不定积分的计算
举例说明不定积分计算的一些常用方法
举例说明不定积分计算的一些常用方法不定积分是微积分中一个重要的概念，常常用于计算函数的原函数。
在计算不定积分时，常用的方法包括分部积分法、换元积分法、三角恒等变换等。
1.分部积分法：分部积分法是求解积分时最常用的方法之一，适用于两个函数相乘的形式。
其基本思想是将原函数拆分成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式进行求解。
具体步骤如下：设$f(x)$和$g(x)$是两个具有连续导数的函数，则有$\intf(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$。
例如，我们要计算$\int x \sin(x)dx$，可以令$f(x) = x$和$g'(x)=\sin(x)$。
然后再根据公式，计算出$f'(x)$和$g(x)$，最后代入公式进行计算即可。
2.换元积分法：换元积分法也是常用的一种方法，适用于使用一个变量替换另一个变量的情况。
通过设定适当的变量替换，可以将原函数转换成更容易处理的形式。
具体步骤如下：设$x=g(t)$，则$dx=g'(t)dt$，将上述两式代入不定积分，则有$\int f(g(t))g'(t)dt$，然后对$t$进行求解。
例如，我们要计算$\int xe^x dx$，可以令$u = x$和$dv = e^xdx$，则$du = dx$和$v = \int e^xdx = e^x$。
然后套用换元积分公式$\int udv = uv - \int v du$，我们可以得到$\int xe^x dx = xe^x - \inte^xdx = xe^x - e^x + C$，其中$C$为常数。
3.三角恒等变换：三角恒等变换适用于含有三角函数的积分，通过将三角函数转换成三角恒等式的形式，可以简化计算过程。
常用的三角恒等式有正弦、余弦、正切、余切等。
例如，我们要计算$\int \sin^2x dx$，可以利用三角恒等式$\sin^2x = \frac{1-\cos(2x)}{2}$，将原函数转换成更容易进行积分的形式。
不定积分的计算
例
dx cos xdx d sin x sec xdx 2 cos x cos x 1 sin 2 x
1 1 1 ( )d sin x 2 1 sin x 1 sin x
1 1 sin x 1 (1 sin x)2 ln C ln C 2 2 1 sin x 2 cos x
x
；
(a 0)
f (e )e dx
x x
f (e
)de
x
；
dx f (ln x) f (ln x)d ln x ； x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
；
凑微分公式
f (sin x) cos xdx
f (sin x)d sin x
3.积分
F (u ) C
F ( ( x)) C.
4.u ( x)
认真 体会
回代
凑微分公式
通过实践，可以归纳出如下一般凑微分形式：
1 f ( ax b)dx a
f (ax b) xdx
2
f (ax b)d (ax b)
1 2a
(a 0) ；
f ( ax 2 b)d ( ax 2 b)
uv (uv) uv.
作不定积分运算, 即得
(uv) uv uv, or
uvdx uv vudx,
or
将被积函数u转换为v
udv uv vdu,
称之为 分部积分公式.
注1. 不能直接求
uvdx
改写 转化
求
不定积分的概念和计算方法
不定积分的概念和计算方法不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解函数的原函数。
在这篇文章中，我们将讨论不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。
一、不定积分的定义不定积分是求解函数的原函数的过程。
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，F(x)是函数f(x)在区间[a, b]上的一个原函数。
则称函数F(x)在[a, b]上的不定积分为∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数，称为积分常数。
不定积分的定义告诉我们，不定积分的结果是一个函数，它是原函数F(x)和一个常数C的和。
这个常数C的取值是不确定的，因此称之为积分常数。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，k为常数，则有∫[kf(x) + g(x)]dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx。
这个性质说明不定积分具有线性运算的特点。
2. 反向性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为常数。
这个性质告诉我们，不定积分具有反向运算的特点。
3. 初等函数性质：初等函数的导函数可以通过不定积分求得。
例如，导函数为常数函数的函数，在不定积分中可以得到一个线性函数。
三、不定积分的计算方法计算不定积分的方法有很多种，下面介绍一些常见的方法：1. 基本积分法：根据导函数与原函数的关系，可以求出一些基本函数的不定积分。
例如，∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n为非负整数。
2. 分部积分法：对于乘积函数的不定积分，可以通过分部积分法进行求解。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)为可导函数。
3. 代换法：对于一些复杂的函数，可以通过代换法进行不定积分的计算。
代换法的基本思想是用一个变量替换原函数中的某一部分，使得原函数的形式变得简单，然后再进行不定积分的计算。
不定积分的计算
1 4
1 d(1 1 4x
4x)
．
1 ln |1 4x | C ．
4
例9
求
sin
xdx 2
．
解
sin
xdx 2
2
sin
xd( 2
x) 2
2cos x C ．
2
《高等数学》
课堂练习
§3.1.2不定积分的计算
练习： (1)
1 dx 3 2x
解：(1)
3
1
2x
dx=
1 2
(2)
1 e2x
dx
udu
(换元u
2x)
1 cos u c (求积分)
验证：
2 1
cos
2x
c
(回代)(
1 2
cos
2x
c)
1 2
sin
2x
2
sin
2x
2
《高等数学》
知识巩固
§3.1.2不定积分的计算
引例中 e3xdx
e3xdx
1 e3xd (3x) (凑微分) 3
1 3
eu
du
(换元u 3x)
1 eu c (求积分)
解1
(x1)2dx (x2 2x 1)dx
1 x3 x2 x C 3
解 2 d (x 1)=dx
(x1)2dx
(x1)2d(x
1)
u 2du
1 u3 3
C
将u
x
1回代
(
x
1)2dx
1 3
(
x
1)3
C
《高等数学》
问题探究
§3.1.2不定积分的计算
不定积分的计算方法I
不定积分的计算方法I不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求函数的原函数过程中的一个步骤。
不定积分也叫作反导函数，即给定一个函数f(x)，求它的原函数F(x)。
在数学中，原函数与给定函数的导函数相等。
不定积分的计算方法有很多，下面我将介绍几种常见的计算方法。
1.基本积分法：基本积分法是一种基于已知函数的简单积分表格，通过查表得到积分结果的方法。
对于一些常见的函数，我们可以通过查找积分表格来得到它们的积分结果。
例如常见的幂函数、指数函数、三角函数等。
当然，这些函数在求导的时候也是通过已知的导函数公式求得的。
2.分部积分法：分部积分法是一种适用于乘积函数的积分法则。
给定两个函数u(x)和v(x)，我们可以通过分部积分法计算积分∫u(x)v(x)dx。
分部积分法的公式表达为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx。
通过选择适当的u(x)和v'(x)，我们可以将这个积分化简为更容易求解的形式。
3.代换法：代换法也叫变量代换法，是一种通过变量代换来改变积分变量从而简化积分运算的方法。
对于一些复杂的函数积分，我们可以通过合理地选择变量代换来将积分变为更简单的形式。
例如，对于形如∫f(g(x))g'(x)dx 的积分，我们可以选择u=g(x)来进行变量代换，从而将积分转化为∫f(u)du的形式。
4.部分分式分解法：部分分式分解法是一种将一个有理函数拆解为若干简单的分式相加的方法，从而简化积分运算的方法。
对于一些有理函数，我们可以通过部分分式分解将其分解为一系列分式相加的形式，再对每一项分式进行不定积分。
5.定积分的性质：在计算不定积分时，我们也可以利用定积分的性质来进行简化。
例如，如果需要计算∫(f(x)+g(x))dx，我们可以先计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，然后将两个结果相加。
类似地，对于∫f(x)g'(x)dx，我们可以利用定积分的性质将其转化为∫f(x)dg(x)dx。
不定积分与定积分
不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。
其中不定积分和定积分是常见的两种类型。
它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。
一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。
给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。
1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。
同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。
1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。
换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。
分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。
二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。
给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。
定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。
2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。
同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。
2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。
其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。
而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。
不定积分与定积分的计算方法
不定积分与定积分的计算方法在数学中，积分是求解函数定积分和不定积分的一种重要方法。
不定积分和定积分之间有着不同的计算方法和应用场景。
本文将介绍不定积分和定积分的计算方法及其应用。
一、不定积分的计算方法不定积分，又称为原函数，是求解函数的反导函数。
不定积分记作∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示对x的积分。
不定积分的计算方法主要有以下几种：1. 常数项法则：如果f(x)是常函数，即f(x) = C，那么∫f(x)dx = Cx + k，其中k为常数。
2. 幂函数法则：对于幂函数f(x) = x^n，其中n≠-1，那么∫f(x)dx = (1/(n+1))x^(n+1) + k。
3. 三角函数法则：对于三角函数f(x) = sin x、cos x、tan x等，以及其倒数，可以利用基本积分公式进行计算。
4. 代换法则：当被积函数比较复杂时，可以通过代换变量来简化计算过程。
常用的代换包括三角代换、指数代换、倒数代换等。
二、定积分的计算方法定积分是对给定区间上的函数进行积分，可以得到一个数值结果。
定积分记作∫[a,b]f(x)dx，表示在区间[a,b]上对函数f(x)进行积分。
定积分的计算方法主要有以下几种：1. 几何意义法：定积分可以表示函数f(x)与x轴之间的有向面积，利用几何图形的面积计算方法来求解定积分。
2. 分割求和法：将积分区间[a,b]分成若干个小区间，通过求和来逼近定积分的值。
常用的分割求和方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. 牛顿-莱布尼兹公式：如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
利用牛顿-莱布尼兹公式，可以通过求解原函数来计算定积分。
三、不定积分与定积分的应用不定积分和定积分在数学和各个应用领域都有广泛的应用。
1. 几何应用：定积分被广泛用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线长度、曲线的旋转体体积等几何问题。
2. 物理学应用：定积分在物理学中有着重要的应用，例如计算质点的位移、速度、加速度等问题。
不定积分的计算
cosx f (sin x)dx f (sin x)d sin x.
例6 求 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin2 x cos4 x cos xdx
sin2 x cos4 xd(sin x)
d sin x cos xdx
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明: 当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求 sin3 xdx.
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx
2
对于形如 f ((x))(x)dx 的积分，设 u x,
如果 f u及(x) 连续，且 f (u)du F u+C, 则
f ((x))(x)dx F (x) C
该积分法可由下面的逆运算证明
F((x)) C F(x)(x) f ((x))(x)
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
解： u x2, du 2xdx 则
想到公式
sin u du
cosu C
x
sin
x2dx
1 2
sin
x2
2xdx
1 2
sin
udu
1 cos u C. 2
1 cos x2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
a
arcsin x C. a
例12
求
不定积分计算方法总结
不定积分计算方法总结一、背景引入微积分作为数学的一个重要分支，是研究函数的变化规律的工具之一。
在微积分中，不定积分是其中的一大核心概念。
不定积分可以被看作是求函数原函数的逆运算，它在解决各种实际问题时起着重要的作用。
本文将总结一些常见的不定积分计算方法，帮助读者更好地掌握这一技巧。
二、常见的不定积分计算方法1. 基本积分公式基本积分公式是求解不定积分时最基础、最重要的方法之一。
常见的基本积分公式有：- ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n为常数，C为常数。
例如，∫x^2 dx = (1/3)x^3 + C。
- ∫e^x dx = e^x + C。
- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
通过熟练掌握这些基本积分公式，可以快速计算出许多不定积分。
2. 代换法代换法是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。
它通过引入一个新的变量，将原先的变量换成新变量，从而将原本较难处理的积分转化为较容易处理的形式。
例如，对于∫(x^2 + 1)^(1/2) dx，我们可以令u = x^2 + 1，将积分转化为∫u^(1/2) du，然后再使用基本积分公式来计算。
3. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数积分时常用的方法。
它基于对积分符号下的函数进行分解，并适当选择哪一部分作为u，哪一部分作为dv，通过不断应用分部积分公式，将原先的积分转化为更简单的形式。
分部积分公式的表达式为∫u dv = uv - ∫v du。
例如，对于∫x sin(x) dx，我们可以将u = x，dv = sin(x) dx，然后使用分部积分公式来计算。
4. 三角代换法三角代换法是处理包含三角函数的积分时的一种常用方法。
它通过合理选择三角函数的变量替换原先的变量，将三角函数的积分转化为更易求解的形式。
例如，对于∫sqrt(a^2 - x^2) dx，我们可以令x = asin(t)，从而将积分转化为∫sqrt(a^2 - a^2 sin^2(t)) a cos(t) dt，然后再进行计算。
不定积分概念
不定积分概念一、不定积分概念不定积分（indefinite integral）是指求某个函数的积分，而不是某个特定值。
对于定积分（definite integral）来说，求积分时已经明确求积分的范围，而不定积分时，积分范围是不确定的，只有拉格朗日积分常数可以确定函数的值。
它可以表示为：∫f(x)dx=F(x)+C其中，C 为拉格朗日积分常数，F(x) 为原函数的积分。
二、不定积分的应用不定积分在微积分中有重要的作用，主要用来表示某物的变化率。
例如：求物体的加速度时，可以使用不定积分来计算。
速度是物体的位移量在单位时间的变化率，因此加速度可以通过不定积分来计算，可以表示为：a=∫∫v(t)dt其中，t 为时间，v(t)为速度，a 为加速度。
不定积分在运筹学中也有重要作用，用来表示最优解中的某个函数值的变化率。
例如在著名的求任务资源最大利用率的问题中，可以用不定积分来表示任务资源的利用率：∫∫R(t)dt其中，t 为时间，R(t) 为任务资源的利用率。
同样，不定积分还可以应用在经济学中用来表示物价的变化率： P=∫∫p(t)dt其中，t 为时间，p(t) 为物价，P 为物价变化率。
三、不定积分的计算方法不定积分的计算主要是根据特定函数的积分公式来求解的，例如：∫x^2dx=1/3x^3+C。
但是，有时候也会用到“积分变换法”来计算不定积分。
具体的做法是，首先根据函数的形式进行积分变换，然后再根据积分变换的结果来计算不定积分。
举例来说，求解∫xdx，可以采用如下变换：x=u+1dx=du则：∫xdx=∫(u+1)du=1/2u^2+u+C再将u 替换为 x 的值，即∫xdx=1/2x^2+x+C。
四、不定积分的特殊情况1、当函数为可积函数时，不定积分可以简化为定积分，即：∫f(x)dx=F(x2)-F(x1)其中，x1,x2 为积分的下、上限，F(x) 为原函数的积分。
2、当函数在某一区间内有多个极值点时，可以将函数分段：∫f(x)dx=∫f1(x)dx+∫f2(x)dx+....+∫fn(x)dx其中，f1(x),f2(x),...fn(x) 为函数分段的函数。
不定积分的定义和计算方法
不定积分的定义和计算方法不定积分，也称为原函数或者积分函数，是微积分中的重要概念之一。
它与定积分相对应，是求解函数的面积或者曲线长度的逆运算。
本文将介绍不定积分的定义和计算方法，帮助读者更好地理解和掌握该概念。
一、不定积分的定义不定积分是求导运算的逆运算。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是函数f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx =F(x) + C，其中C为任意常数。
不定积分的定义说明了不定积分与原函数之间的关系。
通过求某个函数的不定积分，我们能够得到该函数的原函数。
需要注意的是，不定积分有无穷多个解，因为对于一个函数而言，其原函数可以加上任意常数C而不改变。
二、常见的计算方法在求解不定积分时，我们需要掌握一些常见的计算方法。
下面将介绍一些常见的计算方法及其示例。
1. 基本积分法则基本积分法则是利用基本函数的导数公式反推不定积分。
以下是一些常见的基本积分法则及其示例：（1）常数函数积分：∫kdx = kx + C，其中k为常数。
（2）幂函数积分：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
（3）指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C。
（4）三角函数积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C。
2. 分部积分法分部积分法是求解某些复杂函数不定积分的方法，它基于乘积公式（即(uv)' = u'v + uv'）。
以下是分部积分法的公式及其示例：∫u dv = uv - ∫v du示例：∫x*sin(x) dx = -x*cos(x) + ∫cos(x) dx = -x*cos(x) + sin(x) + C3. 代换法代换法，也称为换元积分法，是通过引入一个新的变量，将原函数转化为更容易求解的形式。
以下是代换法的公式及其示例：∫f(g(x)) * g'(x) dx = ∫f(u) du示例：∫x*sin(x^2) dx，令u = x^2，那么du = 2x dx，原积分变为∫sin(u) (1/2)du = (-1/2)cos(u) + C = (-1/2)cos(x^2) + C除了基本积分法则、分部积分法和代换法，还有一些特殊的计算方法，如三角函数公式、倒数公式、欧拉公式等。
大学微积分中的不定积分计算
大学微积分中的不定积分计算微积分是数学的一个重要分支，它主要研究函数的微分和积分运算。
在微积分中，不定积分是一个常见且重要的概念。
不定积分，也称为反导数，是求解函数的导函数的逆运算。
不定积分的计算方法有很多种，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法等。
下面将介绍这些不定积分计算方法的基本原理和应用。
一、基本积分公式基本积分公式是不定积分计算的基础，它包括常数函数、幂函数、指数函数、三角函数等的积分公式。
1. 常数函数的积分常数函数的积分公式非常简单，即常数函数的不定积分等于该常数乘以自变量。
例如，对于函数f(x)=5，其不定积分为∫f(x)dx=5x+C，其中C为常数。
2. 幂函数的积分幂函数是指以自变量为底的指数函数。
对于幂函数f(x)=x^n（n≠-1），其中n为实常数，其不定积分的计算公式为：∫f(x)dx= （1/(n+1)）*x^(n+1) + C其中，C为常数。
3. 指数函数的积分指数函数的积分也是一种常见的不定积分计算。
对于指数函数f(x)=e^x，其中e为自然对数的底数，其不定积分的计算公式为：∫f(x)dx=e^x+C其中，C为常数。
4. 三角函数的积分三角函数的不定积分计算也是微积分中的重要内容。
对于一些常见的三角函数，如sin(x)、cos(x)、tan(x)，它们的不定积分计算公式如下：∫sin(x)dx=-cos(x)+C∫cos(x)dx=sin(x)+C∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C其中，C为常数。
二、换元积分法换元积分法，也称为代入法，是一种常用的不定积分计算方法。
它通过代入一个新的变量，将原积分转化为一个更容易求解的形式。
换元积分法的基本思想是，根据函数的链式法则，进行变量代换。
首先，选择一个新的变量，然后确定该变量与原变量之间的关系，最后将原积分式子中的变量全部换成新的变量。
举例来说，当我们需要计算∫(2x+1)^2dx时，我们可以使用换元积分法。
不定积分的四则运算公式
不定积分的四则运算公式1.加法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的和函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx + C2.减法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的差函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) - g(x)]dx = ∫f(x)dx - ∫g(x)dx + C3.乘法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，则它们的乘积函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) * g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx * ∫g(x)dx乘法的不定积分不能直接用乘法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
4.除法运算：设函数f(x)和g(x)在区间上连续，且g(x)不等于0，则它们的商函数F(x)的不定积分满足如下公式：∫[f(x) / g(x)]dx ≠ ∫f(x)dx / ∫g(x)dx除法的不定积分也不能直接用除法法则，而是需要通过换元法、分部积分等方法来计算。
此外，还有一些辅助的运算公式可以用于简化不定积分的计算：5.常数倍公式：如果k为常数，则有：∫k * f(x)dx = k * ∫f(x)dx + C6.积分换元公式：设y=g(x)是函数g的一个可导函数，而f是g的一个原函数，则有：∫f(g(x)) * g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F表示函数f的一个原函数。
7.分部积分公式：设函数u(x)和v(x)在区间上连续且可导，则有如下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx + C以上是不定积分的四则运算公式及其辅助公式。
在实际计算中，根据具体的函数表达式，可以灵活运用这些公式来简化不定积分的计算。
总结不定积分的运算方法
总结不定积分的运算方法一、不定积分的定义：对于某些函数f， g， y等，设它们的某些变量可取如下形式： y=f(x)或g(y)其中x是未知的实数。
（ 1）把实际问题抽象成一般意义的函数，使之满足积分的条件。
（ 2）选择合适的坐标（函数值），列出积分表达式，然后进行积分运算。
（ 3）计算结果取自变量x。
注意：第三步的积分结果需要写成原来问题中的函数关系式。
二、不定积分运算的方法：对于不定积分，我们经常采用分部积分法和直接利用积分公式的方法来求解。
1、分部积分法：对于每一项都在某一区间上取得的函数f、 g、 y等，先将各自变量取值代入原函数或反之，求得函数的分部积分表达式，然后进行积分运算。
1、分部积分法：若有f(x)， g(y)等函数，对于含有变量x的分部积分表达式，需要借助线性方程组表示： f(x)=g(y)对于g的情况则相反，因此称这种变形为： f=g2、直接利用积分公式：在求导数时，只需利用积分公式计算即可。
例如：对于微分，在积分公式的基础上，可以利用定义直接计算；而对于不定积分的求导数，就需要先求出直接计算所对应的积分，然后再用积分公式计算。
例如：当所求的积分表达式较复杂时，可以采用“换元”法进行求解。
2、直接利用积分公式：先用实际问题中的函数关系列出一个关于变量的一次方程，再对所得的方程中各个变量的未知函数值进行积分，从而求出积分结果。
需要注意的是，当求函数导数的近似值时，一定要使用“换元”法，也就是将变量由函数f、 g、 y中换到一个更简单的函数，也就是“将简单问题复杂化”。
3、换元法：将积分表达式转化为求原函数的过程叫做“换元法”。
利用换元法求出的导数叫做“近似导数”，其精度高于“导数”。
常见的换元法有两种：首先可以用已知导函数表达式来求得原函数的表达式，然后再进行积分运算；还可以直接利用积分公式进行计算。
例如：在研究偏导数时，用的就是前一种方法。
注意：无论采用哪种方法，在计算时都必须化简计算式，最后再利用近似导数进行求解。
不定积分的计算
1 dx d(1),
x2
x
sin xdx d cosx, exdx dex ,
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
例10 求
1 a2 x2 dx.
解
dx 1 a2 x2 a2
1 dx 1 ( x)2
a
1 a
1
1x d( )
( x)2 a
a
1 arctan x C.
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C.
3
5
7
说明: 当被积函数是三角函数(如正弦函数和余 弦函数)相乘时，拆开奇次项去凑微分.
例7 求 sin3 xdx.
解 sin3 xdx sin2 x sin xdx
dex
arctan ex C.
dex exdx
1
1 u
2
du
arctan u C
一般地, 有
ex f (ex )dx f (ex )dex.
例9 求
dx 2x ln
x
.
解
n
x)
1 ln ln x C. 2
d ln x 1 dx x
1du u
a
a
1
1 u
2
du
arctan u C
d x 1 dx aa
例11 求
1 dx (a 0).
a2 x2
1 du 1 u2
arcsin u C
解
1 dx 1 1 dx
a2 x2
a 1 ( x)2
a
d x 1 dx aa
1
求不定积分的基本方法
求不定积分的基本方法不定积分是微积分中的重要概念，它是求导的逆运算。
不定积分是求函数的原函数，也就是求解函数的不定积分就是要找到一个函数，它的导数等于被积函数。
本文将介绍不定积分的基本方法和常用公式。
一、基础知识和符号1.不定积分可以使用∫来表示，被积函数称为被积表达式，不定积分的结果称为不定积分式。
2. ∫f(x)dx中，f(x)是被积函数，dx是积分变量，表示要对x进行积分。
3. 不定积分有许多基本定理，例如Newton-Leibniz公式、线性性质等，这些定理有助于化简和计算不定积分。
对于不同类型的函数，我们有不同的方法来计算它们的不定积分。
下面将介绍常见的几种方法。
1.直接计算法：根据不定积分的定义，直接对被积函数进行计算。
例如，对于多项式函数和幂函数，可以使用求导法则的逆运算进行计算。
例如，对于多项式函数f(x)=ax^n，其中a为常数，n为非负整数，其不定积分为F(x)=（a/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为常数。
2.特殊函数法：对于一些特殊函数，我们可以利用它们的性质或公式来计算不定积分，如三角函数、指数函数、对数函数等。
例如，对于三角函数，我们可以利用三角函数的性质和三角函数的积分公式来计算不定积分。
a）∫sin(x)dx = -cos(x) + Cb）∫cos(x)dx = sin(x) + Cc）∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C3.分部积分法：分部积分法是求不定积分中常用的方法之一，它是对乘积求积分的逆运算。
分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x)-∫u'(x)v(x)dx其中，u(x)和v(x)是可导函数，u'(x)和v'(x)为它们的导函数。
通过选择正确的u和v，可以将被积函数转化为更容易积分的形式。
4.代换法：代换法也是求不定积分中常用的方法之一，它是通过对积分变量进行变换来简化积分。
代换法的基本思想是将积分变量进行替换，将原积分中的一个积分变量用另一个变量代替，然后利用新的变量进行计算。
不定积分与定积分的各种计算方法
不定积分与定积分的各种计算方法一、不定积分的计算方法：1.初等函数不定积分法：基于已知的初等函数的不定积分公式，例如导数的逆运算。
例如，对于常数函数、幂函数、指数函数、三角函数、对数函数等，都存在常用的不定积分公式。
例如，对于函数f(x)=x^n(n≠-1)，不定积分的结果为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C为任意常数。
2.换元法：也称为反链式法或u-替换法，通过引入新的变量替换积分变量，以简化积分表达式。
这种方法需要根据被积函数的特点选择适当的替换变量。
例如，对于含有根式的积分，可以通过引入新的变量将积分化为有理函数积分。
3.分部积分法：也称为积化和差减法，将积分运算转换为两个函数的乘积的积分运算，通常用于乘积的积分。
根据乘积法则，可以将积分转化为函数间的和差表达式，从而得到一个更容易求解的积分。
4.特殊函数的不定积分：一些特殊函数的不定积分需要特殊的处理，例如三角函数的不定积分、反三角函数的不定积分等。
这些特殊函数的不定积分可以通过使用特殊的积分公式或者简化技巧进行计算。
5.利用递推关系：在一些情况下，可以通过利用函数的递推关系进行不定积分的计算。
例如，对于多项式函数f(x)=(x-a)^n，可以通过多次使用求导的反向应用从高阶幂递推到低阶幂。
二、定积分的计算方法：1.几何与图形面积法：定积分可以解释为曲线与坐标轴之间的面积或图形的面积。
根据几何图形的特点，可以使用几何图形的面积公式计算定积分的值，例如长方形面积公式、三角形面积公式等。
2.定积分的性质：定积分具有一些重要的性质，例如线性性、区间可加性、区间可减性等。
利用这些性质，可以将复杂的函数表示为若干个简单的函数之和或差，从而进行定积分的计算。
3.换元法：与不定积分类似，定积分也可以通过引入新的变量来简化积分表达式。
需要注意的是，换元法在定积分中还需要考虑积分上下限的转换。
4.分部积分法：与不定积分类似，定积分也可以使用分部积分法进行计算。
不定积分的计算
1 1
dx x
2t 1
t
dt
2
t
1 t 1
1
dt
2
dx
t
1 1
dt
2t ln 1 t C.
2 x ln 1 x C.
例2 求
1 dx. 1 ex
解 令 t 1 ex 则 ex t2 1, x ln t 2 1 ,
dx
t
2t 2
dt , 1
1 dx
1 ex
t
解（一） 令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u,v 选择不当，积分更难进行.
解（二） 令 u x, cos xdx d sin x dv
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
ln
sin
x
C
例5 求 sin2 x cos xdx.
d sin x cos xdx
解 sin2 x cos xdx sin x2 d sin x
1 sin3 x C.
3
u2du u3 C 3
一般地, 有
sin x f (cos x)dx f (cos x)d cos x;
d(1
x
2
)
x arccos x 1 x2 C
例4 求 x arctan xdx.
解 设 u = arctanx, v′= x, 则
x
arctan
xdx
arctan
xd
(
1 2
x
2
)
du
1 1 x2
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1 2
1 u
du
1ln|u| C 2
注意换回原变量
1ln|2x1|C. 2
例2 求 xsinx2dx.
解： ux2,du2xdx 则
想到公式
sinudu
co suC
xsinx2d x1 2sinx22xd x
1 2
sinudu
1cosuC. 2
1cosx2 C. 2
这种换元法又称为凑微分法或配元法, 即引进 一个新变量以代替原来的变量, 对于变量代换熟练 以后, 可以不写出中间变量 u.
分部积分法一般用于是解决两种不同类型函数乘积 的不定积分问题的.
例1. 求 xlnxdx.
u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xlnx 是幂函数与对数函数的乘积, 采用分部积分.
解: 令 ulnx, v x
则 du 1 dx , v 1 x2
x
2
原式
=
1 x2 2
ln x
1 2
(1x3)2dx3
1
(1x3)2d1x3
2(1x3)32 C. 3
例14
求
dx x2 a2 .
解x2d xa2(xa d )(xxa)21a(x 1ax 1a)dx
2 1 a(x 1adxx 1adx)
2 1 a [ x 1 a d (x a ) x 1 a d (x a ) ]
1(x2 1 )arctanx1x C .
2
2
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
例5 求 ln xdx.
解 设 u = lnx, dv = dx, 则 du1dx,vx, x
于是lnxdxx1nx
x1dx x
xlnx x C
u vd xu vu vd x“ 反对幂指三”前者为 u后者为 v.
d(x) a
a
1arctanxC.
a
a
1
1 u
2
du
arctan u C
d x 1 dx aa
例11 求
1 dx (a0).
a2x2
1 du 1 u2
arcsin u C
解 1 dx1 1 dx
a2x2
a 1(x)2
a
d x 1 dx aa
1
x
d( )
1( x)2 a
a
arcsin x C. a
xdx1d(x2), 1dxdlnx,
2
x
1 dxd(1),
x2
x
1 dx2d x, sixnd xdcox,sexdxdex,
x
等等，并善于根据这些微分公式，从被积表达式中 拼凑出合适的微分因子．
例10 求
1 a2 x2 dx.
解
dx a2x2
a12
1 dx
1(x)2
a
1 a
1
1(
x)2
g(x)dx化为 f[(x)](x)dx
的形式，所以，第一类换元积分法也称为凑微分法.
例1
求
2
1 x
1
dx.
解 u = 2x + 1, du=d(2x + 1) = 2dx, 则
想到公式
d u ln u C
u
2 x 1 1 d x 1 2 2 x 1 1 2 d x 1 2 2 x 1 1 d ( 2 x 1 )
u2duu3 C
3
c o s 2 x d c o s x d c o s x
1cos3xcosxC. 3
1
例8 求 ex ex dx.
解ex 1exdxe2e xx 1dx
1 1(ex)2
dex
arctanexC .
dex exdx
1
1 u2 du
arctan u C
一般地, 有
e xf(e x)d xf(e x)d e x .
即 把被积函数视为两个函数之积 , 按
“ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 u后者为 v.
例3. 求 arccxdox.s
u vd xu vu vd x
解: 令 uarcxc,vo s1, 则
u 1 ,
1x2
v x
原式
=
xarcxcosx dx
1x2
xarc x c1 2o ( 1 sx 2 ) 1 2 d 1 x (2 )
例9 求
2
dx x ln
x
.
解
dx 2xlnx
2l1nxd(lnx)
1lnlnx C. 2
d ln x 1 dx x
u1dulnuC
一般地, 有
1 xf(lnx)d xf(lnx)dlnx.
第一类换元法在积分学中是经常使用的，不过 如何适当地选择变量代换，却没有一般的法则可 循．这种方法的特点是凑微分，要掌握这种方法，需 要熟记一些函数的微分公式，例如
例12
求
dx x(1 2ln
x)
.
d ln x 1 dx x
解
dx x(1lnx)
121lnxd(lnx)
u1dulnuC 1 212 1lnxd(2lnx1)
1ln12lnxC. 2
例13 求 3x2 1x3dx.
1
解3x2 1x3dx (1x3)23x2dx
u12du2u32 C
3
1
1(lnxalnxa)C 2 a
1 ln xa C. 2a xa
例15 求 sin2 xdx. 解 sin 2x d x 1 c 2 o s2 xd x
1 2(dxcos2xdx) 1 2dx1 2cos2xdx 1 2dx1 4cos2xd(2x)
1x1sin2xC. 24
例16. 求 secxdx.
例4 求 tanxdx.
d c o s x s in x d x
解tanxdxs cio n sx xdxco1sxsinxdx,
u1dulnuC
co1sxdcosx,
lncosxC.
类似 coxdtx?
cot
xdx
cos xdx sin x
d sin x sin x
lnsinxC
例5 求 sin2xcosxdx.
xdx
1x2ln x1x2C
2
4
例2 求积分 xcoxsd.x u vd xu vu vd x
分析：被积函数 xcosx 是幂函数与三角函数的乘积, 采用分部积分.
解（一） 令 u co x , sxdx1dx2dv 2
xcoxs dxx 22cox sx 22six ndx
显然，u,v选择不当，积分更难进行.
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项等; 1si2x nco 2x等 s
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
c2 o x s 1 2 (1 c2 o x );ss2 ix n 1 2 (1 c2 o x );s
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 凑微分法（陪元方法）
(4) 巧妙换元或配元。
d s in x c o sx d x
解sin2xcosxdxsinx2dsinx
1sin3 xC.
3
u2duu3 C 3
一般地, 有
s i n x f ( c o s x ) d x f ( c o s x ) d c o s x ;
c o s x f ( s i n x ) d x f ( s i n x ) d s i n x .
解（二） 令 ux, c x o d d s s x i d x n v
xcoxs dxxdsin xxsixn sixndx
x sx i c n x o C . s
分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择 u , v 一般来说， u , 选v 取的原则是：
(1) v要容易求出;
(2)vdu要 比 udv容易积出.
1
1
dx x
2t 1 t
dt
2t
t 111dt
2dxt11dt
2tln1tC .
2x ln1 x C .
例2 求
1 dx. 1ex
解 令 t1ex 则ex t21, x lt n 2 1 ,
dxt22t1d,t
1111t 11dt
lnt 1 lnt 1 C lnt 1 C t 1
例6 求 x2sinxdx.
u vd xu vu vd x
解：设 u = x 2, v sinx, 则 du = 2xdx, v = -cosx,
于是 x 2 s in x d x x 2 d ( c o s x ) x 2 c o sx 2 x c o sx d x
这种积分方法也叫做“凑微分法”。
定理1 设 f (u)具有原函数 F (u), u = (x) 连续
可导, 则有换元公式
f (( x ) ) ( x ) d x f ( u ) d u F (( x ) ) C .
如何应用上述公式来求不定积分?
假设要求 g(x)dx, 则使用此公式的关键在于将
2
对于形如 f((x))(x)dx的积分，设 u x,
如果 fu及(x)连续，且 f(u )d uF u+ C ,则
f(( x ) )( x ) d x F ( x ) C
该积分法可由下面的逆运算证明
F (( x ) ) C F ( x ) ( x ) f(( x ) ) ( x )
作业 P155 1 (1)--(18)
二、第二换元积分法
设 x t且 t 0,将积分 f xdx化为
f t dt,若
f ( t) d ( t) F t C
则
f( x ) d x F 1 x + C ,