湖南省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试题Word版含答案

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湖南省岳阳一中2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试题及答案

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4月1日 10 23
4月7日 11 25
4 月 15 日 13 30
4 月 21 日 12 26
4 月 30 日 8 16
发芽数 y/颗
(1)从这 5 天中任选 2 天,若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据,请根据这 5 天中的另 3 天的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = t h ; (参考公式, =
取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为____________. 15.将 2 名主治医生，4 名实习医生分成 2 个小组，分别安排到 A、B 两地参加医疗互助活动，每个小组由 1 名主治医生和 2 名实习医生组成，实习医生甲不能分到 A 地，则不同的分配方案共有种． 16.定义在上的函数满足：①当时，；② 都
22.已知函数（1）求函数在处的切线方程；使在成立，求实数的取值范围；时恒成立，求整数的最大值.
（2）若至少存在一个（3）设且
岳阳县一中 2018 年高二年级 4 月考数学试题（满分：150 分一、选择题（共 10 小题，共 50 分） 1. 复数 A. 2. 设函数 A. 2 3.曲线 A． 4 4. 若平面 A. 、 = （ A ） B. ，则 B. 1 （ C. 0 D） C. 0 D ） D． 3 ，则（ B 相交但不垂直） D. D. 2 时间：120 分钟）
。
（2）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标。
18 ．已知四棱锥 , , 为
，上一点,
面
, 是平面
∥ 与
, 的交点.
,
，
（1）求证：（2）求与面
面

2018学年下学期湖南省岳阳县第一中学高二第一次月考试卷数学(理后附详解)

2018学年下学期湖南省岳阳县第一中学高二第一次月考试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名．准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷．草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷．草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 1．复数i 11-=（）A ．i +1B ．i -1C ．0D ．22．设函数2cos )(+=x x f ，则π2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．1C ．0D ．1-3．曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭与坐标轴所围成面积是（） A ．4B ．2C ．1D ．3只装订不密封准考证号考场座位4．若平面α、β的一个法向量分别为(1,0,0)=m ，(0,0,1)=n ，则（） A ．βα//B ．βα⊥C ．α与β相交但不垂直D ．以上均不正确5．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：观察上面各式，按此规律若45ax x+≥，则正数a =（） A ．34B ．45C ．44D ．556．下列有关命题的说法正确的是（）A ．命题“若21x =，则1x =”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”．B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．D ．命题“x R ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈均有210x x ++<”．7．在验证吸烟与否与患肺炎与否有关的统计中，根据计算结果，认为这两件事情无关的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为（）A ．6．635B ．5．024C ．7．897D ．3．8418．设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），已知( 1.96)0.025P ξ<-=，则(|| 1.96)P ξ<=（）A ．0．025B ．0．050C ．0．950D ．0．9759．利用数学归纳法证明“()()()()1221321n n n n n n +++=⨯⨯⨯⨯-，*n N ∈”时，从“n k =”变到“1n k =+”时，左边应增乘的因式是（） A ．21k +B ．211k k ++ C ．()()21221k k k +++D ．231k k ++ 10．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、c ∈(0，1)），已知他投篮一次得分的均值为2，则213ab+的最小值为（） A ．323B ．283C ．143D ．16311．函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)()2(x f x y '-=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(fB ．函数)(x f 有极小值)2(-f 和极大值)1(fC ．函数)(x f 有极小值)2(-f 和极小值)2(fD ．函数)(x f 有极大值)1(f 和极小值)2(f12．已知点,,P A B 在双曲线12222=-b y a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为（） A ．332 B ．315 C ．2 D ．210 第Ⅱ卷二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）13．6⎛⎝展开式的常数项为_________．（用数字作答） 14．从221x y m n-=（其中m ，n ∈{–1，2，3}）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在x 轴上的双曲线方程的概率为_______．15．将2名主治医生，4名实习医生分成2个小组，分别安排到A 、B 两地参加医疗互助活动，每个小组由1名主治医生和2名实习医生组成，实习医生甲不能分到A 地，则不同的分配方案共有______．种．16．定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足：①当[)1,2x ∈时，()1322f x x =--；②[)0,x ∀∈+∞都有()()22f x f x =．设关于x 的函数()()F x f x a =-的零点从小到大依次为12,,nx x x 1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122n x x x +++=______．三．解答题（本题共6个大题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）17．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρθ=．（1）写出⊙C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．18．（12分）已知四棱锥P ABCD -，PD ⊥面ABCD ，AB ∥DC ，AD DC ⊥，AD =，4CD =，2PD =，E 为AP 上一点，,DE AP ⊥F 是平面DEC 与BP 的交点．（1）求证：AP ⊥面EFCD ；（2）求PC与面EFCD所成角的正弦值．19．（12分）为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：（1）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另3天的数据，求出y关于x 的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的两组检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠．(参考公式，)．20．（12分）某款游戏共四关，玩家只有通过上一关才能继续进入下一关游戏，每通过一关可得10分，现在甲和乙来玩这款游戏，已知甲每关通过的概率是12，乙每关通过的概率是23．（1）求甲、乙两人最后得分之和为20的概率；（2）设甲的最后得分为X，求X的分布列和数学期望．21．（12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），F 1、F 2分别为它的左、右焦点，过焦点且垂直于X 轴的弦长为3，且两焦点与短轴一端点构成等边三角形．（1）求椭圆C 的方程；（2）问是否存在过椭圆焦点F 2的弦PQ ，使得|PF 1|，|PQ|，|QF 1|成等差数列，若存在，求出PQ 所在直线方程；若不存在，请说明理由．22．（12分）已知函数()()2ln ,2ax f x x x g x ==．（1）求函数()f x 在x e =处的切线方程；（2）若至少存在一个[]01,x e ∈使()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围；（3）设k Z ∈且()()32f x k x k >--+在1x >时恒成立，求整数k 的最大值．2018学年下学期湖南省岳阳县第一中学高二第一次月考试卷理科数学答案第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）第Ⅱ卷二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 13．160- 14．4715．616．621n ⨯-三．解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．）17．【答案】（1）22(3x y +=；（2）()3,0P ．【解析】（1）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以22(3x y +=．又(0C，则||PC ==，故当t=0时，||PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为（3，0）． 18．【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】（1）∵PD ⊥面ABCD ，∴PD ⊥CD ．又AD CD ⊥，PDAD D =，∴CD ⊥面PAD ，∵AP ⊂面PAD ，∴AP CD ⊥．又∵,AP ED CDDE D ⊥=，∴AP ⊥面EFCD ．（2）以D 为原点，,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,2)P ，(0,4,0)C，A ，(AP =，(042)PC =-，，，设(,0,)E x z ，由DE AP⊥且AP ∥AE 可得，202z z -=-=-，解得23x z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩23E ⎫⎪⎪⎭．设(,,)m n p =n 为平面EFCD的一个法向量，则有20340p n +=⎪=⎩，令1m =，p =，∴(1,0,=n ，cos ,PC <>==n ∴PC 与面EFCD19．【答案】（1）；（2）可靠．【解析】（1）由已知中表格得，4月7日，4月15日，4月21日这3天的数据的平均数为，所以，所以y 关于x 的线性回归方程为．（2）依题意得，当时，；当时，，所以（1）中所得的线性回归方程是可靠的．20．【答案】（1）37216；（2）分布列见解析，75()8E X =．【解析】（1）设“甲、乙最后得分之和为20”为事件A ，“甲0分，乙20分”为事件B ，“甲10分，乙10分”为事件C ，“甲20分，乙0分”为事件D ，则=--=P ⨯⨯21222（B ）（1）（）（1）23327；=--=P ⨯⨯⨯11221（C ）（1）（1）223318；=--=P ⨯⨯21121（D ）（）（1）（1）22324；则==P P P P 37（A ）（B ）+（C ）+（D ）216．（2）X 的所有可能取值为0，10，20，30，40．P 1（X=0）=2；11(1)24P ⨯-=1（X=10）=2；2111()(1)228P ⨯-=（X=20）=；3111()(1)2216P ⨯-=（X=30）=；411()216P =（X=40）=，X 分布列为12348⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=111E(X)=000002481616． 21．【答案】（1）椭圆C 方程：22143x y +=；（2）不存在，见解析．【解析】（1）由条件得2232b b a a b a⎧=⎪=⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩C 方程为22143x y +=．（2）不存在．由条件得：1138PF PQ QF PQ ++==，则83PQ =，显然直线PQ 不与x 轴重合，当PQ 与x 轴垂直，即直线PQ 斜率不存在时，22234||323b PQ a ⨯===≠，当直线PQ 斜率存在时，设它的斜率为k ，则直线PQ 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，代入椭圆C 的方程，消去y 并整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，2144(1)0Δk =+>，11()P x y 设，，22(,)Q x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+，∴2212(1)||43k PQ k +==+当2212(1)8=433k k ++时，k 无解．22．【答案】（1）20x y e --=；（2）()0,+∞；（3）5．【解析】。

湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)

2018年上学期高二年级期终考试试题数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合，,则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可. 详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：模拟程序的运行，可得，不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A. B. 15 C. 30 D.【答案】B【解析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．5. 函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为( )A. [，]B. [，3]C. [，]D. [，3]【答案】B【解析】【详解】分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.6. 已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7. 某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：8. 设，则二项式展开式的常数项是（）A. 1120B. 140C. -140D. -1120【答案】A【解析】【详解】分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（）A. 13B. 14C. 16D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：时，函数值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，（当且仅当时取“=”），所以，的最小值为，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.11. 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切，所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12. 已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性与极值，利用数形结合进行求解即可.详解：当时，，则不成立，即方程没有零解，①当时，，即，则，设，则，由得，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极小值，当时，，当时，.②当时，，即，则，设，则，由得（舍去）或，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极大值，当时，，当时，，作出函数和图象如图，要使方程在有三个实数，则或，故选B.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）13. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.【答案】10080【解析】【详解】分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；为第二个安排医生和护士种结果；为第三个安排医生和护士种结果，根据分步计数原理可得，故答案为.点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14. 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．【答案】【解析】【详解】分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15. 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.【答案】【解析】【详解】分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.详解：双曲线的两条渐近线方程，又抛物线的准线方程是，故两点的横坐标坐标分别是，又的面积为1，，得，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系16. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________. 【答案】【解析】【详解】分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.详解：成等差数列，，又，由，得，，因为，，解得，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.详解：设数列的公比为.由=得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为(2)点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析( 2)【解析】【详解】分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。

湖南省常德一中2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析

2017-2018学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有6名男医生，从中选出2名男医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．15种C．30种D．48种2．用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成的三位数的个数为（）A．125 B．60 C．120 D．903．工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N（μ，σ2）．在一次正常实验中，取1000个零件时，属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围零件个数最可能为（）A．997个B．954个C．682个D．3 个4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算K2的观测值k=6.89，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．以上说法都不对5．设（2﹣x）5=a0+a1x+…+a5x5，那么a0的值为（）A．1 B．16 C．32 D．﹣16．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣7．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=2，D（ξ）=1，则p等于（）A．B．0.5 C．1 D．08．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气根据上表可得回归方程=30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．2419．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种10．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.4511．（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．312．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将点的极坐标（2，）化为直角坐标为．14．已知C=C，则x=．15．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为．16．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），则P（ξ＞4）=；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小；其中正确的说法是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．一场晚会有3个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单．（用数字作答）（1）前3个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）2个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=．（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．20．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．21．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝网购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）求这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率：（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，记ξ=|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a＞0，（1）若x=1是f（x）的极值点，求a；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）设g（x）=﹣ [f（t）﹣lnt+at]dt，若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得g（x1）•g（x2）=1，求a的取值范围．2015-2016学年湖南省常德一中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．有6名男医生，从中选出2名男医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A．60种B．15种C．30种D．48种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，利用组合知识可得答案．【解答】解：根据题意，从6名男医生中选2人，有C62=15种选法，故选：B．2．用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成的三位数的个数为（）A．125 B．60 C．120 D．90【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由已知5个数字1、2、3、4、5，任取三个数组成一个三位数，那么百位数有5种选择；十位数有5种选择；个位数有5种选择．再运用乘法原理解答．【解答】解：由题意百位数有5种选择；十位数有5种选择；个位数有5种选择．运用乘法原理共有5×5×5=125个．故选：A．3．工人制造机器零件尺寸在正常情况下，服从正态分布N（μ，σ2）．在一次正常实验中，取1000个零件时，属于（μ﹣3σ，μ+3σ）这个尺寸范围零件个数最可能为（）A．997个B．954个C．682个D．3 个【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】正态分布的特点知属于（μ﹣3σ，μ+3σ）的事件的概率为0.997，利用此概率就解即可．【解答】解：由3σ原则知属于（μ﹣3σ，μ+3σ）的事件的概率为0.997．故1000个零件中有997个在范围内．故选：A．4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点随机抽取了100位居民进行调查，经过计算K2的观测值k=6.89，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为栏目是否优秀与改革有关C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．以上说法都不对【考点】独立性检验．【分析】k≈6.89＞6.635时，可得有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．【解答】解：∵k≈6.89＞6.635时，∴有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．故选C．5．设（2﹣x）5=a0+a1x+…+a5x5，那么a0的值为（）A．1 B．16 C．32 D．﹣1【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，利用特殊值，令x=0求出所求的结果．【解答】解：∵（2﹣x）5=a0+a1x+…+a4x4+a5x5，∴令x=0，得（2﹣0）5=a0=32．故选：C．6．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】直线的斜率；直线的参数方程．【分析】把直线的参数方程消去参数化为普通方程可得y=﹣x+，从而得到直线的斜率．【解答】解：∵直线的参数方程为（t为参数），消去参数化为普通方程可得y=﹣x+．故直线的斜率等于﹣．故选：D．7．随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=2，D（ξ）=1，则p等于（）A．B．0.5 C．1 D．0【考点】二项分布与n次独立重复试验的模型．【分析】利用二项分布的期望与方差公式求解即可．【解答】解：随机变量ξ服从二项分布ξ～B（n，p），且E（ξ）=2，D（ξ）=1，可得np=2，np（1﹣p）=1，解得p=0.5．故选：B．8．学校小卖部为了研究气温对饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气30℃时销售饮料瓶数为（）A．141 B．191 C．211 D．241【考点】回归分析的初步应用．【分析】先计算样本中心点，求出回归方程，即可预测气温为30℃时销售饮料瓶数．【解答】解：由题意，=7.8，==57.8∵回归方程中的为6，∴57.8=6×7.8+∴=11∴∴x=30°时，故选B．9．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁不能排在一起，则不同的排法共有（）A．12种B．20种C．24种D．48种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故选：C．10．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p 的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．11．（1﹣x）4（1﹣）3的展开式x2的系数是（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．3【考点】二项式定理．【分析】列举（1﹣x）4与可以出现x2的情况，通过二项式定理得到展开式x2的系数．【解答】解：将看作两部分与相乘，则出现x2的情况有：①m=1，n=2；②m=2，n=0；系数分别为：①=﹣12；②=6；x2的系数是﹣12+6=﹣6故选A12．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣alnx（a∈R），g（x）=﹣x3+x2+2x﹣6，g（x）在[1，4]上的最大值为b，当x∈[1，+∞）时，f（x）≥b恒成立，则a的取值范围（）A．a≤2 B．a≤1 C．a≤﹣1 D．a≤0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数与函数的单调性关系判断g（x）的单调性求出g（x）在[1，4]上的最大值b，对a进行讨论判断f（x）在[1，+∞）上的单调性，令f min（x）≥b解出a的范围．【解答】解：g′（x）=﹣3x2+5x+2，令g′（x）=0得x=2或x=﹣．当1≤x＜2时，g′（x）＞0，当2＜x＜4时，g′（x）＜0，∴g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减，∴b=g（2）=0．∴f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，f′（x）=2x﹣a﹣=，令h（x）=2x2﹣ax﹣a，△=a2+8a．（1）若△=a2+8a≤0，即﹣8≤a≤0，则h（x）≥0恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴﹣8≤a≤0．（2）若△=a2+8a＞0，即a＜﹣8或a＞0．令f′（x）=0得h（x）=0，解得x=（舍）或x=．若a＜﹣8，则＜0，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴a＜﹣8．若0＜≤1，即0＜a≤1，则h（x）＞0在[1，+∞）上恒成立，∴f′（x）≥0恒成立，∴f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f min（x）=f（1）=1﹣a≥0，解得a≤1，∴0＜a≤1．若＞1，即a＞1时，则1≤x＜时，h（x）＜0，当x＞时，h（x）＞0．∴1≤x＜时，f′（x）＜0，当x＞时，f′（x）＞0．∴f（x）在[1，]上单调递减，在（，+∞）上单调递增．此时f min（x）＜f（1）=1﹣a＜0，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将点的极坐标（2，）化为直角坐标为（，1）．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】直接利用极坐标与直角坐标的互化求解即可．【解答】解：将点的极坐标（2，）化为直角坐标为（2cos，2sin），即（，1）．故答案为：（，1）．14．已知C=C，则x=1或3．【考点】组合及组合数公式．【分析】由组合数的性质和方程，可得x=3x﹣2或x+3x﹣2=10，求解即可．【解答】解：因为C10x=C103x﹣2，可得x=3x﹣2或x+3x﹣2=10解得x=1或x=3．故答案为1或315．甲从学校乘车回家，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，则甲回家途中遇红灯次数的期望为 1.2．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意知，在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，得到本题是一个独立重复试验，试验的次数是3，事件发生的概率已知，根据独立重复试验的期望公式得到结果．【解答】解：设甲在途中遇红灯次数为ξ，∵在各交通岗遇红灯的事件是相互独立的，并且概率都是∴ξ～B（3，），∴Eξ=3×=1.2．故答案为：1.216．给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），则P（ξ＞4）=；④对分类变量X与Y，若它们的随机变量K2的观测值k越小，则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小；其中正确的说法是②③．【考点】的真假判断与应用．【分析】①由绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，即可判断；②根据R2的性质进行判断．③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），利用对称性可得结论；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，可得结论．【解答】解：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故①错误；②在刻画回归模型的拟合效果时，R2的值越大，说明拟合的效果越好；故②正确，③设随机变量ξ服从正态分布N（4，22），则函数图象关于x=4对称，则P（ξ＞4）=；故③正确，④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大则判断“X与Y有关系”的犯错误的概率越小，故④错误，故答案为：②③三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．一场晚会有3个唱歌节目和2个舞蹈节目，要求排出一个节目单．（用数字作答）（1）前3个节目中要有舞蹈，有多少种排法？（2）2个舞蹈节目要排在一起，有多少种排法？（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，有多少种排法？【考点】排列、组合的实际应用．【分析】（1）先不考虑限制条件，5个节目全排列有A55=120种方法，前3个节目中要有舞蹈的否定是前3个节目全是唱歌有A33A22=12种方法，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．（2）要把2个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把2个舞蹈节目看做一个元素和另外3个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把3个唱歌节目排列，形成4个位置，选2个把舞蹈节目排列．【解答】解（1）∵5个节目全排列有A55=120种方法，若前3个节目中要有舞蹈的否定是前3个节目全是唱歌有A33A22=12种方法，∴前4个节目中要有舞蹈有120﹣12=108种方法；（2）∵2个舞蹈节目要排在一起，∴可以把2个舞蹈节目看做一个元素和另外3个元素进行全排列，三个舞蹈节目本身也有一个排列有A44A22=48种方法；（3）2个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把3个唱歌节目排列，形成4个位置，选2个把舞蹈节目排列，有A33A42=72种方法．18．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角α=，（1）写出直线l的参数方程；（2）设l与圆x2+y2=4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．【考点】直线的参数方程；直线与圆的位置关系；圆的参数方程．【分析】（1）利用公式和已知条件直线l经过点P（1，1），倾斜角，写出其极坐标再化为一般参数方程；（2）由题意将直线代入x2+y2=4，从而求解．【解答】解：（1）直线的参数方程为，即．（2）把直线代入x2+y2=4，得，t1t2=﹣2，则点P到A，B两点的距离之积为2．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=．（1）证明PC⊥AD；（2）求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由勾股定理得出AD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得出PA⊥AD，故AD⊥平面PAC，从而AD⊥PC；（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，，则|cos＜＞|为所求．【解答】证明：（1）∵AC=1，AD=2，CD=，∴AC2+AD2=DC2，∴AC⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PA，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴PC⊥AD．（2）以A为原点，以AD，AC，AP为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示则D（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2），∴=（2，﹣1，0），=（0，﹣1，2），设平面CDP的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1得=（1，2，1），又AD⊥平面APC，∴=（1，0，0）为平面PAC的一个法向量，∴cos＜＞===．∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知中心在原点的椭圆C的左焦点F（﹣，0），右顶点A（2，0）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为的直线l与椭圆C交于A、B两点，求弦长|AB|的最大值及此时l的直线方程．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知：c=，a=2，又b2=a2﹣c2．即可得出椭圆C的方程．（2）设直线l的方程为y=x+b，与椭圆方程联立可得x2+2bx+2b2﹣2=0，△≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系可得：弦长|AB|==，由于0≤b2≤2，即可得出．【解答】解：（1）由题意可知：c=，a=2，∴b2=a2﹣c2=1．∵焦点在x轴上，∴椭圆C的方程为：．（2）设直线l的方程为y=x+b，由，可得x2+2bx+2b2﹣2=0，∵l与椭圆C交于A、B两点，∴△=4b2﹣4（2b2﹣2）≥0，即b2≤2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣2b，x1x2=2b2﹣2．∴弦长|AB|==，∵0≤b2≤2，∴|AB|=≤，∴当b=0，即l的直线方程为y=x时，弦长|AB|的最大值为．21．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为1或2的人去淘宝网购物，掷出点数大于2的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）求这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率：（Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去淘宝网购物的人数和去京东商城购物的人数，记ξ=|X ﹣Y|，求随机变量ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】概率的应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）先求出去淘宝网购物的概率为P=，去京东商城购物的概率为1﹣P=，然后再求恰有2人去淘宝的概率；（2）把事件分为两个互斥事件，再求解即可；（3）分别求出ξ的可能值，再写出分布列，求出期望值即可．【解答】解：（1）每个人去淘宝网购物的概率为P=，去京东商城购物的概率为1﹣P=这4个人中恰有2人去淘宝网购物的概率为p2（1﹣p）2=（2）恰有3人去淘宝购物的概率为p3（1﹣p），恰有4人去淘宝的概率为p4，∴这4个人中去淘宝网购物的人数大于去京东商城购物的人数的概率为为p3（1﹣p）+p4=（3）ξ可取0，2，4P（ξ=0）=P（ξ=2）=P（ξ=4）=ξ22．已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx，其中a＞0，（1）若x=1是f（x）的极值点，求a；（2）若f（x）在区间[1，e]上的最小值为﹣2，求a的取值范围；（3）设g（x）=﹣ [f（t）﹣lnt+at]dt，若对于任意的x1∈（2，+∞），都存在x2∈（1，+∞），使得g（x1）•g（x2）=1，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）利用导数的运算法则可得：由题意得，f′（1）=0，解得a，即可得出．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），当a＞0 时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=或x=，对a与1，e的大小关系分类讨论，利用单调性即可得出．（3），由题意知，y=g（x）（x＞2）的值域是的值域的子集．设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=，则A⊆B，g′（x）=﹣ax2+2x，令g′（x）=0，则x=0或，可得g（x）的单调性，又，当x∈时，g（x）＞0；当x∈时，g（x）＜0．下面分三种情况讨论：①当＞2，即时；②当，即时；③当，即a＞3时，即可得出．【解答】解：（1）f′（x）=2ax﹣（a+2）+=，由题意得，f′（1）=0，解得a=1，经检验符合题意．（2）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞），当a＞0 时，f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=或x=，①当0＜a≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上递增，∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=﹣2，符合题意；②当，即时，f（x）在上递减，在上递增，∴f（x）在[1，e]上的最小值为＜f（1）=﹣2，不合题意；③当，即时，f（x）在[1，e]上递减，∴f（x）在[1，e]上的最小值为f（e）＜f（1）=﹣2，不合题意，综上，a的取值范围是[1，+∞）．（3）由题意知，y=g（x）（x＞2）的值域是的值域的子集．设集合A={g（x）|x∈（2，+∞）}，集合B=，则A⊆B，g′（x）=﹣ax2+2x，令g′（x）=0，则x=0或x g′x g x又∴当x∈时，g（x）＞0；当x∈时，g（x）＜0．下面分三种情况讨论：①当＞2，即时，由可知，0∈A，而0∉B，∴A不是B的子集．②当，即时，有g（2）≤0，g（x）在（2，+∞）上单调递减，故A=（﹣∞，g（2））⊆（﹣∞，0）；又g（1）≥0，∴（﹣∞，0）⊆B，故A⊆B，符合题意；③当，即a＞3时，有g（1）＜0，且g（x）在（1，+∞）上单调递减，故B=，A=（﹣∞，g（2）），∴A不是B的子集．综上，a的取值范围是．2016年11月1日。

湖南省五市十校2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)

2018年上学期高二年级期终考试试题数学（理科）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1. 已知集合，,则等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集确定出，然后利用交集的定义求解即可.详解：由中不等式变形得，解得，即，因为，，故选C.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合. 本题需注意两集合一个是有限集，一个是无限集，按有限集逐一验证为妥.2. 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【详解】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，求出的坐标即可得结论.详解：因为，复数的在复平面内对应的点为，位于第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为12，4，则输出的等于（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）．详解：模拟程序的运行，可得，不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；不满足结束循环的条件，执行循环体，；满足结束循环的条件，退出循环，输出的值为，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4. 在等差数列中，是函数的两个零点，则的前10项和等于（）A. B. 15 C. 30 D.【答案】B【解析】由题意得是方程的两根，∴，∴．选B．5. 函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为( )A. [，]B. [，3]C. [，]D. [，3]【答案】B【解析】【详解】分析：由，求出的取值范围，从而求出的范围，从而可得的值域.详解：，，，，即在区间上的值域为，故选B.点睛：本题考查了求三角函数在闭区间上的值域问题，意在考查解题时应考虑三角函数的单调性与最值，属于简单题.6. 已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】分析：由推导出，从而，由此能求出向量在向量方向上的投影.详解：，且，，，向量在向量方向上的投影为，故选C.点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.7. 某几何体的三视图如图4所示，则该几何体的体积为()A. B. C. D.【答案】B【解析】作出立体图形为：故该几何体的体积为：8. 设，则二项式展开式的常数项是（）A. 1120B. 140C. -140D. -1120【答案】A【解析】【详解】分析：利用微积分基本定理求得，先求出二项式的展开式的通项公式，令的指数等于，求出的值，即可求得展开式的常数项.详解：由题意，二项式为，设展开式中第项为，，令，解得，代入得展开式中可得常数项为，故选A.点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.9. 函数的图像恒过定点，若定点在直线上，则的最小值为（）A. 13B. 14C. 16D. 12【答案】D【解析】【详解】分析：利用指数型函数的性质可求得定点，将点的坐标代入，结合题意，利用基本不等式可得结果.详解：时，函数值恒为，函数的图象恒过定点，又点在直线上，，又，（当且仅当时取“=”），所以，的最小值为，故选D.点睛：本题主要考查指数函数的性质，基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.10. 抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：设，则，由利用韦达定理求解即可.详解：设，的焦点，设过点的直线为，，，，，故选B.点睛：本题主要考查平面向量数量积公式、平面向量的运算、直线与抛物线的位置关系，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，考查转化与划归思想以及计算能力，属于中档题.11. 已知圆，若圆心，且圆与轴相切，则圆心与点连线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】分析：画出可行域，由可行域结合圆与轴相切，得到且，从而可得结果.详解：画出可行域如图，由圆的标准方程可得圆心，半径为，因为圆与轴相切，所以，直线分别与直线与交于点，所以，圆心与点连线斜率为时，；时，所以圆心与点连线斜率的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解，属于中档题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度，此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.12. 已知函数,，若方程在时有3个实根，则的取值范围为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】分析：利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性与极值，利用数形结合进行求解即可.详解：当时，，则不成立，即方程没有零解，①当时，，即，则，设，则，由得，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极小值，当时，，当时，.②当时，，即，则，设，则，由得（舍去）或，此时函数递增；由得，此时函数递减，故当时，函数取得极大值，当时，，当时，，作出函数和图象如图，要使方程在有三个实数，则或，故选B.点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在答题卡上）13. 3名医生和9名护士被分配到3所学校为学生体检，每所学校分配1名医生和3名护士，不同的分配方法共有________种.【答案】10080【解析】【详解】分析：首先为第一个学校安排医生和护士，再为第二个安排医生和护士，为第三个安排医生和护士，根据分步计数乘法原理可得结果.详解：为第一个学校安排医生和护士有种结果；为第二个安排医生和护士种结果；为第三个安排医生和护士种结果，根据分步计数原理可得，故答案为.点睛：本题考查组合式的应用、分步计数乘法原理的应用以及分组与分配问题，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14. 现在“微信抢红包”异常火爆．在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额9元，被随机分配为元，元，元，元，元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于5元的概率是__________．【答案】【解析】【详解】分析：基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况种数，能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率.详解：所发红包的总金额为元，被随机分配为元，元，元，元，元，共份，供甲、乙等人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的情况有，种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于元的概率，故答案为.点睛：本题考查古典概型概率公式的应用，属于简单题. 在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.15. 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A，B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为_______.【答案】【解析】【详解】分析：求出双曲线的两条渐近线方程与抛物线的准线方程，进而求出两点坐标，再由的面积为，列出方程列方程求解即可.详解：双曲线的两条渐近线方程，又抛物线的准线方程是，故两点的横坐标坐标分别是，又的面积为1，，得，故答案为.点睛：本题主要考查双曲线的几何性质以及抛物线的几何性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系16. 已知△ABC中，角A，B，C成等差数列，且△ABC的面积为2＋，则AC边长的最小值是________.【答案】【解析】【详解】分析：由已知及等差数列的性质可得，结合三角形内角和定理可求的值，利用三角形面积公式可得，利用余弦定理及基本不等式可解得边的最小值.详解：成等差数列，，又，由，得，，因为，，解得，的最小值为，故答案为.点睛：本题主要考查了等差数列的性质、三角形内角和定理、三角形面积公式、余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化与划归思想，属于中档题.三.解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】分析：（1）根据，列出关于首项，公比的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式；（2）由（1）可得，结合等比数列求和公式，利用错位相减法求解即可.详解：设数列的公比为.由=得，所以.由条件可知，故.由得，所以.故数列的通项公式为(2)点睛：本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式以及错位相减法求数列的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18. 如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,侧面是等腰直角三角形,且,侧面⊥底面.(1)若分别为棱的中点,求证:∥平面；(2)棱上是否存在一点,使二面角成角，若存在,求出的长；若不存在,请说明理由.【答案】(1)见解析( 2)【解析】【详解】分析：（1）取中点,连结,由三角形中位线定理可得,可证明四边形为平行四边形,可得,由线面平行的判定定理可得结论；（2）取中点,连结、,先证明、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，设，利用向量垂直数量积为零列方程组，求出平面的法向量，平面的法向量为，由空间向量夹角余弦公式列方程可得结果.详解：(1)取中点,连结,∵分别为、中点，∴//,, 又点为中点,∴且,∴四边形为平行四边形,∴∥,又平面,平面,∴∥平面.(2)取中点,连结、,∵是以为直角的等腰直角三角形,又为的中点,∴,又平面⊥平面,由面面垂直的性质定理得⊥平面,又平面,∴⊥,由已知易得:、、两两垂直. 以为原点,分别以、、正方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系如图示,则,设,则:,.设平面ABF的法向量为,则,∴,令,则,∴.又平面的法向量为,由二面角成角得:,∴,解得:,或不合题意,舍去.∴,当棱上的点满足时, 二面角成角.点睛：利用法向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19. 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：万元）对年销售量（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响。

2017-2018学年高二下学期第一次月考数学(理)试题

一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个正确．每小题5分，共60分）1. 给出下列四个命题，其中正确的是 ( )①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线；③空间四点中存在三点共线，则此四点共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面A. ②③B. ①②③C. ①②D. ②③④【答案】A【解析】对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故①错误；对于②，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾故②正确；对于③，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故③正确；对于④，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形，故④不正确；故选A.2. 在空间中，下列命题正确的是（）A. 若直线//平面，直线//，则//；B. 若//平面，//平面，，则//C. 若，，则//；D. 若//，，则//平面【答案】D【解析】选项A中，由条件可得或，故A不正确．选项B中，由条件可得//或相交，故B不正确．选项C中，由条件可得//或相交，故C不正确．选项D中，由面面平行的性质可得//平面，故D正确．选D．3. .设是三条不同的直线，是两个不同的平面，则能使成立是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】选项A中，由，可得不一定成立，故A不正确；选项B中，由，，不能得到，故B不正确；选项C中，由，可得，故C正确；选项D中，由，可得，故D不正确。

综上选C。

4. 如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A. 6B. 8C. 2＋3D. 2＋2【答案】B【解析】由题意可得原图形为如图所示的平行四边形，其中，所以，故原图形的周长为8．选B．点睛：（1）斜二测画法的规则：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴和轴的线段；已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的．（2）对于直观图，除了了解斜二测画法的规则外，还要了解原图形面积与其直观图面积之间的关系，并能进行相关问题的计算．5. 已知、是异面直线，平面，平面，则、的位置关系是（）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不能确定【答案】A【解析】∵、是异面直线，平面，平面，∴若，则，与、是异面直线矛盾，∴、的位置关系是相交，故选A.6. 关于直线与平面，有以下四个命题：①若且，则；②若且，则；③若且，则；④若且，则；其中真命题的序号是（ ) A. ①② B. ③④ C. ①④ D. ②③【答案】D【解析】试题分析：若且，则可能平行也可能异面，也可以相交，故①错误；若且则一定垂直，故②正确；若且，则一定垂直，故③正确；若且，则可能平行也可能异面，也可以相交．故选D．考点：空间中直线与平面之间的位置关系7. 在四面体中，两两垂直，且均相等，是的中点，则异面直线与所成的角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：根据题意设取中点记为，连接,在中，分别是中点，所以，所以异面直线与所成的角，即为与所成的角，在中,则,同理，在等腰三角形中，,所以为等边三角形，所以与所成的角为，即与所成的角为，所以答案为C.考点：1.异面直线所成的角；2.三角形的中位线.8. 如图,各棱长均为的正三棱柱，、分别为线段、上的动点,且平面,则这样的有 ( )A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条【答案】D【解析】由题意得．在上分别取，使，过作，垂足分别为，则，故．由于，故，从而，可得平面．又平面，可得平面平面．由于平面，所以平面，从而满足条件的有无数条．选D．9. 从点P引三条射线PA、PB、PC,每两条的夹角都是60,则二面角B－PA－C的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，在射线上分别取点，使，则在三棱锥中，所有的棱长都等于1．取的中点M，连MB,MC，则有，，故即为二面角B－PA－C的平面角．在中，，由余弦定理得，即二面角B－PA－C的余弦值为．选C．10. 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则图中的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的三棱柱去掉一个三棱锥后剩下的几何体．其中，侧面为正方形，D为BC的中点，BC=4．由题意可得，解得．选C．11. 已知正三棱锥P—ABC的高PO的长为，点D为侧棱PC的中点，PO与BD所成角的余弦值为，则正三棱锥P—ABC的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由于几何体为正三棱锥，所以是等边三角形的重心，分中线成，取为中点，由于是中点，所以是直角三角形的中位线，所以，所以为与所成角，所以，设底面边长为，则，由解得，所以三棱锥的体积为.考点：三棱锥体积.【思路点晴】以客观题形式或作为解答题的一个构成部分考查常见几何体的表面积与体积，一般都是易题，有时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想，与三视图结合是主要命题形式.若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.由于本题题目所以的三棱锥是正三棱锥，所以顶点在底面射影是底面的中心. 12. 如图，在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】如图，在中，由余弦定理得．取CD的中点E，连BE,AE，则，且，故，所以，从而可得平面ACD．设的外接圆的半径为，圆心为，则在上，由，可得，解得．由题意得球心O在过点且与平面垂直的直线上，令，设，则由可得，解得．设三棱锥的外接球的半径为，则，所以外接球的表面积．选A．点睛：对于几何体的外接球的体积、表面积问题，解答的关键是求出球半径，解题时首先要确定球心的位置．根据几何体的特征可得球心在过几何体底面多边形外接圆的圆心且与底面垂直的直线上，然后根据球心到几何体各个定点的距离相等建立方程，解方程可得球半径，进而其他问题可得解．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在题中横线上）13. 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位:），则该几何体的体积为____【答案】【解析】由三视图可得，该几何体是由上下两部分组合而成，其中上方为棱长是1的正方体；下方为两个棱长为1的正方体和一个底面为等腰直角三角形（直角边为1）高为1的直三棱柱．故其体积为．答案：14. 如图：长方体ABCD—A B C D中，AB=3，AD=AA=2，E为AB上一点，且AE=2EB，F为CC的中点，P为C D上动点，当EF⊥CP时，PC=_________．【答案】2【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，∵长方体中，，为上一点，且，为的中点，为上动点，∴，设，∴，∵，∴，解得，∴，∴，∴．故答案为：2．15. 在直三棱柱ABC－A B C中，AB＝BC＝，BB＝2，ABC＝90，E、F分别为AA、C B的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为________【答案】【解析】由题意得直三棱柱底面为等腰直角三角形．①若把面和面B1C1CB展开在同一个平面内，则线段EF在直角三角形A1EF中，由勾股定理得．②若把把面ABA1B1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，在直角三角形EFG 中，由勾股定理得．③若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作两线交于点H，则EF在直角三角形EFH中，由勾股定理得．综上可得从E到F两点的最短路径的长度为．答案：点睛：（1）研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．（2）在本题中由于展开的方式不同，故在解题中采用了分类讨论的方法，按照三种不同的方式将几何体的侧面展开，然后对所得的结果进行比较以得到最短距离．16. 如右图，三棱柱中，E,F分别是AB、AC的中点，平面将三棱柱分成体积为两部分，则：＝________.【答案】【解析】设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则．∵E,F分别为AB,AC的中点，∴，，，∴．答案：三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图四棱锥P—ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，其中BC=2AB=2PA=6，M、N为侧棱PC上的三等分点.（Ⅰ）证明：AN∥平面MBD；（Ⅱ）求三棱锥N—MBD的体积.【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）3.试题解析：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OM，∵底面ABCD为矩形，∴O为AC的中点，∵M、N为侧棱PC上的三等分点，∴CM=MN，∴OM∥AN，∵OM平面MBD，AN平面MBD，∴AN∥平面MBD；（Ⅱ）18. 如图是某直三棱柱被削去上底后所得几何体的左视图、俯视图、直观图，在直观图中，M 是BD的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示.（Ⅰ）求该几何体的表面积和体积；（Ⅱ）求点C到平面MAB的距离.【答案】（Ⅰ）体积是4，表面积是; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）由题意得该几何体为四棱锥，然后根据三视图中的数据可得几何体的体积和表面积．（2）设C到面MAB的距离为，然后根据可得，即所求的点到面的距离．试题解析：由三视图可得，在几何体中，EA平面ABC，DC平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB AC，且AC=2．（Ⅰ）∵EA平面ABC，AB平面ABC，∴EA AB，又AB AC，，∴AB平面ACDE，∴四棱锥B—ACDE的高，又梯形ACDE的面积，∴体积为；表面积为S=.（Ⅱ）如图，过M作MN⊥BC于N，过N作NH⊥AB于H，则MH⊥AB．结合题意可得点M到AB的距离，故．设C到面MAB的距离为，由得：，即解得．即点C到平面MAB的距离．19. 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点.（Ⅰ）求异面直线NE与AM所成角的余弦值；（Ⅱ）在线段AN上是否存在一点S，使ES⊥平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）.【解析】略视频20. 如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1 中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。

湖南省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试题Word版

湖南省2017-2018学年高二下学期第一次月考数学试题第一部分水平测试（100分）一、选择题：（每小题5分，满分40分）1．已知集合M={0，1，2}，N={x}，若M∪N={0，1，2，3}，则x的值为（）A．3 B．2 C．1 D．02．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为（）A．球 B．圆柱C．圆台D．圆锥3．在区间[0，5]内任取一个实数，则此数大于3的概率为（）A． B． C．D．4．某程序框图如图所示，若输入x的值为1，则输出y的值是（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知向量=（1，2），=（x，4），若∥，则实数x的值为（）A．8 B．2 C．﹣2 D．﹣86．不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≥2或x≤﹣1} D．{x|x＞2或x＜﹣1}7．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是（）A．平行B．相交C．异面但不垂直 D．异面且垂直第7题第8题8．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B 到点C的距离AC=BC=1km，且∠ACB=120°，则A、B两点间的距离为（）A． km B． km C．1. 5km D．2km二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）．9．计算：log21+log24= ．10．已知1，x，9成等比数列，则实数x= ．11．已知点（x，y）在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z=x+y的最大值是．12．已知两点P（4，0），Q（0，2），则以线段PQ为直径的圆的方程是13．如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，E、F分别是AB、CD的中点，现在沿EF把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C（如图2），则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为．三、解答题：（本大题共3题，满分35分）14．（11分）已知，＜θ＜π．（1）求tanθ；（2）求的值．15．（12分）已知二次函数f（x）=x2+ax+b满足f（0）=6，f（1）=5（1）求函数f（x）解析式（2）求函数f（x）在x∈[﹣2，2]的最大值和最小值．16．（12分）已知等比数列{a n }的公比q=2，且a 2，a 3+1，a 4成等差数列．（1）求a 1及a n ；（2）设b n =a n +n ，求数列{b n }的前5项和S 5．第二部分能力测试（50分）一、选择题：（每小题5分，满分10分）17、已知函数()()e x f x x a =+的图象在1x =和1x =-处的切线相互垂直，则a =（）A ．1-B ．0C ．1D ．218、过抛物线22y px =（0p >）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点向y 轴引垂线交y轴于D ，C ，若梯形ABCD 的面积为p =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、解答题：（本大题共3题，满分40分）19、（14分）锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆的外接圆半径为R ，且满足2sin 3R a A =. （1）求角A 的大小；（2）若b=2 , c=3求ABC ∆的面积（3）若2a =，求ABC ∆周长的最大值.（第18题）20、（13分）已知函数2()ln f x x x ax =+-，a ∈R ．（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）设()()(3)g x f x a x =+-，试讨论函数()g x 的单调性21、（13分）在平面直角坐标系xOy 中，已知12F F ，分别为椭圆22221y x a b+=（0a b >>）的左、右焦点，且椭圆经过点(20)A ，和点(13)e ，，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 交椭圆于另一点B ，点M 在直线l 若21BF MF ⊥，求直线l 的斜率．。

【高二】湖南双峰县2017-2018学年高二《数学》月月考试题文及答案

湖南省双峰县2017-2018学年高二数学12月月考试题文一．选择题（本大题共12小题，每小题5，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合U ＝{小于7的正整数}，A ＝{1,2,5}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|32－x ＋1≤0，x ∈N ，则A∩(∁U B)＝( )A ．{1}B ．{2} bC ．{1,2}D ．{1,2,5}2．已知p ：x 2－x<0，那么命题p 的一个必要不充分条件是( )A ．0<x<1B ．－1<x<1 C. 12<x<23D. 12<x<23.．已知数列2、6、10、14、（）项A ．23B ．24C ．19D ．254．已知向量OA ＝(1，－3)，OB ＝(2，－1)，OC＝(k ＋1，k －2)，若A 、B 、C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是( )A ．k ＝－2B ．k ＝12C ．k ＝1D ．k ＝－15．已知A ＝sin k π＋α sin α＋cos k π＋αcos α(k ∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2}6．对于R 上可导的任意函数f （x ），若满足（x －1）f x '（） 0，则必有（） A ．f （0）＋f （2） 2f（1） B. f （0）＋f （2） 2f（1） C ．f （0）＋f （2） 2f（1） D. f （0）＋f （2） 2f（1） 7．已知sin x ＝2cos x ，则sin 2x ＋1＝( )A.65B.95C.43D.538．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全依大小排列)2、4、4、5、5、6、7、8、9、11、x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( ) A ．6B. 6 C ．66 D ．6.59．若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D ．x 2＋y 23＝110．方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的椭圆的左顶点为A ，左、右焦点分别为F 1、F 2，D 是它短轴上的一个端点，若31DF ＝DA＋22DF ，则该椭圆的离心率为( )A.12B.13C.14D.1511．如下图，在直角坐标系内，射线OT 落在60的终边上，任作一条射线OA ，则射线落在∠xOT 内的概率是（）． A ．16 B ．15 C ．14D ．以上全不对xA12，则函数F(x)＝1－2f(x ＋3)的值域是 ( )B ．[－2,0]D ．[1,3]二．填空题：(把答案填在题中横线上。

【研】2017-2018学年第二学期第一次月考模拟试卷(高二理)数学答案

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【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题． 12．若函数 f（x）=x3+ax2+bx+c 有极值点 x1，x2，且 f（x1）=x1，则关于 x 的方程 3（f（x））2+2af（x）+b=0 的不同实根个数是（ A．3 B．4 C．5 ） D．6
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得 sinA=1，可得 A= ，由此可得△ABC 的形状．【解答】解：△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即 sin（B+C）=sinAsinA，可得 sinA=1，故 A= ，故三角形为直角三角形，故选 B．
【分析】本题是典型的利用函数的导数求最值的问题，只需要利用已知函数的最大值为 3，进而求出常熟 m 的值，即可求出函数的最小值．【解答】解：由已知，f′（x）=6x2﹣12x，有 6x2﹣12x≥0 得 x≥2 或 x≤0，因此当 x∈[2，+∞），（﹣∞，0]时 f（x）为增函数，在 x∈[0，2]时 f（x）为减函数，又因为 x∈[﹣2，2]，所以得当 x∈[﹣2，0]时 f（x）为增函数，在 x∈[0，2]时 f（x）为减函数，所以 f（x）max=f（0）=m=3，故有 f（x）=2x3﹣6x2+3 所以 f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5 因为 f（﹣2）=﹣37＜f（2）=﹣5，所以函数 f（x）的最小值为 f（﹣2）=﹣37．答案为：﹣37 【点评】本题考查利用函数的导数求最值的问题，解一元二次不等式的方法． 15．已知 F1、F2 为椭圆 8 ．

湖南省2018-2019学年高二下学期第一次月考理科数学测试题及答案解析

湖南省2018-2019学年高二下学期第一次月考理科数学试题一、选择题1、某观察站与两灯塔、的距离分别为300米和500米，测得灯塔在观察站北偏东30，灯塔在观察站南偏东30处，则两灯塔、间的距离为（）A ．400米B ．500米C ．800米D ．700米2、不等式的解集是，则a ＋b 的值是（）A ．10B ．－10C ．14D ．－143、小正方形按照下图中的规律排列，每个图形中的小正方形的个数构成数列有以下结论:①；②是一个等差数列；③数列是一个等比数列；④数列的递堆公式其中正确的是（）A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④4、在中，若，，，则（）A ．B ．C ．D ．5、下列说法正确的是 ( )A ．，且，则B ．若，则C ．，且，则D ．，且，则6、等比数列中，，则（）A ．B ．C ．D ．7、若中，，那么（）A ．B ．C ．D ．8、已知点都在直线上，那么在数列中有（）A ．B ．C ．D ．9、设等差数列的前项和为，若，则当取最小值时，等于( )A ．B ．C ．D ．10、在中，分别是内角所对的边，若，则形状为（）A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．可能是锐角三角形, 也可能是钝角三角形11、已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．12、等比数列的各项均为正数，且，则（）A ．B ．C ．D ．二、填空题13、设且,则的最小值为__14、在中，若，且，则__________。

15、已知数列的通项公式,,则的前项和为___________。

16、下列命题正确命题的序号是：___________。

①三角形中，若,则； ②的解集是；③是数列的前项和，若，则；④是数列的前项和，若,则数列是等比数列。

三、解答题17、已知函数。

（1）当时，解不等式；（2）若不等式的解集为，求实数的取值范围。

18、已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和。

2017-2018学年湖南省岳阳一中高二(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 22．（10 分）在平面直角坐标系 xoy 中，以 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，
已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ＝4cosθ，直线 l 的参数方程为：
2
（t 为
参数），两曲线相交于 M，N 两点．（Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；（Ⅱ）若 P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值． [选修 4-5：不等式选讲] 23．已知函数 f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为 k．（1）求 k 的值；（2）若 a，b，c∈R，，求 b（a+c）的最大值．
2
）
C．
D．2 ）
2．（5 分）若集合 A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|x ﹣2x＜0}，则下列结论中正确的是（ A．A∩B＝∅ B．A∪B＝R C．A⊆B D．B⊆A
3．（5 分）为了解某校一次期中考试数学成绩情况，抽取 100 位学生的数学成绩，得如图所示的频率分布直方图，其中成绩分组区间是[40，50），[50，60），[60，70），[70，80）， [80，90），[90，100]，则估计该次数学成绩的中位数是（）
（1）求表中 a，b 的值（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立， ①求 5 天中该种商品恰有 2 天销售量为 1.5 吨的概率； ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元， X 表示该种商品两天销售利润的和（单位：千元），求 X 的分布列和期望． 21．（12 分）已知函数 f（x）＝xlnx﹣ ．
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d2，且 d1+d2＝6，则双曲线的方程为（ A． ﹣ ＝1

精品推荐2017-2018学年下学期湖南省岳阳县第一中学高二第一次月考试卷数学(文)

2017-2018学年下学期湖南省岳阳县第一中学高二第一次月考试卷文科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名．准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷．草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷．草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．） 1．已知集合}1,0,1{-=M ，},|{2M a a x x N ∈==，则集合M N （） A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{-1，0，1}2．已知命题:0p x ∀>，21x >，p ⌝则为（） A ．12,0≤>∀x xB ．12,0≤>∃x xC ．12,0>>∃x xD ．12,0≥>∃x x3．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．方程033=--m x x 在[0，1]上有实数根，则m 的最大值是（） A ．0B ．-2C ．-3D ．15．已知实数a ，b 满足等式ba⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛3121下列五个关系式；①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a=b ，其中不可能．．．成立的关系式有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若945S =，3812a a +=，7a 则等于（） A ．10B ．9C ．8D ．77．若△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且满足2b ac =，2b a c =+，则此三角形是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形8．已知实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥--3022042y y x y x ，则y x +的最大值为（）A ．14B ．13C ．12D ．119．若0a >，0b >，26a b +=，则2a bab+的最小值为（） A ．23B ．43C ．53D ．8310．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯(底面圆的周长的平方⨯高)，则由此可推得圆周率π的取值为（）A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.211．若双曲线1422=-y x 的两条渐近线分别与抛物线()022>=p py x 的准线交于A ，B两点，O 为坐标原点．若OAB △的面积为1，则p 的值为（）A ．1B ．2C ．22D ．412．已知函数()()()[)2log 1,1,34,3,1x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩，则函数()()[]1-=x f f x g 的零点个数为（） A ．1B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号13．已知i 为虚数单位，复数z 满足i z iz 22-=+，则=z _______．14．已知直线l 的参数方程为214x ty t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单位长度相同），则圆C 的圆心到直线l 的距离为_________．15．设点P 是以12F F 、为左、右焦点的双曲线22221x ya b -=右支上一点，且满足120PF PF ⋅=，直线1PF 与圆2224ax y +=有且只有一个公共点，则双曲线的离心率为________．16．已知函数21()ln 2f x x x x =+，0x 是函数()x f 的极值点，给出以下几个命题： ①e x 100<<；②ex 10>；③0)(00<+x x f ；④0)(00>+x x f ，其中正确的命题是______________．(填出所有正确命题的序号)三．解答题（本题共6个大题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．） 17．(12分)已知全集U R =，函数()()lg 3f x x =+-的定义域为集合A ，集合2{|0}B x x a =-<．（1）求U A ð；（2）若A B A =，求实数a 的取值范围．18．(12分)已知ABC ∆的内角A ，B ，C ，满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-．（1）求角A ；（2）若ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积S 的最大值．19．(12分)已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749S =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足()33nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．20．(12分)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x，且长轴长是短轴长（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()2,0P 过椭圆C 左焦点F 的直线l 交Γ于A ，B 两点，若对满足条件的任意直线l ，不等式PA PB λ⋅≤()R λ∈恒成立，求λ的最小值．21．(12分)已知函数x xx f ln 21)(+=，（1）求函数)(x f 的最小值；（2）若xt x f 12)(-≤对任意的[]e x ,1∈恒成立，求实数t 的取值范围．选做题（从22题、23题中任选一题作答，两题都做的记第一题得分．） 22．(10分)【选修4-4 坐标系与参数方程】已知曲线1C 的极坐标方程为：θρcos 4=，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，曲线2C的参数方程为：132x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，点)0,3(A ．（1）求出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 相交于P ，Q 两点，求AP AQ ⋅的值．23．(10分)【选修4-5 不等式选讲】已知函数()2f x x a x =++-．（1）当4a =-时，求不等式()6f x ≥的解集；（2）若()3f x x ≤-的解集包含[]0,1，求实数的取值范围．2017-2018学年下学期湖南省岳阳县第一中学高二第一次月考试卷文科数学答案第Ⅰ卷一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项正确，请把答案写．．．．．在答题卷上．．．．．）第Ⅱ卷二．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．）13．2 141516．①③三．解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明．证明过程或演．．．．．．．．．．．．．．．．．．．算步骤，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．．．．．）17．【答案】（1）(][),23,UA=-∞-+∞ð；（2）4a≤．【解析】（1）∵2030xx>->⎧⎨⎩+，∴23x-<<，∴()2,3A=-，∴(][),23,UA=-∞-+∞ð．（2）当0a≤时，Bϕ=满足A B A=；当0a>时，(B=，∵A B A=，∴B A⊆，∴23≥-⎧⎪，∴04a<≤，综上所述：实数a的范围是4a≤．18．【答案】（1）3Aπ=；（2）S≤．【解析】（1）设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．根据sin sin sin sinsin sinsin sinA B CBC A B C-+=+-，可得222a b c ba b c bcc a b c-+=⇒=+-+-，所以2221cos222b c a bcAbc bc+-===，又因为0Aπ<<，所以3Aπ=．（2）22sin2sinsin3aR a R AAπ=⇒===2232b c bc bc bc bc=+-≥-=，所以11sin322S bc A=≤⨯=（b c=时取等号）．19．【答案】（1）3na n=+；（2）()+121334nnnT-⨯+=．【解析】（1）由()17747=7=492a aS a⨯+=，得4=7a，因为36a=，所以1d=，14a=所以，3na n=+．（2）()33=3n nn nb a n=-⋅⋅，1231323333nnT n=⨯+⨯+⨯++⨯所以，①234+131323333nnT n=⨯+⨯+⨯++⨯，②由-①②得：123+1+133233333=313nn n nnT n n+--=++++-⨯-⨯-，()+121334nnnT-⨯+=所以．20．【答案】（1）2212xy+=；（2）172．【解析】（1）依题意，222acaa b c⎧⎪⎪⎨===+⎪⎪⎩，解得22a=，21b=，∴椭圆Γ的标准方程：2212xy+=．（2）设()11,A x y，()22,B x y，()()()()112212122,2,22PA PB x y x y x x y y∴⋅=-⋅-=--+，当直线l垂直于x轴时，121x x==-，12y y=-且2112y=，此时()13,PA y =-，()()213,3,PB y y =-=--，()2211732PA PB y ∴⋅=--=．当直线l 不垂直于x 轴时，设直线():1l y k x =+，由()22122y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，得()2222124220k x k x k +++-=， 2122412k x x k ∴+=-+，21222212k x x k -=+，()()()21212122411PA PB x x x x k x x ∴⋅=-+++++()()()2221212124k x x k x x k =++-+++()22222112k k k -=+⋅-+()222242412k k k k-⋅+++ ()2221721713172122221k k k +==-<++，要使不等式()PA PB R λλ⋅≤∈恒成立，只需()max 172PA PB λ≥⋅=，即λ的最小值为172． 21．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）函数的定义域为，，在，所以当时，取最小值且为．（2）问题等价于：对恒成立，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，所以，所以．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1），，，，的直角坐标方程为．，的普通方程为．（2）将，得，，，，由的几何意义可得．23．【答案】（1）][(),06,-∞+∞；（2）10a -≤≤．【解析】（1）当4a =-时，()6f x ≥，即426x x -+-≥，即2426x x x ≤-+-≥⎧⎨⎩或24426x x x <<-+-≥⎧⎨⎩或4426x x x ≥-+-≥⎧⎨⎩，解得0x ≤或6x ≥，所以解集为][(),06,-∞+∞．（2）原命题等价于()3f x x ≤-在[]0,1上恒成立，即23x a x x ++-≤-在[]1,2上恒成立，即11x a x --≤≤-在[]0,1上恒成立，即10a -≤≤．。

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