3.1不等关系与不等式(1)

a＞b
a+c＞b+c（可加性）
思考4：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的 大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么 ac与bc的大小关系如何？为什么？ a＞b，c＞0 ac＞bc； a＞b，c＜0 ac＜bc
（可乘性）
思考5：若甲班的男生比乙班多，甲班的 女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班 多. 这里反映出的不等式性质如何用数 学符号语言表述？
a b ab 0 a b ab 0


知识上,本节课我们主要学习了如何将实际问 题中的不等关系表示成不等式. 方法上,用不等式（组）表示实际问题中的不 等关系时，(1)要先读懂题,设出未知量（2） 抓关键词，找到不等关系(3)用不等式表示不 等关系. 思维要严密、规范.
3.1
v
v
(3)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f应不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
f 2 .5 % p 2 .3 %
我们用数学符号“≠”，“>”，“<”， “≥”，“≤”连接两个数或代数式，以表 示它们之间的不等关系。含有这些不等号 的式子叫做不等式.
注意：“ ”表示“＞”或“=”其中一个成立； “ ”表示“＜”或“=”其中一个成立。
例3：已知-

2


2
,求
+ -
2 ， 2
的取值范围。
小结作业
1.不等式的8条基本性质，就是不等式的 运算法则，是分析、研究和解决不等式 问题的逻辑依据，在此基础上还可引伸 出许多其他性质，学习上要求掌握基本 性质，了解拓展性质.
2.上述不等式性质都是可以证明的结论， 反映实数大小关系的基本原理是证明不 等式性质的理论基础.
课堂练习1：用不等式表示下面的不等关系：
1.a与b的和是非负数；
a+b≥0
2.某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高 0<h≤4 4m” 3.在一个面积为350平方米的矩形地基 上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长Ｌ 大于宽Ｗ的4倍．写出L与W的关系
5m 5m 5m 5m
( L 10)(W 10) 350, L 4W L 0 W 0
（乘方法则）
思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么 n a
与 b 的大小关系如何？ a ＞b ＞0
n

n
a ＞ n b(n∈N*)
（开方法则）
探究（二）：不等式的拓展性质
推广1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ c a＝c－b，那么移项法则在不等式 中成立吗？ a ＋b ＞c a ＞c －b
在数轴上，如果表示实数a和b的两个点分别 为A和B，则点A和点B在数轴上的位置关系有 以下三种： （1）点A和点B重合；
（2）点A在点B的右侧； （3）点A在点B的左侧. 在这三种位置关系中，有且仅有一种成立，由 此可得到结论： 对于任意两个实数a和b，在a=b，a>b，a<b 三种关系中有且仅有中的不等关系
(1)中国“神舟七号”宇宙飞船的飞行速 度不小于第一宇宙速度 ,且小于第二宇 宙速度 (2)《铁路旅行常识》规定:旅客每人免 费携带物品 ------杆状物不超过200cm, 重量不得超过20kg (3)我们班的数学成绩高于平行班的成绩
问题:上面的不等关系是用什么不等词表示的? 请你举出生活中的一些不等关系的例子
不等关系与不等式 第二课时
问题提出
1.反映实数大小关系的基本原理是什么？
a －b ＞0 a ＞b
a－b=0
a=b a －b ＜0 a ＜b
2.用“作差法”比较两个代数式大小的一般步骤 如何？ 作差→变形→判断符号→确定大小
探究（一）：不等式的基本性质
思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮， 反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不 等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式 性质吗？
∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
1 例2 设a 0, 且a 1, t 0.比较 loga t 2 t 1 与 loga 的大小. 2 t 1 t 1 ( t 1) 2 解: t 0 t , 2 2 2 1 t 1 当a 1时, log a t log a ; 2 2 1 t 1 当0 a 1时, log a t log a ; 2 2
2 ab > b +
b
例2
已知b＞a＞c，a＞0，求证： bc a+ < b+ c a
3 2
例5 已知c＞a＞0， c＞b＞0，比较 a与 c -
c - ab .
2
例6 已知数列{an}是等比数列，数 列{bn}是等差数列，且a1＝b1＞0，a3＝ b3＞0，a1≠a3，试比较a5与b5的大小.
例3
若b>a,结论 又会怎样呢?
课堂练习: 1 在下列各题的横线中填入适当的不等号. < 6 2 6; ⑴ ( 3 2) 2 _____
⑵ ( 3 2) 2 ____( < 6 1) 2 ; 1 1 < ⑶ ______ ; 52 6 5
> log 1 b. ⑷若0 a b ， log 1 a ____
2 2
2. 比较
x 3 与 x 2 x 1 的大小.
解：x3－(x2－x+1)=x3－x2+x－1 =x2(x－1)+(x－1) =(x－1)(x2+1), ∵ x2+1>0， ∴ 当x>1时，x3>x2－x+1； 当x=1时，x3=x2－x+1，
当x<1时，x3<x2－x+1.
1.不等关系是现实世界和日常 生活中客观存在的广泛的数量 小 关系，不等式是研究不等关系 的数学工具，用不等式或不等 结 式组表示实际问题中的不等关 系时，思维要严密、规范. 2.判断两个实数大小的依据是： a b ab 0
如果a－b是正数，则a>b；如果a>b， 则a－b为正数； 如果a－b是负数，则a<b；如果a<b， 则a－b为负数； 如果a－b等于零，则a=b；如果a=b， 则a－b等于零.
上述结论可以写成：
a b 0 a b
a b 0 a b
a b 0 a b
注：“ ”表示“等价于”，即可以相互推出。
=(x－1)2+1，
因为(x－1)2≥0， 所以(x2－x)－(x－2)>0， 因此x2－x>x－2.
作差,与零比较大小.
练习 1.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小．
解: ∵ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4)
(a 2 2a 15) (a 2 2a 8) 7 ∴ (a 3)(a 5) (a 2)(a 4) <0
a ＞b ，c ＞d
a+c＞b+d（同向可加性）
思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么 ac与bd的大小关系如何？为什么？ a ＞b ＞0 ，c ＞d ＞0
ac＞bd
（同向同正可乘性）
思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与 bn的大小关系如何？ a ＞b ＞0
n＞bn (n∈N*) a
已知a、b为正实数，求证：
a b a b b a
例4 比较下列各组代数式的大小： （1）a2＋b2与2(a＋b－1)； （2）(a＋b)(a3＋b3)与(a2＋b2)2 (a＞0，b＜0).
小结作业
1.证明不等式和比较大小，是不等式的 两个基本问题，解决不等式问题必须以 不等式性质为理论依据，常用方法有比 较法、综合法、分析法等.
1 1 与 a b
1 1 a＞b，ab＞0 a b
理论迁移
例1
已知a＞b＞0，c＜0，
c c 求证: . a b
例2
1 1 已知a b 0
，x ＞y ＞0 ，
x y 求证： . xa y b
例3：比较下列各组数的大小（a b） ab 2 (1) 与 （a>0,b>0） 1 1 2 a b 4 4 3 (2)a b 与4a (a b)
推广2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，a1＋a2＋„＋an与b1＋b2＋„＋bn的 大小关系如何？ ai＞bi (i＝1，2，3，„，n) Þ a1＋a2＋„＋an＞b1＋b2＋„＋bn
推广3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，„， n)，那么a1· a2„an＞b1· b2„bn吗？ ai＞bi＞0 (i＝1，2，3，„，n)
二.用不等式(组)表示不等关系 (1)右图是限速40km/h的路标，指示司
机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v不超过40km/h . 0<v≤40
40
v1 v v2
(2)中国"神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的 成功.我们知道,它的飞行速度( )不小于第一宇 宙速度( 记作 v2 ). 1 ),且小于第二宇宙速度(记
a+c＞b+d （5）a＞b，c＞0 ac＞bc；
（4 ）a ＞b ，c ＞d a＞b，c＜0 ac＜bc （6 ）a ＞b ＞0 ，c ＞d ＞0 （7 ）a ＞b ＞0
ac＞bd
(n∈N*)
a n＞b n
n
（8 ）a ＞b ＞ 0
a ＞
n
b (n∈N*)
应用举例
例1
已知 a＞b＞1，求证：
2.比较法包括差比法和商比法.其中商比 a 法的理论依据是 1, b 0 a b 或
a 1, b 0 a b b
b
.
判断两个实数大小的依据是： a b ab 0