2018年中考数学总复习第4章图形的初步认识与三角形、四边形第3节等腰三角形与直角三角形(精讲)试题
河北省2018年中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第4章图形的初步认识与三角形四边形第3节
第三节等腰三角形与直角三角形1．(白银中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( C)A．3 B．4 C．5 D．6(第1题图)(第2题图)2．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7 m，顶端距离地面2.4 m，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2 m，则小巷的宽度为( C) A．0.7 m B．1.5 mC．2.2 m D．2.4 m3．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是边PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝44°，则∠P的度数为( D)A．44°B．66°C．88°D．92°(第3题图)(第5题图)4．(2016保定十七中模拟)在△A BC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为( D) A．32 B．42C．40或42 D．32或425．(宜昌中考)任意一条线段EF，其垂直平分线的尺规作图痕迹如图所示，若连接EH，HF，FG，GE，则下列结论中，不一定正确的是( B)A．△EGH为等腰三角形B．△EGF为等边三角形C．四边形EGFH为菱形D．△EHF为等腰三角形6．具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是( D )A ．∠A ＋∠B＝∠CB ．∠A －∠B＝∠CC ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3D ．∠A ＝∠B＝3∠C7．如图，已知△ABC 的面积为10 cm 2，BP 为∠ABC 的平分线，AP 垂直BP 于点P ，则△PBC 的面积为( B )A ．4 cm 2B ．5 cm 2C ．6 cm 2D ．7 cm 28．(杭州中考)已知直角三角形纸片的两条直角边分别为m 和n(m<n)，过锐角三角形顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则( C )A ．m 2＋2mn ＋n 2＝0B ．m 2－2mn ＋n 2＝0C ．m 2＋2mn －n 2＝0D ．m 2－2mn －n 2＝0(第7题图)(第9题图)9．(2017益阳中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，DE 是线段AC 的垂直平分线，若BE ＝a ，AE ＝b ，则用含a ，b 的代数式表示△ABC 的周长为__2a ＋3b__．10．(2017绥化中考)在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD ＝12BC ，则△ABC 的顶角的度数为__30°或150°或90°__．11．(2017绍兴中考)如图，∠AOB ＝45°，点M ，N 在边OA 上，OM ＝x ，ON ＝x ＋4，点P 是边OB 上的点．若使点P ，M ，N 构成等腰三角形的点P 恰好有三个，则x 的值是．12．在等边△ABC 中，点E 是AB 上的动点，点E 与点A ，B 不重合，点D 在CB 的延长线上，且EC ＝ED.(1)当BE ＝AE 时，求证：BD ＝AE ；(2)当BE≠AE 时，“BD ＝AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD 与AE 数量关系式；若你认为成立，请给予证明．解：(1)在等边△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB＝60°.∵BE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠ECB＝30°. 又∵CE＝DE ，∴∠D ＝∠ECD＝30°. ∴∠DEB ＝30°，∴BE ＝BD ，∴BD ＝AE ； (2)BD ＝AE 还成立．理由如下：如图②，过点E 作EF∥AC 交BC 于点F.易证△EFB 为等边三角形． ∴EF ＝FB ＝BE.∴∠EFB＝∠EBF. ∴∠CFE ＝∠EBD. ∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D. ∴△EBD ≌△EFC(AAS )，∴CF ＝BD. ∵AB ＝BC ，∴AB －BE ＝BC －BF ， 即A E ＝CF ，∴BD ＝AE.13．(威海中考)如图，已知AB ＝AC ＝AD ，∠CBD ＝2∠BDC，∠BAC ＝44°，则∠CAD 的度数为( B )A ．68°B ．88°C ．90°D ．112°14．(内江中考)已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( B )A .32 B .332 C .32D ．不能确定15．(2017咸宁中考)如图，在Rt △ACB 中，BC ＝2，∠B AC ＝30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM ，ON 上滑动，下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA ＝23； ②C ，O 两点距离的最大值为4； ③若AB 平分CO ，则AB⊥CO； ④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π2.其中正确的是__①②③__．(填序号)(第15题图)(第16题图)16．(2017齐齐哈尔中考)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为__113°或92°__．17．(潍坊中考)已知∠AOB＝60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM＝4，则点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是．18．(2016邯郸十一中一模)如图，∠ABC＝90°，D，E分别在BC，AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M.(1)求证：∠FMC＝∠FCM；(2)AD与MC垂直吗？并说明理由．解：(1)∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF＝AF＝EF.又∵∠ABC＝90°，∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF＝∠AMF.又∵∠DFC＝∠AFM＝90°，∴△DF C≌△AFM，∴CF＝MF.∴∠FMC＝∠FCM；(2)AD⊥MC.理由：由(1)知∠MFC＝90°，FD＝FE，FM＝FC.∴∠FDE＝∠FMC＝45°.∴DE∥CM，由题意得AD⊥DE，∴AD⊥MC.19．如图，△ABC中，BE，CF分别平分∠ABC和∠ACB，AE⊥BE于E，AF⊥CF于F.求证：EF∥BC.证明：延长AE，AF分别交BC于点M，N.∵BE平分∠ABM，∴∠ABE＝∠CBE.∵AB⊥BE，∴∠AEB＝∠MEB＝90°.在Rt△ABE和Rt△MBE中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE＝∠MBE，BE ＝BE ，∠AEB ＝∠MEB，∴Rt △ABE ≌△Rt △MBE(SAS )． ∴AE ＝EM. 同理，AF ＝FN ， ∴EF 为△AMN 的中位线， ∴EF ∥MN ， ∴EF ∥BC.。
2018年中考数学复习第4章图形的初步认识与三角形第18讲等腰三角形课件
D
2．[2013·河北，8,3分]如图，一艘海轮位于灯塔P 的南偏东 70°方向的M 处，它以每小时40 海里的速度向正北方向航行，2 小时后到达位于灯塔P 的北偏东40°的N 处，则N 处与灯塔P 的 距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80 海里
D 由平行线的性质，得∠M＝70°，∠N＝40°，由三角形内角 和定理，得∠NPM＝70°，由等腰三角形的判定及性质知，NP＝MN ＝40×2＝80(海里)．
即△AOD是直角三角形． (3)∵∠AOD＝360°－∠AOB－∠COD－α＝360°－110°－60° －α＝190°－α，∠ADO＝α－60°， ∴∠OAD＝180°－(190°－α)－(α－60°)＝50°. 分三种情况讨论： ①要使AO＝AD，需使∠AOD＝∠ADO， 即190°－α＝α－60°，得α＝125°； ②要使OA＝OD，需使∠ADO＝∠OAD， 即α－60°＝50°，得α＝110°； ③要使OD＝AD，需使∠AOD＝∠OAD， 即190°－α＝50°，得α＝140°. 综上所述，当α为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角 形．
技法点拨►技法点拨►等边三角形是特殊的三角形，三条边相等， 三个角都是60°.经常与直角三角形的30°角的性质、三角函数 联系起来．特别是等边三角形的面积S与边长a之间的关系可以 表示为S＝
六年真题全练 命题点1 等腰三角形的性质及判定 1．[2017·河北，10,3分]如图，码头A在码头B的正西方向，甲、 乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向 是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是 ( ) A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
类型2
2018年中考数学复习 第4单元 图形的初步认识与三角形 第18课时 三角形与等腰三角形 湘教版(1)
图18－5
[解析] 由∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x以及三角形内角和 定理可得x＝30°.因此∠BAD＝180°－∠BAC＝180°－ 30°＝150°，故选B.
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第四单元┃ 图形的初步认识与三角形
2．[2017·陕西]如图 18－6，在△ABC 中，BD 和 CE 是△ABC 的两条角平分线，若∠A＝52°，则∠1＋∠2 的度数为 ___64_°____．
A．16 cm B．17 cm C．20 cm D．16 cm 或 20 cm
[方法模型]
涉及三角形三边的不等关系时，常常根据三边的不等关系
定理建立不等式(组)，通过解不等式(组)求出其中字母的取值
范围或确定构成三角形的个数．
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探究2 三角形中的重要线段 命题角度： 1. 识别三角形的中线、角平分线、高线； 2. 利用三角形的中位线、中线、高、角平分线的性质 进行计算． 例 2 (1)[2015·长沙] 如图 18－2，过△ABC 的顶点 A， 作 BC 边上的高，则以下作法正确的是( A )
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考点7 命题、定义、定理、基本事实
定义 命题 定理
对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规
定的语句叫作这个概念的定义
(1)命题的概念：一般地，对某一件事情作出判
断的语句(陈述句)叫作命题． (2)命题的真假：正确的命题称为__真__命__题____； 错误的命题称为__假__命__题____． (3) 命 题 的 组 成 ： 每 个 命 题 都 由 __条__件____ 和 ___结__论___两个部分组成
中考数学命题研究 第一编 教材知识梳理篇 第四章 图形
第三节等腰三角形与直角三角形,贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2016解答18(2) 直角三角形的判定以正方形为背景利用全等三角形的性质判定直角三角形5 52015未考2014填空15 等腰直角三角形以等腰直角三角形为背景，结合动点，确定时间4解答24 直角三角形的性质以一副直角三角形为背景，将三角形折叠，求：(1)折痕长；(2)求两线段的最小值；(3)求点到线的距离12 162013解答24 勾股定理以三角形三边长为条件探索三角形的形状12 122012选择8 直角三角形的性质以直角三角形为背景，求线段的长3填空15 等腰三角形的性质以等腰三角形为背景，求角度4 7命题规律纵观贵阳市5年中考，本节内容多以选择、填空、解答题形式出现，其中选择题考查了1次，填空题考查了2次，解答题考了3次，主要涉及等腰直角三角形，直角三角形的性质与判定．命题预测预计2017年贵阳中考，本节内容仍为重点考查内容，主要利用直角三角形的性质进行计算，题型仍以选择、填空题为主.,贵阳五年中考真题及模拟) 直角三角形的有关计算(3次)1．(2012贵阳8题3分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F＝30°，DE＝1，则EF的长是( B )A．3 B．2 C. D．1(第1题图)(第2题图)2．(2014贵阳15题4分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高．动点P 从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0＜t＜8)，则t＝__6__ s时，S1＝2S2.3．(2014贵阳24题12分)如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC＝45°，∠ACD ＝30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB＝6 cm.(1)AE的长为__4__cm；(2)试在线段AC上确定一点P，使得DP＋EP的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D′到BC的距离．解：∵Rt △ADC 中，∠ACD＝30°，∴∠ADC＝60°.∵E 是CD 边上的中点，∴AE＝DE ，∴△ADE 是等边三角形．∵△ADE 沿着AE 所在直线翻折得到△AD′E，∴△AD′E 是等边三角形．∴∠AED′＝60°，∵∠EAC＝∠DAC －∠EAD ＝30°，∴∠EFA＝90°，即AC 所在直线垂直平分线段ED′，∴点E ，D′关于直线AC 对称．连接DD′交AC 与点P ，∴此时DP ＋EP 值最小，且DP ＋EP ＝DD′.∵△ADE 是等边三角形，AD ＝AE ＝4，∴DD′＝2×AD·cos 30°＝2×4×23＝12，即DP ＋EP 的最小值是12；(3)连接CD′，BD′，过D′作D′G⊥BC 于点G.∵AC 垂直平分ED′，∴AE ＝AD′，CE ＝CD′.∵AE ＝CE ，∴AD′＝CD′＝4.∵AB ＝BC ，BD′＝BD′，∴△ABD′≌△CBD′(SSS )，∴∠D′BG＝45°，∴D′G＝GB.设D′G＝x cm ，则CG ＝(6－x)cm ，∴x 2＋(6－x)2＝(4)2，解得x 1＝3－，x 2＝3＋(不合题意，舍去)．∴点D′到BC 的距离为(3－)cm .勾股定理(1次)4．(2013贵阳24题12分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，设c 为最长边，当a 2＋b 2＝c 2时，△ABC 是直角三角形；当a 2＋b 2≠c 2时，利用代数式a 2＋b 2和c 2的大小关系，探究△ABC 的形状(按角分类)．(1)当△ABC 三边分别为6，8，9时，△ABC 为__锐角__三角形；当△ABC 三边分别为6，8，11时，△ABC 为__钝角__三角形；(2)猜想，当a 2＋b 2__>__c 2时，△ABC 为锐角三角形；当a 2＋b 2__<__c 2时，△ABC 为钝角三角形； (3)判断当a ＝2，b ＝4时，△ABC 的形状，并求出对应的c 的取值范围．解：∵c 为最长边，∴4≤c ＜6，①a 2＋b 2＞c 2，即c 2＜20，0＜c ＜2，∴当4≤c<2时，△ABC 是锐角三角形；②a 2＋b 2＝c 2，c 2＝20，c ＝2，∴当c ＝2时，△ABC 是直角三角形；③a 2＋b 2＜c 2，c 2＞20，c ＞2，∴当2＜c ＜6时，△ABC 是钝角三角形．直角三角形的判定(1次)5．(2016贵阳18题10分)如图，点E 是正方形ABCD 外一点，点F 是线段AE 上一点，△EBF 是等腰直角三角形，其中∠EBF ＝90°，连接CE ，CF.(1)求证：△ABF ≌△CBE ；(2)判断△CEF 的形状，并说明理由．证明：(1)略；(2)△CEF 是直角三角形．理由：∵△EBF 是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB ＝45°，∴∠AFB ＝135°.又∵△ABF ≌△CBE ，∴∠CEB＝∠AFB ＝135°，∴∠CEF＝∠CEB －∠FEB ＝135°－45°＝90°，∴△CEF 是直角三角形．等腰三角形的性质(1次)6．(2012贵阳15题4分)如图，在△ABA 1中，∠B ＝20°，AB ＝A 1B ，在A 1B 上取一点C ，延长AA 1到A 2，使得A 1A 2＝A 1C ；在A 2C 上取一点D ，延长A 1A 2到A 3，使得A 2A 3＝A 2D ；……，按此做法进行下去，∠A n 的度数为__2n －180°__．(第6题图)(第7题图)7．(2016贵阳适应性考试)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，BC ＝6，CD 为AB 边上的高，点P 为射线CD 上一动点，当点P 运动到使△ABP 为等腰三角形时，BP 的长度为__4或6__．8．(2016贵阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D 是OA 的中点，点P 在BC 上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为__(2，4)或(3，4)或(8，4)__．,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定(高频考点)1定义有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角相等(即∠B ＝∠C )；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积：S △ABC ＝21BC ·AD判定如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．(简称“__等角对等边__”)定义 三边相等的三角形是等边三角形性质(1)等边三角形三边相等(即AB ＝BC ＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于60°(即∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°)； (3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S △ABC ＝21BC ·AD判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定(高频考点)3定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角之和等于__90°__；(2)直角三角形斜边上的__中线__等于斜边的一半(即BD＝21AC)；(3)直角三角形中__30°__角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝21AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形4.定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°判定(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形,中考重难点突破)等腰三角形的性质与判定【例1】(2016原创)如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】50°1．(2016贵阳模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为( B ) A．30°B．36°C．40° D．45°,(第1题图)) ,(第2题图))2．(2016白银中考)将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB ＝6 cm ，则AC ＝__6__cm .3．(2016遵义中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°.AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD ＝__35__°.4．(2016襄阳中考)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝2，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE≌Rt △CDF，∴∠B＝∠C ，∴AB＝AC ；(2)∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC＝30°，AD ＝2，∴AC＝cos30°AD＝4.直角三角形的相关计算【例2】(2016河南中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，AB ＝10.DE 垂直平分AC 交AB 于点E ，则DE 的长为( )A ．6B ．5C ．4D ．3【解析】根据题意，DE 是AC 的垂直平分线．∵∠ACB ＝90°，∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线．∵BC ＝＝6，∴DE ＝21BC ＝3.【学生解答】D5．(2016宁波中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ∥AB ，∠ACD ＝40°，则∠B 的度数为( B ) A ．40° B ．50° C ．60° D ．70°,(第5题图)) ,(第6题图))6．(2016南充中考)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为( A )A ．1B ．2C .D ．1＋7．(2016娄底中考)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B 、C 不重合)，作BE ⊥AD 于点E ，CF ⊥AD 于点F ，则BE ＋CF 的值( C )A ．不变B ．增大C ．减小D ．先变大再变小,(第7题图)) ,(第8题图))8．(2015广东中考)如图，正方形ABCD 的面积为1，则连接相邻两边中点EF ，以EF 为边的正方形EFGH 的周长为( B )A .B ．2C .＋1D ．2＋19．(2016株洲中考)如图，以直角三角形a 、b 、c 为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3图形个数有( D )A ．1B ．2C ．3D ．410．(2015贵阳考试说明)已知：如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝10，D 为△ABC 外一点，连接AD ，BD ，过D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ，交AC 于E.若△ABD 是等边三角形，求DE 的长．解：∵△ABD 为等边三角形，AB ＝10，∴∠ADB＝60°，AD ＝AB ＝10，∵DH⊥AB，∴AH＝21AB ＝5，∴DH＝5，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴∠AEH＝45°，∴EH＝AH ＝5，∴DE＝DH －EH ＝5－5.。
中考数学总复习第四章图形的初步认识与三角形第三节等腰三角形与直角三角形
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中考数学总复习 第四章 三角形 第3节 等腰三角形数学课件
12/14/2021 ◆教材回顾 ◆突破考点（考点一 考点二 ）
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2018年中考数学总复习 第一篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第3节(精讲)
第三节 等腰三角形与直角三角形,遵义五年中考命题规律)6,遵义五年中考真题及模拟)勾股定理1．(2016遵义六中二模)如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE 等于( B )A .32 B . 3 C . 3 D .122．(2015遵义中考)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，若正方形EFGH 的边长为2，则S 1＋S 2＋S 3＝__12__．特殊三角形的判定与性质3．(2016遵义中考)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝110°，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，连接BD ，则∠ABD＝__35°__．4．(2016遵义二中一模)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为__63°或27°__．5．(2014遵义中考)如图，在▱ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A ＝45°，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且BE ＝DF ，连接EF 交BD 于点O.(1)求证：BO ＝DO ；(2)若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于点G ，当FG ＝1时，求AD 的长． 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴DC ∥AB ，∴∠ODF ＝∠OBE. 在△ODF 与△OBE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ODF＝∠OBE，∠DOF ＝∠BOE，DF ＝BE ， ∴△ODF ≌△OBE(AAS )， ∴BO ＝DO ；(2)∵BD⊥AD，∴∠ADB ＝90°. ∵∠A ＝45°，∴∠DBA ＝∠A＝45°. ∵EF ⊥AB ，∴∠G ＝∠A＝45°. ∴△ODG 是等腰直角三角形． ∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴DF ⊥OG ， ∴OF ＝FG ，△DFG 是等腰直角三角形． ∵△OBE ≌△ODF ，∴OE ＝OF ， ∴GF ＝OF ＝OE ，即2FG ＝EF. ∵△DFG 是等腰直角三角形， ∴DF ＝FG ＝1，∴DG ＝DF 2＋FG 2＝2.∵AB∥CD， ∴AD DG ＝EF FG ，即AD 2＝21，∴AD ＝22.,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定1．等腰三角形有两边相等的三角形是等2.等边三角形等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__)；等边三角形内、外心重合；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；面积：S△ABC＝12三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定直角三角形的性质与判定近5年考查2次，设问方式为：①求面积；②求线段长度．结合的背景有：①与平行四边形结合；②以赵爽弦图为背景．3．直角三角形__中线__等于斜边的一半角所对应的直角边等于斜边的一半AC)；勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a2＋b2＝c2；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30续表90°的三角形是直角三角形；一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形4.等腰直角三角形,中考重难点突破)等腰三角形的相关计算【例1】如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，且∠DBC＝15°，则∠A＝________【解析】由线段垂直平分线定理知AD ＝BD ，∴∠A ＝∠ABD，又∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，设∠A＝x ，则x ＋2(x ＋15°)＝180°，∴∠A ＝x ＝50°.【答案】50°1．(2017连云港中考)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连接BE ，CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC. 解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由如下：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD ，∴∠ABE ＝∠ACD； (2)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB，由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC ＝∠FCB， ∴FB ＝FC ，又∵AB＝AC ，∴点A ，F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC.2．(2017成都中考)【问题背景】如图①，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，作AD⊥BC 于点D ，则D 为BC 的中点，∠BAD ＝12∠BAC＝60°，于是BC AB ＝2BDAB＝ 3.【迁移应用】如图②，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，∠BAC ＝∠DAE＝120°，D ，E ，C 三点在同一条直线上，连接BD.(1)求证：△ADB≌△AEC；(2)请直接写出线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式；【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，在∠ABC 内作射线BM ，作点C 关于BM 的对称点E ，连接AE 并延长交BM 于点F ，连接CE ，CF.(1)证明：△CEF 是等边三角形； (2)若AE ＝5，CE ＝2，求BF 的长．解：迁移应用：(1)∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠DAB ＝∠CAE， 在△DAE 和△EAC 中，⎩⎪⎨⎪⎧DA ＝EA ，∠DAB ＝∠EAC，AB ＝AC ，∴△DAB ≌△EAC ； (2)CD ＝3AD ＋BD ；拓展延伸：(1)如答图中，作BH⊥AE 于H ，连接BE. ∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°， ∴△ABD ，△BDC 是等边三角形，∴BA ＝BD ＝BC. ∵E ，C 关于BM 对称， ∴BC ＝BE ＝BD ＝BA ，FE ＝FC ，∴A ，D ，E ，C 四点共圆，∴∠ADC ＝∠AEC＝120°， ∴∠FEC ＝60°，∴△EFC 是等边三角形； (2)∵AE＝5，EC ＝EF ＝2， ∴AH ＝HE ＝2.5，FH ＝4.5， 在Rt △BHF 中，∵∠BFH ＝30°，∴HFBF＝cos30°，∴BF＝4.532＝3 3.直角三角形的相关计算【例2】(2017江岸中考)如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝______°.【解析】本题主要考查直角三角形相关计算．【答案】553．(2017广丰中考)如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，E是AD中点，P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段BP的长度等于35．,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2017临海中考)如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，斜边AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接CD，若BD＝1，则AD的长是__2__．。
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第三节等腰三角形与直角三角形，考查勾股定理等边三角形的方形结合为背景，求两分，题型涉及选择和解河北五年中考真题及模拟等腰三角形的性质和相关计算1．(2016河北中考)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有( D)A．1个B．2个C．3个D．3个以上(第1题图)(第2题图)2．(2013河北中考)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝50°，则∠1＋∠2＝( B)A．90°B．100°C．130°D．180°3．(2016秦皇岛二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6 cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( C)A．4 cm B．3 cmC．2 cm D．1 cm(第3题图)(第4题图)直角三角形的性质、判定及相关计算4．(2017保定中考模拟)已知：如图，△ABC 是等边三角形，四边形BDEF 是菱形，其中线段DF 的长与DB 相等．将菱形BDEF 绕点B 按顺时针方向旋转．甲、乙两位同学发现在此旋转过程中，有如下结论． 甲：线段AF 与线段CD 的长度总相等；乙：直线AF 和直线CD 所夹的锐角的度数不变； 那么，你认为( A )A ．甲、乙都对B ．乙对甲不对C ．甲对乙不对D ．甲、乙都不对5．(2016廊坊二模)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( B ) A ．4，5，6 B ．1.5，2，2.5 C ．2，3，4 D ．1，2，36．(2017唐山模拟)如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE⊥AC.若DE ＝10，AE ＝16，则BE 的长度为( C )A ．10B ．11C ．12D ．13(第6题图)(第7题图)7．(2017石家庄中考模拟)如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，且AB ＝2，M 是边BC 上的一个动点，连接AM ，P 为AM 的中点，当M 点从点B 运动到点C 的过程中，P 点的运动路线长( D )A ．1＋33B ．1－3π3C .12＋36 D .π38．(2016保定育德中学二模)一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为( D ) A ．5 B .7C . 5D ．5或79．(2017石家庄中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4，点M 是直角边AC 上的一个动点，连接BM ，并将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BN ，连接CN.则在点M 运动过程中，线段CN 长度的最大值是__4__，最小值是__2__．,中考考点清单等腰三角形的性质与判定1．等腰三角形等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；面积： S△ABC＝如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“__等角对等边2.三边相等的三角形是等边三角形等边三角形三边相等(即等边三角形三角相等，且每一个角都等于__60°__)等边三角形内、外心重合；等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；面积：S△ABC＝12BC三边都相等的三角形是等边三角形；三个角相等的三角形是等边三角形；°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定390°的三角形叫做直角三角形直角三角形的两个锐角之和等于4.,中考重难点突破等腰三角形的相关计算【例1】在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝________.【解析】由垂直平分线可得∠AED＝90°，在Rt△ADE中由两锐角互余可求∠A，在等腰三角形中由两底角相等，即可求得．在等腰三角形中，只要知道其中一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，必须分成两种情况来讨论．此题的两种情况如图所示：【答案】70°或20°1．(2017天津中考)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP＋EP最小值的是( B)A．BC B．CE C．AD D．AC(第1题图)(第2题图)2．(2017滨州中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为( B )A ．40°B ．36°C ．80°D ．25°等腰三角形、等边三角形的性质与判定【例2】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 是△AB C 内的两点，AD 平分∠BAC，∠EBC ＝∠E＝60°，若BE ＝6 cm ，DE ＝2 cm ，则BC ＝________cm .【解析】如图，延长AD 交BC 于点M ，由AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线可得AM⊥BC，BM ＝MC ＝12BC ，延长ED交BC 于点N ，则△BEN 是等边三角形，从而求出DN 的长，利用在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半，求出MN 的长，进而求BM ，BC 的值．【答案】83．(2017台州中考)如图，已知等腰三角形ABC ，AB ＝AC ，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是( C )A ．AE ＝ECB ．AE ＝BEC ．∠EBC ＝∠BACD ．∠EBC ＝∠ABE(第3题图)(第4题图)4．(2017南充中考)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( D ) A ．(1，1) B ．(3，1) C ．(3，3) D ．(1，3)5．(2017张家口中考模拟)如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝106°，EF ，MN 分别是AB ，AC 的垂直平分线，E ，M 在BC 上，则∠EAM 等于( B )A ．58°B ．32°C ．36°D ．34°(第5题图)(第6题图)6．已知：如图，在△ABC 中，∠BCD ＝12°，∠B ＝63°，AD 平分∠BAC，CD ⊥AD ，则∠ACD＝__75°__．【例3】已知：如图，在△ABC 中，AD 既是△ABC 的中线，又是角平分线，求证：△ABC 是等腰三角形． 【解析】由已知条件入手，添加辅助线，构造全等三角形，依据三角形全等的判定之一“边角边”证明两个三角形全等，从而得出结论．【答案】证明：延长AD 到A′，使A′D＝AD ，连接A′B. ∵AD 是△ABC 的中线和角平分线， ∴AD 平分∠BAC，BD ＝CD ， ∴∠BAD ＝∠CAD.在△ADC 和△A′DB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝A′D，∠ADC ＝∠A′DB，DC ＝DB ，∴△ADC ≌△A ′DB ，∴AC ＝A′B，∠DAC ＝∠DA′B. ∵∠DAB ＝∠DAC， ∴∠DAB ＝∠DA′B， ∴BA ＝BA′. ∵AC ＝A′B， ∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形．7．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB 与DC 不平行，∠C ＝90°，E 为CD 中点，∠FAE ＝∠DAE，点F 在直线BC 上，求∠AEF 的度数．解：延长AE 交BC 的延长线于点G. ∵AD ∥BC ， ∴∠D ＝∠ECG， △DAE ＝∠G. ∵E 为DC 中点， ∴DE ＝CE ，∴∠ADE ≌△GCE ， ∴AE ＝GE.∵∠FAE ＝∠DAE， ∴∠FAE ＝∠G， ∴FA ＝FG ， ∴∠AEF ＝90°.直角三角形的性质、判定和勾股定理【例4】如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，D 为BC 上任意一点，DF ⊥AB 于点F ，DE ⊥AC 于点E ，M 为BC 的中点，连接EM ，FM ，给出以下五个结论：①AF＝CE ；②AE ＝BF ；③△EFM 是等腰直角三角形；④S 四边形AEMF＝12S △ABC ；⑤EF＝BM ＝MC.当点D 在BC 上运动时(点D 不与B ，C 重合)，上述结论中始终正确的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【解析】连接AM ，易证AE ＝DF ＝BF ，AF ＝DE ＝CE ，△AME ≌△BMF ，∴ME ＝MF ，∠AME ＝∠BMF，∴△EMF 是等腰直角三角形．S 四边形AEMF ＝S △AFM ＋S △AEM ＝S △AFM ＋S △BFM ＝S △ABM ＝12S △ABC ，但是EF 与BM 不一定相等，只有四边形AFME 为矩形时，EF ＝BM.【答案】C8．(株洲中考)如图，以直角三角形a ，b ，c 为边，向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S 1＋S 2＝S 3的图形个数有( D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．(2017苏州中考)如图，在一笔直的沿湖道路l 上有A ，B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头A 北偏东60°的方向，在码头B 北偏西45°的方向，AC ＝4 km .游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿CA 回到码头A 或沿CB回到码头B ，设开往码头A ，B 的游船速度分别为v 1，v 2，若回到A ，B 所用时间相等，则v 1v 2＝．(结果保留根号)10．如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB ＝5，BC ＝12，AD ＝9，CD ＝510，求四边形ABCD 的面积．解：连接AC.∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝52＋122＝13. ∵在△ACD 中， AC 2＋AD 2＝132＋92＝169＋81＝250， CD 2＝(510)2＝250，∴AC 2＋AD 2＝CD 2，∴∠DAC ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12BC ·AB ＋12AD ·AC ＝12×12×5＋12×9×13＝1772.。