分解因式3---完全平方公式
分解因式(三)---完全平方式
例题 (2)
解：
2 2 -x -4y ＋4xy
原式 ( x 2 - 4xy 4y 2 )
[x 2 x (2y) (2y) ]
2 2
( x 2 y) 2
练一练 因式分解：
（4）
2 -a -10a
2
-25
2
解:原式=-（a +2×a×5+5 ) =-(a+5)
1.利用平方差公式分解因式 a2－b2=（a+b)(a-b) 2.分解因式应注意的问题 （1）左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式.
（2）因式分解的步骤是首先提取公因式,然后考虑用公式.
（3）因式分解应进行到每一个因式不能分解为止.
除了平方差公式外，回忆完全平方公式
a b a b
下列各式是不是完全平方式
2 2 1 a b 2ab 是
2 2 xy x y 3 x 4 xy 4 y 4 a 6ab b
2 2 2 2 2
2
2
是 是 否
1 5 x x 是 4 2 2 否 6 a 2 ab 4 b
2
例题 (3) 3ax2＋6axy＋3ay2
原式 3a( x 2xy y ) 解：
2 2
3a(x y)2
练一练 因式分解：
（5）-a3b3+2a2b3-ab3 3 2 2 解：原式=-ab (a -2a×1+1 ) 3 2 =-ab (a-1)
例题 (4)
解：
(m n)2 6(m n) 9
例题 (1)
x2＋14x＋49
2 2
解：原式 x 2 x 7 1）25x2＋10x＋1
因式分解-完全平方公式
a +2ab+b =3a(x+y)2
2
2
(3)-x +4xy-4y 解:原式=-(x2_4xy+4y2) 2_ 2 =-[x 2x2y+(2y) ] a 2 a b + b 2 =-(x-2y)
2_ 2
注意： 用完全平方公式分解因式： 首先要考虑能不能提取 公因式。然后观察是否 符合完全平方公式。当 平方项系数为负数时，应 先将负号提出来。
一 号 题
二 号 题
三 号 题
1号题： 对下列式子因式分解并填空： (a+3)2 ① a2+6a+9 = ________________ -s2-t2+2st=_____________ -(s-t)2 (m+n)2+4m(m+n)+4m2=___________ (3m+n)2
2号题 因式分解下列各题：
(1)-x2+2xy-y2
(2)x2-6xyz+9y2z2
(3)(x+y)2+6(x+y)+9
3号题 用简便算法计算： 20052-4010×2003+20032 的值。
用完全平方公式分解获？
1、完全平方式 a
2
2ab b
2
及特征；
2、用完全平方公式分解因式。
用完全平方公式分解因式
a 2ab b
2
2
之辨析篇
例1.判别下列各式是不是完全平方式． x2+y2 不是 x2-2xy-y2 不是
2 2 - 2 是
x2 2xy y 2 是
讨论：完全平方式有什么特点？
1.3因式分解公式法------完全平方公式
2 2 2 4 a 4 ax (____) (____) ②
④ (___) 2 x 1 (___)2
三 应用迁移，巩固提高（例题讲解） 1 用完全平方公式分解因式 例1把下面多项式分解因式
（1）
x2 6x 1
x4 2 x2 1
2
（2）
-4x2 +12xy-9y 2
（3）
（4）a4+2a2b+b2
（4） y
2
2 y 2( y 2 2 y) 1
例2 x2+2(m-1)x+16是完全平方式，则m的值为多少？
2 提公因式法和公式法的综合运用
例3 把多项式分解因式
3ax 6axy 3ay
2
2
3 分解因式的应用
例4 计算34.52+69
2 公式的识别 (1)下面多项式是否适合完全平方式分解因式？ 2 x 2x 4 （1） （2） (3)
m2 +2m-1
a 2a b b
2 2
2
(4)
(5)x2+y2+2xy-2x-2y+1+2xy
1 2 m mn n 4
2
(2)填空： ① a2 2ax (____)2 (____)2 ③ x2 (___) 4 (___)2
作业
1. P 17 A 2,3 B3
2.如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么k 的值是 多少？
65.5+65.5
2
例4 若一个三角形的三条边a、b、c满足 a 2 2b2 c 2 2ab 2bc 0 试判断这个三角形的形状
因式分解中的完全平方公式
对于简单题型，首先要识别出多项式是否符合完 全平方公式的形式，然后确定$a$和$b$的值， 最后按照公式进行因式分解。
复杂题型解析及思路点拨
例题
$4x^2 + 12xy + 9y^2 - 25$
解析
思路点拨
观察该多项式，可以发现前三项 符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = 2x, b = 3y$，而最后一项是常数项。因此， 可以将前三项因式分解为$(2x + 3y)^2$，然后与常数项组合进行 进一步的因式分解。
提取公因式法应用
01
在多项式中识别公因式，并将其 提取出来。这有助于简化多项式 ，并使其更容易识别出完全平方 项。
02
对提取公因式后的多项式进行观 察，判断是否可以通过完全平方 公式进行因式分解。
分组分解法应用
将多项式中的项进行分组，使 得每组内部能应用完全平方公 式。分组的方式可以根据多项 式的特点灵活选择。
对每个分组应用完全平方公式 进行因式分解，得到分组内的 因式。
将各分组的因式相乘，得到整 个多项式的因式分解结果。
04 典型例题解析与技巧指导
简单题型解析及思路点拨
1 2 3
例题
$x^2 + 2x + 1$
解析
观察该多项式，可以发现它符合完全平方公式 $a^2 + 2ab + b^2$的形式，其中$a = x, b = 1$。
教师点评和总结归纳
针对学生完成情况，教师给予及时的点评和反馈，指出学生在解题过程中的优点和 不足。
教师总结完全平方公式在因式分解中的应用及注意事项，强调公式运用的灵活性和 多样性。
教师可结合学生实际情况，对部分难题进行详细讲解和示范，帮助学生更好地理解 和掌握完全平方公式。
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
因式分解——完全平方公式
14.3.2公式法（完全平方公式）一、内容及内容解析1.内容：本节课的主要内容是利用完全平方公式进行因式分解。
2.内容解析：本节是人教版八年级上册第十四章14.3.2公式法的内容。
主要是利用完全平方公式进行因式分解。
因式分解是整式的一种重要的恒等变形，它和整式的乘法，尤其是多项式的乘法关系十分密切。
因式分解的几种基本方法都是直接依据整式乘法的各个法则和乘法公式。
完全平方公式是一种重要的因式分解的方法，学好用完全平方公式因式分解，是学生进一步学习数学不可或缺的工具。
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：能准确判断全平方公式，会用完全平方公式进行因式分解。
二、目标及目标解析1.目标：（1）知道完全平方式的特征，会用完全平方公式分解因式；（2）能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
2.目标解析：达成目标（1）的具体标志是：学生通过自学，小组合作的方式，能准确说出完全平方式的特征、并会判断一个式子是否是完全平方式，是哪两个数的完全平方和（或差），从而将这个式子进行因式分解。
达成目标（2）的具体标志是：学生能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式，并且会判断一个式子是否已经分解到最简，还能否继续分解。
从而培养学生的观察和联想能力。
再以课堂习题加以巩固，提高学生灵活运用知识的能力，使新知识得到巩固和升华。
三、教学问题诊断分析在知识上：学生在学习用完全平方公式因式分解之前，已经学习了用平方差公式因式分解。
这两种方法都是整式乘法的逆运用，所以应先复习整式乘法中的完全平方公式，再学习用公式法分解因式，可以加强学生对公式的熟练使用。
在思想上：学生个体有所差异，所以应准备不同梯度的题目，让不同层次的学生尝试完成不同难度的题目，从而达到让“差生吃好，优生吃饱”的教学效果。
另外，平方差公式与完全平方公式都有平方项，容易混淆，讲解时应加以区分。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：能准确判断完全平方式，并能综合运用提公因式法、完全平方公式分解因式。
3因式分解---完全平方公式
师航教育一对一个性化辅导讲义3因式分解---完全平方公式一、目标要求1．理解完全平方公式的意义。
2．能运用完全平方公式进行多项式的因式分解。
二、重点难点完全平方公式的意义及运用。
1．完全平方公式的意义：公式：a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2a2－2ab＋b2＝(a－b)2意义：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
2．完全平方公式的应用：用完全平方公式分解因式时要先判断是否是完全平方公式，再运用公式分解因式。
知识点一：因式分解---完全平方公式用完全平方公式因式分解：即两个数（整式）的平方和加上（减去）这两个数（整或式）的积的，等于这两个数（整式）的和（差）的平方．如：，其中叫做完全平方式。
注：①与整式乘法中完全平方公式正好相反．②形式和结构特征：左边是一个三项式，其中两项同号且均为一个整式的平方(平方项)，另一项是平方项幂的底数的2倍(乘积项)，符号可正也可负，右边是两个整式的和(或差)的平方，中间的符号同左边的乘积项的符号3、用公式法进行因式分解的关键要在这个多项式中找出符合公式（平方差公式，完全平方公式）的条件．这就要求必须清楚每个公式的结构特点．不要忽视完全平方公式的中间项，而错误的认为：a2±b2＝(a±b)2。
4、理解公式中的字母a、b不仅可以表示数，而且还可以表示单项式，多项式等。
．【例1】把4a2－12ab＋9b2分解因式。
分析：多项式4a2－12ab＋9b2共有三项，第一项是(2a)2，第三项是(3b)2，4a2＋9b2是2a、3b的平方和，第二项正好是2a与3b的积的2倍，所以4a2－12ab＋9b2是一个完全平方式，可分解为(2a－3b)2。
解：原式＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝(2a－3b)2。
【例2】把16－8xy＋x2y2分解因式。
分析：多项式16－8xy＋x2y2共有三项，第一项是42，第三项是(xy)2，而第二项正好是4与xy乘积的2倍，所以16－8xy＋x2y2是一个完全平方式，可分解为(4－xy)2。
14.3 因式分解--完全平方公式
2x2 18
解：原式 2x2 9
2x 3x 3
探索完全平方公式
多项式 a2+2ab+b2 你能用提公因式法或平方差公式来 分解因式吗？
追问2 这两个多项式有什么共同的特点？
a2 2ab b2 a2 2ab b2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2,9=32,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即 16x2+24x+9= (4x)2+ 2·4x·3 +32
a2 + 2 ·a ·b + b2 解:(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32
=(4x+3)2
分解因式：(1) –x2+4xy–4y2 3ax2+6axy+3ay2
解： –x2+4xy-4y2
(2) 解: 3ax2+6axy+3ay2
= –(x2-4xy+4y2) = –[x2-2·x·2y+(2y)2]
= – (x-2y)2
=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2
分解因式: 4 -12(x-y) + 9(x-y)2
4 -12(x-y) + 9(x-y)2 解：原式= 22 - 2·3(x-y)·2+[3(x-y)]2
=[2-3(x-y)]2 =(2-3x+3y)2
• m2-12mn+36n2 • -a2 +8ax- 16x2 • a2 +2a(b+c) + (b+c)2 • -a3 +2a2 - a
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
七年级下册数学3.3因式分解---完全平方式
能用完全平方公式因式分解的多项式有什么特点？
1、多项式是三项式； 2、有两项符号相同，且能写成 两数或两式平方和的形式； 3、另一项是这两数或两式积的 2倍。
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
2 2 首 2首尾 尾
“首” 平方, “尾” 平方, “首尾”两倍放 中间.
2 2
2 x
2 2
2
1
1
2
怎么运用完全平方公式来因式分解的？
1、先找出多项式中能够写成平方形式的两项， 并写成两数或两式的平方和的形式；然后检 验另一项是否可以写成两数或两式积的2倍 的形式。 2、找出公式中的a,b在具体问题中分别代表什 么数或式子； 3、将公式右边( a + b)2或(a - b) 2中的a,b用 具体问题中对应的数或式子代进去，从而将 多项式因式分解。
思考下列问题：
1、用完全平方公式分解因式： a2 + 2 · a · b + b2 = （a + b）2 4x ）· 3 ）+（ 3 ）2=（ 4x + 3）2 16x2+24x+9=（ 4x ）2+2· （ （
a2 － 2· a · b +
4a2－2ab
b2 = （a － b）2
1 2 1 1 1 2 2 b b b）2 2a 2a）· 2a + b =（ ） －2· （ （2 ）+（ ） = （ － 2 2 4
2
1 3x 2
2
• 2、把
解：原式= — 4x -12xy+9y
2
2
因式分解-完全平方公式
9、把 ( a + b ) + 4 ( a + b ) + 4 分解因式得 C （ ） 2 2 A、 ( a + b + 1) B、 a + b − 1) ( 2 2 C 、( a + b + 2 ) D、 a + b − 2 ) (
2
10、 10、计算 100 − 2 ×100 × 99 + 99 A 结果是（ 结果是（ ） B、 A、 1 B 、- 1 D、 C、 2 D 、- 2
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式 叫做完全平方式 两个“ 两个“项”的平方和加 或减去）这两“ 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
(1)x + 2xy + y 是 2 2 是 (2)A − 2AB + B 2 2是 (3)甲 + 2×甲×乙+乙 2 2 是 (4)∆ − 2×∆×Θ+ Θ
1 2 ab ( 4 ) a + _______ + b 4 4 2 2 4 y ( 5 ) x + 2 x y + ______
2
a +2ab+b = ( a +b ) 2 2 a −2ab+b = ( a −b )
2 2
2
2
我们可以通过以上公式把 完全平方式” “完全平方式”分解因式 我们称之为： 我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2 C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2
3、下列各式中，能用完全平方公式 下列各式中， 分解的是（ 分解的是（ D ） +2xyA、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2 C、1 x 2 -2xy+y 2 D、 1 x 2 -xy+y 2
第14课 因式分解(3)——公式法(完全平方公式)
A. x2－x＋1 C. x2－x＋1
4
B. x2－4x－4 D. x2－4x＋9
13. 如果x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值是( D ) A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8
第3关 14. 分解因式： －2a3＋12a2－18a.
－2a(a－3)2
15. 已知a＋b＝10，ab＝6，求 a3b＋2a2b2＋ab3的值. 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2， 将a＋b＝10，ab＝6代入，得原式的值为600.
总结：能用完全平方公式分解因式的条件
①三项式；
②首尾化为平方，中间是首尾底数积的2倍. 3. 分解因式：
(1)x2＋4x＋4＝___x_2_＋__2_·x_·_2_＋__2_2__＝__(x_＋__2_)_2_； (2)x2－6x＋9＝___x_2_－__2_·x_·_3_＋__3_2__＝__(x_－__3_)_2_； (3)x2－8x＋16＝____(x_－__4_)_2___； (4)x2＋12x＋36＝___(x_＋__6_)_2____.
4. (例2)分解因式： (1)m2－10mn＋25n2＝_m__2_－__2_·m__·5_n_＋__(_5_n_)_2 ＝__(_m__－__5_n_)2__； (2)4x2＋12xy＋9y2＝_(2_x_)_2_＋__2_·2_x_·_3_y_＋__(3_y_)_2＝___(_2_x_＋__3_y)_2___.
二、新课学习
完全平方公式： 整式乘法：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2. 分解因式：a2＋2ab＋b2＝________________；
a2－2ab＋b2＝________________.
运用完全平方公式分解因式
运用完全平方公式分解因式什么是完全平方公式在代数学中，完全平方公式是一种用于将二次多项式分解为完全平方的方法。
一个二次多项式可以写成(a+b)2的形式，其中a和b是实数。
完全平方公式是一种将二次多项式进行因式分解的常用方法。
完全平方公式的形式可以表示为：(a+b)2=a2+2ab+b2其中，a和b是实数。
运用完全平方公式分解因式的步骤下面将介绍使用完全平方公式分解因式的步骤：1.确定给定二次多项式的形式。
一个二次多项式的标准形式为ax2+bx+c，其中a、b和c是实数。
2.计算出二次项系数a、一次项系数b和常数项c。
根据给定二次多项式的表达式，将表达式与完全平方公式的形式进行对比。
通过对比可以找到a、b和c的值。
3.将三个系数代入完全平方公式的形式。
将a、b和c的值代入(a+b)2=a2+2ab+b2的形式。
4.展开和简化等式。
将完全平方公式的形式展开并简化。
5.将展开后的等式与给定二次多项式进行对比。
对比展开后的等式与给定二次多项式，确定公式中的a和b是否与二次多项式中的系数相符。
6.将得到的等式重新组合为完全平方。
如果展开后的等式与二次多项式相符，将等式重新组合为一个完全平方。
此时需要将2ab这一项进行因式分解。
7.检验结果。
检验得到的完全平方是否与给定二次多项式相等。
实际例子让我们通过一个实际的例子来演示运用完全平方公式分解因式的过程。
假设我们要分解因式x2+6x+9。
1.确定二次多项式的形式。
给定的二次多项式为x2+6x+9。
2.计算系数。
根据给定二次多项式的表达式，可以确定a=1，b=6，c=9。
3.代入完全平方公式。
将系数代入完全平方公式的形式得到(1+3)2=12+2(1)(3)+32。
4.展开和简化等式。
将完全平方公式的形式展开并简化得到4=1+6+9。
5.对比展开后的等式。
通过对比展开后的等式与给定二次多项式x2+6x+9，可以发现二次多项式中的系数与展开后的等式中的系数相同。
因式分解-完全平方公式
2
a 2ab b a b 2 2 a 2ab b a b
2 2
2
2
我们可以通过以上公式把 “完全平方式”分解因式 我们称之为：运用完全平 方公式分解因式
2 2
现在我们把这个公式反过来
2
2
很显然，我们可以运用以上这 个公式来分解因式了，我们把 它称为“完全平方公式”
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
我们把以上两个式子 叫做完全平方式
两个“项”的平方和加 上（或减去）这两“项” 的积的两倍
1x 2 xy y 是 2 2 是 2A 2 AB B 2 2是 3甲 2 甲乙 乙 2 2 是 4 2
2 2
判别下列各式是不是 完全平方式
a 2ab b a 2ab b
2 2
2
2
完全平方式的特点
：
1、必须是三项式 2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍
2 2 首 2首尾 尾
请同学们根据完全平 方式的特点再写出几 个完全平方式
2 2 1 a b 2ab 是 2 2
2 2 2
2
(2) ( a y ) 2ay 1 ( ay 1 )
(3)
2
1 1 2 2 2 ( rs ) r s ( rs ) 4 2
例1:分解因式
(1) x2-4x+4
解:原式= x 2 x 2 2
2 2
( x 2)
2
例1:分解因式(2)Biblioteka ＝（x2-2x+1)2
分解因式的方法
分解因式的方法在代数学中，分解因式是一个非常重要的概念。
分解因式就是将一个多项式分解成两个或多个乘积的形式。
这个过程在解方程、简化表达式和求导数等数学问题中都有着重要的应用。
下面我们来介绍一些常见的分解因式的方法。
1. 提取公因式法。
提取公因式法是分解因式中最基本的方法之一。
当一个多项式中的每一项都有一个相同的因子时，我们可以将这个公因式提取出来，从而将多项式分解成公因式和另一个多项式的乘积。
例如，对于多项式3x+6xy，我们可以提取公因式3x，得到3x(1+2y)，这样就完成了分解因式的过程。
2. 公式法。
公式法是指利用代数运算的公式来分解因式。
常见的公式包括平方差公式、完全平方公式、立方和公式等。
通过运用这些公式，我们可以将多项式分解成更简单的形式。
例如，利用完全平方公式，我们可以将多项式x^2+2xy+y^2分解为(x+y)^2，从而得到更简洁的表达形式。
3. 因式分解法。
因式分解法是指将多项式分解成两个或多个不可约的因式的乘积。
这个方法在解高次多项式的根、求解方程和简化复杂表达式时非常有用。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以利用因式分解法将其分解为(x+2)(x-2)，从而得到多项式的因式分解形式。
4. 分组分解法。
分组分解法是一种将多项式按照特定的方式进行分组，然后再进行因式分解的方法。
这个方法在解决四项式的因式分解问题时非常实用。
例如，对于四项式x^3+3x^2+2x+6，我们可以将其进行分组，得到x^2(x+3)+2(x+3)，然后再利用因式分解法将其分解为(x^2+2)(x+3)。
5. 完全平方差公式。
完全平方差公式是一个常见的因式分解公式，它可以将一个二次多项式分解成两个平方的差的形式。
例如，对于二次多项式x^2-4，我们可以利用完全平方差公式将其分解为(x+2)(x-2)，从而得到多项式的因式分解形式。
以上就是一些常见的分解因式的方法。
通过灵活运用这些方法，我们可以更好地解决代数问题，简化数学表达式，从而更好地理解和应用代数知识。
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丁沛永
12 x
2
− 3y
2
− a
4
+ 16
(2 x + y )2 − (x + 2 y )2
完全平方下式法分解因式
一丶教学目标 1. 使学生理解完全平方下式的意义 使学生理解完全平方下式的意义, 2. 弄清完全平方下式的形式和特点 弄清完全平方下式的形式和特点. 3. 会下完全平方下式分解因式 会下完全平方下式分解因式.
1.下列下下式下下下下下 式分解因式； (1). 2x − 4x −1 ; (2). 1- 4x - 4x ;
2 2
(3). - 4x + 4x +1; (4). 4x − 2x +1;
2 2
1. 如果一个下下式是完全平方式 就可以运下完 如果一个下下式是完全平方式,就可以运下完 全平方下式分解因式; 全平方下式分解因式 (1). 先看是否有两下 同号 都可以写成 平方形式 先看是否有两下(同号 都可以写成__________. 同号)都可以写成
4x − 4x +1
2
− 3x + 6 xy − 3 y
2
2
6 xy − 9 x y − y
2 2
3
(a − b )
2
+ 2 ab
(7). ___ - 4x + 1________;
三丶乘法下式 反过来,就得到 反过来 就得到: a 2 就得到
+ 2ab + b = (a + b ) 2 2 2 a − 2ab + b = (a − b )
2
2
(a + b )2 = a 2 + 2ab +__;2 __________ b 2 (a - b ) = a 2 − 2ab + b 2 ____________;
(a + b )
2
= ____________;
(a - b )
2
= ____________;
两个数的和 或者差)_______等于这两个数 即:两个数的和(或者差 两个数的 或者差 等于这两个数 的平方和,加上 或者减去)这两个数的积的 加上(或者减去 这两个数的积的____, 的平方和 加上 或者减去 这两个数的积的
二丶复习提问 1. 口述平方差下式 口述平方差下式; 2. 填空: 填空
(1). x 3
(2). 9 - x 2 y 2 = ___________;
− 4 x = __________;
2
(3). (a + 2)
2
= __________;
2
(4). (a -1)
2
(5). a − 6a + __ = (a − _ ) 2 2 (6). x − __ + 16 = (x − _)
即如 : a 2 + b 2 (或 − a 2 − b 2 )的形式;
倍 (2). 再看第三下是否是前两下积的 2倍 再看第三下是否是前两下积的______
即如 : 2 ⋅ a ⋅ b( 或 − 2ab) 的形式 ;
下列各式是不是完全平方式？ 下列各式是不是完全平方式？
• 例5：分解因式
分解因式
两个数的平方和,加上 或者减去)这两个数的 即:两个数的平方和 加上 或者减去 这两个数的 两个数的平方和 加上(或者减去 倍 等于这两个数的和 或者差)_______. 积的____,等于这两个数的 或者差 积的 2倍 等于这两个数的和(或者差 的平方
x 2 + 4 xy + 4 y 2分解因式 把 分解因式; 例1:把