不定积分的计算
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结
不定积分是微积分中的重要概念，它是定积分的逆运算。在实际问题中，我们经常需要对函数进行不定积分来求解问题。不定积分的计算方法有很多种，本文将对常见的不定积分计算方法进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握不定积分的计算技巧。
一、基本积分法。
基本积分法是指根据不定积分的基本性质和常用函数的积分公式进行计算的方法。常见的基本积分公式包括幂函数的不定积分、三角函数的不定积分、指数函数的不定积分、对数函数的不定积分等。在使用基本积分法时，需要熟练掌握各种函数的积分公式，并灵活运用。
二、换元法。
换元法是不定积分中常用的一种计算方法，它通过代换变量的方式将原函数转化为一个更容易积分的形式。常见的换元法包括代数换元法、三角换元法、指数换元法等。在使用换元法时，需要选择合适的代换变量，并进行变量的替换和微分运算，最终将原函数转化为容易积分的形式。
三、分部积分法。
分部积分法是求不定积分中常用的一种方法，它通过对积分式进行分解，然后利用分部积分公式进行计算。分部积分法的公式为∫udv=uv-∫vdu，其中u和v分别为原函数中的两个部分。在使用分部积分法时，需要选择合适的u和dv，并进行适当的求导和积分运算。
四、特殊函数的积分计算方法。
在实际问题中，常常会遇到一些特殊函数的不定积分计算，如有理函数、反三角函数、反双曲函数等。针对这些特殊函数，我们需要掌握相应的积分计算方法，
如部分分式分解法、反三角函数的积分计算公式等。通过熟练掌握特殊函数的积分计算方法，可以更好地解决实际问题中的不定积分计算。
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结
引言
不定积分是微积分中的重要概念，用于求解给定函数的原函数。对于一个函数
f(x)，其原函数即为满足F’(x) = f(x)的函数F(x)。不定积分的计算方法有多种，本
文将对常见的不定积分计算方法进行总结和介绍。
常数法则
不定积分中的常数法则是基础且常用的方法。根据常数法则，不定积分中的常
数可以被提取出来，并乘以积分的结果。例如，对于函数f(x) = 3x2，其不定积分可以表示为
∫3x2 dx = 3∫x^2 dx。在计算过程中，我们可以先对x^2进行积分，然后再乘以常数3。
幂函数法则
幂函数法则适用于形如f(x) = x n的函数。根据幂函数法则，当n不等于-1时，不定积分可以表示为∫x n dx =
(x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。例如，对于函数f(x) = x3，其不定积分可以表示为∫x3 dx
= (x^4)/4 + C。然而，当n等于-1时，即f(x) = 1/x时，不定积分结果为ln|x| + C，其中ln表示自然对数。
换元法
换元法是一种常用的不定积分计算方法，适用于复杂函数的积分计算。在换元
法中，我们通过合适的变量替换，将原函数转化为简单的形式，从而进行积分计算。换元法的基本思想是将被积函数中的一个或多个变量用另一个变量进行替换，通过求导和逆函数的关系，将原函数转化为新变量的积分形式。
例如，对于函数f(x) = 2x/(x^2 + 1)，我们可以通过变量替换x = tan(t)，将原
函数转化为关于t的函数，即f(t) = 2tan(t)/(tan^2(t)+1)。
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I
不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：
基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：
分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：
代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为
∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：
部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的
方法，从而简化积分运算的方法。对于一些有理函数，我们可以通过部分
分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法
不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。不定积分的计算方法主要有以下几种：
1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法
定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。定积分的计算方法主要有以下几种：
1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，
利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼
近定积分的值。常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式
不定积分是微积分中的重要概念之一，而四则运算也是基本的数学运算。在对不定积分进行计算时，常常需要运用四则运算。以下是不定积分的四则运算公式：
1. 和的不定积分等于各部分不定积分的和。
∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx
2. 差的不定积分等于各部分不定积分的差。
∫(f(x)-g(x))dx=∫f(x)dx-∫g(x)dx
3. 乘积的不定积分可以通过积分分部法来求得。
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫g(x)f'(x)dx
4. 商的不定积分可以通过换元积分法来求得。
∫f(x)/g(x)dx=∫[f(g(x))/g(x)]g'(x)dx
在实际计算中，不定积分的四则运算常常需要与其他的积分技巧和公式相结合，才能得到最终的结果。因此，对于不定积分的学习和掌握，需要不断地进行练习和实践。
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不定积分的定义和计算
不定积分的定义和计算
不定积分是微积分的一个重要概念，用于求解函数的原函数。在数
学中，函数的导数被定义为函数变化率的极限，而不定积分则是导数
的逆运算。
一、不定积分的定义
不定积分可以理解为函数的原函数，也被称为反导函数。给定一个
函数f(x)，如果存在另一个函数F(x)，满足F'(x) = f(x)，那么F(x)就是
f(x)的一个原函数。不定积分表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
二、不定积分的计算方法
1. 基本积分法
基本积分法是一种基于函数导数与积分之间的关系来计算不定积分
的方法。根据常见函数的导数公式可以得到对应的不定积分公式，具
体如下：
（1）常数函数：∫kdx = kx + C，其中k为常数；
（2）幂函数：∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹ / (n + 1)) + C，其中n不等于-1；
（3）指数函数：∫eˣdx = eˣ + C；
（4）三角函数：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C，∫sec²xdx = tanx + C；
（5）对数函数：∫(1/x)dx = ln|x| + C。
2. 分部积分法
分部积分法是利用乘积的求导公式来计算不定积分的方法。公式表达为∫u'vdx = uv - ∫uv'dx，其中u和v分别表示函数u(x)和v(x)，而u'和v'表示它们的导数。通过选择合适的u和v，可以将原函数的积分转化为其他容易计算的形式。
3. 代换法
代换法是利用变量代换的方式来计算不定积分的方法。通过选择适当的变量代换，可以将原来的积分转化为更简单的形式。常见的代换方法包括三角代换、指数代换和倒数代换等。
不定积分计算方法
不定积分计算方法
在微积分中，不定积分是求解函数的原函数的过程，也称为反导函数。学习不定积分计算方法对于解决实际问题和深入理解函数的性质具有重要意义。本文将介绍几种常见的不定积分计算方法。
一、换元法
换元法是一种常用的不定积分计算方法。它通过变量替换的方式将被积函数转化为较为简单的形式。一般情况下，我们通过选取合适的变量替换来简化被积函数。例如，对于含有根式的积分，我们可以选取一个合适的变量代替根式，从而将被积函数化简为形式更简单的表达式。
二、部分分式分解法
部分分式分解法是一种用于处理有理函数积分的方法。它将有理函数表达式拆分成若干个部分分式的和，并通过求解未知系数的方法将被积函数转化为简单的形式。例如，对于一个有理函数的积分，我们可以将其分解为多个部分分式，并根据系数方程逐个求解各个部分分式的积分。
三、分部积分法
分部积分法是一种用于处理乘积函数积分的方法。它通过求导和积分的交替操作来将被积函数转化为较为简单的形式。一般情况下，我们通过选取合适的函数进行积分和求导，从而将被积函数化简为形式更简单的表达式。例如，对于含有指数函数和三角函数的积分，我们
可以选取指数函数和三角函数中的一个进行积分，从而将被积函数化
简为更易于计算的形式。
四、换限积分法
换限积分法是一种用于处理不定积分的方法。它通过改变积分的上
下限来改变积分的表达形式。一般情况下，我们通过选取合适的变量
替换和适当选择积分的上下限来将被积函数转化为简单的形式。例如，对于含有三角函数的积分，我们可以通过换限积分法将其转化为不含
三角函数的积分。
不定积分的运算方法总结
不定积分的运算方法总结
不定积分，是以某个函数的积分的一种，它的形式是：
$\int f(x)dx$
其中，f(x)是在定义域$\left[a,b\right]$ 上一个有界连续函数，($a,b$ 为实数，且$a
（1）分段函数先求和
如果函数f(x)有k个不同区间，则可以将不定积分分解为k个区间上的定积分，然后将k 个定积分求和。
（2）型函数测积公式
设f(x)属于某一类形函数，如三角函数、指数函数、对数函数、及反三角函数等，则这时就可以利用测积公式将不定积分转化为定积分。
（3）变量变换法
变量变换法主要分两种情况：（1）将f(x)不定积分的变量变换成集中的，然后再与某一类函数形式相匹配，用测积公式直接求出积分；（2）
变量变换后将积分变为一个定积分形式，然后再用分段函数先求和。
（4）用完善微分法
完善微分法是一种改良的微分法，利用定义域内反投影得到反函数，然后将不定积分与某一类函数形式变形相匹配，得到定积分形式。
（5）其他方法
用积分方程、积分变换以及常用积分公式，也可以将不定积分转变成相应的定积分形式。
综上所述，不定积分的运算基本可以归纳为分段函数先求和、型函数测积公式、变量变换法、用完善微分法以及其他方法五种，基本可以满足各种函数的求积分需求。希望以上方法对大家在计算不定积分方面有所帮助。
不定积分基本公式及运算法则
不定积分基本公式及运算法则
不定积分的基本公式包括幂函数、一次二项式、二次二项式、三角函数等类型的积分公式。例如，不定积分的幂函数公式包括∫
x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，以及∫1/xdx=ln|x|+C。对于含有一次二项式的积分，有∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C，以及∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C等公式。
此外，不定积分的运算法则包括常数倍法则、代换法则、分部积分法则和恒等变形法则等。这些法则可以帮助我们更好地进行不定积分计算，需要根据情况选择合适的方法，结合基本积分公式进行计算。
最后，在进行不定积分计算时，需要注意一些常见的陷阱和错误，例如忽视函数的定义域、混淆不定积分和定积分的概念、忽视原函数的唯一性等。因此，在计算不定积分时需要认真审题、明确概念、掌握基本公式和运算法则，并注意检查答案的正确性和合理性。
不定积分的定义与计算
不定积分的定义与计算
不定积分，又称为原函数或反导数，是微积分中的重要概念之一。
在这篇文章中，我们将探讨不定积分的定义和计算方法，并通过一些
例子来加深理解。
一、不定积分的定义
不定积分是定积分的“逆运算”。给定一个连续函数f(x)，如果存在
一个函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)的一个不定积分。简
而言之，不定积分就是求导的逆运算。
二、不定积分的计算方法
根据不定积分的定义，我们可以推导出一些基本的计算方法，例如：
1. 基本积分法则
根据导数的基本法则，我们可以推导出不定积分的基本法则：
（a）常数法则：∫k dx = kx + C（其中k为常数，C为常数项）；
（b）幂函数法则：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C（其中n不等于-1，C为常数项）；
（c）指数函数法则：∫e^x dx = e^x + C；
（d）三角函数法则：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C（其中C为常数项）。
2. 分部积分法
当被积函数是两个函数的乘积时，我们可以使用分部积分法来求解不定积分，公式如下：
∫u dv = uv - ∫v du（其中u和v分别为可导的函数）。
3. 有理函数的积分
对于有理函数（多项式的比值），我们可以使用部分分式分解法来进行不定积分的计算。具体的步骤可以参考相关教材或学习资料。
4. 常见函数的特殊积分
对于一些特殊的函数，例如反三角函数、指数函数的复合函数、以及一些特殊的三角函数等，我们可以根据其性质和相关公式来进行不定积分的计算。
不定积分的运算法则
不定积分的运算法则
不定积分是一种数学运算，它可以用来计算某个函数的积分。它的运算法则是：
1. 如果函数f(x)可以分解为f(x)=g(x)h(x)，那么不定积分的结果就是：
∫f(x)dx=∫g(x)dx+∫h(x)dx
2. 如果函数f(x)可以分解为f(x)=g(x)+h(x)，那么不定积分的结果就是：
∫f(x)dx=∫g(x)dx+∫h(x)dx
3. 如果函数f(x)可以分解为f(x)=g(x)-h(x)，那么不定积分的结果就是：
∫f(x)dx=∫g(x)dx-∫h(x)dx
4. 如果函数f(x)可以分解为f(x)=g(x)n，其中n是一个正整数，那么不定积
分的结果就是：
∫f(x)dx=1/n+1∫g(x)n-1dx
5. 如果函数f(x)可以分解为f(x)=g(x)n，其中n是一个负整数，那么不定积
分的结果就是：
∫f(x)dx=-1/n-1∫g(x)n+1dx
以上就是不定积分的运算法则，它可以帮助我们计算函数的积分，从而更好地
理解函数的特性。不定积分的运算法则也可以帮助我们更好地理解数学中的概念，从而更好地应用数学知识。
求不定积分的基本方法
求不定积分的基本方法
不定积分是微积分中的重要概念，它是求导的逆运算。不定积分是求函数的原函数，也就是求解函数的不定积分就是要找到一个函数，它的导数等于被积函数。本文将介绍不定积分的基本方法和常用公式。
一、基础知识和符号
1.不定积分可以使用∫来表示，被积函数称为被积表达式，不定积分的结果称为不定积分式。
2. ∫f(x)dx中，f(x)是被积函数，dx是积分变量，表示要对x进行积分。
3. 不定积分有许多基本定理，例如Newton-Leibniz公式、线性性质等，这些定理有助于化简和计算不定积分。
对于不同类型的函数，我们有不同的方法来计算它们的不定积分。下面将介绍常见的几种方法。
1.直接计算法：根据不定积分的定义，直接对被积函数进行计算。例如，对于多项式函数和幂函数，可以使用求导法则的逆运算进行计算。
例如，对于多项式函数f(x)=ax^n，其中a为常数，n为非负整数，其不定积分为F(x)=（a/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为常数。
2.特殊函数法：对于一些特殊函数，我们可以利用它们的性质或公式来计算不定积分，如三角函数、指数函数、对数函数等。
例如，对于三角函数，我们可以利用三角函数的性质和三角函数的积分公式来计算不定积分。
a）∫sin(x)dx = -cos(x) + C
b）∫cos(x)dx = sin(x) + C
c）∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C
3.分部积分法：分部积分法是求不定积分中常用的方法之一，它是对乘积求积分的逆运算。
分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx
不定积分与定积分的各种计算方法
不定积分与定积分的各种计算方法
一、不定积分的计算方法：
1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-
1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。
2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。
3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。
4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。
5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。
二、定积分的计算方法：
1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。
2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。
不定积分的四种计算方法
不定积分的四种计算方法
不定积分是高等数学中的一个重要概念，也是各类数学问题求解
的基础。对于不定积分的计算方法，我们可以分为四种：代入法、换
元法、分部积分法和三角函数代换法。
代入法是最简单的一种方法，通过直接代入函数的原函数公式，
直接将被积函数带入，再进行简单的运算即可求出不定积分。这种方
法适用于简单的函数，例如幂函数和指数函数。
换元法则是将原函数中的变量进行换元，将原来的自变量用新变
量来表示，再进行简单的变量代换和运算。这种方法适用于含有较为
复杂的函数组合的问题。
分部积分法是将带积函数进行分解，分成两个函数相乘，再利用
积分的逆运算，将其转化为简单的不定积分式。这种方法适用于含有
两个难以解决的函数的积分问题。
三角函数代换法是将复杂的三角函数替换成简单的三角函数来求
解不定积分，例如将sin(x)或cos(x)替换成tan(x/2)，或者将sec(x)替换为tan(x/2)+C。这种方法适用于含有三角函数较为复杂的积分问题。
上述四种方法均可互相结合，有时需要多种方法的协作才能求解
出复杂的不定积分问题。通过选择合适的方法，我们可以更加高效而
准确地解决各类数学问题。
不定积分的计算方法
不定积分的计算方法
不定积分是微积分中的一个重要概念，用来求函数的原函数。计算不
定积分的方法主要有：基本积分法、换元法、分部积分法、特殊换元法等。下面将详细介绍这些方法。
一、基本积分法
基本积分法是求解不定积分的最常用方法之一、它是根据一些基本函
数的导数和原函数之间的关系来进行计算的。
一些基本积分公式如下：
1. 常数的积分：∫kdx=kx+C，其中C为常数。
2. 幂函数的积分：∫x^ndx=1/(n+1)x^(n+1)+C，其中C为常数，n
不等于-1
3. 正弦函数的积分：∫sinxdx=-cosx+C，其中C为常数。
4. 余弦函数的积分：∫cosxdx=sinx+C，其中C为常数。
5. 指数函数的积分：∫exdx=ex+C，其中C为常数。
通过使用这些基本积分公式，我们可以计算出函数的原函数。
二、换元法
换元法是求解不定积分的另一种常用方法。换元法的基本思想是进行
变量的代换，使得原函数变为另一个可以容易求解的函数。
设u=g(x)是一个可导的函数，y=f(u)是一个可导的函数，且f(g(x))
的原函数存在。则有如下的换元公式：
∫f(g(x))g'(x)dx=∫f(u)du
换元法的一般步骤如下：
1.通过选择合适的变量代换，将被积函数转化为另一个易于求解的函数。
2.计算新的被积函数的不定积分。
3.将变量换回原来的变量。
通过换元法，我们可以将原函数转化为新的函数，从而得到原函数的表达式。
三、分部积分法
分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，适用于求解乘积两项中至少一项可以积分的情况。分部积分法的基本思想是将乘积的积分转化为另一种积分形式，从而简化求解过程。
不定积分的计算方法及举例
不定积分的计算方法及举例
不定积分是指在定积分的基础上，将积分上限及下限变为未知数，从而求解更
复杂的定积分问题。不定积分的计算方法主要有两种：一种是采用换元法，另一种是采用变量变换法。
换元法是指将不定积分的上下限变为已知数，然后将不定积分转化为定积分，
再利用定积分的计算方法求解。例如，求解不定积分∫x^2dx，可以将上下限变为
a和b，即∫a^2b^2dx，然后将其转化为定积分∫a^2dx+∫b^2dx，再利用定积分的计算方法求解，即∫a^2dx+∫b^2dx=1/3a^3+1/3b^3。
变量变换法是指将不定积分的上下限变为未知数，然后利用变量变换法将不定
积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。例如，求解不定积分∫x^2dx，可以将x变为t，即∫t^2dt，然后将其转化为定积分∫t^2dt，再利用定积分的计
算方法求解，即∫t^2dt=1/3t^3。
以上就是不定积分的计算方法及举例，不定积分的计算方法主要有换元法和变
量变换法，可以将不定积分转化为定积分，再利用定积分的计算方法求解。
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例12
求
dx x(1 2ln
x)
.
d ln x 1 dx x
解
dx x(1lnx)
121lnxd(lnx)
u1dulnuC 1 212 1lnxd(2lnx1)
1ln12lnxC. 2
例13 求 3x2 1x3dx.
1
解3x2 1x3dx (1x3)23x2dx
u12du2u32 C
3
1
即 把被积函数视为两个函数之积 , 按
“ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 u后者为 v.
例3. 求 arccxdox.s
u vd xu vu vd x
解: 令 uarcxc,vo s1, 则
u 1 ,
1x2
v x
原式
=
xarcxcosx dx
1x2
xarc x c1 2o ( 1 sx 2 ) 1 2 d 1 x (2 )
1 s3 ix n 2 s5 ix n 1 s7 ix n C . 357
说明: 当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求 sin3 xdx.
解sin3xdxsin2xsinxdx
d c o s x s in x d x
sin2xdcosx
(co s2x 1 )dco sx
1(x2 1 )arctanx1x C .
2
2
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
例5 求 ln xdx.
解 设 u = lnx, dv = dx, 则 du1dx,vx, x
于是lnxdxx1nx
x1dx x
xlnx x C
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1 设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续
可导, 则有换元公式
f (( x ) ) ( x ) d x f ( u ) d u F (( x ) ) C .
如何应用上述公式来求不定积分?
假设要求 g(x)dx, 则使用此公式的关键在于将
2
对于形如 f((x))(x)dx的积分，设 u x,
如果 fu及(x)连续，且 f(u )d uF u+ C ,则
f(( x ) )( x ) d x F ( x ) C
该积分法可由下面的逆运算证明
F (( x ) ) C F ( x ) ( x ) f(( x ) ) ( x )
xarc xc1 ox2sC
例4 求xarctanxdx. 解xa 设rc tua n =x d ax rc tana r xc ,ta vn ′=x xd ,(1 2 则x 2 )du11x2dx,v1 2x2
1 2x2arctanx1 21 x2 x2dx
1 2x2arctanx1 2 11 1 x2 d x
例4 求 tanxdx.
d c o s x s in x d x
解tanxdxs cio n sx xdxco1sxsinxdx,
u1dulnuC
co1sxdcosx,
lncosxC.
类似 coxdtx?
cot
xdx
cos xdx sin x
d sin x sin x
lnsinxC
例5 求 sin2xcosxdx.
ln 1ex 1 C 2 l1 n e x 1 x C . 1ex 1
说明 当被积函数含有两种或两种以上的
根式 kx , ,l x时，可采用令 xtn （其中 n为各根指数的最小公倍数）
例3 求
1 dx.
x(13 x)
解 令 xt6 d x6t5d,t
1 x(13
x)dxt3(16t5t2)dt16t2t2
例1
求
1 2x
1
dx.
解法二： 2 x 1 1 d x1 22 x 1 1 d (2 x 1 )
1ln|2x1|C. 2
例3
求
1 sin x
xdx.
d x 1 dx 2x
解
1 sin x
xdx 2sin
x 1 dx 2x
2sin xd x
2cos xC.
一般地, 有
1 xf( x)dx2f( x)dx.
xdx1d(x2), 1dxdlnx,
2
x
1 dxd(1),
x2
x
1 dx2d x, sixnd xdcox,sexdxdex,
x
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
例10 求
1 a2 x2 dx.
解
dx a2x2
a12
1 dx
1(x)2
a
1 a
1
1(
x)2
u2duu3 C
3
c o s 2 x d c o s x d c o s x
1cos3xcosxC. 3
1
例8 求 ex ex dx.
解ex 1exdxe2e xx 1dx
1 1(ex)2
dex
arctanexC .
dex exdx
1
1 u2 du
arctan u C
一般地, 有
e xf(e x)d xf(e x)d e x .
xdx
1x2ln x1x2C
2
4
例2 求积分 xcoxsd.x u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.
解（一） 令 u co x , sxdx1dx2dv 2
xcoxs dxx 22cox sx 22six ndx
显然，u,v选择不当，积分更难进行.
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项等; 1si2x nco 2x等 s
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
c2 o x s 1 2 (1 c2 o x );ss2 ix n 1 2 (1 c2 o x );s
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）
(4) 巧妙换元或配元。
例9 求
2
dx x ln
x
.
解
dx 2xlnx
2l1nxd(lnx)
1lnlnx C. 2
d ln x 1 dx x
u1dulnuC
一般地, 有
1 xf(lnx)d xf(lnx)dlnx.
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可 循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如
作业 P155 1 (1)--(18)
二、第二换元积分法
设 x t且 t 0,将积分 f xdx化为
f t dt,若
f ( t) d ( t) F t C
则
f( x ) d x F 1 x + C ,
若对结论作复合函数的求导计算，则可知其正确性。
例1
求
Fra Baidu bibliotek
1
1
dx. x
解 令 t x , 则 x t 2 , dx2tdt, 于是
解 secxdx ss exc(x e stx c e a x tcan x)n dx se 2xcsextcaxd nx
sex ctaxn
d( sesxcx e ttac a xnx)n
类似可得
ln sx e tc a x n C
cscxdx lc nx s c cx o C t
小结 积分常用技巧:
(1x3)2dx3
1
(1x3)2d1x3
2(1x3)32 C. 3
例14
求
dx x2 a2 .
解x2d xa2(xa d )(xxa)21a(x 1ax 1a)dx
2 1 a(x 1adxx 1adx)
2 1 a [ x 1 a d (x a ) x 1 a d (x a ) ]
例6 求 x2sinxdx.
u vd xu vu vd x
解：设 u = x 2, v sinx, 则 du = 2xdx, v = -cosx,
于是 x 2 s in x d x x 2 d ( c o s x ) x 2 c o sx 2 x c o sx d x
d(x) a
a
1arctanxC.
a
a
1
1 u
2
du
arctan u C
d x 1 dx aa
例11 求
1 dx (a0).
a2x2
1 du 1 u2
arcsin u C
解 1 dx1 1 dx
a2x2
a 1(x)2
a
d x 1 dx aa
1
x
d( )
1( x)2 a
a
arcsin x C. a
不定积分的计算
一、第一换元积分法 二、第二换元积分法 三、分部积分法
一、第一换元积分法
问题
cos2xdx
解决方法 利用复合函数求导的逆运算，设置 中间变量.
过程 令 t2xdx1d,t 2
co2sxdx12cotsdt12sint C12sin2xC.
[1si2n xC ]co 2xs说明结果正确
d s in x c o sx d x
解sin2xcosxdxsinx2dsinx
1sin3 xC.
3
u2duu3 C 3
一般地, 有
s i n x f ( c o s x ) d x f ( c o s x ) d c o s x ;
c o s x f ( s i n x ) d x f ( s i n x ) d s i n x .
u d v u v v d u 或 u v d x u v u v d x
解题技巧： 分部积分法求不定积分的关键 是要确定u，由计算的经验，可以得出以下顺序： “反（反三角函数）、对（对数函数）、幂（幂函 数）、指（指数函数）、三（三角函数）” ，当两 种不同类型函数相乘求积分时，按以上顺序，排序 在前的函数作为u.
1
1
dx x
2t 1 t
dt
2t
t 111dt
2dxt11dt
2tln1tC .
2x ln1 x C .
例2 求
1 dx. 1ex
解 令 t1ex 则ex t21, x lt n 2 1 ,
dxt22t1d,t
11exdx
2
t2
dt 1
t 11t 11dt
lnt 1 lnt 1 C lnt 1 C t 1
g(x)dx化为 f[(x)](x)dx
的形式，所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
例1
求
2
1 x
1
dx.
解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
想到公式
d u ln u C
u
2 x 1 1 d x 1 2 2 x 1 1 2 d x 1 2 2 x 1 1 d ( 2 x 1 )
例6 求 si2n xco 5xsd . x
解 si2n xco 5xsd xsin 2x c o s4x c o sx d x
s2 ix n c4 o x(s d sx )in d s in x c o sx d x s2 i x n ( 1 s2 i x ) 2 n d (s x )in (2 s x 2 is n 4 x i s n 6 x i ) d ( n s x )in
解（二） 令 ux, c x o d d s s x i d x n v
xcoxs dxxdsin xxsixn sixndx
x sx i c n x o C . s
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u , v 一般来说， u , 选v 取的原则是：
(1) v要容易求出;
(2)vdu要 比 udv容易积出.
1 2
1 u
du
1ln|u| C 2
注意换回原变量
1ln|2x1|C. 2
例2 求 xsinx2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sinudu
co suC
xsinx2d x1 2sinx22xd x
1 2
sinudu
1cosuC. 2
1cosx2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
dt
6t211t21dt6111t2dt6[tarc t] tC a
6 [6xarc 6xt] a C .n
三、分部积分法
由导数公式 (u ) v u v u v
积分得: u v u v d x u v d x
u v d x u v u v d x 分部积分公式
或 u dv u v vd u
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的.
例1. 求 xlnxdx.
u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
解: 令 ulnx, v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 x2 2
ln x
1 2
1(lnxalnxa)C 2 a
1 ln xa C. 2a xa
例15 求 sin2 xdx. 解 sin 2x d x 1 c 2 o s2 xd x
1 2(dxcos2xdx) 1 2dx1 2cos2xdx 1 2dx1 4cos2xd(2x)
1x1sin2xC. 24
例16. 求 secxdx.