【优化方案】2012高中数学 第2章2.5.2数列求和习题课课件 新人教A版必修5

2．常见求和类型及方法 (1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求 解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求 q 解(但要注意对q要分q＝1与q≠1两种情况进行讨论)； (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差 数列，采用分组转化法求{an}前n项和； (4)an＝bn·n，{bn}是等差数列，{cn}是等比数列， c 采用错位相减法求{an}前n项和； (5)an＝f(n)－f(n－1)，采用裂项相消法求{an}前n项 和； (6)an－k＋ak＝cbn，可考虑采用倒序相加法求和．
错位相减法
对于形如{anbn}的数列的前n项和Sn的求法(其中
{an}是等差数列，{bn}是等比数列)，可采用错位
相减法．具体解法是：Sn乘以某一个合适的常
数(一般情况下乘以数列{bn}的公比q)后，与Sn错
位相减，使其转化为等比数列问题来解．
例5
(2010年高考课标全国卷改编)设数列{an}
满足a1＝2，a4＝512. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Sn. 【思路点拨】 减法求Sn. 利用公式求得an，再利用错位相
【解】 (1)因 a1＝2，a4＝512，∴q＝4， n－1 2n－1 ∴an＝2×4 ＝2 . 2n－1 (2)由 bn＝nan＝n· 2 知 3 5 2n－1 Sn＝1· 2＋2· ＋3· ＋…＋n· ，① 2 2 2 2 3 5 7 2n＋1 从而 2 ·n＝1· ＋2· ＋3· ＋…＋n· .② S 2 2 2 2 2 3 5 2n－ 1 ① －②得(1－2 )Sn＝2＋2 ＋2 ＋…＋2 － 2n＋1 n· ， 2 1 2n＋1 即 Sn＝ [(3n－1)2 ＋2]． 9
2
和为常数1，故宜采用倒序相加法求和．
【解】
2
12 22 32 设 S＝ 2 2＋ 2 2＋ 2 2 ＋…＋ 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8
10 2 2， 10 ＋1 102 92 82 12 则 S＝ 2 2＋ 2 2＋ 2 2＋…＋ 2 2， 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8 10 ＋1 两式相加，得 2S＝ 1＋1＋…＋1 10个＝10， 所以 S＝5.
方法感悟 1．注意对以下求和方式的理解 (1)倒序相加法用的时候有局限性，只有与首、末 两项等距离的两项之和是个常数时才可以用． (2)裂项相消法用得较多，一般是把通项公式分解 为两个式子的差，再相加抵消．在抵消时，有的 是依次抵消，有的是间隔抵消，特别是间隔抵消 时要注意规律性． (3)错位相减法是构造了一个新的等比数列，再用 公式法求和．
的等式，再按下标从大到小的顺序书写和的等式，
再把这两个等式左、右两边相加即得数列的前n
项和．此种方法通称为倒序相加法．例如：等差
数列前n项和公式的推导方法．
12 22 32 例3 求 和 ： 2 2＋ 2 2＋ 2 2＋…＋ 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8 10 2 2. 10 ＋1
【思路点拨】 由于数列的第k项与倒数第k项的
例4 已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，
{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
1 (2)令 bn＝ 2 (n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 an－1 T n.
【思路点拨】 由a3，a5＋a7的值可求a1，d，利
用公式可得an，Sn.对于{bn}，利用裂项变换，便
裂项相消法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在
求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此
法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消
时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪
些项．常见的拆项公式有：
1 1 1 1 ① ＝ ·－ ( )； k n n＋k nn＋k ②若{an}为等差数列，公差为 d， 1 1 1 1 则 ＝d(a － )． an·n＋1 a an＋1 n
1 1 1 1 【解】 Sn＝1 ＋2 ＋3 ＋…＋(n＋ n) 2 4 8 2 1 1 1 1 ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋( ＋ ＋ ＋…＋ n) 2 4 8 2 nn＋1 1 ＝ ＋1－ n. 2 2
倒序相加法
若所给数列{an}中与首、末项等距的两项之和相 等，如何求此数列的前n项和呢？ 方法：把所给数列按下标从小到大的顺序书写和
2．5.2 数列求和习题课
2. 5.2 数 列 求 和 习 题 课
课堂互动讲练
知能优化训练
课堂互动讲练
考点突破 公式法
如果所给数列是等差数列、等比数列或者经过适 当的变形所给数列可化为等差数列、等比数列， 从而可利用等差、等比数列的求和公式来求解．
例1
(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为
零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数 列． (1)求数列{an}的通项； (2)求数列{2an}的前n项和Sn. 【思路点拨】 利用a1，a3，a9成等比数列，可
求公差d，从而ห้องสมุดไป่ตู้出an.
【解】
(1)由题设知公差 d≠0，
1＋2d 1＋8d 由 a1＝1， 1， 3， 9 成等比数列， a a a 得 ＝ ， 1 1＋2d 解得 d＝1 或 d＝0(舍去)． 故{an}的通项 an＝1＋(n－1)×1＝n. n (2)由(1)知 2an＝2 ，由等比数列前 n 项和公式， 21－2n 2 3 n n＋1 得 Sn＝2＋2 ＋2 ＋…＋2 ＝ ＝2 －2. 1－2
可求得Tn.
【解】
(1)设等差数列{an}的公差为 d，
因为 a3＝7，a5＋a7＝26，
a1＋2d＝7， a1＝3， 所以 解得 2a1＋10d＝26， d＝2.
所以 an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， nn－1 Sn＝3n＋ ×2＝n2＋2n. 2
(2)由(1)知 an＝2n＋1， 1 1 1 1 所以 bn＝ 2 ＝ ＝ · 2 an－1 2n＋1 －1 4 nn＋1 1 1 1 ＝ ·－ ( )， 4 n n＋1 1 1 1 1 1 1 所以 Tn＝ · (1－ ＋ － ＋…＋n－ ) 4 2 2 3 n＋1 1 1 n ＝ · (1－ )＝ . 4 n＋1 4n＋1 n 即数列{bn}的前 n 项和 Tn＝ . 4n＋1
分组法 如果一个数列的每一项都是由几个独立的项组合 而成，并且各独立项可组成等差或等比数列，则 可利用其求和公式分别求和，从而得到原数列的 和．
例2 求数列 1 ，2 ，3 ，…，(n＋
1 2
1 4
1 8
1 n)，…的前 2
n 项和．
【思路点拨】
1 数列{an}：an＝n＋ n可看作是由 2
1 等差数列{n}与等比数列{ n}对应项求和得到的， 2 1 因此，可拆分成两个数列：{n}，{ n}分别求和(用 2 公式)，再将两和相加即得．