2016-2017学年河北省石家庄一中高一(上)期末数学试卷含答案

2016-2017学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）化简=（）A．B．C．D．2．（5.00分）函数定义域为（）A．（0，2]B．（0，2） C．（0，1）∪（1，2]D．（﹣∞，2]3．（5.00分）集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]4．（5.00分）在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（）A．=B．=C．=﹣2D．+=5．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2﹣2sinx B．﹣x2+2sinx C．x2+2sinx D．x2﹣2sinx6．（5.00分）设k∈Z，函数y=sin （+）cos （+）的单调增区间为（）A．[（k+）π，（k+1）π]B．[（2k+1）π，2（k+1）π]C．[kπ，（k+）π] D．[2kπ，（2k+1）π]7．（5.00分）设f（sinα+cosα）=sinα•cosα，则f（sin）的值为（）A．B．C．D．8．（5.00分）若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能确定9．（5.00分）函数y=sin （2x+）的图象可由函数y=cosx的图象（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位10．（5.00分）函数，若实数x0是函数的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为正值B．恒为负值C．等于0 D．不大于011．（5.00分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，且﹣，﹣，则α+β=（）A．B．﹣C．或﹣ D．﹣或12．（5.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（）aA．（，1）B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）已知⊥，||=2，||=3，且3+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．14．（5.00分）已知，0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，且sin（α+β）=，则sin2α的值为．15．（5.00分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是．16．（5.00分）已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，则实数b的取值范围为．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10.00分）已知0＜α＜，3sin（π﹣α）=﹣2cos（π+α）．（1）求的值；（2）求的值．18．（12.00分）已知向量，，向量与b夹角为θ，（1）求cosθ；（2）求在的方向上的投影．19．（12.00分）已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M，（1）求M；（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2x+2+3•4x（a＜﹣3）的最小值．20．（12.00分）已知O为坐标原点，=（2cosx，），=（sinx+cosx，﹣1），若f（x）=•+2．（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）当时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，求m的范围．21．（12.00分）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．2016-2017学年河北省石家庄一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5.00分）化简=（）A．B．C．D．【解答】解：∵．故选：B．2．（5.00分）函数定义域为（）A．（0，2]B．（0，2） C．（0，1）∪（1，2]D．（﹣∞，2]【解答】解：由函数的解析式可得，，即，解得0＜x＜1，1＜x≤2，故函数的定义域为{x|0＜x≤2，且x≠1}，故选：C．3．（5.00分）集合P={﹣1，0，1}，Q={y|y=cosx，x∈R}，则P∩Q=（）A．P B．Q C．{﹣1，1}D．[0，1]【解答】解：∵Q={y|y=cosx，x∈R}，∴Q={y|﹣1≤y≤1}，又∵P={﹣1，0，1}，∴P∩Q={﹣1，0，1}．故选：A．4．（5.00分）在△ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是（）A．=B．=C．=﹣2D．+=【解答】解：由三角形的重心定理可得：，，===，．可知：A，C，D都正确，B不正确．故选：B．5．（5.00分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，则当x＜0时，f（x）=（）A．﹣x2﹣2sinx B．﹣x2+2sinx C．x2+2sinx D．x2﹣2sinx【解答】解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），当x≥0时，f（x）=x2﹣2sinx，当x＜0时，则﹣x＞0，可得f（﹣x）=x2+2sinx=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣2sinx，故选：A．6．（5.00分）设k∈Z，函数y=sin （+）cos （+）的单调增区间为（）A．[（k+）π，（k+1）π]B．[（2k+1）π，2（k+1）π]C．[kπ，（k+）π] D．[2kπ，（2k+1）π]【解答】解：∵函数y=sin （+）cos （+）=sin（x+）=cosx，它的增区间，即y=cosx的增区间，为[2kπ+π，2kπ+2π]，k∈Z，故选：B．7．（5.00分）设f（sinα+cosα）=sinα•cosα，则f（sin）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：令sinα+cosα=t（t∈[﹣，]），平方后化简可得sinαcosα=，再由f（sinα+cosα）=sinαcosα，得f（t）=，所以f（sin）=f（）==﹣．故选：A．8．（5.00分）若α是第一象限角，则sinα+cosα的值与1的大小关系是（）A．sinα+cosα＞1 B．sinα+cosα=1 C．sinα+cosα＜1 D．不能确定【解答】解：如图所示：设角α的终边为OP，P是角α的终边与单位圆的交点，PM垂直于x轴，M为垂足，则由任意角的三角函数的定义，可得sinα=MP=|MP|，cosα=OM=|OM|．△OPM中，∵|MP|+|OM|＞|OP|=1，∴sinα+cosα＞1，故选：A．9．（5.00分）函数y=sin （2x+）的图象可由函数y=cosx的图象（）A．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位B．先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位C．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位D．先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位【解答】解：把函数y=cosx=sin（x+）的图象的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（2x+）的图象，再把所得图象再向右平移个单位，可得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x+）的图象，故选：B．10．（5.00分）函数，若实数x0是函数的零点，且0＜x1＜x0，则f（x1）（）A．恒为正值B．恒为负值C．等于0 D．不大于0【解答】解：函数在（0，+∞）上单调递减，若实数x0是函数的零点，则f（x0）=0．∵0＜x1＜x0，∴f（x1）＞f（x0）=0．即f（x1）恒为正值．故选：A．11．（5.00分）已知tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，且﹣，﹣，则α+β=（）A．B．﹣C．或﹣ D．﹣或【解答】解：依题意可知tanα+tanβ=﹣3，tanα•tnaβ=4∴tan（α+β）==∵tanα•tnaβ＞0，tanα+tanβ＜0∴tanα＜0，tanβ＜0∵﹣，﹣，∴﹣π＜α+β＜0∴α+β=﹣故选：B．12．（5.00分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log（x+2）=0，恰有4个不同的实数根，则实数a（a＞0，a≠1）的取值范围是（）aA．（，1）B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）【解答】解：对于任意的x∈R，都有f（2+x）=f（2﹣x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0，恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2），在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），根据题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此计算得出：a＞8，∴a的范围是（8，+∞），故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5.00分）已知⊥，||=2，||=3，且3+2与λ﹣垂直，则实数λ的值为．【解答】解：因为与垂直∴（）•（）=0即3=0∴12λ﹣18=0∴λ=故答案为14．（5.00分）已知，0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，且sin（α+β）=，则sin2α的值为．【解答】解：∵0＜β＜α＜，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=，∴0＜α﹣β＜，0＜α+β＜，∴sin（α﹣β）==，cos（α+β）==，∴sin2α=sin[（α﹣β）+（α+β）]=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=×+×=．故答案为：．15．（5.00分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是22．【解答】解：∵=3，∴=+，=﹣，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（﹣）=||2﹣•﹣||2=25﹣•﹣12=2，故•=22，故答案为：22．16．（5.00分）已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，则实数b的取值范围为（，）．【解答】解：二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）满足f（1）=0，可得：1+2b+c=0，关于x的方程f（x）+x+b=0即x2+2bx+x+b+c=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，可得，即：，解得b∈（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10.00分）已知0＜α＜，3sin（π﹣α）=﹣2cos（π+α）．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：由3sin（π﹣α）=﹣2cos（π+α），得3sinα=2cosα，∴tanα=．（1）=；（2）∵tanα=，∴，则cosα=．∴=cos2α+cosα=2cos2α+cosα﹣1==．18．（12.00分）已知向量，，向量与b夹角为θ，（1）求cosθ；（2）求在的方向上的投影．【解答】解：（1）向量，，向量与b夹角为θ，cosθ===；（2）b在a的方向上的投影为：||cosθ=2×=．19．（12.00分）已知函数y=+lg（﹣x2+4x﹣3）的定义域为M，（1）求M；（2）当x∈M时，求函数f（x）=a•2x+2+3•4x（a＜﹣3）的最小值．【解答】解：（1）由题意，，解得1≤x≤2，∴M=（1，2]；（2）令t=2x（t∈（2，4]），f（x）=g（t）=﹣4at+3t2=3（t+）2﹣1°﹣6＜a＜﹣3，即2＜﹣＜4时，g（t）min=g（﹣）=﹣；2°a≤﹣6，即﹣≥4时，g（t）min=g（4）=48+16a∴f（x）min=．20．（12.00分）已知O为坐标原点，=（2cosx，），=（sinx+cosx，﹣1），若f（x）=•+2．（1）求函数f（x）的对称轴方程；（2）当时，若函数g（x）=f（x）+m有零点，求m的范围．【解答】解：（1）∵，，∴f（x）=+2=2cosxsinx+2cos2x﹣+2=sin2x+cos2x+2=2sin（2x+）∴对称轴方程为2x+=+kπ，k∈Z，即x=+，k∈Z，（2）∵当时，函数g（x）=f（x）+m有零点，∴﹣m=f（x）∵，∴2x+∈（，），∴﹣＜sin（2x+）≤1，∴f（x）∈（﹣+2，4]，∴m∈[﹣4，﹣2）21．（12.00分）已知函数（其中ω＞0）（I）求函数f（x）的值域；（II）若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=﹣1有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数y=f（x），x∈R的单调增区间．【解答】解：（I）解：==由，得可知函数f（x）的值域为[﹣3，1]．（II）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，y=f（x）的周期为π，又由ω＞0，得，即得ω=2．于是有，再由，解得．B1所以y=f（x）的单调增区间为22．（12.00分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．（Ⅰ）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明；（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]，∵f （x）为奇函数，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=•（x1﹣x2），…（2分）由已知得＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f （x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增．…（4分）（Ⅱ）∵f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴…（6分）∴不等式的解集为．…（7分）（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[﹣1，1]上单调递增．∴在[﹣1，1]上，f（x）≤1．问题转化为m2﹣2am+1≥1，即m2﹣2am≥0，对a∈[﹣1，1]恒成立．…（9分）下面来求m的取值范围．设g（a）=﹣2m•a+m2≥0．①若m=0，则g（a）=0≥0，对a∈[﹣1，1]恒成立．②若m≠0，则g（a）为a的一次函数，若g（a）≥0，对a∈[﹣1，1]恒成立，必须g（﹣1）≥0且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．综上，m=0 或m≤﹣2或m≥2…（12分）。