[精品]2019学年高中数学第二章第1课时等差数列的概念和通项公式优化练习新人教A版必修0

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高考数学必修五第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

§2.2 等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一等差数列的概念思考给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二等差中项的概念思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式思考对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点等差中项题点等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点等差中项题点等差中项及其应用解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三等差数列通项公式的求法及应用命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案 C解析由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ，所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点等差中项题点等差中项及其应用答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项答案 A解析由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点等差数列的通项公式题点求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题答案 6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点等差数列的通项公式题点通项公式的综合应用解由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点等差数列的通项公式题点求通项公式解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

等差数列的概念及通项公式第一课时高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

所以当d＝0时，an＝a1是常值函数；
当d≠0时，an是一次函数f(x)＝dx＋(a1－d) (x∈R)
当x＝n， (n∈N*)时的函数值，即an＝f式
问题7 等差数列{an}的图象
与一次函数f(x)＝dx＋(a1－d)
的图象有什么关系?
f(x)
f(x)＝dx＋(a1－d)
解得15.6≤d≤17.1 .
课堂小结
等差数列
等差数列
的概念
等差数列的通
项公式
等差数列
的判断与
证明
等差数列
通项公式
的应用
令－3n＋11＝－289，得n＝100，
所以－289是该数列中的第100项.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
反思与感悟
等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等
差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可．
(2)等差数列{an}的通项公式an ＝a1 ＋(n－1)d中共含有四个
(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
典例精析
题型五：等差数列通项公式实际应用
例5 在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某
一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求
2 km，4 km,8 km高度的气温.
典例精析
题型二：等差数列通项公式的应用
例2 求等差数列8，5，2，… 的通项公式an和第20项，并判断
－289是否是数列中的项，若是，是第几项？
解由已知条件，得d＝5－8＝－3.
把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，

【课件】第1课时等差数列的概念与通项公式说课课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

个从0-9的刻度的转盘，要求把四个转盘分别转到指定数字，
门才能打开。门上还有四组数字，如下：
1）1，3，5，（），9
2）15，12，（），6，3
3）48，53，58，（）3，68
4）8，（），8，8，8
创设学生比较感兴趣的情景，可以激发学生对本节课的学习兴趣，在游戏
中加入等差数列，让学生初步感知等差数列的特点。同时培养学生观察、
三、教学分析 - - - ( 二 ) 教学程序设计
巩固练习：在等差数列中,已知 = , = ,求 .
问1：还有没有其他做法？
师根据学生回答适时给出公式： = + ( − )
问2：从结果来看 , , , 之间有怎样的关系？
中项。
问1：等差中项A与a、b之间又怎样的关系？
问2：下列两个数的等差中项分别是什么？
（1）2 ，( ) ，4 （2）-12，( ) ，0
问3：是不是任意两数都存在等差中项？存在几个？
师点评：任意两数的等差中项即为两数的平均值。
问4：等差数列{ }中，与− , + 之间有怎样的关系？为什么？
（4）-8，-6，-4.
学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对
等差数列概念的理解，看清“等差”的本质特征，培养学生抽象概括
能力和严密的数学学习态度。
三、教学分析 - - - ( 二 ) 教学程序设计
2、等差中项的定义：
如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差
教学目标：通过数字规律小游戏情境引入，经历观察，分析，
归纳，推理论证，理解并掌握等差数列的概念，了解等差数列

等差数列(课时1 等差数列的概念及通项公式)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)

情境设置
问题2：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
[答案] 由于，故是函数当时的函数值，即，点则是函数图象上的均匀分布的孤立的点，而是直线的斜率，记为，实际上，如果已知直线上任意两点，，由斜率的公式可知，公差的符号决定了数列的单调性，当时，数列为递增数列，当时，数列为常数列，当时，数列为递减数列．
已知数列中, , ．
（1）证明：数列是等差数列.
[解析] 由已知得, , , 所以数列是以2为首项,2为公差的等差数列.
（2）求数列的通项公式．
[解析] 由（1）知, ,所以．
巩固训练
1.若数列满足，则数列是( ).A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列C.公差为的等差数列 D.不是等差数列
2.熟练掌握等差数列是关于的一次函数这一结构特征，并且公差是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，当时，数列为递增数列，当时，数列为常数列，当时，数列为递减数列．
1.设是等差数列，下列结论中正确的是( ).A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则
情境设置
问题2：问题1的结论可给我们什么样的启示？
[答案] 可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列，即证明： .
问题3：若数列的通项公式，则该数列是等差数列吗？
[答案] 是．因为，所以数列是等差数列．
新知生成
等差数列的判定方法有以下三种：
（1）定义法：为等差数列.
问题4：由等差数列的定义可知，如果， , 这三个数是等差数列，你能求出的值吗？
[答案] 由定义可知，即，解得 .
新知生成

高中数学第二章数列2.2等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5

6.等差数列通项公式的变形应用已知等差数列{an}中的任意两项 an,am(n,m∈N*,m≠n),
则
an am
a1 (n 1)d, a1 (m 1)d
⇒
an-am=(n-m)d⇒
d an am , nm an am (n
m)d.
这表明已知等差数列中的任意两项即可求得其公差,进而求得其通项公式.
2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=an-an-1来求,也可以用d=an+1-an来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用an-an-1求公差时,要求n≥2,n∈N*.
解析:由等差数列的定义知强调两个方面:①从第2项起; ②差为同一个常数,故选D.
2.等差数列{an}中,a4+a8=10,a10=6,则公差 d 等于( A )
(A) 1 4
(B) 1 2
(C)2
(D)- 1 2
解析:在等差数列{an}中,由 a4+a8=10,得 2a6=10,a6=5.又 a10=6,则 d= a10 a6 = 6 5 = 1 .故选 A.
2d a14d 105, a1 3d a1 5d
99,
解得
ad1
39, 2,
所以
a20=a1+19d=1.
答案:1
课堂探究
题型一等差数列的通项公式
【例1】已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.

2018_2019版高中数学第二章数列2.2.1等差数列的概念及通项公式课件新人教A版必修

解 (1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N*),故该数列为等差数列. (2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.
反思感悟定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法,其步骤为: (1)作差 an+1-an; (2)对差式进行变形; (3)当 an+1-an 是一个与 n 无关的常数时,数列{an}是等差数列;当 an+1-an 不是常数,而是与 n 有关的代数式时,数列{an}不是等差数列.
【问题思考】 1.观察下列三个数列:①100,150,200,250,300,…;②0,-4,-8,-12,-16,…;
1 1 1 1 1 ③3 , 3 , 3 , 3 , 3,….
思考:(1)你能否写出每个数列后面的各项?依据是什么?(2)这几个数列的共同特征是什么?
提示 (1)可以写出每个数列后面的各项,例如:①350,400,…;② -20,-24,…;③ , ,…等,依据是这些数列前几项所呈现出的规律;(2) 在这些数列中,从第 2 项起,每一项与其前一项的差都是同一个常数.
1
2
3
变式训练 1 在等差数列{an}中,求解下列各题: (1)已知公差 d=- ,a7=8,则 a1= (2)已知 a3=0,a7-2a4=-1,则公差 d=
1 25 1 3
. ;
(3)a1= ,公差 d>0,且从第 10 项开始每项都大于 1,则此等差数列公差 d 的取值范围是 .
解析 (1)由题意,得 a1+6× -
1 3
=8,解得 a1=10;

高中数学第二章数列2.2.1等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式学案(含解析)新人教B版必修5

学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数x ，A ，y 组成等差数列，那么A 叫做x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y2.思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b2.知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用叠加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( √ ) 2．数列3,2,1是等差数列．( √ )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( × )4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( √ )题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…； (4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a ，a ，a ，a ，a ，….解由等差数列的定义得(1)(2)(5)为等差数列，(3)(4)不是等差数列．反思感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断从第二项起该数列的每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n ＋1－a n (n ≥1，n ∈N ＋)是不是一个与n 无关的常数．跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5(n ∈N ＋)，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋5－(2n ＋5)＝2， ∴{a n }是公差为2的等差数列．题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．解 ∵－1，a ，b ，c ，7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．解由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得3m ＋3n ＝18，即m ＋n ＝6. 所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项． (2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝15.a 1＋16d ＝39，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝2，所以a n ＝7＋2(n －1)＝2n ＋5. 令2n ＋5＝91，得n ＝43.因为43为正整数，所以91是此数列中的项．(2)设{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝－1.∴a n ＝12＋(n －1)×(－1)＝13－n ，所以a 10＝13－10＝3.反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？解 (1)由a 1＝8，a 2＝5，得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3，由n ＝20，得a 20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a 1＝－5，d ＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1.由题意，令－401＝－4n －1，得n ＝100，即－401是这个数列的第100项．等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n，且a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明由a n ＋1＝3a n ＋3n，两边同时除以3n ＋1，得a n ＋13n ＋1＝a n 3n ＋13，即a n ＋13n ＋1－a n 3n ＝13. 由等差数列的定义知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是以a 13＝13为首项，13为公差的等差数列．(2)解由(1)知a n 3n ＝13＋(n －1)×13＝n3，故a n ＝n ·3n -1，n ∈N ＋.典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)． (1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由； (2)求{a n }的通项公式．解 (1)当n ≥3时，a n ＝a n －1＋2，即a n －a n －1＝2，而a 2－a 1＝0不满足a n －a n －1＝2(n ≥3)， ∴{a n }不是等差数列．(2)当n ≥2时，a n 是等差数列，公差为2. 当n ≥2时，a n ＝1＋2(n －2)＝2n －3，又a 1＝1不适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n ≥2.[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2答案 D2．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n (n ∈N ＋)，则它的公差d 为( ) A ．2B ．3C ．－2D ．－3 答案 C解析由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A ．30°B．60°C．90°D．120° 答案 B解析因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列D ．不是等差数列答案 B解析由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列．5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( ) A ．92B ．47C ．46D ．45 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n }(n ∈N ＋)是公差为d 的等差数列，若a 2＝4，a 4＝6，则d 等于( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 ∵a 4－a 2＝2d ＝6－4＝2.∴d ＝1.2．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A ．52B ．62C ．－62D ．－52 答案 A解析公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝a 1＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 3．在数列{a n }中，a 1＝2,2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．52B ．51C ．50D ．49 答案 A解析因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d ＝2＋100×12＝52.4．若5，x ，y ，z ，21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A ．26B ．29C ．39D ．52 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z ，21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项． ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.5．已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A ．15B ．22C ．7D ．29 答案 A解析设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.6．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A ．第7项 B ．第8项 C ．第9项 D ．第10项答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3，∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ， ∴a 7＝2＞0，a 8＝－1<0.故数列中第一个负数项是第8项．7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b ，2x ，则a b等于( ) A.14B.12C.13D.23 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ，∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8．在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12B.13C.14D.16 答案 A 解析由题意可得2a 4＋1＝1a 2＋1＋1a 6＋1，解得a 4＝12，故选A. 二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为__________________．答案 a n ＝n4＋1，n ∈N ＋解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54.∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74，∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n4＋1，n ∈N ＋.10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．答案6766解析设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3解析设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3.三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．解设数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－10＋(n －1)×2＝2n －12. 13．已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)证明由1a n ＋1－2＝16a n －4a n ＋2－2＝a n ＋26a n －4－2a n ＋2＝a n ＋24a n －8＝a n －2＋44a n －2＝1a n －2＋14，得1a n ＋1－2－1a n －2＝14，n ∈N ＋，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列． (2)解由(1)知1a n －2＝1a 1－2＋(n －1)×14＝n ＋34，所以a n ＝2n ＋10n ＋3，n ∈N ＋.14．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 10＝________. 答案110解析易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N ＋)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2，n ∈N ＋)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110.15．已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N ＋)，求数列{a n }的通项公式．解由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项分别构成公差为－2的等差数列．当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数)．当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2＝7－2k . ∴a n ＝7－n (n 为偶数)．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。

第1课时等差数列的概念与通项公式课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

1
a n与a n 1，a n 1 之间有怎样的关系？
探索发现
数列 1，4，7，10，…中，a100 ? a n ?
100 = 1 + 99 × 3 = 298
= 1 + ( − 1) × 3 = 3 − 2
探索发现
如果一个数列 a1 , a2 , a3 ,…, an , …
a20 8 ( 20 1) ( 3) 49
（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是
第几项？
解： a1 5, d 9 (5) 4, an 401,
则有 401 5 (n 1) (4)
解得 n 100
书面作业：教材P15 1-5
预习：P16-P17
写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理由。小结：判断一
（1） 1，4，7，10；是 a =1,d=3
个数列是不是
1
（2）a n
3；
（3）-8，-6，-4，
是 a1=3,d=0
是 a1=-8,d=2
（4）15，12，10，8，6
不是
等差数列，主
要是由定义进
行判断：
即 an-an-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ是不
是同一个常数？
an an1 d
n N ,n 2
*
问题3：刚才引题中四个数列的公差分别是什么？
发现新知
形成概念
d=2
（1） 1，3，5，（7），9 ；
d=-3
（2） 15，12，（9），6，3 ；
d=5
（3） 48，53，58,（63），68；
d=0
（4） 8，（8），8，8，8 .

2-2第1课时____等差数列的定义及通项公式

该数列有什么规律呢？
工具
第二章数列
栏目导引
2．(1)鞋的尺码，按照国家统一规定，有 22,22.5,23,23.5,24,24.5，…； (2)某月星期日的日期为2,9,16,23,30； (3)一个梯子共8级，自下而上每一级的宽度(单位：cm)，为 89,83,77,71,65,59,53,47. 上面几个数列有什么共同的特点？
工具
第二章数列
栏目导引
方法二：∵an＝am＋(n－m)d， ∴d＝ann－－mam， ∴d＝a88－－5a5＝5－311＝－2， a10＝a8＋2d＝5＋2×(－2)＝1.
工具
第二章数列
栏目导引
工具
第二章数列
栏目导引
在等差数列{an}中， (1)已知 a1＝6，d＝3，求 a8； (2)已知 a4＝10，a10＝4，求 a7 和 d； (3)已知 a2＝12，an＝－20，d＝－2，求 n； (4)已知 a7＝12，d＝－2，求 a1.
工具
第二章数列
栏目导引
利用等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d， an＝am＋(n－m)d及其变形公式求解．
工具
第二章数列
栏目导引
[解题过程] (1)∵a1＝6，d＝3，∴an＝6＋3(n－1)＝3n＋3. ∴a8＝3×8＋3＝27. (2)∵a4＝10，a10＝4，∴d＝a1100－－a44＝－66＝－1， ∴an＝a4＋(n－4)×(－1)＝－n＋14， ∴a7＝－7＋14＝7. (3)∵a2＝12，d＝－2，∴a1＝a2－d＝12－(－2)＝14， ∴an＝14－2(n－1)＝16－2n＝－20，∴n＝18. (4)∵a7＝a1＋6d＝a1－12＝12，∴a1＝225.
工具

1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

双基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合作探究 • 攻重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课时分层作业
难
返首页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合作探究 • 攻重
可知aa11＋＋411dd＝＝1301，，解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时分
层
作
业
难
返首页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课时分层作业
难
返首页
自
当
主
堂
预习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝，18，
达标 • 固
新
双
知合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，

第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式

§2.2等差数列第1课时等差数列的概念及通项公式学习目标1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念．知识点一等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，可正可负可为零．知识点二等差中项的概念如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2. 思考下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：(1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b .答案插入的数分别为(1)3，(2)2，(3)0，(4)a ＋b 2. 知识点三等差数列的通项公式若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明．1．数列4,4,4，……是等差数列．( )2．数列3,2,1是等差数列．( )3．数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n ＋1，n ≥2，则{a n }是等差数列．( ) 4．等差数列{a n }中，a 1，n ，d ，a n 任给三个，可求其余．( )题型一等差数列的概念例1 判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n －13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a ，a ，a ，a ，a ，….跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( )A ．是公差为2的等差数列B ．是公差为5的等差数列C ．是首项为5的等差数列D ．是公差为n 的等差数列题型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c ，使这五个数成等差数列，求此数列．反思感悟在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项．跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项．题型三等差数列通项公式的求法及应用例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n .反思感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想．等差数列{a n }中的每一项均可用a 1和d 表示，这里的a 1和d 就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量．跟踪训练3 在等差数列{a n }中，(1)若a 5＝15，a 17＝39，试判断91是否为此数列中的项．(2)若a 2＝11，a 8＝5，求a 10.等差数列的判定与证明典例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋3n ，且a 1＝1.(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n 是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．典例2 已知数列{a n }：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥3)．(1)判断数列{a n }是否为等差数列？说明理由；(2)求{a n }的通项公式．[素养评析] (1)证明一个数列是等差数列的基本方法：定义法，即证明a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)或a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)，若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可．(2)证明一个数列是等差数列，主要的推理形式为演绎推理，通过学习，使学生形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生的数学核心素养.1．下列数列不是等差数列的是( )A ．1,1,1,1,1B ．4,7,10,13,16C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,22．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－33．已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于() A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°4．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( )A ．公差为1的等差数列B ．公差为13的等差数列C ．公差为－13的等差数列 D ．不是等差数列5．已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A ．92B ．47C ．46D ．451．判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．2．由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1．设数列{a n}(n∈N*)是公差为d的等差数列，若a2＝4，a4＝6，则d等于() A．4 B．3 C．2 D．12．已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为()A．52 B．62 C．－62 D．－523．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为()A．52 B．51 C．50 D．494．若5，x，y，z,21成等差数列，则x＋y＋z的值为()A．26 B．29 C．39 D．525．已知在等差数列{a n}中，a3＋a8＝22，a6＝7，则a5等于()A．15 B．22 C．7 D．296．等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( )A ．第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项7．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a b等于( ) A.14 B.12 C.13 D.238．(2018·天津市南开中学检测)在数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列，则a 4等于( ) A.12 B.13 C.14 D.16二、填空题9．若一个等差数列的前三项为a,2a －1,3－a ，则这个数列的通项公式为．10．现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．11．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是．三、解答题12．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝0，求{a n }的通项公式．13．(2018·辽宁省东北育才中学月考)已知数列{a n }满足a n ＋1＝6a n －4a n ＋2，且a 1＝3(n ∈N *)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．14．已知数列{a n}中，a1＝1，a n－1－a n＝a n a n－1(n≥2，n∈N*)，则a10＝. 15．已知数列{a n}满足：a1＝10，a2＝5，a n－a n＋2＝2(n∈N*)，求数列{a n}的通项公式．。

人教版高中数学选择性必修第二册4.2.1(第1课时)等差数列的概念及通项公式【课件】

类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规
律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和
数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1. 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的
这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A 叫做 a 与 b 的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是 2A=a+b
合作探究
是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81. ①
2. S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48. ②
3. 测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面
20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为
1 − ( ∈ ) 当x=n时的函数值，即 = () .
如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出
= + −
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为1 − 的直线.
合作探究
在这条直线上描出点
, ， , ， ⋯ ， , ， ⋯ ，
就得到了等差数列{ }的图象.
an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)
合作探究

学年高中数学第二章数列.等差数列第课时等差数列的概念和通项公式优化练习新人教A版必修

第1课时等差数列的概念和通项公式[课时作业][A 组根底稳固]1．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( )A ．a n ＝a ＋(n －1)dB ．a n ＝a ＋(n －3)dC ．a n ＝a ＋2(n －2)dD ．a n ＝a ＋2nd解析：数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d . 答案：C2．数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是它的第几项( )A ．12B ．13C ．14D ．15解析：由数列可知，此数列是以3为首项，6为公差的等差数列，∴a n ＝3＋(n －1)×6＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14.答案：C3．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，那么a 1等于( )A ．－9B ．－8C ．－7D ．－4解析：法一：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－5，a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，解得a 1＝－8.法二：由a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)，得d ＝a n －a m n －m ， ∴d ＝a 6－a 46－4＝66－4＝3. ∴a 1＝a 2－d ＝－8.答案：B4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1，那么a 2 017等于( )A ．2 009B ．2 010C ．2 018D ．2 017解析：由于a n ＋1－a n ＝1，那么数列{a n }是等差数列，且公差d ＝1，那么a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，故a 2 017＝2 017.答案：D5．假设等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝35，那么n ＝( )A ．50B ．51C ．52D ．53解析：依题意，a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝4，将a 1＝13代入，得d ＝23. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋(n －1)×23＝23n －13，令a n ＝35，解得n ＝53.答案：D6．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项是________．解析：等差中项A ＝lg 3－2＋lg 3＋22＝lg 12＝0. 答案：07．等差数列的第3项是7，第11项是－1，那么它的第7项是________．解析：设首项为a 1，公差为d ，由a 3＝7，a 11＝－1得，a 1＋2d ＝7，a 1＋10d ＝－1，所以a 1＝9，d ＝－1，那么a 7＝3.答案：38．48，a ，b ，c ，－12是等差数列的连续5项，那么a ，b ，c 的值依次是________．解析：∵2b ＝48＋(－12)，∴b ＝18，又2a ＝48＋b ＝48＋18，∴a ＝33，同理可得c ＝3.答案：33,18,39．在等差数列{a n }中，a 1＝112，a 2＝116，这个数列在450到600之间共有多少项？解析：由题意，得d ＝a 2－a 1＝116－112＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝112＋4(n －1)＝4n ＋108.令450≤a n ≤600，解得85.5≤n ≤123.又因为n 为正整数，所以共有38项．10．一个各项都是正数的无穷等差数列{a n }，a 1和a 3是方程x 2－8x ＋7＝0的两个根，求它的通项公式．解析：由题意，知a 1＋a 3＝8，a 1a 3＝7，又{a n }为正项等差数列，∴a 1＝1，a 3＝7，设公差为d ，∵a 3＝a 1＋2d ，∴7＝1＋2d ，故d ＝3，a n ＝3n －2.。

高中数学选择性必修二 4 2 1第一课时等差数列的概念及通项公式(作业)(含答案)

4．2.1 第一课时等差数列的概念及通项公式[A级基础巩固]1．在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12B．14C．16 D．18解析：选D由题意知，公差d＝4－2＝2，则a1＝0，所以a10＝a1＋9d＝18.故选D.2．若等差数列{a n}中，已知a1＝13，a2＋a5＝4，a n＝35，则n＝()A．50 B．51 C．52 D．53解析：选D依题意，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝4，代入a1＝13，得d＝23.所以a n＝a1＋(n－1)d＝13＋(n－1)×23＝23n－13，令a n＝35，解得n＝53.3．(多选)设x是a与b的等差中项，x2是a2与－b2的等差中项，则a，b的关系正确的是() A．a＝－b B．a＝3bC．a＝b或a＝－3b D．a＝b＝0解析：选AB由等差中项的定义知：x＝a＋b 2，x2＝a2－b2 2，∴a2－b22＝⎝⎛⎭⎫a＋b22，即a2－2ab－3b2＝0.故a＝－b或a＝3b.4．数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1＝2a n＋1，则a2 021的值是() A．1 000 B．1 013C ．1 011D ．1 012解析：选D 由2a n ＋1＝2a n ＋1，得a n ＋1－a n ＝12，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝2，公差d ＝12，所以a n ＝2＋12(n －1)＝n ＋32，所以a 2 021＝2 021＋32＝1 012.5．已知数列3,9,15，…，3(2n －1)，…，那么81是数列的( ) A ．第12项 B ．第13项 C ．第14项D ．第15项解析：选C a n ＝3(2n －1)＝6n －3，由6n －3＝81，得n ＝14. 6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________. 解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3. 答案：－37．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 1＝________，a 6＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1. ∴a 6＝2×6＋1＝13. 答案：3 138．数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，数列{b n }是首项为－2，公差为4的等差数列．若a n ＝b n ，则n 的值为________．解析：a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1，b n ＝－2＋(n －1)×4＝4n －6，令a n ＝b n ，得3n －1＝4n －6，∴n ＝5. 答案：59．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．解：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：因为a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2，所以1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ，所以1a n ＋1－1a n ＝12(常数)．所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝12为首项，公差为12的等差数列．10．若1b ＋c ，1a ＋c ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：由已知得1b ＋c ＋1a ＋b ＝2a ＋c ，通分有2b ＋a ＋c (b ＋c )(a ＋b )＝2a ＋c.进一步变形有2(b ＋c )(a ＋b )＝(2b ＋a ＋c )(a ＋c )，整理，得a 2＋c 2＝2b 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．[B 级综合运用]11．(多选)如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6＝a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选BC 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B 、C.12．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( ) A.m n D ．m ＋1n ＋1 C.n mD ．n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项， ∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －xn ＋1. 这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1.13．下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ∈N *)，则a 9,9＝______，数82共出现______次．解析：根据题意得，第i 行的等差数列的公差为i ，第j 列等差数列的公差为j ，所以数列{a 1，j }是以2为首项，1为公差的等差数列，可得a 1，j ＝2＋(j －1)×1＝j ＋1，又因为第j 列数组成的数列{a i ，j }是以a 1，j 为首项，j 为公差的等差数列，所以a i ，j ＝a 1，j ＋(i －1)j ＝(j ＋1)＋(i －1)×j ＝ij ＋1，所以a 9,9＝9×9＋1＝82.因为a i ，j ＝ij ＋1＝82，所以ij ＝81，所以i ＝81且j ＝1或i ＝1且j ＝81或i ＝3且j ＝27或i ＝27且j ＝3或i ＝j ＝9，所以可得数82共出现5次．答案：82 514．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)，即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n . [C 级拓展探究]15．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n (n ∈N *)． (1)当a 2＝－1时，求λ及a 3的值；(2)是否存在λ的值，使数列{a n }为等差数列？若存在求其通项公式；若不存在说明理由．解：(1)∵a 1＝2，a 2＝－1，a 2＝(λ－3)a 1＋2，∴λ＝32.∴a 3＝－32a 2＋22，∴a 3＝112.(2)不存在λ的值，理由如下： ∵a 1＝2，a n ＋1＝(λ－3)a n ＋2n ，∴a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4.a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16.若数列{a n}为等差数列，则a1＋a3＝2a2.即λ2－7λ＋13＝0.∵Δ＝49－4×13<0，∴方程无实数解．∴λ值不存在．∴不存在λ的值使{a n}成等差数列．。

数学人教A版(2019)选择性必修第二册4.2.1等差数列的概念及通项公式(共18张ppt)

(3) 3, 3, 3, 3, … 是 a1=3,d=0
已知数列{an}是等差数列，d是公差
d>0时，{an}是递增数列；
d<0时，{an}是递减数列；
d=0时，{an}是常数列；
知识探究：理论迁移
问题2：在如下的两个数之间插入一个什么数之后这三个数
会成为一个等差数列。
5 8
（1）2，___,
（2）－6，____,
a2－a1＝d
a3－a2＝d
n 1个
a4－a3＝d
……
an－an−1＝d
}
累加法
将各式两边相加，得：an－a1＝(n－1)d
所以 an＝a1+(n－1)d
知识梳理
3.等差数列的通项公式
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是：
an＝a1＋(n－1)d
知识巩固：限时训练
1.在等差数列中，a1=12，a6=27，求d.
等差数列的
，公差通常用字母
公差
表示。
d
【思考】你能用符号描述等差数列的定义吗？
*)
a
－a
＝d(d为常数，n∈N
递推公式： n＋1
n
（或an－an−1＝d，n≥ ）.
理解概念
问题1 抢答：判断下列数列是否是等差数列，如果是，
说出数列的首项和公差d, 如果不是，说明理由。
(1) 1, 3, 5, 7, …
是 a1=1,d=2
(2) 9, 6, 3, 0,－3, … 是 a1=9,d=－3
(3) 3, 3, 3, 3, … 是 a1=3,d=0
(4) 15, 12, 10, 8, 6, … 不是
思考：下列数列的公差与该数列的类型有关系吗？