基于MATLAB编程的正切法求解多光祖组合计算

h1 10(mm)
tgU1wk.baidu.com'
tgU1

h1 f1'

0 10 50

1 5
20 h2 h1 d1tgU1 ' 10 5 6(mm)
tgU2
'

tgU1 '
h2 f2'

1 5

6 100

7 50
140 16 h3 h2 d2tgU2 ' 6 50 5 (mm)
tanU=[;;;]; h(1)=h(1);
tanU(1)=tanu(1)+h(1)/F(1);
for k=2:1:3
h(k)=h(k-1)-d(k-1)*tanU(k-1);
tanU(k)=tanU(k-1)+h(k)/F(k); end
LF=h(3)/tanU(3);
FF=h(1)/tanU(3);
LH=LF-FF;
计算结果如下：
hd
F tanu tanU
LF
FF
FH
10 20 5
0
1/5 800/43
2500/43 -1700/43
6 20 -100
7/50
16/5
-100
43/250
注：h、d、LF、FF、FH 单位均为 mm。 由上表可以看出，使用 MATLAB 软件进行编程计算三个光学系统组合的方法
在该公式两端乘以 h2 得
11 1 l2' l2 f2'
1 l2'

1 l2

1 f2'
对该式进行运算，可得
tan
U
' 2
tanU2

h2
f
' 2
tan
U
' 2
，

h2
f
' 2

tanU2

tanU3
根据两个系统的间距和物像距之间的关系，可得
d2

l2'
(l3)

h2 tan U 2'

h3 tan U 3
h3 h2 d2 tanU2' 最后，求 tanU3' 。 对光组 3 应用高斯公式，有
11 1 l3' l3 f3'
在该公式两端同时乘以 h3 得
对该式进行计算，可得
h3 l3'
h3 l3

h3 f3'
tan U 3'
tanU3

h3 f3'
tan U 3' ，
设入射光线高度——h；光学系统主点间隔——d；光学系统像方焦距——
F；物方孔径角的正切值——tanu；像方孔径角的正切值——tanU；组合系统的像
方焦距——FF；组合系统的像方主点——LF；组合系统的像方焦点——LH。
源程序如下：
h=[10;;];
F=[50;-100;100];
d=[20;20]; tanu=[0;;];
4. 实例应用
一系统由三片薄透镜组成，f1′=50mm，f2′=-100mm，f3′=100mm， d1=20mm，d2=20mm，求该系统的等效理想系统的焦距和基点参数。
解法 1（传统笔纸计算方法 ）： 设入射光线高度为 10mm，依次对每一光组用上述递推公式。
50 -100 100
H1 H1’ H2 H2’ H3 H3’
5. 结论
从两种解决三个理想光学系统组合问题的方法使用中可以看出，对于三个及 更多光学系统的组合问题，MATLAB 编程法更加快速、准确、先进，可以将计算者
从繁复的数理计算中解脱出来，并且具有更高的实用性和通用性，值得在实践中 进行推广。
参考文献 [1]张思祥、王红敏.《工程光学》[M].武汉.华中科技大学出版社.2011. [2]刘浩、韩晶.《MATLAB R2014a 完全自学一点通》[M].北京.电子工业出 版社.2015
得到的结果与传统的手工计算一致。但是从计算时间来看，使用编程方法更加快
速迅捷，可以为计算者减少繁杂的数学计算。依赖于计算机的计算使得计算结果 更加精确可靠，避免了因中间过程保留小数点位数而造成的误差。从长久来看，
只需改动程序中的初始数据，即可得到另一种光学系统组合的参数，比手工计算
更加具有实用性和通用性。
tgU3 ' tgU2 '
h3 f3'

7 50

16 500

86 500
16 h3 5 (mm)
tgU3
'

86 500
lF
'

hk tgUk
'

800 43
(mm)
f ' h1 2500 (mm) tgUk ' 43
lH
'

lF
'
f


1700 43
(mm)
解法 2（ MATLAB 编程法 ）：
1. 引言
在光学系统的应用中，常常将两个或两个以上的光学系统组合在一起使 用。为研究方便，需要将一个光学系统分成若干部分，分别进行计算，最后将 它们组合起来来计算和分析一个较为复杂的光学系统。通常使用的方法有两个 光组组合分析方法和正切法。两个光组组合分析方法通过组合光组中的几何和 物理关系，得出了组合系统的两焦点位置及两主平面位置公式。但是在研究多 个光组组合成一个光学系统时，再采用上述两个光组组合分析方法时将会发现 计算过程繁杂并且容易出错，实用性不强。此时宜采用正切法进行多光祖组合 的计算，采用正切法配合相关软件编程可以快速准确地解决相关问题，这里以 MATLAB 为例对正切法求解多光组组合进行编程，为相关计算提供一条捷径。

h3 f3'

tanU3
任取
h1
，将所求得的
tan
U
' 3
、
h3
代回到式
f'

h' tanU3'
lF' ，

h3 tan U 3'
， lH'
lF'

f'
中，即可求得组合系统像方焦距的长度，像方焦点和主点的位置。
如果要求组合系统物方的焦距长度、主点和焦点的位置，可以将该系统完全 倒置，重复上述的工作即可。
综合上述的工作，由归纳法可以得出两个重要的过渡公式：
tan
U
' k
1

tan U k

hk

hk
1

dk
1
tan
U
' k
1

其中，k 是光组序号。根据这两个过渡公式及上述的思路，可以计算更多个光组
的组合。
3. MATLAB 软件简介
MATLAB 是美国 MathWorks 公司出品的集科学计算、数据可视化、和程序 设计为一体的工程应用软件，现已成为工程学科计算机辅助分析、设计、仿真以 至教学等必不可少的基础软件。它由 MATLAB 主包、Simulink 组件以及功能各异 的工具箱组成。它将数值分析、矩阵计算、科学数据可视化以及非线性动态系统 的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、 工程设计以及必须进行有效数值计算的众多科学领域提供了一种全面的 解决方 案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言的编辑模式，代表了当今 国际科学计算软件的先进水平。
基于 MATLAB 编程的正切法求解多光祖组合计算
吕泽奎
摘要：对于理想光学系统的多光组组合问题，正切法不失为一种有效的方法。由 于传统的笔纸计算方法冗繁易错，本文结合具体实例运用 MATLAB 软件对该方法 进行计算机编程设计，得到了更具实用性和通用性性的程序方法。 关键词：正切法 多光组组合 MATLAB
1 l1'

1 l1

1 f1'
在该公式两端同时乘以ℎ1,得
h1 l1'

h1 l1

h1 f1'
， l1


对该式进行运算，可得
tan U1'

h1 f1'

tan U 2
根据两个系统的间距和物像距之间的关系，可得
d1

l1'

(l2 )

h1 tan U1'

h2 tanU2
h2 h1 d tanU1' 第二步，求 h3 ， tanU2' (tanU3) 。 对光组 2 应用高斯公式，有
以表示为
f
'

h' tanU3'
以最后一个系统的像方主点为原点，则像方主点 H ' 与像方焦点 F ' 的位置为
lF'

h3 tan U 3'
， lH'
lF'

f'
因此问题最终归结为:已知 d1 、 d2
、 h1
、
f1'
、
f
' 2
、
f3' ，求 tanU3' 、 h3 。
第一步，求 h2 ， tanU1' (tanU2) 。 光组 1 应用高斯公式，有
2. 多光组组合计算（正切法）
这里以三个理想光学系统组合为例，推出通用公式，为研究问题方便采用薄 系统，如下图所示。
光组1
光组2
光组3
三个理想光学系统组合图 为求出组合系统的焦距，可以追迹一条投射高度为 h1 的平行于光轴的光线。
只要计算出最后的出射光线与光轴的角（称为孔径角）U
' 3
，则组合系统的焦距可