中考数学培优 易错 难题(含解析)之相似
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一、相似真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,△ABC是一锐角三角形余料,边BC=16cm,高AD=24cm,要加工成矩形零件,使矩形的一边在BC上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC上.
求:
(1)AK为何值时,矩形EFGH是正方形?
(2)若设AK=x,S EFGH=y,试写出y与x的函数解析式.
(3)x为何值时,S EFGH达到最大值.
【答案】(1)解:设边长为xcm,
∵矩形为正方形,
∴EH∥AD,EF∥BC,
根据平行线的性质可以得出: = 、 = ,
由题意知EH=x,AD=24,BC=16,EF=x,即 = , = ,
∵BE+AE=AB,
∴ + = + =1,
解得x= ,
∴AK= ,
∴当时,矩形EFGH为正方形
(2)解:设AK=x,EH=24-x,
∵EHGF为矩形,
∴ = ,即EF= x,
∴S EFGH=y= x•(24-x)=- x2+16x(0<x<24)
(3)解:y=- x2+16x
配方得:y= (x-12)2+96,
∴当x=12时,S EFGH有最大值96
【解析】【分析】(1)设出边长为xcm,由正方形的性质得出,EH∥AD,EF∥BC,根据平行线的性质,可以得对应线段成比例,代入相关数据求解即可。
(2)设AK=x,则EH=16-x,根据平行的两三角形相似,再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比,用含x的代数式表示出EF的长,根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
(3)将(2)中的函数解析式转化为顶点式,利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
2.阅读下列材料,完成任务:
自相似图形
定义:若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形,则称这个图形是自相似图形.例如:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边的中点,连接EG,HF交于点O,易知分割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故正方形是自相似图形.
任务:
(1)图1中正方形ABCD分割成的四个小正方形中,每个正方形与原正方形的相似比为________;
(2)如图2,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,小明发现△ABC也是“自相似图形”,他的思路是:过点C作CD⊥AB于点D,则CD将△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则△ACD与△ABC的相似比为________;
(3)现有一个矩形ABCD是自相似图形,其中长AD=a,宽AB=b(a>b).
请从下列A、B两题中任选一条作答.
A:①如图3﹣1,若将矩形ABCD纵向分割成两个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=________(用含b的式子表示);
②如图3﹣2若将矩形ABCD纵向分割成n个全等矩形,且与原矩形都相似,则a=________(用含n,b的式子表示);
B:①如图4﹣1,若将矩形ABCD先纵向分割出2个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成3个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=________(用含b的式子表示);
②如图4﹣2,若将矩形ABCD先纵向分割出m个全等矩形,再将剩余的部分横向分割成n 个全等矩形,且分割得到的矩形与原矩形都相似,则a=________(用含m,n,b的式子表示).
【答案】(1)
(2)
(3);;或;或
【解析】【解答】(解:(1)∵点H是AD的中点,
∴AH= AD,
∵正方形AEOH∽正方形ABCD,
∴相似比为: == ;
故答案为:;
( 2 )在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,根据勾股定理得,AB=5,
∴△ACD与△ABC相似的相似比为:,
故答案为:;
( 3 )A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD,
∴AF:AB=AB:AD,
即 a:b=b:a,
∴a= b;
故答案为:
②每个小矩形都是全等的,则其边长为b和 a,
则b: a=a:b,
∴a= b;
故答案为:
B、①如图2,
由①②可知纵向2块矩形全等,横向3块矩形也全等,
∴DN= b,
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD= a,
∴AF=a﹣ a= a,
∴AG= = = a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即 a:b=b:a
得:a= b;
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a
解得FD= ,
∴AF=a﹣ = ,
∴AG= = ,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即:b=b:a,
得:a= b;
故答案为:或;
②如图3,
由①②可知纵向m块矩形全等,横向n块矩形也全等,
∴DN= b,
Ⅰ、当FM是矩形DFMN的长时,
∵矩形FMND∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AD:AB,
即FD: b=a:b,
解得FD= a,
∴AF=a﹣ a,
∴AG= = = a,
∵矩形GABH∽矩形ABCD,
∴AG:AB=AB:AD
即 a:b=b:a
得:a= b;
Ⅱ、当DF是矩形DFMN的长时,
∵矩形DFMN∽矩形ABCD,
∴FD:DN=AB:AD
即FD: b=b:a