二次根式的乘法和除法
《二次根式的乘法和除法》数学教学反思
《二次根式的乘法和除法》数学教学反思1、《二次根式的乘法和除法》数学教学反思这是八年级第十六章第三节，学生是在已掌握最简二次根式、合并同类二次根式以及二次根式的加减法的基础上进一步学习二次根式的乘除法，同时为以后学习二次根式的混合运算作铺垫.首先，情景引入：通过将大正方形中已知两小正方形的面积，求剩下的长方形面积的问题引入二次根式的乘法及乘法法则；其次，通过例题1利用总结出二次根式的乘除法则进行计算同时注意结果要化简；再次，利用乘除法关系引入二次根式的除法法则并用之计算；最后，通过二次根式的乘除法来解决实际问题.总而言之：在二次根式的乘除法运算法则的'学习和应用的过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣.此节教学过程中要注意：在学生学习过程中对二次根式的乘除法法则理解上问题不大，但常常忘记运算结果需要化简，此外被开方数是多项式的乘除法运算上容易出错.象练习册第3题的(3)小题尽管课堂上练过一题,但还是有人错.2021年初的一天，吴亚萍教授来学校指导，学校要求我准备一节新基础的研讨课。
于是，我按我的理解与想法上了一堂形似的新基础教学研讨课，凭我的功底，课当然获得了同事的好评，但吴教授的当头一棒让我震惊了。
吴教授对“学生讨论”的讲述，评点让我感觉到耳目一新。
是的，教学这么多年，让学生讨论、活动却没有认真思考过它的价值。
总是认为讨论是一个教学的环节，也是研讨课的需要，却不知道还有“假讨论”、“白讨论”一说。
更不要说什么叫开放，如何开放，开放到什么程度的问题。
那一天我被吴教授的评课折服了。
课后，我再次回忆反思这堂课的问题，我深深感觉到差距。
我再一次仔细阅读了叶澜教授和吴亚萍教授的相关著作。
才真正体会到新基础教育的理念要求是相当高的。
可以说是理想化的教育状态。
至今，我都不敢说我领悟了新基础教育。
我只是明白了新基础教育对教师提出了更高的要求，不仅要求教师有扎实的功底，还要求教师对整个初中教学的内容要理解，甚至小学、高中的教学内容也要了解，这样才可以为学生建立网状的知识结构。
二次根式的乘除运算
二次根式的乘除运算二次根式是指具有形式$\sqrt{a} $的数。
其中，$a$为一个非负实数。
二次根式的乘除运算可以通过简化根式的形式来实现。
在本文中，我们将重点讨论二次根式的乘法和除法运算。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算可以使用分配律来进行简化。
具体而言，当我们要计算两个二次根式相乘时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将两个二次根式的根号内的数相乘；Step 2：将两个二次根式的根号外的系数相乘；Step 3：将上述两个结果合并在一起，得到最终的乘积。
举个例子，让我们计算$\sqrt{2} \times \sqrt{3}$。
Step 1：$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{2 \times 3} = \sqrt{6}$；Step 2：根号外的系数为1，可以省略；Step 3：最终结果为$\sqrt{6}$。
由此可见，$\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$。
在进行乘法运算时，我们通过简化根号内的数来得到结果。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算通常需要利用有理化的方法，即通过乘以适当的有理化因子，将除数的分母中的根号消去，从而将除法转化为乘法。
具体而言，在计算两个二次根式相除时，可以按照以下步骤进行操作：Step 1：将除数的分母有理化；Step 2：将除法转化为乘法，即将除号改为乘号；Step 3：按照乘法运算的方法进行简化。
让我们通过一个例子来说明如何计算$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$。
Step 1：有理化除数的分母。
我们将分母$\sqrt{2}$有理化为$\sqrt{2} \times \sqrt{2}$，即$2$。
Step 2：将除号改为乘号，得到$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \sqrt{5}\times \frac{1}{\sqrt{2}}$。
Step 3：进行乘法运算并简化。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
初二数学二次根式的乘法与除法运算
初二数学二次根式的乘法与除法运算二次根式是初中数学中的重要概念之一，学好二次根式的乘法与除法运算对于学生正确理解和解决相关的数学问题至关重要。
本文将详细介绍二次根式的乘法与除法运算方法，旨在帮助初二学生掌握这一知识点。
一、二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算是指两个二次根式相乘的操作。
具体方法如下：首先，我们需要将两个二次根式进行合并，合并的规则是将根号内的数相乘，并将外面的系数相乘。
例如：√a * √b = √(a * b)当然，在实际运算中还需要注意一些特殊情况，如二次根式的下标、系数与被开方数的关系等。
下面通过例子来说明：例1：化简√8 * √3解析：根据乘法运算的规则，√8 * √3可以合并为√(8 * 3)，即√24。
进一步化简：√24 = √(4 * 6) = √4 * √6 = 2√6例2：化简2√5 * 3√5解析：根据乘法运算的规则，2√5 * 3√5可以合并为(2 * 3)√(5 * 5)，即6√(25)。
进一步化简：6√(25) = 6 * 5 = 30通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的乘法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。
二、二次根式的除法运算二次根式的除法运算是指两个二次根式相除的操作。
具体方法如下：首先，我们需要根据乘法的逆运算，将除数的根号有理化为整数。
例如，将√a有理化为√(a * a)。
然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并，并化简。
例3：化简√32 / √8解析：首先，我们有理化除数：√8 = √(8 * 8) = 8然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：√32 / 8 =√(32 / 8) = √4 = 2例4：化简3√12 / 2√3解析：首先，我们有理化除数：2√3 = 2 * √3然后，将被除数的根号与除数的有理化结果进行合并：3√12 / (2 * √3) = 3 * (√(12 / 3)) / (2 * √3) = 3 * √4 / 2 = 3 * 2 / 2 = 3通过以上两个例子，我们可以看出，二次根式的除法运算主要是对根号内的数进行运算，并根据规则进行合并化简。
全面剖析二次根式的乘除及化简
全面剖析二次根式的乘除及化简1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)： a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立． ②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根．③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4×3.6；(2)545×3223.分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法．解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230.2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a≥0，b≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a，b是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．②公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)可以推广为abc＝a·b·c(a≥0，b≥0，c≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简：(1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a3b6(a＞0，b＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab＝a·b(a≥0，b≥0)进行化简．解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a3b6＝42·6·a2·a·(b3)2＝4ab36a.3．二次根式的除法法则对于两个二次根式a，b，如果a≥0，b＞0，那么ab＝ab.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a≥0，b＞0，则有a b ＝ab.②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a≥0，b＞0与二次根式乘法的条件a≥0，b≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝mnab (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用 通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝ab，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用： (1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝ab；(2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握) 【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内． (1)535； (2)－2a 12a ；(3)－a－1a ； (4)xyx (x ＜0，y ＜0)．分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15.(2)∵12a ＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a ＝－(2a )2·12a ＝－2a .(3)∵－1a ＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a )＝－a .(4)∵x ＜0，y ＜0， ∴x y x＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x ＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． ①被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式； ②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋bb 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2.所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算 (1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用． (3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件； ②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上； ④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式． 【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )．分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除．解：(1)9145÷(3235)×12223＝(9÷32×12)145÷35×83 ＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12aba 2b ·a b·a ＝－12ab a 4＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式．a与a；a＋b与a－b；a＋b与a－b；a b＋c d与a b－c d.③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab＜0时，化简ab2，得__________．(2)把代数式x－1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________．(3)把－x3(x－1)2化成最简二次根式是__________．(4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是()．A．甲正确，乙不正确B．甲不正确，乙正确C．甲、乙的解法都正确D．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab2中，因为ab2≥0，所以ab·b≥0.因为ab＜0，b≠0，所以b＜0，a＞0.原式＝b2·a＝－b a.(2)因为－1x≥0，又由分式的定义x≠0，得x＜0.所以原式＝－(－x)－1x＝－(－x)2(－1x)＝－－x.(3)化简时，需知道x，x－1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出．∵(x－1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x3≥0，即x≤0,1－x＞0.故原式＝(－x)2·(－x)(1－x)2＝－x1－x－x.(4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a(2)－－x(3)－x1－x－x(4)C8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用． 如：借助于计算器可以求得 42＋32＝__________， 442＋332＝__________， 4442＋3332＝__________， 4 4442＋3 3332＝__________， ……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55， 4442＋3332＝308 025＝555， 4 4442＋3 3332 ＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－xx －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值．分析：式子a b ＝ab ，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x－6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎨⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎨⎧x ≤9，x >6.∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8. ∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1)＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6. 【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38.验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23；338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38.(1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证；(2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用．解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415.(2)猜想：nnn2－1＝n＋nn2－1(n≥2，n为正整数)．证明：因为nnn2－1＝n3n2－1＝n3－n＋nn2－1＝n(n2－1)＋nn2－1＝n＋nn2－1，所以nnn2－1＝n＋nn2－1.11 / 11。
《二次根式的乘法和除法》 知识清单
《二次根式的乘法和除法》知识清单一、二次根式的乘法1、法则二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
即：＄＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b} ＝＼sqrt{ab}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）例如：＄＼sqrt{2} ＼times ＼sqrt{3} ＝＼sqrt{2×3} ＝＼sqrt{6}＄2、乘法法则的推广多个二次根式相乘时，此法则同样适用。
例如：＄＼sqrt{2}×＼sqrt{3}×＼sqrt{5} ＝＼sqrt{2×3×5} ＝＼sqrt{30}＄3、乘法法则的逆用＄＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＄（＄a\geq 0$，＄b\geq 0$）这一逆用常用于将一个二次根式化简为两个或多个二次根式的乘积形式。
例如：＄＼sqrt{18} ＝＼sqrt{9×2} ＝＼sqrt{9}×＼sqrt{2} ＝3\sqrt{2}＄4、二次根式乘法运算的步骤（1）先将被开方数进行因数分解或质因数分解。
（2）把可以开得尽方的因数或因式开出来。
（3）应用乘法法则进行计算。
二、二次根式的除法1、法则二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
即：＄＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＝＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）例如：＄＼dfrac{＼sqrt{8}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼sqrt{＼dfrac{8}｛2}｝＝＼sqrt{4} ＝ 2$2、除法法则的推广多个二次根式相除时，此法则同样适用。
例如：＄＼dfrac{＼sqrt{12}｝｛＼sqrt{2}｝÷＼sqrt{3} ＝＼dfrac{＼sqrt{6}｝｛＼sqrt{3}｝＝＼sqrt{2}＄3、除法法则的逆用＄＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＄（＄a\geq 0$，＄b>0$）这一逆用常用于将一个二次根式的除法运算转化为乘法运算，以简化计算。
二次根式的加减乘除法则
二次根式的加减乘除法则
两个二次根式之和的形式是√a±√b。
如果两个二次根式的被开方数
相同，即a=b，则可以直接将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数
不变。
具体来说，√a±√a=2√a，√b±√b=2√b。
例如，√2+√2=2√2，√3-√3=-2√3
如果两个二次根式的被开方数不同，即a≠b，则无法直接相加或相减。
在这种情况下，我们需要使用特殊的二次根式加法形式，即将二次根
式相加或相减后的结果进行化简。
具体步骤如下：
1.将二次根式分解成最简形式，即将每个二次根式的被开方数分解成
质因数的乘积。
2.将两个二次根式按照被开方数分别进行分组。
3.在每组中找出被开方数相同的二次根式，并将它们的系数相加或相减，而保持根号下的数不变。
4.将每组中的结果相加或相减，得到最终的结果。
两个二次根式的乘积可以按照分配律展开，然后进行合并同类项。
具
体步骤如下：
1.将每个二次根式的被开方数分解成质因数的乘积。
2.将两个二次根式的系数相乘。
3.将每个二次根式的根号下的数相乘，并合并同类项，即将被开方数
相乘后的结果进行化简。
4.将步骤2和步骤3的结果相乘。
除法可以转化为乘法，即将被除数乘以除数的倒数。
具体步骤如下：
1.将被除数和除数分别进行质因数分解。
2.将被除数和除数的系数相乘。
3.将被除数的根号下的数除以除数的根号下的数，并将结果进行化简。
以上就是二次根式的加减乘除法则的详细解释，希望能对您有所帮助。
二次根式的乘法与除法 二次根式除法规律
二次根式的乘法与除法二次根式除法规律二次根式的乘法与除法一、学习要求会用积的算术平方根，商的算术根的性质化简二次根式。
二、例题分析第一阶梯 [例1]填空提示： 1、有意义的条件是什么？2、同时满足两个条件的情况如何用数学语言表示？3、不等式组的解如何确定？参考答案：（1）x≥5 （2）-2≤x≤3 说明：有意义的条件是a≥0，是在一定条件下才成立的，不能单单理解为只要ab≥0就有上式成立。
因为式子要求不仅需要等式左边有意义，同时需要右边的时有意义，所以题目要求应为a≥0，b≥0时等式成立。
这样，我们知道题目的解法应为：与同同时，在解题过程中，应注意不等式组的解法。
[例2]选择题成立的条件是（）（A ）-1≤x＜2 （B ）-1≤x≤2 （C ）x≤1 （D ）x ＞2 提示：1、成立的条件是什么？2、如何用数学表达式表示上式成立的条件？3、不等式组的解法应该注意什么问题？如何确定不等式组的解集？参考答案：A 说明：等式成立的条件应为左边与右边同时有意义，否则不能说成立，对于，它表示商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，并且被除式a≥0，除式b ＞0，于是式（a≥0， b＞0）可以用来求分式（或分数）的算术平方根。
这样题目的解法应为：另外，在解不等式组时，其解集的确定应为几个不等式解集的公共部分。
[例3]化简提示：1、被开方数是什么形式时，可以使用二次根式的性质？2、当a≥0时，如何化简？3、被开方数是多项式时应该如何处理？参考答案：说明：当被开方数是单项式时，把被开方数分解因式，利用二次根式的性质，把能开得尽方数移到根号外面。
当被开方数是多项式时，首先把每个多项式分解为因式乘积形式，再运用积的算术平方根的性质及关系式（a≥0）化简。
注意：被开方数含有因式x 2+y2不是完全平方式，所以不能开平方。
化简二次根式的步骤是：1、把被开方数分解因式（或因数）使其变为因式积的形式。
二次根式的乘除法
1.二次根式的乘法
运算法则： a • b a • b, (其中a 0,b 0) 逆用： a • b a • b, (其中a 0, b 0)
例1.计算
（1）. 2 3 6 （2）. 1 18
2
（3）. 27 3
（4）. 2a 18a （5）.6 2 2
2
2.二次根式的除法
运算法则：a b a b或者 a a（, 其中a 0,b>0）
bb
逆用：a b a b或者 a a（, 其中a 0,b>0）
bb
例2.计算
（1）. 2 1 2
（2）. 12 3 （3）. 63
7 （4）. a3
a
例3.计算
（1）. 2+ 3 2 3;
（2）. 3 2 2 3 3 2 2 3 ;
（3）.
3
Hale Waihona Puke 22; （4）.
2
52 .
3.二次根式的化简
(1).最简二次根式：不能再化简的二次根式叫 做最简二次根式。
当被开方数中含有分数或者小数时，二次根式要化简。
(2).同类二次根式：化简后被开方数相同的二次 根式叫做同类二次根式
（2）下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. 12 B. 27 C. 0.2 D. 30
（3）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A. x2 1 B. x2 y2 C. x+y D. 1
x2
例4.化简
（1）. 24 （2）. 48 （3）. 45 （4）. 1000 （5）. 1
3 （6）. 3
二次根式的乘法与除法法则
探究发 现
那么，两个二次根式相除又如何 计算呢？
a？ b
讨论发 现
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
93
93
(3) 16 4 ( 4) 16 4
25 5
பைடு நூலகம்
25 5
4 4 99
16 16 25 25
归纳新 知
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
次根式一般要写成最简二次根式的形式。
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
把下列二次根式化成最简二次根式．
（1） 32 ；（2） 40 ；（3） 1.5 ；（4）
一起放飞理想的翅膀 在知识的天空中自由翱翔
武威三中 严兴菊
知识回 顾
1.二次根式的定义 ：
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根
式。
2.二次根式的性质：
（1）
2
a a (a 0)
（2） a2 a(a 0).
知识回 顾
3.二次根式的乘法：
a b ab (a≥0,b≥0) ab a b (a≥0,b≥0)
拓展提升
1.在括号中填写适当的数或式子使等式成立。
（1） 8 （ 2）＝ 4
（2）2 5 （ 5 ）＝ 10
（3） a－1 （ a－1 ）＝ a－1
（4）3
2
3
＝
6
2.化简下列二次根式，使得分母中不含有根号：
二次根式的混合运算
1 −1
2
应用练习
3.3 计算： − 2 × 6 +
3−2 −
1 −1
2
课 堂 小 结
−
− >0
− =0
绝对值的化简： − = ቐ 0
− − − <0
例题讲解四
4.计算： 12 −
1 −1
2
+
1
3−1
− − 3.14
0
+ 2 3−4
应用练习
4.1 计算：
2012 − 1
− − 2
0
+ −
1 −1
3
+ 3 − 12
课 堂 小 结
1. 完全平方公式： +
2
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
2. 平方差公式： + − = 2 − 2
课堂大总结
1.二次根式的混合运算依据：有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、
3.二次根式的除法法则： ÷ =
4.二次根式除法法则的逆用：
5.完全平方公式： +
2
≥ 0, > 0
= ÷ ≥ 0, > 0
= 2 + 2 + 2 , (a − b)2 = 2 − 2 + 2
6.平方差公式： + − = 2 − 2
应用练习
5.2
2
计算：
3
9 − 6
4
+
1
例题讲解六
6. 计算：
16.2.3 二次根式的乘除法混合运算
作 业
Homework
在下列各式中，哪些是最简二次根式？ 哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简．
(1) 45; (2) 1 ; 3 (3) 5 ; 2 (4) 0.5; 4 (5) 1 . 5
解：只有(3)是最简二次根式；
(1) 45 3 5;
1 1 1 3 3 (2) ; 3 3 3 3 3
（1 ）
（3 ）
=_____；（2）
=________；
=________.
=_________；（4）
新知2
二次根式的应用
例4 设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.
已知 S 2 3, b 10 ，求a的值. 解:∵ S ab,
S 2 3 2 3 10 30 . ∴a b 5 10 10 10
§16.2 二次根式的乘除法
§16 二次根式
复习 回顾
二次根式乘法法则：
一般地有 反之：
a
b = ab （a≥0，b≥0 ）． b （a≥0，b≥0 ）．
ab = a
二次根式除法法则：
a a (a 0, b 0). b b
m a m a (a 0, b 0, n 0). n b n b
a a (a 0, b 0). b b
新知1
最简二次根式
问题1 你还记得分数的基本性质吗？
f f ·h ( h 0 ). g g ·h
问题2 前面我们学习了二次根式的除法法则， 你会去掉
2 3
这样的式子分母的根号吗？
是不是可以用分数的 基本性质去掉分母的 根号呢？Βιβλιοθήκη 新知3最简二次根式
【例2】（1）已知长方体的体积V= 高h=
二次根式的乘除混合运算
(4)观察下列各式： 1 1 2 1，2 1 3 1，3 1 4 1，
3
3
4
4
5
5
........请你将发现的规律用含 自然数n（n 1)的等式表示出来 __________
反思： 通过这节练习课的练习，学生能够很好的掌握二次根式 的乘除混合运算，并且能够对分母是多项式的进行分母 有理化.
复习：整式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的？ 整式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有括号的先算括号里面的.
例如：计算- 2a3b2 2 ab2Байду номын сангаас 4ab 5
问题：你知道二次根式的乘除混合运算的顺序是怎样进行的吗？ 知识点1：二次根式的乘除混合运算的顺序从左至右进行，有 括号的先算括号里面的.
计算
n n 1
(2)利用上面提供的解法化 简：
1 1 1 .......... 1
1
1 2 2 3 3 4
98 99 99 100
选择题：精心选一选，你会很开心！
（1）设 2 a, 3 b,用含a,b的式子表示 0.54，下列表示正确的是（
）
A.0.3ab
B.3ab
C.0.1ab2
(1) 45 3 1 3 5 52
(2) 4 18 2 8 1 54
3
3
(3) 2 b
ab5
6a b2
b ( 3 a2
a3b )
(4)2 ab ( 3 a2b 3 a ) 2
计算：
(1)3 3 1 3
(2) 3 6 2
(5)3 2 2 ( 1 15） 1 2
38
25
分母有理化的重要应用
二次根式的乘除和最简二次根式知识点
1。乘法法则： （ ≥0， ≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.
2.积的算术平方根
（ ≥0， ≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ≥0， ≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；
（1）被开方数不含有分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：
（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的a移到根号外面.
知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则： （ ≥0， >0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除..，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意， ≥0， >0，因为b在分母上，故b不能为0.
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.
2.商的算术平方根的性质
（ ≥0， >0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.
知识点三、最简二次根式
二次根式性质与运算
（1） 2(a 1) 2a 4
xy y2 （2）
x y
（3） 1 2 1
（4） 3 5 2 3 3 52 3
【例7】 若最简二次根式 2 3
3m2 2 与 n21 4m2 10 是同类二次根式，求 m、n 的值．
计算：
【例8】
化简
1
1
1
n2 (n 1)2
，所得的结果为（
）
A．1 1 1 n n1
C．1 1 1 n n1
B． 1 1 1 n n1
D．1 1 1 n n1
1.【难度】1 星
【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或
0．
【答案】二次根式有： 2 、 x(x 0) 、 0 、 x y （x≥0，y≥0）；不是二次根式的
(3 5 2 3)2
19 4 15
3 5 2 3 (3 5 2 3) (3 5 2 3)
11
【答案】（1） (a 1) 2a 4 ；（2） y x y ；（3） 2 1；（4） 19 4 15 ．
a2
11
.7【难度】2 星
【解析】依题意，得
3m2 2 n2 1
或
m
2
2．
n 3 n 3 n 3
n 3
8..【难度】1 星 【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
(1
1 )2 n
2 n
(n
1 1)2
(
n 1)2 n
2 n
(n
1 1)2
二次根式的乘法和除法
二次根式的乘法和除法对于二次根式的乘法和除法，我们需要掌握一些基本的规则和技巧。
在本文中，我们将介绍这些规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解和运用。
1. 二次根式的乘法两个二次根式相乘的结果仍然是一个二次根式。
具体的乘法规则如下：(a√b) * (c√d) = ac√(bd)这里，a和c是系数，b和d是被开方数。
我们将两个系数相乘，并将两个被开方数相乘。
最后，将乘积放在根号下，并将根号外的系数化简。
下面是一些具体的例子：(2√3) * (5√2) = 2 * 5 * √(3 * 2) = 10√6(3√5) * (4√5) = 3 * 4 * √(5 * 5) = 12√25 = 12 * 5 = 60这些例子展示了如何将两个二次根式相乘，并将结果化简到最简形式。
2. 二次根式的除法两个二次根式相除同样可以得到一个二次根式。
具体的除法规则如下：(a√b) / (c√d) = (a / c) * √(b / d)这里，a和c是系数，b和d是被开方数。
我们将两个系数相除，并将两个被开方数相除。
最后，将商放在根号外，并将根号内的两个数相除。
下面是一些具体的例子：(8√6) / (2√3) = 8 / 2 * √(6 / 3) = 4√2(12√5) / (3√2) = 12 / 3 * √(5 / 2) = 4√(5 / 2)这些例子展示了如何将两个二次根式相除，并将结果化简到最简形式。
3. 乘法和除法的综合运用在实际应用中，我们通常需要将乘法和除法结合使用。
为了方便计算和简化结果，我们可以先将二次根式进行乘法，再进行除法。
具体的步骤如下：a. 先将要相乘的二次根式进行乘法，得到一个新的二次根式。
b. 再将得到的结果与要除的二次根式进行除法，得到最终结果。
下面是一个例子：(2√3) * (5√2) / (4√5) = (2 * 5 * √(3 * 2)) / (4 * √5) = 10√6 / (4√5)接下来，我们可以进行除法运算：10√6 / (4√5) = 10 / 4 * √(6 / 5) = 5 / 2 * √(6 / 5)最终结果是：5 / 2 * √(6 / 5)通过这个例子，我们可以看到如何将乘法和除法结合使用，并将结果化简到最简形式。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算一、混合运算的定义混合运算是指将不同类型的运算在同一个表达式中进行计算的过程。
在数学中，混合运算常常涉及到加法、减法、乘法、除法等基本运算规则。
二、二次根式的定义二次根式是指具有平方根的数学表达式。
一般情况下，二次根式的形式为√(a × b)或√(a / b)，其中a和b为实数。
需要注意的是，a和b不能是负数。
三、二次根式的混合运算规则在进行二次根式的混合运算时，需要按照以下规则进行计算：1.二次根式的加法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行加法运算。
例如：√2 + √3 = √(2 + 3) = √52.二次根式的减法运算：当两个二次根式具有相同的根数和次方数时，可以进行减法运算。
例如：√5 - √3 = √(5 - 3) = √23.二次根式的乘法运算：可以将二次根式的根数和次方数相乘。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √64.二次根式的除法运算：可以将二次根式的根数和次方数相除。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √35.二次根式的乘方运算：可以将二次根式的根数和次方数进行乘方计算。
例如：(√2)² = √(2²) = √4 = 2四、二次根式混合运算的示例示例一：计算√3 + √5 - √2根据混合运算的规则，我们可以首先进行加法运算，然后再进行减法运算。
即：√3 + √5 - √2 = √(3 + 5) - √2 = √8 - √2由于√8不能继续简化，最后的结果为√8 - √2。
示例二：计算√2 × √3 ÷ √5根据混合运算的规则，我们可以先进行乘法运算，然后再进行除法运算。
即：√2 × √3 ÷ √5 = √(2 × 3) ÷ √5 = √6 ÷ √5由于√6不能被√5整除，所以最后的结果为√6÷ √5。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
练习册习题16.3(４)
学生板演
注意判断 ，不等号方向要变。
小组合作完成。
学生谈收获。
教学反思：分母有理化是二次根式的运算中的一个难点，找分母的有理化因式是关键，一定要要求学生牢记方法，适当可补充内容进行加强训练。
掌握二次根式加减乘除及混合运算。
掌握二次根式加减乘除、混合运算及分母有理化的方法。
教学程序和内容
教师活动
学生活动
备注（反思）
一、复习引入：
二、学习新课：
1、概念归纳
2、例题分析：
上节课中 ，这个过程称为分母有理化， 称为 的有理化因式；（初步认识有理化因式的概念）
练习：二次根式： , , ，他们的有理化因式是怎样的？
课题
16.3二次根式的乘法和除法
课型
新授
教时/累计教时
4/4
教
学
目
的
1、知识技能
2、过程、方法
3、情感、价值
理解有理化因式的概念；
掌握二次根式加减乘除及混合运算；
会解系数或常数项含二次根式的一元一次方程和一元一次不等式；
体会类比、化归的数学思想方法。
教学
策略
和手
段
1、教学重点
2、教学难点
3、教学手段
利用平方差公式得：
集体练习，个别演示。
第4题可以约分做，此外有理化因式更复杂。
三、课堂小结：
四、作业布置
例10：计算：
（1）
（2）
例11：已知 ，求 的值
例12：解不等式：
练习：书上练习16.3(4)
补充：
1、已知 ，求代数式 的值。
2、当 时，求 的值。
3、设 的整数部分为a，小数部分为b，求 的值。
思考：一个二次根式的有理化因式唯一吗？怎样寻找最合适的有理化因式简化运算？
问题思考：
两个含有二次根式地代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，我们就说这两个含有二次根式地代数式互为有理化因式. （进一步完善有理化因式的概念）
例9：把下列各式分母有理化
（ห้องสมุดไป่ตู้）
（2）
（3）
（4）
学生回答
师生共同讨论并举例说明.