2
∫π
−
π
X (e ) d ω
jω
2
jω X 逆 变 换 x ( n ) = IDT F T e 1 π jω jω n = ∫−π X e e d ω 2π
( ) ( )
n = −∞
∑
∞
x (n )e
− jω n
序列的傅里叶变换（DTFT） 序列的傅里叶变换（DTFT）
序列傅里叶变换X(ejw )也称离散时间傅里叶变换. (Discrete Time Fourier Transform)缩写为DTFT. 注意:这里序列傅里叶变换与离散傅里叶变换不同.
X
(e ) : 物理意义上 : 表示信号 x(n)的频域特性.
jω
即称为 x ( n )的频谱.
序列的傅里叶变换（DTFT） 序列的傅里叶变换（DTFT）
2） 频 域 特 性 ：
X
(e ) (e ) e = R e X ( e ) + X (e ) : 为 幅 度 谱 ; ϕ ( w ) : 为 相 位 谱 . X ( e ) , ϕ ( w ) 都 是 w的 连 续 函 数 .
§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
→
于 散 列 对 离 序 x(n)：
氏 换 傅 变 Xe
( ) = ∑x(n) ⋅ e
∞ jω n=−∞
−jnω
返回
2.频率的比较 2.频率的比较
模拟角频率Ω 量纲：弧度/ 模拟角频率Ω，量纲：弧度/秒； 数字角频率ω 量纲：弧度；是周期为2π 2π的周期函数 关系：ω = ΩΤ 关系：
(8)频域卷积定理(时域乘积，对应频域卷积。) (8)频域卷积定理 时域乘积，对应频域卷积。 频域卷积定理( 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[h )]=H DTFT[h(n)]=H(ejω) DTFT[x DTFT[x(n)h(n)]=1/2π [X(ejω)* H(ejω)] )]=1/2π 1 π = ∫ X e jθ H e j (ω −θ ) dθ 2π −π (9)帕塞瓦尔定理 (9)帕塞瓦尔定理
返回
一．定义
DTFT(DiscreteDTFT(Discrete-time Fourier transform)
x(t ) δT (t)
为研究离散时间系统的频率 响应作准备， 响应作准备，可从抽样信号的 傅里叶变换引出： 傅里叶变换引出：
数字信号处理复习总结-最终版
绪论:本章介绍数字信号处理课程的基本概念。
0.1信号、系统与信号处理1.信号及其分类信号是信息的载体，以某种函数的形式传递信息.这个函数可以是时间域、频率域或其它域，但最基础的域是时域。
分类：周期信号/非周期信号确定信号/随机信号能量信号/功率信号连续时间信号/离散时间信号/数字信号按自变量与函数值的取值形式不同分类：2.系统系统定义为处理（或变换）信号的物理设备,或者说,凡是能将信号加以变换以达到人们要求的各种设备都称为系统。
3。
信号处理信号处理即是用系统对信号进行某种加工。
包括：滤波、分析、变换、综合、压缩、估计、识别等等。
所谓“数字信号处理”,就是用数值计算的方法，完成对信号的处理.0.2 数字信号处理系统的基本组成数字信号处理就是用数值计算的方法对信号进行变换和处理。
不仅应用于数字化信号的处理，而且也可应用于模拟信号的处理。
以下讨论模拟信号数字化处理系统框图。
（1）前置滤波器将输入信号x a（t)中高于某一频率（称折叠频率,等于抽样频率的一半）的分量加以滤除。
（2)A/D变换器在A/D变换器中每隔T秒（抽样周期)取出一次x a(t)的幅度，抽样后的信号称为离散信号。
在A/D 变换器中的保持电路中进一步变换为若干位码。
（3）数字信号处理器（DSP）(4）D/A变换器按照预定要求,在处理器中将信号序列x（n)进行加工处理得到输出信号y（n）。
由一个二进制码流产生一个阶梯波形，是形成模拟信号的第一步.（5）模拟滤波器把阶梯波形平滑成预期的模拟信号；以滤除掉不需要的高频分量，生成所需的模拟信号y a(t）.0.3 数字信号处理的特点（1）灵活性.(2）高精度和高稳定性。
(3)便于大规模集成。
（4）对数字信号可以存储、运算、系统可以获得高性能指标。
0。
4 数字信号处理基本学科分支数字信号处理（DSP)一般有两层含义，一层是广义的理解，为数字信号处理技术-—DigitalSignalProcessing,另一层是狭义的理解,为数字信号处理器—-DigitalSignalProcessor.0。
FS,FT,DFS,DTFT,DFT,FFT的联系和区别
FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别对于初学数字信号处理（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是傅里叶级数展开（FS），它用于分析连续周期信号。
FT是傅里叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅里叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度，压力等在时间上连续的信号，还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如，某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。
用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅里叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。
我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。
非周期信号的频谱——傅里叶变换
(3.2-2)
•
式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简
称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简
称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫
做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里
叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅
里叶变换对关系也常用下述符号表示
F( j) F[ f (t)]
信号与系统
非周期信号的频谱——傅里叶变换
• 1.1 从傅里叶级数到傅里叶变换
•
若将非周期信号看作是周期信号
T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表
示为
lim
T
fT (t)
f
(t)
• 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信 号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就 变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离 散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但 其频谱分布规律依然存在， 它们之间的 相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入 频谱密度函数。
fT (t)
n
1 T
f
T
(
t
)e
jn0t
dt
e
jn
0t
fT (t)
n
0 2
fT (t)e jn0tdte jn0t
f (t)
1
2
fT (t)e j tdt e j td
f (t) 1 F ( j )e j td
2
(3.2-1)
F ( j ) F ( ) e j ( )
• 已知周期函数的傅里叶级
数为
fT (t)
信号处理中傅里叶变换简介
信号处理中傅里叶变换简介傅里叶变换一、傅里叶变换的表述在数学上，对任意函数f(x)，可按某一点进行展开，常见的有泰勒展开和傅里叶展开。
泰勒展开为各阶次幂函数的线性组合形式，本质上自变量未改变，仍为x，而傅里叶展开则为三角函数的线性组合形式，同时将自变量由x变成ω，且由于三角函数处理比较简单，具有良好的性质，故被广泛地应用在信号分析与处理中，可将时域分析变换到频域进行分析。
信号分析与处理中常见的有CFS（连续时间傅里叶级数）、CFT （连续时间傅里叶变换）、DTFT（离散时间傅里叶变换）、DFS（离散傅里叶级数）、DFT（离散傅里叶变换）。
通过对连续非周期信号x c(t)在时域和频域进行各种处理变换，可推导出以上几种变换，同时可得出这些变换之间的关系。
以下将对上述变换进行简述，同时分析它们之间的关系。
1、CFS（连续时间傅里叶级数）在数学中，周期函数f(x)可展开为由此类比，已知连续周期信号x(t)，周期为T0，则其傅里叶级数为其中，为了简写，有其中，为了与复数形式联系，先由欧拉公式e j z=cos z+jsin z得故有令则对于D n，有n≤0时同理。
故CFS图示如下：Figure 1理论上，CFS对于周期性信号x(t)在任意处展开都可以做到无误对连续非周期信号x c(t)进行采样，采样间隔为T s，有此时的x s(t)还不是真正的离散信号，它只是在满足t = nT s的时间点上有值，在其它时间点上值为零。
对x s(t)进行进一步处理有规定则其中，x[n]是最终所得的离散信号。
x s(t)自变量为t，其单位为秒s，间隔为T S；x[n]自变量为n，其单位为1，间隔为1。
从频域分析上有其中。
令，定义以上式为DTFT定义式。
DTFT逆变换为DTFT是在时域上对CFT的采样（图示可见Figure 3与Figure 4），在DTFT中，时域信号x[n]为离散的，而对应的频域表示X(e jω)为连续的，且有周期ωs = 2π。
非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)
l
j k l
2 n N
n N
时，
，注意到在
N , k l mN , m 0,1, 2, 在几何级数求和公式： 0 , k l mN , m 0,1, 2,
2 n N ，
复指数序列的线性组合，即
n x n ak zk
则线性移不变系统对 x n 的响应为
n y n yk n ak H zk zk k k
k
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7.2 周期序列的离散时间傅立叶级数
周期序列 虚指数序列
xn xn kN
第七章 离散时间信号与系统的频域分析
第七章 离散时间信号与系统的频域分析
连续信号与系统的分析： 时域（1章、2章） 频域（3章、4章） 复频域（5章） 离散时间信号与系统分析： 时域（6章） 变换域 频域（7章） 变换域
复频域（8章）
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第七章 离散时间信号与系统的频域分析
本章介绍主要内容： 离散时间信号和系统的频域分析即离散傅立叶分析 信号的频域分析包括： 周期序列的离散时间傅立叶级数（DFS）
几何级数
jk 2 N
qe k 0, N , 2 N ,
N 1 n 0 2 n N
e jk 2
N
1
e
jk
N （7.14） k 0, N , 2 N , 2 jk N 1 e N 1 e j 2 k 0, 其余k 值 2 2 jk jk N 1 e N 1 e
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7.1 线性移不变系统对复指数输入序列的响应
单位样值响应 任意的复指数序列
h n
LSI 响应 y ( n )
序列的傅里叶变换dtft
公式
DTFT的公式为 X(k) = ∑ x(n) * e^(-j * 2 * pi * k * n / N)，其 中 x(n) 是输入序列，N 是序列
长度，k 是频率索引。
意义
通过DTFT，我们可以将信号从 时间域转换到频率域，从而更好 地分析信号的频率成分和频率特
性。
DTFT的性质
线性性
1 2
运算量
FFT（快速傅里叶变换）是DFT的一种快速算法， 相对于DFT大大减少了运算量。而DTFT没有快速 算法，计算量较大。
应用场景
FFT主要用于实时信号处理和频谱分析，而DTFT 主要用于理论分析和数学推导。
பைடு நூலகம்
3
结果
FFT的结果是离散的频谱，而DTFT的结果是连续 的频谱。
DTFT、DFT和FFT在实际应用中的选择
FFT的应用场景与限制
应用场景
FFT算法广泛应用于信号处理、图像处理、频谱分析等领域，如音频处理、雷达信号处理、通信系统 等。
限制
虽然FFT算法提高了DFT的计算效率，但对于大规模数据，FFT仍然需要较高的计算资源和时间。此外 ，FFT算法对于非周期性信号和非线性信号的处理效果不佳。
DTFT与DFT/FFT的关系和区
计算公式
DTFT的计算公式为 X(k) = N∑_{n=0}^{N-1} x(n)e^{j*2*pi*kn/N}，其中 x(n) 是离散时间信号，N 是信号长度，k 是频 率索引。
计算步骤
根据计算公式，DTFT的数值计算步骤包括将离散时间信号展开成多 项式形式，然后对每个频率分量的指数进行求和运算。
利用计算机编程语言实现DTFT计算
编程语言
可以使用各种编程语言实现DTFT 的计算，如 Python、C、Matlab 等。
FS,FT,DFS,DTFT,DFT,FFT的联系和区别
对于初学数字信号处理（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是傅里叶级数展开（FS），它用于分析连续周期信号。
FT是傅里叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅里叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度，压力等在时间上连续的信号，还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如，某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。
用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅里叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。
我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。
4种傅里叶变换
copyright©赵越 ise_zhaoy1@
4种傅里叶变换
copyright©赵越 ise_zhaoy1@
4种傅里叶变换 x(t)
X ( jΩ)
0
t
ΩБайду номын сангаас
x(t )
X( jkΩ0 )
t
Ω
Tp
x(t )
---T 0 T 2T t 0
2π Ω0 = Tp
X e jω 或 X (e jΩT )
Ω
正: X(e jω ) =
1 反 : x(n) = 2π
n=−∞
x(n)e − jnω ∑
∞
∫π
−
π
X(e jπ )e jnω dω
copyright©赵越 ise_zhaoy1@
4种傅里叶变换
对称性
时域信号 离散的 非周期的 频域信号 周期的 连续的
时域：非周期、离散（取样间隔为T 时域：非周期、离散（取样间隔为T） 频域：连续、周期（ 频域：连续、周期（周期为 Ω = 2π ） s
( )
--Ω
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4种傅里叶变换
4.离散傅里叶变换 离散傅里叶变换(DFT) 离散傅里叶变换
周期性离散时间信号从上可以推断： 周期性离散时间信号从上可以推断： 从上可以推断 周期性时间信号可以产生频谱是离散的 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 得出其频谱为周期性离散的 得出其频谱为周期性离散的。 周期性离散
copyright©赵越 ise_zhaoy1@
4种傅里叶变换
3.序列的傅里叶变换 序列的傅里叶变换(DTFT) 序列的傅里叶变换
序列的傅里叶变换(DTFT)——非周期序列的频谱
e j t e jn ：前者是连续信号不同频率的复指数 分量；后者是序列在不同频率的复指数分量。 ：前者是模拟角频率；后者是数字角频率。 x(t) x(n)：x(t)连续时间信号在时域的表示，可 分解为一系列不同频率的复指数分量的叠加，分量的 复振幅为X()；x(n)是离散时间信号在时域的表示，可 分解为不同数字角频率分量的叠加，分量的复振幅为 X(e j)。 X( ) X(e j) ：X( )是连续信号的频谱密度， 是频谱的概念；X(e j)是序列的傅里叶变换，与X( ) 在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作 用，可以看作是序列的频谱。
H(e j)
1 h(n)
c
c=/4
0
n
1 j 解： h(n) = IDTFT[ H(e ) ] 2
H (e j )e jn d
sin n 1 1 jn 4 e d Sa ( n ) 2 / 4 n 4 4
/4
8
3.4 离散傅里叶级数(DFS)Discrete Fourier Series
N 1 n 0
e
2 ( k r )n N
改变求和顺序
1 N
N 1 n 0
e
j
2 ( k r )n N
1 1 1 e 2 j (k r ) N 0 N 1 e
n 1 j 2 rn N
j
2 (k r ) N N
(k r ) (k r )
也就是
n
x (n)
存在条件：序列必须绝对可和。
5
例3-2 若x(n) = R5(n) = u(n) u(n 5) ，求此序列的 傅里叶变换X(e j) 。 解： X(e j) = DTFT[ x(n) ]
非周期序列的离散时间傅立叶变换(DTFT)
2 1 sin N 1 k 2 1 N , k 0, N . 2 N , N sin k N 2N 1 1 , k 0, N . 2 N , N
（7.15）
正交
N-1高次谐波
j N 1
2 n N
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7.2周期序列的离散时间傅立叶级数
xN n
k N
－jm
X N k k n
2 n N
k N
X N k e
jk 2 N n
, n
同乘以 e 在一个周期内对n 求和
h m z nm z n
m
h m z m
m
y n z n H z
z ——特征函数或特征信号 H z ——系统特征值、系统函数
n
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7.1 线性移不变系统对复指数输入序列的响应
推广： 线性移不变系统的任一输入 x n 可以表示为一组
7.2周期序列的离散时间傅立叶级数
例 7-1 求序列 x n sin 0n 的频谱系数。
解（1）对于正弦序列来说，要成为周期序列 2 0 为N
K=1
对比
xN n
k N
1 j 2 x n e 2j
N n
1 j 2 e 2j
N n
K=-1
e
2 jk N1 1 N 2 k N
1 e
j
n1 n2 1 a a n2 , a 1 利用 a n 1 a n n1 n n 1, a 1 2 1
第二章 离散时间傅立叶变换(DTFT)
∞
= ∑(ae
n=0
∞
− jω n
)
1 = − jω 1− ae
| ae− jω |<1
|a|<1
|a|<1时 u(n)的傅立叶变换存在 的傅立叶变换存在。 |a|<1时，anu(n)的傅立叶变换存在。
2.2.2 序列傅立叶变换的性质 1、FT的周期性 FT的周期性
X (e ) = ∑ x(n)e
X ( jΩ) = ∫ x(t)e
−∞
∞
− jΩt
dt
1 ∞ jΩ t x(t) = ∫−∞ X ( jΩ)e dΩ 2π
特点：时域连续， 特点：时域连续，频域连续
2.2 离散时间傅立叶变换的定义及性质
2.2.1 离散时间傅立叶变换定义
1、正变换： X (e jω ) = DTFT[x(n)] = 、正变换：
X (e jω ) =
n =−∞
∑
e
∞
RN (n)e − jω n = ∑ e − jω n
n =0
N −1
1 − e − jω N = 1 − e − jω
(e −e ) = − jω / 2 jω / 2 − jω N / 2 e (e −e )
=e
− j ( N −1)ω / 2
− jω N / 2
程序清单
clc; clear; y=[1 1 1 1]; x=0; n=[0:3]; w=0:0.01:2*pi; subplot(311); stem(n,y); xlabel('n'); ylabel('x(n)'); for n=0:3 x=x+exp(-j*w*n); end xx=abs(x); subplot(312); plot(w,xx); xlabel('w'); ylabel('幅度') yy=angle(x); subplot(313); plot(w,yy) xlabel('w'); ylabel('相位')
§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
拉普拉斯 变换
z变换
离散信号 x nT
连续信号
jΩ
s σ jΩ
ze
sT
X
第 7 页
拉氏变换 X s s
z变换
snT
n
x nT e
e z, nT n
sT
X z
n
x n z
n
ze
s j , T , nT n
89序列的傅里叶变换dtft实序列的傅里叶变换方波的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换傅里叶变换的意义傅里叶变换的物理意义sinc函数的傅里叶变换傅里叶变换的性质阶跃函数的傅里叶变换
§8.9 序列的傅里叶 变换（DTFT)
青岛大学电子学系 2005.1
一．定义
DTFT:Discrete-time Fourier transform 为研究离散时间系统的频 率响应作准备，从抽样信 号的傅里叶变换引出：
jω
e
jω
j nω
de
jω
jω
π
X e
e
jω
j nω
e
jω
je d ω
表示
2π
π
π
X e
jω
e
j nω
dω
j nω
DTFT x n X e
jω
x ne
n
dω
j nω
IDTFT X e
x n
σ 0, s jΩ
H jΩ H s
s jΩ
9 页
4. z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏 变换（DTFT）
§4.10 序列的傅里叶分析
N k N
jn
f N (k ) e
2 k N
k
▲ ■ 第 6页
f (k ) e j k
逆变换的导出
1 f N (k ) N
N 1 n 0
FN (n) e j nk
2π N
1 2
N 1 n 0
FN (n) e j nk
■
1 j1
第 5页
二、非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)
1. 引出 N
周期序列fN(k)
2π FN (n)谱 线 间 隔 N
非周期序列f(k)
0
离散谱
2π n n N
连续谱； θ
定义非周期序列f(k)的离散时间傅里叶变换(Discrete Time Fourier Transform, DTFT)为
(连续)傅里叶级数(CFS) (连续时间)傅里叶变换 (CTFT)
2 T
离散傅里叶级数(DFS)
离散时间傅里叶变换 (DTFT)
（周期为N）
离散、非周期序列 f(k)
一般说来，在一个域中为连续的表示，在另一个域中就是非周 期性的表示；与此对比，在一个域中为离散的表示，在另一个 域中就是周期性的表示。 ▲ ■
DTFT[ f (k )] F (e j )
j
k
f (k ) e j k
1 IDTFT[ F (e )] f (k ) 2
F (e j ) e jk d
说明： • F(ejθ)是θ的连续周期函数，周期为2π。 • DTFT存在的充分条件是f(k)满足绝对可和，即
§8.9序列的傅里叶变换(DTFT)
0 0
频域位移， 频域位移，对应时域的调制 (4)序列的线性加权 (4)序列的线性加权 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[ n x(n)]=j[
d dω
X(ejω) ]
时域的线性加权，对应频域微分 时域的线性加权， (5)序列的反褶 (5)序列的反褶 若 则 DTFT[x )]=X DTFT[x(n)]=X(ejω) DTFT[ x(-n)]=X(e-jω) ] )]=X 时域反褶， 时域反褶，对应频域反褶
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3.s 3.s平面虚轴上的拉氏变换即为傅氏变换
σ = 0, s = j
H(j
) = H(s) s=j
4.z平面单位圆上的z 4.z平面单位圆上的z变换即为序列的傅氏变 DTFT） 换（DTFT）
z = 1, z = e
jω
X(jω) = X(z) z=ejω
返回
三．序列傅里叶变换的基本性质 序列傅里叶变换的基本性质
返回
一．定义
DTFT(DiscreteDTFT(Discrete-time Fourier transform)
x(t ) δT (t)
傅里叶级数（FS）以及FT、DTFT、DFS和DFT
傅⾥叶级数（FS）以及FT、DTFT、DFS和DFT 傅⾥叶级数（FS）周期为 T 的函数f(t),ω=2πT. 正交基为{e jnωt},n=0,±1,±2,⋯。
f(t)=∞∑n=−∞C n e−jωnt C n=<f(t),e jnωt><e jnωt,e jnωt>=∫T f(t)e−jnωt dt∫T e jnωt e−jnωt dt=1T∫Tf(t)e−jnωt dt连续时间的傅⾥叶变换（FT）F(ω)=∫∞−∞f(t)e−jωt dtf(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω离散时间序列的傅⾥叶变换（DTFT)它⽤于离散⾮周期序列分析对应频域连续周期(周期为 2π)，条件是x(n) 绝对可和或者能量有限，即∑∞n=−∞|x(n)|<∞∑∞n=−∞|x(n)|2<∞。
X(e jω)=∞∑n=−∞x(n)e−jωn(1)x(n)=12π∫π−πX(e jω)e jωn dω(2)式(1)中，ω为数字⾓频率，它是模拟域频率Ω对采样频率f s的归⼀化，即ω=ΩT s=Ω/f s Z变换由z=e jω代⼊上式得X(z)=∞∑n=−∞x(n)z−n周期序列的离散傅⾥叶级数（DFS）x(n) 是周期为 N 的周期序列，可以看做X(k)的傅⾥叶级数频域展开，离散周期 ---> 周期离散，周期都为N。
˜X(k)=N−1∑n=0˜x(n)e−j2πN nk=N−1∑n=0˜x(n)W nk N k∈Z˜x(n)=1NN−1∑k=0˜X(k)e j2πN nk=1NN−1∑k=0˜X(k)W−nkNn∈Z W N=e−j2πN有限长序列的离散傅⾥叶变换（DFT）x(n) 为有限长序列，长度为 N 。
其他值都为 0 。
X(k)=N−1∑n=0x(n)W−nkN0⩽DFT 与 DTFT 、z变换的关系X(k) =X(e^{j\omega})|_{\omega =\frac{2\pi}{N}k} \\ X(k) = X(z)|_{z=W_N^{-k}} Matlab仿真信号的抽样，CFT，DFT 和 FFTts=0.5; %采样时间间隔df=1.0;fs = 1/ts; %采样频率n2 = 50/ts; %time=[0,50]之间采样n1 = fs/df;N = 2^(max(nextpow2(n1),nextpow2(n2))); %nextpow2(N) returns the first P such that 2.^P >= abs(N).%当序列是2的幂次⽅时，FFT⾼效df = fs/N; %设置分辨率t = 0:0.01:50;y = cos(2/5*pi*t);subplot(2,2,1);plot(t,y,'k:'); %绘制余弦信号hold ont2=0:ts:50;y2=cos(2/5*pi*t2);stem(t2,y2,'k'); % 画⽕柴杆图，对余弦信号抽样axis([0 10 -1.2,1.2]);title('抽样信号: \rm x_{s}(t)');xlabel('t');line([0 10],[0 0],'color',[0 0 0]);hold offk=-N:N;w = df*k;Y = 0.01*y*exp(-j*2*pi*t'*w);% 计算CFTY=abs(Y);subplot(2,2,2);plot(w,Y,'k');axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);title('连续傅⾥叶变换: X(f)');xlabel('f');subplot(2,2,3);Y1=y2*exp(-j*2*pi*t2'*w); % 计算离散傅⾥叶变换Y1=Y1/fs;plot(w,abs(Y1),'k');title('离散傅⾥叶变换 \rm X_{s}(f)');xlabel('f');axis([-fs/2-1,fs/2+1,0,8*pi+0.5]);Y2=fft(y2,N); %使⽤FFT计算离散傅⾥叶变换Y2=Y2/fs;f=[0:df:df*(N-1)]-fs/2; %调整频率坐标subplot(2,2,4);plot(f,fftshift(abs(Y2)),'k');axis([-fs/2-0.5,fs/2+0.5,0,8*pi+0.5]);title('快速傅⾥叶变换：\rm X_{s}(f) ');xlabel('f');由此可见，FFT 可以很好地表现 CFT 的频谱图。
序列的傅里叶变换
0 a1 1
低通
20
系统的幅频特性, ( )为离散系统的相频特性
H (e j )是周期函数, 若采样间隔为T 1,则周期为2 .
5
通带
LP
0
s
BP
2
HP
BS
AP
s
6
二、频响特性的几何确定法
H ( j) H (s) s j
H (e j ) H (z) ze j
M
(z zr )
H(z) k
r 1 N
(z pk )
X (e j ) 为x(n)的幅度谱,()为x(n)的相位谱
3
8.10 离散时间系统的频率响应特性
一、离散系统频响特性的意义
若稳定因果系统的单位样值响应为h(n),输入是正弦
序列x(n) Asin(n),则系统的稳态响应也是同频率
的正弦序列, 只是幅度和相位发生了变化,即 :
yss (n) A H (e j ) sin[n ()].
16
(4) 求系统的单位样值响应; (5) 求该系统的频率响应,画出幅频特性曲线.
z(z 1)
H (z)
(z
3 1)(z
1)
24
z 1 2
10 z 7 z
(4)
H (z)
3 z
1
3 z
Байду номын сангаас
1
24
h(n) [10 ( 1 )n 7 ( 1 )n ]u(n) 3 2 34
17
(5) 求该系统的频率响 应,画出幅频特性曲线 .
全通
a1 1
jImz
a1 O O a1 + Rez
1
11
8 33 利用z平面零极点矢量作图方法大致画出下列系统 函数所对应的系统幅度响应 :
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（2）周期信号的频谱 连续时间与离散频率 当连续时间信号为周期函数时，其傅里叶变换具有 离散特性，呈冲激序列。时域上的周期化将产生频谱的 离散化。 （3）序列的频谱 离散时间与连续频率 非周期性的离散时间函数的傅里叶变换呈周期性 的连续函数。DTFT就是这种情况。时域上的离散化将 产生频谱的周期化。
X (e j ) X ( z ) |z e j
n jn x ( n ) e
1
2. 物理意义 1 n 1 x ( n) x ( z ) z dz 2j z 1 1 j jn j j X ( e ) e e d ( e ) z 1 2j 1 j jn j j X ( e ) e e je d 2j 1 j jn X ( e ) e d 2 连续信号的傅里叶变换是 1 j t x( t ) X ( ) e d 2 比较两式，有许多相仿之处：
已讨论三种类型信号的变换 （1）连续非周期信号 —— 时域连续，频域连续； （2）连续周期信号 —— 时域连续(周期)，频域离散 （3）非周期序列 —— 时域离散，频域连续(周期) （4）周期序列 —— ??? 从以上三种信号在时域和频域上的对称性中总结出 某些规律，定性地推断出离散周期序列频谱的基本特点， 然后定量描述。 3.4.1 傅里叶变换在时域和频域中的对称规律 （1）非周期连续时间信号的频谱 连续时间与连续频谱 9
10
xa(t) t xp(t) … … t xa(n) n
Xa()
Xp()
X(ej)
X() n
11
xp(n)
（4）离散时间与离散频率 离散的周期时间函数可以用周期信号的冲激抽样来 描述，也可以用周期序列来描述，它们的频谱根据冲激 抽样信号的频谱与序列频谱表示，这两个频谱根据在数 值上相等，仅是频率坐标及其比例尺不同而已。 离散的周期时间函数的频谱的特点是：周期离散谱 各种信号在时、频域上关于离散性和周期性对称性 的一般规律： ① 在某一域（时、频域）中是连续的，相应地在另 一个域（频、时域）是非周期的。 ② 在某一域（时、频域）中是离散的，相应地在另 一个域（频、时域）是周期的。
3.3 序列的傅里叶变换（DTFT） ——非周期序列的频谱 1.定义 可从 z 变换引出序列的傅里叶变换，也可直接给出 定义。序列 x(n)的 z 变换为
X (z)
n n x ( n ) z
由s-z平面的映射关系z= e sT可知，s平面的虚轴对应 于z平面上的单位圆。 如果X(z)在单位圆上是收敛的，则把单位圆上的z变 换定义为序列的傅立叶变换X(e j)，表示为
4 jn j 5
j
5 2
5 j j 5 e 2 e 2 j j e 2 e 2
6
x5(n)
1 0 1 2 3 4 X(e j) n
-2
0 2/5 4/5 6/5 8/5 2 ()
0
7
例3-3 若离散时间系统的理想低通滤波器频率特性 如图示，求它的傅里叶逆变换h(n)。
4
3. 特点 因为e j 是以2为周期的周期函数，而X(e j )是e j
的函数，所以X(e j )也是以2为周期的连续周期函数。
4. 序列傅里叶变换的存在条件 因为序列的傅里叶变换是单位圆上的z变换，所以它 要存在，序列的z变换在单位圆上必须收敛，即
n x(n) z n z 1
2
e j t e jn ：前者是连续信号不同频率的复指数 分量；后者是序列在不同频率的复指数分量。 ：前者是模拟角频率；后者是数字角频率。 x(t) x(n)：x(t)连续时间信号在时域的表示，可 分解为一系列不同频率的复指数分量的叠加，分量的 复振幅为X()；x(n)是离散时间信号在时域的表示，可 分解为不同数字角频率分量的叠加，分量的复振幅为 X(e j)。 X( ) X(e j) ：X( )是连续信号的频谱密度， 是频谱的概念；X(e j)是序列的傅里叶变换，与X( ) 在连续信号傅里叶变换的表达式中一样起着相同的作 用，可以看作是序列的频谱。
H(e j)
1 h(n)
c
1 j 解： h(n) = IDTFT[ H(e ) ] 2
H (e j )e jn d
sin n 1 1 jn 4 e d Sa ( n ) 2 / 4 n 4 4
/4
8
3.4 离散傅里叶级数(DFS)Discrete Fourier Series
也就是
n
x (n)
存在条件：序列必须绝对可和。
5
例3-2 若x(n) = R5(n) = u(n) u(n 5) ，求此序列的 傅里叶变换X(e j) 。 解： X(e j) = DTFT[ x(n) ]
e 1 e e j j 1 e n 0 e 2 5 sin 2 j 2 e sin 2 5 5 sin sin 2 2 j ( ) 2 arg X (e ) sin sin 2 2
j
X (e j )e jn d
X(e
j
)是 的复函数 = Re[X(e j )] + jIm[X(e j )]
X(e j ) =X(e j ) e j()
X(e j )称为幅度谱， ()称为相位谱， X(e j )表 示序列x(n)的频域特性，称为序列的频谱。
3
序列的傅里叶变换也称为离散时间傅里叶变换 （DTFT-----Discrete Time Fourier Transform），通常 用以下符号表示对x(n)取傅里叶变换或逆变换。
DTFT x( n) X (e j )
n jn x ( n ) e
1 IDTFT X (e ) x( n) 2