立体几何复习学案

立体几何复习
一：空间几何体的结构、三视图、直观图空间几何体的表面积和体积
1．柱、锥、台、球体及其简单组合体的结构特征。

棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体
棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体
棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分
球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体
2．能画出简单空间几何体的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型。

3．柱、锥、台的侧面积、表面积、体积的计算，球的表面积和体积的计算。

多面体的面积和体积公式
旋转体的面积和体积公式
R表示半
12
径。

二：平面
公理1 如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(证明直线在平面内的依据)．
公理2过不在的三点，有且只有一个平面(确定平面的依据)．
推论1经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面．推论2经过两条直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条直线，有且只有一个平面．
公理3如果两个不重合平面有个公共点，那么它们有只有(证明多点共线的依据)．
三：点、线、面的位置关系
1．空间两条直线的位置关系为、、．
2．直线和平面的位置关系、、．
直线在平面内，有公共点．直线和平面相交，有公共点．直线和平面平行，有公共点．直线与平面平行、直线与平面相交统称为直线在平面外．
3．两个平面的位置关系：、．
1．异面直线：不同在任平面，没有公共点．
2．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相 ．
3．等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两角 ．
1．两异面直线所成的角：直线a 、b 是异面直线，经过空间一点O 分别引直线a' a ，b' b ，把直线a'和b'所成的 或 叫做两条异面直线a 、b 所成的角，其范围是 ．
2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的 所成的 角，叫做这条斜线和平面所成的角．
规定： ① 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是 角；② 一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是 角．其范围是 ．
3．二面角：从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角．
4．二面角的平面角：以二面角的棱上 一点为端点，在两个面内分别作 棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围是 ．
四： 直线与平面、平面与平面平行的判定与性质 1．直线和平面平行的判定定理
平面外 与此平面内 平行，则该直线与此平面平行．
2．直线和平面平行的性质定理
一条直线和一个平面 ，经过 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 3．两个平面平行的判定定理
如果一个平面内有两条 直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 4．两个平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么 平行． 五： 直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质
1．直线和平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面的 直线垂直，那么这条直线和这个平面互相垂直． 2．直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的 直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 3．直线和平面垂直性质定理
（过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．） 1．两个平面垂直的定义：
如果两个平面相交所成二面角为 二面角，则这两个平面互相垂直． 2．两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面 ． 3．两个平面垂直的性质定理：
如果两个平面垂直，那么一个平面 直线垂直于另一个平面．
例1. 设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1) 全面积：S 全=3a 2；(2)体积：V=
12
2a 3；(3)对棱中点连线段的长：d=
2
2a ；(4)内切球半径：r=
12
6 a
(5)外接球半径 R=4
6a ；
俯视图
侧视图
例2. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==，
AC BC ⊥，点D 是AB 的中点．
（Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面； （Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；
（Ⅲ）线段A B 上是否存在点M ，使得1A M ⊥平面1CDB ？
例3. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧菱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点．
练习
全面积与
A ．
π
2
B ．π4
C ．π
D ．
π
π241+
3. 一个底面半径为R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r 的实心铁球，水面高度恰好升高r ，则
r
R = 。

4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的全面积是（ ） A ．3π
B ．3
3π C ．6π D ．9π
5. 已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2A B B C C A ===，求球的表面积
6. 已知平面α、β、γ，直线l,m ，且l ⊥m,α⊥γ,α∩γ=m,β∩γ=l,给出下列四个结论，则其中正确的
是 .①β⊥γ；②l ⊥α；③m ⊥β；④α⊥β.
7. 已知平面α,β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α;③m ⊂α;④α⊥β;⑤α∥β.
（1）当满足_________条件时，有m ∥β；
（Ⅱ）求侧面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅲ）求三棱锥的体积V S －AB C 。

9. 如图，ABC D 是直角梯形，SA ⊥平面ABC D ，90BAD ADC ︒∠=∠=，CD DA SA a ===，2AB a =．
（1）证明：面SAC ⊥面SBC ； （2）在线段SD 上取异于S 点M ，SC 交平面ABM 于N ， 求证：ABN M 是直角梯形．
10. 如图，在四棱锥S —ABCD 中，侧棱SA=SB=SC=SD ，底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于O 点．
（1
）求证：AC ⊥平面SBD ； （2）若E 为BC 中点，点P 在侧面△SCD 内及其边界上运动，
并保持
PE ⊥AC ，试指出动点P 的轨迹，并证明你的结论．
S
C
B
A
D
O
E
A
B
C D
M
N S。