酉矩阵
矩阵理论基本知识
矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
线性代数中的酉矩阵理论
线性代数中的酉矩阵理论线性代数是数学中的一个重要分支，研究向量空间及其线性映射的性质和结构。
其中，酉矩阵是线性代数中的一种特殊类型的矩阵，具有很多重要的性质和应用。
本文将探讨线性代数中酉矩阵的理论。
一、酉矩阵的定义与性质酉矩阵是指一个复矩阵，其共轭转置等于其逆矩阵，即对于一个n 阶酉矩阵U，满足以下条件：U*U^H = I，其中U*表示矩阵U的共轭转置，U^H表示矩阵U的转置。
酉矩阵的定义可以简单表达为U*U = I。
酉矩阵具有以下重要性质：1. 酉矩阵的行列式的模长等于1，即|det(U)| = 1。
这是因为酉矩阵的逆矩阵等于其共轭转置，所以行列式的值为1。
2. 酉矩阵的特征值的模长为1，即|λi| = 1。
这是因为酉矩阵具有正交对角化的性质，特征值对应的特征向量构成一组正交归一的基。
3. 酉矩阵的任意两行（或两列）是正交的。
设酉矩阵A的第i行为ai^T，第j行为aj^T，其中ai和aj分别为列向量，那么ai^T * aj = 0。
4. 酉矩阵的转置也是酉矩阵。
即如果U是酉矩阵，则U^T也是酉矩阵。
二、酉矩阵的应用酉矩阵在量子力学和信号处理等领域有广泛的应用。
1. 量子力学中的酉矩阵：量子力学中的态矢量表示为复向量，而量子系统的演化可以由酉矩阵描述。
在量子计算中，酉矩阵用于表示量子比特的操作。
2. 信号处理中的酉矩阵：信号处理领域中，酉矩阵用于表示信号变换的正交变换矩阵，如傅里叶变换和离散余弦变换等。
3. 几何旋转中的酉矩阵：二维和三维空间中的几何旋转可以由酉矩阵来表示，这是因为酉矩阵具有正交性质。
4. 线性方程组求解中的酉矩阵：酉矩阵用于线性方程组的求解，特别是在正交正交子空间的情况下，酉矩阵可以简化方程组的求解过程。
三、酉相似和酉相等在酉矩阵理论中，有两个重要的概念，即酉相似和酉相等。
1. 酉相似：如果一个矩阵A可以通过酉变换相似地变为矩阵B，即存在酉矩阵U，使得B = U^H * A * U，则矩阵A和B是酉相似的。
酉矩阵通用表达式
酉矩阵通用表达式
酉矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
它是一个特殊的方阵，具有一些特殊的性质和特征。
酉矩阵的定义和性质可以用以下通用表达式来描述：
设A是一个n阶复数方阵，如果满足以下条件：
1. A的共轭转置矩阵等于A的逆矩阵，即A* = A^(-1)；
2. A的每个元素的模的平方之和等于1，即对于任意的i和j，|A(i,j)|^2 + |A(i+1,j)|^2 + ... + |A(n,j)|^2 = 1，其中|A(i,j)|表示A的第i 行第j列元素的模。
则称A为酉矩阵。
酉矩阵具有许多重要的性质和特征，下面将对其中一些进行介绍。
酉矩阵是一个幺正矩阵。
幺正矩阵是指满足A*A = I的方阵，其中I 是单位矩阵。
这意味着酉矩阵的共轭转置矩阵和它本身的乘积等于单位矩阵。
酉矩阵保持向量的内积不变。
对于任意的复数列向量x和y，如果A是一个酉矩阵，则有(x,y) = (Ax,Ay)，其中(x,y)表示x和y的内积。
这个性质在量子力学中有重要的应用。
酉矩阵的特征值都具有模长为1的性质。
对于酉矩阵A，它的特征值λ满足|λ| = 1。
这意味着酉矩阵的特征值总是在单位圆上。
酉矩阵是可逆的。
由于酉矩阵的共轭转置矩阵等于它的逆矩阵，所以酉矩阵是可逆的。
这个性质在矩阵求逆的计算中是非常有用的。
酉矩阵是一类具有特殊性质和特征的方阵。
它在许多领域中都有广泛的应用，特别是在量子力学中。
通过上述通用表达式的描述，我们可以更好地理解和应用酉矩阵的各种性质和特征。
关于酉矩阵的若干结果
ｄ ｔ ・ｄ ｔ ＝ ｄ ｔ ・ｄｅ Ｕ ＝ｆ ｅ Ｕ ． ｅ ｅＵ ｅＵ ｔ ｄ ｔ ｆ
本文 中的符 号 除另加 说 明之外 ， 均采 用 北 京 大 学数 学系 几何 与 代数 教 研 室前 代 数 小组 （ ０ ３ 中 ２０ ） 常用 的符号 。
因为 （ Ｕ ） ＝ （ ）（ ＝ （ Ｕ） （ Ｕ） ） ＝
若 ｎ阶复方 阵 Ｕ满足
：Ｅ， 则称
ｆ为酉矩 阵 。 ／
定 义 ３ 若 ｎ阶复方 阵 Ｕ满 足 Ｕ Ｈ＝Ｕ 则称 ～，
Ｅ ＝Ｅ， 以 Ｕ 是 酉矩 阵 。 所 因为 （ ） Ｕ Ｕ （ 一） ： （ ） Ｕ ） ： （ Ｈ Ｅ， 以 Ｕ 是酉矩 阵 。 所 ＝
２ 结 果
下面 以定 理或 推 论 的形 式 给 出 酉 矩 阵 的若 干
结果 。
（０３ 相关 内容的补充和推广， ２０ ） 对矩阵理论 的研究
具 有重要 的意 义 。
定理 １
设 Ｕ是 酉矩 阵 ， 其行 列 式 的模 为 则
ｌ 即 ｌ ｅＵｌ＝１， 中 ｄ ｔ ， ｔ ｄ 其 ｅＵ表示 的行列 式 。 证 明 ： Ｕ Ｕ ＝Ｅ得 由 ｕ
是 正 交 矩 阵 ， 以对 正 交矩 阵 的研 究就 显 得 格 外 重要 。 同 样道 理 ， 要 得 到 复 空 间 中保 持 度 量 不 变的 线 性 变换 ， 应 该 对 所 想 就
正 交变 换进 行 推 广 ， 其 推 广 到 复数 域 上 ， 对 应 的 正 交矩 阵 相 应 的 也 推 广 到 复 数 域— — 酉 矩 阵 。 通 过 矩 阵 理 论 的 深 入 将 那 研 究 ， 正 交 矩 阵与 酉矩 阵进 行 比较 ， 到 了酉 矩 阵 的 若 干 结果 。 对 得 关 键 词 ： 阵 ； 交矩 阵 ； 矩 阵 矩 正 酉
酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
正交矩阵与酉矩阵的性质和应用0 前言 (1)1 欧式空间和正交矩阵 (2)1.1 欧式空间 (2)1.2 正交矩阵的定义和性质 (2)1.2.1 正交矩阵的定义和判定 (2)1.2.2 正交矩阵的性质 (3)2正交变换的定义和性质 (12)2.1正交变换定义的探讨 (12)2.2正交变换的判定 (14)2.3正交变换的性质 (15)3正交矩阵的应用 (17)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (17)3.2利用正交矩阵化二次型为标准形 (22)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (22)3.2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (23)3.2.3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程 (25)3.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (26)3.4正交矩阵在方程组的求解中的应用 (35)4 酉空间和酉矩阵 (38)4.1 酉空间 (38)4.1.1 酉空间的定义 (38)4.1.2 酉空间的重要结论 (38)4.2 酉矩阵 (40)4.2.1 酉矩阵的定义 (40)4.2.2 酉矩阵的性质 (40)5酉矩阵的应用 (48)5.1酉矩阵在矩阵的分解中的应用 (48)5.2 利用酉矩阵化正规矩阵为对角形矩阵 (54)6 正交矩阵与酉矩阵 (57)7结论 (60)参考文献 (62)致谢 (63)0前言正交矩阵是一类特殊的实方阵,酉矩阵是一类重要的复矩阵,它们的一些特殊性质,使得它在不同的领域都有着广泛的应用,也推动了其它学科的发展. 随着科学技术的迅速发展,特别是计算机的广泛应用,矩阵问题特别是特殊矩阵的性质及其构造越来越受到科学工作者以及工程人员的重视.它不仅局限于一个数学分支,而且许多理工方法和技术的发展就是矩阵理论的创造的应用与推广的结果.在矩阵理论的研究中,正交矩阵与酉矩阵在线性代数、优化理论、计算方法等方法都占有重要的地位.戴立辉等(2002)对正交矩阵进行了详细的研究,得到了正交矩阵的若干性质；2005年,雷纪刚在《矩阵理论与应用》中给出了正交矩阵和酉矩阵的关系并证明了酉矩阵就是等距变换；2006年,苏育才在《矩阵理论》中介绍了酉矩阵的概念的推广和酉矩阵的一系列性质；2008年,吴险峰在《正交矩阵的进一步探究》中给出了正交矩阵和酉矩阵的一些性质定理,这些都为正交矩阵和酉矩阵的应用奠定了基础.在矩阵理论中,经常利用矩阵来描述变换.在实空间中正交变换保持度量不变,而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵,所以对正交矩阵的研究就显得格外重要.同样道理,想要得到复空间中保持度量不变的线性变换,就应该对正交变换进行推广,将其推广到复数域上,那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域──酉矩阵.下面将通过矩阵理论的深入研究,对正交矩阵与酉矩阵进行比较,得到了酉矩阵的若干结果.1 欧式空间和正交矩阵1.1 欧式空间设V 是实数域上一个线性空间,在V 上定义了一个二元实函数称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) (,)(,)αββα=（对称性）;2) ),(),(βαβαk k =（线性）;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+（线性）;4) ),(αα是非负实数,且),(αα当且仅当0=α（正定性）.这里,,αβγ是V 中任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间称为欧式空间.1.2 正交矩阵的定义和性质在欧式空间中,由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来,如果第一组基是标准正交基,同时过渡矩阵是正交矩阵,那么第二组基一定也是标准正交基.1.2.1 正交矩阵的定义和判定正交矩阵有以下几种等价定义及其判定定义1.1 A 为n 阶实矩阵,若A A E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.2 A 为n 阶实矩阵,若AA E '=,则称A 为正交矩阵.定义1.3 A 为n 阶实矩阵,若1A A -'=,则称A 为正交矩阵.定义1.4 A 为n 阶实矩阵,若A 的n 个行（列）向量是两两正交的单位向量,则称A 为正交矩阵.由正交矩阵的定义可以推出几个重要的关于正交矩阵的判定定理：判定定理 1 A 为正交矩阵1-='⇔A A .判定定理 2 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的行向量组满足1,0,i j ij i j i j γγδ=⎧'==⎨≠⎩其中n j i ,,2,1, =且ij δ是)ker(克朗内克Kronec 记号.即A 的行向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E AA =⇔'()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='''⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔10000100001,,,21n 21 n γγγγγγ ⇔1,,1,2,,0,i j ij i j i j n i j γγδ=⎧'===⎨≠⎩,其中.判定定理 3 A 为正交矩阵⇔当且仅当A 的列向量组满1,0,i j ij i j i jααδ=⎧'==⎨≠⎩.其中n j i ,,2,1, =且ij δ是ker Kronec 记号.即A 的列向量组是欧几里得空间的一个标准正交基.证明 A 为正交矩阵E A A ='⇔()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'''⇔10000100001,,,2121 n n αααααα ⇔1,1,2,...0,i j ij i j i j n i jααδ=⎧'====⎨≠⎩,其中.例1.1 判断矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A (其中θ是实数)是否是正交矩阵. 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθθθθθcos sin sin cos cos sin sin cos 'AA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001. 因此A 是正交矩阵.1.2.2 正交矩阵的性质性质1 设A 为正交矩阵,则 1) 1A =±；2) A 可逆,即1A -存在,其逆1A -也是正交矩阵；3) ,A '*A 也是正交矩阵.并且当A 为)2(>n n 阶正交矩阵时,当1=A 时,*A A =',即ij ij A a =;当1-=A 时,,*A A -='即ij ij A a -=.证明 1) 由AA E '=,可知21A =,则1A =±.对正交矩阵A ,当1A =时,我们称A 为第一类正交矩阵；当1A =时,则称A 为第二类正交矩阵.2) 由,E A A ='可知A 可逆且.1A A '=-又111)()()(---==''='A A A A ,故1A -是正交矩阵.3) 由1)知1A A -'=,A '是正交矩阵.而由*11A A AA --==±,可以得出 ()()()1*1*A A A A --''=±=±=,故*A 是正交矩阵.由*11,A A A A A -'=±==,当1A =时,*A A '=,即ij ij a A =;当1A =-时,*A A -=',即ij ij a A =-.性质2 设,A B 都是n 阶正交矩阵,则1) AB ,m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA -等都是正交矩阵.2) 00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭也是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.证明 1)由11,A A B B --''==可知111)()(---==''='AB A B A B AB ,所以AB 为正交矩阵.从而再由性质1可推知m A (m 为自然数),A B ',AB ',1A B -,1AB -,1A BA-等均为正交矩阵.2) 因为11100000000A A A A B B B B ---''⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 及A A A A A A A A '⎡⎤⎡⎤⎫⎫⎥⎥⎪⎪--⎭⎭⎦⎦A A A A A A A A ''-⎫=⎪''-⎭20010202A A E A A E '⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭故00A A A B A A ⎛⎫⎫ ⎪⎪-⎝⎭⎭是正交矩阵. 3) 准对角矩阵()s A A A ,,,diag 21 为正交矩阵⇔()()()E A A A A A A s s =',,,diag ,,,diag 2121s i E A A i ,,1, =='⇔s A A A ,,,21 ⇔均为正交阵.()iv a a ⎡⎥-⎦. 其中11a -≤≤;性质5 )1设,A B 为n 阶正交矩阵,且A B =-,则A B +必不可逆,即0A B +=； )2设,A B 为奇数阶正交矩阵,且A B =,则必A B -不可逆,即0A B -=； )3设A 是第二类正交矩阵,则E A +必不可逆；)4设A 是奇数阶第一类正交矩阵,则E A -必不可逆.证)1A B BB A BA A B B A A ''''+=+=+B A B A A B B +-='+-='+'-=)(2, 得0A B +=,即A B +不可逆.)2A B BB A BA A B B A A ''''-=-=-B A B A A B B n --='--='-'=)1()(2知当n 为奇数时,A B A B -=-- ,即0A B -=.从而A B -不可逆.充分性. 设对任意的n 阶矩阵B 错误!未找到引用源。
酉阵分解
定理：任意酉矩阵A可以表示为A=U exp( S j ), 其中，U为实正交矩阵，S为实对称矩阵, j为虚根单位。
证明：{分析：如果假设成立，那么由A=U exp(S j)，我们消去U，可得A T A = exp(2S j)。
由假设S为对称矩阵，因此存在正交矩阵V=(v1,v2,…,v n)，使得S=VDV T, 其中D为实对角矩阵，D=diag(d1,d2,…,d n)。
那么exp(2S j)=V exp(2D j) V T,这样就有(A T A)V =V exp(2D j),写为分量形式为e⋅v k , k=1,2,...,n.(A T A)v k= 2k d j因此问题归结为，对于A T A的任意特征值，存在一个实特征向量。
}由于A为酉矩阵，对于A T A的任意特征值λ和相应特征向量x, 我们有A T Ax=λx,即λ−1A T Ax=x .由于A T A是酉矩阵，因此|λ|=1，从而λ−1=λ。
这样我们就有λA T Ax= x, 同时由于A T A为酉矩阵，因此(A T A)H=A T A。
对λA T Ax= x两边取共轭有λA T Ax=x,等式两边左乘以A T A可得λx=A T A x即，A T A x=λx, 因此对于特征值λ，x和x都是相应特征向量. 设x=u+j⋅v的实部向量为u和虚部向量v,由于x为非零向量，因此u或v至少一个为非零向量，因此，对于A T A的任意特征值，存在一个实特征向量。
又因为A T A为酉矩阵,所以A T A为正规矩阵，存在实正交矩阵V和对角矩阵D1使得A T AV =VD1且D1的每个对角元素为单位复数。
因此可设D1=diag(1j eλ⋅2j eλ⋅n j eλ⋅), 其中λ1,λ2,...,λn 为实数，并且根据复指数函数的周期性，我们可以选择0≤λk≤2π，或者−π≤λk≤π，k=1,2,...,n. 令D=(1/2) diag(λ1,λ2,...,λn)得到(A T A)V =V exp(2D j),因此A T A =V exp(2D j)V T=exp(2j⋅VDV T)令S=VDV T, U=A exp(−S j).那么显然由U=A exp(−S j)有A=U exp(S j);由A T A =exp(2j⋅VDV T)得到A T A =exp(2j⋅S). 下面证明U为实正交矩阵。
酉矩阵 unitary matrix
所谓的酉矩阵（Unitary Matrix ），是指其具有如下性质
I =ΦΦH
其中的上标H 表示共轭转置，也即
()T
H *ΦΦ=
所谓的共轭转置其实就是熟悉的转置运算推广到复数域。
当然在这个推广过程中，最重要的物理性质得以保留。
这个保留的意思解释如下。
譬如在实数情况下，两个实数向量之间的内积定义为
∑=i i i y x y x ,
而向量的长度则为
x x x ,2=
而两个向量为正交是说这两个向量的内积等于0. 那么，推广到复数域，内积要推广为
∑==i
i i H w v *,w v w v
这样才能保证内积与长度的关系还是
v v v ,2=
回到最前面，很显然，所谓矩阵是unitary 的，无非是说其不同列之间是正交的，而且每一列具有单位长度。
可以证明，酉矩阵是保持长度或者说保持范数的，也即
()()()22z z z z z z z z z z =====H H H H H H ΦΦΦΦΦΦΦ。
酉矩阵的子式与余子式的关系
:
( 的 表 示 置 换 , 的 符号
三
即
`
了
叮
、尹
一
l 、
é
、
如 果 是 偶置 换
d
一 1
如 果 d 是奇置 换
.
a
,
口 下
,
,
o )
等 表 示 以 正 整数 为 分 量 的 有 限 序 列
,
, 。
假定 1 (
,
(
”
,
下 面是 将要 用 到 的 序
列 的 集合
I
’
= =
{ {
“ “
}“
Ja
二 (a (1 ) ` I
, 一
,
}
( 4 )
设A
口(
(a
;,
) 〔
M
,
是 复 数域 上 的
,
,
行 k 列矩 阵
,
对于
。
1
成。 〔
,
,
,
1蕊l (
k
,
“
`
口
`
.
, ,
,
Q
,
,, 。
,
用 A 〔“ } 夕 〕 表示 A 中 a ( 1 ) …
a
.
:
,
a
, ( 。 ) 行 与 口( 1 ) …
Hale Waihona Puke 口( l ) 4 J 相 交 的元 素 组成 的 子 I
1
(。 ) 一 形 ( 仍
+
1)
/2
,
。 , 于是 ( )
, f ,
(
“
)
,
一
”
初等矩阵及酉矩阵
返回
( H (u) x, H (u) y) ( x, y) H (u) x ( H (u ) x, H (u) x) ( x, x) x H (u ) x x
2 2
<1> Householder变换不仅适用于常数向量，也适用于 随机向量. 它能够保持随机向量的协方差（即二阶统 计 量不变）. <2> Householder变换的范数（或协方差）不变性是几 乎所有Householder变换的关键.
返回
三.初等酉阵(Householder变换)
H (u) E (u,u; 2) E 2uu H , (u H u 1)
(1) H (u)H H (u) H (u)1
Байду номын сангаас
(2) H (u)(a ru) a ru,a u ,r C (镜象变换)
返回
(3)Householder变化的特性
§1.6 初等矩阵及酉矩阵
一、初等矩阵的一般形式
n 定义 1 设u,v C , C , 则称 E (u,v , )=E uv H 为初等矩阵 .
1.初等矩阵的特征向量(u,v 0 , 0).
(1) u v ,设u1 , ,un1是v 的一组基 ,它们也是E( u,v , )的 n 1个线性无关的特征向量. (2) u v ,设u1 , ,un1是v 的一组基 , 则u,u1 , ,un1
是E( u,v , )的n个线性无关的特征向量.
返回
2.初等矩阵的特征值
(E(u,v , ))={1,1, ,1,1 v u} 3.det (E (u,v , ))=1 v H u 1 4. E( u,v, ) E( u,v, H ),(1 v H u 0) v u1
酉矩阵概念及性质
酉矩阵概念及性质
酉矩阵是在线性代数研究中分析及其他研究，例如信号处理，系统设计等，有着重要地位
的一种矩阵类型。
它的定义是一个极大的可操作的长方形矩阵，它的主要特性是行数和列
数均为偶数，它可以在特定的坐标系中被定义。
酉矩阵有一系列特定的性质。
首先，偏移矩阵是主对角线上元素零化的矩阵，即主对角线
上元素均为零。
第二，它可以被分解为两个子矩阵及其相反的对角矩阵的乘积。
第三，它
的乘积可以在它的状态空间中表示。
第四，它的元素、行列式以及其他属性可以通过两个子矩阵及它们的对角矩阵求得。
第五，它能够完全表达当前变量之间的线性关系。
酉矩阵在许多学科中都被广泛应用，特别是在生物技术、电气工程、物理、传感器工程、
信号处理等领域都有着重要的地位。
它被广泛应用于传感器技术，为传感器系统提供了可
靠的方案，从而促进了传感器技术的发展和应用。
在信号处理的应用中，酉矩阵可以用来
分析和处理信号，从而获得更准确的结果。
系统设计中，它可以用来估算系统改进后的性能，以及评估系统变化对系统性能的影响。
总之，酉矩阵是一种重要的矩阵类型，因其自身的特殊性质，在众多学科的应用中发挥着
重要的作用，它的应用不仅有利于提高系统的可靠性和性能，而且还有利于更深入研究系
统的运作原理，充分发挥其应用价值。
(2021年整理)酉矩阵和正交矩阵的性质和应用
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2 正交矩阵的定义和性质 (4)1。
2。
1 正交矩阵的定义和判定 (4)1.2。
2 正交矩阵的性质 (5)2正交变换的定义和性质 (14)2.1正交变换定义的探讨 (14)2.2正交变换的判定 (17)2。
3正交变换的性质 (17)3正交矩阵的应用 (20)3.1正交矩阵在线性代数中的应用 (20)3。
2利用正交矩阵化二次型为标准形 (24)3.2.1 对称矩阵可对角化的相关理论证明 (25)3。
2.2 对称矩阵对角化的具体方法及应用举例 (26)3.2。
3利用正交矩阵化简直角坐标系下的二次曲面方程.. 283.3正交矩阵在矩阵分解中的作用 (29)3。
酉矩阵的特征性质
1 B ij = Eij = eiej′ , ei = ei , i , j = 1 , 2 , …, n 1
A = ( a 1 , a 2 , …, a n ) , 且 ai = A ・ ei , i = 1 , 2 , …, n 1 A B ij A ′ = A eiej′ A′ = A ei ej′ A′ = ( A ei ) ( A ej ) ′ = a i a j′ 1
(ⅲ )1
θ θ r ( cos 1 + i sin 1)
θ 1 - r2 ( cosθ 2 + i sin 2)
1
是二阶酉矩阵 , 于是 A ′ A = A A′ = I ,即
a 12 a 22
=
a 11 a 21
a 12 a 22
a 11 a 12
a21 a22
=
1 0
0 1
1
展开得
| a11 | 2 + | a21 | 2 = | a12 | 2 + | a22 | 2 = | a 11 | 2 + | a 12 | 2 = | a 22 | 2 + | a 21 | 2 = 11
① 收稿日期 :2002 - 11 - 04 基金资助 : 本文得到国家自然科学基金 (No . 19801024) 和广东省自然科学基金 (NO. 984112) 的部分资助
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高等数学研究 2004 年 1 月
2 上式两边取行列式并注意到| A ′ | = | A | , 得 ‖A ‖ = ‖A ‖n 1 但由 A 的非奇异性知 : ‖A ‖ > 01 从而 ‖A ‖n - 2 = 11 注意到 n > 2 及 ‖A ‖> 0 , 可得 ‖A ‖= 11 于是有 A A ′ = ‖A ‖I = I 1 由引 理 5 即知 A 为酉矩阵 。 定理 2 二阶矩阵 A 为酉矩阵的充分必要条件是 A 为下列三种形式之一 : α cosα 0 1 + i sin 1 (ⅰ )1 ; α 0 cosα 2 + i sin 2 β 0 cosβ 1 + i sin 1 (ⅱ )1 ; β cosβ 0 2 + i sin 2
酉矩阵——精选推荐
⾣矩阵正交矩阵、正规矩阵和⾣矩阵在数学中，正规矩阵是与⾃⼰的共轭转置交换的复系数⽅块矩阵，也就是说，满⾜其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对⾓化的⼀个简便⽅法：任意正规矩阵都可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵，反过来所有可在经过⼀个⾣变换后变为对⾓矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的⾣矩阵、埃尔⽶特矩阵和斜埃尔⽶特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不⼀定是正规矩阵⾣矩阵n阶复⽅阵U的n个列向量是U空间的⼀个标准正交基，则U是⾣矩阵(Unitary Matrix)。
⼀个简单的充分必要判别准则是：⽅阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是⾣矩阵。
即⾣矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
⾣⽅阵在量⼦⼒学中有着重要的应⽤。
⾣等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若⼀ n ⾏ n 列的复矩阵U满⾜其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为⾣矩阵或译⼳正矩阵。
即，矩阵U为⾣矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若⾣矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，⼳正矩阵U不改变两个复向量的内积：若为n阶⽅阵，则下列条件等价：1.是⾣矩阵2.是⾣矩阵3.的列向量构成内积空间C n上的⼀组正交基4.的⾏向量构成内积空间C n上的⼀组正交基⾣矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平⾯的单位圆上，因此⾣矩阵⾏列式的值也为1。
⾣矩阵是正规矩阵，由谱定理知，⼳正⾣矩阵U可被分解为其中V是⾣矩阵，Σ是主对⾓线上元素绝对值为1的对⾓阵。
对任意n，所有n阶⾣矩阵的集合关于矩阵乘法构成⼀个群。
性质U可逆U 1 = U*|det(U)| = 1U*是⾣矩阵正交变换最初来⾃于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部运动的动能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,⽤质量加权坐标表⽰的分⼦内部势能,由⼒常数的数学表达式可以知道fij = fji因⽽矩阵为⼀个正交变换通过⾣变换可以把矩阵变形成为对⾓矩阵的形式：。
两个矩阵酉相似,证元素之模的平方和相等
酉相似矩阵是矩阵理论中的一个重要概念，它描述了一种特殊的矩阵相似性。
在研究酉相似矩阵的性质和特点时，人们发现了一些有趣的结论，其中之一就是酉相似矩阵的元素之模的平方和相等的定理。
本文将从酉相似矩阵的定义和性质入手，逐步引入相关定理的证明，以便读者深入理解这一矩阵理论中的重要命题。
一、酉相似矩阵的定义1.1 酉相似矩阵的概念上线性代数中，矩阵的相似性是一个重要的概念。
给定两个n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP=B，那么就称矩阵B是矩阵A的相似矩阵，记作A∼B。
当P是酉矩阵（即P的转置等于P的逆，记作P^*）时，称B是A的酉相似矩阵，记作A≈B。
酉相似矩阵具有许多独特的性质，在物理学和工程学中经常被应用，因此深入研究酉相似矩阵的性质对于理解矩阵理论和应用有着重要意义。
1.2 酉相似矩阵的基本性质酉相似矩阵具有以下基本性质：（1）酉相似矩阵的相似关系是一种等价关系。
（2）酉相似矩阵的迹（矩阵对角元素之和）是相等的。
（3）酉相似矩阵的行列式的模是相等的。
以上是酉相似矩阵的定义和基本性质，接下来将讨论酉相似矩阵的元素之模的平方和相等的定理。
二、定理的表述定理：若A与B是酉相似矩阵，则A与B的元素之模的平方和相等，即∑|a_ij|^2 = ∑|b_ij|^2。
三、定理的证明3.1 酉相似矩阵的定义首先回顾一下酉相似矩阵的定义：若A与B是酉相似矩阵，则存在酉矩阵P使得P^*AP=B。
由于P是酉矩阵，因此有P^*P=I，其中I是单位矩阵。
根据酉相似矩阵的性质，A与B的迹和行列式的模是相等的。
3.2 矩阵元素之模的平方和相等的证明接下来我们来证明定理中的平方和相等的部分。
设A与B分别为n阶矩阵，其元素分别为a_ij和b_ij（1≤i,j≤n）。
则A与B的元素之模的平方和可表示为：∑|a_ij|^2 = |a_11|^2 + |a_12|^2 + ... + |a_nn|^2；∑|b_ij|^2 = |b_11|^2 + |b_12|^2 + ... + |b_nn|^2。
三阶酉矩阵的例子
三阶酉矩阵的例子《三阶酉矩阵的奇妙世界》嘿呀，今天咱来聊聊三阶酉矩阵这个神奇的玩意儿。
可能好多人听到这个名字就有点儿懵圈，啥是酉矩阵呀？别急，听我慢慢道来，咱用接地气的话给你解释解释。
你可以把三阶酉矩阵想象成一个特别厉害的“魔术盒子”。
它就像是一个充满了奇妙魔法的小盒子，有着自己独特的规则和魅力。
这玩意儿在数学的世界里可有着重要的地位呢！比如说，咱可以把一些数字放进去这个“魔术盒子”，然后经过它的一番“捣鼓”，嘿，出来的结果就变得特别有趣。
就好像你给它一些普普通通的数字，它能像变魔术一样给你变出一些意想不到的规律和特点来。
三阶酉矩阵还有个特别的地方，就是它很有“个性”。
它对数字的处理方式就跟人一样，每个人都有自己独特的性格和做事风格，它也是有着自己独特的一套运算规则。
有时候那些数字在它手里就会变得乖乖的，按照它的要求来排列组合。
想象一下，这就像是一个厉害的“数字指挥官”，指挥着那些数字士兵整整齐齐地排列好，该干啥干啥，一点儿都不会乱套。
而且它还特别“靠谱”，每次给你的结果都是准确无误的，不会有一点儿差错。
有时候我都在想，要是现实生活中有这么个厉害的“魔术盒子”或者“数字指挥官”该多好呀！比如说，整理房间的时候，把乱七八糟的东西丢进去，出来就整整齐齐啦。
或者上班的时候，把一堆任务扔进去，它就能给你安排得明明白白，多轻松呀！不过呢，这毕竟还是在数学的世界里，我们只能在脑子里幻想一下。
但是搞懂了三阶酉矩阵，真的能让我们感受到数学的神奇和美妙。
它就像是一把打开数学奥秘大门的钥匙，让我们能看到里面丰富多彩的世界。
所以呀，别小看了三阶酉矩阵这个听起来有点复杂的东西，它可是藏着好多乐趣和惊喜呢！当你深入去研究它，去了解它的脾气和性格，你会发现原来数学也可以这么有趣。
也许你会像发现了一个新玩具一样，兴奋地摆弄它，探索它的各种可能性。
怎么样，是不是对三阶酉矩阵有点儿好奇了呢？赶紧去探索一下这个奇妙的世界吧！。
酉矩阵与HERMITE矩阵性质总结
酉矩阵与Hermite矩阵的浅谈韦龙 201131402摘要科学在发展，社会在进步，人们对于数学的理解越来越深刻，数学应用于日常生活生产越来越广泛。
在数学的很多分支和工程实际应用中, 都涉及到一些特殊的矩阵的性质及构造. 本文讨论两类特殊的矩阵——酉矩阵和Hermite矩阵. 酉矩阵和Hermite矩阵作为两类特殊的矩阵, 有很多良好的性质, 在矩阵理论中具有举足轻重的作用。
本文通过对正交矩阵和酉矩阵关系的概述、酉矩阵的性质和酉矩阵的构造来初步认识酉矩阵，为以后的深入学习奠定基础。
本文主要从Hermite矩阵的性质，判定定理，正定性和Hermite矩阵不等式四个方面讨论Hermite矩阵。
关键词: 酉矩阵；Hermite矩阵；正交矩阵；特征值。
The study of Unitary matrix and Hermite matrixWei Long 201131402AbstractWith the development of science and society, people get a deeper understanding of math , and the use of math becomes more and more widely. In many branches of mathematics and engineering applications, are related to some special nature and structure matrix. This paper discusses a special kind of matrix - unitary matrix and Hermite matrix. The two kinds of matrix as two specials kind of matrix, there are many good properties. In the matrix theory plays an important role in the study of this topic could be more perfect matrix theory. In this paper , we use the knowledge of the unitary matrix and Orthogonal matrix ,the nature of the unitary matrix, the construction of the unitary matrix to get a first impression of the unitary matrix, and make a basement to farther study. And we study the Hermite matrix by the knowledge of the nature of Hermite matrix，determined theorem ，positive definite matrix and the Hermite matrix inequality.Key words: unitary matrix ；Hermite matrix ；Orthogonal matrix;Characteristic value第一章 酉矩阵第一节 酉矩阵的概念及等价条件1.1.1 正交矩阵和酉矩阵定义1.1.1满足E A A AA ==**的n 阶实矩阵A 称为正交矩阵.在矩阵理论中, 经常利用矩阵来描述变换. 在实空间中正交变换保持度量不变, 而正交变换中对应的变换矩阵就是正交矩阵, 所以对正交矩阵的研究就显得格外重要. 同样道理, 想要得到复空间中保持度量不变的线性变换, 就应该对正交变换进行推广, 将其推广到复数域上, 那对应的正交矩阵相应的也推广到复数域就是酉矩阵.1.1.2 酉矩阵的等价条件先给出酉矩阵的以下定义.定义1.1.2 若n 阶复方阵U 满足H U U E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.3 若n 阶复方阵U 满足H UU E =则称U 为酉矩阵. 定义1.1.4 若n 阶复方阵U 满足1H U U -=则称U 为酉矩阵. 注:H U 表示矩阵U 的共轭转置，即H U =-U '.定义1.1.5 若n 阶复方阵U 的n 个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则称U 为酉矩阵.易知定义1.1.2—定义1.1.5是相互等价的. 从定义1.1.2或定义1.1.3或定义1.1.4知, 酉矩阵是可逆矩阵.根据定义1.1.5可得, n 阶酉矩阵U 的n 个行(列) 向量构成nC 的标准正交基.引理1.1.1[3]酉矩阵的行列式的模为1引理1.1.2[4] 对任意的n 阶矩阵A 有E A AA =*.引理1.1.3[5]对任意的n 阶矩阵A 和n 阶可逆矩阵P , 有)()(1A Tr PAP Tr =-引理1.1.4[6]对任意的n m ⨯阶矩阵A 和m n ⨯阶矩阵B , 有)()(BA Tr AB Tr = 引理1.1.5[6]n 阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是：'=A A I 或者'AA E = 定理1.1.1 阵)(ij a A =为酉矩阵的充分必要条件是.,,2,1,n j a AA A ij ='=这里A 表示行列A 的模, 表示ij a 的共轭复数.定理1.1.2 二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a(ii) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且,k 为整数.定理1.1.3 n 阶矩阵A 为酉矩阵的充要条件是: 对任意n 阶矩阵B, 有:)()(B Tr A AB Tr ='第二节 酉矩阵的性质1.2.1 运算性质1.2.1 酉矩阵的转置与伴随矩阵定理1.2.1 设U 为酉矩阵，则-1U U U '，和都是酉矩阵.证明 因为HH U U =U U =U U =E =E '''（）（）（）所以U 是酉矩阵.因为HH H U U =U U =UU =E =E '''''（）（）（）（）（）所以U '是酉矩阵.因为-1H -1H HH H U U =U U =UU =E （）（）（）（）所以-1U 是酉矩阵.定理1.2.2 设U 为酉矩阵, 则U 的伴随矩阵*U 也是酉矩阵. 证明 因为,*-1U =detUgU2*H *-1H -1H -1(U )U =detU U detUU =detU UU =E （）（）（），所以*U 为酉矩阵.定理1.2.3 设1U 和2U 是酉矩阵，则12U U , 21U U 也是酉矩阵.证明 因为1212()()HU U U U1212H H U U U U = 22H U EU E =所以12U U 是酉矩阵, 同理可证，21U U 也是酉矩阵. 推论1.2.1 设U 是酉矩阵，则k U （k 为正整数）是酉矩阵.推论1.2.2 设1U ，2U 是酉矩阵，则12U U ，21U U ；21'U U ，12'U U ；112U U -，112U U -；1121U U U -，1212U U U -也是酉矩阵.推论1.2.3 设1U ，2U 是酉矩阵，则*12U U ，*21U U 也是酉矩阵.推论1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，则k 12U U ，k 21U U ，k m12U U （k , m 为正整数）也是酉矩阵.定理1.2.4 设1U ，2U 是酉矩阵，若1212U U +E 是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵, 因此1111212---U +U =U +U （）证明 因为12121221HH H U +U U +U =E +U U +U U +E （）（）（）12211122H H =E +U U +E +U U +E （）（）E =因此，当1212U U +E 是是反Hermite 矩阵时,1212HU +U U +U =E （）（），记12U +U 也是酉矩阵，从而-112U +U （）1212H H H =U +U =U +U （）-1-112=U +U注: 定理2.4表明, 酉矩阵的和未必是酉矩阵.1.2.2 酉矩阵的行列式定理1.2.5 设U 是酉矩阵，则其行列式的模等于1，即det 1U =，其中det U 表示U 的行列式.证明 由E H U U =得)(1U U det detE H==detU detU H = gdetU U det = gdetU detU =2detU =从而1detU =.定理1.2.6 设1U , 2U 是酉矩阵，则12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦也是酉矩阵.证明 因为HH 11H 22U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-1-111-122U 0U 0=0U 0U ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦所以12U 00U ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是酉矩阵. 因为H11111111U U U U -U U -U U ⎤⎤⎛⎫⎛⎫⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎦⎦12HH H 1111HH H1111U -U 2U U 0U U 02U U ⎡⎤⎡⎤==⎥⎢⎥⎦⎣⎦ H 11H11E0U U 0==0E 0U U ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111U U -U U ⎡⎤⎥⎦是酉矩阵. 定理1.2.7 设U 是酉矩阵, 则对U 的任一行(列)乘以模为1的数或任两行(列)互换, 所得矩阵仍为酉矩阵.证明 设,1i j n U u u u u =（，，，，，）其中,1i j nu u u u ，，，，，是U 的两两正交单位向量. 显然,1i j n u u u u λ，，，，， (1λ=)以及,1i j nu u u u ，，，，，也都是U 的两两正交的单位向量. 由定义1.1.5知结论成立.1.2.3 酉矩阵的特征值与对角化定理1.2.8 设U 是酉矩阵, 则U 的特征值的模为1, 即分布在复平面的单位圆上. 证明 设Ux =x,x 0λ≠, 则由,H H H H U U E x U x λ==可得H x H H H x x x U U x xλλ==于是0H x x λλ=（1-）而0H x x ≠, 故1λλ=即1λ=定理1.2.9 设U 为酉矩阵, λ是U 的特征值, 则1λ是H U 的特征值, 而1λ是U 的特征值.证明 设λ是U 的特征值, 则由定理1.2.1知0λ≠于是-1H U =U 的特征值, 而又可知λ是U 的特征值, 但U 与H U =U '的特征值全部相同,因此λ是H U 的特征值, 所以1λ是H -1U =U （）的特征值.定理1.2.10 设U 是酉矩阵, 则属于U 的不同特征值的特征向量正交.证明 设ξ是U 的属于特征值λ的特征向量, η是U 的属于特征值μ的特征向量, 由,,H U U U U =E ξλξημη==可得=()()=()()=H H H H H H U U U U ξηξηξηλξμηλμξη=所以(1)0H λμξη-=而λη≠从而21λλλλμ==≠故0Hξη=, 即ξ与η正交.定理1.2.11 设U 是酉矩阵, 且为Hermite 矩阵, 则U 必为对合矩阵()2U =E , 从而U 的特征值等于1或-1. 证明 由E UUU U HH==),(得2U =E又因Hermite 矩阵的特征值为实数, 所以根据定理1.2.8得,U 的特征值等于-1或1.引理2.1设是n A M (R)∈, 则A 为正交矩阵的充要条件是存在酉矩阵U , 使=(,,)H U AU diag λλ, 其中()i i =1,n λ，的模为1.引理1.2.2 [9]设n A M (R)∈,则A 为正交矩阵的充要条件是A 有n 个两两正交的单位特征向量n A C ∈, 且特征值的模为1.定理1.2.12 任一个n 阶酉矩阵U 一定正交相似于分块对角矩阵1111cos sin cos sin ,,,1,1,,1,1sin cos sin cos kk k k D diag θθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，，其中0K ≥,cos sin j j j i λθθ=+,cos -sin j j j i λθθ=,cos -sin ;1,.j j j i j k λθθ==，是U 的所有不同的复特征值.证明 U 的所有特征值全为1±, 由引理1.2.1和引理1.2.2知U 一定正交相似于对角矩阵diag(1,,1-1,,-1)，若U 有复特征值111cos +isin λθθ=则111cos -isin λθθ=也是U 的特征值. 因此可设有k 2复特征值.j j j cos +isin λθθ=, j j j cos -isin λθθ=,1,.j j j cos -isin j =,k λθθ=设j a 是属于j λ的单位特征向量, 则j a 属于λ的单位特征向量. 根据酉矩阵属于不同特征值的向量两两正交. 于是12k 12k ,,,,,,λλλλλλ互不相同, ,12k 12k a ,a ,a ,a ,a ,,a 两两正交, 令1),),12.j j j j j a +a r a -a j =,k β==易知j β与j r 为相互正交的实向量. 设2k+12k 2n a ,a ,,a +为U 的属于特征值1±的相互正交的单位实特征向量, 则1122k k 2k+12k 2n =(,r ,,r ,,,r ,a ,a ,,a )U βββ+为一个酉矩阵. 因为1(+)j j U a a β+)j j j j j j cos isin a cos isin )a θθθθ+-jjj j j a +a a a cos sin cos r sin θθβθθ-==-j ()a )rj j j j j j j j j j j j U a -a cos +isin cos -isin a sin +r cos θθθθβθθ= 所以AU =UA , 即A 正交相似于D .定理表明, 如果酉矩阵的特征根都是虚根, 则它在负数域上一定可对角化.1.2.4. 酉矩阵的其它性质定理1.2.13设U 为上(下) 三角的酉矩阵, 则U 必为对角矩阵, 且主对角线上元素的模等于1.证明 不妨设U 为上三角的酉矩阵, 则其逆-1U (上三角)等于其共轭转置H U (下三角),所以U 只能是对角矩阵, 又HU U =E , 故可得U 的主对角线上元素的模等于1.定理1.2.14设U =P+iQ 是酉矩阵, 其中P ,Q 为实矩阵, 则P Q '为实对称矩阵,且P P+Q Q =E ''.证明 由H H U U =(P+iQ)(P+iQ)=E可得P P+Q Q+i(P Q -Q P)=E ''''从而P P+Q Q =E ''及P Q =Q P ''即P Q '为实对称矩阵.酉矩阵与正交矩阵均有许多良好的性质, 它们在线性代数理论、优化理论、计算方法等方面都占有重要的地位.最近,研究了两个偶数阶正交矩阵之和是正交矩阵的充要条件问题, 并指出当A ,B 是奇数阶正交矩阵时, A+B 不可能是正交矩阵. 然而, 对酉矩阵来说, 结果有所不同.下面我们将证明, 对给定的n 阶酉阵A , 一定存在n 阶酉阵B , 使A+B 是酉阵, 并给出酉阵B 的表达式.用n U 表示全体n 阶酉阵; n n C ⨯表示全体n 阶复矩阵.引理1.2.1复方阵A 酉相似于对角阵的充要条件是A 为复正规阵.证明 必要性显然. 充分性由schur 分解定理知, 任意复方阵A 必可酉相似于上三角阵, 即存在n 阶酉阵U , 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n C C C C C AU U λλλ 2232112121* (1-2-1)由条件**=AA A A 得 AU U U A U U UA AU U *****⋅=⋅ (1-2-2) 把(1-2-1)及其共轭转置式代入等式(1-2-2)直接计算可得 C 01<ij i j n =≤≤，从而A 酉相似于对角阵. 由于酉阵是复正规阵, 因此根据引理1知, 任一酉阵均酉相似于对角阵, 且对角线上元素的模长都为1.定理1.2.15已知n A M ∈有特征值12n ,,,λλλ那么存在一个酉矩阵U , 使得()H ij U AU =T =t其中,0ij j ij t t i >j λ==，,T 是上三角矩阵. 如果()n A M R ∈且A 的所有特征值都是实数, 那么, 可选择U 为实正交矩阵.证明 用归纳法证明.设1()(1)(1)()n=A=a ,A =a ，定理成立. 假设n =k 定理也成立, 当n=k +1时. (+1)(+1)()ij k k A a ⨯=成立. 设1λ为A 的特征值, 1q 为它的单位特征向量, 由施密特正交化过程, 存在1321,,,,+k q q q q 使132,,,+k q q q 两两正交且构成k+1C 的标准正交基. 令112k 1=(,,,)U q q q +这是一个U 阵使⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=++++++11211112221*********k H k H k H k k H H H k H H H H Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q Aq q AU U由于 1111,1H H1j j Aq q ,q q q q j λθ===≠所以 11*=0H 1U AU A λ⎡⎤⎢⎥⎣⎦由于1A 为k 阶矩阵, 由归纳假设, 存在k 阶U 矩阵2U , 使H 212U AU =T , 为上三角矩阵,令12100U =U U ⎛⎫ ⎪⎝⎭显然, U 为由阵 且11210*10001H H 2U AU U A U λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11*1001H 22U A U λ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12*0H 212U U AU λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦121*0U T λ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是上三角阵, 由归纳原理可知定理成立, 对于实阵与是正交阵的证明均可用数学归纳法证明.第三节 酉矩阵的构造1.3.1 二阶酉矩阵的构造由定理1.1.2可知二阶矩阵A 为酉矩阵的充分必要条件是A 为下列三种形式之一 :(i)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2211sin cos 00sin cos ββi a i a (ii)⎥⎦⎤⎢⎣⎡++0sin cos sin cos 02211ββββi i (iii)⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-+)sin (cos )sin (cos 1)sin (cos 1)sin (cos 4433222211θθθθθθθθi r i r i r i r 这里123401,2r k θθθθππ<<+--=+且, k 为整数.通过上式可以构造二阶的酉矩阵.1.3.2通过运算性质构造酉矩阵由酉矩阵的运算性质知:(1) 若U 为酉矩阵, 则1,,,T U U U U λ-(其中λ的为单位根)都是酉矩阵.(2) 酉矩阵, 则12,U U 11212,U U U U -等也都是酉矩阵.(3) 酉矩阵, 且1212U U E +是反Hermite 矩阵, 则12U U +也是酉矩阵. 通过这些运算性质可以构造出新的酉矩阵.1.3.3 利用施密特正交化构造酉矩阵矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简单方法，任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来，所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵都是正规矩阵.在高等代数中，我们知道实对称矩阵一定正交相似于对角矩阵，并且讨论过，对已知实对称矩阵A , 求正交矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵的一般歩骤，类似的我们可以讨论，当A 是正规矩阵时，求酉矩阵U ，使得AU U H 为对角矩阵，具体步骤如下：(1) 根n λλλ,, (21)(2) 求每一个相异特征值i λ的特征向量ii V λ；(3) chur 正交单位化的方法，求ii V λ的标准正交基in i i εεε,,,21 ；(4) 命),,(22111211sn n n U εεεεεε =则酉矩阵U 满足12H n U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦若A 是正规矩阵，则A 能酉相似于对角矩阵，即存在酉矩阵U 使得Bdiag AU U n H ==)(21λλλ则 H A UBU =于是()n H n H H H n H A UBU UBU UBU UBU UB U ===而对角矩阵B 的n 次幂是由各对角元素的n 次幂组成，所以通过A 的相似对角矩阵求n A .第二章 Hermite 矩阵为了论述方便，我们给出以下几个定义：1．定义 矩阵A=[ij a ]∈Mn(C)称为Hermite 矩阵，是指A=A*，其中A*=T A =[ji a ]。
酉矩阵——精选推荐
酉矩阵
1.酉矩阵（unitary matrix）定义 若n阶复矩阵A满足 AHA=AAH=E 则称A为酉矩阵，记之为A∈UN×N。其中，AH是A的共轭转置。
2.性质 如果A是酉矩阵 (1)A−1=AH (2)A−1也是酉矩阵； (3)det(A)=1; （det表示矩阵的行列式） (4)充分条件是它的n每个元素aij取共轭得bij，将新得到的由bij组成的新m*n型矩阵记为矩阵B，再对矩阵B作普通转置得到BT，即为A的共轭转置矩 阵：BT=AH
对于矩阵部分的内容在深度学习（花书）第二章线性代数中有一些介绍，如果遇到问题可以在第二章进行寻找。
酉矩阵在矩阵张量积交换中的应用
Applica tion of Un itary M a tr ix in the Comm uta tion of Ten sor Products of M a tr ices
SONG Cai2qin, ZHAO J ian2li
( School of Mathematics Science, L iaocheng University, L iaocheng 252059, P1R1China)
( PT (A B ) Ik C ) ( P Ik ) =
( PT (A B ) P) ( Ik C Ik ) = B A C。 定理 2. 2 设 A ∈Mm ×m , B ∈M p×p , C ∈M k ×k 那 么存在一个 pk阶的酉矩阵 P使得 ( Im PT ) (A B C ) ( Im P) = A C B。 证明 ( Im PT ) (A B C ) ( Im P) =
P
I ) n t+2…nk =
( (A1
A t+1
…
… At- 1 )
( ( PT
Ak ) ) ) ( In1…n t- 1
P
I ) m t+2…m k (A t I ) n t+2…nk =
( (A1
…
At- 1 )
( ( PT (At
At+1 ) )
( Im t+2…m k (A t+2
… Ak ) ) ) ( In1…n t- 1
of matrix tensor p roduct. Journal of Shanxi University (Nat Sci Ed) , 2007; 30 ( 3) : 312—314 3 窦本 年. 关 于 矩 阵 张 量 积 的 一 类 问 题. 数 学 杂 志 , 2002; ( 3 ) 241—244
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正交矩阵、正规矩阵和酉矩阵
在数学中，正规矩阵是与自己的共轭转置交换的复系数方块矩阵，也就是说，满足
其中是的共轭转置。
如果是实系数矩阵，那么条件简化为其中是的转置矩阵。
矩阵的正规性是检验矩阵是否可对角化的一个简便方法：任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。
在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。
同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。
两个正规矩阵的乘积也不一定是正规矩阵
酉矩阵
n阶复方阵U的n个列向量是U空间的一个标准正交基，则U是酉矩阵(Unitary Matrix)。
一个简单的充分必要判别准则是：
方阵U的共扼转置乘以U等于单位阵，则U是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其伴随矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
若一 n 行 n 列的复矩阵U满足
其中为n阶单位矩阵，为U的共轭转置，为酉矩阵或译幺正矩阵。
即，矩阵U为酉矩阵，当且仅当其共轭转置为其逆矩阵:。
若酉矩阵的元素都是实数，其即为正交矩阵。
与正交矩阵G不会改变两个实向量的内积类似，
幺正矩阵U不改变两个复向量的内积：
若为n阶方阵，则下列条件等价：
1.是酉矩阵
2.是酉矩阵
3.的列向量构成内积空间C n上的一组正交基
4.的行向量构成内积空间C n上的一组正交基
酉矩阵的特征值都是绝对值为1的复数，即分布在复平面的单位圆上，因此酉矩阵行列式的值也为1。
酉矩阵是正规矩阵，由谱定理知，幺正酉矩阵U可被分解为
其中V是酉矩阵，Σ是主对角线上元素绝对值为1的对角阵。
对任意n，所有n阶酉矩阵的集合关于矩阵乘法构成一个群。
性质
∙U可逆
∙U− 1 = U*
∙|det(U)| = 1
∙U*是酉矩阵
∙
正交变换最初来自于维基百科,这种矩阵元被称为简正坐标.用质量加权坐标表示的分子内部运动的动能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,用质量加权坐标表示的分子内部势能,由力常数的数学表达式可以知道fij = fji因而矩阵为一个正交变换通过酉变换可以把矩阵变形成为对角矩阵的形式：。
则有：它的每一个矩阵元都是分子所有质量加权坐标的线性组合，总的矩阵元的数量恰巧等于质量加权坐标的个数，这些矩阵元就被称作简正坐标,而这些变换中分子的势能不变,所以正交变换又称为酉变换.
矩阵定义和相关符号
以下是一个 4 × 3 矩阵：
某矩阵 A 的第 i 行第 j 列，或 i,j位，通常记为 A[i,j] 或 Ai,j。
在上述例子中 A[2,3]=7。
在C语言中，亦以 A[j] 表达。
(值得注意的是,与一般矩阵的算法不同,在C中,"行"和"列"都是从0开始算起的)
此外 A = (aij)，意为 A[i,j] = aij 对于所有 i 及 j，常见于数学著作中。
一般环上构作的矩阵
给出一环 R，M(m,n, R) 是所有由 R 中元素排成的 m× n 矩阵的集合。
若m=n，则通常记以 M(n,R)。
这些矩阵可加可乘 (请看下面)，故 M(n,R) 本身是一个环，而此环与左 R模Rn 的自同态环同构。
若 R 可置换，则 M(n, R) 为一带单位元的 R-代数。
其上可以莱布尼茨公式定义行列式：一个矩阵可逆当且仅当其行列式在 R 内可逆。
在百度百科内，除特别指出，一个矩阵多是实数矩阵或虚数矩阵。
分块矩阵
分块矩阵是指一个大矩阵分割成“矩阵的矩阵”。
举例，以下的矩阵
可分割成 4 个 2×2 的矩阵。
此法可用于简化运算，简化数学证明，以及一些电脑应用如VLSI芯片设计等。
特殊矩阵类别
对称矩阵是相对其主对角线（由左上至右下）对称, 即是 ai,j=aj,i。
埃尔米特矩阵（或自共轭矩阵）是相对其主对角线以复共轭方式对称, 即是ai,j=a*j,i。
特普利茨矩阵在任意对角线上所有元素相对, 是 ai,j=ai+1,j+1。
随机矩阵所有列都是概率向量, 用于马尔可夫链。
矩阵运算给出 m×n 矩阵 A 和 B，可定义它们的和 A + B 为一 m×n 矩阵，等 i,j 项为 (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j]。
举例：
另类加法可见于矩阵加法.
若给出一矩阵 A 及一数字 c，可定义标量积 cA，其中 (cA)[i, j] = cA[i, j]。
例如
这两种运算令 M(m, n, R) 成为一实数线性空间，维数是mn.
若一矩阵的列数与另一矩阵的行数相等，则可定义这两个矩阵的乘积。
如 A 是 m×n 矩阵和 B 是 n×p矩阵，它们是乘积 AB 是一个 m×p 矩阵，其中
(AB)[i, j] = A[i, 1] * B[1, j] + A[i, 2] * B[2, j] + ... + A[i, n] * B[n, j] 对所有 i 及 j。
例如
此乘法有如下性质：
(AB)C = A(BC) 对所有 k×m 矩阵 A, m×n 矩阵 B 及 n×p 矩阵 C ("结合律").
(A + B)C = AC + BC 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 n×k 矩阵 C ("分配律")。
C(A + B) = CA + CB 对所有 m×n 矩阵 A 及 B 和 k×m 矩阵 C ("分配律")。
要注意的是：可置换性不一定成立，即有矩阵 A 及 B 使得 AB ≠ BA。
对其他特殊乘法，见矩阵乘法。
六、其他性质
线性变换，转置。
矩阵是线性变换的便利表达法，皆因矩阵乘法与及线性变换的合成有以下的连系：
以 Rn 表示 n×1 矩阵（即长度为n的矢量）。
对每个线性变换 f : Rn -> Rm 都存在唯一 m×n 矩阵 A 使得 f(x) = Ax 对所有 x ∈ Rn。
这矩阵 A "代表了" 线性变换 f。
今另有 k×m 矩阵 B 代表线性变换 g : Rm -> Rk，则矩阵积 BA 代表了线性变换 g o f。
矩阵 A 代表的线性代数的映像的维数称为 A 的矩阵秩。
矩阵秩亦是 A 的行（或列）生成空间的维数。
m×n矩阵 A 的转置是由行列交换角式生成的 n×m 矩阵 Atr （亦纪作 AT 或 tA），即 Atr[i, j] = A[j, i] 对所有 i and j。
若 A 代表某一线性变换则 Atr 表示其对偶算子。
转置有以下特性：
(A + B)tr = Atr + Btr，(AB)tr = BtrAtr。
注记
矩阵可看成二阶张量，因此张量可以认为是矩阵和向量的一种自然推广。
七、矩阵卡
矩阵卡是由深圳网域提出的一种保护个人帐号的系统,它是由一张表格组成,横排是A\B\C\D等英文字母,在竖排是1.2.3等阿拉伯数字,在登录时必须通过矩阵卡的验证才可以进入游戏..。
现广泛应用于各游戏公司和银行等的账号保密防盗。