两点间距离公式、中点公式

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两点间的距离公式和中点公式ppt课件

设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
| AB | (x2 x1)2 ( y2 y1)2．
x
Page 4
例1 已知 A(2，－4)，B(－2，3) ，求 |AB| ．
解：因为 x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3，
所以
dx＝x2－x1＝－2－2＝－4， dy＝y2－y1＝3－(－4)＝7．
x x1 x2 ， y y1 y2 ．
2
2
Page 9
例2 求证：任意一点 P(x，y) 与点 P (－x，－y)
关于坐标原点成中心对称．
证明设 P 与P 的对称中心为(x0，y0)，则 x (x)
x0 2 0,
y0
y ( y) 2
0.
所以坐标原点为 P 与 P 的对称中心．
Page 10
（1）你能说出垂足A1，A2，B1，B2， M1，M2的坐标吗？（2）点M是AB中点，M1是A1，B1的中点吗？它们的坐标有怎样的关系？
A A2
（3）M2是A2，B2的中点吗？它们的
A1 O M1 B1 x 坐标有怎样的关系？
（4）你能写出点 M 的坐标吗？
Page 8
中点公式
在坐标平面内，两点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 的中点 M(x，y) 的坐标之间满足：
坐标是多少 ?
（4）由以上分析，点P 的坐（标2是）多PP少与？x 轴的交点 M 是线段 PP 的中点吗？点 M 的纵坐标（是5多）少你？能求出P 的坐标吗？
Page 12
求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标： A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
Page 13
直线

两点之间的距离公式及中点坐标公式

y y1 y2 2
二、坐标法——将几何问题转化为代数问
• P71练习A：1－4. 2－1A：1－4.
• 选做：B组题
P72：习题
(0,y) M 2
M
A
A2
x x1 x2 Байду номын сангаасx
y y1 y2 y
(0，y1)
A1 O M1
B1
x
(X1,0) (X,0) (X2,0)
即： x x1 x2 2
y y1 y2 2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
AD2 b a2 c2,
AC2 b2 c2,
x
O A(0,0) B(a,0)
BD 2 b 2a2 c2
AC2 BD2 4a2 2b2 2c2 4ab, 2(2a2 b2 c2 2ab),
AB2 AD2 2a2 b2 c2 2ab,
所以 AC2 BD2 2 AB2 AD2 .
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
x2 35
则
2
2
M
C(5,2
y2 02
O
A(-3,0)
x
2
2
B(2,-2)
解得 x=0 ∴D(0,4)
y=4
〖课堂检测〗 1、求两点的距离：（1) A（6，2） , B（-2,5）（2) A (2 , -4) , B (7 , 2)
A(x1，y1) A2
o

两点之间的距离公式及中点坐标公式

复习
数轴上两点的距离
A
B
o x1
x2
A x1
o
B x2
所以A,B两点的距离为两点的距离为: 所以两点的距离为 d(A,B)= X 2 – X 1
2.1.2平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式两点的距离公式
如图：有序实数对与点P对如图：有序实数对（ x,y）与点对与点这时（称为点P的坐标应，这时 x,y）称为点的坐标，这时称为点的坐标，并记为P（x,y），x叫做点的横坐叫做点P的横坐并记为叫做点叫做点P的纵坐标标，y叫做点的纵坐标。叫做点的纵坐标。
O
AD = (b − a) + c ,
AC = b + c ,
2 2 2
A(0 A(0,0)
B(a,0 B(a,0)
BD = (b − 2a) + c
2 2
2
AC + BD = 4a + 2b + 2c − 4ab,
2 2 2 2 2
= 2(2a + b + c − 2ab), 2 2 2 2 2 AB + AD = 2a + b + c − 2ab, 所以 AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2 ).
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X 证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的性质可设点A 性质可设点A，B，C，D的坐标为
(
)
A(0,0), B(a,0), C(b, c), D(b − a, c).
所以 AB
2
2
=a ,
2

两点间距离公式及中点坐标公式

M
C(5,2)
A(-3,0)
O
x B(2,-2)
解得
x=0点S（0，2）、点T（−6，−1），现将线段ST四等分，试求出各分点的坐标．
巩固知识典型例题
首先求出线段ST 的中点 Q 的坐标，然则由 S（0 ， 2）、T（−6，−1）得后再求SQ的中点P及 2 (1) 1 0 (6) xQ 3 yQ QT 的中点 R的坐标．
y
A1M1 M1B1
A2 M 2 M 2 B2
(0,y)
B2
M2
(0，y2)
B
x x1 x2 x y y1 y2 y
A
A1
(X1,0) O
(0，y1)
A2
M
M1
(X,0)
B1
(X2,0)
x
即：
x1 x 2 x 2
y1 y 2 y 2
这就是线段中点坐标的计算公式，简称 ——
2
2
解设线段ST的中点Q的坐标为 ( xQ , yQ )，
2
即
1 Q （ 3, ） 2
图8－2
3 5 9 1 （ , ）同理，求出线段SQ的中点P ，线段QT的中点 R （ , ）. 2 4 2 4
（ , ）、Q （ 3, ）、R （ , ）. 故所求的分点分别为P 3 5 2 4 1 2 9 2 1 4
8.1平面直角坐标系中的基本公式
1.两点的距离公式
如图：有序实数对（ x,y）与点P对应，这时（ x,y）称为点P的坐标，并记为P（x,y），x叫做点P的横坐标，y叫做点P的纵坐标。
y
p(x，y)
y
x

8.1两点间距离公式及中点公式

间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2
2
2
学生练习
P65 练习 1题 2题
探究中点公式
向量P1P和向量PP2相等，所以有：
P2(x2,,y2) P1(x1,,y1) P(x,y)
uuu r uuu r Q PP 1 ( x x1 , y y1 ), PP 2 ( x2 x, y2 y ) x x1 x2 x y y1 y2 y x1 x2 x , 2 解得 y y1 y2 . 2
2
二、
2
学生练习
P67 练习 1,2题
作业布置：
1、方案一书 68页方案二书 64-65页 1、2、5 例2，例3
2、练习册8.1相应练习
教学目标：
1、理解并掌握平面上两点间距离公式的推导 2、掌握平面上两点间距离公式并会应用它解决相关的问题 3、掌握线段的中点坐标公式，并会灵活运用
重点难点：
重点：平面上两点间的距离公式和中点坐标公式的推导难点：两个公式的灵活应用
教学过程
一、平面上两点间的距离
1、坐标轴上两点间的Байду номын сангаас离
平面上两点
二、平面上连结两点的线段的中点坐标公式
文字表述：中点的坐标等于左右端点坐标的平均值。
例3
已知线段AB，它的中点坐标是（-1,2），端点B的坐标是（-5,7），求端点A的坐标。分析：设未知点的坐标。将未知转化为已知。
小结
一、
间的距离公式：
P ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1P 2

两点坐标公式和中点坐标公式

两点坐标公式和中点坐标公式
两点坐标公式指的是计算两个坐标点之间的直线距离的公式，而中点坐标公式是计算两个坐标点连线的中点坐标的公式。

1.两点坐标公式：
设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则它们之间的直
线距离d可以使用以下公式进行计算：
d=√((x2x1)^2+(y2y1)^2)
其中"^"表示乘方运算。

这个公式的原理是根据勾股定理，通过计算两个坐标在x轴
和y轴上的差值的平方和，再开平方得到直线距离。

2.中点坐标公式：
设两个点的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，它们连线的中点
坐标为(xm,ym)，则中点坐标可以使用以下公式进行计算：
xm=(x1+x2)/2
ym=(y1+y2)/2
这个公式的原理是将两个坐标点在x轴和y轴分别做平均，
得到中点的横纵坐标。

中点坐标与距离公式

中点坐标与距离公式在数学中，我们经常会涉及到点的位置和距离的计算问题。

而中点坐标和距离公式则是在解决这类问题时经常会使用到的工具。

本文将介绍中点坐标和距离公式的概念、推导过程以及应用范围。

中点坐标中点坐标是指在二维平面上，连接两个点的直线上的中间点的坐标。

设直线上两点的坐标分别为(x₁, y₁) 和(x₂, y₂)，则中点的坐标可以通过下述公式计算得出：xₘ = (x₁ + x₂) / 2yₘ = (y₁ + y₂) / 2其中，xₘ 和 yₘ 分别表示中点的 x 坐标和 y 坐标。

中点坐标公式的推导可通过对直线上两点的横坐标和纵坐标求平均得到。

这是因为在直线上，两点的横坐标和纵坐标的变化是线性的，所以它们的平均值即为中点的坐标。

中点坐标的应用非常广泛。

例如，在图形学中，我们经常需要确定直线的中点，以便绘制图形和进行图形变换。

此外，在计算机视觉中，中点坐标也常用于计算物体的中心位置，进而进行目标识别和跟踪等。

距离公式距离公式是指在二维平面上，计算两点间距离的公式。

设两点的坐标分别为(x₁, y₁) 和(x₂, y₂)，则它们之间的距离可以通过下述公式计算得出：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，d 表示两点之间的距离。

距离公式的推导可通过利用勾股定理得到。

根据勾股定理，两个直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在二维平面上，两点间的距离可以视为一个直角三角形的斜边，而坐标差值则对应两条直角边的长度。

距离公式在几何学和物理学等领域有非常广泛的应用。

它能够帮助我们计算空间中的点之间的距离，并且具有较为简洁的表达形式。

在计算机科学中，距离公式被广泛应用于各种算法，如聚类分析、最近邻搜索等。

总结中点坐标和距离公式是数学中常用的工具，在解决问题时具有重要的作用。

中点坐标可以帮助我们确定直线上两点的中点位置，它在图形学和计算机视觉等领域有广泛的应用。

8.1两点距离公式和中点公式

2 计算 d＝ d x2 d y
；
给出两点的距离d．
例1 已知 A(8，10)，B(12，22) ，求线段 AB 的长度．解：因为 x1＝8，x2＝12，y1＝10，y2＝22，所以 dx＝x2－x1＝12－8＝4， dy＝y2－y1＝22－10＝12．因此
2 2 | AB | d x dy (4)2 122 4 10．
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x 2 3 5 2 2 1 y2 02 1 2 2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
设点 A(x1，y1)，B(x2，y2) ，则
| AB | ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2．
A(x2 ，y2)
O x
求两点之间的距离的计算步骤：
S1 给两点的坐标赋值： x1＝？，y1＝？，x2＝？，y2＝？
S2 计算两个坐标的差，并赋值给另外两个变量，即
dx＝x2－x1，dy＝y2－y1； S3 S4
8.1两点间距离公式和中点公式
1.数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
2.数轴上的中点公式
一般地，在数轴上，A(x1)，B(x2) 的中点坐标 x 满足关系式
x1 x2 ． x= 2
P 64
平面上两点间的距离公式点O对称的两点：(x,y)与(-x,-y) 关于x轴对称的两点：(x,y)与(x,-y) 关于y轴对称的两点：(x,y)与(-x,y)

两点间的距离公式和中点公式

求下列各点关于 x 轴和 y 轴的对称点的坐标：
A(2，3)，B(－3，5),C(－2，－4)，D(3，－5)．
例4 已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(－3，0)，
B(2，－2)，C(5，2)，求顶点 D 的坐标．解：因为平行四边形的两条对角线的中点相同，所以它们的坐标也相同．
设点 D 的坐标为 (x，y) ，则
x 2 3 5 2 2 1 y2 02 1 2 2
解得
x 0 y 4
所以顶点 D 的坐标为 (0，4) ．
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 A(0，0)，B(2，－4)，C(6，2)，
求顶点 D 的坐标．
1．直角坐标系中两点间的距离公式． 2．直角坐标系中两点的中点公式． 3．点的对称．
设点d的坐标为xy则??????????????122022125322yx?????40yx解得已知平行四边形abcd的三个顶点a00b24c62求顶点d的坐标
圆
直线圆
直线
8.1.2平面直数轴上的距离公式
一般地，如果 A(x1)，B(x2) ，则这两点的距离公式为 |AB|＝|x2－x1|．
C B1
（3）|BC| 等于多少？
x （4）在直角三角形中，如何求 |AB| ？
（5）你能表示出 |AB| 吗？
平面上两点间的距离公式
y B(x2，y2)
设点 A(x1，y1)，B(x2，2 ( y2 y1 ) 2．
A(x2 ，y2)
O x
必做题：P 70 练习 A 第 1 题，第 2 题；选做题：P 70 练习 B 第 3 题．
A2
C B1 x
AA2，BB2，垂足分别为 A2，B2 ；

两点间距离公式和线段的中点坐标公式

２.已知△ABC的三个顶点坐标A（－3，1），B（0，－2），C（5，3），求
△ABC三边的长，并判断△ABC是否是直角三角形.
解：｜AB｜＝ (0 + 3)2 +(−2 − 1)2 ＝ 18＝3 2
(5 + 3)2 +(3 − 1)2 ＝ 68
｜BC｜＝ (5 − 0)2 +(3 + 2)2 ＝ 50＝5 2
（1，2）
（1，－2）
三、解答题
1.点A（2，3），B（3，m）之间的距离为 26，求m值.
解：由题意得 (3 − 2)2 +( − 3)2 ＝ 26，解得m＝8或m＝－2
2.若点A（1，－2）与点B关于点P（2，－3）对称，求点B的坐标.
1+
−2+
解：设点B（x，y），则＝2，
＝－3，解得x＝3，
B.（4，－2）
C.（－7，1）
D.（1，2）
二、填空题
根据条件将表中数据填充完整.
题号
点A的坐标
点B的坐标
（1）
（0，0）
（2，4）
（2）
（4，－3）
（3）
（－2，2）
（2，0）
（0，1）
（4）
（3，－4）
（3，4）
（3，0）
（5）
（1，－1）
（－3，－5）
（－1，－3）
（－2，－1）
线段AB的中点坐标
∵ ｜AB｜2＋｜BC｜2＝｜AC｜2
∴△ABC是直角三角形
｜AC｜＝
亲爱的同学们，下节课见！
,
2
2
.
一、选择题
1.已知O（0，0），A（3，4），则O、A两点间的距离｜OA｜＝（

俩坐标中点距离公式

俩坐标中点距离公式在几何学中，我们经常需要计算不同点之间的距离。

当给出两个点的坐标时，我们可以通过使用中点公式来求解这两个点的中点坐标。

进一步地，我们可以使用中点公式来计算这两个点之间的距离。

这种计算距离的方法被称为“俩坐标中点距离公式”。

中点公式中点公式允许我们计算由两个点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)定义的线段的中点坐标。

中点是线段的中心点，即将线段均分为两部分的点。

中点的坐标可以使用以下公式计算：x = (x₁ + x₂) / 2y = (y₁ + y₂) / 2其中，x是中点的x坐标，y是中点的y坐标。

通过这个公式，我们可以计算出两点之间的中点坐标。

计算距离有了中点公式，我们可以进一步计算出两点之间的距离。

两点之间的距离可以使用以下公式计算：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)其中，d是距离，x₁和y₁是第一个点的坐标，x₂和y₂是第二个点的坐标。

通过将坐标代入公式，我们可以得到两点之间的距离。

示例现在，让我们通过一个示例来说明俩坐标中点距离公式的使用。

设点A的坐标为A(2, 3)，点B的坐标为B(6, 8)。

要计算出AB之间的距离，我们首先需要计算出AB的中点坐标。

使用中点公式，我们可以计算出中点坐标为:x = (2 + 6) / 2 = 4y = (3 + 8) / 2 = 5.5所以，AB的中点坐标为(4, 5.5)。

接下来，我们可以使用距离公式计算出AB之间的距离。

代入坐标值后，我们有：d = √((6 - 2)² + (8 - 3)²)= √(4² + 5²)= √(16 + 25)= √41≈ 6.403因此，AB之间的距离约为6.403。

结论通过使用俩坐标中点距离公式，我们可以轻松计算出由两个点定义的线段的中点坐标和两点之间的距离。

这种计算方法在几何学中非常常见，对于深入理解点、线段和距离的概念非常有帮助。

8.1两点间距离公式及中点公式

作业
课本第68页习题 ห้องสมุดไป่ตู้-6

注： 1、若P x轴，则 P 1、P 2两点在x轴或平行于 1P 2 x2 x1 2、若P y轴，则 P 1、P 2两点在y轴或平行于 1P 2 y 2 y1
x2 x1 2 y2 y1 2
例题讲解
例1 求平面上两点A（8，10），B（12，22）之间的距离.
例2 已知三角形ABC的顶点分别为A（2，6），B（-4，3）， C（1,0），求三角形ABC三条边的长.
课堂小结
在平面直角坐标系中，已知两点P 、P2 x2，y2 ， 1、 1 x1，y1 则P 1P 2
x2 x1 2 y2 y1 2
x2，y2 为端点在平面直角坐标系中，以x1，y1 、 2、
x1 x2 y1 y2 的中点坐标是， 2 2
例3 证明以A（3， 2），B（6，5），C（1，10）为顶点的三角形是直角三角形
探索发现

问题2：
P x, y
则
在平面直角坐标系中，已知两点P ，y1 、P2 x2，y2 ，求线段P 1 x1 1P 2中点P的坐标
分析：设
P 1P x x1 , y y1
P2 y P1 P
例题讲解

例4 已知点P为线段AB的中点
1若A3,4，B 3,2，求P的坐标 2若A- 2,3，P4,2，求B的坐标
例题讲解

A0,0、B7,2、C - 1,4，例5 已知三角形的顶点是求此三角形两条中线 CE、AD的长度
y C D B E O(A) x
分析：
P2
OP2 x2，y2
作向量

数轴上两点距离公式(绝对值几何意义),中点公式

数轴上两点距离公式(绝对值几何意义)，中点公式掌握数轴的基本概念后，已知数轴上两点的具体数值时，我们可以利用数轴算出两点间距离，以及中点表示的数值。

但是如果给的是字母（大小关系不确定），那么就需要严格按照定义或公式来描述。

(一)数轴上两点之间的距离公式在数轴上，如果点A对应的数是a，点B对应的数是b，则这两个点的距离公式为：AB=|a-b|=|b-a| （差的绝对值）在数轴上我们可以通过这个距离公式，利用绝对值来算点与点之间的距离。

反过来看，这就是绝对值的几何意义(|a-b|代表点A与点B的距离，|a|代表点A到原点的距离)，我们也可以利用这个几何意义来解一些绝对值方程。

例题1：数轴上A，B两点的距离是15，点A表示的数是5-x，点B代表的数是5+x，则数x对应的点到原点的距离是多少。

根据距离公式，两点距离AB = |5+x-(5-x)| = |2x| = 15所以|x|=7.5，即数x对应的点到原点的距离是7.5。

(注意此处不用解出x的具体值，直接根据绝对值的几何意义就可以得出答案)例题2：解方程|x|=15根据|x|的几何意义，在数轴上表示与原点距离是5的点，易知有两个点15与-15。

所以方程的解是x=15或x=-15。

例题3：解方程|x-3|=15根据|x-3|的几何意义，在数轴上表示与点(3)距离是15的点，易知有两个点18与-12。

所以方程的解是x=18或x=-12。

(二)数轴上两点的中点公式中点表示的数值：(a+b)/2简单证明:如图，设A>B，P点是AB的中点对应的数是x。

则PB的距离是x-b；则PA的距离是a-x；根据P是中点所以PB=PA。

即x-b=a-x 解得x=(a+b)/2当A<B时，也可以得到x=(a+b)/2；A=B时也成立。

所以无论a，b为何值这个中点公式都成立，非常方便(不用分情况讨论)。

我们还可以把它变形成：a + (b-a)/2(a+b)/2=a/2 + b/2=a- a/2 + b/2=a + (b-a)/2这个变形公式可以清晰的看出中点和A点（x与a）的关系。

两点之间的距离公式及中点坐标公式.ppt

A 0 , 0 , B a , 0 , C b , c , D b a , c .
所以
AB a ,
2 2
2 2 2
y D (b-a, c)
C (b, c) x
AD b a c ,
AC b c,
2 2 2
O
A(0,0)
B(a,0)
2 BD b 2 a c 2 2
d(A,C)=
2 2
即|AC|=|BC|且三点不共线
所以，三角形ABC为等腰三角形。
【例3】已知 ABCD ,求证 2 2 2 2 AC BD 2 AB AD .
证明：取A为坐标原点，AB所在直线为X轴建立平面直角坐标系 xOy ，依据平行四边形的性质可设点A，B，C，D的坐标为
A
[题组冲关] 3．假如某爱国实业家在20世纪初需要了解全国各地商业信
息，可采用的最快捷的方式是
(
)
A．乘坐飞机赴各地了解 B．通过无线电报输送讯息 C．通过互联网 D．乘坐火车赴各地了解
解析：本题考查中国近代物质生活的变迁。注意题干信息“20世纪初”“最快捷的方式”，因此应选B，火车速度
”；此后十年间，航空事业获得较快发展。
筹办航空事宜
处
三、从驿传到邮政 1．邮政
(1)初办邮政： 1896年成立“大清邮政局”，此后又设
邮传部邮传正式脱离海关。
，
(2)进一步发展：1913年，北洋政府宣布裁撤全部驿站； 1920年，中国首次参加万国邮联大会。
2．电讯 (1)开端：1877年，福建巡抚在办电报的开端。 (2)特点：进程曲折，发展缓慢，直到20世纪30年代情况才发生变化。 3．交通通讯变化的影响

两点间距离公式及中点坐标公式

y y2 y1 3 4 7
d(A, B) (4)2 72 65
【例2】已知：点A(1，2)，B(3，4)，C(5， 0)
求证：三角形ABC是等腰三角形。
证明：因为 d(A,B)= 312 4 22 8
d(A,C)= 5 -12 0 22 20
—— 中点公式
【例4】已知 :平行四边形ABCD的三个顶点坐标
A(- 3,0),B(2,-2),C(5,2).求:顶点D的坐标。
解：因为平行四边形的两条对角线中点相同,
所以它们的中点的坐标也相同.
设D 点的坐标为(x,y).
y D(x,y)
则
x2 35
2
2
y2 02
M O
A(-3,0)
24
2
24
8．1 两点间的距离与线段中点的坐标
例4 已知ABC 的三个顶点为A(1,0)、B(2,1)、C(0,3) ，试
巩固
求BC边上的中线AD的长度．
知
解设BC的中点D坐标为D(xD , yD )，则由 B(2,1)、C(0,3) 得
识
典
xD

(2) 2
0

1，yD

1 3 2
d(C,B)= 5 32 0 42 20
即|AC|=|BC|且三点不共线所以，三角形ABC为等腰三角形。
该题用的方法----坐标法。可以将几何问题转化为代数问题。
2、中点公式
合作探究（二）：中点公式
已知A（x1，y1）, B（x2，y2），设 M(x,y)是线段AB的中点
显然当a点在坐标轴上时doa一般地已知平面上两点ax11y11和bx和bx22y22利用上述方法求点a和b的距离222121dababxxyy??a1yyxoxobx2y2ax1y1b1b2a2显然当ab平行于坐标轴或在坐标轴上时公式仍然成立