跃迁几率和费米黄金规则

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第3章费米能级

以较小的电流以较小的电流获得更大的输出获得更大的输出非平衡状态下半导体中的载流子非平衡状态下半导体中的载流子半导体偏离热力学平衡状态时由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多半导体偏离热力学平衡状态时由于载流子寿命比它们的驰豫时间长很多即导带电子或价带空穴与晶格发生能量交换的几率比起电子与空穴相互作用即导带电子或价带空穴与晶格发生能量交换的几率比起电子与空穴相互作用的几率大得多因此可以认为电子与晶格或空穴与晶格相互独立地处于热平的几率大得多因此可以认为电子与晶格或空穴与晶格相互独立地处于热平衡状态
.
以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
.Hale Waihona Puke 半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大，因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间，因此辐射谱线较宽，单色性较差。

黄金费米定律

黄金费米定律
一、费米子具有整数自旋
费米子的自旋是1/2的整数倍。

这是量子力学中一个非常重要的概念，因为这表明费米子的自旋方向不能改变，只能沿着一个方向旋转。

这个性质也使得费米子在自然界中扮演着非常重要的角色，例如电子、质子和中子等都是费米子。

二、费米子的行为受到泡利不相容原理的限制
泡利不相容原理是量子力学中的一个重要原理，它表明两个相同的费米子不能占据相同的量子态。

这个原理可以解释为什么在原子中，电子不能占据相同的能级，从而保证了原子结构的稳定性。

三、在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态
在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态，即所有费米子都占据最低能量的量子态。

这个现象被称为“费米凝聚”，它在低温物理和超导研究中扮演着非常重要的角色。

四、费米子的行为受到交换作用的影响
交换作用是量子力学中的一个重要概念，它表明交换两个费米子会改变它们的量子态。

这个概念在解释粒子相互作用和核物理中的许多现象时都非常重要。

例如，在解释核磁共振现象时，就需要考虑到交换作用的影响。

总之，黄金费米定律是量子力学中一个非常重要的原理，它描述了费米子的行为和相互作用。

这些原理不仅在物理学中有广泛的应用，也在化学、材料科学和生物学等多个领域中扮演着重要的角色。

因此，理解和掌握黄金费米定律对于学习和研究物理学以及相关领域都具有非常重要的意义。

跃迁几率和费米黄金规则

得跃迁几率是 Wk m
（5.7.11）
Fmk
2 2
2
1 e
i (mk ) t
mk
2

1 e
i (mk ) t 2
mk
（5.7.12）

Fmk
2
B B
5.7跃迁几率和费米黄金规则
式中
1 ei (mk )t i (mk ) t /2 sin(mk )t / 2 B ie （5.7.13） mk (mk ) / 2
Wk m lim am (t )
t
2
1
2 2
t ( H mk
2
mk
2
)
（5.7.4）
2 t (mk )
跃迁速率是
H mk
2
dWk m 2 2 (mk ) wk m 2 H mk dt 2 2 ( Em Ek ) H mk

2 mk 2
[1 cos mk t ]
sin 2 4 H mk
2
mk t
2 mk

（5.7.2）
为进一步简化（5.7.2）式，可用函数的公式
sin 2 xt lim ( x) 2 t tx
（5.7.3）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
当t 时，可将（5.7.2）式化为
跃迁速率为
2
2 t
Fmk ( Em Ek )
2
（5.7.16）
wk m
dWk m 2 2 Fmk ( Em Ek ) dt
（5.7.17）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
由（5.7.16）可见，跃迁过程满足能量守恒。当且尽 Em Ek 当周期微扰的频率满足时，才能发生跃迁。而且，当微扰作用时间足够长后，跃迁速率与时间无关。 3. 由（5.7.16）还可以得出 Wk m Wmk （5.7.18） Wk m 表示从 k态跃迁到 m 态的几率， Wmk相反。 4. 比较（5.7.4）与（5.7.16）可见，当周期性微扰的频率趋于零时，（5.7.16）过渡到（5.7.4）。这一结果表示当频率趋于零时，周期微扰过渡到常微扰，这是很自然的。

微扰理论

第五章微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。

因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。

本章将介绍微扰论和变分法。

本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。

§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录：氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。

假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。

00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。

微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。

3. 0ˆH 的能级无简并。

严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。

例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。

其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。

4. 0H 的能级组成分离谱。

严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。

周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)

第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。

适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。

个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。

相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。

2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。

（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。

黄金费米定律

黄金费米定律黄金费米定律，也被称为费米悖论，是由意大利物理学家恩里科·费米于1950年提出的。

该定律是指，在银河系中，存在着大量的外星智慧生命，然而我们迄今为止仍未能与外星文明取得任何联系。

黄金费米定律不是基于实验证据，而是建立在一系列假设和推测之上。

费米进一步指出，根据当前已知的宇宙尺度和星系数量，我们可以推断银河系内存在着大量智慧生命。

然而，对于为何我们尚未获得任何外星信号的解释，黄金费米定律认为存在多种可能性。

首先，外星智慧生命可能存在技术不足以与我们进行通信的问题。

费米认为，即使外星文明与地球上的智慧生命存在一定的技术差距，我们也应该能够接收到他们使用的通信信号。

然而，这种技术差距可能是巨大的，超出我们当前能力所能理解的范围。

其次，黄金费米定律也提到了外星文明可能选择隐蔽的原因。

他们可能有意识地隐藏自己，以避免被探测到或干扰其他文明。

这可能是因为他们感到威胁，或者有其他不愿意被发现的原因。

此外，外星文明也可能对地球上的智慧生命缺乏兴趣，或者认为我们还不足以与他们进行有意义的交流。

还有一种可能性是，我们对探索外星信号的方法和范围有限。

我们目前主要依赖于射电望远镜来探测外星信号，但这只是一种方法。

可能存在其他类型的信号或通信方式，我们尚未发现或无法接收到。

此外，我们也可能只是不慎错过了外星信号，或者技术上无法识别它们。

除了以上的可能性外，黄金费米定律还提到了时间尺度的问题。

宇宙存在了数十亿年，而我们人类存在的时间相对较短。

因此，即使其他外星文明存在，我们与他们进行交流的时间窗口可能非常狭窄，或者已经错过了。

总的来说，黄金费米定律意味着尽管银河系可能存在大量智慧生命，但我们至今为止尚未与外星文明取得任何接触的原因可能是多方面的：技术差距、选择性隐蔽或缺乏兴趣、探测方法的有限性以及时间尺度的问题等等。

然而，真正的原因仍是一个谜，直到我们能够获得更多的数据和证据，我们对外星生命的探索将继续进行。

5.7跃迁几率

二式合记：
2πt Wk →m = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) h
（5）跃迁速率
或：
Wk→m 2π ωk→m = = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) t h 2π ωk →m = 2 | Fmk |2 δ (ωmk ± ω) h
（6）讨论 a. δ(εm-εk ± hω) 描写了能量守恒：εm-εk ± hω= 0。 b. εk >εm 时，跃迁速率可写为：
t <0 t >0
（2）求 am(t) H’(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征态 φk 和 φm 之间的微扰矩阵元是：
ˆ ′ Hmk =< φm | H′(t) | φk >
ˆ =< φm | F[eiωt + e−iωt ] | φk >
ˆ =< φm | F | φk > [eiωt + e−iωt ]
ω→ωmk
lim
e
−1
= it
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 + it 第二项起主要作用 2ωmk
第一项是振荡项，不随时间增加
(II) 当ω = −ωmk 时，同理有：
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 it + 2ωmk 第一项起主要作用
4 | Fmk |2 sin 2 1 (ωmk −ω)t1 2 Wk→m = h2 (ωmk −ω)2
Wk → m |Fmk |2t1 / h2
ωmk - ω -4π -2π 0 2π 4π / t1 / t1 / t1 / t1
（2）能量守恒不严格成立，即在跃迁过程中，εm = εk + hω或 ωmk = ω不严格成立，它们只是在上图原点处严格成立。因为在区间[-2π/t1 , 2π/t1]，跃迁几率都不为零，所以既可能有也可能有 ωmk = ω， ω-2π/t1 < ωmk <ω+2π/t1。 ∆ωmk ≈(1/t1) 也就是说 ωmk 有一个不确定范围。由于k能级是分立的，εk 是确定的，注意到 ωmk = 1/h (εm-εk)，所以 ωmk 的不确定来自于末态能量εm 的不确定，即：

5.7跃迁几率

∆E ∆t ≈ h
此式称为能量和时间的测不准关系。由此式可知，测量能量越准确（∆E 小），则用于测量的时间∆t 就越长。
1 t ′ am (t ) = ∫ Hmk eiωmkt dt ih 0
′ Hmk = ih
∫
t
0
eiωmkt dt
H’mk 与 t 无关(0 ≤ t ≤ t1)
′ Hmk iωmkt =− e −1 hωmk
[
]
′ Hmk iωmkt / 2 iωmkt / 2 −iωmkt / 2 =− e e −e hωmk
ω→ωmk
lim
e
−1
= it
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 + it 第二项起主要作用 2ωmk
第一项是振荡项，不随时间增加
(II) 当ω = −ωmk 时，同理有：
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 it + 2ωmk 第一项起主要作用
（3）几点分析
ei[ωmk +ω]t −1 ei[ωmk −ω]t −1 Fmk am (t) = − [ωmk +ω] + [ωmk −ω] h
(I) 当ω = ωmk 时，即微扰频率ω 与 Bohr 频率相等时，上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：
i[ωmk −ω]t [ωmk −ω]
二式合记：
2πt Wk →m = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) h
（5）跃迁速率
或：
Wk→m 2π ωk→m = = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) t h 2π ωk →m = 2 | Fmk |2 δ (ωmk ± ω) h

量子力学基础教程陈鄂生

i (mk ) t
2
二、共振跃迁末态能量大于初态能量 1.共振吸收（受激吸收）
Em Ek 时， mk
Wk m t Fmk 4
2 2
0 。若 mk，则
i mk t
e
1
2
mk

Fmk sin
2 2
2
mk
2 2
t
mk
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
y z 0
z ~ 1011 m, ~ 106 m z
cos( 2

z t ) cos t
2 z

sin t
ˆ F ˆ cos t ，其中 F ˆ e x 于是 H 0
ii.共振跃迁速率
wk m

wk m
e2 02
(0) (1) a ( t ) a ( t ) a am (t )的一级近似：m m m (t ),
dam (t ) 1 dt i
imnt a (t )H mn (t )e (0) n n
a 其中一级修正为：
(1) m
1 i

t
0
imk t H mk (t )e dt
方程左乘 (r )后做全空间积分
* m
n
n
dam (t ) iEnt / (t )e iEnt / i e an (t ) H mn dt n

扩展X射线吸收精细结构(EXAFS)谱

扩展X射线吸收精细结构(EXAFS)谱
• 10.2 XAFS理论:
• XAFS函数 • 首先，XAFS函数定义如下： E 0 E E 0 E • 其中 0(E)为单原子吸收系数；假设l0，m0是初态的角量子数和磁量子数，在末态，出射波lm>受到近邻原子的散射而形成入射波l‘m’> ，其散射振幅为Zl‘m’ ,lm，在单散射近似下，多散射体的效应被简单地看成单散射效应的叠加，因此，XAFS函数可以表示为： i j 2 Re P Z P e
扩展X射线吸收精细结构(EXAFS)谱
• 10.1 XAFS 原理: • 技术的特点 • (3)XAFS的敏感性。利用高强度的同步辐射光源及荧光XAFS技术，可以测定样品中含量很低的元素的近邻结构．因而很适用于掺杂物质中，杂质原子的近邻环境研究。 • (4)XAFS的取向性．利用偏振的X射线源并考虑多重散射效应，可以研究样品中原子的配位键角及原子排列的空间取向。在某些情况下，能够获得远配位层的原子结构信息或配位键角信息。
扩展X射线吸收精细结构(EXAFS)谱
• 10.2 XAFS理论:
• 吸收系数： • 本节主要介绍XAFS谱的基本理论，有关XAFS的论著可参阅文献。 • 物质对x射线的吸收是一个光电过程。当吸收原子的壳层电子受到x射线的激发，该x射线光子将其全部的能量转移给电子，使光电子由初态i跃迁到受激后的末态f ，跃迁几率由费米的黄金规则(Fermi‘s Golden Rule)给出： • • (11—1) 2 2
扩展X射线吸收精细结构(EXAFS)谱
• 10.1 XAFS 原理: • 技术的特点 • (2)XAFS的元素选择性．由于不同元素吸收边的位置不同，因此通过调节入射X射线的能量，可以分别测量不同元素的K或L吸收边，从而可以选择性地研究多元样品中不同元素的近邻环境．另外，由于不同元素背散射振幅的差别，原则上可以用来区分背散射原子的种类。

直接跃迁的速率和选择定则

第三章理想晶体带间光跃迁总体系：光子+电子+声子()()()(),(),n X n λλψΘ=Ξ=ΞψR R R r r3.1 直接跃迁--速率和选择定则电子-声子相互作用可忽略的情形：单由光子-电子相互作用引起的没有声子参与的光跃迁跃迁初末态就不必标记其声子状态 ()q X n =R初态 ,iiiii i n n κκψ≡Θ==ψ 跃迁到末态 ,f ffff f n n κκψ≡Θ==ψ跃迁速率：归结为计算相互作用哈密顿量在跃迁初末态之间的矩阵元。

费米黄金规则：()22fi If i fiW H E E πδ=- （3.1-1）在一级近似下（单光子跃迁），弱辐射场与原子体系（其中的电子体系）相互作用哈密顿量I H 近似为：()()()()()1=I I i i i iie i iiH H e m A r p e m A r p ≈=-⋅⋅∑∑其中()i A r 为相关的光场(模式κ)的矢势如（1.2-7），（1.2-9），（1.2-10）所示跃迁速率：(一阶微扰)正比于初末电子态 iψ和fψ间(1)I H 的矩阵元的平方，即()2exp fifii i i ee W i r p m κκψπψ±⋅⋅∑k(3.1-2)初末电子态 i ψ和f ψ：相应电子组态的行列式波函数绝热近似，单电子近似和能带近似→ 理想晶体电子态的能带图像理想晶体的带间（直接）光跃迁是光与电子体系相互作用导致的，在两个电子组态（相应的波函数为行列式波函数）间的跃迁上述矩阵元的性质：注意：微扰哈密顿算符()()()1=II e i i iH H e m A r p ≈⋅∑是单电子算符之和，它具有如下的一般形式：ˆˆ()NiG gi =∑ （3.1-3）其中右边求和式中的每一项ˆ()gi 都只与某一个电子i 的坐标有关，其形式不随i 而变 -→算符ˆG对电子的交换是对称的下面我们先讨论算符G 的矩阵元的性质，然后由此推断出几个跃迁选择定则。

发光物理基础9

hv = Eg − Eex
• Ex为自由激子发光，I2为束缚于中性施主（生长条件有关的杂质）的激子发光，I1S为束缚N受主的激子发光，Q1、Q2为施主－受主对的发光。 • 束缚激子发光能量低于自由激子；束缚激子的发光强度高是由于束缚激子的动能为0，使得无辐射跃迁的几率低。 • 可以由激子束缚能估计杂质电离能： • 一般而言激子束缚能与杂质电离能之比为常数。对ZnSe为0.1，Ex ＝ 2.8eV, I1S =2.79eV, 束缚能为10meV,杂质电离能约为1005
DOS
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 -3 -2 -1 0 1 2 3
Energy (eV)
直接带的带间直接跃迁
• 复合速率R 对半导体而言，n为导带参与发光的电子浓度，p为价带参与发光的空穴浓度。对光生载流子 n=p ≈ni • 复合截面σ 相当于电子截获空穴的有效面积 • 利用发光谱测量R，利用霍尔效应测量载流子浓度（因为产生率与载流子浓度无关），可以得到 σ。 • 杂质的影响杂质原子可以提供杂质能级，对带间复合具有显著影响，复合界面很大。与杂质是否电离密切相关 • 带间直接复合仅在纯净半导体中观察到。 • 由于存在本征吸收，需要对发光谱进行自吸收校正
k p = K ex − ∑ q, K ex = ∑ q
1 1
N
N
1 h2 k 2 直接带：hv = Eg − Eex 2 Eex − ( = E0 ) n 2 ( me + mh ) 1 h2 k 2 间接带：hv = Eg − Eex 2 Eex − − E p ( mE p ) ( = E0 ) n 2 ( me + mh ) 1 hv − E0 R ( v ) ≈ B ( hv − E0 ) 2 exp − kT

量子跃迁理论

Equation Chapter 9 Section 1 §9.1 含时微扰理论（量子跃迁理论）第八章讨论了分立能级的能量和波函数的修正，所讨论体系的ˆH不含时间，因而求解的是定态薛定谔方程。

本章主要讨论体系哈密顿算符含有时间的微扰理论。

1、适用情况体系()ˆH t 由0ˆH 和()ˆH t '这两部分组成：()()0ˆˆˆH t H H t '=+ (9.1.1)其中0ˆH 为与时间无关，无微扰哈密顿算符，其本征值与本征函数为已知，本征方程为()()0ˆn n n H r E r φφ=，n E 为分立能级，第n 个定态波函数为()(),n iE tn n r t r eφ-Φ=⋅，薛定谔方程为()()0ˆ,,n nir t H r t t∂Φ=Φ∂。

()ˆH t '显含时间，且要求()0ˆˆ""Ht H '，并且()ˆH t 随时间变化，此时体系能量不是守恒量，体系不存在严格的定态。

此时求解定态薛定谔方程是很困难的，要求解含时薛定谔方程()()()ˆ,,ir t Ht r t tψψ∂=∂ (9.1.2)这时体系能量随时间变化，我们不再讨论能量，主要讨论跃迁几率 2、跃迁几率与跃迁几率（振）幅t 时刻将(),r t ψ按0ˆH 的本征函数系()n r φ完全展开()()()()()()(),,n n n niE tn n n n n nr t c t r a t er a t r t ψφφ-=≡⋅⋅=⋅Φ∑∑∑(9.1.3)相当于选取了能量表象。

上式相当于将体系波函数(),r t ψ按0ˆH 的定态波函数(),n r t Φ做完全展开，展开系数()()(),,n n a t r t r t ψΦ。

根据展开假设()()()222n iE tn n n c t a t ea t -==，表示t 时刻，测量能量值为n E 的几率。

即体系()()2,,n r t r t ψ=Φ，处于()n r φ态的几率。

量子论基础

第五章近似方法一、概念与名词解释1. 斯塔克效应2. 跃迁概率3. 费米黄金规则4. 选择定则二、计算1. 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r 0，电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正.2. 转动惯量为I ，电矩为D 的空间转子处在均匀电场E 中，如果电场较小，用微扰理论求转子基态能量的二级修正.3. 转动惯量为I ，电矩为D 的平面转子处在均匀弱电场E 中，电场处在转子运动的平面上，用微扰法求转子的能量的二级修正.4. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是 ,a E b b a E 0201⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a 、b 是实数.(1) 用微扰公式求能量至二级修正；(2) 直接用求解能量本征方程的方法求能量的准确解，并与(1)的结果比较.5. 设哈密顿量在能量表象中的矩阵是)E (E E E 0 0 E 010202*b *a b 01a 01>⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛λλλλ， (1) 用简并微扰方法求能量至二级修正；(2) 求能量的准确值，并与(1)的结果比较.6. 在简并情况下，求简并微扰论的波函数的一级修正和能量的二级修正.7. 线谐振子受到微扰aexp(-βx 2)的作用，计算基态能量的一级修正，其中常数β>0.8. 设线谐振子哈密顿算符用升算符a +与降算符a 表示为, 1/2)a (a Hˆ0ω+=+ 此体系受到微扰ω+λ=+ a)(a 'H ˆ的作用，求体系的能级到二级近似. 已知升与降算符对0Hˆ的本征态|n>的作用为. 1n n n a ; 1n 1n n a －=++=+9. 一个电荷为q 的线谐振子受到恒定弱电场i E ε=的作用，利用微扰论求其能量至二级近似，并与其精确结果比较.10. 一维非简谐振子的哈密顿量为H=p 2/2m+m ω2x 2/2+βx 3. β是常数，若将3x H'β=看成是微扰，用微扰论求能量至二级修正，求能量本征函数至一级修正.11. 二维耦合谐振子的哈密顿量为H=(p x 2+p y 2)/2μ+μω2(x 2+y 2)/2+λxy. 若λ<<1，试用微扰论求其第一激发态的能级与本征函数.12. 在各向同性三维谐振子上加一微扰 , bz axy H'2+=求第一激发态的一级能量修正.13. 一维无限深势阱(0<x<a)中的粒子，受到微扰⎩⎨⎧<<<<λ=a)x (a/2 x/a)-2x(1a/2)x (0 x/a 2H'作用，求基态能量的一级修正. 14. 处于一维无限深势阱(0<x<a)中的粒子，受到微扰⎩⎨⎧<<<<<<=2a/3)x (a/3 V -a)x a/3,2a/3x (0 0H'1的作用，计算基态能量的一级修正. 15. 在一维无限深势阱(0<x<a)中运动的粒子，受微扰⎩⎨⎧<<<<=a)x (a/2 b a/2)x (0 b H'＋－作用，求波函数至一级修正. 16. 一个粒子处在二维无限深势阱⎩⎨⎧∞<<=)(a)y x,(0 0y)V(x,其他中运动，现加上微扰 a),y x,xy(0H'≤≤λ=求基态能量和第一激发态的能量修正值.17. 粒子在如下势阱中运动, a)x 0,(xa)x (0 a x/a)/80sin(V(x)222⎩⎨⎧><∞≤≤μππ= －求其基态能量的一级近似.18. 粒子处于如下势阱中, a)X 0,(x a)x (a/2 a /80a/2)x (00V(x)222⎪⎩⎪⎨⎧><∞≤≤μπ<<= 求其能级的一级近似值.19. 自旋为ħ/2的粒子处于一维无限深方势阱(0<x<a)中，若其受到微扰⎩⎨⎧><≤≤πλ=a)x 0,(x0a)x (0 s ˆx/a)cos(2H'y 的作用，求基态能量至一级修正，其中λ为一小量.20. 两个自旋为ħ/2，固有磁矩算符分别为2211ˆˆˆˆσβ=μσα=μ和的粒子，处于均匀磁场k B B 0 =中，若粒子间的相互作用21ˆˆσ⋅σγ 可视为微扰，求体系能量的二级近似，其中α、β、γ为实常数.21. 类氢原子中，电子与原子核的库仑作用为U(r)=－Ze 2/r ，当核电荷增加e(从Z →Z+1)，相互作用增加/r -e H'2=，试用微扰论求能量的一级修正并与严格解比较.22. 设氢原子处于均匀的弱电场k 0 ε=ε和弱磁场k B B 0 =中，不考虑自旋效应，用微扰论讨论其n=2的能级劈裂情况.23. 求氢原子n=3,简并度n 2=9时的斯塔克效应.24. 设在t=0时，电荷为e 的线性谐振子处于基态. 在t>0时起，附加一与谐振子振动方向相同的恒定外电场ε，求其处在任意态的概率.25. 一个自旋为ħ/2，磁矩为sˆg ˆ =μ的粒子处于如下弱旋转磁场中 , k B j t)sin(B i t)cos(B B 00 +ω+ω=粒子与磁场的作用为 .B s ˆg ⋅－若粒子开始处于s z = ħ/2的状态，讨论跃迁情况并计算跃迁概率.26. 求氢原子的第一激发态的自发辐射系数.27. 一个处在第一激发态(2p)的氢原子位于一空腔中，求空腔温度等于多少时，自发跃迁概率和受激跃迁概率相等.28. 一个粒子在吸引势V(r)= -g 2/r 3/2中运动，试用类氢原子的波函数作为尝试波函数，求基态能量.29. 以)exp(-cr (r)2=φ为试探波函数，求氢原子基态能量与波函数，其中c>0.30. 设一维非简谐振子的哈密顿算符为 , x /2p ˆH ˆ42x λ+μ=以/2)x exp(-a a/(x)22π=φ为试探波函数，a 为变分参数，求其基态能量.31. 取尝试波函数为 ,Ce 2-ax C 为归一化常数，a 是变分参数，试用变分法求谐振子的基态能量和基态波函数，并算出归一化常数C.32. 设粒子在中心力场V(r)= -Ar n (n 为整数)中运动，选R(r)=Nexp(-βr)为试探波函数，求其基态能量. 进而求出库仑场(n= -1,A>0)和谐振子势(n=2,A<0)的结果，并与严格解比较.33. 试用Φ=exp[-f(x-1)2(x+2)/3]/(x+1)为试探波函数，f 为变分参数，求势场为V(x)=g 2(x 2-1)2/2的基态能量，其中g 是个很大的常数.三、证明1. 在无简并的微扰论中，证明(1)n(1)n (1)n (3)n (2)n (1)n (0)n (1)n (0)n (0)n (1)n(0)n (0)n (0)n E -W ˆE E E E H ˆE E H ˆφφ=++=φ+φφ+=φφ2. 一维运动的体系,定义从|m>态跃迁到|n>态相应的振子强度为, /m x n 2m f 2nm nm ω= m 是粒子质量，求证：∑=n nm 1f3. 设体系在t=0时处于基态|0>，若长时间加上微扰),(x)exp(-t/F ˆt)(x,W ˆτ=证明该体系处于另一能量本征态|1>的概率为222012/)E -(E 1Fˆ0τ+四、综合题1. 一根长度为d 质量均匀分布的棒可绕其中心在一平面内转动，棒的质量为M. 在棒的两端分别有电荷+Q 和-Q.(1) 写出体系的哈密顿量、本征函数和本征值；(2) 如果在转动平面内存在一电场强度为E 的弱电场，准确到一级修正，它的本征函数和能量如何变化？(3) 如果这个电场很强，求基态的近似波函数和相应的能量值.2. 对于一个球形核来说，可以假定核子处在一个半径为R 的球对称势阱中，势场是. R)(r R)(r 0V ⎩⎨⎧≥∞<=相应地，对发生微小形变的核，可以认为核子处在椭球形势阱中，势壁高仍为无限大，即势场是)1/a z )/b y (x ( 0V 22222el ，（其他地方）内在⎩⎨⎧∞=++=其中a ≈R(1+2β/3), b ≈R(1-β/3)，且β<<1，利用微扰论，准确到一级近似，求椭球形核相对于球形核基态能量的变化.(提示：作变量代换，将椭球形势阱化成球形势阱后再讨论微扰影响.)3. 一个量子体系由哈密顿量H=H 0+H'描述，其中H'＝i λ[A,H 0]是一个加在非微扰哈密顿量H 0上的微扰，A 是个厄米算符，λ是个实数.设B 是另一个厄米算子，而且C=i[B,A].(1) 已知A 、B 、C 在无微扰(非简并)基态的平均值为<A>0、<B>0、<C>0.当微扰加入时，求B 在微扰后的基态上的平均值至λ的第一级；(2) 将这个结果用到如下三维问题上：.x H',x m 212m p H 331i 2i 22i 0λ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ω+=∑=计算x i 在基态的平均值<x i >(i=1,2,3)至λ的最低阶，并将这个结果和精确解相比较.4. 把处在基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为z 轴方向. 电场沿z 轴方向，可视为均匀电场. 设电容器突然充电，然后放电，电场随时间的变化是).( 0)(t e 0)(t0(t)t/-0为常数τ⎩⎨⎧>ε<=ετ求时间充分长后，氢原子跃迁到2s 态和2p 态的概率.5. 考虑势U=g|x|的能级.(1) 用量纲分析，推导本征值和参数(质量m 、ħ、g)的关系；(2) 用尝试波函数φ=C θ(x+a) θ(a-x)(1-|x|/a)对基态能量作变分计算;0)(x 10)(x 0(x)这里C、a是复数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎩⎨⎧><=θ， (3) 为什么φ=C θ(x+C) θ(a-x)不是一个好的尝试波函数？(4) 如果要求第一激发态能量，你将如何处理？6. 一个质量为m的粒子在汤川势U(r)= -λe-μr/r中运动，用变分法，取尝试波函数φ＝e-ar，问λ的临界值λ0等于多少时，能使得λ<λ0无束缚态，λ>λ0有束缚态？7. 介子一般可看成夸克和反夸克)q(q的束缚态. 考虑s态介子，设夸克质量为mq，束缚qq和的势U=A/r+Br，A<0，B>0.(1) 选用类似于氢原子基态波函数的φ＝e-r/a作为尝试波函数，用变分法求基态能量(在用变分法决定a的方程中，可近似取A＝0来简化计算).(2) 用不确定性原理估算基态能量，并和变分法的结果(1)比较.。

量子力学考试知识点

《量子力学》考试知识点第一章：绪论―经典物理学的困难考核知识点：（一）、经典物理学困难的实例（二）、微观粒子波－粒二象性考核要求：（一）、经典物理困难的实例1.识记：紫外灾难、能量子、光电效应、康普顿效应。

2.领会：微观粒子的波－粒二象性、德布罗意波。

第二章：波函数和薛定谔方程考核知识点：（一）、波函数及波函数的统计解释（二）、含时薛定谔方程（三）、不含时薛定谔方程考核要求：（一）、波函数及波函数的统计解释1.识记：波函数、波函数的自然条件、自由粒子平面波2.领会：微观粒子状态的描述、Born几率解释、几率波、态叠加原理（二）、含时薛定谔方程1.领会：薛定谔方程的建立、几率流密度，粒子数守恒定理2.简明应用：量子力学的初值问题（三）、不含时薛定谔方程1. 领会：定态、定态性质2.简明应用：定态薛定谔方程3.fdfgfdgdfg第三章：一维定态问题一、考核知识点：（一）、一维定态的一般性质（二）、实例二、考核要求：1.领会：一维定态问题的一般性质、束缚态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振2.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、线性谐振子第四章量子力学中的力学量一、考核知识点：（一）、表示力学量算符的性质（二）、厄密算符的本征值和本征函数（三）、连续谱本征函数“归一化”（四）、算符的共同本征函数（五）、力学量的平均值随时间的变化二、考核要求：（一）、表示力学量算符的性质1.识记：算符、力学量算符、对易关系2.领会：算符的运算规则、算符的厄密共厄、厄密算符、厄密算符的性质、基本力学量算符的对易关系（二）、厄密算符的本征值和本征函数1.识记：本征方程、本征值、本征函数、正交归一完备性2.领会：厄密算符的本征值和本征函数性质、坐标算符和动量算符的本征值问题、力学量可取值及测量几率、几率振幅。

（三）、连续谱本征函数“归一化”1.领会：连续谱的归一化、箱归一化、本征函数的封闭性关系（四）、力学量的平均值随时间的变化1.识记：好量子数、能量－时间测不准关系2.简明应用：力学量平均值随时间变化第五章态和力学量的表象一、考核知识点：（一）、表象变换，幺正变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式（三）、量子态的不同描述二、考核要求：（一）、表象变换，幺正变换1.领会：幺正变换及其性质2.简明应用：表象变换（二）、平均值，本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式1.简明应用：平均值、本征方程和Schrodinger equation的矩阵形式2.综合应用：利用算符矩阵表示求本征值和本征函数（三）、量子态的不同描述第六章：微扰理论一、考核知识点:（一）、定态微扰论（二）、变分法（三）、量子跃迁二、考核要求:（一）、定态微扰论1.识记：微扰2.领会：微扰论的思想3.简明应用：简并态能级的一级，二级修正及零级近似波函数4.综合应用：非简并定态能级的一级，二级修正、波函数的一级修正。

跃迁分类和选择定则

2、选择定则
1）、容许跃迁的选择定则：
I 0, 1

1
I Ii If 衰变前后原子核的自旋变化
i f 母核宇称 i 和子核宇称 f 之积
1 表示母核与子核的宇称相同
例如
i
〉
3 1
H
23
He
∵
3 1
H
的自旋宇称为
I

1 2
上式属于F型跃迁。
宇称选择定则：

i f

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)l

2 f
(1)l
1
所以：当电子和中微子的自旋反平行时：
I

Ii
I

f 0, 1
1
0 0 跃迁除外
当电子和中微子的自旋平行时，G-T型跃迁 Ii If 2, If 1, If , If 1,If 2
Ag
-
111 48
Cd

113m 48
Cd
-
113 49
In
7 2 3 2 1 2 1 2 11 2 9 2
二级禁戒跃迁：
59 26
Fe
-
59 27
Co

10 4
Be
-
10 5
B
3 2 7 2 0 3
所以：I Ii If 0, 1, 2 总上所述，一级禁戒跃迁的选择定则为：
I 0,1,2

1
说明：①、 I 2和0 0 的一级禁戒跃迁是纯G-T型跃迁
②、其他情形则是F型与G-T型跃迁的混合
<2>、二级禁戒跃迁的选择定则：

量子力学讲义第1112章

第四篇跃迁问题和散射问题量子跃迁 ~ 初态 −→−'H末态：几率？弹性散射 ~ 初态 −−→−)(r U 末态：散射截面（几率）？第十一章量子跃迁量子态的两类问题：① 体系的可能状态问题，即力学量的本征态和本征值问题。

② 体系状态随时间演化问题ψψH ti =∂∂。

11.1 跃迁与跃迁几率设 )0().()(),()(0)0()0()0(00=∂∂='+=tH r E r H t H H t H n nnψψ → 定态波函数 ,......2,1,)(),()0()0()0(==-n e r t r t E in nn ψψ。

将)(t H ' 作微扰，t =0时加入。

本节讨论在)(t H '作用下，由初态)0(k ψ−→−'H末态)0(m ψ的几率?=→m k W一、体系由)0(k ψ→)0(m ψ的几率将),(t r ψ按}{)0(n ψ展开：)()(),()0(r t C t r n nn ψψ∑=。

由0H 的定态波函数知，0H 引起的变化由tE i n e )0(-反映，故可令t E i n n n et a t C )0()()(-=，)(t H '引起的变化由)}({t a n 反映。

),()()()(),()0()0()0(t r t a r e t a t r n nn n t E in n nψψψ∑∑==→-。

)(~)(2t a t a W m m m k =∴→称为几率幅。

二、)(t a n 的运动方程利用含时S-方程，有∑∑∑∑'+=∂∂+nnn n n n n n n n n n t r H t a t r H t a t r t t a i dt t da t r i ),()(),()(),()()(),()0()0(0)0()0(ψψψψ 由 ∑∑'=→=∂∂nn n n n n n n t r H t a dt t da t r i t r H t r t i ),()()(),(),(),()0()0()0(0)0(ψψψψ用),()*0(t r m ψ左乘，并积分得∑'=nt i mnn m mn e H t a dt t da i ω)()(，式中 )(1,)()()0()0()0()*0(n m mn n m mnE E d r H r H -='='⎰ωτψψ~玻尔频率。

能级跃迁方程

能级跃迁方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：能级跃迁是指原子或分子从一个能级跃迁到另一个能级的过程，这是量子力学中极其重要的一个概念。

在现代物理学中，能级跃迁方程被用来描述这一过程，并在研究光谱、原子核衰变等领域发挥着关键作用。

在本文中，将详细介绍能级跃迁方程的基本原理及其在物理学中的应用。

我们来了解一下能级跃迁的概念。

在原子或分子中，电子通过吸收或发射能量，从一个能级跃迁到另一个能级。

这种跃迁是量子力学的基本过程，其中电子在能级之间跃迁时会释放或吸收光子。

根据能级跃迁的性质，可以分为辐射跃迁和非辐射跃迁两种情况。

辐射跃迁是指电子跃迁时释放光子，而非辐射跃迁则是指不释放光子的跃迁过程。

能级跃迁方程是用来描述能级跃迁过程的数学模型。

在量子力学中，能级跃迁可以用希尔伯特空间中的算符来描述。

当一个原子或分子经历能级跃迁时，它的波函数会发生变化，从而影响其物理性质。

能级跃迁方程通常用薛定谔方程来描述，即H|ψ⟩=E|ψ⟩其中H是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。

在能级跃迁过程中，波函数会由初始状态跃迁到末态，其波函数的变化可以用波函数几率振幅来描述。

波函数几率振幅的平方值表示在某一状态跃迁到另一状态的概率。

能级跃迁方程在物理学领域有着广泛的应用。

在光谱学中，能级跃迁方程被用来解释物质吸收或发射光线的机制。

通过研究能级跃迁过程，科学家们可以推断出物质的结构和性质，并且可以利用这些信息来设计新型材料。

在原子核物理学中，能级跃迁方程被用来研究原子核的稳定性和衰变过程，从而揭示原子核内部的结构和相互作用。

除了以上两个领域，能级跃迁方程还在半导体物理学、天体物理学等领域有着重要的应用。

在半导体器件中，能级跃迁方程被用来研究电子在能带中的跃迁过程，从而改善器件的性能。

在天体物理学中，能级跃迁方程被用来解释星体的发光机制，帮助科学家们了解宇宙的起源和演化。

能级跃迁方程是描述原子或分子能级跃迁过程的关键工具。

通过研究能级跃迁方程，科学家们可以深入理解量子力学中的基本概念，并且可以在各个领域中应用这一理论，推动科学的发展。

跃迁几率

（1）含时 Hamilton 量设 H’ 在 0 t t1 这段时间之内不为零，但与时间无关，即：
0 Hˆ Hˆ (r)
0
t0
0 t t1 t t1
（2）一级微扰近似 am
am (t)
1 i
t 0
H m k eimkt dt
H m k t eimkt dt
i 0
H’mk 与 t 无关(0 t t1)
§5.7 跃迁几率
1. 跃迁几率 2. 一阶常微扰 3. 简谐微扰 4. 能量和时间测不准关系
1.跃迁几率
体系的某一状态
am (t)m
m
t 时刻发现体系处于m 态的几率等于 |am(t)| 2，一级近似下为
Wk m
| am (t) |2
1 i
t 0
2
H m keimkt dt
2.一阶常微扰（微扰为常量）
mkt)
k m
2mk 2
lim t
sin
2
(
1 2
mk
t)Βιβλιοθήκη 122 mk
2 (m
k )
Wk m
2t
|
H m k
|2
( m
k )
物理意义？
跃迁速率：
km
Wkm t
2
| Hm k
|2
(m
k)
（4）讨论
Wk m
2t
|
H m k
|2
( m
k )
km
Wkm t
2
| Hm k
|2
(m
k)
a.上式表明，对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量εm ≈εk ，即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。在常微扰下，体系将跃迁到与初态能量相同的末态，也就是说末态是与初态不同的状态，但能量是相同的---简并态。

跃迁几率和费米黄金规则

第3章 费米能级

黄金费米定律

跃迁几率和费米黄金规则

微扰理论

周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)

黄金费米定律

5.7跃迁几率

5.7跃迁几率

量子力学基础教程陈鄂生

扩展X射线吸收精细结构(EXAFS)谱

直接跃迁的速率和选择定则

发光物理基础9

量子跃迁理论

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量子力学考试知识点

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量子力学讲义第1112章

能级跃迁方程

跃迁几率

第3章费米能级