1.11位移分量与应变分量几何方程

第十节位移分量与应变分量几何方程

由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。

第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。

第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。

一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因为变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。

根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,

如图所示

图

在数学上，x'，y'，z' 必为x，y，z的单值连续函数。设MM'=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。则

u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）

显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。

为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。

对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。

对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为M'A'，M'B'，M'C'。

假设分别用x y z表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变；

分别用xy yz zx表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。则对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz，Ozx平面来讨论。

显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。

首先讨论Oxy面上投影的变形。

设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'，M'B'，即变形后的MA，MB的投影。

微分单元体的棱边长为d x，d y，d z，M点的坐标为（x，y，z），u（x，y，z），v(x, y, z)分别表示M点x，y方向的位移分量。

则A点的位移为u(x+d x，y，z），v(x+d x，y，z）,B点的位移为u(x，y+d y，z），v(x，y+d y，z）。按泰勒级数将A，B两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则A，B点的位移分别为

因为

所以

同理可得

由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即正应变。

显然微分线段伸长，则正应变x, y, z大于零，反之则小于零。

以下讨论切应变表达关系

。

假设yx为与x轴平行的微分线段ma向y 轴转过的角度，xy为与y轴平行的mb向x轴转过的角度。则切应变

因为

上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。同理可得

yx和xy可为正或为负，其正负号的几何意义为：yx大于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段正向向y轴旋转。将上述两式代入切应变表达式，则

同理可得

切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。

综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为

上述公式称为几何方程，又称柯西方程。

柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。这个问题以后作专门讨论。

几何方程给出的应变通常称为工程应变。

如果使用张量符号，则几何方程可以表达为

则应变分量ij将满足二阶张量的座标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为

第十一节纯变形位移与刚性转动位移

学习思路:

应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不能完全描述弹性体的变形，原因是没有考虑微分单元体的刚体转动。

通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。刚体转动通过转动分量描述。

刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分组成，平动位移和转动位移。如果发生变形，位移中还包括纯变形位移。

应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。

通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。

设转动矢量为ω，OP之间的距离矢量为，如图所示

图

则

引入拉普拉斯算符矢量

设P点的位移矢量为S，有

S =u i +v j +w k

由于位移矢量可以表示为S =ω×,

所以

即

其中

x, y, z为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。与M点邻近的N点，坐标为（x+d x，y+d y，z+d z），位移为（u+d u，v+d v，w+d w）。

则MN两点的相对位移为（d u，d v，d w）。因为位移为坐标的函数，所以

同理可得

以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。

刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。

总的来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的：