第九章 微分方程与差分方程简介
微分方程(13)
第9章 微分方程与差分方程第1节 微分方程的大体概念咱们已经明白，利用函数关系能够对客观事物的规律性进行研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即便通过度析、处置和适当的简化后，咱们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式确实是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的进程就叫解微分方程.本章要紧介绍微分方程的一些大体概念和几种经常使用的微分方程的解法.实际问题中的数据大多数是按等时刻距离周期统计的.因此，有关变量的取值是离散转变的，处置他们之间的关系和转变规律确实是本章最后的内容——差分方程.含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中显现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增加，琴弦的振动，电磁波的传播等，都能够归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.例 质量为m 的物体只受重力作用由静止开始自由垂直降落.依照牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开始下落的时刻0t =，那么物体下落的距离x 与时刻t 的函数关系()xx t =知足22d xg dt=， 其中g 为重力加速度常数.这确实是一个2阶微分方程。
例 产品的月产量为x 时的边际本钱1()82c x x '=+，确实是一个1阶微分方程.在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
n 阶微分方程的一样形式是()(,,,,,)0n F x y y y y '''=，其中x 为自变量，()y y x =是未知函数，上式中，()n y 必需显现，而其余变量（包括低阶导数）能够不显现.若是能从式中解出最高阶导数取得微分方程的如下形式()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''=以后咱们只讨论姓如式的微分方程，并假设式右端的函数f在所讨论的范围内持续.专门地，式（）中的f若是能写成如下形式()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= 那么称式为n 阶线性微分方程.其中1(),,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的已知函数.把不能表示成形如式的微分方程称为非线性微分方程.例 试指出以下方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dyx x y x dx++= (3)32235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(4)33ln d y dy x xy x dx dx ++= 解 方程(1)是一阶线性微分方程.因为dydx和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有3dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭.方程(4)是3阶线性微分方程.因为33,,d y dyy dx dx都是一次式. 若是一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，那么称那个函数为该微分方程的解. 例如，(a)212x gt =,(b)21212x gt c t c =++都是例中的微分方程的解，其中12,c c 为任意常数.通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有彼此独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解（一样解）.那个地址所说的彼此独立的任意常数，是指它们取不同的值时就取得不同的解.从而不能通过归并而使得通解中的任意常数的个数减少.上面的解中，(a)和(c)别离是方程和的特解，(b)和(d)别离是方程和的通解.在实际问题中通常都要求寻觅知足某些附加条件的解.现在，这种附加条件就能够够用来确信通解中的任意常数.这种附加条件称为初始条件，也称为定解条件.一样地，一阶微分方程(,)y f x y '=的初始条件为0x x y y ==其中00,x y 都是已知常数.二阶微分方程(,,)y f x y y '''=的初始条件为00,x x x x y y y y ==''==带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例 验证函数3()cos y xc x =+（c 为任意常数）是方程2tan 3cos 0dyy x x x dx+-= 的通解，并求出知足初始条件00x y==的特解.解 要验证一个函数是不是是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是不是恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是不是与方程的阶数相同.对3()cos y xc x =+，求一阶导数233cos ()sin dyx x x c x dx=-+ 把y 和dy dx代入方程左端，得22332tan 3cos 3cos ()sin ()cos tan 3cos 0dyy x x x x x x c x x c x x x x dx+-=-+++-= 因为方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故3()cos y x c x =+是题设方程的通解.把初始条件00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中，得0c =.从而所求特解为3cos y x x =.习题9-11、 指出以下微分方程的阶数（1）220xy yy x '''-+=（2）235()sin 0y y x x ''-+=（3）22(3)(45)0xdx x y dy +++=二、指出以下各题中的函数是不是为所给微分方程的解. （1）22,5xy y y x '== （2）2122220,yy y y c x c x x x'''-+==+ （3）12121212()0,xx y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+3、验证1y cx c=+（c 为任意常数）是方程2()10x y yy ''-+=的通解，并求知足初始条件02x y==的特解.4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试成立曲线所知足的微分方程，并求出通解.习题9-1答案一、（1）2阶 （2）2阶 （3）1阶 二、（1）是 （2）是 （3）是 3、特解为122yx =+ 4、微分方程为3dy x dx =，通解为414y x c =+第2节 一阶微分方程微分方程没有统一的解法，必需依照微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节咱们将介绍可分离变量的微分方程和一些能够化为这种方程的微分方程，如齐次方程等.一、可分离变量的微分方程. 在一阶微分方程(,)dyF x y dx=中，若是右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =，x 与y 分离，x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式，即()()dyf xg y dx= 其中()f x ，()g y 都是持续函数.依照这种方程的特点，咱们能够通过积分的方式来求解.设()0g y ≠.用()g y 除方程的两头，用dx 乘以方程的两头，使得未知函数y 的某已知函数及其微分与自变量x 的某已知函数及其微分置于等号的两边（又一次分离了x 与y ）得1()()dy f x dx g y =再对上述等式两边积分，即得1()()dy f x dx g y =⎰⎰积分出来以后就说明y 是x 的一个（隐）函数（关系），确实是方程的解. 若是0()0g y =，那么易验证0yy =也是方程的解.上述求解可分离变量的微分方程的方式，称为分离变量法. 例 求微分方程2xydx dy x dy xdx +=+的通解.解 先归并,dx dy 的各项得2(1)(1)x y dx x dy -=-设210,10y x-≠-≠,分离变量得211dy xdx y x =-- 两头积分 211dy xdx y x =--⎰⎰ 得 2111ln |1|ln |1|ln ||22y x c -=-+于是 221(1)(1)y c x -=±-记1cc =±，那么取得题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-例 求微分方程x dye y dx=的通解. 解 分离变量后两边积分xdy e dx y =⎰⎰得1ln ||ln ||x y e c =+ 从而 1xe y c e=±记1cc =±，那么取得题设方程的通解为 xe y ce=例 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.解 设曲线的方程为()yy x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为Y yy X x-'=-由假设，切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点别离是0X=时，2Y y =和0Y =时，2X x =.将这两个端点代入切线方程都取得曲线所知足的微分方程dy ydxx =-分离变量后积分，取得通解为xyc =将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.二、齐次方程 若是一阶微分方程(,)dyf x y dx= 中的函数(,)f x y 能够写成y x 的函数，即(,)y f x y x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是 dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭这称为齐次方程.齐次方程能够通过引进新的未知函数的方式化成为可分离变量的微分方程.令y u x =，u 是x 的一个新的未知函数.那么 ,dy du y ux x u dx dx==+， 原齐次方程变成()duxu u dxϕ+= 分离变量后积分得 ln ||()du dxx c u ux ϕ==+-⎰⎰记()u Φ为1()u uϕ-的一个原函数，那么得通解为 ()ln ||u x c Φ=+再以y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解 ln ||y x c x ⎛⎫Φ=+ ⎪⎝⎭例 求微分方程22()()0xy x dx y xy dy ---= 的通解.解 原方程变形为2221ydy xy x x dx y xy y yx x--==-⎛⎫- ⎪⎝⎭ 确实是一个齐次方程 令y ux =，那么 ,dy du y ux x u dx dx==+ 代入齐次方程得21du u x u dx u u-+=- 分离变量，0,0u x ≠≠时，得211u du dx u x=- 两边积分211u du dx u x =-⎰⎰得211ln |1|ln ||ln ||2u x c --=+ 以y x 代替u 就取得原方程的通解 11ln |1|ln ||ln ||2yx c x--=+记211c c =±得 21y c x x-= 从而2x xy c -=.注.此题也能够直接分离变量法求解.()()x x y dx y y x dy -=-0y x -≠时， ydy xdx =-积分得 22111222y x c =-+ 即22yx c +=为原方程的通解.如此此题取得两个通解形式2x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并非必然要包括所有解！三、一阶线性微分方程 方程()()dyp x y Q x dx+= 叫做一阶线性微分方程，它关于未知函数y 及其导数y '都是一次的.若是()0Q x ≡，那么方程称为齐次的，不然就称为非齐次的.关于齐次一阶线性微分方程()0dyp x y dx+= 通过度离变量积分，可得它的通解()p x dxy Ce -⎰=而关于非齐次一阶线性微分方程，咱们能够利用它相应的齐次一阶线性微分方程的通解，并利用所谓常数变易法来求非齐次方程的通解，这种方式是把齐次方程的通解中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ，即作变换()p x dxy ue -⎰=假设是非齐次方程的解，代入中进而求出()u x ，再代入就取得非齐次方程的解.为此，将对x 求导，注意u 是x 的函数，得()()()p x dxp x dx dy du e up x edx dx--⎰⎰=- 将和代入，得()()p x dxdu e Q x dx-⎰= 分离变量后积分得()()p x dx u Q x e dx C ⎰=+⎰将代入就取得的通解()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰易见，一阶非齐次线性方程的通解是对应的一阶齐次线性方程的通解与其本身的一个特解(中取0C=的解)之和.尔后还可看到，那个结论对高阶非齐次线性方程也成立.例 求方程1cos xy y x x'+=的通解. 解 题设方程是一阶非齐次线性方程，这时1cos (),()xp x Q x x x==. 于是，按公式，所求通解为111ln ln ln cos cos 1cos 1sin dx dx dx x x x x x x x y Ce e e dxx x Ce e e dx x C xdx x xC x x x ----⎰⎰⎰=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例 求方程38dy y dx+=的通解. 解 这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式，而采纳常数变易法来求解.先求解相应的齐次方程的通解.由 30dy y dx+= 分离变量后积分得相应齐次方程的通解 31x y c e -= ， 其中1c 为任意常数.利用常数变易法，将1c 变易为()u x ，即设原非齐次方程的通解为3x y ue -= 求导得 333x x dy du e ue dx dx--=- 代入原非齐次方程得38x du e dx -= 分离变量后积分得 338()83x x u x e dx e C ==+⎰ 从而取得原非齐次方程的通解为383x y Ce -=+ 习题9－2 一、求以下微分方程的通解（1）22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=（2）3x y dy dx+=二、求以下微分方程的通解（1）0xy y '--= （2）2222()()0y x xy y dx x x xy y dy -++++=3、求以下微分方程的通解（1）x y y e -'+=（2）sin xy y x '+= 4、求以下微分方程的初值问题：（1）0cos (1)sin 0,|4x x ydx eydy y π-=++== （2）20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-=+=五、已知某产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两部份组成.可变本钱y 是产量x 的函数，且y 关于x 的转变率等于222xy x y +，当10x =时，1y =；固定本钱为100.求总本钱函数()c c x =.习题9－2答案一、（1）22(1)(1)x y C --=； （2）33x y C -+=二、（1）2y Cx +=； （2）arctan y x xy Ce⎛⎫- ⎪⎝⎭= 3、（1）()x y x C e-=+； （2）1(cos )y C x x =-4、（1）(1)sec x e y += （2）(1)x y x e =+五、99()1001)2C x =+- 第3节 可降阶的二阶微分方程 本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解.一、()y f x ''=型这种简形的方程，其解法确实是多次积分.在()y f x ''=两头积分，得 1()y f x dx C '=+⎰再次积分，得 1212[()]()y f x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰注：关于n 阶微分方程()()n yf x =，显然也能够持续积分n 次，就取得含有n 个任意常数的通解.例 求方程2sin x y e x ''=+的通解.解 持续积分两次，得 212121cos 21sin 4x x y e x C y e x C x C '=-+=+++ 这确实是所求通解.二、(,)y f x y '''=型这种类型的特点是不显含y ，求解方式是：令()y p x '=，那么()y p x '''=，那么原二阶方程化成了一阶方程 (,)p f x p '=利用上一节的方式求出它的通解1(,)p x C ϕ=，再依照1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰，就是原二阶微分方程的通解. 注：由于一阶微分方程(,)p f x p '=，咱们并非都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.例 求方程1x y y xe x'''=+的通解.解 令p y '=，原方程化成1x p p xe x'-= 的一阶线性微分方程.从而 111()()()111dx dx dx x x x x x xp c e e xe e dx c x x e dx c x xe -----⎰⎰⎰=+=+=+⎰⎰即1x p y c x xe '==+因此，原方程的通解为12212()1(1)2x x y c x xe dx c c x x e c =++=+-+⎰ 三、(,)y f y y '''=型这种类型的特点是不明显地含x .这时咱们把x 看成自变量y 的函数，令p y '=，从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法那么，把对x 的导数y ''化为对y 的导数，即 dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''==⋅=⋅ 于是，(,)y f y y '''=就变成了 (,)dp p f y p dy= 如此就取得一个关于,y p 的一阶微分方程.设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解，那么分离变量再积分就取得原方程的通解为21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.注.一阶微分方程1(,)dp p y c dyϕ=不必然会求解，因此本类型(,)y f y y '''=也不必然能求出解来. 例 求方程y yy '''=的通解. 解 令p y '=，将x 看做是y 的函数. 这时dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''==⋅= 代入原方程就取得一个一阶方程 dp p y dy= 分离变量再积分得2112p y c =+ 再解一阶微分方程2112y p y c '==+ 分离变量再积分得221112dy x c c y ⎛⎫+=⎛⎫++ ⎝⎰ 就是原方程的通解.习题9－31、 求以下方程的通解（1）cos y x x ''=- （2）y x y '''=+（3）(1)y y y '''=+二、求以下微分方程初始问题的特解.（1）300,|0,|0x x x y ey y =='''=== （2）111,|0,|2x x y y y y x==''''=== （3）200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===习题9－3答案一、（1）3121cos 6y x x c x c =+++ （2）12x x y c exe c =-+ （3）2x c +=二、（1）3111939x ye x =-- （2）21y x =-（3）1x y e =+。
第九章-微分方程与差分方程简介市公开课一等奖省赛课获奖课件
x
C2
例3.求解微分方程
y
y2 ，y(0) 1，y(0) 1. y
解: 设
y
p( y) ，则
y
p
dp dy
代入方程得
p dp p2 ， dy y
p(
dp dy
p y
)
0
p0
27
第27页
（三）不显含自变量 x 二阶微分方程
2
第2页
第一节 微分方程普通概念
例2.设 s=s(t) 为作自由落体运动物体在 t 时刻
下落距离, 则有
d 2s dt 2 g
s(t) g
s g
ds dt
g
ds dt
gt
C1
s(0) 0
s(0)
0
ds gdt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C1 )dt
ds (gt C1 )dt
于价格P线性函数: QS a bP ， QD c dP ，
且 a, b, c, d 都是已知正常数. 当 QS = QD 时, 得
均衡价格 P
ac .
当 QS
> QD 时, 价格将下降,
bd
当 QS < QD 时, 价格将上涨,故价格是时间t 函数.
假设在时刻t价格P(t)改变率与这时过剩需求量
x
因
P(
x)dx
1 x
dx
ln
x
ln
1 x
，
Q(
x)e
P
(
x )dx
dx
1
x 2eln x dx
xdx x2 ，
2
故 y ( x2 C )e(ln x) ( x2 C ) x Cx x3 .
微分方程差分方程
微分方程差分方程（原创实用版）目录1.微分方程和差分方程的定义2.微分方程和差分方程的联系与区别3.微分方程和差分方程的应用领域正文微分方程和差分方程都是数学领域中重要的方程式，它们各自具有独特的性质和应用，但在某些方面也存在相似之处。
本文将从定义、联系与区别以及应用领域三个方面对微分方程和差分方程进行介绍。
一、微分方程和差分方程的定义微分方程是一种包含未知函数及其导数的方程，描述了物理量在时间、空间上的变化规律。
微分方程中的未知函数通常表示某一物理量的瞬时变化率，如速度、加速度等。
差分方程是一种离散形式的微分方程，它描述了离散系统中各变量之间的变化关系。
差分方程中的未知函数通常表示某一离散系统中各个时刻的变量值，如数列、矩阵等。
二、微分方程和差分方程的联系与区别1.联系微分方程和差分方程都是描述系统变化的数学模型，它们之间存在一定的联系。
微分方程是差分方程的连续形式，而差分方程是微分方程的离散形式。
这意味着，当微分方程中的自变量离散化时，可以得到相应的差分方程；反之，当差分方程中的自变量连续化时，可以得到相应的微分方程。
2.区别微分方程中的未知函数通常表示物理量的瞬时变化率，而差分方程中的未知函数表示离散系统中各个时刻的变量值。
这意味着，微分方程描述的是连续系统中的变化规律，而差分方程描述的是离散系统中的变化规律。
此外，微分方程和差分方程的求解方法也有所不同。
微分方程通常采用积分方法求解，而差分方程则采用代数方法求解。
三、微分方程和差分方程的应用领域微分方程广泛应用于物理、工程、生物学等领域，描述了各种连续现象的变化规律。
例如，牛顿运动定律、电磁场方程、生态系统模型等都包含微分方程。
差分方程在计算机科学、信息处理、控制论等领域具有重要应用。
例如，数值方法中的欧拉法、龙格 - 库塔法等用于求解常微分方程；离散系统中的状态转移方程、输入输出关系等都可以用差分方程来描述。
微分方程与差分方程简介
差分方程的分类
一阶差分方程
只包含一个差分的方程，如 (y(n+1) - y(n) = f(n))。
高阶差分方程
包含多个差分的方程，如 (y(n+2) - 2y(n+1) + y(n) = 0)。
线性差分方程
差分项之间线性关系的方程，如 (y(n+1) - y(n) = a + by(n))。
非线性差分方程
05
微分方程与差分方程的 稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性分析是一种判断动 态系统稳定性的方法，通过分析系统 状态的变化趋势，判断系统是否具有 稳定性。
李雅普诺夫第二方法通过构造一个正 定的李雅普诺夫函数，来研究非线性 系统的稳定性，这种方法适用于非线 性系统的稳定性分析。
线性稳定性分析
经济问题
描述市场供需关系、价格变动、经 济增长等。
03
02
工程问题
控制工程、航空航天、机械工程等 领域。
生物医学问题
描述生理过程、药物动力学、流行 病传播等。
04
02
差分方程简介
差分方程的定义
差分方程是描述离散变量变化规律的数学模型，通常表示为离散变量的函数及其差分之间的关系式。
它与微分方程类似，但时间或空间变量是离散的，而不是连续的。
微分方程与差分方程 简介
目 录
• 微分方程简介 • 差分方程简介 • 微分方程与差分方程的联系与区别 • 微分方程与差分方程的数值解法 • 微分方程与差分方程的稳定性分析
01
微分方程简介
微分方程的定义
1
微分方程是包含一个或多个未知函数的导数的方 程。
2
它描述了某一函数随时间或其他变量的变化规律。
第九章--微分方程与差分方程简介
于是非齐次方程的一个特解为：y* =kxa x-1 x
例5 求解差分方程 2y x+1 − 4y x = 2
解：原方程可化为 y x+1 − 2y x = 2 x % 则相应齐方程的通解为 y x =C ⋅ 2 x 由于p=2=a, 所以原方程的特解应设为 y* = Ax 2 x x 代入原方程得： A(x+1)2 x +1 − 2 Ax 2 x = 2 x , 1 ⇒A= 2 1 x * y x = x 2 =x 2 x -1 于是 2 所以原方程的通解为： y x =x 2 x -1 +C ⋅ 2 x
(2)∆(cyx ) = c∆y x (c为常数)
(3)∆ (ay x + bz x ) = a∆y x + b∆z x , b为常数) (a
(4)∆ ( yx z x ) = yx +1∆z x + z x ∆yx = y∆z x + z x +1∆yx
yx z x ⋅ ∆y x − y x ⋅ ∆z x (5) ∆( ) = zx z x ⋅ z x +1
23
1、二阶齐次差分方程的通解 由9.6节可知，要求齐次差分方程的通解，只需找出 两个线性无关的特解即可。仿照一阶齐次差分方程， 设二阶齐次差分方程存在指数形式的解： y x = λ x , （λ ≠ 0） 代入原方程得：
λ x+2 + pλ x+1 + qλ x = 0
即：
λ x + pλ + q = 0
11
9.6、常系数线性差分方程 、
9.6.1 n阶 系 线 差 方 的 本 质 常 数 性 分 程 基 性 n阶 系 线 差 方 的 般 式 ： 常 数 性 分 程 一 形 为 yx+n +p1yx+n-1+L+pn-1yx+1+pny1 = f (x) 其 ， 1，， n为 知 数 且 n ≠ 0， (x)为 知 数 中 pL p 已 常 ， p f 已 函 。 当 (x)=0时 上 方 则 n阶 系 齐 线 差 方 。 ， 述 程 为 常 数 次 性 分 程 f 当 (x) ≠ 0时 上 方 则 n阶 系 非 次 性 分 程 ， 述 程 为 常 数 齐 线 差 方 。 f
微分方程差分方程
微分方程差分方程摘要：1.微分方程与差分方程的定义及区别2.微分方程的应用领域3.差分方程的应用领域4.求解微分方程和差分方程的方法5.两者在实际问题中的结合与转化正文：微分方程与差分方程是数学中的两种重要方程类型，它们在许多实际问题中有广泛的应用。
尽管它们具有一定的相似性，但它们之间仍然存在着明显的区别。
本文将对微分方程和差分方程进行简要介绍，并探讨它们在实际问题中的求解方法及应用领域。
一、微分方程与差分方程的定义及区别1.微分方程微分方程是一种描述变量随时间变化的数学方程。
它包含一个或多个未知函数及其导数，要求求解该未知函数在某一区间内的解。
微分方程可以分为线性和非线性两类。
2.差分方程差分方程是一种离散时间模型，它描述了变量在离散时间点上的关系。
差分方程包含一个或多个未知数，并要求求解这些未知数在离散时间点上的取值。
与微分方程类似，差分方程也可以分为线性和非线性两类。
二、微分方程的应用领域1.物理：微分方程在物理学中被广泛应用于描述力学、电磁学、热力学等领域中的现象。
2.生物学：微分方程在生物学中可以用于描述生物种群的数量变化、生长速率等。
3.经济学：微分方程在经济学中可以用于描述物价、产量等经济指标的变化。
4.工程：微分方程在工程领域中可以用于分析结构的动态特性、控制系统的稳定性等。
三、差分方程的应用领域1.计算机科学：差分方程在计算机科学中可以用于数值计算、图像处理等领域。
2.生物学：差分方程在生物学中可以用于模拟生物种群的动态行为。
3.社会科学：差分方程在社会科学中可以用于研究人口统计、经济学模型等。
4.工程：差分方程在工程领域中可以用于分析系统的稳定性、预测发展趋势等。
四、求解微分方程和差分方程的方法1.数值方法：对于微分方程和差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
2.解析方法：对于一些简单的微分方程和差分方程，可以尝试通过解析方法求解，如分离变量法、常数变易法等。
差分方程与微分方程的区别
差分方程与微分方程的区别
差分方程和微分方程是数学中两个不同的概念。
差分方程是描述离散时间下变量变化的数学方程。
它们通常表示为递归式形式，其中下一时间步的值取决于之前的值。
差分方程通常与迭代算法一起使用，以解决离散时间下的问题，例如数字信号处理和时间序列分析。
另一方面，微分方程是描述连续时间下变量变化的数学方程。
它们通常表示为微分式形式，其中变量的导数取决于自变量。
微分方程通常用于建模物理系统和自然现象，例如天体运动和流体力学。
总之，差分方程和微分方程都是解决数学问题的重要工具。
它们在不同的领域和应用中发挥着不同的作用。
了解它们的区别和相似之处有助于更好地理解和应用它们。
- 1 -。
第九章 偏微分方程差分方法
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
(完整版)赵树嫄微积分第四版第九章微分方程与差分方程简介
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln | csc y cot y | 2cos x C
22
2
为所求通解.
dx sin x
csc
x
dx
ln
|
csc
x
cot
x
|
C
例
求方程
y
1 y2 xy(1 x2 )
满足 y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
y2
dy
x(1
x2 ) dx
两边积分
的通解.
解
分离变量：
e
ey y
1
dy
ex ex
1ln(e y 1) ln(ex 1) lnC ,
即所求通解为 (ex 1)(e y 1) C .
例 求方程 dy cos x y cos x y 的通解.
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
由初始条件 y(0) 1 , C 1 ,
即所求特解为 y e x2 ( x 2 1) .
例 x ln x dy ( y ln x)dx 0 ，且 y(e) 1 。
解 方程改写为 y 1 y 1 , 一阶线性方程， x ln x x
y
e
dx x ln x
(
1
e
dx x ln x
y 积分 ln y x2 lnC ,
则通解为 y C ex2 .
练习 求方程 dy y 的通解. dx x
解 分离变量, dy dx , yx
第九章 微分方程与差分方程简介
第九章 微分方程与差分方程简介基 本 要 求一、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。
二、掌握变量可分离的方程、齐次方程和一阶线性方程的求解方法。
三、会用降阶法解下列方程：),(),,(),(//////)(y y y y y y f x f x f n ===。
四、会用微分方程解决一些简单的应用问题。
五、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念。
习 题 九1、试说出下列微分方程的阶数：(1)x yy y x =-'2'2)(； ………………………………一阶 (2) 02)(22=+-xydy dx y x ；…………………………一阶 (3)022'''''=++y x y xy ；………………………………三阶 (4)x y y y =++'2''')1(.…………………………………二阶 2、验证下列各题中所给函数是否是所对应的微分方程的解： (1)y xy x y 2,5'2==；解：由x y x y 105'2=⇒= ∴y x xy 2102'== ∴25x y =为y xy 2'=的解.(2) 02,sin '''=-+=xy y xy xxy . 解：∵2''sin cos )sin (x x x x x x y -==，32''sin 2cos 2sin xxx x x x y +--= ∴0sin 22'''≠-=-+x xy y xy ，即xxy sin =不是02'''=-+xy y xy 的解.3、求下列微分方程的通解：(1)0'2=+y y x ；解：x Ce y C x y x dx y dy 12ln 1ln =⇒+=⇒-=(2) xy dxdyx =+)1(2； 解：)1(ln )1ln(21ln 122222x C y C x y x xdx y dy +=⇒++=⇒+=(3) y yex x dx dy 12+=； 解：C x e ye dx x x dy ye yyy++=-⇒+=2322)1(311(4) 3'ln xy xy xy +=；解：C x y y C x y y dx x x dy y y +=+⇒+=+⇒=+24212423)(ln 22)(ln 2142ln )( 4、解下列初值问题：(1)0)1(,12=+=y y dx dy； 解：∵)tan(arctan 12C x y C x y dx y dy+=⇒+=⇒=+ 由10)1(-=⇒=C y ∴)1tan(-=x y (2)1)0(,==-y e dxdyy x ；解：∵C e e dx e dy e x y x y +=⇒=由11)0(-=⇒=e C y ∴1-+=e e e x y (3)1)0(,)1(212-=-+=y y x dx dy ；解：∵C x x y y dx x dy y ++=-⇒+=-222)12()1(2由31)0(=⇒-=C y ∴3222++=-x x y y (4)2)2(,132=++=y x x yx dx dy .解：∵13ln )1ln(213ln 13222+=+⇒++=+⇒+=+x C y C x y x xdx y dy 由52)2(=⇒=C y ∴)1(5)3(22x y +=+ 5、求下列齐次方程的通解： (1)xyx y -='；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为：xdx u du =-21 积分得：xC x C y Cx u C x u 2222121)21(ln ln 21ln 21-=⇒=-⇒+=--- (2) yx y x y -+='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx x du uu u u u u xu 1)111(1122'=+-+⇒-+=+ 积分得：Cx u e C x du u u u =+⇒+=+--212arctan 2)1(ln ln )1ln(21arctan即Cx xy exy =+-2122)1(arctan(3)xy xe y xy +='； 解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xu d e e u dx du x u u u 1)(=--⇒+=+- 积分得：)ln ln(ln x C x y C x e u --=⇒-=--(4)x xy y x y xy -=sin sin' x x yy x y x y -=sin sin /；解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为dx xudu 1sin -=积分得：C x xyC x u +=⇒--=-ln cos ln cos(5) 1,02)3(022==--=x y xydx dy x y .解：令u xu y x y u +=⇒=''，方程化为x dx du u u u uu =--++--)]25151(1035[2 积分得：C y x y C x u u u =-⇒+=+----3251225ln ln ln 1065ln 1035ln 216、求下列微分方程的通解：(1) x e y y =-3'；解：2)()(2333xx x x dx x dx eCe C dx e e C dx e e e y -=+=+⎰=⎰⎰-⎰-(2)22'x e y xy =+；解：方程整理为xe y x y x 22'=+∴)2(1)(1)(222222C e xC dx xe x C dx e x e ey x x dx x x dx x+=⎰+=⎰+⎰⎰=-(3)'xy xy e x =+；解：方程整理为xe y y x=-'∴)(ln )1()(C x e C dx xe C dx e x e ey x x dx x dx+=⎰+=+⎰⎰=-⎰ (4))2,2(,1tan ππθθθ-∈=-y d dy ； 解：方程整理为1tan '=⋅-y y θ∴θθθθθθθθθθcos tan )cos (cos 1)(tan tan CC d C d e e y d d +=+=⎰+⎰⎰=⎰- (5))0('>=++-x e y xy xy x；解：方程整理为xe y x x y x-=++1'∴)1()()(ln )ln (11xC e C dx e x e eC dx e xe ey x x x x x x dx xx x dx xx +=+⎰=+⎰⎰=-+-+-⎰+-+-*(6)21y x dx dy +=. 解：方程整理为2'y x x =-∴y y y dydy Ce y y C dy e y e C dy e y e x +---=+=+⎰⎰=⎰⎰-22)()(2227、求下列微分方程的通解： (1)x x y sin ''+=；解：∵12'cos 2)sin (C x x dx x x y +-=+=⎰ ∴⎰++-=+-=21312sin 6)cos 2(C x C x x dx C x x y(2) '''''44y y xy +=； 解：令 (3)0'''=+y xy ；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx xP dP P xP 10'-=⇒=+ 积分得x C P C x P 11ln ln ln =⇒+-=，即211ln C x C y xC dx dy +=⇒= (4) 222x dxy d =； 解：∵132'3C x dx x y +==⎰ ∴2141312)3(C x C x dx C x y ++=+=⎰ (5)xy y xy ''''ln =；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x P x P P ln '=，令dxdu x u P x P u +=⇒=' ∴原方程为xdxu u du =-)1(ln ，积分有2111111)1(1ln ln ln 1ln ln 11C C x C e y e x P x C x P C x u x C x C +-=⇒=⇒=-⇒+=-++(6) '22''')(y y y yy =-； 解：令dy dP Py y P y =⇒=''')(，原方程化为y P ydy dP =-1∴)()1()(11111C y y C dy yy y C dy yeeP dyy dyy +=⎰+⋅⇒+⎰⎰⎰=-∴xC xC e C e C C y dx C dy C y y C y y y 11221111'1)11()(-=⇒=+-⇒+= (7)x x y y sin cot 2'''=+；解：令''''P y P y =⇒=，则原方程为x x P P sin cot 2'=+，即)cos cos 31(csc )sin ()sin (1321321cot 2cot 2C x x x C xdx x csx C dx e x e P xdx xdx +-=+⎰⇒⎰+⎰⋅⎰=-∴2121222cot 3sin 3csc 2csc sin sin 1sin sin )sin 1(31C x C x x xdx C x d x xx d x y +--=+--=⎰⎰⎰ (8)'''''y y =；解：令''''''P y P y =⇒=，则原方程为dx pdP=，积分得x e C P 1= ∴21'C e C y x += ∴321C x C e C y x ++= (9)2,1,30'0''=====x x y y y y .解：令dydP P y y P y =⇒=''')(，原方程化为dy y PdP 3=，积分得12324C y P +=∵2,10'0====x x yy∴由上式得01=C ，即43'2y y =∴24124C x y +=，同理可得22=C ∴2241+=x y8、求下列函数的差分. (1)C y x =（C 为常数）； 解：0=-=∆C C y x (2)x x a y =；解：)1(1-=-=∆+a a a a y x x x x (3)ax y x sin =；解：2sin )21(cos 2sin )1(sin a x a ax x a y x +=-+=∆(4) 2x y x =；解：12)1(22+=-+=∆x x x y x 9、确定下列差分方程的阶. (1)23123=+-++x x x y y x y ； 解：∵3)3(=-+x x ∴其阶为3. (2) 242+--=-x x x y y y .解：∵6)4()2(=--+x x ∴其阶为6.第九章 单 元 测 验 题1、指出下列题的叙述是否正确：（1）方程y x y y xy 2'2)(=-是齐次的；…………………………………………错 （2）方程0)13()2(3'22=+++y x xy x 是线性的；………………………………正确 （3）方程1623'-+-=xy x y y 是可分离的.……………………………………正确 2、求下列微分方程的通解：(1))(cos 2'x yx y xy +=；解：∵)(cos 2'x y x y y += 令''xu y y x y u +=⇒=，原方程化为dx x udu 1sec 2=积分得)arctan(ln ln tan C x x y C x u +=⇒+= (2)xy x x y 1ln 1'=+； 解：xCx C dx x x x y C dx e x ey dx x x dxx x ln 2ln )ln (ln 1)1(ln 1ln 1+=⎰+=⇒+⎰⎰⎰=-*(3) 0)2(22=-+-dy x xy y dx y ； 解：原方程整理得1)21(2=-+x y y dy dx ∴)1()1()(121212)21()12(22y y ydyy y dyy y Ce y x C dy e ye y x C dy eex +=⇒⎰+=⇒⎰+⎰⎰=---2(4)0)1('''2=--xy y x ，且满足1,00'0====x x y y .解：：令''''P y P y =⇒=，则原方程为dx x xP dP 21-=，积分得 2121ln 1ln 21ln xC P C x P -=⇒+--= ∴2121arcsin 1C x C y dx x C dy +=⇒-=又∵1,00'0====x x y y ∴代入上式得0,121==C C ∴x y arcsin =3、求曲线方程)(x y y =，它满足方程y x dxdy34=，且在y 轴上的截距等于7. 解：由题得dx x ydy34=，积分有4x Ce y = 又∵曲线在y 轴上的截距等于7 ∴当0=x 时7=y ，代入上式得7=C∴曲线方程为47x e y =.4、求一条曲线，使该曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于2a ，并且该曲线过),(a a 点. 解：设该曲线方程为)(x f y =则曲线上任意一点),(00y x A 的切线方程为))((00'0x x x f y y -=-设此切线与y 轴交于点C ，过切点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，对梯形ABOC 有：000'0000'0,),()0)((y AB x OB x f x y x x f y OC ==-=-+=∴)](2[22)(0'0002x f x y x a OBAB OC S ABOC -=⇒+=由于点),(00y x A 的任意性，上式可以改写为2'2)2(a xy y x =-整理得22'22xa y x y -=-，积分得)32()2()2(3224222222C xa x C dx x a x C dx e x a ey dx x dxx +=+⎰-=+⎰⎰-⎰=-- 又∵曲线过),(a a 点 ∴a C 31= ∴ax x a y 33222+=。
微分方程和差分方程方法课件
适用范围
01
适用于求解具有特定形式的一阶微分方程组。
解法描述
02 通过引入特征线的概念，将微分方程转化为常微分方
程沿特征线的积分，从而简化求解过程。
实例
03
以一阶微分方程组为例，通过特征线法可以得到通解
表达式。
幂级数法
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分方程，如线性微分方程、常系数 线性微分方程等。
01
数学家贡献
众多数学家如牛顿、莱布尼茨、欧拉、 拉格朗日等都对微分方程的发展做出了 重要贡献。
02
03
现代应用
现代科学技术领域如物理学、生物学 、经济学等广泛使用微分方程来描述 和预测现象。
差分方程的历史与发展
早期起源
差分方程起源于17世纪，主要用于解决与离散序列有关的问题。
数学家贡献
欧拉、高斯等数学家对差分方程的发展做出了重要贡献。
02
微分方程的解法
分离变量法
01
适用范围
常用于求解具有特定形式的微分 方程，如波动方程、热传导方程 等。
02
03
解法描述
实例
将微分方程中的未知函数分离出 来，转化为几个常微分方程的组 合，然后分别求解。
以一维波动方程为例，通过分离 变量法可以得到波函数的形式为 y(x,t)=f(x)g(t)。
特征线法
化性能。
高性能计算与并行计算
利用高性能计算机和并行计算技术， 加速微分方程和差分方程的求解过程 。
多尺度方法
研究多尺度方法，处理不同尺度的微 分方程和差分方程，适应不同应用场 景的需求。
当前面临的挑战
算法复杂度与计算效率 由于微分方程和差分方程的复杂 性，往往需要设计高效的算法来 降低计算复杂度，提高计算效率 。
微分方程和差分方程简介
返 回
（二）建立数值解法的一些途径
设 xi 1 xi h, i 0,1,2, n 1, 可用以下离散化方法求解微分方程： y' f(x,y) y(x0 ) y0
1、用差商代替导数 若步长h较小，则有
y ' ( x) y ( x h) y ( x ) h
解 首先分离变量 ，得
g ( y )dy
f ( x ) dx C
2 例1 求微分方程 y 3x y的通解。
1 2 dy 3 x dx y 两端积分，得 即 ln y x 3 C1 y e
x 3 C1
或y e e
C1
x3
因 e C1 仍是任意常数，令其为C，则所求得通解为 y Ce
二、常见的微分方程的类型及其解法：
1.一阶微分方程
y f ( x, y )
常用的解法：分离变量法
形如
dy f ( x) g ( y ) dx P ( x) P2 ( y ) dx Q1 ( x)Q2 ( x) 0 1
的方程均为可分离变量 的微分方程。
对（2）式两端分别积分，便可得到微分方程的通解 其中C为任意常数。
例1 求
解
d2y
2
dx du 1 u 2 的通解. dt
0 应表达为：D2y=0.
输入命令：dsolve('Du=1+u^2','t')
结
果：u = tg(t-c)
例 2 求微分方程的特解.
d 2 y dy 2 4 29 y 0 dx dx y (0) 0, y ' (0) 15
对马尔萨斯人口模型的解作进一步分析， 当 t 时，x(t ) ，表明人口将无限增长。马 尔萨斯人口论的核心内容是：人口按几何级数 增长，而生活资料则按算术级数增长，两者的 矛盾必会给人类社会进步造成障碍。马尔萨斯 并不认为: 解决人口过剩和生活资料匮乏两 者之间的矛盾，只有通过失业、饥饿、犯罪甚 至战争等方式来自发调节。使用消极手段来遏 制人口增长，这是人们对马尔萨斯人口论的一 种误解。
微积分 第3版 第9章 微分方程与差分方程
y(0) 64
常微分方程分为线性微分方程和非线性微分方程.
在n 阶微分方程中形如
a n ( x ) y (n ) a n1 ( x ) y (n1) a 1 ( x ) y a 0 ( x ) y b ( x )
的微分方程称为线性微分方程; 其中
d 2Q
dQ Q
( 5) 2 R
0;
dt
dt C
d
( 6)
sin2 .
d
解 (1), (4), (6)为一阶微分方程;
(2), (5)为二阶微分方程;
(3)为三阶微分方程;
其中 (2), (3), (5), (6)是线性微分方程;
(1), (4)是非线性微分方程.
9.2 一阶微分方程
故, x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解.
例3 验证 y sin(x C ), (C 是任意常数) 是微分
2
2
y
y
1 的通解.
方程
解 将 y sin(x C ), y cos( x C )
代入方程, 得恒等式
sin2 ( x C ) cos 2 ( x C ) 1
9.2.1 可分离变量的微分方程
1. 定义 可化为形如
或
dy
( x ) ( y ) (9 1)
dx
M 1 ( x ) M 2 ( y )dx N 1 ( x ) N 2 ( y )dy 0 (9 1')
的微分方程, 称为可分离变量的微分方程.
其中 ( x ), ( y ) 分别是 x , y 的连续函数.
线性微分方程及差分方程
u x
du dx
u
1 u
2
2
即： x
2
du dx
1 u 1 8) (9
当 1 u 0时 ， 分 离 变 量 得 ： du 1 u
2
dx x
16
两边积分： arcsin u ln x C
再将：u arcsin y x
y x
2
二、微分方程的阶 微分方程中，未知函数的最高阶导数的阶数 定义2 称为微分方程的阶 三、微分方程的解
定义3
如果某个函数代入微分方程后使其两端恒等，则称 此函数为该微分方程的解，如果微分方程的解所含 独立的任意常数个数等于方程的阶数，则称此解为 微分方程的通解。而微分方程任意确定的解称为微 分方程的特解
一 线性方程
(Linear differential equation)
二 伯努利方程
(Bernoulli differential equation)
三 小结 思考判断题
25
一
线性方程(Linear differential equation)
一阶线性微分方程的标准形式:
dy dx
当 Q ( x ) 0,
3
4
§9.2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
1 .形 如 M ( x ) d x N ( y ) d y 0 1 3) (9 的方程称为变量已分离的微分方程
将 (9 1 3) 式 两 边 同 时 积 分 ， 得
M ( x )dx N ( y )dy C (9-14)
11
解：这是一个可分离变量的初值问题，分离变量德 dx adt ( xm x ) x
赵树嫄微积分微分方程与差分方程简介
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln | csc y cot y | 2cos x C
22
2
为所求通解.
dx sin x
csc
x
dx
ln
|
csc
x
cot
x
|
C
例
求方程
y
1 y2 xy(1 x2 )
满足 y(1)
2
的特解.
解
y
1
分离变量， 1
y2
dy
x(1
x2 ) dx
两边积分
的某个原函数,
则 G( y) F( x) C 为微分方程的通解。
可分离的微分方程的解法 (1)分离变量 g(y)dyf(x)dx (2)两边同时积分
g(y)dy f (x)dxc
其中c是任意常数 这就是可分离变量微分方程的通解
例 求方程 dy 2xy2 的通解. dx
解
分离变量， dy y2
2x dx
，
积分 1 x2 C , y
所以通解为
y
1 x2 C
.
例 求方程 dy 2xy 的通解. dx
解 分离变量, dy 2x dx , y
积分 ln | y | x2 C , 或写为 y eC ex2 , 记 C1 eC , 则通解为 y C1ex2 . 可简写为：分离变量, dy 2x dx ,
所求曲线方程为 y x2 2 .
ox
函数 f ( x) 的原函数的图形称为f ( x) 的积分曲线族.
第二节 一阶微分方程
(一)可分离变量的一阶微分方程
第九章 fx微分方程与差分方程简介
y′ = p(y)
p = ψ ( y , C1 )
dp dy′ =p y′′ = dx dy
y′ = ψ ( y , C1 )
dy ∫ ψ ( y , C1 ) = x + C 2 .
3
第九章 微分方程与差分方程简介
7.
y′′ + py′ + qy = 0
2
λ + pλ + q = 0
x 1 1 2 = − + y + C. y y 2
1 3 x = −1 + y + Cy . 2
′ = ± 1 − u2 xu du dx ± = . 2 x 1− u
7
5. 求以 y = Ce
第九章 微分方程与差分方程简介
− x2
为通解的微分方程 . − x2 y ′ = − 2 xCe = − 2 xy y ′ + 2 xy = 0 . x 2x x −x 6. 已知 y1 = xe + e , y2 = xe + e ,
y 3 = xe x + e 2 x − e − x 为二阶线性非齐次
微分方程的三个解，求 此微分方程 . 微分方程的三个解， 因Y1 = y1 − y3 = e− x , Y2 = y1 − y2 = e2x − e−x , Y3 = Y1 +Y2 = e2x ,
e 和 e 是二阶线性齐次微分方 程线性无关特解， λ1 = −1, λ 2 = 2, (λ + 1)(λ − 2) = 0, λ2 − λ − 2 = 0.
2
5. y′′ = f ( x , y′ ) y′ = p(x) y′′ = p′(x) p′ = f ( x , p ) p = ϕ ( x , C1 ) y′ = ϕ ( x , C1 )
微分方程与差分方程简介
u( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) dx q( x) u( x) q( x) e
p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C
p ( x ) dx p ( x ) dx u ( x) q ( x) e dx C 代入 y u ( x)e
例如，下列方程都是微分方程 (其中 y, q 均为未知函数).
(1) y= kx, k 为常数；
(2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0； (3) ( y)2 2xy x 2 3
1 3 y 1 y ; ( 4) a
d 2q g (5) 2 sin q 0 ( g , l 为常数). dt l
例如函数y = x2 + C 是微分方程 y = 2x 的 通解； 而 y = x2 +3就是方程 y = 2x 的特解.
再如函数y
=Cex 是微分方程
y y 的
的通解； 如果给出初始条件 y(0) = 0 ， 可得C = 0 ， 从而就得到特解y=0.
通常一阶微分方程的初始条件是
y |x x0 y0 , 或 y( x0 ) y0 .
(1) 分离变量 (2) 两边积分
g ( y)dy f ( x)dx
g ( y)dy f ( x)dx C
(3) 整理后即可得方程通解.
2 例 1 求方程 y (cos x sin x) 1 y 的通解 .
解 分离变量，得 dy
1 y2
(cosx sin x)dx,
1 y 的通解,以及y(1) =2 的特解. 例 4 求 y 2 xy(1 x )
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6
s(0) 0
第二节 一阶微分方程
F ( x , y , y ) 0
（一）可分离变量的一阶微分方程 变量已分离的微分方程 可分离变量的微分方程 dy 分离 f ( x ) g( y ) 变量 dx
g( y )dy f ( x )dx 积分 g( y )dy f ( x )dx C
P ( x ) dx
P ( x ) dx
dx C ]e
P ( x ) dx
返回
y Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
齐次通解
Q( x )e
P ( x ) dx
dx
16
非齐次特解
y cos x 形式 则方程 F(x, y, y)0 称为齐次微分方程 例如：
11
（二）齐次微分方程
dy y f( ) 齐次方程的解法： dx x
y u x
y xu
f (u )
y u xu u xu f (u)
xu f (u) u
N e kt lnC
解：
dN kdt N
dN N kdt
N (t ) Ce kt .
ln N kt C
若 N (t0 ) N0 ， 则有
N 0 Ce kt0 ， C N 0e kt0
N e kt C eC e kt
N e e
kt
C kt
-6 -4 -2
1 0.5 2 -0.5 -1 4 6
arcsiny x C
y sin(x C ).
显然， y 1 也是该方程的解，但它们不包含
在方程的通解中， 称它们为方程的奇解或包络。 （二）齐次微分方程
10
（二）齐次微分方程
如果方程 F(x, y, y)0 能够写成形如
第九章 微分方程与差分方程简介
第一节 第二节 第三节 第四节
8-10学时 微分方程的一般概念 一阶微分方程 几种二阶微分方程 二阶常系数线性微分方程
在科学研究中，常常需要寻求变量间的函数 关系，但有时这种关系不能直接得到，而只能建 立待求变量间的导数或微分关系，这类含有未知 函数的导数或微分的关系，即是微分方程。 通过解微分方程才能得到所求函数关系。1
C1 0 C 2 0
ds gt C1 dt
ds ( gt C1 )dt
ds gdt
s gt C1
ds ( gt C )dt
1
1 2 s gt C1t C2 . 2
1 2 s gt 2
3
第一节 微分方程的一般概念
dy f ( x )dx g( y )
M1 ( x ) M 2 ( y)dx N1 ( x ) N 2 ( y)dy M1 ( x ) N 2 ( y) dx dy 分离变量 N1 ( x) M 2 ( y)
7
（一）可分离变量的微分方程
例1.
dN kN dt
或 ln N kt ln C
Q( x)e
2
P ( x ) dx
dx x e
2
ln
1 x
x2 dx xdx ， 2
3
x x x ( ln x ) C )e . ( C ) x Cx 故 y( 2 2 2
18
2
（三）一阶线性微分方程
y dy 0 例3. xdy ydx ln y
故 N ( t ) N 0e k ( t t 0 ) .
马尔萨斯人口模型
8
N Ce .
（一）可分离变量的微分方程
例2. (1 y )dx xydy 0
2
y 1 dy dx 解： 2 (1 y ) x
y 1 (1 y 2 ) dy x dx
积分变量
y y x C
2
d 2s s( t ) g 2 dt
y y x 1
2
1 1 22 gt 1 ss gt C1t C2 2 2 2
1 2 s s gt 2 2
4.微分方程的通解(general solution) 5.微分方程的特解(particular solution) s ( 0) 0 6.微分方程的初始条件(initial condition)
ln x ln y lnC x Cy
常数变易 x C ( y ) y 故
x (C lnln y) y Cy y lnln y.
20
（三）一阶线性微分方程
dx 1 1 x dy y ln y
1 1 P ( y ) ，Q( y ) y ln y
1 1 因 P ( y )dy dy ln y ln ， y y P ( y )dy dy Q( y )e
得 故
sinx
C ( x ) 1
y ( x C )e
sin x
Ce
sin x
xe
sin x
.
17
（三）一阶线性微分方程
1 y y x 2 y [ Q( x )e P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx 例2. x
1 解：P ( x ) ，Q( x ) x 2 x 1 1 因 P ( x )dx dx ln x ln ， x x
( x) Q( x )e P ( x )dx C
C ( x ) Q( x )e P ( x )dx dx C
15
（三）一阶线性微分方程
将 C ( x ) Q( x )e
P ( x ) dx
dx C 代入
y C ( x )e
得 y [ Q( x )e
定义91(微分方程) 含有未知函数的导数或微分的方程称为微分 方程 微分方程的阶 方程中出现的未知函数的各阶导数的最高阶 数，称为微分方程的阶
定义92(微分方程的解) 如果一个函数代入微分方程后 方程两端恒 等 则称此函数为该微分方程的解
4
第一节 微分方程的一般概念
定义93(微分方程的通解和特解） 如果微分方程的解中所含任意常数的个数等 于微分方程的阶数 则此解称为微分方程的通解
bd
当 QS < QD 时，价格将上涨， 故价格是时间t 的函数． 假设在时刻t价格P(t)的变化率与这时的过剩需求量
dP QD QS 成正比，即 r (Q D Q S ) ，则 dt dP dP kP h P(0) P0 r (a b) r (c d ) P dt dt k h P ( P0 P )e kt P . 22
dy y dy 解： x y 0 dx ln y dx
y dy (x ) y l n y dx
dx 1 1 x dy y ln y
19
（三）一阶线性微分方程
dx 1 1 x dy y ln y dx 1 x0 dy y dx dy x y
1 C ( y ) y ln y 1 C ( y ) y ln y 1 C ( y) dy C lnln y y ln y
12
（二）齐次微分方程
y 2 ( ) y2 x y 例. xy x 2 y 1 x
y 令 u x 则 y u xu
2 2 2 u2 u u ( u u) u u xu ， xu u u1 u1 u1 u1
u1 1 du dx u x
dy P ( x )dx y
ln y P ( x )dx ln C
dy Q( x ) dx P ( x )dx y y Q( x ) ln y dx P ( x )dx y
ln y u( x ) P ( x )dx
y Ce
P ( x )dx
第一节 微分方程的一般概念
例1.设曲线 y=f(x) 过点(1,2)，且其上各点的切线 斜率等于该点横坐标的2倍，则有
dy 2x dx
f ( x ) 2 x
dy 2 xdx
将 x=1 时 y=2 代入
21 C， C 1
2
dy 2 xdx
y C1 x 2 C2
在通解中给予任意常数以确定的值而得到的 解称为特解 初始条件 用于确定通解中的任意常数的条件称为初始 条件
5
第一节 微分方程的一般概念
1.微分方程(ordinary differential equation)
dy f ( x ) 2 x dx
2.微分方程的阶(order) 3.微分方程的解(solution)
. .
y C ( x)e
P ( x )dx
ye P ( x )dx u( x ) y e e
14
u( x ) P ( x )dx
（三）一阶线性微分方程 P ( x ) dx 对 y C ( x )e 求导
C ( x )e P ( x )dx C ( x ) P ( x )e P ( x )dx y
解：由 y y cos x 0
dy cos xdx y
ln y sinx lnC
（三）一阶线性微分方程
将y
C ( x )e
sin x
sin x
代入非齐次方程，得
C ( x )e
e
sin x
y Ce . sinx 常数变易 y C ( x )e . C ( x) x C
u ln u ln x ln C