高等数学(下册)考试试卷1——5
大学高等数学下考试题库附答案新编
大学高等数学下考试题库附答案新编Last updated on the afternoon of January 3, 2021《高等数学》试卷1(下)一.选择题(3分⨯10)1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ()..4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有().A.a ∥bB.a ⊥b 3,π=b a .4,π=b a 3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是().(){}21,22≤+≤y xy x .(){}21,22<+<y x y x (){}21,22≤+<y x y x (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是().0=⋅b a 0 =⨯b a 0 =-b a 0 =+b a 函数xy y x z 333-+=的极小值是(). 2-1-设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy z =(). 2222-22-若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则(). p 1<1≤p 1>p 1≥p 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为().[]1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是().x -11x -22x -12x-21微分方程0ln =-'y y y x 的通解为(). x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题(4分⨯5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径).5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题(10分⨯2)1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n nx ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+=.三.计算题 1.()()[]y x y x y e x zxy +++=∂∂cos sin ,()()[]y x y x x e y zxy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z xx z.3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R .5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时,用料最省.2..312x y =《高数》试卷2(下)一.选择题(3分⨯10)1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M (). 12131415设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为().6π4π3π2π函数()22arcsin y x z +=的定义域为().(){}10,22≤+≤y x y x .(){}10,22<+<y x y x()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x .()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为()..4 C 函数22232y x xy z --=的极大值为()..1 C 1-21设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz ()..7 C 若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的,则().1≤r 1≥r 1<r 1≤r 幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为().[]1,1-[)1,1-(]1,1-()1,1-级数∑∞=14sinn nna 是(). A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为().cx e y =x ce y =x e y =x cxe y =二.填空题(4分⨯5)1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设k j b k j i a 32,2+=-+=,求.b a ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+(0>a )所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题(10分⨯2)1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图,以初速度0v 将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律().t x x =(提示:g dt x d -=22.当0=t 时,有0x x =,0v dt dx=)试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =.三.计算题1.k j i 238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂. 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2.00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3(下)一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)1、二阶行列式2-3的值为()45A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ,则a 与b 的向量积为()A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P (-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为()A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点(1,4π)处的两个偏导数分别为() A 、,22,22B 、,2222-C 、22-22-D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ,则y z x z ∂∂∂∂,分别为() A 、z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、z y z R x ,--D 、zy z R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R ,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为()(面积A=2R π)A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为() A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为()A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是()A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为()A 、-2,-1B 、2,1C 、-2,1D 、1,-2二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分)1、直线L 1:x=y=z 与直线L 2:的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
精品文档高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题 3分,共计24分)1、 z = log a (x 2 y 2)(a 0)的定义域为 D= ____________________2 22、 二重积分 In(x y )dxdy 的符号为 _____________ 。
|x| |y| 16、 微分方程dy y tan#的通解为 ________________________dx x x7、 方程y ⑷ 4y 0的通解为 ___________________ 。
&级数的和为 ___________________ 。
n in(n 1)二、选择题(每小题 2分,共计16分)1、二元函数z f (x, y)在(x 0, y 0)处可微的充分条件是()(A ) f (x, y)在(x °, y °)处连续;f x (x, y ), f y (x, y)在(X 0,y °)的某邻域内存在;(C ) f x (x 0,y 。
)x f y (x 0,y 。
)y 当.(x)2 y)2时,是无穷小;(D ) lim xf x (x °,y °) x f y (x °,y °) y 2 2 x) ( y) 2、设U x yf (一)y y xf(),其中 xf 具有二阶连续导数,则ux 2 y xU 2 y等于(A ) x y ;(B ) x ;(C) y ;(D)0 o3、设2 :x 2 y z 2 1,z0,则二重积分 I zdV 等于()(A ) 4和2d13 . r sincos dr ; (B )"d.1 2 .d r sin0 0dr ;2 2y3、由曲线y ln x 及直线xye 1 , y 1所围图形的面积用二重积分表示为为。
4、设曲线 L 的参数方程表示为x (t) ( x ),则弧长元素dsy(t)5、设曲面刀为 2 9x y 9介于 z0及z 3间的部分的外侧,贝U (x 2 y 2 1)ds,其值(B )精品文档2 (C) d0 13o r sin cos dr;(D)2 1 •d d r sin cos dr。
[理学]河海大学高等数学高等数学下册1-15考试试卷及解答
高等数学(下册)考试试卷(一)参考答案一、1、当10<<a 时,1022≤+<y x ;当1>a 时,122≥+y x ;2、负号;3、23;110⎰⎰⎰⎰-+=Dy e eydx dy d σ; 4、dt t t )()(22ψϕ'+'; 5、180π; 6、Cx xy=sin; 7、xxe C e C x C x C y 2423212sin 2cos -+++=; 8、1;二、1、D ; 2、D ; 3、C ; 4、B ; 5、D ; 6、B ; 7、A ; 8、C ; 三、1、21f y f x u '+'=∂∂;)(xy x g x yu +'=∂∂; 2、)()(t x f t x f x u --+=∂∂;)()(t x f t x f t u -++=∂∂; 四、1、)1(21420200220222-----===⎰⎰⎰⎰⎰e dy ye dx e dy dy e dx y y y x y ;2、⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+=πππθθ2020212022132233142rdz r dr d dz r dr d I柱面坐标; 五、令2222,y x xQ y x y P +=+-=则xQy x x y y P ∂∂=+-=∂∂22222)(,)0,0(),(≠y x ; 于是①当L 所围成的区域D 中不含O (0,0)时,xQy P ∂∂∂∂,在D 内连续。
所以由Green 公式得:I=0;②当L 所围成的区域D 中含O (0,0)时,xQy P ∂∂∂∂,在D 内除O (0,0)外都连续,此时作曲线+l 为)10(222<<=+εεy x ,逆时针方向,并假设*D 为+L 及-l 所围成区域,则πε2)(222*=+∂∂-∂∂+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=+++-++++y x D ll L llL dxdy y Px Q Green I 公式六、由所给条件易得: 0)0()0(1)0(2)0(2=⇒-=f f f f又xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 =x x f x f x f x f x f x ∆-∆-∆+→∆)()()(1)()(lim 0xf x f x f x f x f x ∆-∆⋅∆-+=→∆)0()()()(1)(1lim 20 )](1)[0(2x f f +'= 即)0()(1)(2f x f x f '=+' c x f x f +⋅'=∴)0()(a r c t a n 即 ])0(tan[)(c x f x f +'= 又 0)0(=f 即Z k k c ∈=,π ))0(t a n ()(x f x f '=∴七、令t x =-2,考虑级数∑∞=++-11212)1(n n nn t212321232l i m t n t n t n n n =++++∞→ ∴当12<t 即1<t 时,亦即31<<x 时所给级数绝对收敛;当1<t 即3>x 或1<x 时,原级数发散;当1-=t 即1=x 时,级数∑∞=++-11121)1(n n n 收敛; 当1=t 即3=x 时,级数∑∞=+-1121)1(n nn 收敛; ∴级数的半径为R=1,收敛区间为[1,3]。
(完整word版)高等数学下册试卷及答案
高等数学(下册)考试试卷(一)、填空题(每小题 3分,共计24分)1、 z=<log a (x 2 y 2)(a 0)的定义域为 D = 重积分ln(x 2 y 2 )dxdy 的符号为|x| |y| 1皿八 皿…、…, x (t )4、设曲线L 的参数方程表示为y (t )5、设曲面习2-入一y 9介于z(x 2的和为n 1n(n 1)二、选择题(每小题 2分,共计16分)1、二元函数z f (x, y )在(x 0,y 0)处可微的充分条件是(f (x, y)在(X o ,y o )处连续;3、由曲线 y ln x 及直线x y e 1,1所围图形的面积用二重积分表示6、微分方程 dy dxy taM 的通解为 x x7、方程y(4)4y0的通解为(C) z f x (x 0,y °) x f y (x 0,y °) y 当 v( x)2 ( y)2 。
时,是无穷小;(D) 12、设uz f x (x 0,y °) hmy 0(x)2yf(-) xf(Y),其中x f y (x 0,y 。
)y (y )2f 具有一阶连续导数,0。
2mU则x22y —U 等于((A)xy x y; (B) x;(C) y ;x (D)0 。
y3、设 :2x22y z 1, z0,则三重积分IzdV 等于( )f x (x ,y ) , f y (x, y )在(X 0, y o )的某邻域内存在;2、x ),则弧长元素ds分的外侧,则1)ds (B)(A) 4o 2do 2d1r 3sin cos dr ;(A)方程xy 2y x 2y 0是三阶微分方程;(B)方程y — x — ysin x 是一阶微分方程;dx dx(C) 方程(x 2 2xy 3)dx (y 2 3x 2y 2)dy 。
是全微分方程; (D)方程 曳 1x 宣是伯努利方程。
dx 2 x7、已知曲线y y(x)经过原点,且在原点处的切线与直线 2x y 6 0平行,而y(x)(B)典 °d ;「2sin dr ;2 (C) d1 3 .r sincos dr ; (D)1 3.r sincos dr 。
高等数学下期末试题七套附答案
高等数学(下)试卷一一、 填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 (2)已知函数arctany z x =,则zx ∂=∂(3)交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=(4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰(5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为二、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,则( ) A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交(2)设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =( ) A.dx dy +B.dx +D.dx(3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D.22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰(4)已知幂级数,则其收敛半径( )A. 2B. 1C. 12D. (5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=( )A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题(每题8分,共48分)1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =,求zx ∂∂, z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin)()yLxy x dx x e dy++-⎰,其中L为摆线sin1cosx t ty t=-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O到(,2)Aπ的一段弧6、求微分方程xxy y xe'+=满足11xy==的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面z=与上半球面z=(10)'2、(1)判别级数111(1)3nnnn∞--=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(6')(2)在(1,1)x∈-求幂级数1nnnx∞=∑的和函数(6')高等数学(下)试卷二一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数z=的定义域为;(2)已知函数xyz e=,则在(2,1)处的全微分dz=;(3)交换积分次序,ln10(,)e xdx f x y dy⎰⎰=;(4)已知L是抛物线2y x=上点(0,0)O与点(1,1)B之间的一段弧,则=⎰;(5)已知微分方程20y y y'''-+=,则其通解为.二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L为30x y zx y z++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z--+=,则L与π的夹角为();A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设是由方程333z xyz a-=确定,则zx∂=∂();A.2yzxy z- B. 2yzz xy- C. 2xzxy z- D. 2xyz xy-(3)微分方程256xy y y xe'''-+=的特解y*的形式为y*=();A.2()xax b e+ B.2()xax b xe+ C.2()xax b ce++ D.2()xax b cxe++(4)已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dvΩ⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为();A222000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰B.22000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.2000ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰D.22000sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).A. 2B. 1C. 12D. 三.计算题(每题8分,共48分)5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin 3n nnn π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1n n x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰,∑为抛物面22z xy =+(01)z ≤≤的下侧高等数学(下)模拟试卷三一. 填空题(每空3分,共15分)1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx = .二.选择题(每空3分,共15分)1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 (A )可去 (B )跳跃(C )无穷 (D )振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)
高等数学(同济)下册期末考试题及答案(5套)高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、z=log(a,(x+y))的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分22ln(x+y)dxdy的符号为负号。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(x+y-e-1)dxdy,其值为1/2.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t),y=ψ(t)}(α≤t≤β),则弧长元素ds=sqrt(φ'(t)^2+ψ'(t)^2)dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧,则∬(x+y+1)ds=27√2.6、微分方程y'=ky(1-y)的通解为y=Ce^(kx)/(1+Ce^(kx)),其中C为任意常数。
7、方程y(4)d^4y/dx^4+tan(x)y'''=0的通解为y=Acos(x)+Bsin(x)+Ccos(x)e^x+Dsin(x)e^x,其中A、B、C、D为任意常数。
8、级数∑n(n+1)/2的和为S=1/2+2/3+3/4+。
+n(n+1)/(n+1)(n+2)=n/(n+2),n≥1.二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是(B)f_x'(x,y),f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y),其中f具有二阶连续导数,则x^2+y^2等于(B)x。
3、设Ω:x+y+z≤1,z≥0,则三重积分I=∭Ω2z dV等于(C)∫0^π/2∫0^1-rsinθ∫0^1-r sinθ-zrdrdφdθ。
4、球面x^2+y^2+z^2=4a^2与柱面x^2+y^2=2ax所围成的立体体积V=(A)4∫0^π/4∫0^2acosθ∫0^4a-rsinθ rdrdφdθ。
高等数学(下)测试卷-带答案
高等数学(下)测试卷一.填空题(本大题满分20分,共有5小题,每小题4分)1.设则.2.设,则.3.化二次积分为极坐标形式:.4.设则曲线积分.5.微分方程的通解为.二.选择题(本大题满分20分,共有5小题,每小题4分)1.设则下面结论正确的是 [ ]与的对应坐标成比例;;;(是数),则2.设,则下列等式成立的是 [ ] (A);(B);(C);(D)3.设是由轴,轴及围成的区域,则[ ] (A);(B);(C);(D)4.设连续可微,且曲线积分与路径无关,则[ ]5.级数的收敛域为 [ ];;;.三.计算题(本大题满分35分,共有5小题,每小题7分)1.求过点且与直线垂直的平面方程.2.已知由方程所确定,求3.求其中是由所围的区域.4.判别级数的敛散性,如果收敛,问是绝对收敛还是条件收敛?5.求微分方程的通解.四.(本题满分10分)求其中是由点到点的直线段.五.(本题满分10分)设一条曲线经过点且曲线在上形成的曲边梯形面积的值等于该曲线终点的横坐标与纵坐标乘积的二倍减去求曲线的方程.六.(本题满分5分)试证:当时,若级数收敛,则级数也收敛.一.填空题:二.选择题:三.计算题:1.解:平面法线向量-----------分平面方程为即-----------分2.解:-----------分-----------分3.解:原式-----------分= -----------分4.解:所以级数收敛.-----------分各项取绝对值,级数变为,所以级数绝对收敛. -----------分5.解:特征方程 ----------分微分方程的通解为-----------分四.解:直线的方程为:-----------分的变化范围:-----------分原式-----------分-----------分五.解:设曲线方程为由题意得-----------分两边对求导:即:-----------分分离变量,积分得-----------分代入,得所求曲线的方程为 -----------分六.证:由根据比较判别法知,级数收敛--------分又,根据比较判别法的极限形式知,级数收敛. -------分。
高等数学下册试卷及答案
高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C ) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
大学高等数学下考试题库附答案
大学高等数学下考试题库附答案IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】《高等数学》试卷1(下)一.选择题(3分⨯10)1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ()..4 C 向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有().A.a ∥bB.a ⊥b 3,π=b a .4,π=b a 3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是().(){}21,22≤+≤y xy x .(){}21,22<+<y x y x (){}21,22≤+<y x y x (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b 垂直的充要条件是().0=⋅b a 0 =⨯b a 0 =-b a 0 =+b a 函数xy y x z 333-+=的极小值是().2-1-设y x z sin =,则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πy z =(). 2222-22-若p 级数∑∞=11n p n 收敛,则(). p 1<1≤p 1>p 1≥p 幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为().[]1,1-()1,1-[)1,1-(]1,1-幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛02在收敛域内的和函数是().x -11x -22x -12x-21微分方程0ln =-'y y y x 的通解为(). x ce y =x e y =x cxe y =cx e y =二.填空题(4分⨯5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ,则=∂∂∂y x z 2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D .4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径).5.求微分方程x e y y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题(10分⨯2)1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍,且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1,求此曲线方程 .试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n nx ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+=.三.计算题 1.()()[]y x y x y e x zxy +++=∂∂cos sin ,()()[]y x y x x e y zxy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z.3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-. 4.3316R .5.x x e e y 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时,用料最省.2..312x y =《高数》试卷2(下)一.选择题(3分⨯10)1.点()1,3,41M ,()2,1,72M 的距离=21M M (). 12131415设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ,则两平面的夹角为().6π4π3π2π函数()22arcsin y x z +=的定义域为().(){}10,22≤+≤y x y x .(){}10,22<+<y x y x()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x .()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为()..4 C 函数22232y x xy z --=的极大值为()..1 C 1-21设223y xy x z ++=,则()=∂∂2,1xz ()..7 C 若几何级数∑∞=0n n ar 是收敛的,则().1≤r 1≥r 1<r 1≤r 幂级数()n n x n ∑∞=+01的收敛域为().[]1,1-[)1,1-(]1,1-()1,1-级数∑∞=14sinn nna 是(). A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为().cx e y =x ce y =x e y =x cxe y =二.填空题(4分⨯5)1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行,则直线l 的方程为__________________________.2.函数xy e z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________.三.计算题(5分⨯6)1.设k j b k j i a 32,2+=-+=,求.b a ⨯2.设22uv v u z -=,而y x v y x u sin ,cos ==,求.,yz x z ∂∂∂∂3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定,求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图,求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+(0>a )所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题(10分⨯2)1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图,以初速度0v 将质点铅直上抛,不计阻力,求质点的运动规律().t x x =(提示:g dt x d -=22.当0=t 时,有0x x =,0v dt dx=)试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA.二.填空题 1.211212+=-=-z y x .2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x .5.3x y =.三.计算题1.k j i 238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂. 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题 1.316. 2.00221x t v gt x ++-=. 《高等数学》试卷3(下)一、选择题(本题共10小题,每题3分,共30分)1、二阶行列式2-3的值为()45A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ,则a 与b 的向量积为()A 、i-j+2kB 、8i-j+2kC 、8i-3j+2kD 、8i-3i+k3、点P (-1、-2、1)到平面x+2y-2z-5=0的距离为()A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点(1,4π)处的两个偏导数分别为() A 、,22,22B 、,2222-C 、22-22-D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ,则y z x z ∂∂∂∂,分别为() A 、z y z R x --,B 、z y z R x ---,C 、z y z R x ,--D 、zy z R x ,- 6、设圆心在原点,半径为R ,面密度为22y x +=μ的薄板的质量为()(面积A=2R π)A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为() A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为()A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是()A 、一阶B 、二阶C 、三阶D 、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为()A 、-2,-1B 、2,1C 、-2,1D 、1,-2二、填空题(本题共5小题,每题4分,共20分)1、直线L 1:x=y=z 与直线L 2:的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学下期末试题(七套附答案)
高等数学(下)试卷一一、 填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 (2)已知函数arctany z x =,则zx ∂=∂(3)交换积分次序,2220(,)y y dy f x y dx⎰⎰=(4)已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段,则()Lx y ds +=⎰(5)已知微分方程230y y y '''+-=,则其通解为 二、选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为321021030x y z x y z +++=⎧⎨--+=⎩,平面π为4220x y z -+-=,则( ) A. L 平行于π B. L 在π上 C. L 垂直于π D. L 与π斜交(2)设是由方程xyz =(1,0,1)-处的dz =( )A.dx dy +B.dx ++D.dx (3)已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5z =所围成的闭区域,将22()x y dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A.2253d r dr dzπθ⎰⎰⎰ B.2453d r dr dzπθ⎰⎰⎰ C.2253502rd r dr dzπθ⎰⎰⎰ D. 22520d r dr dzπθ⎰⎰⎰(4)已知幂级数,则其收敛半径( )A. 2B. 1C. 12D.(5)微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y *=( )A.B.()x ax b xe +C.()xax b ce ++D.()xax b cxe ++三、计算题(每题8分,共48分)1、 求过直线1L :123101x y z ---==-且平行于直线2L :21211x y z+-==的平面方程 2、 已知22(,)z f xy x y =,求zx ∂∂, z y ∂∂3、 设22{(,)4}D x y x y =+≤,利用极坐标求2Dx dxdy ⎰⎰4、 求函数22(,)(2)x f x y e x y y =++的极值5、计算曲线积分2(23sin )()yL xy x dx x e dy ++-⎰, 其中L 为摆线sin 1cos x t t y t =-⎧⎨=-⎩从点(0,0)O 到(,2)A π的一段弧6、求微分方程 xxy y xe '+=满足 11x y ==的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算22xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰,其中∑由圆锥面z =与上半球面z =所围成的立体表面的外侧 (10)' 2、(1)判别级数111(1)3n n n n∞--=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(6')(2)在(1,1)x ∈-求幂级数1nn nx∞=∑的和函数(6')高等数学(下)试卷二一.填空题(每空3分,共15分)(1)函数z =的定义域为 ; (2)已知函数xyz e =,则在(2,1)处的全微分dz = ;(3)交换积分次序,ln 1(,)e x dx f x y dy⎰⎰= ;(4)已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与点(1,1)B 之间的一段弧,则=⎰;(5)已知微分方程20y y y '''-+=,则其通解为 .二.选择题(每空3分,共15分)(1)设直线L 为300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩,平面π为10x y z --+=,则L 与π的夹角为( );A. 0B. 2πC. 3πD. 4π(2)设是由方程333z xyz a -=确定,则z x ∂=∂( );A. 2yz xy z -B. 2yz z xy -C. 2xz xy z -D. 2xy z xy -(3)微分方程256x y y y xe '''-+=的特解y *的形式为y *=( );A.2()x ax b e +B.2()x ax b xe +C.2()x ax b ce ++D.2()xax b cxe ++ (4)已知Ω是由球面2222x y z a++=所围成的闭区域, 将dv Ω⎰⎰⎰在球面坐标系下化成三次积分为( ); A222sin ad d r drππθϕϕ⎰⎰⎰ B.220ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰C.20ad d rdrππθϕ⎰⎰⎰ D.220sin a d d r drππθϕϕ⎰⎰⎰(5)已知幂级数1212nnn n x ∞=-∑,则其收敛半径( ).B. 1C. 12 D.三.计算题(每题8分,共48分)5、 求过(0,2,4)A 且与两平面1:21x z π+=和2:32y z π-=平行的直线方程 .6、 已知(sin cos ,)x yz f x y e +=,求zx ∂∂, z y ∂∂ .7、 设22{(,)1,0}D x y x y y x =+≤≤≤,利用极坐标计算arctanDydxdy x ⎰⎰ .8、 求函数22(,)56106f x y x y x y =+-++的极值. 9、 利用格林公式计算(sin 2)(cos 2)xx Ley y dx e y dy-+-⎰,其中L 为沿上半圆周222(),0x a y a y -+=≥、从(2,0)A a 到(0,0)O 的弧段.6、求微分方程 32(1)1y y x x '-=++的通解.四.解答题(共22分)1、(1)(6')判别级数11(1)2sin3n n n n π∞-=-∑的敛散性,若收敛,判别是绝对收敛还是条件收敛;(2)(4')在区间(1,1)-内求幂级数1nn x n ∞=∑的和函数 .2、(12)'利用高斯公式计算2xdydz ydzdx zdxdy∑++⎰⎰,∑为抛物面22z x y =+(01)z ≤≤的下侧高等数学(下)模拟试卷三一. 填空题(每空3分,共15分)1、 函数arcsin(3)y x =-的定义域为 .2、22(2)lim 332n n n n →∞++-= .3、已知2ln(1)y x =+,在1x =处的微分dy = . 4、定积分1200621(sin )x x x dx -+=⎰.5、求由方程57230y y x x +--=所确定的隐函数的导数dydx =.二.选择题(每空3分,共15分)1、2x =是函数22132x y x x -=-+的 间断点 (A )可去 (B )跳跃 (C )无穷 (D )振荡2、积分1⎰= .(A) ∞ (B)-∞(C) 0 (D) 13、函数1xy e x =-+在(,0]-∞内的单调性是 。
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1,y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy,其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β),则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧,则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是(B)f_x'(x,y),f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y),其中f具有二阶连续导数,则x²+y²等于(A)x+y。
3、设Ω:x+y+z≤1.z≥0,则三重积分I=∭ΩzdV等于(D)∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=(C)8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注:原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”,已进行更正。
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高等数学(下册)考试试卷(一)一、填空题(每小题3分,共计24分)1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ,其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则=++⎰⎰∑ds y x )122( 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题(每小题2分,共计16分)1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续;(B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在;(C ) y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时,是无穷小;(D )0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于( )(A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。
3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于( )(A )4⎰⎰⎰22013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ;(B )⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ;(C )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2020103cos sin dr r d d ;(D )⎰⎰⎰ππϕϕϕθ2013cos sin dr r d d 。
4、球面22224a z y x =++与柱面ax y x 222=+所围成的立体体积V=( )(A )⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a d ; (B )⎰⎰-20cos 202244πθθa dr r a r d ;(C )⎰⎰-20cos 202248πθθa dr r a r d ; (D )⎰⎰--22cos 20224ππθθa dr r a r d 。
5、设有界闭区域D 由分段光滑曲线L 所围成,L 取正向,函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰=+LQdy Pdx )((A )⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy x Q y P )(; (B )⎰⎰∂∂-∂∂D dxdy x P y Q )(; (C )⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y Q x P )(; (D )⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy y P x Q )(。
6、下列说法中错误的是( ) (A ) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程; (B ) 方程x y dxdyx dx dy ysin =+是一阶微分方程; (C ) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程; (D )方程xyx dx dy 221=+是伯努利方程。
7、已知曲线)(x y y =经过原点,且在原点处的切线与直线062=++y x 平行,而)(x y 满足微分方程052=+'-''y y y ,则曲线的方程为=y ( )(A )x e x2sin -; (B ))2cos 2(sin x x e x-; (C ))2sin 2(cos x x e x-; (D )x e x2sin 。
8、设0lim =∞→n n nu , 则∑∞=1n nu( )(A )收敛; (B )发散; (C )不一定; (D )绝对收敛。
三、求解下列问题(共计15分)1、(7分)设g f ,均为连续可微函数。
)(),,(xy x g v xy x f u +==,求yu x u ∂∂∂∂,。
2、(8分)设⎰+-=t x tx dz z f t x u )(),(,求tux u ∂∂∂∂,。
四、求解下列问题(共计15分)。
1、计算=I ⎰⎰-2022xy dy edx 。
(7分) 2、计算⎰⎰⎰Ω+=dV y x I )(22,其中Ω是由x 21,222===+z z z y 及所围成的空间闭区域(8分) 五、(13分)计算⎰++-=L y x ydxxdy I 22,其中L 是xoy 面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点)0,0(O 的封闭曲线的逆时针方向。
六、(9分)设对任意)(,,x f y x 满足方程)()(1)()()(y f x f y f x f y x f -+=+,且)0(f '存在,求)(x f 。
七、(8分)求级数∑∞=++--11212)2()1(n n nn x 的收敛区间。
高等数学(下册)考试试卷(二)1、设z y x z y x 32)32sin(2-+=-+,则=∂∂+∂∂yzx z 。
2、=+-→→xyxyy x 93lim0 。
3、设⎰⎰=202),(x xdy y x f dx I ,交换积分次序后,=I 。
4、设)(u f 为可微函数,且,0)0(=f 则⎰⎰≤+→=++222)(1lim 223t y x t d y x f t σπ 。
5、设L 为取正向的圆周422=+y x ,则曲线积分⎰=-++Lx x dy x ye dx ye y )2()1( 。
6、设→→→+++++=k xy z j xz y i yz x )()()(222,则=div 。
7、通解为xxe c e c y 221-+=的微分方程是 。
8、设⎩⎨⎧<<<≤--=ππx x x f 0,10,1)(,则它的Fourier 展开式中的=n a 。
二、选择题(每小题2分,共计16分)。
1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222422y x y x yx xy y x f ,则在点(0,0)处( )(A )连续且偏导数存在; (B )连续但偏导数不存在; (C )不连续但偏导数存在; (D )不连续且偏导数不存在。
2、设),(y x u 在平面有界区域D 上具有二阶连续偏导数,且满足02≠∂∂∂y x u 及 +∂∂22x u 022=∂∂yu, 则( )(A )最大值点和最小值点必定都在D 的内部; (B )最大值点和最小值点必定都在D 的边界上;(C )最大值点在D 的内部,最小值点在D 的边界上; (D )最小值点在D 的内部,最大值点在D 的边界上。
3、设平面区域D :1)1()2(22≤-+-y x ,若⎰⎰+=Dd y x I σ21)(,⎰⎰+=Dd y x I σ32)(则有( )(A )21I I <; (B ) 21I I =; (C )21I I >; (D )不能比较。
4、设Ω是由曲面1,,===x x y xy z 及0=z 所围成的空间区域,则⎰⎰⎰Ωdxdydz z xy 32 =( ) (A )3611; (B )3621; (C )3631 ; (D )3641。
5、设),(y x f 在曲线弧L 上有定义且连续,L 的参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x ψϕ )(βα≤≤t ,其中)(),(t t ψϕ在],[βα上具有一阶连续导数,且0)()(22≠'+'t t ψϕ, 则曲线积分⎰=Lds y x f ),(( )(A) ⎰βαψϕdt t t f ))(),((; (B)⎰'+'αβψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22 ;(C)⎰'+'βαψϕψϕdt t t t t f )()())(),((22; (D)⎰αβψϕdt t t f ))(),((。
6、设∑是取外侧的单位球面1222=++z y x , 则曲面积分⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz =( )(A) 0 ; (B) π2 ; (C)π ; (D)π4。
7、下列方程中,设21,y y 是它的解,可以推知21y y +也是它的解的方程是( ) (A) 0)()(=++'x q y x p y ; (B) 0)()(=+'+''y x q y x p y ;(C) )()()(x f y x q y x p y =+'+''; (D) 0)()(=+'+''x q y x p y 。
8、设级数∑∞=1n na为一交错级数,则( )(A)该级数必收敛; (B)该级数必发散;(C)该级数可能收敛也可能发散; (D)若)0(0→→n a n ,则必收敛。
三、求解下列问题(共计15分) 1、(8分)求函数)ln(22z y x u ++=在点A (0,1,0)沿A 指向点B (3,-2,2)的方向的方向导数。
2、(7分)求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值。
四、求解下列问题(共计15分) 1、(7分)计算⎰⎰⎰Ω+++=3)1(z y x dvI ,其中Ω是由0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的立体域。
2、(8分)设)(x f 为连续函数,定义⎰⎰⎰Ω++=dv y x f z t F )]([)(222, 其中{}222,0|),,(t y x h z z y x ≤+≤≤=Ω,求dtdF 。
五、求解下列问题(15分) 1、(8分)求⎰-+-=Lx x dy m y e dx my y e I )cos ()sin (,其中L 是从A (a ,0)经2x ax y -=到O(0,0)的弧。
2、(7分)计算⎰⎰∑++=dxdy z dzdx y dydz x I 222,其中∑是)0(222a z z y x ≤≤=+ 的外侧。
六、(15分)设函数)(x ϕ具有连续的二阶导数,并使曲线积分⎰'++-'Lx dy x ydx xe x x )(])(2)(3[2ϕϕϕ与路径无关,求函数)(x ϕ。