第五节曲线的凹凸性拐点与渐近线培训资料

x ( ,0) 0
1 (0, )
4
1 4
( 1 , ) 4
f(x) 不存在
0
13
f (x)
(0,0)
( ,
)
4 163 16
三.曲线的渐近线 定义 如果曲线上的动点 P沿着曲线无限
地远离原点时,点 P与某一固定直线 的距离趋于零,则称该直线为曲线的 渐近线.
1.水平渐近线
渐近线 2.垂直渐近线或铅垂渐近线 3.斜渐近线
只需证 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )(x x0)
设 f (x) 单调增加, 对 x(a,b)
f(x ) [f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )]
[ f ( x ) f ( x 0 ) ] f ( x 0 )x (x 0 )
f()x (x 0 ) f( x 0 )x (x 0 )
设函数 y y(x) 由方程 ylnyxy0确定,
试判断曲线 y y(x) 在点 ( 1 , 1 ) 附近的凹凸性.
解 ylny2y10 y 1
ln y 2
1 y
y
(ln
y y 2)2
1 y(ln y 2)3
0
y y(x) 在点 ( 1 , 1 ) 附近是凸的.
利用凹凸性证明不等式
则必有 f(x0)0或 f (x0) 不存在.
f(x)0 f (x)不存在
注 (1)一般来说圈中的点为 有限多个.
(2)拐点是曲线上的点,表 示拐点要用两个坐标.
例3 讨论曲线 f(x)x42x31拐点.
解 f ( x)的定义域为(,)
f(x)4x36x2
f(x)1x 2 (x1 )
令 f(x)0得 x0,x1
导函数 f (x) 在区间 (a,b) 内单调增加(减少).
证 (条件: f (x) ,结论:曲线 f ( x) )
曲线: y f(x) 曲线上任一点 x 0 处的切线: y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )即 y f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 ) 只需证 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )(x x0)
x
f (x) f (x)
( ,0) 0 0 拐点(0,1)
(0,1) 1 0
(1, )
拐点(1,0)
例4 讨论曲线 f(x)(x1)3 x5 的凹凸性与拐点 解 f ( x)的定义域为(,)
f(x)8x53 5x32 33
令 f(x)0得 x
1 4
f(x) 10 4x1 9 3x
另 f (0)不存在
1.水平渐近线
y b是水平渐近线
y y f(x)
lim [f(x)b]0 x
P
b
或 lim [f(x)b]0 x
limf(x)b x
o xx
或 limf(x)b
x
例5
求曲线 y
1 x
的水平渐近线.
解 因 lim 1 0 水平渐近线为 y 0.
x x
2.垂直渐近线或铅垂渐近线
y
曲线上过x 2 处的切线: y f(x 2 ) f(x 2 )x ( x 2 )
因曲线
f
(
x
)
,
故
f( x ) f( x 1 ) f( x 1 )x (x 1 )
f( x ) f( x 2 ) f( x 2 )x (x 2 )
从而
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1 )x 2 ( x 1 )
f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 2 )x 1 ( x 2 )
从而
f ( x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 1 ) x 2 ( x 1 ) ( 1 )
f ( x 1 ) f ( x 2 ) f ( x 2 ) x 1 ( x 2 ) ( 2 )
(1)式与(2)式相加得
[f( x 2 ) f( x 1 )x ] 2 ( x 1 ) 0
故 f(x2)f(x1) 从而 f (x) 单调增加.
定理4.11 设函数 f ( x)在区间(a,b)内有 二阶导数, 那么 ①如果x(a,b)时, 恒有 f(x)0,
则曲线 f ( x) 在区间(a,b) 内是凹曲线; ②如果x(a,b)时, 恒有 f(x)0,
[f() f(x 0 )x ] ( x 0 ) 0
• ••
a x0
•x
• b
所以 f(x ) f(x 0 ) f(x 0 )x ( x 0 )
故曲线为凹曲线.
(条件:曲线 f ( x), 结论: f (x) )
设 x1 x2是 (a,b) 内任意两点 曲线上过x1 处的切线: y f(x 1 ) f(x 1 )x ( x 1 )
则曲线 f ( x) 在区间(a,b) 内是凸曲线.
例1 讨论曲线 f(x)x42x31的凹凸性.
解 f ( x)的定义域为(,)
f(x)4x36x2
f(x)1x 2 (x1 )
令 f(x)0得 x0,x1
x百度文库
f (x) f (x)
( ,0)
(0,1)
(1, )
补充:07年考研真题10分
y f(x)
c是 f ( x)的间断点
P
xc是铅垂渐近线
第五节 曲线的凹凸性、拐点与渐近线
y
oa
b
x
一.曲线的凹凸性 定义1 直观定义.
注 (1)凹 凸
(2)凹也称上凹、下凸 凸也称上凸、下凹.
y
y
oa
bx o a
bx
定义2 如果在某个区间内, 曲线位于其上 任一点切线的上方, 则称该曲线在 这个区间内是凹曲线; 如果在某个区间内, 曲线位于其上 任一点切线的下方, 则称该曲线在 这个区间内是凸曲线;
例2
试证明
0x时,有
sin
x 2
x
.
(99年考题)
证明 f(x)sinx x 2
又 f(0)0 f()0
f(x)12cos2x1
f(x)1sinx 0 42
所以曲线是凸的
故 0x 时
f(x)sinx x 0
2 即 sin x x .
2
二.曲线的拐点 定义 曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点. 拐点定理 如果P(x0, f(x0))为曲线 f ( x) 的拐点,
定义3 如果对某区间内任意两点x1, x2 有
f(x1x2)f(x1)f(x2),
2
2
则称曲线为凹曲线;
如果对某区间内任意两点x1, x2 有
f(x1x2)f(x1)f(x2),
2
2
则称曲线为凸曲线.
定理4.10 如果函数 f ( x)在区间 (a,b)内可导,
则曲线 f ( x)在区间(a,b) 内凹(凸)