基于高阶统计量方法的ARMA模型功率谱估计在设备故障诊断中的应用_姬中华

( 郑州大学机械工程学院, 河南 郑州 450002)
摘 要: 为了消除或衰减加在机械故障信号上的有色高斯噪声, 更好地对信号功率谱进行估计, 提出了基于高阶统
计量方法的 ARM A 模型功率谱估计方法。该方法依据是高阶 统计量 对高斯 噪声不 敏感的 特性。仿真 结
果表明, 该方法能有效的抑制高斯 有色噪声的干扰。
T x ( X, 0, 0) = ( C4e / C2e ) Px( X) H 2( 0)
C2e, C3e, C4e 均为常数[ 1] 。
3 故障信号仿真试验
设一观测故障信号为:
x ( t ) = A sin( 2 Pf 1 t ) + Bsin( 2 Pf 2 t + U) + u( t )
其中 f 1 为基频且归一化后取 f 1= 0. 1, f 2 为故障信号且有 f 2= 2f 1 = 0. 2。 u ( t ) 为方差为 0. 5 的高斯有色
(
X) =
i= 0 p
E a ( i ) exp( - j Xk )
i= 0
( X, Xi , i = 1, 2, 3 均为频域参量)
这里 B3e , B4e 为常数。而信号的功率谱 Px ( X) 可以由其多谱重构出来, 其结果最多相差一个常数。即有:
Bx ( X, 0) = ( C3e/ C2e ) Px ( X) H ( 0)
cum ( x 1, ,, x k) = 0 由以上性质可以得到如下重要的结论: 高阶累积量在理论上可以完全抑制高斯噪声的影响, 如果非高斯 信号是在与之独立的加性高斯有色噪声中被观测的话, 那么观测过程的高阶累积量就只有非高斯信号的高 阶累积量, 滤掉了其中的高斯噪声。因而高阶累积量是非高斯信号处理和非高斯过程辨识的重要工具[ 5] 。
- Rx ( S2) R x # ( S3 - S1) - Rx ( S3) Rx ( S1 - S2)
其中, cum kx 为随机信号的 k 阶累计量, Rx 为{ x ( n) } 的自相关函数。其主要性质表现为: 性质 1 若零均值随机过程 { x ( n) } 满足高斯分布, 则
高阶累积量: 高阶矩:
C
a ( i ) = s- ( p) ( i + 1, 1) / s- ( p) ( 1, 1)
( 5)
) 610 )
河南科学
第 22 卷 第 5 期
这里 s- ( p ) ( i , 1) 是矩阵 s ( p) 的逆矩阵 s - ( p) 的第 i 行、第 1 列元素。
确定 ARMA 过程的 A R 部分参数后, 可以利用已知的 A R 阶数 和 A R 参数, 由残差时间序列方法确定出
cum k, x ( S1, S2, ,, Sk- 1) = 0,
k \3
= 0, 若 k E 3 且为奇数 mk, x ( S1, S2, ,, Sk- 1) X 0, 若 k E 4 且为偶数
收稿日期: 2004- 05- 10 作者简介: 姬中华( 1973- ) , 男, 河南滑县人, 郑州大学机械工程学院硕士研究生。
构造 M 2( N 2- N 1+ 1) @ M 2 扩展阶累计量样本矩阵[ 7] :
cC kx( M 1 + M 2 - 1, N 1) ,
cCkx ( M 1, N 1)
s
s
cC kx( M 1 + M 2 - 1, N 2) ,
s cCkx ( M 1, N 2)
Ce =
s
s
s
( 4)
C
C
c kx ( M 1 + 2 M 2 - 1, N 1) , c kx ( M 1 + M 2, N 1)
性质 3 高阶累积量关于它们的变元是对称的, 即 cum ( x 1, ,, x k) = cum ( x i 1, ,, x i k) ,
其中, ( i 1, ,, ik ) 是( i , ,, k ) 的一种排列。 性质 4 累积量相对其变元具有可加性, 即
cum ( x 0 + y 0, z 1, ,, z k) = cum ( x 0, z 1, ,, z k) + cum ( y 0, z 1, ,, z k) 。 性质 5 如果 k 个随机变量{ x i } ( i = 1, ,, k ) 的子集同其它部分独立, 则
B( X1, X2) = B3eH ( X1) H ( X2) H ( X-1 1 X-2 1)
( 7)
T ( X1, X2, X3) = B4eH ( X1) H ( X2) H ( X3) H ( X-1 1 X-2 1 X-3 1)
( 8)
其中
q
E b( i ) ex p( - j Xk )
H
自 80 年代以来, 高阶统计量在信号处理、控制理论等领域的研究和应用得到了迅速的发展。由于高阶 统计量具有在有色高斯噪声中提取非高斯信号的能力, 基于高阶统计量的时间序列分析方法能够在较短的 时间序列中对 ARM A 模型重构, 而具有鲁棒性好、精度高的优点[ 4] , 所以基于高阶统计量的功率谱估计可以 很好的解决上述问题。
噪声, 由高斯白噪声通过以下 A R 过程产生:
u ( n ) - 1. 058 u( n- 1) + 0. 81u ( n - 2) = e( n ) 其中 e( n ) 为零均值高斯白噪声。观测故障信号的信噪比( SNR) 为 3dB。
对数据采样 256 点后, 取其前 50 点得到时域原始波形如图 1。对信号进行傅立叶变换后, 得到其单边
要排除高斯有色噪声信号( w ( n) ) 在 ARMA 模型辨识中的干扰, 由上述高阶累计量的性质 1 和性质 2 可知
信号 x ( n ) , y ( n) , w ( n ) 有如下关系:
cumky ( n1, ,, nk- 1) = c um kx ( n1, ,, nk- 1) + cumkw ( n1, ,, nk- 1) = cumkx ( n 1, ,, nk- 1) ( 3)
第 22 卷 第 5 期 2004 年 10 月
文章编号: 1004- 3918( 2004) 05-0608- 04
河南科学 H ENAN SCIENCE
Vol1 22 No . 5 Oct. 2004
基于高阶统计量方法的 ARMA 模型功率谱估计在 设备故障诊断中的应用
姬中华, 黄士涛, 雷文平, 费致根
即观测过程 y ( n) 的高阶累计量与非高斯的故障信号 x ( n) 的高阶累计量等价。
利用基于高阶累计量的奇异值分解- 总体最小二乘法( SVD - T LS 算法) [ 6] 求出 AR MA 模型中 A R 参
数估计。为此我们取
M 1 E q+ 1- p , M 2 E p , N 1 F q- p 和 N 2 E q .
关键词: 噪声; A RM A; 高阶统计量; 功率谱估计
中图分类号: T H 17
文献标识码: A
在设备故障信号的信号处理中, 最基本的方法之一便是对离散时间序列进行功率谱估计。我们常用的 方法大致可以分为非参数化的功率谱估计方法和参数化的功率谱估计方法。对故障信号进行傅立叶变换是 我们常用的非参数化功率谱估计方法。但它的频率分辨率受到采样长度的限制, 在加窗处理后频域会产生 能量泄漏。经典的 ARM A 模型功率谱估计大多是要求系统的噪声为高斯白噪声, 模型的判定、参数的估计 都是基于过程的 2 阶统计量( 如相关函数等) 进行的。然而, 在实际应用中, 由于 2 阶统计量对高斯有色噪声 敏感, 在复杂的噪声环境中常常不能准确地进行模型辨识和参数估计[ 3] 。因此基于 2 阶统计量的功率谱估 计随着应用对象和环境的复杂化, 常常会因为高斯有色噪声的干扰。在功率谱图上出现虚假谱线。影响了 对设备故障的准确诊断。
A RMA 过程中的 MA 部分参数。即用满足 cky~ ( m , 0, ,, 0) X 0 的最大整数 m 作为 A RMA 模型的 MA 阶
数。由 C( q , n ) 公式, 立即可得
p
b ( n) = E a( i ) h( n - i ) , n = 1, ,, q
( 6)
i= 0
直接计算出 MA 参数。
sss来自CCc kx ( M 1 + 2 M 2 - 1, N 2) , c kx ( M 1 + M 2, N 2)
然后计算出矩阵 Ce 的有效阶数, 即为 A R 阶数估计 p 。并计算其奇异值分解 Ce =
p
M -p 2
E E S (p ) =
R2j v
i j
(
v
i j
)
T
j = 1 i= 1
U E VT 。令
2 利用高阶统计量对机械故障信号进行功率谱估计
设有一被高斯噪声污染的机械故障信号序列为
y ( n ) = x ( n) + w ( n) ( n = 0, 2, ,, N - 1)
( 1)
x ( n) 代表故障信号, w ( n) 代表高斯有色噪声。信号 x ( n ) 的 ARMA 模型可以表示为:
p
q
E a( i) x ( n - i) = E b( i) u ( n - i ) ( a( 0) = b( 0) = 1)
( 2)
i= 0
i= 0
u( n) 是独立同分布( I. I. D) 的、且至少具有一个非零二阶累积量的平稳零均值随机序列, 其中:
a( i ) ( i = 0, 1, 2, ,, p ) , b ( k ) ( k = 0, 1, ,, q ) 为 ARMA( p , q) 模型的参数, q , p 为模型阶次。因为 x ( n ) 在被高斯有色噪声污染的信号 y ( n) 中观测, 需