八年级第22届希望杯”一试试题解析

第二十二届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试

一、选择题(每小题4分，共40分)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案前的英语字母写在

1、将a 千克含盐10%的盐水配制成含盐15%的盐水，需加盐水x 千克，则由此可列出方程为( ) A 、%)151)(x a (%)101(a -+=- B 、%15)x a (%10a ?+=? C 、%15a x %10a ?=+? D 、%)151(x %)101(a -=-

2、一辆汽车从A 地匀速驶往B 地，如果汽车行驶的速度增加a%，则所用的时间减少b%，则a ，b 的关系是( ) A 、%a 1a 100b +=

B 、%a 1100b +=

C 、a 1a b +=

D 、a

100a

100b +=

3、当1x ≥时，不等式|2x |m 1x |1x |--≥-++恒成立，那么实数m 的最大值是( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

4、在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点，已知k 为整数，若函数1x 2y -=与k kx y +=的图象的交点是整点，则k 的值有( )

A 、2个

B 、3个

C 、4个

D 、5个

5、The sum of all such integers x that satisfy inequality 6|1x 2|2≤-≤ is ( ) A 、8 B 、5 C 、2 D 、0

(英汉词典：sum 和；integer 整数；satisfy 满足；inequality 不等式)

6、若三角形的三条边的长分别为a ，b ，c ，且0b c b c a b a 3

2

2

2

=-+-，则这个三角形一定是( )

A 、等腰三角形

B 、直角三角形

C 、等三角形

D 、等腰直角三角形

7、As shown in figure 1，point C is on the segment BG and quadrilateral ABCD is a square. AG intersects

BD and CD at points E and F, respectively. If AE=5 and EF=3, then FG=( ) A 、

316 B 、3

8

C 、4

D 、5 (英汉词典：square 正方形；intersect …at … 与…相交于…) 8、1215

-能分解成n 个质因数的乘积，n 的值是( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、3 9、若关于x ，y 的方程组??

?=+-=++0

a y 2bx 0

1ay x 没有实数解，则( )

A 、2ab -=

B 、2ab -=且1a ≠

C 、2ab -≠

D 、2ab -=且2a ≠ 10、如图2，∠AOB=45°，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB 于点

C ， 若PC=2，则OC 的长是( )

A 、7

B 、6

C 、222+

D 、32+

二、A 组填空题(每小题4分，共40分) 11、化简：

5

25

2549+=

++；

figure 1

A O B

P C 2 图2

13、如图3，平行于BC 的线段MN 把等边△ABC 分成一个 三角形和一个四边形，已知△AMN 和四边形MBCN 的周长相 等，则BC 与MN 的长度之比是 4:3 ；

14、小华测得自家冰箱的压缩机运转很有规律，每运转5分钟， 停机15分钟，再运转5分钟，再停机15分钟，……，又知8月份 这台冰箱的耗电量是24.18度 (1度=1千瓦时)，则这台冰箱的压缩 机运转时的功率是 130 瓦；

15、已知自然数a ，b ，c ，满足c 12b 4a 442c b a 2

2

2

++<+++和02a a 2

>--，则代数式

c

1

b 1a 1++的值是 1 ；

16、已知A 、B 是反比例函数x

2

y =的图象上的两点，A 、B 的横坐标分别是3，5.设O 为原点，则△AOB 的面积是

15

16；

17、设完全平方数A 是11个连续整数的平方和，则A 的最小值是 121 ；

18、将100个连续的偶数从小到大排成一行，其中第38个数与第63个数的和为218，则首尾两个数的和是 218 ；

19、A 、B 两地相距15km ，甲、乙两人同时从A 出发去B 。甲先乘汽车到达A 、B 之间的C 地，然后下车步行，乙全程骑自行车，结果两人同时到达。已知甲步行的速度是乙骑自行车速度的一半，乙骑自行车的速度是甲乘汽车速度的一半，那么C 地与A 地相距 10 km ； 20、已知

k c

b

a b c a a c b =+=+=+，则直线k kx y +=必经过点)

01(，-；

三、B 组填空题(每小题8分，共40分)

21、等腰三角形的两个角之比是2：5，则这个三角形的最大角的度数是 75°或 100°； 22、已知10个数1x ，2x ，3x ，…，10x 中，10x 1=，对于整数n>1，有1

n n x n x -=

，则2

x x 21=

，

384

x x x 1032=

；

23、从甲、乙、丙三名男生和A 、B 两名女生中选出一名男生和一名女生，则所有可能出现的结果有 6 种；恰好选中男生甲和女生A 的概率是6

1

；

24、若关于x 的方程a b a x b x +=+

的解是a x 1=，a b x 2=，那么方程1

a 2a 1x 2x --=--的解是a

x 1=，

1

a 3

a x 2--=

；

25、若两个自然数的差是一个数码相同的两位数，它们的积是一个数码相同的三位数，那么这两个自然是 37 和 15 ；

B

图3

第二十二届”希望杯”全国数学邀请赛

初二 第2试

一、选择题(每小题4分，共40分。)以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正 确答案的英文字母写在每题后面的圆括号( ) 1. Given A ：B =32：3，A =2，C =

10

29

. The size relationship between B and C is (A) B >C (B) B =C (C) B

2

a =7，则代数式21

+-a a ．

1

2422+--a a a 1

1

2

-a 的值是( ) (A) 3 (B)

2

7

(C) 4 (D) 5 3. 一个凸四边形的四个角可以

(A) 都是锐角 (B) 都是直角 (C) 都是钝角 (D) 有三个是直角，另一个是锐角或钝角

4. 如果直线y =2x m 与直角坐标系的两坐标轴围成的三角形的面积等于4，则m 的值是( ) (A) 3 (B) 3 (C) 4 (D) 4 。

5. 若n 1=2010220112，则12+n =( ) (A) 2011 (B) 2010 (C) 4022 (D) 4021 。

6. 有四个命题 若两个等腰三角形的腰相等，腰上的高也相等，则这两个等腰三角形全等 有一条边相等的两个等腰直角三角形全等

有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

两边以及另一边上的高对应相等的两个三角形全等

其中，正确的命题有 ( ) (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个

7. 如图1，Rt△ABC 两直角边上的中线分别为AE 和BD ，则AE 2BD 2与AB 2的比值为 ( ) (A)

43 (B) 1 (C) 45 (D) 2

3 8. As shown in figure 2, ABCD is a rectangle and AD =12, AB =5， P is any point on AD and PE BD at point E , PF AC at point F . Then PE PF has a total length of( )

(A) 1348 (B) 1360 (C) 5 (D) 13

70

9. 如图3，正方形ABCD 的边AB 在x 轴的正半轴上，C (2,1)，D (1,1)。 反比例函数y =

x

k

的图像与边BC 交于点E ，与边CD 交于点F 。已知 BE ：CE =3：1，则DF ：FC 等于( ) (A)4：1 (B) 3：1 (C) 2：1 (D) 1：1

10. 如图4，a ，b ，c ，d ，e 分别代表1，2，3，4，5中的一个数。 b a c d a e A B

C

D E

图1

figure 2

A

B

C

D

E

F

P A

B

C D E F 图3

O

y

x

b

二、填空题 (每小题4分，共40分) 11. 右表为甲、乙两人比赛投篮球的记录， 以命中率(投进球数与投球次数的比值) 来比较投球成绩的好坏，若他们的成绩 一样好。现有以下关系式：

a b =5；

a b =18；

a ：

b =2：1；

a ：18=2：3；

其中正确的是 (只填序号)。

12. 已知方程组???=-=+542y x y x 的解为???==n

y m x ，又知点A (m ,n )在反比例函数y =x k

的图像上，则k 的值

是 。

13. 等腰三角形的两个角的度数之比为a ：b (a

b

的取值 围是 。 14. 定义f (x )=

x

-11

(x 1)，那么))))2011((((2011 f

f f f f 個= 。

15. 函数y =ax 与函数y =32

x b 的图像如图5所示，则关于x ，y 的

方程组?

??=-=-b x y y ax 3230

的解是 。

16. 若a ，b 是自然数，且a >b ，2011=a (a 1)b 。那么a = ；b = 。

17. 一个骰子，六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6。两次掷这个骰子，朝上一面的数依

次记为m ，n 。则关于x ，y 的方程组?

??=+=+321

y x ny mx ，有解的概率为 。

18. 如图6边长为2

3的正方形ABCD 有一点P ，且PAB =30，PA =2，

在正方形ABCD 的边上有一点Q ，且△PAQ 为等腰三角形，则符合条件 的点Q 有 个。

19. 已知a ，b ，c 为实数，并且对于任意实数x ，恒有 | x a || 2x b |=| 3x c |， 则a ：b ：c = 。

20. 一个自行车轮胎，若安装在前轮，则行驶5000千米后报废；若安装在后轮，则行驶3000 千米后报废。现有一辆新自行车，在行驶一定路程后，交换前后两轮的轮胎，再继续行驶， 使得两个轮胎同时报废，那么该车最多行驶 千米。 三、解答题 每题都要写出推算过程。 21. (本题满分10分)

平面直角坐标系中，正方形ABCD 四个顶点的坐标分别为(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)。设正方形ABCD 在y =| x a |a 的图像以上部份的面积为S ，试求S 关于a 的函数关系式，并写出S 的最大值。

学生 投进球数 没投进球数 投球次数

甲 10 5 15 乙 a

b

18

1

y O x

2 1

-2

ax

y =b x y +=

3

2

A

D 2 P 图6

30?

22. (本题满分15分)

若直线l ：y =x 3交x 轴于点A ，交y 轴于点B 。坐标原点O 关于直线l 的对称点O ’在反比例函数y =x

k

的图像上。

(1) 求反比例函数y =

x

k

的解析式； (2) 将直线l 绕点A 逆时针旋转角 (0<

<45)，得到直线l ’，l ’交y 轴于点P ，过点P 作x 轴的并行线，

与上述反比例函数y =x k

的图像交于点Q ，当四边形APQO ’的面积为92

3

3时，求 的值。

23. (本题满分15分)

给定m (m 3)个数字组成的一列数a 1，a 2，…，a m ，其中每一个数a i (i =1，2，…，m )只能是1或0。在这一列数中，如果存在连续的k 个数和另一组连续的k 个数恰好按次序对应相等，则称这一列数是“k 阶可重复的”。例如由7个数组成一列数：0，1，1，0，1，1，0，因为a 1，a 2，a 3，a 4与a 4，a 5，a 6，a 7按次序对应相等，所以称这列数为“4阶可重复的”。

(1) 分别判断下面的两列数是否是“5阶可重复的”？如果是，请写出重复的这5个数；

0，0，0，1，1，0，0，1，1，0；

1，1，1，1，1，0，1，1，1，1。

(2) 如果一列数a 1，a 2，…，a m 一定是“3阶可重复的”，求m 的最小值。

(3) 假设一列数不是“5阶可重复的”且第4个数是1，但若在这列数最后一个数再添加一个0或 1，均可使新的一列数是“5阶可重复的”，那么原来的数列中的最后一个数是什么？说明理 由。