2. 圆的渐开线与摆线
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渐开线与摆线ppt
所以所求摆线的参数方程是
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
x＝ 1 φ－sin φ， 2kπ 1 y ＝ 1－cos φ 2kπ
(φ 为参数，k∈N*)．
[错因与防范]
(1)若在求出 cos φ＝1 后，直接得出 φ＝0，会导致答案不全面． (2)不要误把点(1,0)中的 1 或 0 当成 φ 的值．
渐开线与摆线
学习目标
1.借助教具或计算机软件，观察圆在直线上 滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆 上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线)，了解 平摆线和渐开线的生成过程，并能推导出它 们的参数方程． 2.通过阅读材料，了解其他摆线(变幅平摆线、 变幅渐开线、外摆线、内摆线、环摆线)的 生成过程；了解摆线在实际应用中的实例.
圆的渐开线的概念：先分 析动点（笔尖）所满足的 几何条件，如图所示，设 开始时绳子外端为 于点A， 当外端展开到点M时，因 为绳子对圆心角是一段弧 AB，展开后成为切线BM， 所以切线BM的长就是弧 AB的长，这是动点满足 的条件，我们把笔尖画出 的曲线叫圆的渐开线，相 应的圆叫做渐开线的基圆.
GGB演示
[例2]求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图 所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转 过的角度α，(以弧度为单位)为参数)
例题+变式 摆线
[解析] 当圆滚过 α 角时， 圆心为点 B，圆与 x 轴的切点为 A，定点 M 的位置如图所示，∠ABM＝α. 由于圆在滚动时不滑动，因此线段 OA 的长和圆弧 ¼ AM 的长相等，它们 的长都等于 2α，从而 B 点坐标为(2α，2)， → → 向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin α，2cos α)， → BM＝(－2sin α，－2cos α)， 因此＝＋＝(2α－2sin α，2－2cos α) ＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
20-21版：四 渐开线与摆线（步步高）
(φ是参数) .
2 题型探究
PART TWO
一、圆的渐开线
例1 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
反思 感悟
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时 绳子上的定点M相对于圆心的张角.
跟踪训练1
已知圆的渐开线方程为
x＝cos
φsin
30°＋φsin
φsin
30°，
本课结束
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φ， φ
(φ 为参数). ∴基圆半径 r＝12.
当 φ＝π 时，x＝－12，y＝π2，∴A 的直角坐标为－12，π2.
二、平摆线
例 2 已知一个圆的参数方程为x＝3cos φ， (φ 为参数)，那么此圆的摆线参数方程 y＝3sin φ
中参数 φ＝π2对应的点 A 与点 B32π，2之间的距离为___1_0__.
已知一个圆的摆线的参数方程是
x＝3φ－3sin
φ， (φ为参数)，则该摆线
y＝3－3cos φ
一个拱的高度是__6__；一个拱的跨度为__6_π__.
解析 当φ＝π时，y＝3－3cos π＝6为拱高； 当φ＝2π时，x＝3×2π－3sin 2π＝6π为跨度.
3 随堂演练
PART THREE
1.圆
第二讲 参数方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解圆的渐开线的参数方程. 2.了解摆线的生成过程及它的参数方程. 3.学习并体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识梳理 题型探究 随堂演练
1 知识梳理
PART ONE
知识点一 渐开线
1.圆的渐开线的定义 把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头的外端点，保持线与圆相切， 外端点的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 定圆 叫做渐开线的基圆. 2.圆的渐开线的参数方程 设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
四、渐开线与摆线
记∠AOM＝θ，则∠OM1O1＝∠M1OO1＝θ，故∠M1O1A＝∠M1OO1＋∠OM1O1＝2θ.
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
大圆圆弧 AM 的长为 l1＝θ×1＝θ，小圆圆弧 AM1 的长为 l2＝2θ×12＝θ，即 l1＝l2，
∴小圆的两段圆弧 AM 与 AM1 的长相等，故点 M1 与点 M′重合，
即动点 M 在线段 MO 上运动，同理可知，此时点 N 在线段 OB 上运动． 点 A 在其他象限类似可得，M、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项 A 符合．故选 A.
P42
课堂练习
1.如图，有一标准的渐开线齿 轮，齿轮的齿廓线的基圆直 径是225mm，求齿廓线AB 所在的渐开线的参数方程.
的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致是( A )
几何画板
分析：根据小圆与大圆半径1：2的关系，知小圆的周长为大圆的一半， 则小圆要转二圈，才刚好滚过大圆的内壁一周．若小圆转半圈， 则刚好是大圆的四分之一；小圆转一圈，刚好是大圆的二分之一．
一圈半
y
M
两圈 M
MN
2
N
N
半圈
一圈
x
2:1时 一个点的 内摆线 4:1时一个点的内摆线（星形线） P44
【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆 O1 总与大圆 O 相内切， 且小圆 O1 总经过大圆的圆心 O.
设某时刻两圆相切于点 A，此时动点 M 所处位置为点 M′，
则大圆圆弧 AM 与小圆圆弧 AM 相等．
以切点 A 在劣弧 MB 上运动为例，记直线 OM 与此时小圆 O1 的交点为 M1，
e1 e2 ，即: BM // e2 .
讲授新课
2. 摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么当自行车在笔直的道路上行 驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
渐开线与摆线 课件
由于 r>0,则 cos φ=1,即 φ=2kπ(k∈Z).
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
代入 x=r(φ-sin φ),得 x=r(2kπ-sin 2kπ)(k∈Z).
因为 x=2,所以 r(2kπ-sin 2kπ)=2,
1
1
即得 r= (∈Z).又 r>0,所以 r= (∈N*).
π
π
1
易知,当 k=1 时,r 取最大值为 .
(∈Z).因为
2π
r 是圆的半径,所以 r>0.所以应有 k>0,且 k∈Z,即 k∈N*.所以所求摆
线的参数1
2π
(-sin),
(1-cos)
(为参数),其中 k∈N*.
6
故 A,B 两点之间的距离为
1
(13-6 3)π2 -6π-36 3 + 72.
6
反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关
键.
圆的摆线的参数方程及应用
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大
时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.
= (-sin),
π
故所求的圆的摆线的参数方程为
1
= (-sin),
π
1
= (1-cos)
(为参数);
π
圆的渐开线的参数方程为
1
= (cos + sin),
π
1
= (sin-cos)
π
( 为参数).
易错辨析
易错点:考虑不全面而致错
【例3】 已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方
程.
错解在摆线的参数方程中,令r(1-cos φ)=0可得cos φ=1,所以φ=0,
渐开线与摆线
(x－rcosφ, y－ sin φ)= （rφ）（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D
A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的 长就是 的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平 面直角坐标系 设基圆的半径 为r，点M的坐 标（x,y)由φ 惟一决定。
10
5
M
B
0 -10 -5 0
A
5
10
15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向 量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与 同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等 于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D
A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数 的取值范围 是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时， 点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当 外端展开到点M时，因为绳子对圆 心角φ（单位是弧度）的一段弧 ， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的 长就是 的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫 渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平 面直角坐标系 设基圆的半径 为r，点M的坐 标（x,y)由φ 惟一决定。
10
5
M
B
0 -10 -5 0
A
5
10
15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向 量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与 同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)
渐开线与摆线 课件
【分析】 已知摆线过定点(2,0)，代入摆线的参数方程
x＝rφ－sinφ， y＝r1－cosφ
(φ为参数)，可求出φ，进一步求得r，这样就可
以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程．
【解】 由y＝0知，r(1－cosφ)＝0，得
cosφ＝1，∴φ＝2kπ(k∈Z)．
代入x＝r(φ－sinφ)＝2，得r＝k1π(k∈Z)．
【例1】
典例剖析 给出某渐开线的参数方程xy＝＝33csionsφφ－＋33φφcsoinsφφ， (φ
为参数)，根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是
________，且当参数φ取
π 2
时，对应的曲线上的点的坐标是
________．
【分析】 根据一般情况下基圆半径为r的渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
【解】 将φ＝2π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ2＋2πsin2π＝π2， y＝sin2π－π2cos2π＝1.
∴A(2π，1)．
将φ＝π代入xy＝＝csionsφφ－＋φφcsoinsφφ，， 得x＝cosπ＋πsinπ＝－1，
y＝sinπ－πcosπ＝π.
(φ为参数)进行对照可知．
【解析】
由条件知r＝3，即基圆半径是3.然后把φ＝
π 2
分别
代入渐开线的参数方程
x＝rcosφ＋φsinφ， y＝rsinφ－φcosφ
(φ为参数)，可得
x＝32π， 即得对应的点的坐标． y＝3，
【答案】 3 32π，3
【例2】 已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出当圆的半 径最大时，该摆线的参数方程和对应的圆的渐开线方程．
高考数学平摆线和渐开线
§4 平摆线和渐开线
自主预习
讲练互动
课堂达标
1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
自主预习
讲练互动
课堂达标
【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
课堂达标
题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ， 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平 摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的 参数方程.
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题型一 平摆线 在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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高中数学4 课件2.4平摆线和渐开线
一二
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
2.渐开线的参数方程 半径为r的圆的渐开线的参数方程是 ������ = ������(cos������ + ������sin������), ������ = ������(sin������-������cos������) (其中 φ 为参数).
一二
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
做一做2 半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )
A.
������ ������
= =
���1���--scions������������,(θ 为参数)
B.
������ ������
= =
������ = ������(������-sin������), 为 ������ = ������(1-cos������) (-∞<α<∞).
一二
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X 新知导学 INZHIDAOXUE
D答疑解惑 AYIJIEHUO
D当堂检测 ANGTANGJIANCE
3.平摆线的性质 当圆滚动半周时,过定点M的半径转过的角度是π,点M到达最高 点(πr,2r),再滚动半周,点M到达(2πr,0),这时圆周和x轴又相切于点M, 得到平摆线的一拱.圆滚动一周时,平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是2r,最小值是0,即平摆线的拱高为
2r .
一二
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第2讲2.4渐开线与摆线
因为“基”的不同，渐开线有许多形式：
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
2.摆线与摆线的参数方程 (1)摆线的定义：
圆沿着直线滚动，圆周上一点在滚动过程中形成的
轨迹叫摆 线 . 也叫旋 轮 线 .
选修4-4
第2讲→渐开线与摆线
知识导学
(2)摆线的方程
y
C
P(x，y)
φ B
设圆的半径为r
O
D A
1 x＝π(cos φ＋φsin φ)， 【解析】： (φ 为参数)． y＝1 (sin φ－φcos φ) π
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
题型二 渐开线和摆线的参数方程的运用
【例题2】已知圆的渐开线的参数方程是：
x cos sin (为参数) y sin cos
x 2( sin ) (2) (为参数) y 2(1 cos )
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【感悟提高】 要理解渐开线和摆线的参数方程中各个几何量的意
义， 能根据条件直接套用得出方程.
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
题型探究
【巩固训练1】已知一个圆的摆线过一定点(2，0)， 请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应 的圆的渐开线的参数方程．
A．4π，2 C．2π，2
B．2π，4 D．4π，4
选修4-4
第2讲→圆与圆锥曲线的参数方程
随堂演练
3．半径为2的基圆的渐开线的参数方程为:
x 2(cos sin ) (为参数) y 2(sin cos ) ___________________________ ．
2014-2015学年高中数学(人教版选修4-4)配套课件第二讲 2.4 渐开线与摆线
分析：本题考查对渐开线参数方程的理解．对 照一般情况下基圆半径为 r 的渐开线的参数方程
x＝rcos φ＋φsin φ， (φ 为参数)可求 r 的值，然 y＝rsin φ－φcos φ
栏 目 链 接
π 后把 φ＝ 代入方程，即得对应的点的坐标． 2
解析： 所给的圆的渐开线的参数方程可化为
x＝3cos φ＋φsin φ， y＝3sin φ－φcos φ，
栏 目 链 接
所以基圆半径 r＝3. π 把 φ＝ 代入方程，可得 2
π π π y＝3sin 2－2cos 2，
x＝3π， 2 即 y＝3.
π π π x＝3cos 2＋2sin 2，
π ∴A2－1，1.
栏 目 链 接
3π 当 t2＝ 时， 2 3π 3π 3π x＝ －sin ＝ ＋1， 2 2 2
3π y＝1－cos ＝1， 2
3π ∴B 2 ＋1，1.
栏 目 链 接
故 A，B 两点间的距离为 |AB| ＝ π＋2.
3π π 2 ＋1－ －1 ＋1－12 ＝ π＋22 ＝ 2 2
第二讲 参数方程
2.4 渐开线与摆线
栏 目 链 接
1. 了解圆的渐开数的参数方程，了解摆线的生
成过程及它的参数方程。 2. 掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和 步骤。
栏 目 链 接
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1．以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立平面直 角坐标系，可得圆的渐开线的参数方程为：
线 y＝1 相交与 A，B 两点，求 A，B 两点间的距离．
解析：由 y＝1 及 y＝1－cos t 得 cos t＝0， 又 0≤t≤2π， π 3π ∴t1＝ ，t2＝ . 2 2 π 当 t1＝ 时， 2
2.1.4 坐标系—圆的渐近线与摆线
(为参数)
思 考：
在摆线的参数方程(1)中，参数 的取值范围
是什么？一个拱的宽度与高度各是多少？
x
y
r( sin), r(1 cos).
(为参数)
参数 的取值范围是[0， ); 一个拱的宽度是2 r，高度是2r
(其中 r 是滚动圆的半径).
其他常见类型摆线
例 一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时， 求圆平面上圆内一定点M轨迹的参数方程.
例 一个圆沿着一条定直线作无滑动的滚动时， 求圆平面上圆内一定点M轨迹的参数方程.
例 一个半径是4r的定圆O和一个半径是r的动圆C 相内切.当圆C沿圆O无滑动地滚动时,探求圆C上定点 M(开始时在点A)的轨迹的参数方程.
y
CB
MA
O
Dx
内摆线（星形线） 4:1
[2011·江西理数10] 如图，一个直径为1的小圆沿着直 径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的 一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大 圆内壁的一周．点M，N在大圆内所绘出的图形大致
y
M
B
O
A
x
思考：如果在自行车的轮子上喷一个白色 印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，白 色印记会画出什么样的曲线？
上述问题抽象成数学问题就是： 当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，
圆周上一个定点的轨迹是什么？
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线， 又叫旋轮线。
M B
OA
思考：圆在滚动过程中，圆周上的这个动 点满足的几何条件。
展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长 :
BM AB r
M
B
O
A
渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点， 直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。
利用复数求圆的渐开线和摆线方程
利用复数求圆的渐开线和摆线方程
渐开线（Rolle’s Theorem）是微积分中的一种重要的思想，其用复数方程求解圆的渐开线和摆线的方程也是一个重要的方法。
首先要知道，一般来说，用抛物线求解圆的渐开线和摆线的方法只适用于椭圆和偏心的椭圆，如果要求解圆的渐开线和摆线，就要用复数求解。
圆的渐开线方程可以由复平面内针对某一点的曲线定义得到。
当此曲线由一个复数写成渐开线（Rolle’s Theorem）的形式时，就可以得到圆的渐开线方程：
设某点M(z)在圆C上，以z0为圆心，以R为半径：
那么从z=z0开始，沿着半径R从M（z）点出发，到圆心z0的实轴上方及圆心z0的虚轴上方表示：
圆的渐开线：
圆的摆线方程也可以用复数求解，当复数表示为eθ 的形式时，可以得到圆的摆线方程：
其中，R为圆的半径，θ为复数eθ在复平面上的实虚圆弧长。
另外，也可以使用复数式方程求解圆的外切线和内切线的方程，圆的外切线方程可以写成：
其中，R为圆的半径，z0为圆心，f(z)自变量的函数值，将f （z）的导数等于0，如果取得极值，就可以得到圆的外切线方程。
圆的内切线方程可以写成：
在这里，R为圆的半径，z0为圆心，f（z）是自变量的函数值，将f（z）的导数等于1，如果取得极值，就可以得到圆的内切线方程。
总而言之，用复数求解圆的渐开线和摆线方程，相比用抛物线方法求解椭圆和偏心椭圆的渐开线和摆线，也是一种很好的求解方法，也可以求出圆的外切线和内切线方程。
参数方程四渐开线与摆线 课件
因此OM ＝OB＋ BM ＝(2α－2sin α，2－2cos α)
＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．
动点M的坐标为(x，y)，向量OM ＝(x，y)
所以xy＝＝221α－－csoins
α， α.
这就是所求摆线的参数方程．
(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地 滚动时圆周上一个定点的轨迹．
[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．
[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为 A，定点M的位置如图所示，∠ABM＝α.
由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧 AM 的 长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，
向量OB＝(2α，2)， 向量 MB＝(2sin α，2cos α)， BM ＝(－2sin α，－2cos α)，
(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知 其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于 某一定点运动所张开的角度大小．来自又OM ＝(x，y)，
因此有xy＝＝44scions
θ＋θsin θ－θcos
θ， θ.
这就是所求圆的渐开线的参数方程．
圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径， 字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心 的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．
圆的摆线的参数方程 [例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开 始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单 位)为参数)
1．渐开线的产生过程 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端
系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展 开，那么铅笔画出的曲线就是圆的__渐__开__线___，相应的定圆 叫做__基__圆__．__
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（四）课堂小结
本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
板书设计:
2.圆的渐开线与摆线
1.圆的参数方程
2.研究平摆线的参数方程
3.例题
4.变式训练题
作业
课后作业:
课前预习:
A、一条直线B、两条射线
C、一条线段D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程 表示同一曲线的点
A、 B、
C、 D、
引入新课：
复习：圆的参数方程
（二）讲授新课
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
课题
2.圆的渐开线与摆线
授课时间
2017年月 日
课时:
一课时
课型
新授课
实际授课时的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法
学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感态度价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点
圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程；
教学难点
用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
教学方法
讲练结合，启发、诱导发现教学。
学习方法
探究讨论、练习法。
教具
班班通、多媒体课件
民族团结
教育内容
马克思主义“五观”是什么？
指马克思主义的国家观、民族观、历史观、宗教观和文化观；
教学过程
共案
二次备课(手写）
前提测试:1、（1）方程 表示的曲线（ ）。
（ 为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3： 求摆线 与直线 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。
教学反思（手写）：
亮点：
不足：
整改措施：
备课组/学科组长签字（盖章）
教务处/教研室签字（盖章）
本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
板书设计:
2.圆的渐开线与摆线
1.圆的参数方程
2.研究平摆线的参数方程
3.例题
4.变式训练题
作业
课后作业:
课前预习:
A、一条直线B、两条射线
C、一条线段D、抛物线的一部分
（2）下列方程中，当方程 表示同一曲线的点
A、 B、
C、 D、
引入新课：
复习：圆的参数方程
（二）讲授新课
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （ 为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为 轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
课题
2.圆的渐开线与摆线
授课时间
2017年月 日
课时:
一课时
课型
新授课
实际授课时的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法
学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感态度价值观
通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点
圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程；
教学难点
用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
教学方法
讲练结合，启发、诱导发现教学。
学习方法
探究讨论、练习法。
教具
班班通、多媒体课件
民族团结
教育内容
马克思主义“五观”是什么？
指马克思主义的国家观、民族观、历史观、宗教观和文化观；
教学过程
共案
二次备课(手写）
前提测试:1、（1）方程 表示的曲线（ ）。
（ 为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当 ， 时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线 上当 对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3： 求摆线 与直线 的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿 轴正向滚动，开始时圆与 轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标 的最大值，说明该曲线的对称轴。
教学反思（手写）：
亮点：
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备课组/学科组长签字（盖章）
教务处/教研室签字（盖章）