两直线的位置关系(2)

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高中数学人教新课标B版必修2--《2.2.3两条直线的位置关系》课件2

解答： (1)∵GF∥BC ∴∠EGF（或其补角）为所求. Rt△EFG中，求得∠EGF = 45 o
H
E
2 2 3D
A
23
G
F C
B
(2) ∵BF∥AE
∴∠FBG（或其补角）为所求,
Rt△BFG中，求得∠FBG = 60 o
巩固提例高:1．空间四边形 ABCD 中， AD BC 2 ， E, F 分别是 AB,CD 的中点， EF 3 ，求异面直线 AD, BC 所成的角。
2
2
在 EGF 中，cos EGF EG2 FG2 EF 2 1 ，∴ EGF 120 ，
2EG FG
2
∵两异面直线所成角的范围是：00,900
∴异面直线 AD, BC 所成的角为60
作角
证角
算角
答角
小结：
1. 异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.
相交直线
2. 空间两直线的位置关系
平行直线异面直线
3. 异面直线的画法辅助平面衬托法
4. 异面直线所成的角平移，转化为相交直线所成的角 5. 公理４：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行．
6. 等角定理：空间中,如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相
等或互补．
7. 计算异面直线所成的角
补充练习
450 。
D
(3)
直线
AB, BC,CD, DA, AB,
BC,CD, DA 与直线AAA
都垂直.
C' B'
C B
课堂反馈
1.如图,已知长方体ABCD-EFGH中, AB =2 3 , AD = 2 3 , AE = 2

专题2.2两条直线的位置关系(2)垂线-2021年七年级数学下册尖子生同步培优题库(教师版含解析)【

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题2.2两条直线的位置关系(2)垂线姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020•陕西)如图，AC⊥BC，直线EF经过点C，若∠1＝35°，则∠2的大小为()A．65°B．55°C．45°D．35°【分析】由垂线的性质可得∠ACB＝90°，由平角的性质可求解．【解析】∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵∠1+∠ACB+∠2＝180°，∴∠2＝180°﹣90°﹣35°＝55°，故选：B．2．(2020春•丛台区校级月考)如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N 三点共线)，其理由是()A．两点确定一条直线B．在同一平面内，过两点有且只有一条直线与已知直线垂直C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．两点之间，线段最短【分析】利用垂线的性质解答．【解析】如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选：C．3．(2020春•高州市期中)如图，直线AB⊥CD于O，直线EF交AB于O，∠COF＝70°，则∠AOE等于()A．20°B．30°C．35°D．70°【分析】利用垂线定义和对顶角相等可得答案．【解析】∵AB⊥CD，∴∠COB＝90°，∵∠COF＝70°，∴∠BOF＝90°﹣70°＝20°，∴∠AOE＝20°，故选：A．4．(2020春•文水县期末)如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中能说明AB⊥CD的有()①∠AOD＝90°；②∠AOD＝∠AOC；③∠AOC+∠BOC＝180°；④∠AOC+∠BOD＝180°．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．【解析】①∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项符合题意；②∠AOD和∠AOC是邻补角，邻补角相等和又是180°，所以可以得到∠AOC＝90°，能判定垂直，故此选项符合题意；③∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，不能判定垂直，故此选项不符合题意；④∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项符合题意．综上所述，①②④共3个正确，故选：C．5．(2020春•抚顺县期末)O为直线AB上一点，OC⊥OD，若∠1＝40°，则∠2＝()A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据垂直的定义得到∠COD＝90°，根据补角的定义计算，得到答案．【解析】∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∵∠1＝40°，∴∠2＝90°﹣40°＝50°，故选：C．6．(2020•南海区校级模拟)如图，CA⊥AB，EA⊥AD，已知∠DAB＝45°，那么∠EAC的大小是()A．50°B．45°C．30°D．60°【分析】根据垂线的定义可求解∠ACD的度数，进而可求解∠EAC的度数．【解析】∵CA⊥AB，∴∠CAD+∠DAB＝∠CAB＝90°，∵∠DAB＝45°，∴∠CAD＝45°，∵EA⊥AD，∴∠EAD＝90°，∴∠EAC＝90°﹣∠CAD＝90°﹣45°＝45°，故选：B．7．(2020春•澄迈县期末)如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1＝34°，则∠2等于()A．34°B．45°C．56°D．60°【分析】利用垂直定义和平角定义计算即可．【解析】∵CO⊥AB，∴∠COB＝90°，∵∠1＝34°，∴∠2＝180°﹣90°﹣34°＝56°，故选：C．8．(2020春•孝义市期末)下列各图中，过直线l外的点P画直线l的垂线，三角尺操作正确的是() A．B．C．D．【分析】根据垂线的作法，用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线即可．【解析】用直角三角板的一条直角边与l重合，另一条直角边过点P后沿直角边画直线，∴C选项的画法正确，故选：C．9．(2020春•江汉区月考)如图，AD⊥AC交BC的延长线于点D，AE⊥BC交BC的延长线于点E，CF⊥AB 于点F，则图中能表示点A到直线BC的距离的是()A．AD的长度B．AE的长度C．AC的长度D．CF的长度【分析】利用点到直线的距离定义进行解答即可．【解析】图中能表示点A到直线BC的距离的是AE的长度，故选：B．10．(2019秋•仁寿县期末)如图，O为直线AB上一点，OC⊥OD，OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，OF平分∠BOD，下列结论：①∠DOG+∠BOE＝180°；②∠AOE﹣∠DOF＝45°；③∠EOD+∠COG＝180°；④∠AOE+∠DOF＝90°．其中正确的个数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据角平分线的定义可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，利用平角等于180°得出α+β＝90°，∠EOG＝90°．根据同角的余角相等得出∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，则∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∠BOF＝∠DOF=12(α﹣β)．然后根据互余、互补的定义分别判断即可．【解析】∵OE平分∠AOC，OG平分∠BOC，∴可设∠AOE＝∠COE＝α，∠BOG＝∠COG＝β，∵O为直线AB上一点，∴∠AOB＝180°，∴2α+2β＝180°，∴α+β＝90°，∠EOG＝90°．∵∠DOC＝90°，∴∠DOG＝∠COE＝90°﹣∠COG＝α，∴∠BOD＝∠DOG﹣∠BOG＝α﹣β．∵OF平分∠BOD，∴∠BOF＝∠DOF=12(α﹣β)．①∵∠DOG＝α＝∠AOE，∠AOE+∠BOE＝180°，∴∠DOG+∠BOE＝180°，故本选项结论正确；②∵∠AOE＝α，∠DOF=12(α﹣β)，∴∠AOE﹣∠DOF＝α−12(α﹣β)=12(α+β)＝45°，故本选项结论正确；③∵∠EOD＝∠EOG+∠GOD＝90°+α，∠COG＝β，∴∠EOD+∠COG＝90°+α+β＝180°，故本选项结论正确；④∵∠AOE+∠DOF＝α+12(α﹣β)=32α−12β=32α−12(90°﹣α)＝2α﹣45°，∴当α＝67.5°时，∠AOE+∠DOF＝90°，但是题目没有α＝67.5°的条件，故本选项结论错误．综上所述，正确的有：①②③共3个．故选：C．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上11．(2020秋•肇源县期末)两条直线相交所构成的四个角，其中：①有三个角都相等；②有一对对顶角相等；③有一个角是直角；④有一对邻补角相等，能判定这两条直线垂直的有①③④．【分析】根据垂线、对顶角、邻补角定义进行逐一判断即可．【解析】两条直线相交所构成的四个角，①因为有三个角都相等，都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；②因为有一对对顶角相等，但不一定等于90°，所以不能判定这两条直线垂直；③有一个角是直角，能判定这两条直线垂直；④因为一对邻补角相加等于180°，这对邻补角又相等都等于90°，所以能判定这两条直线垂直；故答案为：①③④．12．(2020春•黄埔区期末)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠AOD＝118°，则∠EOC 的度数为28°．【分析】先根据对顶角相等得出∠BOC＝118°，再由垂直的定义得出∠BOE＝90°，最后根据∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE可得答案．【解析】∵∠AOD＝118°，∴∠BOC＝∠AOD＝118°，∵EO⊥AB，∴∠BOE＝90°，∴∠EOC＝∠BOC﹣∠BOE＝28°，故答案为：28°．13．(2020秋•香坊区校级期中)如图，直线AB⊥CD，EF经过点O，∠2＝2∠1，则∠3＝30°．【分析】根据AB⊥CD，可得∠1与∠2互余，再根据∠2＝2∠1，可求出∠1，最后根据对顶角相等得出答案．【解析】∵AB⊥CD，∴∠1+∠2＝90°，又∵∠2＝2∠1，∴3∠1＝90°，∴∠1＝30°，∴∠3＝∠1＝30°，故答案为：30．14．(2020秋•南岗区校级期中)已知，∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠BOC：∠AOB＝4：1，射线OD平分∠AOB，射线OE⊥OD，则∠BOE＝72°或108°．【分析】根据平角的意义、角平分线的意义，邻补角，垂直的意义，分别计算各个角的大小即可．【解析】∵∠AOB和∠BOC互为邻补角，∴∠AOB+∠BOC＝180°，又∵∠BOC：∠AOB＝4：1，∴∠BOC＝180°×45=144°，∠AOB＝180°×15=36°，∵射线OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD=12∠AOB＝18°，∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°，如图1，∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝90°﹣18°＝72°，如图2，∠BOE＝∠DOE+∠BOD＝90°+18°＝108°，故答案为：72°或108°．15．(2020春•太平区期末)关于垂线，小明给出了下面三种说法：①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直；②两条直线的交点叫垂足；③直线AB⊥CD，也可以说成CD ⊥AB．其中正确的有①③(填序号)．【分析】利用垂线定义进行解答即可．【解析】①两条直线相交，所构成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，故原题说法正确；②两条直线的交点叫交点，故原题说法错误；③直线AB⊥CD，也可以说成CD⊥AB，故原题说法正确，正确的说法有2个，故答案为：①③．16．(2020春•鱼台县期末)如图，村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短．【分析】利用垂线段的性质解答即可．【解析】村庄A到公路BC的最短距离是AD的长，其根据是垂线段最短，故答案为：垂线段最短．17．(2020春•东城区校级期末)如图，∠C＝90°，线段AB＝15cm，线段AD＝12cm，线段AC＝9cm，则点A到BC的距离为9cm．【分析】根据点到直线的距离的定义，可得答案．【解析】因为∠C＝90°，所以AC⊥BC，所以A到BC的距离是AC，因为线段AC＝9cm，所以点A到BC的距离为9cm．故答案为：9．18．(2020春•岳阳期末)如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为点D，AB＝5，BC＝12，AC＝13，下列结论正确的是①②④．(写出所有正确结论的序号)①∠ADB＝90°；②∠A＝∠DBC；③点C到直线BD的距离为线段CB的长度；④点B到直线AC的距离为60 13．【分析】①根据垂直的定义即可求解；②根据余角的性质即可求解；③根据点到直线的距离的定义即可求解；④根据三角形面积公式即可求解．【解析】①∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，故①正确；②∵∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠DBC＝90°，∴∠A＝∠DBC，故②正确；③点C到直线BD的距离为线段CD的长度，故③错误；④点B到直线AC的距离为12×5×12×2÷13=6013，故④正确．故答案为：①②④．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)19．(2020春•赣州期末)如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．(1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；(2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；(3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．【分析】(1)从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．(2)从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．(3)从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．【解析】如图所示(1)沿AB走，两点之间线段最短；(2)沿AC走，垂线段最短；(3)沿BD走，垂线段最短．20．(2020秋•长春期末)如图，直线AB与直线MN相交，交点为O，OC⊥AB，OA平分∠MOD，若∠BON ＝20°，求∠COD的度数．【分析】利用对顶角相等可得∠AOM的度数，再利用角平分线的定义和垂线定义进行计算即可．【解析】∵∠BON＝20°，∴∠AOM＝20°，∵OA平分∠MOD，∴∠AOD＝∠MOA＝20°，∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠COD＝90°﹣20°＝70°．21．(2019秋•姜堰区期末)如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB，∠1＝∠2．(1)求∠NOD的度数；(2)若∠AOD＝3∠1，求∠AOC和∠MOD的度数．【分析】(1)利用垂直的定义得出∠2+∠AOC＝90°，进而得出答案；(2)根据题意得出∠1的度数，即可得出AOC和∠MOD的度数．【解析】证明：(1)∵OM⊥AB，∴∠AOM＝∠BOM＝90°，∴∠1+∠AOC＝90°，∵∠1＝∠2，∴∠2+∠AOC＝90°，即∠CON＝90°，∴∠NOD＝180°﹣∠CON＝180°﹣90°＝90°；(2)∵∠AOD＝3∠1，∴∠NOD＝2∠1＝90°，解得：∠1＝45°，∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣45°＝45°；∴∠BOD＝90°﹣45°＝45°，∴∠MOD＝∠BOD+∠BOM＝45°+90°＝135°．故答案为：(1)90°；(2)45°，135°．22．(2020秋•香坊区校级期中)如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，OF⊥OE于O，且∠DOF ＝74°，求∠BOD的度数．【分析】根据角平分线的意义、平角、垂直的意义、对顶角的性质进行计算即可．【解析】∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，又∵∠COE+∠EOF+∠DOF＝180°，∠DOF＝74°，∴∠COE＝180°﹣90°﹣74°＝16°，∵OE平分∠AOC，∴∠AOC＝2∠COE＝32°＝∠BOD，答：∠BOD的度数为32°．23．(2019秋•翠屏区期末)如图，射线OC、OD把∠AOB分成三个角，且度数之比是∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，且OM⊥ON．(1)求∠COD的度数；(2)求∠AOB的补角的度数．【分析】(1)设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，依据∠MON＝90°，即可得到x的值，进而得出∠COD的度数；(2)依据∠AOB的度数，即可得到∠AOB的补角的度数．【解析】(1)设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，则∠AOB＝9x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，又∵OM⊥ON，∴∠MON＝90°，即6x＝90°，解得x＝15°，∴∠COD＝45°；(2)∵∠AOB＝9×15°＝135°，∴∠AOB的补角的度数为45°．24．(2019秋•市中区期末)将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起．(1)如图(1)，若∠BOD＝35°，则∠AOC＝145°；若∠AOC＝135°，则∠BOD＝45°；(直接写出结论即可)(2)如图(2)，若∠AOC＝140°，则∠BOD＝40°；(直接写出结论即可)(3)猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图(1)说明理由；(4)三角尺AOB不动，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后绕点O按顺时针或逆时针方向任意转动一个角度，当锐角∠AOD等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠AOD角度所有可能的值，不用说明理由．【分析】(1)由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；(2)根据∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD计算可得；(3)由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC可知两角互补；(4)分别利用OD⊥AB、CD⊥OB、CD⊥AB、OC⊥AB分别求出即可．【解析】(1)若∠BOD＝35°，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠AOB+∠COD﹣∠BOD＝90°+90°﹣35°＝145°，若∠AOC＝135°，则∠BOD＝∠AOB+∠COD﹣∠AOC＝90°+90°﹣135°＝45°；故答案为：145°；45°；(2)如图2，若∠AOC＝140°，则∠BOD＝360°﹣∠AOC﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣140°﹣90°﹣90°＝40°；故答案为：40°；(3)∠AOC与∠BOD互补．∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC＝180°．∵∠AOD+∠BOD+∠BOC＝∠AOC，∴∠AOC+∠BOD＝180°，即∠AOC与∠BOD互补．(4)OD⊥AB时，∠AOD＝30°，CD⊥OB时，∠AOD＝45°，CD⊥AB时，∠AOD＝75°，OC⊥AB时，∠AOD＝60°，即∠AOD角度所有可能的值为：30°、45°、60°、75°．。

北师大版七年级数学下册2.1《两条直线的位置关系(第2课时)》习题含答案

2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题含答案一、选择题1.如图，直线AB 和直线CD 相较于点O ，E 是∠AOD 内一点，已知OE ⊥AB,∠BOD =40°，则∠COE 的度数是（） A.120 ° B.140 ° C.150° D.130°2.OA ⊥OB ，OC ⊥OD,则下列叙述正确的是（） A.∠AOC =∠AOD B.∠AOD =∠BODC.∠AOC =∠BODD.以上都不对3．如图，∠BAC =90°，AD ⊥BC ，则下列的结论中正确的个数是（） ①点B 到AC 的垂线段是线段AB ；②线段AC 是点C 到AB 的垂线段； ③线段AD 是点D 到BC 的垂线段；④线段BD 是点B 到AD 的垂线段．A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4．如图，把水渠中的水引到水池C ，先过C 点向渠岸AB 画垂线，垂足为D ，再沿垂线CD 开沟才能使沟最短，其依据是（） A. 垂线最短 B.过一点确定一条直线与已知直线垂盲 C.垂线段最短 D.以上说法都不对5.P 为直线l 外一点，点A,B,C 为直线l 上三点，PA=5cm,PB=4cm,PC=2cm ，则P 到直线l 的距离（）A.2cmB.小于2cmC.不大于2cmD.4cm6．如图，已知0A ⊥m ，OB ⊥m ，所以OA 与OB 重合，其理由是（） A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条垂线C.平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直D.垂线段最短7.画一条线段的垂线，垂足在（） A. 线段上 B. 线段的端点 C. 线段的延长线上 D. 以上都有可能1题图2题图3题图4题图6题图8.下列说法正确的是( )A.平面内过直线l 上一点做l 的垂线不止一条B.直线l 的垂线有无数条C.如果两条线段不相交，那么这两条线段就不能互相垂直D.以上说法都不对二、填空题9.如图，直线a ⊥b ，∠1=50°，则∠2= 度．10.如图，点A ，B ，C 在一条直线上，已知∠1=53°，∠2=37°，则CD 与CE 的位置关系是 _________ ．11.如图，已知BA ⊥BD ，CB ⊥CD ，AB=8，BC=6，则点A 到BD 的距离为_________ ，点B 到CD 的距离为_________ .12．如图，两条直线AB ，CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC ，OF ⊥CD ，∠COE =65°，∠AOF 等于_________ .9题图10题图11题图 12题图13.如图，∠ADB =90°，用“＜”连接AB ，AC ，AD ，结果是 _________ ．三、解答题14.如图，OA ⊥OB ，OB 平分∠MON ，若∠AON =120°，求∠AOM 的度数．15.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OM ⊥AB 于O ．（1）若∠1=∠2，求∠NOD ；（2）若∠BOC =4∠1，求∠AOC 与∠MOD ．16.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF =65°,求∠BOE 和∠AOC 的度数？17.如图，点O 为直线AB 上一点，OC 为一射线，OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ．（1）若∠BOC =50°，试探究OE ，0F 的位置关系；（2）若∠BOC 为任意角α（0°＜α＜180°），（1）中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．由此你发现什么规律？18.如图，直线AB ，CD 相交于O 点，Q 是CD 上的一点. (1) .过点Q 画直线AB 的垂线，垂足为E; (2) .过点O 画直线CD 的垂线.19.如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A 向B 行驶，M ，N 是分别位于公路AB 两侧的两所学校．（1）汽车在公路上行驶时，噪声会对两所学校教学都造成影响，当汽车行驶到何处时，分别对两所学校影响最大？请在图上标出来．（2）当汽车从A 向B 行驶时，在哪一段上对两学校影响越来越大？在哪一段上对两学校影响越来越小？在哪一段上对M 学校影响逐渐减小而对N 学校影响逐渐增大？2.1《两条直线的位置关系（第二课时）》习题答案二、填空题9.40°10.垂直11.8；6.12.40°13.AD＜AC＜AB三、解答题14.解:∵OA⊥OB∴∠AOB=90°∵∠AON=120∴∠BON=120°-90°=30°∵OB平分∠MON∴∠MOB=∠NOB=30°,∴∠AOM=90°-30°=60°15.解:(1)∵OM⊥AB,∴∠1+∠AOC=90°又∠1=∠2∴∠2+∠AOC=90°,∴∠NOD=180°-(∠2+∠AOC)=180°-90=90°(2)由已知∠BOC=4∠1,即90°+∠1=4∠1,可得∠1=30°所以∠AOC=90°-30°=60°,由对顶角相等得∠BOD=60°故∠MOD=90°+60°=150°16.解:(1)∵OF ⊥AB,∴∠BOF =90° ∵∠DOF =65°,∴∠BOD =∠BOF -∠DOF =90°-65=25° ∵OE ⊥CD, ∴∠DOE =90°,那么∠BOE =∠DOE -∠BOD =90°-25°=65°(2)直线AB 与CD 相交于点O,∠AOC 与∠BOD 是对顶角即∠AOC =∠BOD =25° 17.解:(1)OE ⊥OF ∵∠BOC =50°,∴∠AOC =180°-50°=130 ∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =65°,∠COF =21∠COB =25° ∴∠EOF =65°+25°=90° ∴OE ⊥OF(2)∵∠BOC =a ∴∠AOC =180-a∵OE 平分∠AOC ,OF 平分∠BOC ∴∠EOC =21∠AOC =90°-21a, ∠COF =21∠COB =21a ∴∠EOF =90°-21a+21a=90° ∴OE ⊥OF规律：邻补角的角平分线互相垂直 18.解：(1)直线QE是所求的直线(2)直线OF是所求的直线19.解：（1）作MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，所以在C处对M学校的影响最大，在D处对N学校影响最大；（2）由A向C行驶时，对两学校影响逐渐增大；由D向B行驶时，对两学校的影响逐渐减少；由C向D行驶时，对M学校的影响减小，对N学校的影响增大。

高中数学同步教学两条直线的位置关系第2课时两条直线垂直的条件

第二课时两条直线垂直的条件
目标导航
课标要求素养达成
1.理解两条直线垂直的条件. 2.会利用斜率判断两条直线垂直.
通过两条直线垂直的学习,培养了学生的数形结合思想的养成,促进数学抽象、数学运算等核心素养的达成.
新知探求课堂探究
新知探求·素养养成
知识探究
1.已知两条直线:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则两条直线垂直的条件是: A1A2+B1B2=0 ,反之若满足A1A2+B1B2=0,则两条直线垂直 . 2.已知两条直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,则两条直线垂直的条件是:
类型三对称问题
【例3】已知直线l:x+2y-2=0,试求: (1)点P(-2,-1)关于直线l的对称点坐标;
解:(1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0,y0),则线段 PP′的中点 M 在直线
l
上,且
PP′⊥l.所以
y0 x0
1 2
1 2
1
x0 2
2
2
y0 1 2
2
所以 kl=- 1 =- 4 ,所以直线 l 的方程为 y-2=- 4 x,即 4x+3y-6=0.
k3 3
3
法三设过l1与l2交点的直线l的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即:(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0.※ 又l与l3互相垂直,所以(1+λ)×3+(λ-2)×(-4)=0, 解得:λ=11,代入※得:4x+3y-6=0.
(A)60° (B)180°

高中数学人教A版必修2课件：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2异面直线所成角(共20张PPT)

【例】如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中：
(1)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？
(2)哪些棱所在的直线与直线A′B垂直？
(3)直线A′B和CC′所成角是多少？
解：(1) 直线AB,BC,CD,DA, A′B′ ,B′C′,
D′
C′ C′D′, D′A′与直线AA′ 都垂直.
(2) 直线AD,BC, B′C′ ,A′D′与直线A′B
抛砖 • 在平面内，如果两个角的两边分别对应引平行，那么这两个角有什么关系？玉
抛砖 • 在空间中，如果两个角的两边分别对应引平行，结论是否仍然成立呢? 玉
1、等角定理：
• 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
• 【定理的推论】如果两条相交直线和另两条相交直线
• 推论2：经过＿两＿条＿相＿交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过＿两＿条＿平＿行直线，有且只有一个平面。
• 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们＿有＿且＿只＿有＿一＿条＿过＿该＿点＿的＿公＿共＿直＿线。
• 公理4：＿平＿行＿于＿同＿一＿直＿线＿的两条直线互相平行。
• 空间中直线与直线的位置关系：
看图说话
1(1)长方体ABCD-A′B′C′D′中，有没有两条棱所
在的直线是互相垂直的异面直线?
(2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？
(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？
C' B'
C
B
D' A'
D
A
精讲点拨
求异面直线夹角的一般步骤是： “作—证—算—答”
2、异面直线所成角：

两条直线的位置关系

两条直线的位置关系1．两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行：(ⅰ)对于两条不重合的直线l 1、l 2，若其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (ⅱ)当直线l 1、l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. ②两条直线垂直：(ⅰ)如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l 1⊥l 2. (2)两条直线的交点直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 2．几种距离(1)两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0(其中C 1≠C 2)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.选择题：设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析充分性：当a ＝1时，直线l 1：x ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行；必要性：当直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行时有a ＝－2或1；所以“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的充分不必要条件已知点(a,2)(a >0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a 等于( ) A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1解析依题意得|a －2＋3|1＋1＝1，解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2，∵a >0，∴a ＝－1＋ 2.已知直线l 1：(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 2：2x ＋(5＋m )y ＝8平行，则实数m 的值为( )A ．－7B ．－1C ．－1或－7 D.133解析 l 1的斜率为－3＋m 4，在y 轴上的截距为5－3m 4，l 2的斜率为－25＋m ，在y 轴上的截距为85＋m .又∵l 1∥l 2，由－3＋m 4＝－25＋m得，m 2＋8m ＋7＝0，得m ＝－1或－7.m ＝－1时，5－3m 4＝85＋m ＝2，l 1与l 2重合，故不符合题意；m ＝－7时，5－3m 4＝132≠85＋m ＝－4，符合题意已知两条直线l 1：(a －1)·x ＋2y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋3＝0平行，则a 等于( ) A ．－1 B ．2 C ．0或－2 D ．－1或2解析若a ＝0，两直线方程为－x ＋2y ＋1＝0和x ＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a ≠0.当a ≠0时，若两直线平行，则有a －11＝2a ≠13，解得a ＝－1或a ＝2，选D.已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫b －a 3－1a ＝0D ．|b －a 3|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b －a 3－1a ＝0解析若以O 为直角顶点，则B 在x 轴上，则a 必为0，此时O ，B 重合，不符合题意；若∠A ＝π2，则b ＝a 3≠0，若∠B ＝π2，根据垂直关系可知a 2·a 3－b a ＝－1，所以a (a 3－b )＝－1，即b －a 3－1a ＝0，以上两种情况皆有可能，故只有C 满足条件．已知过点A (m ＋1，0)，B (－5，m )的直线与过点C (－4，3)，D (0，5)的直线平行，则m 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．1 解析由题意得：k AB ＝m －0－5－(m ＋1)＝m－6－m ，k CD ＝5－30－(－4)＝12.由于AB ∥CD ，即k AB ＝k CD ，所以m－6－m＝12，所以m ＝－2当0＜k ＜12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得两直线的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k k －1，2k －1k －1，因为0＜k ＜12，所以k k －1＜0，2k －1k －1＞0，故交点在第二象限．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2经过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析直线l 1：y ＝k (x －4)经过定点(4,0)，其关于点(2,1)对称的点为(0,2)，又直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2,1)对称，故直线l 2经过定点(0,2)．从点(2，3)射出的光线沿与向量a ＝(8，4)平行的直线射到y 轴上，则反射光线所在的直线方程为( ) A ．x ＋2y －4＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x ＋6y －16＝0 D ．6x ＋y －8＝0 解析由直线与向量a ＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k ＝12，所以直线的方程为y －3＝12(x －2)，其与y 轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y 轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A 正确．填空题：已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，则2a ＋3b 的最小值为_____解析由于直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0互相平行，所以a (b －3)＝2b ，即2a ＋3b ＝1(a ，b 均为正数)，所以2a ＋3b ＝(2a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋3b ＝13＋6⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥13＋6×2b a ·a b ＝25(当且仅当b a ＝ab ，即a＝b ＝5时取等号)若直线(3a ＋2)x ＋(1－4a )y ＋8＝0与(5a －2)x ＋(a ＋4)y －7＝0垂直，则a ＝________ 解析由两直线垂直的充要条件，得(3a ＋2)(5a －2)＋(1－4a )(a ＋4)＝0，解得a ＝0或a ＝1.已知两直线方程分别为l 1：x ＋y ＝1，l 2：ax ＋2y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝________. 解析 ∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，即a2＝－1，解得a ＝－2.已知直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是________解析由方程组⎩⎨⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y ＝－12x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－4k 2k ＋1，y ＝6k ＋12k ＋1.(若2k ＋1＝0，即k ＝－12，则两直线平行)，∴交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2－4k 2k ＋1，6k ＋12k ＋1，又∵交点位于第一象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－4k2k ＋1＞0，6k ＋12k ＋1＞0，解得－16＜k ＜12.直线l 过点P (－1，2)且到点A (2，3)和点B (－4，5)的距离相等，则直线l 的方程为______ 解析当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意．过点P (0，1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________解析设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0与直线l 1：3x ＋2y －6＝0和直线l 2：6x ＋4y －3＝0等距离的直线方程是________解析 l 2：6x ＋4y －3＝0化为3x ＋2y －32＝0，所以l 1与l 2平行，设与l 1，l 2等距离的直线l 的方程为3x ＋2y ＋c ＝0，则：|c ＋6|＝|c ＋32|，解得c ＝－154，所以l 的方程为12x ＋8y －15＝0.已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，若l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a ＋b ＝________解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (a －1)＝0，4a 2＋(－b )2＝|b |(a －1)2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2经检验，两种情况均符合题意，∴a ＋b 的值为0或83已知直线l 1：ax ＋y －1＝0，直线l 2：x －y －3＝0，若直线l 1的倾斜角为π4，则a ＝______；若l 1⊥l 2，则a ＝________；若l 1∥l 2，则两平行直线间的距离为_______解析若直线l 1的倾斜角为π4，则－a ＝k ＝tan45°＝1，故a ＝－1；若l 1⊥l 2，则a ×1＋1×(－1)＝0，故a ＝1；若l 1∥l 2，则a ＝－1，l 1：x －y ＋1＝0，两平行直线间的距离d ＝|1－(－3)|1＋1＝2 2.已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________解析设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413.解答题：已知两直线l 1：x ＋y sin α－1＝0和l 2：2x ·sin α＋y ＋1＝0，求α的值，使得： (1)l 1∥l 2； (2)l 1⊥l 2.解 (1)当sin α＝0时，直线l 1的斜率不存在，l 2的斜率为0，显然l 1不平行于l 2.当sinα≠0时，k1＝－1sinα，k2＝－2sinα，要使l1∥l2，需－1sinα＝－2sinα，即sinα＝±22.所以α＝kπ±π4，k∈Z，此时两直线的斜率相等．故当α＝kπ±π4，k∈Z时，l1∥l2.(2)因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z. 故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y－3＝0所截的线段的中点在直线l3：x－y－1＝0上，求其方程．解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x＋2y－2＝0.设所求直线方程为(x＋2y－2)＋λ(x－y－1)＝0，即(1＋λ)x＋(2－λ)y－2－λ＝0.又直线过(－1,1)，∴(1＋λ)(－1)＋(2－λ)·1－2－λ＝0，解得λ＝－13.∴所求直线方程为2x＋7y－5＝0.正方形的中心为点C(－1,0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程解点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝|－1－5|1＋9＝3105.设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0(m≠－5)，则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝|－1＋m|1＋9＝3105，解得m＝－5(舍去)或m＝7，所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0. 设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝|－3＋n|1＋9＝3105，解得n＝－3或n＝9，所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程解在直线m 上任取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上．设对称点M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22－3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝613，b ＝3013，∴M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)．∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0.求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1，2)的直线l 的方程．解依题意，设所求直线方程为3x ＋4y ＋c ＝0 (c ≠1)，又因为直线过点(1，2)，所以3×1＋4×2＋c ＝0，解得c ＝－11. 因此，所求直线方程为3x ＋4y －11＝0.求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．解解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P (0，2)．因为l 3的斜率为34，且l ⊥l 3，所以直线l 的斜率为－43，由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2，即4x ＋3y －6＝0.已知△ABC 的顶点A (5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解依题意知：k AC ＝－2，A (5，1)，∴l AC 为2x ＋y －11＝0，联立l AC 、l CM 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，∴C (4，3)．设B (x 0，y 0)，AB 的中点M 为(x 0＋52，y 0＋12)，代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，∴B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．解 (1)易知l 不可能为l 2，可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∵点A (5,0)到l 的距离为3，∴|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝12，∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤P A (当l ⊥P A 时等号成立)．∴d max ＝P A ＝(5－2)2＋(0－1)2＝10.专项能力提升若点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，则m 2＋n 2的最小值是 ( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3 解析因为点(m ，n )在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0.欲求m 2＋n 2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值，而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n )到原点的距离，如图．当过原点的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n )的距离最小为2.所以m 2＋n 2的最小值为4.已知直线l ：y ＝12x －1，(1)求点P (3,4)关于l 对称的点Q ； (2)求l 关于点(2,3)对称的直线方程．解 (1)设Q (x 0，y 0)，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有⎩⎪⎨⎪⎧y 0－4x 0－3＝－2，y 0＋42＝12·x 0＋32－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝295，y 0＝－85，∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫295，－85.(2)在l 上任取一点，如M (0，－1)，则M 关于点(2,3)对称的点为N (4,7)．∵当对称点不在直线上时，关于点对称的两直线必平行，∴所求直线过点N 且与l 平行， ∴所求方程为y －7＝12(x －4)，即为x －2y ＋10＝0.。

北师大版七年级数学下册2.1两条直线的位置关系(第二课时)课件

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
ZYT
探究新知
如图，过点 A 作 l 的垂线，垂足为 B，线段AB的长度叫做点 A 到直线 l的距离．
ZYT
探究新知
你知道体育课上老师是怎样测量跳远成绩的？你能说说其中的道理吗？
线段PO的长度即为所求
O P
ZYT
典例精析
例2 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
探究新知
垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 提示： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指唯一性.
ZYT
探究新知
知识点 3 点到直线的距离
如图，点 P 是直线 l 外一点，PO⊥l，点 O 是垂足．点 A，B，C 在直线 l 上，比较线段 PO，PA，PB，PC 的长短，你发现了什么？
A
M
B ∴直线MF为所求垂线.
D CNF
ZYT
典例精析
例2 如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离.
C
8m B
0m 10m 20m 30m
A 25m
ZYT
巩固练习
马路两旁两名同学A、B，若A同学到马路对边怎样走最近？若
A同学到B同学处怎样走最近？
解：过点A作AC⊥BC，垂足为C，A
ZYT
探究新知
知识点 1 垂线的定义
观察下面图片，你能找出其中相交的线吗？它们有什么特殊的位置关系？
a
b
两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

必修二数学空间两直线的位置关系知识点

必修二数学空间两直线的位置关系知识点必修二数学空间两直线的位置关系知识点漫长的学习生涯中，不管我们学什么，都需要掌握一些知识点，知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。

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空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的`两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

北师大版七年级数学下册第二章 2.1.2两条直线的位置关系(二) 同步练习题(含答案)

2020-2021学年北师大版七年级数学下册第二章 2.1.2两条直线的位置关系(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)在同一平面内，经过一点能作_______条直线与已知直线垂直．(2)如图，OA⊥OC，∠1＝∠2，则OB与OD的位置关系是_______．2.(1)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为_______．第2(1)题图第2(2)题图(2) 如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE.若∠BOD＝28°，则∠EOF 的度数为_______．3.如图，已知直线AB，CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，则∠AOE的度数为_______.4．(1) 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D.①点C到直线AB的距离是线段_______的长度；②点B到直线AC的距离是线段_______的长度．第4(1)题图第4(2)题图(2)如图，运动会上，小明以直线AB为起跳线，从A处起跳，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝2.5米，PB＝2.1米，则小明的跳远成绩实际应为_______米．二、选择题5.如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是( )A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°第5题图第6题图6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为( ) A．40°B．50°C．60°D．140°7. P为直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝3 cm, PB＝4 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离为( )A．2 cm B．3 cm C．小于3 cm D．不大于3 cm8.若点A到直线l的距离为7 cm，点B到直线l的距离为3 cm，则线段AB的长度为( ) A．10 cm B．4 cm C．10 cm或4 cm D．至少4 cm三、解答题9.如图，在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为O.10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图1，若∠BOC＝65°，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝_______(2)如图2，若∠BOC＝65°，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB 的平分线，则∠BON＝_______(3)如图2，若∠BOC＝α，仍然将三角板MON旋转到OC为∠MOB的平分线的位置，求∠AOM.(写出过程)B组(中档题)一、填空题11．(1)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为_______(2)如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有3个直角，图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段_______的长表示点A到BC的距离．12．如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，则线段CD 长度的最小值是_______13．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝∠AOB－2∠EOF，其中正确的结论有_______．(把所有正确结论的序号都填在横线上)二、解答题14.(1)如图甲，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，请用三角尺作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)，并说明理由；(2)如图乙，若小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到河边D处观察河的水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明理由．甲乙C组(综合题)15．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系；(2)若∠BOC为任意角α(0°＜α＜180°)，(1)中OE，OF的位置关系是否仍成立？请说明理由．参考答案2020-2021学年北师大版七年级数学下册第二章 2.1.2两条直线的位置关系(二) 同步练习题A组(基础题)一、填空题1．(1)在同一平面内，经过一点能作1条直线与已知直线垂直．(2)如图，OA⊥OC，∠1＝∠2，则OB与OD的位置关系是OB⊥OD．2.(1)如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥AB于点O，∠EOD＝50°，则∠BOC的度数为140°．第2(1)题图第2(2)题图(2) 如图，直线AB，CD相交于点O，∠DOF＝90°，OF平分∠AOE.若∠BOD＝28°，则∠EOF 的度数为62°．3.如图，已知直线AB，CD互相垂直，垂足为O，直线EF过点O，∠DOF∶∠BOF＝2∶3，则∠AOE的度数为54°.4．(1) 如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别是C，D.①点C到直线AB的距离是线段CD的长度；②点B到直线AC的距离是线段BC的长度．第4(1)题图第4(2)题图(2)如图，运动会上，小明以直线AB为起跳线，从A处起跳，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为PA＝2.5米，PB＝2.1米，则小明的跳远成绩实际应为2.1米．二、选择题5.如图，直线AB，CD相交于点O，下列条件中，不能说明AB⊥CD的是(C)A．∠AOD＝90° B．∠AOC＝∠BOCC．∠BOC＋∠BOD＝180°D．∠AOC＋∠BOD＝180°第5题图第6题图6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O.若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为(B)A．40°B．50°C．60°D．140°7. P为直线l外一点，A，B，C为直线l上的三点，PA＝3 cm, PB＝4 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离为(D)A．2 cm B．3 cm C．小于3 cm D．不大于3 cm8.若点A到直线l的距离为7 cm，点B到直线l的距离为3 cm，则线段AB的长度为(D) A．10 cm B．4 cm C．10 cm或4 cm D．至少4 cm三、解答题9.如图，在这些图形中，分别过点C画直线AB的垂线，垂足为O.①②③④10．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．(1)如图1，若∠BOC＝65°，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC＝25°；(2)如图2，若∠BOC＝65°，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB 的平分线，则∠BON＝40°；(3)如图2，若∠BOC＝α，仍然将三角板MON旋转到OC为∠MOB的平分线的位置，求∠AOM.(写出过程)解：∵OC是∠MOB的平分线，∴∠BOM＝2∠BOC＝2α.∴∠AOM＝180°－∠BOM＝180°－2α.B组(中档题)一、填空题11．(1)已知OA⊥OC，∠AOB∶∠AOC＝2∶3，则∠BOC的度数为30°或150°．(2)如图，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，图中共有3个直角，图中线段CD的长表示点C到AB的距离，线段AC的长表示点A到BC的距离．12．如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，则线段CD 长度的最小值是4.8．13．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，∠DOF＝90°，OB平分∠DOG，给出下列结论：①当∠AOF＝60°时，∠DOE＝60°；②OD为∠EOG的平分线；③与∠BOD相等的角有3个；④∠COG＝∠AOB－2∠EOF，其中正确的结论有①③④．(把所有正确结论的序号都填在横线上)二、解答题14.(1)如图甲，小刚准备从C处牵牛到河边AB处饮水，请用三角尺作出小刚的最短路线(不考虑其他因素)，并说明理由；(2)如图乙，若小刚从C处牵牛到河边AB处饮水，并且必须先到河边D处观察河的水质情况，请作出小刚行走的最短路线，并说明理由．甲乙解：(1)过点C作AB的垂线段．理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中．垂线段最短(画图略)．(2)连接CD，过点D作AB的垂线段．理由：两点之间，线段最短；直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短(画图略)．C组(综合题)15．如图，点O为直线AB上一点，OC为一射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC.(1)若∠BOC＝50°，试探究OE，OF的位置关系；(2)若∠BOC 为任意角α(0°＜α＜180°)，(1)中OE ，OF 的位置关系是否仍成立？请说明理由．解：(1)∵∠BOC ＝50°，∴∠AOC ＝180°－50°＝130°.∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠AOC ＝65°，∠COF ＝12∠COB ＝25°.∴∠EOF ＝65°＋25°＝90°.∴OE ⊥OF.(2)成立．理由：∵∠BOC ＝α，∴∠AOC ＝180°－α.∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，∴∠EOC ＝12∠AOC ＝90°－12α，∠COF ＝12∠COB ＝12α.∴∠EOF ＝90°－12α＋12α＝90°.∴OE ⊥OF.。

第02讲两条直线的位置关系 (精讲)(学生版)

第02讲两条直线的位置关系 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析题型一：两条直线的位置关系角度1：判断两直线的位置关系角度2：由两直线的位置关系求参数角度3：由两直线的位置关系求直线方程题型二：与距离有关的问题题型三：对称问题角度1：点关于直线对称角度2：直线关于直线对称题型四：直线系方程的应用角度1：平行、垂直直线系方程角度2：过两直线交点的直线系方程第四部分：高考真题感悟知识点一：两条直线平行与垂直的判断1、两条直线平行对于两条不重合的直线1l ，2l ，其斜率分别为1k ，2k ，有1212l l k k ⇔=.对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)1212l l k k ⇔=成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在； ②1l 与2l 不重合．(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，1l 与2l 的倾斜角都是90，则12l l . (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：1212l l k k ⇔=或1l ，2l 斜率都不存在.2、两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于1-；反之，如果它们的斜率之积等于1-，那么它们互相垂直，即12121l l k k ⊥⇔⋅=-.对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点(1)12121l l k k ⊥⇔⋅=-成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②10k ≠且20k ≠. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为：12121l l k k ⊥⇔⋅=-或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和2l ：2220A x B y C ++=（22220A B +≠）的公共点的坐标与方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解一一对应.1l 与2l 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 1l 与2l 平行⇔方程组无解； 1l 与2l 重合⇔方程组有无数个解.知识点三：距离公式1、两点之间的距离公式：平面上任意两点111(,)P x y ，222(,)P x y间的距离公式为12||PP =特别地，原点(0,0)O 与任一点(,)P x y的距离||OP =2、点到直线的距离公式平面上任意一点000(,)P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离d =.3、两条平行线间的距离一般地，两条平行直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和2l ：2220A x B y C ++=（22220A B +≠）间的距离1222d A B=+.知识点四：对称问题1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点11(,)P x y 关于点00(,)A x y 的对称点(,)Q a b由：100022x a x y b y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩⇒010122a x x b y y =-⎧⎨=-⎩ 2、点关于直线对称问题（联立两个方程）求点11(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=的对称点(,)Q a b ①设PQ 中点为A 利用中点坐标公式得11(,)22x a y b A ++，将11(,)22x a y bA ++代入直线l ：0Ax By C ++=中；②1PQ l k k ⋅=- 整理得：1111022()1x ay b A B C y b A x a B ++⎧++=⎪⎪⎨-⎪⋅-=--⎪⎩ 3、直线关于点对称问题(求1l 关于点()b a P ,的对称直线2l ，则12l l ）方法一：在直线1l 上找一点A ，求点A 关于点P 对称的点B ，根据1212//l l k k ⇒=，再由点斜式求解；方法二：由21//l l 21//l l ，设出2l 的直线方程，由点P 到两直线的距离相等12d d =求参数.方法三：在直线2l 任意一点()y x ,，求该点关于点P 对称的点()y b x a --2,2，则该点()y b x a --2,2在直线1l 上.4、直线关于直线对称问题4.1直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和l ：0Ax By C ++=（22220A B +≠）相交,求1l 关于直线l 的对称直线2l ①求出1l 与l 的交点P②在1l 上任意取一点M (非P 点），求出M 关于直线l 的对称点N ③根据P ，N 两点求出直线2l4.2直线1l ：1110A x B y C ++=（22110A B +≠）和l ：0Ax By C ++=（22220A B +≠）平行,求1l 关于直线l 的对称直线2l ①21k k =②在直线1l 上任取一点M ，求点M 关于直线l 的对称点N ，利用点斜式求直线2l .1．（2022·广东汕头·高二期末）2a =-是直线230ax y++=和()5370x a y a +-+-=平行的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·河北保定·高一阶段练习）“1m =”是“直线1l ：()410m x my -++=与直线2l ：()220mx m y ++-=互相垂直”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线20x y m -+=（0m >）与直线30x ny +-=互相平行，且它们之m n +=______.4．（2022·10y +-=与直线30my ++=平行，则它们之间的距离是（） A ．1B ．54C ．3D ．45．（2022·全国·高三专题练习）若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（） A ．10x y -+= B ．10x y +-= C ．2210x y -+=D ．220x y +-=题型一：两条直线的位置关系角度1：判断两直线的位置关系典型例题例题1．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线12:10,:10++=--=l x y l x y ，则1l 与2l （）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直例题2．（2022·全国·高二课时练习）直线210ax y --=和直线230y x b -+=平行，则直线y ax b =+和直线31y x 的位置关系是（）A ．重合B ．平行C ．平行或重合D ．相交同类题型归类练1．（2022·全国·高二课时练习）设a 、b 、c 分别为ABC 中A ∠、B 、C ∠所对边的边长，则sin 0x A ay c ++=与sin sin 0bx y B C -+=的位置关系是（） A ．相交但不垂直 B ．垂直 C ．平行D ．重合2．（2022·全国·高二课时练习）ABC 中，a 、b 、c 是内角A 、B 、C 的对边，且lgsin A 、lgsin B 、lgsin C成等差数列，则直线21:(sin )(sin )0l A x A y a +-=与22:(sin )(sin )0l B x C y c +-=的位置关系是（）．A ．重合B ．相交不垂直C ．垂直D ．平行角度2：由两直线的位置关系求参数典型例题例题1．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线20x ay +-=与直线210a x y ++=平行，则=a （） A ．1-或0B ．1-C ．1或0D ．1例题2．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线220ax y +-= 与直线2(3)20x a y --+=互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a 的值为（） A ．1B ．3C ．－1D ．－3例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知0a >、0b >，直线1:(4)10l x a y +-+=，2:220l bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（） A ．2 B ．4 C ．25D ．45例题4．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设直线()1:1320l a x y +++=，直线2:210l x y ++=，若12l l //，则=a _______.同类题型归类练1．（2022·湖北孝感·高二期末）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·全国·高三专题练习）已知1:3250l x ay +-=，()2:3120l a x ay ---=，则满足12l l ∥的a 的值是（）A ．16-B ．0C ．16-或0D ．16或03．（2022·江苏·高二）已知直线():120l x a y +-+=，20l y +=，且12l l ⊥，则22a b +的最小值为（）A ．14B ．12C D ．13164．（2022·山东德州·高二期末）函数22()34e x f x x x =-+在点（0，f （0））处的切线与直线22x ay =-平行，则a =______．5．（2022·全国·高二课时练习）“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的______条件． 6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线()1:2350l a x y --+=和()2:3170l x b y -+-=互相垂直，且,a b +∈R ，则21a b+的最小值为____________.角度3：由两直线的位置关系求直线方程典型例题例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知直线:(21)(1)1170l x y λλλ-+-+-=，R λ∈. (1)若直线l 与直线1:(1)10l x y λ+++=垂直，求实数λ的值(2)若直线l 在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，求直线l 的方程.例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1:20l mx y m ++=，()2:3170l mx m y +-+=，分别求实数m 的值，使得： (1)12//l l ；(2)12l l ⊥．例题3．（2022·全国·高二课时练习）求过1:2320l x y -+=与2:3420l x y --=的交点且与直线440x y +-=平行的直线方程．例题4．（2022·全国·高二课时练习）求经过两条直线2310x y -+=和20x y +-=的交点，且与直线230x y ++=垂直的直线的方程．同类题型归类练1．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线l 经过点(23)P ，． (1)若点(11)A ，在直线l 上，求直线l 的方程； (2)若直线l 与直线2310x y -+=平行，求直线l 的方程．2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线1l ：()410m x y --+=和2l ：()()4110m x m y +++-=． (1)若12l l ∥，求实数m 的值； (2)若12l l ⊥，求实数m 的值．3．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线()21:(2)340l m x m m y ++-+=和直线2:22(3)20()l mx m y m m +-++=∈R .(1)当m 为何值时，直线1l 和2l 平行？ (2)当m 为何值时，直线1l 和2l 重合？题型二：与距离有关的问题典型例题例题1．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点()1,A a 到直线4310x y +-=的距离为3，则a 的值为__________．例题2．（2022·江苏·高二专题练习）点P 为直线3420x y+=-上任意一个动点，则P 到点(3,1)-的距离的最小值为___________.例题3．（2022·全国·高二专题练习）两条平行线12l l ，分别过点()()1223P Q --，，，，它们分别绕 P Q ，旋转，但始终保持平行，则12l l ，之间距离的取值范围是____．例题4．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对(,)x y 满足10x y ++=值；（2）求y例题6．（2022·山东聊城·二模）实数1x ，2x ，1y ，2y 满足：2111ln 0x x y --=，2240x y --=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A ．0B ．C ．D ．8同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）到直线3410x y +=－的距离为3且与此直线平行的直线方程是____． 2．（2022·江苏·高二）两条平行线4310x y +-=与8630x y ++=之间的距离是___________.3．（2022·全国·高二课时练习）直线l 过点(1,2)P -且到点(2,3)A 和点(4,5)B -的距离相等，求直线l 的方程． 4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知直线l 经过点()2,5P -，()2,2Q . (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且它们间的距离为4，求直线m 的方程.5．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若实数a b c d ,,,满足22ln ,32b a a d c =-=-，则()()22a cb d -+-的最小值为___________.6．（2022·全国·高二专题练习）设R a b ∈，_______.题型三：对称问题角度1：点关于直线对称典型例题例题1．（2022·江苏·高二）点(3,9)关于直线3100x y +-=对称的点的坐标是______．例题2．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点(1,2)A 出发，被直线y x =反射后到达点(3,6)B ，则这束光线从A 到B 所经过的距离为（）A ．BC ．4D ．5例题3．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点()3,2与点()1,4重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.同类题型归类练1．（2022·全国·高二专题练习）原点关于210x y -+=的对称点的坐标为_____．2．（2022·全国·高二单元测试）点(2,2)A 关于直线2y x =+的对称点的坐标为______．角度2：直线关于直线对称典型例题例题1．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线21y x =+关于直线y x =对称的直线方程为（） A ．310x y -+= B ．310--=x y C ．210x y --= D ．210x y -+=例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线1l ：30ax y -+=与直线2l 关于直线l ：10x y +-=对称，直线2l 与直线3l ：310x y +-=垂直，则a 的值为（）A ．13-B ．13 C ．3 D ．3-例题3：（2022·江苏·高二）已知点()0,2A ，直线1:10l x y --=，直线2:220l x y -+=.(1)求点A 关于直线1l 的对称点B 的坐标；(2)求直线2l 关于直线1l 的对称直线方程.同类题型归类练1．（2022·陕西·长安一中高一期末）直线1:10l x y +-=关于直线2:330l x y --=的对称直线方程为__________．2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线:33l y x =+，求：(1)直线l 关于点(3,2)M 对称的直线的方程；(2)直线20x y --=关于直线l 对称的直线的方程．3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l ：220x y +-=和直线1l ：2y x =-.(1)求直线l 关于点()1,1A 对称的直线2l 的方程；(2)求直线l 关于直线1l 对称的直线3l 的方程.题型四：直线系方程的应用角度1：平行、垂直直线系方程典型例题例题1求过直线1l ：240x y -+=和2l ：20x y +-=的交点P ，且与直线3l ：3450x y -+=垂直的直线l 方程．例题2：求过点(1,4)A -且与直线2350x y ++=平行的直线方程．同类题型归类练1、求与直线3410x y ++=平行且过点(1,2)的直线l 的方程。

北师大版七年级数学下册课件：总第18课时1 两条直线的位置关系(第2课时)

图4
6．如图 5 所示，OA⊥OB，OC⊥OD，OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE＝17°. 求∠AOC 的度数．
图5
解：∵OA⊥OB，OC⊥OD， ∴∠AOB＝∠COD＝90°， ∵OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE＝17°， ∴∠BOD＝2∠BOE＝34°， ∴∠AOC＝360°－90°－90°－34°＝146°.
图3
5．如图 4 所示，计划把池中的水引到 C 处，可过点 C 引 CD⊥AB 于点 D，然后沿 CD 开渠，可使所开的渠道最短．这种设计的依据是__直__线___外__一___点__与___直__线_ 上 _各___点__连___接__的___所__有___线__段___中___，__垂___线__段_．最短
A．线段 PA 的长度
B．线段 PB 的长度
C．线段 PC 的长度
D．线段 PD 的长度
图1
3．如图 2 所示，AD⊥MN，垂足为 D，点 A 到 MN 的垂线段是__A__D___，斜线段有__A__B__，__A__C__，__A__E_.
图2
4．如图 3 所示，在△ABC 中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，则点 B 到 AC 的距离是__3__，点 A 到 BC 的距离是__4__，A，B 两点间的距离是_5___.
∴∠3＝90°－∠2＝90°－35°＝55°.
5．如图 18-9，过点 A 作 CB 的垂线，并指出哪条线段的长度表示点 A 到 CB 的距离．
图 18-9
解：过点 A 作 CB 的垂线，交 CB 的延长线于点 E，如答图．根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，可得 AE 的长度表示点 A 到 CB 的距离．

高考数学一轮复习第8章解析几何第2讲两条直线的位置关系

第二讲两条直线的位置关系知识梳理·双基自测知识梳理知识点一两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括__平行、相交、重合__三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,且b 1≠b 2．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0, l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0,且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1,l 2：y ＝k 2x ＋b 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1．对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,l 1⊥l 2⇔__A 1A 2＋B 1B 2＝0__．知识点二两条直线的交点直线l 1和l 2的交点坐标即为两直线方程组成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．相交⇔方程组有__唯一解__；平行⇔方程组__无解__；重合⇔方程组有__无数个解__．知识点三三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22．特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x 2＋y 2． (2)点P(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B 2． (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2．重要结论1．求解距离问题的规律运用点到直线的距离公式时,需把直线方程化为一般式；运用两平行线间的距离公式时,需先把两平行线方程中x,y 的系数化为相同的形式．2．对称问题的求解规律(1)中心对称：转化为中点问题处理．(2)轴对称：转化为垂直平分线问题处理．特殊地：点P(a,b)关于直线x ＋y ＋m ＝0对称的点坐标为(－b －m,－a －m),点P(a,b)关于直线x －y ＋m ＝0对称的点坐标为(b －m,a ＋m)．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两直线的斜率相等,则两直线平行,反之,亦然．( × )(2)如果两条直线l 1与l 2垂直,那么它们的斜率之积一定等于－1．( × )(3)已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1,B 1,C 1,A 2,B 2,C 2为常数),若直线l 1⊥l 2,则A 1A 2＋B 1B 2＝0．( √ )(4)点P(x 0,y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b|1＋k2．( × ) (5)若点A,B 关于直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0)对称,则直线AB 的斜率等于－1k ,且线段AB 的中点在直线l上．( √ )题组二走进教材2．(课本习题改编)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( A ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝03．(必修2P 110B 组T2)已知点(a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1,则a 等于( C ) A ． 2 B ．2－ 2 C ．2－1D ．2＋1[解析] 由题意得|a －2＋3|1＋1＝1．解得a ＝－1＋2或a ＝－1－2． ∵a ＞0,∴a ＝－1＋2．题组三走向高考4．(2020·高考全国Ⅲ)点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离的最大值为( B ) A ．1 B ． 2 C ． 3D ．2 [解析] 解法一：由y ＝k(x ＋1)可知直线过定点P(－1,0),设A(0,－1),当直线y ＝k(x ＋1)与AP 垂直时,点A 到直线y ＝k(x ＋1)距离最大,即为|AP|＝2,故选B ．解法二：因为点(0,－1)到直线y ＝k(x ＋1)距离d ＝|1＋k|k 2＋1＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2kk 2＋1；∵要求距离的最大值,故需k ＞0；可得d ＝1＋2k ＋1k≤2,当且仅当k ＝1时取等号,故选B ．5．(2018·全国)坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为__(6,－6)__． [解析] 设坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(a,b),则⎩⎪⎨⎪⎧b a ×1＝－1a 2－b2－6＝0,解得a ＝6,b ＝－6,∴坐标原点关于直线x －y －6＝0的对称点的坐标为(6,－6)．考点突破·互动探究考点一两条直线平行、垂直的关系——自主练透例1 (1)(2021·高安期中)经过抛物线y 2＝2x 的焦点且平行于直线3x －2y ＋5＝0的直线l 的方程是( A )A ．6x －4y －3＝0B ．3x －2y －3＝0C ．2x ＋3y －2＝0D ．2x ＋3y －1＝0(2)“m＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件(3)(2021·青岛调研)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行,则m ＝( C ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3(4)(多选题)等腰直角三角形斜边的中点是M(4,2),一条直角边所在直线的方程为y ＝2x,则另外两边所在直线的方程为( CD )A ．3x ＋y －14＝0B ．x ＋2y －2＝0C ．x －3y ＋2＝0D ．x ＋2y －14＝0[解析] (1)因为抛物线y 2＝2x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0,直线3x －2y ＋5＝0的斜率为32,所以所求直线l的方程为y ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12,化为一般式,得6x －4y －3＝0．(2)由l 1⊥l 2,得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0,∴m ＝3或m ＝－2,∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件．(3)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋1＝6，4m≠－4，解得m ＝2或－3．故选C ．(4)设斜边所在直线的斜率为k,由题意知tan π4＝2－k 1＋2k ＝1,∴k ＝13,∴斜边所在直线方程为y －2＝13(x －4),即x －3y ＋2＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x x －3y ＋2＝0可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫25，45,∴A 关于M 的对称点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫385，165,∴另一条直角边的方程为y －165＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －385,即x ＋2y －14＝0,故选C 、D ．名师点拨(1)当含参数的直线方程为一般式时,若要表示出直线的斜率,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况,同时还要注意x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件．(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．〔变式训练1〕(1)(2021·吉林长春模拟)曲线f(x)＝2sin x 在x ＝π3处的切线与直线ax ＋y －1＝0垂直,则a ＝__1__．(2)(2012·浙江)设a ∈R,则“a＝1”是“直线l 1：ax ＋2y ＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)由题得f′(x)＝2cos x,∴k ＝f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝1．所以1×(－a)＝－1,∴a ＝1． (2)l 1∥l 2⇔a 2＋a －2＝0⇔a ＝1或－2,∴a ＝1是l 1∥l 2的充分不必要条件．故选A ．考点二两直线的交点、距离问题——师生共研例2 (1)两条垂直直线l 1：2x ＋y ＋1＝0与l 2：ax ＋4y －6＝0的交点到原点的距离为__2__．(2)已知点P(2,－1)．①求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程；②求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少？③是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线？若存在,求出方程；若不存在,请说明理由． (3)(2020·上海)已知直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1,若l 1∥l 2,则l 1与l 2的距离为__2__． [解析] (1)kl 1＝－2,kl 2＝－a 4,由l 1⊥l 2知－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4＝－1,∴a ＝－2,∴l 2：x －2y ＋3＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＋1＝0x －2y ＋3＝0得交点A(－1,1),∴|AO|＝2．(2)①过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,－1),显然,过点P(2,－1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x ＝2．若斜率存在,设l 的方程为y ＋1＝k(x －2), 即kx －y －2k －1＝0．由已知得|－2k －1|k 2＋1＝2,解得k ＝34．此时l 的方程为3x －4y －10＝0．综上,可得直线l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0．②作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图．由l ⊥OP,得k l k OP ＝－1, 所以k l ＝－1k OP＝2．由直线方程的点斜式,得y ＋1＝2(x －2),即2x －y －5＝0．所以直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|－5|5＝5．③由②可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线．(3)直线l 1：x ＋ay ＝1,l 2：ax ＋y ＝1, 当l 1∥l 2时,a 2－1＝0,解得a ＝±1；当a ＝1时l 1与l 2重合,不满足题意；当a ＝－1时l 1∥l 2,此时l 1：x －y －1＝0,l 2：x －y ＋1＝0；则l 1与l 2的距离为d ＝|－1－1|12＋－12＝2．名师点拨距离的求法(1)点到直线的距离：可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为一般式． (2)两平行直线间的距离：①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离； ②利用两平行线间的距离公式．提醒：在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形式,且使x 、y 的系数分别相等．〔变式训练2〕(1)(2021·西南名校联盟联考)设直线l 1：3x －y －1＝0与直线l 2：x ＋2y －5＝0的交点为A,则A 到直线l ：x ＋by ＋2＋b ＝0的距离的最大值为( C )A ．4B ．10C ．3 2D ．11(2)(多选题)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0距离相等,则m 的值可以为( AC ) A ．－6 B ．－12C ．12D ．1(3)(2021·绵阳模拟)若P,Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点,则|PQ|的最小值为( C )A ．95B ．185C ．2910D ．295[解析] (1)解法一：显然l 1与l 2的交点A(1,2),又直线l 过点B(－2,－1),∴所求最大距离为|AB|＝32,故选C ．解法二：显然l 1与l 2的交点为A(1,2),则A 到直线l 的距离d ＝|1＋2b ＋2＋b|1＋b2＝31＋b 2＋2b1＋b2＝31＋2b 1＋b2≤32(当且仅当b ＝1时取等号),故选C ． (2)直线mx ＋y ＋3＝0与直线AB 平行或过AB 中点,∴－m ＝4－2－1－3＝－12,即m ＝12；AB 中点(1,3),∴m＋3＋3＝0即m ＝－6,故选A 、C ．(3)因为36＝48≠－125,所以两直线平行,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即|－24－5|62＋82＝2910,所以|PQ|的最小值为2910．考点三对称问题——多维探究角度1 线关于点的对称例3 (2021·河北五校联考)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M,则直线2x ＋3y －6＝0关于M点对称的直线方程为( D )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x －3y －12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x ＋3y ＋12＝0[解析] 由ax ＋y ＋3a －1＝0,可得y －1＝－a(x ＋3),所以M(－3,1),M 不在直线2x ＋3y －6＝0上,设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c≠－6),则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c|4＋9,解得c ＝12或c ＝－6(舍去),所以所求方程为2x ＋3y ＋12＝0,故选D ．另解：在直线2x ＋3y －6＝0上取点A(0,2)、B(3,0),则A 、B 关于M 的对称点分别为A′(－6,0),B′(－9,2),又k A′B′＝2－0－9－－6＝－23,故所求直线方程为y ＝－23(x ＋6),即2x ＋3y ＋12＝0．故选D ．角度2 点关于线的对称例4 (2021·长沙一模)已知入射光线经过点M(－3,4),被直线l ：x －y ＋3＝0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为__6x －y －6＝0__．[解析] 设点M(－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M′(a ,b),则反射光线所在直线过点M′,所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －－3＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1,b ＝0．又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1,即6x －y －6＝0． (代入法)当x ＝－3时,由x －y ＋3＝0得y ＝0, 当y ＝4时,由x －y ＋3＝0得x ＝1．∴M(－3,4)关于直线l 的对称点为M′(1,0)．又k NM′＝6－02－1＝6,∴所求直线方程为y ＝6(x －1),即6x －y －6＝0．[引申]本例中入射光线所在直线的方程为__x －6y ＋27＝0__．[解析] N(2,6)关于直线l 的对称点N′(3,5),又k MN′＝5－43－－3＝16,∴所求直线方程为y －4＝16(x＋3),即x －6y ＋27＝0．角度3 线关于线的对称例5 (2021·合肥模拟)已知直线l ：x －y －1＝0,l 1：2x －y －2＝0．若直线l 2与l 1关于l 对称,则l 2的方程是( B )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0[解析] 解法一：因为l 1与l 2关于l 对称,所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上,故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0,－2)为l 1上一点,设它关于l 的对称点为(x,y),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0),(－1,－1)为l 2上两点,可得l 2的方程为x －2y －1＝0．解法二：在l 1上取两点A(0,－2),B(1,0),则A 、B 关于l 的对称点分别为A′(－1,－1),B′(1,0),∴k A′B′＝0－－11－－1＝12．∴l 2的方程为y －0＝12(x －1),即x －2y －1＝0．故选B ．解法三：设P(x,y)是直线l 2上任一点,则P 关于直线l 的对称点为P′(y＋1,x －1),又P′∈l 1,∴2(y ＋1)－(x －1)－2＝0,即直线l 2的方程为x －2y －1＝0．故选B ．名师点拨对称问题的解法以光线反射为代表的很多实际问题,都可以转化为对称问题,关于对称问题,一般常见的有： (1)中心对称①点P(x,y)关于O(a,b)的对称点P′(x′,y′)满足⎩⎪⎨⎪⎧x′＝2a －x ，y′＝2b －y.②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a,b)关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B≠0)的对称点A′(m ,n),则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×－AB＝－1，A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．特别地,当对称轴的斜率为±1时,可类比关于y ＝x 的对称问题采用代入法,如(1,3)关于y ＝x ＋1的对称点为(3－1,1＋1),即(2,2)．〔变式训练3〕已知直线l ：2x －3y ＋1＝0,点A(－1,－2)．求： (1)(角度2)点A 关于直线l 的对称点A′的坐标；(2)(角度3)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m′的方程； (3)(角度1)直线l 关于点A(－1,－2)对称的直线l′的方程． [解析] (1)设A′(x ,y),由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧ y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413．(2)在直线m 上取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l 的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a ,b),则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M′⎝ ⎛⎭⎪⎫613，3013．设直线m 与直线l 的交点为N,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3),∴由两点式得直线m′的方程为9x －46y ＋102＝0． (3)设P(x,y)在l′上任意一点,则P(x,y)关于点A(－1,－2)的对称点为P′(－2－x,－4－y), ∵点P′在直线l 上,∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0, 即2x －3y －9＝0．名师讲坛·素养提升巧用直线系求直线方程例6 (1)求证：动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0(其中m ∈R)恒过定点,并求出定点坐标；(2)求经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P,且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程．[解析] (1)证明：解法一：令m ＝0,则直线方程为 3x ＋y ＋1＝0．再令m ＝1时,直线方程为6x ＋y ＋4＝0．①和②联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＋1＝0，6x ＋y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.将点A(－1,2)的坐标代入动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0中,(m 2＋2m ＋3)×(－1)＋(1＋m －m 2)×2＋3m 2＋1＝(3－1－2)m 2＋(－2＋2)m ＋2＋1－3＝0, 故动直线(m 2＋2m ＋3)x ＋(1＋m －m 2)y ＋3m 2＋1＝0恒过定点A ．解法二：将动直线方程按m 降幂排列整理,得m 2(x －y ＋3)＋m(2x ＋y)＋3x ＋y ＋1＝0,① 不论m 为何实数,①式恒为零, ∴有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，2x ＋y ＝0，3x ＋y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故动直线恒过点A(－1,2)．(2)解法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得P(0,2)．因为l 3的斜率为34,且l ⊥l 3,所以直线l 的斜率为－43,由斜截式可知l 的方程为y ＝－43x ＋2,即4x ＋3y －6＝0．解法二：设所求直线方程为4x ＋3y ＋m ＝0,将解法一中求得的交点P(0,2)代入上式可得m ＝－6, 故所求直线方程为4x ＋3y －6＝0．解法三：设直线l 的方程为x －2y ＋4＋λ(x＋y －2)＝0, 即(1＋λ)x＋(λ－2)y ＋4－2λ＝0．又∵l ⊥l 3,∴3×(1＋λ)＋(－4)×(λ－2)＝0,解得λ＝11．∴直线l 的方程为4x ＋3y －6＝0．[引申]若将本例(2)中的“垂直”改为“平行”,则直线l 的方程为__3x －4y ＋8＝0__．名师点拨1．确定方程含参数的直线所过定点的方法：(1)将直线方程写成点斜式y －y 0＝f(λ)(x－x 0),从而确定定点(x 0,y 0)．(2)将直线方程整理成关于参数的方程,由方程中各项系数及常数项为0确定定点．(3)给参数取两个不同值,再解直线方程构成的方程组,从而确定定点坐标．2．直线系的主要应用(1)共点直线系方程：经过两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0,l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0,其中A 1B 2－A 2B 1≠0,待定系数λ∈R ．在这个方程中,无论λ取什么实数,都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0,因此它不能表示直线l 2．(2)过定点(x 0,y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．(3)平行直线系方程：与直线y ＝kx ＋b 平行的直线系方程为y ＝kx ＋m(m 为参数且m≠b)；与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ＝0(λ≠C ,λ是参数)．(4)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋λ＝0(λ为参数)．如果在求直线方程的问题中,有一个已知条件,另一个条件待定时,那么可选用直线系方程来求解．〔变式训练4〕(1)(2021·启东模拟)不论m 为何值时,直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过定点( D )A ．⎝⎛⎭⎪⎫1，－12 B ．(－2,0) C ．(2,3) D ．(9,－4)(2)与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线的方程是__5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0__．[解析] (1)解法一：由(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5,得(x ＋2y －1)m －(x ＋y －5)＝0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得定点坐标为(9,－4),故选D ．解法二：令m ＝1,则y ＝－4；令m ＝12,则－12x ＝－92,即x ＝9,∴直线过定点(9,－4),故选D ．解法三：将直线方程化为(2m －1)(y ＋a)＝(1－m)(x ＋b),则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－52a ＋b ＝－1,即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－9,∴y ＋4＝1－m 2m －1(x －9),故直线过点(9,－4),故选D ．(2)设所求直线的方程为5x－12y＋c＝0,则|c－6|52＋122＝2,解得c＝32或－20,故所求直线的方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0．。

两直线的位置关系

例 3 求经过两条直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 的交点，并且垂直于直线 3x＋4y－7＝0 的直线方程．
【思路】 (1)先求两条直线的交点坐标，再由两线的垂直关系得到所求直线的斜率，最后由点斜式可得所求直线方程． (2)因为所求直线与直线 3x＋4y－7＝0 垂直，两条直线的斜率互为负倒数，所以可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0，将两条直线的交点坐标代入求出 m 值，就得到所求直线方程．
5 7 ∴交点为(－， )． 3 9
∵所求直线与 3x＋4y－7＝0 垂直， 4 ∴所求直线的斜率 k＝ . 3 7 4 5 由点斜式，得 y－＝ (x＋ )． 9 3 3 故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
方法二设所求直线的方程为 4x－3y＋m＝0. 5 x＝－3，将方法一中求得的交点坐标 y＝7. 9 5 7 代入上式得 4· (－ )－3·＋m＝0. 3 9 ∴m＝9.代入所设方程．故所求直线的方程为 4x－3y＋9＝0.
1 2 【答案】 a＝2，垂足坐标为( ，－ )或 a＝－3，垂足坐 2 3 9 2 标为(－， ) 17 17
例 2
(2013· 北京东城区)若 O(0,0)，A(4，－1)两点到直线
ax＋a2y＋6＝0 的距离相等，则实数 a＝________.
|4a－a2＋6| 6 2 【解析】由题意，得 2 4＝，即 4 a － a ＋ 2 4 a ＋a a ＋a 6＝± 6，解之得 a＝0 或－2 或 4 或 6.检验得 a＝0 不合题意，所以 a＝－2 或 4 或 6.
(1)当 m＝4 时，直线 l1 的方程为 4x＋8y＋n＝0，把 l2 的方程写成 4x＋8y－2＝0. |n＋2| ∴ ＝ 5，解得 n＝－22 或 n＝18. 16＋64 所以，所求直线的方程为 2x＋4y－11＝0 或 2x＋4y＋9＝0.

2.1.2两条直线的位置关系七年级数学下册同步精品课堂(北师版) (1)

3
4
5
6
7
8
9
10
11
孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？无数条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
1.放
B
2.靠
3.移
4.画
l
A
0
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孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
问题：这样画l的垂线可以画几条？一条
讲授新课
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
根据以上操
作，你能得
1.放
出什么结论
2.靠
A
3.移
4.画
l
B
0
1
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3
4
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孝感市文昌中学学生专用尺
Cm
讲授新课
总结归纳垂线的性质：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意： 1.“过一点”中的点，可以在已知直线上，也可
以在已知直线外； 2.“有且只有”中，“有”指存在，“只有”指
数学（北师大版）
七年级下册
第二章相交线与平行线
2.1.2两条直线的位置关系（2）
学习目标
1.了解垂线的有关概念、性质及画法，了解点到直线的距离的概念； 2.能够运用垂线的有关性质进行运算，并解决实际问题.
导入新课
同一平面上的两条直线有什么位置关系?
a
b
平行
a b
相交
导入新课

1.3两条直线的位置关系 (2)

类型一两直线平行的判定及应用
【典例】1.已知直线x+2ay-1=0与直线(a-2)x-ay+2=0
平行,则a的值是 ( )
A. 3
B. 3 或0 C.- 2
D.- 2 或0
2

2
3
3
2.若直线l1:y=-x+2a与直线l2:y=(a2-2)x+2平行,则
a=______.
3.判断下列各对直线是否平行,并说明理由: (1)l1:y=2x+3,l2:2x-y+5=0. (2)l1:y=2x+1,l2:x-2y=0. (3)l1:x=3,l2:x=10. (4)l1:y=2x+1,l2:2x-y+1=0.
2.设直线l1:x-y+6=0和直线l2:2x-2y+3=0,则直线l1与直
线l2的位置关系为 ( )
A.平行
B.重合
C.垂直
D.以上都不是
【解析】选A.由已知,l1与l2斜率都等于1,且不是同一条直线,所以位置关系是平行.
3.已知直线l1经过两点(-2,3),(-2,-1),直线l2经过两
答案:-1
3.(1)设两直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的截距分
别是b1,b2,则k1=k2=2,b1=3,b2=5, b1≠b2,所以l1∥l2.
(2)设两直线的斜率分别是k1,k2,则k1=2,k2=
1 2
,
k1≠k2,所以两直线不平行.
(3)由两直线方程可知,l1∥y轴,l2∥y轴,且两直线在x 轴上截距不相等,所以l1∥l2. (4) 设两直线的斜率分别是k1,k2,在y轴上的截距分别是b1,b2,则k1=k2=2,b1=b2=1,所以l1与l2重合.

高二数学下 11.3《两条直线位置关系》教案(2)沪教版

11.3(2) 两条直线的夹角教学目标设计理解直线夹角公式的推导，能正确使用夹角公式求两条直线的夹角.进一步理解运用平行、垂直、夹角等概念求直线方程的一般方法..通过两条直线夹角公式的推导，形成运用数形结合、分类讨论的思想解决问题的能力教学重点及难点理解两条直线夹角公式的推导，会求两条直线的夹角.教学用具准备多媒体设备教学流程设计一、复习引入1．引例：判断下列各组直线的位置关系，如果相交，则求出交点的坐标（课本p16例1）．（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；（3）01243:1=--y x l ， 0586:2=+-y x l ．解：（参考课本p16~17）[说明]复习判断两直线的平行、重合、相交，以及求相交直线的交点坐标的方法.由此引出新的课题.思考并回答下列问题1．（对于上述（1）、（2）这样），当两条直线相交时，用什么“量”来描述两条直线的相对位置呢？教具演示：两条直线相交，使其中一条直线绕定点旋转，让学生观察这两条直线的关系. 解答：两条直线的夹角.2．回顾旧知：在初中平面几何中“两直线夹角”的定义是什么？解答：角是有公共端点的两条射线所组成的几何图形（如右图）．[说明]在复习旧知的基础上引人新课.二、学习新课关于两直线的夹角1、概念形成两条直线的夹角如右图，两条直线相交，一共构成几个角？它们有什么关系？怎样定义两条直线的夹角呢？平面上两条直线1l 和2l 相交构成四个角，它们是两组互补的对顶角，因为相对而言，锐角比较简单.我们规定两条相交直线所成的锐角或直角为两条直线的夹角.如果两条直线平行或重合，规定它们的夹角为0.因此,两条直线的夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π ，而两条相交直线夹角的取值范围是（]2,0π. 现在我们可以用夹角来描述两直线的相对位置关系，当给出两条直线的方程时，它们的相对位置就确定了，它们的夹角也随之确定，那么，如何根据直线方程求两直线的夹角呢？[说明]①为什么规定锐角或直角为两直线的夹角，说明其合理性；②提出问题，给学生造成认知冲突，激发学生探索欲2、夹角公式的推导分析：直线的方向——方向向量——斜率——倾斜角——夹角之间的关系.由于直线的方向是由直线的方向向量或者斜率决定的，下面我们借助于这两条直线的方向向量来求得两直线的夹角.[说明] 引导学生画图分析，寻找夹角、倾斜角、方向向量之间的关系.通过类比，寻求思路.设两条直线的方程分别为1l ：0111=++c y b x a （11,b a 不全为零）2l ：0222=++c y b x a （22,b a 不全为零）.设1l 与2l 的夹角为α，1l 与2l 的一方向向量分别为1d 与2d ，其夹角为θ，且1d =),(11a b -,2d =),(22a b -，当]2,0[πθ∈时，则θα=如图甲所示;当],2(ππθ∈时，则θπα-=,如图乙所示.于是得:2222212121212121|||||||||cos |cos b a b a b b a a d d d d +⋅++=⋅⋅==θα.即为直线1l 与2l 的夹角公式.特别地,当且仅当02121=+b b a a 时, 1l 与2l 的夹角为2π,即1l 与2l 垂直.也就是说:1l ⊥2l ⇔1d 垂直2d ⇔1n 垂直2n ⇔02121=+b b a a (其中1n ,2n 分别为1l 与2l 的一个法向量)而由02121=+b b a a ,易得当0,021≠≠b b 时,有12211-=⋅b a b a ,即当两条直线的斜率都存在时, 1l 与2l 垂直的充要条件是,121-=k k 其中21,k k 分别为直线1l 与2l 的斜率.[说明]①培养学生周密分析，严格论证的能力.由于直线的夹角与两个向量的夹角有区别,前者的范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.后者的范围是],0[π,因此必须考虑两种情况]2,0[πθ∈与],2(ππθ∈;② 允许学生从斜率的角度考虑,但是不作为本课的重点,可留做课后探讨.3、例题分析例1：（回到引例）求下列各组直线的夹角：（1）01243:1=-+y x l ， 01127:2=--y x l ；（2）01243:1=--y x l ， 3:2=x l ；解：设1l 与2l 的夹角为α，则由两条直线的夹角公式得 (1),9651932712743|)12(473|cos 2222=+⋅+-⨯+⨯=α 96519327arccos =∴α即为所求; (2) 53arccos ,530143|0)4(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα即为所求. [说明]①解决本课开头提出的问题, 本环节的设计目的是使学生熟悉夹角公式的初步应用;②鼓励学生一题多解,对于小题(2),由于直线2l 的斜率不存在,还可以数形结合(图略)，求得1l 的倾斜角43arctan =θ,得出1l 与2l 的夹角为43arctan 2-π）．例2：若直线1l ：313--=x a y 与2l ：01)1(2=+++y a x 互相垂直，求实数a 的值.（补充）解：先把直线1l 的方程化为一般形式1l ：013=++y ax .∵两直线垂直,∴0)1(32=++a a ，∴53-=a 为所求． [说明] 通过练习强调两条直线垂直的充要条件，指出公式适合的前提条件是把直线的方程化成一般式方程，以便确定系数．例3：已知直线l 过点)1,4(-P ，且与直线013:=+-y x m 的夹角为10103arccos，求直线l 的方程.(补充)解：（方法一）设l 的方程为0)1()4(=-++y b x a （其中),(b a n =为l 的一法向量），则,10103)1(3|3|2222=-++-b a b a 即|3|322b a b a -=+ 化简为0)43(=+b a b 解方程，得b a b 43,0-== 当0=b 时，则0≠a ，此时方程为4-=x当043≠-=b a 时，方程为0)1(3)4(4=--+y x ，即01934=+-y x综上, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .（方法二）设点斜式，按直线l 的斜率是否存在分两类讨论① 若直线l 的斜率不存在，则过点)1,4(-P 直线l 的方程为4-=x ，设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则10103arccos ,101030113|0)1(13|cos 2222=∴=+⋅+⨯-+⨯=αα，满足题意. ②若直线l 的斜率存在，那么设直线l 的方程为)4(1+=-x k y ,即014=++-k y kx ,设它与直线013:=+-y x m 的夹角α，则则,10103)1(3)1(|13|2222=-+-++k k 即|13|132+=+k k ,解得34=k , 所以直线l 的方程为)4(341+=-x y ,化简得 01934=+-y x , 由①②可知, l 的方程是4-=x 或01934=+-y x .[说明] ①启发学生探讨“求过某定点P ，且与已知直线夹角为α的直线方程”这类基本问题的处理方法；②一般地, 求直线方程时,往往采用待定系数法:先设出的直线方程，再利用直线的夹角公式列式，求解；③分析思路，启发学生一题多解.若设点斜式，学生可能只求出一条直线，启发学生从平面几何分析，应有两条直线.但为什么有的学生求到只有一条呢？让学生在矛盾中顿悟：需要按斜率是否存在分两类讨论，而且利用直线的夹角公式时，都必须先化为直线方程的一般形式.④例3类同于教材中的例4，教材中例4给出的夹角为特殊值3π，本例为10103arccos ，目的让学生熟悉反三角的表示. 例4：已知ABC ∆的三个顶点为)5,5(),1,6(),1,2(C B A(1)求ABC ∆中A ∠的大小;(2)求A ∠的平分线所在直线的方程. （补充）解:（1）方法一:直线AB 的方程为:1=y ，直线AC 的方程为:0534=--y x ,设它们的夹角为α,又A ∠为锐角,所以A ∠=α，则53arccos ,53cos =∴=A A 即为所求; 方法二:数形结合,因为34arctan ,34,0=∠∴==A k k AC AB 即为所求. （2）方法一：设角平分线所在直线方程0)1()2(=-+-y b x a ，即02=--+b a by ax .由角平分线与两边AC AB ,成等角，运用夹角公式得 |,34|||55|34|||2222b a b b a b a b a b -=⇒+-=+解得 b a b a =-=22或,由题意,舍b a 2=所以角平分线的方程为：02=-y x .方法二: 数形结合,利用半角公式先求角平分线所在直线的斜率为212(2122tan =∴--==k A k ），舍或, 又已知它过点（2，1），所以，角平分线的方程为：02=-y x[说明]①巩固提高.因为本题中,直线AB 的方程为:1=y ,因此采用方法二更简洁些.但是方法一却是解决此类问题的基本方法.②小题（1）,求三角形的内角,一般先求过A 的两条边所在直线方程，由夹角公式可求得.需要注意夹角公式所得的角是三角形内角或其补角；③小题（2）,注意结合图形,正确取舍.三、巩固练习练习11.3（2） ----1,3四、课堂小结1．本节课研究了两条直线的夹角，推导出两条直线的夹角公式的方法，要理解、体会其中的思想方法；2．会用两条直线垂直的充要条件解决与垂直有关的问题；3．熟练运用夹角公式求两条直线的夹角.注意不垂直的两条相交直线的夹角为锐角；4．进一步讨论了求直线方程的方法：运用待定系数法时，可设直线方程为点法向式、或点斜式方程，而在用点斜式方程时，需要分类讨论.五、作业布置1、书面作业：练习11.3（2） ----2,4习题11.3 A 组----10,11,122、思考题：光线沿直线l 1：022=-+y x 照射到直线l 2：022=++y x 上后反射，求反射线所在直线3l 的方程.解由)2,2(022022-⎩⎨⎧=++=-+，得反射点的坐标为y x y x . 设3l 的方程为0)2()2(=++-y b x a （其中),(b a n =为一法向量，b a ,不同时为零）由反射原理,直线1l 与2l 的夹角等于2l 与3l 的夹角，得b a b a b a ba 211252552222-==⇒+⋅+=⋅+或,舍去b a 2=(否则与l 1重合) ,所以b a 112-=,得3l 的方程为026112=--y x . 3．思考题：在y 轴的正半轴上给定两点A （0，a ），B （0，b ），点A 在点B 上方，试在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取到最大值.答：ab C =.[说明] ①作业1是课本习题，通过它来反馈知识掌握效果，巩固所学知识，强化基本技能的训练，培养学生良好的学习习惯和品质；②作业2、3设计成思考题，是为了给学有余力的学生留出自由发展的空间，学生可以根据实际情况选用.。