弗赖登塔尔的数学教育理论

(4)适当引导学生，激发学生的再创造
主张“再创造”应该是数学教育的一个
教学法原则，它应该贯串于数学教育整个体
系之中。实现这个方式的前提，就是要把数
学教育作为一个活动过程来加以分析，在这
整个活动过程中，学生应该始终处于一种积 极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到 创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。
弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心
是数学过程再现。
学生“再创造”学习数学的过程实际上
就是一个“做数学”的过程。
教师的任务是引导和帮助学生去进行这
种再创造的工作。
伟大的教育家夸美纽斯有一句名言：“教一个 活动的最好方法是演示。”他主张要打开学生的各 种感觉器官，那就不仅是被动地通过语言依赖听觉 来吸收知识，也包括眼睛看甚至手的触摸及动作。
2. 吸烟有害健康吗？
独立性检验
(3) 什么是“再创造”？
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或已 完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。 完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它 完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们 的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数 学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又 生动有趣的活动过程。
这对教师提出了更高的要求，不仅对有
关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计
与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，
具备高度的应变能力，随机应变，及时处理
学生可能提出的各种问题，以保证将学生引
上“再创造”的道路上去，让学生的数学活 动更为主动、有效。

第二方面是他关于学习方法的看法。弗赖登
塔尔反复强调：学习数学的唯一正确方法是 实行“再创造”，也就是由学生本人把要学 的东西自己去发现或创造出来；教师的任务 是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作， 而不是把现成的知识灌输给学生。他认为这 是一种最自然的、最有效的学习方法。数学 是人的一种活动，如同游泳一样，要在游泳 中学会游泳，我们也必须在做数学中学习数 学，也就是在创造数学中学习数学。弗赖登 塔尔指出，搞数学研究的人就是用再创造的 方法去阅读别人的论文的。
(2) 什么是“数学化”？
弗赖登塔尔认为，人们在观察、认识和改造客观世界的 过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种 种现象并加以整理和组织的过程，就叫做数学化。 1.对数学本身的数学化：深化数学知识，或者使数学知 识系统化，形成不同层次的公理体系和形式体系。 2.对客观世界的数学化：形成了数学概念、运算法则、 规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型等。
主要工作：
1967年当选为国际数学教育委员会主席；
单独举行国际数学教育大会（ICME－1， 1969．法国．里昂）；
提倡数学教育的科学研究； 创办ICME的理论刊物——《Educational
Studies in Mathematics（数学教育研究）》
主要数学教育论著：
《作为教育任务的数学》；
弗赖登塔尔的数学教育理论
1. 生平及贡献
Hans Freudenthal（1905-1990年）,荷兰数学家和数学教育家,生于德国. 1930年获柏林大学数学博士学位； 1946年起任荷兰Utrecht 大学教授； 1951年起为荷兰皇家科学院院士；
1967年当选为国际数学教育委员会主席；
1971-1976年任数学教育研究所所长； 1987年12月应邀来上海华东师范大学讲学，并先后三次来中国。
《除草与播种》；
《数学教育再探———在中国的三次讲学》
第一章 数学的传统 第二章 今日的数学 第三章 传统与教育 第四章 数学教育的用处和目的 第五章 苏格拉底的方法 第六章 再创造 第七章 用数学化方法组织一个领域 第八章 数学的严谨性 第九章 教学 第十章 数学教师 第十一章 数的概念——客观的形成途径 第十二章 数的概念从直观方法到算法化 和推理化的发展 第十三章 数的概念的发展——代数方法 第十四章 数的概念的发展——从代数原 理到代数的整体组织 第十五章 集合与函数 第十六章 几何的状况 第十七章 微积分 第十八章 概率和统计 第十九章 逻辑 附录
在《作为教育任务的数学》里，阐述了他对数学和 数学教育的各种基本观点。 第一方面是他对数学的看法。在弗赖登塔尔看来， 数学是系统化了的常识。常识要成为数学，它必须 经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则。这些法则 在高一层次里又成为常识，再一次被提炼、组织， 而凝聚成新的法则，新的法则又成为新的常识，如 此不断地螺旋上升，以至于无穷。这样，数学的发 展过程就显出层次性，构成许多等级；同时也形成 诸多如抽象、严密、系统等特性。一个人在数学上 达到怎样的层次，则因人而异，决定于他的先天和 后天的条件。但是，一个为多数人都能达到的层次 必然存在。数学教育家的任务就在于帮助多数人去 达到这个层次，并努力不断地提高这个层次，和指 出达到这个层次的途径。
2. 弗赖登塔尔的数学教育观
——情境问题是教学的平台 ——数学化是数学教育的目标 ——学生通过自己努力得到的结论和创造是
教育内容的一部分 ——“互动”是主要的学习方式 ——学科交织是数学教育内容的呈现方式
) 何谓数学教育中的“现实”？

数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用 于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”.
起学生的兴趣，并激发其学习动力。 (3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学 教育是一种人类活动的看法。
分数与小数的互化
3.弗赖登塔尔理论在课堂教学中的应用
例：直线与平面垂直的判定
4.弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教育的启示
(1)数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实
按照数学源于现实，也必须寓于现实， 并且用于现实的弗赖登塔尔“数学现实”思
想，数学教学必须紧密联系实际。
数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。 为了达到这个目的，教师可以从几个方面努力：破 除思维定势，主动树立联系实际的意识，并且要落 到实处；作为老师，要加强数学史的学习，数学史 是数学和现实结合的历史，从这出发能更好的把握 数学的逻辑；引入生活中的新鲜例子，这就要求老 师要关心周围的事物，了解他学科知识背景，并能 从中抽象数学问题。

数学教师的任务之一就是帮助学生构造数学现实，并在此基
础上发展他们的数学现实.因此，在教学过程中，教师应该充
分利用学生的认知规律、已有的生活经验和数学的实际，灵 活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。即“数
学教育即是现实的数学教育”。
充分了解学生的数学现实后，可以进行情境创设
多 面 体 和 旋 转 体
弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一 个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将 强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的 活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游 泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示 范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老 是站在陆地上是永远也学不会游泳的。
数学教学要联系学生的实际，这个实际要立足 于学生现有的水平，并以超越学生现有水平为目的， 使学生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中 运用“数学现实”的关键点。
(2)注重学生的数学化过程，提倡探究教学
学生“数学化”的过程，就是将学生的数学现
实进一步提高、组织、抽象的过程。
它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、 抽象阶段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是 根据儿童思维发展与学习过程提出的，故而不是要 求每个学生都要一次完成所有阶段。数学教学中不 能过分强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符 合学生的年龄特征 。
弗赖登塔尔是著名数学家布劳威尔的学生，早年从事纯粹数学研究，以代
数拓扑学和李群研究方面的杰出工作进入国际著名数学家的行列，曾任荷 兰数学会的两届主席．
弗赖登塔尔被称为“二十世纪数学教育之父”
“对于数学教育，本世纪的上半叶Felix Klein做出了不朽的功绩；本世纪的下半叶 Hans Freudenthal做出了巨大的贡献。” ——加亨(Kahane)教授
苏联数学家格涅坚科：“当今的世界不仅仅
是科学在数学化，而且绝大数实践活动也在 数学化”，“我们的时代是知识数学化的时 代”。 弗赖登塔尔：“数学教学必须通过数学化来 进行”。
1.什么样的几何体叫棱柱？
有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是 棱柱吗？
每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
(3)强调反思，提升学生思维能力
作为老师，最根本的任务是教会学生如何学习，
也就是说教是为了不教。要学会学习，首先要学会
反思，学会分析、思考和监控自己的学习，也就是
要发展学生的元认知。
弗赖登塔尔认为反思是一种重要的数学活动，
是数学活动的核心和动力。而学生从探究学习过渡
到自主发现学习，反思是不可缺少的一个环节。
提倡按“再创造”原则来进行数学教育，就是基于以
上原理，弗赖登塔尔认为可以从教育学的角度来找到这一做 法的合理根据，至少可以提出以下三点：
(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理
解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保 持较长久的记忆。
(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引