材料力学圆轴扭转内力、应力

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材料力学第三章扭转

d T dx GI p
d t r Gr dx
Tr tr Ip
Tr tr Ip
上式为等直圆杆在扭转时横截面上任一点处切应力的计算公式。
Tr tr Ip
2
b z
t'
dx

c c'
3.4 圆轴扭转时的应力 3.4.1 横截面上的应力 1) 变形几何关系在小变形条件下, 等直圆杆在扭转时横截面上也只有切应力。为求得此应力, 需从几何关系、物理关系和静力关系三个方面着手。为研究横截面上任一点处切应变随点的位臵而变化的规律, 先观察一个实验。
3.4 圆轴扭转时的应力实验:预先在等截面圆杆的表面画上任意两个相邻的圆周线和纵向线。在杆的两端施加外力偶矩Me。
3.3 薄壁圆筒的扭转
薄壁圆筒扭转时, 横截面上任一点处的切应力t都是相等的, 而其方向与圆周相切。横截面上的内力与应力间的静力关系为:
n
r0 x
t dA
Me
n
t dA r
A
0
t r0 dA t r0 2 r d T
A
对于薄壁圆筒, r可由平均半径r0代替。
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
M2
M3
M1 n
A
M4
B
C
D
M2
M3
M1

材料力学-扭转问题解读

d1 86.4mm
4.直径d2的选取按强度条件:
3 3
d1
A
M e1

C
M e2
d2
B M e3
16T 16 4580 d2 π[ ] π 70106 69.3 103 m 69.3mm
4580 N m 7640 N m
按刚度条件 :
32T 180 32 4580 180 3 d2 76 10 m 76mm 2 9 2 Gπ [ ] 80 10 π 1
§3.7 非圆截面杆扭转矩形截面杆扭转
变形特征
T Wt
T
12100
x
max
Wt
D 3
16

T [ ]
-1590
D3
16 Mn

58.7 mm
刚度条件：
T 180 G Ip
D 4 T 180 Ip 32 G
32 Mn 180 D4 49mm G
4
圆轴扭转的强度条件:
max
T T T R I Ip Wt p R Wt 抗扭截面系数
Wt Wt
D 3
16 16
实心圆
4
D 3
1
d 空心圆 D
d
对阶梯轴，因各段的Wt不同 ,最大切应力不一定在最大T所在截面，须综合考虑T和Wt，确定T/ Wt极值。
1 G1 2 G2
2) 在下述三种情况下的切应力分布情况：（1）G1 > G2; （2） G1=G2 ; （3） G1<G2
G2Ip2
R2
G1Ip1

材料力学扭转第三章

P1 n

9.55
500 300
A
B
C
15.9(kN m)
M2

M3
9.55 P2 n
9.55 150 300

4.78 (kN m)
M4
9.55
P4 n
9.55 200 300
6.37 (kN m)
n D
求扭矩（扭矩按正方向设）
mC 0 , T1 m2 0 m2 1 m3 2 m1 3 m4 T1 m2 4.78kN m
由理论力学知，力偶在单位时间内所做的功等于该力偶的矩与相应角速度的乘积，即
p M
Mp

若功率的单位用千瓦，转速用n转/分:
M

P 1000
2 n

9549.2965
P n
60 9549 P (N m) n
传动轴的外力偶矩传递轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：
Me

9.549
材料的G值可通过实验确定。
剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三
个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关
系：
G

E 2(1
)
等直圆杆扭转时的应力 · 强度条件
①变形几何方面
等直圆杆横截面应力
②物理关系方面
③静力学方面
一、等直圆杆扭转实验观察：
1. 横截面变形后仍为平面
⑤确定最大剪应力：
由

T
Ip
知：当

R

d 2
,
max

Td 2
T

材料力学第三章扭转

n
250
横截面上的最大切应力为
max
T Wt
T (D4 d 4)
16D
16 0.55573000 Pa 19.2MPa [ ] 50MPa (0.554 0.34 )
满足强度要求。
跟踪训练 7.机车变速箱第II轴如图所示，轴所传递的功率为
p 5.5KW,转速n 200r / min，材料为45钢，
（3）主动轮放在两从动轮之间可使最大扭矩取最小值
B
A
C
Me2
Nm
M e1
Me3
4220
2810
本章小结
1.外力偶矩的计算内力的计算——扭矩图
P M e 9549 n (N m)
2.圆轴扭转切应力公式的建立
τρ
Tρ Ip
强度条件的应用
max
Tmax Wt
[ ]
刚度条件的应用
' max
T
180 [']
（3）主动轮和从动轮应如何安排才比较合理。
再根据平衡条件，可得 Me1 Me2 Me3 (2810 4220)N m 7030N m
所作扭矩图如右图
（1）试确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。
根据强度条件确定AB直径d1
AB
TAB Wt
16TAB
d12
[ ]
根据刚度条件确定AB直径d1
mB
(a)
1
350 2
C
1
2
T1
11463
446
A
D
3
mB
(b)
(c) mB
mC
T2
mC
mA T3
mD
T1 350N m 350 1 350 2

材料力学力S03扭转

4M
2M
第三章
扭转
8
受扭杆件内力计算的例题
例1：：解： T1=M T2=2M T3=-2M 绘出扭矩图最后总结规律：最后总结规律：左上右下” “左上右下” 自己证明。自己证明。
M M 4M 2M
M
1 T1 1 M
M
2 T2
2
T3 3
2M
M
2M
3
T
第三章扭转
−2 M
9
受扭杆件内力计算的例题
1.1 变形几何关系
通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后：通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后：横截面仍为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转；为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转；横截面绕圆心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。心的角位移为扭转角；半径仍为直线段且长度不变。这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。平面假设
例2：：如图杆件，已知m，试绘制扭矩图。如图杆件，已知，试绘制扭矩图。
Me
m
Me
l
第三章
扭转
10
受扭杆件内力计算的例题
例2：：解：轴所受力系是连续分布的，轴所受力系是连续分布的，无须分段。默认坐标x轴起无须分段。默认坐标轴起点左端，沿轴线向右。点左端，沿轴线向右。 Me=ml/2 T=Me-mx=m(l/2-x) 该杆上的载荷力系关于杆中截面对称可以发现，的对称。截面对称。可以发现，T的分布关于杆中截面是反对称分布关于杆中截面是反对称的。
第三章
扭转
21
习题
• P84, 3-2 • P85, 3-5
第三章

材料力学-扭转

扭转角（扭转角（ϕ）：任意两截面绕轴线相对转动的角度。又称为角位移。通常用ϕ表示。ϕB − A表示B截面相对A截面转过的角度。剪应变（剪应变（γ）：剪应变又叫角应变或切应变，它是两个相互垂直方向上的微小线段在变形后夹角的改变量（以弧度表示，角度减小时为正） O ϕ B m
A m
γ
第二节杆受扭时的内力计算
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
实心圆截面：实心圆截面：
2
I p = ∫ ρ d A = ∫ ρ (2 πρ d ρ )
2
ρ
d O
dρ
A
d 2 0
= 2 π(
ρ
4
d /2
4
)
0
πd = 32
4
d A = 2 πρ d ρ
πd 3 Wp = = d / 2 16 Ip
空心圆截面：空心圆截面：
T T = ρ max = IP IP T = WP
ρ max
Ip—截面的极惯性矩，截面的极惯性矩，单位：单位：m 4 , mm 4 Ip 3 3 WP —抗扭截面模量， WP = 抗扭截面模量，单位：m , mm .
ρ max
整个圆轴上——等直杆：等直杆： τ max
Tmax = WP
三、公式的使用条件：公式的使用条件： 1、等直的圆轴，等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。弹性范围内工作。
Tmax Wp
πD 3 实心, 16 T max W = 2）设计截面尺寸: 设计截面尺寸:WP ≥ 3 P [τ ] πD (1 − α 4 ) 空心. 16 ≤ ⇒ m 3）确定外荷载: 确定外荷载: Tmax WP ⋅ [τ ]
≤

材料力学

Ip—极惯性矩。极惯性矩。极惯性矩讨论：讨论：
τρ
ρ
①仅适用于各向同性、线弹性材料的圆截面直杆和空心仅适用于各向同性、线弹性材料的圆截面直杆和空心圆截面直杆。圆截面直杆。 ②确定最大剪应力
T⋅ρ τρ = Ip
d ρ=R= 2
τ ρ = τ max
T⋅ρ τρ = Ip
∴ d T⋅ 2 = T = T τ max = d Wt Ip Ip 2 Ip T Wt = τmax = d W t 2
工程实例
汽车转向轴
2、外力偶矩的换算已知：），转速（已知：功率 P（千瓦、马力），转速 n（转/分）。（千瓦、马力），求：外力偶矩 m 。解：（1）功率 P（马力）（马力）
1马力 = 735.5 N ⋅ m / s
P 马力功率相当于每秒钟作功作用在轴上的外力偶每秒钟作功作用在轴上的 r0 = T
A
τ ⋅ dA ⋅ r0 = T
∴ τ ⋅ r0 ⋅ ∫ AdA = τ ⋅ r0 ⋅ 2π r0 ⋅ t = T T ∴ τ= 2 2π r0 t
2、剪应力互等定理
∑y=0 ∑x =0
τ =τ τ′ =τ′
∑m
z
=0
τ ⋅ (tdy ) ⋅ dx = τ ′ ⋅ (tdx) ⋅ dy τ =τ′
W = 735.5 P
W = m⋅
2πn = 735.3P 60
2πn W = mω = m ⋅ 60
P m = 7024 (N ⋅ m) n
P — 功率，马力（PS）功率，马力（） n — 转速，转/分（rpm）转速，）
（2）功率 P（千瓦）（千瓦）
1千瓦 = 1000 N ⋅ m / s

材料力学扭转(2)

2. 刚度校核
1
M d n1 dx 1 GIp
2
M d n2 dx 2 GI p
M n1 d 因 M n1 M n 2 故 max 1 GI p dx max
max
180 N m 180 0.43 ( ) / m [ ] (80109 Pa)(3.0 105 10-12 m 4 ) π
§4-5 扭转扭转时的变形和刚度条件
一、圆轴扭转时的变形计算 1、扭转变形（相对扭转角）
d M n dx GI P Mn d dx GI P d M n dx GI P
扭转变形与内力计算式
Mn Mn
Mn L dx GI P
rad m ——单位长度的扭转角
扭转角单位：弧度（rad） GIP——抗扭刚度。
2.绘扭矩图
7640 N m
3.直径d1的选取按强度条件
d1
A M e1
( )
M e2
d 2 M e3
C
max
3
16M n 3 d1
3
B
4580 N m
16M n d1 π[ ]
16 7640 π 70 106
82.2 103 m 82.2mm
n
3）等直圆杆受分布扭矩 t 作用，t 的单位为 N m m。
从中取 dx 段，dx 段两相邻截面的扭转角为：
M n x dx AB 截面相对扭转角为： l d l GI p
M n x dx d GI p
4）变截面圆杆，A、B 两端直径分别为 d1、d2 。
解： 1.外力
P M e1 9549 1 n

材料力学(第五版)扭转切应力

(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件圆轴扭转时的最大切应力不能超过材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知：已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察：变形观察：
圆周线不变（大小、圆周线不变（大小、间距都不变）间距都不变）纵向线倾斜，纵向线倾斜，倾斜角相同表面矩形变成平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄，薄壁圆筒由于壁很薄，表面变形即为内部变形。面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系

材料力学第四章扭转

扭转轴的内力偶矩称为扭矩
3、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
m
Mn
MX 0 Mnm0
Mn m
8
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
mI
扭
矩
符号规
Mn I
离M开n截面
定：
mI
I
m
Mn
I
I
m
Mn
Mn I
指向M 截n 面
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W '
W 6 N 0 10 60 0 N 0 000
W m m 2 n 1 2 nm
m955N0 Nm 单位
n
7
§3-2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
2、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
Mn
Mn
(r )
A
B
(r )
C
C
D d
D
b
x
d
d

d
dx
d
dx
dx
d
称为单位长度相对扭转角
dx
对于同一截面，
d 常量 dx
上式表明：圆轴扭转时，其横截面上任意点处的剪应变与该点至截面中心之间的距离成正比。上式即为圆轴扭转时的变形协调方程。
32
§3-4 等值圆杆扭转时的应力强度条件
dAsin
d d A cA s o i s d n sA i c n o 0

《材料力学》第四章扭转

第四章扭转§4—1 工程实例、概念一、工程实例1、螺丝刀杆工作时受扭。

2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭。

3、机器中的传动轴工作时受扭。

4、钻井中的钻杆工作时受扭。

二、扭转的概念受力特点：杆两端作用着大小相等方向相反的力偶，且作用面垂直杆的轴线。

变形特点：杆任意两截面绕轴线发生相对转动。

轴：主要发生扭转变形的杆。

§4—2 外力偶矩、扭矩一、外力：m （外力偶矩）1、已知：功率 P 千瓦(KW ），转速 n 转／分(r ／min ； rpm)。

外力偶矩：m)(N 9549⋅=nPm 2、已知：功率 P 马力(Ps)，转速 n 转／分(r ／min ；rpm)。

外力偶矩：m)(N 7024⋅=nPm 二、内力：T （扭矩） 1、内力的大小：（截面法）mT m T mx==-=∑002、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。

（右手的四指代表扭矩的旋转方向，大拇指代表其矢量方向，若其矢量方向背离所在截面则扭矩规定为正值，反之为负值。

）3、注意的问题：（1）、截开面上设正值的扭矩方向；（2）、在采用截面法之前不能将外力简化或平移。

4、内力图（扭矩图）：表示构件各横截面扭矩沿轴线变化的图形。

作法：同轴力图：§4—3 薄壁圆筒的扭转一、薄壁圆筒横截面上的应力(壁厚0101r t ≤,0r ：为平均半径）实验→变形规律→应力的分布规律→应力的计算公式。

1、实验：2、变形规律：圆周线——形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个不同的角度。

纵向线——倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。

3、切应变（角应变、剪应变）：直角角度的改变量。

4、定性分析横截面上的应力(1) 00=∴=σε ；（2）00≠∴≠τγ因为同一圆周上切应变相同，所以同一圆周上切应力大小相等。

⑶ 因为壁厚远小于直径，所以可以认为切应力沿壁厚均匀分布,而且方向垂直于其半径方向。

材料力学-第9章扭转

Pk

其中，为该轴的角速度 (rad s) ， 2 则 M e 9549
Pk n
n 。若 Pk 的单位为千瓦 (kw ) ， 60
(9 1)
( N m)
若 Pk 的单位为马力 (1hp 735.5 W) ，则
M e 7024 Pk n
( N m)
(9 2 )
r l
(a)
利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不
超过材料的剪切比例极限 p 时，扭转角与扭转力偶矩 M e 成正比。由式 (9 3) 和式 (a ) 可以看出, 与只相差一个比例常数，而 M e 与也只差一个比例常数。所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限 p 时，切应变与切应力成正比（图 9-9）。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成
图 9-8 在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图 9-7 (e) ，原来相互垂直的两个棱边的夹角，改变了一个微量，这就是切应变。由图 9-7 (b) 可以看出，若为薄壁圆筒两端截面的相对转角， l 为圆筒的长度，则切应变应为

式中 r 为薄壁圆筒的平均半径。
动轮 A 输入功率 PA 50hp ，从动轮
B 、 C 、 D 输出功率分别为 PB PC 15hp ， PD 20hp ，轴的转
速为 n 300 r min ，试画出轴的扭矩图。解按公式 (9 2) 计算出作用于
各轮上的外力偶矩。
M eA 7024 M eB M eD
T2 M eC M eB 0
T2 M eC M eB 702 N m

材料力学 (扭转)(四章圆轴扭转时的强度与刚度计算)

Mx 0: T1 MA 0
C
T1 MA 7.03KN.m
22
Mx 0: -T2 MC 0
T2 MC 2.32KN.m
X
(4)讨论现在的设计是否合理。
若将A轮与B轮调换， X 则扭矩图如下：
可见轴内的最大扭矩值减小了。10
T(KN.M)
§3.2 薄壁圆筒扭转
在圆筒表面画上许多纵向线与圆周线,形成许多小方格.
G
剪切胡克定律
Ｇ－剪切弹性模量
G E
2(1 )
2021/8/19
17
圆轴扭转时的应力和变形
根据观察到的现象，经过推理，得出关于圆轴扭转的基本假设。
m
m
圆轴扭转变形前的横截面，变形后仍保持为平面，
形状和大小不变。且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。
2021/8/19
18
二. 应力在横截面上的分布
2
而象电动机的主轴，水轮机的主轴也承受扭转作用，但这些零件除扭转变形外，还伴随有其它形式的变形，属于组合变形。
• 以扭转变形为主要变形形式的构件通常称为轴。 • 工程上应用最广的多为圆截面轴，即圆轴。
2021/8/19
3
• 扭转受力的特点是：
• 在构件的两端作用两个大小相等、方向相反且作用面垂直于构件轴线的力偶矩。致使构件的任意两个截面都发生绕构件轴线的相对转动，这种形式的变形即为扭转变形。
在转矩m作用下，发现圆周线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻两圆周线的距离不变。
表明，在圆筒的横截面上没有正应力和径向剪应力。
2021/8/19
11
设圆筒平均半径为r，筒壁厚度为t
因圆筒壁厚很小，可认为剪应力沿

材料力学-第4章扭转

18
材料力学－第4章扭转
圆轴扭转横截面上的应力

变形
O
dx
ρ
R A

d
O’
( ) G G
d
dx
应变特征

B B´
A

B B´
应力分布

C
C
D D´

D D´
应力公式
BB Rd G G G AB dx
19
材料力学－第4章扭转
圆轴扭转横截面上的应力
材料力学
第四章扭转
1
材料力学－第4章扭转
内容提纲：
• • • • • • • • 概述及示例外力偶矩、扭矩和扭矩图圆轴扭转横截面上的应力圆轴扭转破坏与强度条件圆轴扭转变形与刚度条件扭转静不定问题非圆截面轴扭转薄壁杆扭转
2
材料力学－第4章扭转
概述及示例
3
材料力学－第4章扭转
9
材料力学－第4章扭转
扭力偶矩计算与扭矩
• 在工程中，功率常用千瓦 Pkw (kW) 或马力 P 给出，角速度用转速 n(r/min (转/分钟)) 给出，则外力偶矩的计算公式为
PkW M e 9549 nr /min M e 7024 P 马力 nr /min
1 Pkw (千瓦) 1000 N m /s 1 P (马力) 735.5 N m /s

45o
32
材料力学－第4章扭转
圆轴扭转破坏与强度条件
从破坏类型可见，对于脆性材料（如铸铁），其破坏机理是斜截面上的最大拉应力因此，本质上讲，应对斜截面上的正应力进行强度计算。然而，由于斜截面上的正应力和横截面上的剪应力间有固定的关系，所以，习惯上仍按最大剪应力进行强度计算

材料力学第三章知识点总结

直升机的旋转轴
电机每秒输入功：外力偶作功完成：
×
=P W
M W
e
⋅
=
形状、大小、间距不变，各圆周线只是绕轴线转动了一个角度。

倾斜了同一个角度，小方格变成了平行四边形。

τdα
τ
l
ϕ
做薄壁圆筒的扭转试验可得
l
是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，G的量纲各向同性材料，三个弹性常数之间的关系：
ρργγtg ≈x
d d d ′=x d d ϕρ⋅=O 1O 2ABCD 为研究对象
D’
微段扭转变形d dx Rd dx DD tg ϕγγ==≈'d ϕ/ d x －扭转角沿x 轴的变化率
扭转变形计算式
O d A ρTρ⋅
（实心截面）
1、横截面上角点处，切应力为零；
2、横截面边缘各点处，切应力
3、切应力沿横截面周边形成与
4、横截面周边长边中点处，切应力最大。

有关，见教材P93 之表3.2。

第六章园轴扭转

扭转内力
扭矩图
薄壁筒扭转应力,变形
强度,刚度
非圆截面
小结
前页
（1）变形几何关系
CC rd AC dx

GG d EG dx
（2）应力应变关系
G
—剪切虎克定律
d G G dx
扭转内力扭矩图薄壁筒扭转应力,变形强度,刚度非圆截面小结前页
（3）静力学关系

A
dA T
dA G 2
A
A
G
d 2 dA T A dx
2
d dA T dx
式中的积分 A dA 是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩，用Ip表示 Tl l T d T p 2dA dx A 0 GI GI p dx GI p
Nk轮
N k 10.5 5.25kW 2 2
主动齿轮B所受的外力偶矩为
Nk 10.5 9550 148N m n 680 N 5.25 两车轮所受的外力偶矩为 TA TC 9550 k轮 9550 74N m n 680 TB 9550
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用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m
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T
p

T

• T——横截面上的扭矩； • ——横截面上任一点到圆心的距离；

材料力学第3章-扭转

第3章扭转1、扭转的概念：杆件的两端个作用一个力偶，其力偶矩大小相等、转向相反且作用平面垂直于杆件轴线，致使杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，即为扭转变形。

2、外力偶矩的计算{}{}{}min /95491000602r KW m N e e n P M P M n=⇒⨯=⨯⨯⋅π 式中，e M 为外力偶矩。

又由截面法：e e M T M T =⇒=-0 T 称为n n -截面上的扭矩。

规定：若按右手螺旋法则把T 表示为矢量，当矢量方向与研究部分中截面的外法线的方向一致时，T 为正；反之为负。

3、纯剪切（1）薄壁圆筒扭转时的切应力 δπττδπ222r M r r M ee =⇒••=（2）切应力互等定理：在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于平面的交线，方向则共同指向或背离这一交线。

（3）切应变剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变γ与切应力τ成正比。

γτG = G 为比例常数，称为材料的切变模量。

弹性模量E 、泊松比μ和切变模量G 存在关系：)1(2μ+=EG 4、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系：距圆心为ρ处的切应变为dxd ϕργρ=（2）物理关系：ρτ为横截面上距圆心为ρ处的切应力。

dxd G G ϕρτγτρρρ=⇒= （3）静力关系：内力系对圆心的力矩就是横截面的扭矩：dA d d GdA T AxA⎰⎰==2ρρτϕρ 以p I 表示上式右端的积分式：dA I Ap ⎰=2ρ p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩（截面二次极矩）横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力：pI T ρτρ=ρ最大时为R ，得最大切应力：pI TR =max τ引用记号RI W p t =t W 称为抗扭截面系数。

则tW T =max τp I 和t W 的计算（1）实心轴：3224420032D R d d dA I RAp ππθρρρπ====⎰⎰⎰16233D R RI W p t ππ===（2）空心轴：)1(32)(324444202/2/32αππθρρρπ-=-===⎰⎰⎰D d D d d dA I D d Ap)1(16)(164344αππ-=-==D d D DRI W p t5、圆轴扭转时的变形pGI Tl =ϕ ϕ为扭转角，l 为两横截面间的距离。

工程力学-材料力学部分

A 代入上式，得： Aa cos a
pa s cos a 斜截面上总应力：
斜截面上总应力： pa s cos a 分解： pa
k
F F
sa pa cosa s cos a
2
k
F
a
k
a
sa
Pa
t a pa sin a s cos a sin a
s
2
sin 2a
a

工程力学材料力学部分：
主要研究作用在物体上的力及变形规律。研究构件在相应承载能力的条件下，以最经济的代价为构件确定合理的形状和尺寸，选择适当的材料，为构件的设计提供必要的理论基础和计算方法。

主要内容：
1、内力、应力的概念； 2、轴向拉伸与压缩； 3、剪切和挤压； 4、圆轴扭转； 5、梁的弯曲。
截面面积A成反比，这一比例关系称为胡克定律。即
FN l l = EA
E 为材料的弹性模量，取值与材料有关，由实验测定，单位常用GPa。胡克定律的另一表达式：
s E
32
胡克定律表明：当 FN 和 l 不变时， EA 值越大，绝对变形量越小。说明EA是杆件抵抗拉压变形能力的度量。
例5.3
并求与横截面夹角30°的斜截面上的正应力和切应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之：
s0
F 4 10000 127 .4MPa 2 A 3.14 10
τ max σ 0 /2 127.4/2 63.7MPa
3 s a s 0 cos a 127 .4 95.5MPa 4
m
F F
m
（a）
以作用力FN替代弃去部分对研究对象的作用。

材料力学知识点总结

材料力学知识点总结材料力学是一门研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度和稳定性的学科，它是工程力学的重要组成部分，对于机械、土木、航空航天等工程领域都有着至关重要的作用。

以下是对材料力学主要知识点的总结。

一、拉伸与压缩拉伸和压缩是材料力学中最基本的受力形式。

在拉伸或压缩时，杆件横截面上的内力称为轴力。

轴力的正负规定为：拉伸时轴力为正，压缩时轴力为负。

通过实验可以得到材料在拉伸和压缩时的应力应变曲线。

低碳钢的拉伸应力应变曲线具有明显的四个阶段：弹性阶段、屈服阶段、强化阶段和局部变形阶段。

弹性阶段内应力与应变成正比，遵循胡克定律；屈服阶段材料出现明显的塑性变形；强化阶段材料抵抗变形的能力增强；局部变形阶段试件在某一局部区域产生显著的收缩，直至断裂。

对于拉伸和压缩杆件，其横截面上的正应力计算公式为：＄＼sigma ＝＼frac{N}｛A}＄，其中$N$为轴力，＄A$为横截面面积。

而纵向变形量$＼Delta L$可以通过公式$＼Delta L ＝＼frac{NL}｛EA}＄计算，其中$E$为材料的弹性模量，＄L$为杆件长度。

二、剪切与挤压剪切是指在一对相距很近、大小相等、方向相反的横向外力作用下，杆件的横截面沿外力作用方向发生相对错动的变形。

在剪切面上的内力称为剪力。

剪切面上的平均切应力计算公式为：＄＼tau ＝＼frac{Q}｛A}＄，其中$Q$为剪力，＄A$为剪切面面积。

挤压是在连接件与被连接件之间，在接触面上相互压紧而产生的局部受压现象。

挤压面上的应力称为挤压应力，其计算公式为：＄＼sigma_{jy} ＝＼frac{F_{jy}｝｛A_{jy}｝＄，其中$F_{jy}＄为挤压力，＄A_{jy}＄为挤压面面积。

三、扭转扭转是指杆件受到一对大小相等、方向相反且作用面垂直于杆件轴线的力偶作用时，杆件的横截面将绕轴线产生相对转动。

圆轴扭转时，横截面上的内力是扭矩。

扭矩的正负规定：右手螺旋法则，拇指指向截面外法线方向为正，反之为负。