材料力学 圆轴扭转内力、应力
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材料力学 第三章 扭转
M x 0, T M e 0
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
T T t 2 2 r0 d 2 A0d
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.2 切应力互等定理
a b Me dx d c
y
Me a dy
d
从圆筒上取出微小矩形 单元体如图所示:
t
c
t
dx
x
b z
要满足平衡方程 Mz=0, Fx=0
dy
由平衡方程Fy=0可知, 两侧 面的内力元素t dydz大小相等, 方向相反, 将组成一个力偶。 其矩为(t dydz)dx。
在AD段内
M4
B
T3 3
T3 M 4 6.37 kN m
T1 4.78 kN m T2 9.56 kN m T3 6.37 kN m
作出扭矩图
M2
1
M3
2
M1
A
3 3
M4
D
B1
C 2
M2
B
M3 2
C 2 T2 x
T Me
取右侧为研究对象其扭矩与取左侧为研究对象 数值相同但转向相反。
3.2.2 扭矩及扭矩图 扭矩的符号规定如下: 采用右手螺旋法则, 如果 以右手四指表示扭矩的转向, 则姆指的指向离 开截面时的扭矩为正。
反之, 姆指指向截面时则扭矩为负。
3.2.2 扭矩及扭矩图
T T t 2 2 r0 d 2 A0d
3.3 薄壁圆筒的扭转
3.3.2 切应力互等定理
a b Me dx d c
y
Me a dy
d
从圆筒上取出微小矩形 单元体如图所示:
t
c
t
dx
x
b z
要满足平衡方程 Mz=0, Fx=0
dy
由平衡方程Fy=0可知, 两侧 面的内力元素t dydz大小相等, 方向相反, 将组成一个力偶。 其矩为(t dydz)dx。
在AD段内
M4
B
T3 3
T3 M 4 6.37 kN m
T1 4.78 kN m T2 9.56 kN m T3 6.37 kN m
作出扭矩图
M2
1
M3
2
M1
A
3 3
M4
D
B1
C 2
M2
B
M3 2
C 2 T2 x
材料力学-第三章扭转
今天作业 3-18
热套问题，已知：
D , t1 , t2 , t D , E1 , E2 [1 ] , [ 2 ]
求：[ ]
课堂练习
D1 D2 2 2
几何方程
q D2 D 直径变形 2E t 2 qD D1 2 E1t1 2 qD D2 2 E2t 2
实心截面杆约束扭转时，正应力很小，可忽略不计； 而薄壁截面约束扭转时，正应力不能忽略。
自由扭转的两个基本结论
1、周边切应力平行周边 2、角点无切应力
因为外表面无应力 所以垂直分量为零
因为外表面无应力 所以角点无切应力
一、矩形截面杆扭转切应力
周边切应力平行于周边，角点切应力为零 切应力大小沿周边按复杂级数分布， 极值点出现在长边和短边中点。 b Mn
二 刚度条件
M 180 刚度 n 0.50～1.0 / m 一般轴 l G Ip 条件
0.25～0.5 / m 精密轴
1.0 ～3.0 / m 粗糙轴
例 传动主轴设计，已知:n = 300r/m，P1 = 500kW，P2=200kW P3=300kW，G=80GPa [ ] 40MPa , [] 0.3 求：轴的直径d 解：1、外力分析
二 圆轴扭转应力
T
Mn = T
材料力学扭转练习题
材料力学扭转练习题
基本概念题
一、选择题
1. 图示传动轴，主动轮A的输入功率为PA =0 kW，从动轮B，C，D，E的输出功率分别为PB =0 kW，PC = kW，PD = 10 kW，PE = 1kW。则轴上最大扭矩T
。
A．BA段 B．AC段 C．CD段 D．DE段
max出现在
题1图
2. 图示单元体的应力状态中属正确的纯剪切状态的是。
题2图
3. 上题图示单元体的应力状态中属正确的是。
4. 下列关于剪应力互等定理的论述中正确的是。
A．剪应力互等定理是由平衡
B．剪应力互等定理仅适用于纯剪切的情况
C．剪应力互等定理适用于各种受力杆件
D．剪应力互等定理仅适用于弹性范围
E．剪应力互等定理与材料的性能无关
5. 图示受扭圆轴，其横截面上的剪应力分布图正确的是。
-12-
题5图
6. 实心圆轴，两端受扭转外力偶作用。直径为D时，设轴内的最大剪应力为?，若轴的直径改为D2，其它条件不变，则轴内的最大剪应力变为。
A．8? B．?C．16? D．?
7. 受扭空心圆轴，在横截面积相等的条件下，下列承载能力最大的轴是
。
A．??0 B．??0.5C．??0. D．??0.8
8. 扭转应力公式T?的适用范围是。 Ip
A．各种等截面直杆 B．实心或空心圆截面直杆
C．矩形截面直杆 D．弹性变形 E．弹性非弹性范围 9. 直径为D的实心圆轴，最大的容许扭矩为T，若将轴的横截面积增加一倍，则其最大容许扭矩为。
A．2TB．2T C．22TD．4T
10. 材料相同的两根圆轴，一根为实心，直径为D1；另一根为空心，内径为d2，外径为D2d2D??。若两轴横截面上的扭矩T，和最大剪应力?max均相同，则两轴外径之比1 D2D2为。
材料力学
示，许用剪应力 [τ ]=30M Pa。 。 校核其强度。 试：校核其强度。
解：① 求扭矩及扭矩图
TBC
P = m = 9549 n
150 = 9549 × = 1550 ( N ⋅ m ) 924
剪应力互等定理： 剪应力互等定理：
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必成对出现，且数值相等， 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必成对出现，且数值相等， 两者都垂直于两平面的交线，其方向都共同指向或背离这一交线。 两者都垂直于两平面的交线，其方向都共同指向或背离这一交线。 两平面的交线 这一交线
W = 735.5 P
W = m⋅
2πn = 735.3P 60
2πn W = mω = m ⋅ 60
P m = 7024 (N ⋅ m) n
P — 功率，马力（PS） 功率，马力（ ） n — 转速，转/分（rpm） 转速， ）
（2）功率 P（千瓦） （千瓦）
1千瓦 = 1000 N ⋅ m / s
工程实例
汽车转向轴
2、外力偶矩的换算 已知： ），转速 （ 已知：功率 P（千瓦、马力），转速 n（转/分）。 （千瓦、马力）， 求：外力偶矩 m 。 解：（1）功率 P（马力） （马力）
1马力 = 735.5 N ⋅ m / s
P 马力功率相当于每秒钟作功 作用在轴上的外力偶每秒钟作功 作用在轴上的外力偶每秒钟作功
解：① 求扭矩及扭矩图
TBC
P = m = 9549 n
150 = 9549 × = 1550 ( N ⋅ m ) 924
剪应力互等定理： 剪应力互等定理：
在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必成对出现，且数值相等， 在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必成对出现，且数值相等， 两者都垂直于两平面的交线，其方向都共同指向或背离这一交线。 两者都垂直于两平面的交线，其方向都共同指向或背离这一交线。 两平面的交线 这一交线
W = 735.5 P
W = m⋅
2πn = 735.3P 60
2πn W = mω = m ⋅ 60
P m = 7024 (N ⋅ m) n
P — 功率，马力（PS） 功率，马力（ ） n — 转速，转/分（rpm） 转速， ）
（2）功率 P（千瓦） （千瓦）
1千瓦 = 1000 N ⋅ m / s
工程实例
汽车转向轴
2、外力偶矩的换算 已知： ），转速 （ 已知：功率 P（千瓦、马力），转速 n（转/分）。 （千瓦、马力）， 求：外力偶矩 m 。 解：（1）功率 P（马力） （马力）
1马力 = 735.5 N ⋅ m / s
P 马力功率相当于每秒钟作功 作用在轴上的外力偶每秒钟作功 作用在轴上的外力偶每秒钟作功
第2章 材料力学 2
第2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5.2梁的内力——剪力和弯矩
1.剪力和弯矩:梁的内力包括剪力FQ和弯矩M，下面以简支梁，如右下图所示为例加以说明，
梁在C点受集中力F。 （1）求梁上所受约束力
FRA=F× b / L; （2）用截面法求得内力 ① 在截面m-m处假想地把梁切为两段取左端为研究对象， 由于左端作用着外力FRA则在截面上必有与FRA大小相等, 方向相反的力FQ, 由于该内力切于截面, 因此称为剪力。 FRB=F × a / L
【例2.7】如图2.21所示，求传动轴截面1-1、2-2的扭矩，并画出扭矩图。
MA=1.8kN· m
MB=3kN· m
MC=1.2 kN· m
2.4.3圆轴扭转的应力
1. 圆轴扭转时切应力分布规律 圆轴横截面上任一点的切应力与该点所在圆周的半径成正比，方向与过该点的半径垂直，切应 力最大处发生在半径最大处。
【例2.10】如下图所示，已知压板长3a=180mm, 压板材料的弯曲许用应力=140MPa，设对2
件的压紧力Q=4kN，试校核压板的强度。
第2章 材料力学基础
2.5 直梁弯曲
2.5. 6 提高抗弯能力的方法
根据梁的强度条件公式 :σmax=Mmax/Wz≤[σ] 可知，要提高梁的抗弯能力主要有下列措施： 1.选择合理的截面形状，提高抗弯截面系数Wz 样大小的截面积，做成槽形和I字形比 和矩形抗弯能力强。
材料力学第4章扭转
第4章 扭转
4.1扭转的概念和实例 工程中，受扭构件是很常见的。例如，汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员 通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器
的阻力偶作用，如图4.1(a)所示。又如轴承传动系统的传动轴工作时，电动
机通过皮带轮把力偶作用在一端，在另一端则受到齿轮的阻力偶作用，如图 4.1(b)所示。
图4.6
为得到沿横截面圆周各点处切应力的变化规律，可在薄壁圆筒受扭前，在筒 表面画出一组等间距的纵向线和圆周线，形成一系列的矩形小方格。然后在 两端施加外力偶矩Me，圆筒发生扭转变形。由此可以观察到： ①圆筒表面各纵向线在小变形下仍保持直线，但都倾斜了同一微小角度γ 。 ②各圆周线的形状、大小和间距都保持不变，但绕轴线旋转了不同的角度。 因筒壁很薄，所以可将圆周线的转动视为整个横截面绕轴线的转动，圆筒两 端截面的相对扭转角为φ ，如图4.6(b)所示。此外，圆筒任意两横截面之间 也有相对转动，从而使筒表面的各矩形小方格的直角都改变了相同的角度γ ，如图4.6(c)所示，这是横截面上切应力作用的效果，又因薄壁圆筒δ r ，所以可近似认为切应力沿壁厚不变。
用平面图加以表示，如图4.7(b)所示。
图4.7
(3)剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪切应力状态下应力与应变之间 的关系。 试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，相对扭转角φ 与扭矩
4.1扭转的概念和实例 工程中，受扭构件是很常见的。例如，汽车转向轴，当汽车转向时，驾驶员 通过方向盘把力偶作用在转向轴的上端，在转向轴的下端则受到来自转向器
的阻力偶作用，如图4.1(a)所示。又如轴承传动系统的传动轴工作时，电动
机通过皮带轮把力偶作用在一端，在另一端则受到齿轮的阻力偶作用，如图 4.1(b)所示。
图4.6
为得到沿横截面圆周各点处切应力的变化规律，可在薄壁圆筒受扭前，在筒 表面画出一组等间距的纵向线和圆周线，形成一系列的矩形小方格。然后在 两端施加外力偶矩Me，圆筒发生扭转变形。由此可以观察到： ①圆筒表面各纵向线在小变形下仍保持直线，但都倾斜了同一微小角度γ 。 ②各圆周线的形状、大小和间距都保持不变，但绕轴线旋转了不同的角度。 因筒壁很薄，所以可将圆周线的转动视为整个横截面绕轴线的转动，圆筒两 端截面的相对扭转角为φ ，如图4.6(b)所示。此外，圆筒任意两横截面之间 也有相对转动，从而使筒表面的各矩形小方格的直角都改变了相同的角度γ ，如图4.6(c)所示，这是横截面上切应力作用的效果，又因薄壁圆筒δ r ，所以可近似认为切应力沿壁厚不变。
用平面图加以表示，如图4.7(b)所示。
图4.7
(3)剪切胡克定律 通过薄壁圆筒的扭转实验可以得到材料在纯剪切应力状态下应力与应变之间 的关系。 试验结果表明，当切应力低于材料的剪切比例极限时，相对扭转角φ 与扭矩
材料力学 第4章_扭转
II-II 截面
TⅡ mB mC
700 N m
TⅢ mD 446 N m
3. 画出扭矩图 讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？
返回
III-III 截面
讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？ mA 1146 N m
mB mC 350 N m mD 446 N m 解： T m 350 N m
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
返回总目录
工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
返回
工程中的受扭转杆件
返回
工程中的受扭转杆件
返回
5. 切应变、剪切胡克定律 切应变
剪切胡克定律 当切应力不超过剪切比 例极限时有:
r tan l
G
G 切变模量(剪切弹性模量)
薄壁圆筒的扭转试验
三个弹性常数 E, , G间的关系
E G 2(1 )
返回
二、圆轴扭转时的应力
1.变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 平面假设 圆轴扭转时，横截面保持 为平面,并且只在原地绕轴线 “刚性”转动。
TⅡ mB mC
700 N m
TⅢ mD 446 N m
3. 画出扭矩图 讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？
返回
III-III 截面
讨论:若将轮A与轮D调换位 置，扭矩图将怎样变化？ mA 1146 N m
mB mC 350 N m mD 446 N m 解： T m 350 N m
第4章 扭转
第4章 扭转
§4.1 扭转的概念 §4.2 外力偶矩、扭矩和扭矩图
§4.3 圆轴扭转时的应力与强度条件
§4.4 圆杆扭转时的变形及刚度条件
§4.5 非圆截面杆的扭转概念
§4.1 扭转的概念
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工程中的受扭转杆件
拧紧螺母的工具杆产生扭转变形
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工程中的受扭转杆件
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工程中的受扭转杆件
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5. 切应变、剪切胡克定律 切应变
剪切胡克定律 当切应力不超过剪切比 例极限时有:
r tan l
G
G 切变模量(剪切弹性模量)
薄壁圆筒的扭转试验
三个弹性常数 E, , G间的关系
E G 2(1 )
返回
二、圆轴扭转时的应力
1.变形现象 圆周线大小、形状、间距 不变，纵向线相同倾斜。 2. 平面假设 圆轴扭转时，横截面保持 为平面,并且只在原地绕轴线 “刚性”转动。
6.1、圆轴扭转 静力学和材料力学
第六章 圆轴扭转
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
第六章 圆轴扭转
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
第六章 圆轴扭转
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
实心轴
max1
T WP1
16T πd13
40MPa
16 716.2 d1 3 π 40 106 0.045m=45mm
第六章 圆轴扭转
§6.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T WP 2
16T
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
M 60P(KW ) 9.549 P (KN m)
2n(r / min)
n
第六章 圆轴扭转
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
用截面法研究横 截面上的内力
第六章 圆轴扭转
T = Me
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
(2)计算扭矩
(3) 扭矩图
第六章 圆轴扭转
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
MB
MC
MD
MA
T3 M A 1432N m
Tmax 1432N m
传动轴上主、 从动轮安装的位 置不同，轴所承 受的最大扭矩也 不同。
第六章 圆轴扭转
T
9549
P n
9549 7.5 100
716.2N m
实心轴
max1
T WP1
16T πd13
40MPa
16 716.2 d1 3 π 40 106 0.045m=45mm
第六章 圆轴扭转
§6.4 圆轴扭转时的应力
空心轴
max2
T WP 2
16T
πD23 1 4
40MPa
16 716.2
M 60P(KW ) 9.549 P (KN m)
2n(r / min)
n
第六章 圆轴扭转
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
2.扭矩和扭矩图
用截面法研究横 截面上的内力
第六章 圆轴扭转
T = Me
§6.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图
扭矩正负规定
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)
《工程力学：第七章+圆轴扭转时的应力变形分析与强度和刚度设计》
2、强度条件应用：
Tmax 1）校核强度: max WP
≤
2）设计截面尺寸:WP ≥ Tmax
[ ]
3）确定外荷载: Tmax≤ WP [ ]
m
D 3 实 心, 16 WP 3 D (1 4 ) 空 心. 16
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 二、 扭转杆的变形计算 1、扭转变形：（相对扭转角）
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 复习 圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩。 扭矩大小可利用截面法来确定。
Me A
1 1 1
Me B
Me
T
1 1
A
x
T Me
Me B
T
1
工程力学 第7章 圆轴扭转时的应力变形分析以及强度和刚度设计 复习： 二、扭转杆件的内力——扭矩及扭矩图 m 1、扭转杆件的内力（截面法）
§9-4 扭转时圆轴的强度和刚度计算 回顾
强度、刚度
材料的力学性质
韧性材料低碳钢轴向拉伸时的四个阶段:
弹性阶段屈服阶段 强化阶段 颈缩阶段
脆性材料大多数，从开始加载直至试样
被拉断，变形都很小。只有断裂时的应 力值－强度极限 l1 l0 塑性材料： ≥ 5 %; 脆性材 ＝ 100% 延伸率 l0 料： <5 % 韧性材料在压缩时,弹性阶段，屈服阶段均与拉伸时大致相同 脆性材料如铸铁，压缩时特点： 0的斜面。 压 拉 2 ：破坏面大约为 45 1 : (4 ~ 5)
材料力学(3)
传动轴
M
y
fAB x
M
z
变形前
汽车转向轴 变形后
变形特点：圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
相对扭转角fAB
3
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3-2 扭转时的内力
外力偶矩的计算
输入功率wenku.baidu.comP(kW)
M 转速：n(转/分)
1分钟输入功：
W 60 P 1000 60000 P
1分钟M作功：
W ' M M (2n 1) 2nM
+ 向 按右手法确定
T / kN m
10
A B
T 图
C 20 D
T / kN m
20
T 图
C
10
A
B 20
D
12
返回主目录
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
+ 向 按右手法确定
T图
m n
g是圆轴表面处（半径r处）
r
T
A
单元体的切应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：
g g
C
df C D df D
B
r
M
y
fAB x
M
z
变形前
汽车转向轴 变形后
变形特点：圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
相对扭转角fAB
3
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3-2 扭转时的内力
外力偶矩的计算
输入功率wenku.baidu.comP(kW)
M 转速：n(转/分)
1分钟输入功：
W 60 P 1000 60000 P
1分钟M作功：
W ' M M (2n 1) 2nM
+ 向 按右手法确定
T / kN m
10
A B
T 图
C 20 D
T / kN m
20
T 图
C
10
A
B 20
D
12
返回主目录
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
简捷画法：
M A 5460 N m M B M C 1640 N m M D 2180 N m
+ 向 按右手法确定
T图
m n
g是圆轴表面处（半径r处）
r
T
A
单元体的切应变。因为 CC= gdx=rdf , 故有：
g g
C
df C D df D
B
r
第5章 扭转 材料力学
要使轴的扭转强度和螺钉的剪切强度同时被满足，最大许可转矩应小于2530N ·m。
某传动轴，传递最大扭矩M=1.5kN· m，许用切应力[]=50MPa， 试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较重量。 （1）实心圆截面轴 （2）空心圆截面轴，其内外径比值di/d0=0.9 解：1.确定实心圆轴直径：
P 4 M A 9549 A 9549 76.4 N m n 500 P 10 M B 9549 B 9549 191N m n 500 P 6 M C 9549 C 9549 114.6 N m n 500
MT1 MT2
MT
2.扭矩计算
M T 1 M A 76.4 N m
Gg
5.4.3 静力学关系
dj Gg G dx
dj 2 dA G Ip A dx
dj g dx
dj M T dA G A dx
dA
O
r
Ip
2 A dA —极惯性矩
dA
应力公式
M T M T：横截面上的扭矩 1)横截面上任意点： I ：点到截面形心的距离 p
d1 0.9d0 68.7 mm
取d0=76mm，d1=68mm。
空心轴与实心轴截面的重量比（面积比)为：
(d 02 d12 ) / 4 0.395 2 d / 4
第六章 园轴扭转
CB 内
T d 199 0.01 8 I p 2 2 6.38 10 T D 199 6 0 . 015 46 . 8 10 Pa 46.8MPa 8 I p 2 2 6.38 10
扭矩图 薄壁筒扭转 应力,变形 强度,刚度 非圆截面 小结 前页
解: (1) 计算外力偶矩
NA 36.7 9550 1170N m n 300 N 14.7 TB 9550 B 9550 468N m n 300 N 11 TC TD 9550 C 9550 351N m n 300 TA 9550
(2) 画扭矩图,求最大扭矩
31.2 106 Pa 31.2MPa
CB 外
扭转内力
§6-5节 圆轴扭转时的强度和刚度计算
1 、强度计算
τ max
定义
2、刚度计算
Tl 扭转角计算式： GI p
T [ ] l GI p
式中：—单位长度扭转角。单位：rad/m
T T ρ max Ip Ip r
max
Tmax 180 702 180 GI p 80 109 0.1 0.0454 3.14
max
T T 180 [ ] [ ] GI p WT
式中
扭转内力 扭矩图
材料力学扭转详细讲解和题目,非常好
材料力学扭转
6.1 扭转的概念
扭转是杆件变形的一种基本形式。在工程实际中以扭转为主要变形的杆件也是比较多的，例如图6-1所示汽车方向盘的操纵杆，两端分别受到驾驶员作用于方向盘上的外力偶和转向器的反力偶的作用；图6-2所示为水轮机与发电机的连接主轴，两端分别受到由水作用于叶片的主动力偶和发电机的反力偶的作用；图6-3所示为机器中的传动轴，它也同样受主动力偶和反力偶的作用，使轴发生扭转变形。
图6—1 图6—2 图6—3
这些实例的共同特点是：在杆件的两端作用两个大小相等、方向相反、且作用平面与杆件轴线垂直的力偶，使杆件的任意两个截面都发生绕杆件轴线的相对转动。这种形式的变形称为扭转变形（见图6-4）。以扭转变形为主的直杆件称为轴。若杆件的截面为圆形的轴称为圆轴。
图6—4
6.2 扭矩和扭矩图
6.2.1外力偶矩
作用在轴上的外力偶矩，可以通过将外力向轴线简化得到，但是，在多数情况下，则是通过轴所传递的功率和轴的转速求得。它们的关系式为
n
P
M 9550= （6-1） 其中：M ——外力偶矩（N ·m ）;
P ——轴所传递的功率（KW ）； n ——轴的转速（r ／min ）。 外力偶的方向可根据下列原则确定：输入的力偶矩若为主动力矩则与轴的转动方向相同；输入的力偶矩若为被动力矩则与轴的转动方向相反。
6.2.2 扭矩
圆轴在外力偶的作用下，其横截面上将产生连续分布内力。根据截面法，这一分布内力应组成一作用在横截面内的合力偶，从而与作用在垂直于轴线平面内的外力偶相平衡。由分布内力组成的合力偶的力偶矩，称为扭矩，用n M 表示。扭矩的量纲和外力偶矩的量纲相同，均为N·m 或kN·m 。
《材料力学》扭转内力计算-习题
外力偶的大小。
350
两相邻外力偶间扭矩是常数，扭矩图是水平线
M D 446N.m
446 700
三、圆轴扭转内力图、切应力、变形计算 3、圆轴扭转角计算
（1）对于两端承受力偶的等截面圆轴，两端面的相对扭转角为：
T l
GI P
（2）对于各段扭矩不等或截面极惯性矩不等的阶梯状圆轴， 轴两端面的相对扭转角必须分段求解再求和，为：
TAB Wt ,AB
TAB D3 (1 4 )
2.5 103
Pa 30.18MPa
3.14 0.0753 [1 (60)4 ]
16
16
75
BC,max
TBC Wt ,BC
TBC D3
1.5 103 3.14 0.0.0603
Pa 35.37MPa
16
16
（2）两端面的相对扭转角
三、圆轴扭转内力图、切应力、变形计算
例2：M A 1146N.m M B MC 350N.m
试画出传动轴的扭矩图
扭矩图从左端的0开始最后
回归到右端的0。从左截面
到右截面扭矩突变方向，与
外力偶在最外母线处的切线
方向相同（或正视原图，外
力偶方向即为扭矩图从左到
T (kN m)
右突变方向），突变之值是
n Tili
i1 GI Pi
三、圆轴扭转内力图、切应力、变形计算
材料力学-第三章 扭转
x
B Me2
T1 M e 2 4774.5 N m
T1
x
(Torsion)
同理,在 BC 段内 Me2 1 Me3 B 1 C T1 T3
Me1 3 Me4
A 3 D Me4
T1 M e 2 4774.5 N m
在 AD 段内
T3 M e 4 6366 N m
Tr max T T Ip Ip Wt
dA T O ρ dA
max
max
r max
ρ ρ
r
Wt
Ip
r max
Wt 称作抗扭截面系数，单位为 mm3 或 m3.
(Torsion)
3.极惯性矩和抗扭截面系数的计算 (calculating the polar moment of inertia §ion modulus under torsion) （1）实心圆截面
a
D G T d O2 G' D' b
r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变
GG' r d r tan r dx EG
(Torsion)
二、 物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
d r G r Gr dx
同一圆周上各点切应力 r 均 相同,且其值与 r成正比, r 与半 径垂直.
材料力学课件：第3章 圆轴扭转时的应力变形分析与强度刚度计算计算
分布力的载荷集度q ⎯⎯ 单位长度上的力，单. 位为： N/m ,
或kN/m
当载荷均匀分布时，载荷集度q为常数； 当载荷非均匀分布时，载荷集度q沿着梁轴变化。
4-2 梁的计算简图
➢ 梁上的外力 ➢ 梁上的计算简图
Page56
一、 支座的几种基本形式
①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座， 止推滚珠轴承等。
max
顺＝WMPx
＝16M x π d3
max
顺
承受扭转时圆轴的强度设计 与刚度设计
扭转强度设计－例题 2
max
顺＝
Mx WP
＝16M x π d3
max
顺
得到
M
e
＝M
＝π
x
d 3 max
16
顺 ＝π
150mm 10-3 3 2MPa 106 16
＝1.33103 N m＝1.33kN m
F A
Me
以弯曲变
形为主的杆件
通常称为梁
B
杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力偶 （其矢量垂直于杆轴）作用。
二、变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。
1. 剪力：Q
构件受弯时，横截面上过截面形心且平行于
截面的内力。 梁任一截面上的剪力, 在数值上等于该截
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受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面 大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。
10
Mechanic of Materials
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
一.外力偶矩 1、直接计算
11
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
2、按输入功率和转速计算 电机输入功率为P(KW),每秒作功：
Mechanic of Materials
来自百度文库
Mechanic of Materials
例3-2 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画 出传动轴的扭矩图
M
A
9549
36 300
1146N.m
MB
MC
9549
11 300
350N.m
14
M D 9549 300 446N.m
Mechanic of Materials
①圆周线间 距离不变
§ 3.3 纯剪切
横截面上 无正应力
圆周线的形状、 大小均未改变
沿半径方向 也无切应力
l
φr
②表面纵线倾斜, 所有小矩形都歪 斜成平行四边形
左右两个截面间产生 了相对的转动 ，截 面上有切应力τ存在.
（—）
630
486
（+）
3．建立T－x坐标系，画出扭矩图
建 立 T－x 坐 标 系 ， 其 中 x 轴 平 行 于 圆 轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所 求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系 x 中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行 线，即得到所需要的扭矩图。 16
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
8
§ 3.1 扭转的概念和实例 9
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
Mechanic of Materials
受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用 着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。
变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对 的转动。
扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。
W P 1000(N m)
外力偶m使轴以n （r/min）
m 转动， m每秒作功：
W m 2 n
60
m 60 P 1000 9549 P [N m]
2 n
n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为 转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则
重点：扭转内力、应力。 难点：切应力互等定理的证明。 学时安排：2
1
Mechanic of Materials
第八讲内容目录 第三章 扭 转
§ 3.1 扭转的概念和实例和实例 § 3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图 § 3.3 纯剪切 § 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
2
目录
3
§ 3.1 扭转的概念和实例
Mechanic of Materials
第八讲的内容、要求、重难点
教学内容：
扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律, 圆 轴扭转时横截面上的应力。
教学要求：
1、 理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力； 2、 掌握扭转内力——扭矩与扭矩图； 3、 掌握切应力互等定理、剪切胡克定律； 4、 掌握圆轴扭转时横截面上的应力
P[马力]
m 7024
[N m]
n[r / min]
12
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆 横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为kN·m或N·m
Mechanic of Materials
m
m
m
T
T=m
扭矩正负规定:
右手四指与扭矩转向一致，
1.实验前： ①绘纵向线、圆周线；
Mechanic of Materials
②施加一对外力偶 m。
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线倾斜
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形18 。
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？
连接汽轮 机和发电机的 传动轴将产生 扭转。
7
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一部件 将发生扭转？ 唱机的心轴将产生扭转。
汽车传动轴
Mechanic of Materials
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘操纵杆 4
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？
拧紧螺母的工具 杆不仅产生扭转， 而且产生剪切。
5
§ 3.1 扭转的概念和实例 6
315
T1
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
2．截面法求各段扭矩
M x 0 T1 315 0 T1 315
315
315
T2
M x 0 T2 315 315 0 T2 630
T
（kN.m）
315
T3
486 M x 0 T3 486 0 T3 486
14
Mechanic of Materials
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图例题3-1
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各 力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力 偶矩的单位为N·m，尺寸单位为mm。
试 ：画出圆轴的扭矩图。
15
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
Mechanic of Materials
T1 M B 350N.m
T2 (M B MC ) 700N m
446
T3 M D 446
T M 截面一侧
T (kN m)
从最外母线看，外力偶切线方向与
350
扭矩图从左到右突变方向相同。
700
17
§ 3.3
一、 薄壁圆筒的扭转
（一）、实验：
纯剪切
壁厚
t
1 10
r0（r0：为平均半径）
拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负(-)
m
m
m
TT T=-m
右手螺旋法则
13
Mechanic of Materials
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
三、扭矩图diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿杆长的 变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）
10
Mechanic of Materials
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
一.外力偶矩 1、直接计算
11
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
2、按输入功率和转速计算 电机输入功率为P(KW),每秒作功：
Mechanic of Materials
来自百度文库
Mechanic of Materials
例3-2 主动轮A的输入功率PA=36kW，从动轮B、C、D输出功率 分别为PB=PC=11kW，PD=14kW，轴的转速n=300r/min.试画 出传动轴的扭矩图
M
A
9549
36 300
1146N.m
MB
MC
9549
11 300
350N.m
14
M D 9549 300 446N.m
Mechanic of Materials
①圆周线间 距离不变
§ 3.3 纯剪切
横截面上 无正应力
圆周线的形状、 大小均未改变
沿半径方向 也无切应力
l
φr
②表面纵线倾斜, 所有小矩形都歪 斜成平行四边形
左右两个截面间产生 了相对的转动 ，截 面上有切应力τ存在.
（—）
630
486
（+）
3．建立T－x坐标系，画出扭矩图
建 立 T－x 坐 标 系 ， 其 中 x 轴 平 行 于 圆 轴的轴线，T轴垂直于圆轴的轴线。将所 求得的各段的扭矩值，标在Mx－x坐标系 x 中，得到相应的点，过这些点作x轴的平行 线，即得到所需要的扭矩图。 16
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
8
§ 3.1 扭转的概念和实例 9
Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
Mechanic of Materials
受力特征：在杆的两端垂直于杆轴的平面内，作用 着一对力偶，其力偶矩相等、转向相反。
变形特征：杆件的各横截面环绕轴线发生相对 的转动。
扭转角：任意两横截面间相对转过的角度。
W P 1000(N m)
外力偶m使轴以n （r/min）
m 转动， m每秒作功：
W m 2 n
60
m 60 P 1000 9549 P [N m]
2 n
n
其中P为功率，单位为千瓦（kW）；n为轴的转速，单位为 转/分（r/min）。
如果功率P的单位用马力（1马力=735.5 W= 0.7355 kW ），则
重点：扭转内力、应力。 难点：切应力互等定理的证明。 学时安排：2
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Mechanic of Materials
第八讲内容目录 第三章 扭 转
§ 3.1 扭转的概念和实例和实例 § 3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图 § 3.3 纯剪切 § 3.4 圆轴扭转时横截面上的应力
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目录
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§ 3.1 扭转的概念和实例
Mechanic of Materials
第八讲的内容、要求、重难点
教学内容：
扭转的概念，扭转内力，薄壁圆筒的扭转，剪切虎克定律, 圆 轴扭转时横截面上的应力。
教学要求：
1、 理解扭转的概念；薄壁圆筒横截面上的内力、应力； 2、 掌握扭转内力——扭矩与扭矩图； 3、 掌握切应力互等定理、剪切胡克定律； 4、 掌握圆轴扭转时横截面上的应力
P[马力]
m 7024
[N m]
n[r / min]
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§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
二、扭矩T：当杆件受到外力偶作用发生扭转变形时，在杆 横截面上产生的内力，称为扭矩T，单位为kN·m或N·m
Mechanic of Materials
m
m
m
T
T=m
扭矩正负规定:
右手四指与扭矩转向一致，
1.实验前： ①绘纵向线、圆周线；
Mechanic of Materials
②施加一对外力偶 m。
2.实验后： ①圆周线不变； ②纵向线倾斜
3.结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改 变，只是绕轴线作了相对转动。
②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。
③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形18 。
Mechanic of Materials
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§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？
连接汽轮 机和发电机的 传动轴将产生 扭转。
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Mechanic of Materials
§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一部件 将发生扭转？ 唱机的心轴将产生扭转。
汽车传动轴
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§ 3.1 扭转的概念和实例
汽车方向盘操纵杆 4
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§ 3.1 扭转的概念和实例
请判断哪一杆件 将发生扭转？
拧紧螺母的工具 杆不仅产生扭转， 而且产生剪切。
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§ 3.1 扭转的概念和实例 6
315
T1
解：1．确定控制面
外加力偶处截面A、B、C、D均为控制面
2．截面法求各段扭矩
M x 0 T1 315 0 T1 315
315
315
T2
M x 0 T2 315 315 0 T2 630
T
（kN.m）
315
T3
486 M x 0 T3 486 0 T3 486
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Mechanic of Materials
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图例题3-1
圆轴受有四个绕轴线转动的外加力偶，各 力偶的力偶矩的大小和方向均示于图中，其中力 偶矩的单位为N·m，尺寸单位为mm。
试 ：画出圆轴的扭矩图。
15
§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
Mechanic of Materials
T1 M B 350N.m
T2 (M B MC ) 700N m
446
T3 M D 446
T M 截面一侧
T (kN m)
从最外母线看，外力偶切线方向与
350
扭矩图从左到右突变方向相同。
700
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§ 3.3
一、 薄壁圆筒的扭转
（一）、实验：
纯剪切
壁厚
t
1 10
r0（r0：为平均半径）
拇指指向外法线方向为 正 (+),反之为 负(-)
m
m
m
TT T=-m
右手螺旋法则
13
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§3.2 外力偶的计算 扭矩与扭矩图
三、扭矩图diagram of torsion moment) ：表征扭矩沿杆长的 变化规律的图象(绘制扭矩图的方法与绘制轴力图的方法相似）