高中数学人教b版高一必修4学业分层测评26_两角和与差的正切 含解析
数学人教B版必修4课后训练：3.1.3两角和与差的正切 含解析 精品
两角和与差的正切练习1．在△ABC中，已知tan A，tan B是方程3x2＋8x－1＝0的两根，则tan C等于( ) A．2 B．－2 C．4 D．－42．如果tan(α＋β)＝34，π1tan42β⎛⎫-=⎪⎝⎭，则πtan4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( )A．1011B．211C．25D．23．在锐角△ABC中，tan A tan B的值( )A．不小于1 B．小于1C．等于1 D．大于14．设tan α和tan β是方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根，则tan(α＋β)的最小值是( )A．154B．34C．34- D．不确定5________. 6．如图所示，三个相同的正方形相接，则图中的α＋β＝__________.7．在△ABC中，若(1＋cot A)(1＋cot C)＝2，则log2sin B＝________.8．已知α为第二象限的角，3sin5α＝，β为第一象限的角，5cos13β＝，求tan(2α－β)的值．9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝2a，在BC上取一点P，使AB＋BP＝PD，求tan∠APD的值．参考答案1．解析：∵tan A ，tan B 是3x 2＋8x －1＝0的两根，∴8tan +tan =,31tan tan =,3A B A B ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩∴tan(A ＋B )＝8tan +tan 311tan tan 13A BA B-=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝－2.∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝2. 答案：A2．解析：设πtan 4m α⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则tan(α＋β)＝ππtan 44αβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ＝ππ1tan tan 34421ππ411tan tan 244m mαβαβ⎛⎫⎛⎫++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得211m =， 即π2tan 411α⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 答案：B3．解析：由于△ABC 为锐角三角形， ∴tan A ，tan B ，tan C 均为正数．∴tan C ＞0，∴tan[180°－(A ＋B )]＞0. ∴tan(A ＋B )＜0，即tan tan 01tan tan A BA B+<-.而tan A ＞0，tan B ＞0，∴1－tan A tan B ＜0，即tan A tan B ＞1. 答案：D4．解析：∵tan α和tan β是mx 2＋(2m －3)x ＋(m －2)＝0的两根，∴()()223tan +tan ,2tan tan ,0,23420.m m m mm m m m αβαβ-⎧=-⎪⎪-⎪=⎨⎪≠⎪⎪∆=---≥⎩∴94m ≤，且m ≠0.又tan(α＋β)＝23tan+tan23321tan tan221mmm mmmαβαβ---+===-+---，∴当94m=时，tan(α＋β)取最小值34-.答案：C5．解析：因为tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan20tan40 1tan20tan40︒+︒-︒︒6．解析：由题意，1tan2α＝，1tan3β＝，∴tan(α＋β)＝11tan+tan231111tan tan123αβαβ+==--⨯.∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴0＜α＋β＜π，∴α＋β＝π4.答案：π47．解析：由(1＋cot A)(1＋cot C)＝2，得tan1tan12 tan tanA CA C++⋅=，∴(tan A＋1)(tan C＋1)＝2tan A tan C．∴1＋tan A＋tan C＝tan A tan C．∴tan(A＋C)＝－1.又A，B，C是△ABC的内角，∴A＋C＝3π4.∴π4B＝.∴sin B∴log2sin B＝21 log2=-.答案：1 2 -8．解：∵α为第二象限的角，且3 sin5α＝，∴4 cos5α-＝，∴3 tan4α-＝.又∵β为第一象限的角，且5 cos13β＝，∴12sin13β＝，∴12tan5β＝.∴tan(α－β)＝312tan tan63453121tan tan16145αβαβ---==+⎛⎫+-⨯⎪⎝⎭.∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝()()tan tan1tan tanααβααβ+---＝3632044163632531416-+=⎛⎫--⨯⎪⎝⎭.9．解：由AB＋BP＝PD，得a＋BP23a BP＝.设∠APB＝α，∠DPC＝β，则tan α＝32ABBP=，tan β＝34CDPC=.从而tan(α＋β)＝tan tan1tan tanαβαβ+-＝－18.又∵∠APD＋(α＋β)＝π，∴tan∠APD＝tan[π－(α＋β)]＝－tan(α＋β)＝18.。
高中数学北师大版必修四学业分层测评：第3章 2.3 两角和与差的正切函数 含解析
学业分层测评(建议用时：45分钟) [学业达标]一、选择题1.tan 51°＋tan 9°1－tan 51°tan 9°等于( )A．tan 42°B．3 3C. 3 D．－ 3【解析】原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝ 3.【答案】 C2．在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，则∠C等于( )A．π3B．2π3C.π6D．π4【解析】tan C＝－tan(A＋B)＝－tan A＋tan B1－tan A·tan B＝－3(tan A·tan B－1) 1－tan A·tan B＝3，所以∠C＝π3 .【答案】 A3．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为( ) A．16 B．2C．4 D．8【解析】∵(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°tan 24°)tan(21°＋24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2.同理(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2.∴原式＝2×2＝4.【答案】 C4．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．1318 B ．1322 C.322D ．318 【解析】 ∵α＋π4＝(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(α＋β)－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322. 【答案】 C5.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°·tan 50°的值应是( ) A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 3【解析】 因为tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10° tan 50°， 所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°·tan 10°·tan 50°，所以原式＝tan 60°－tan 60°·tan 10°·tan 50°＋tan 120°tan 10°·tan 50°＝－ 3. 【答案】 D二、填空题6．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝________. 【解析】 (1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β.又tan(α＋β)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－1＝tan α＋tan β1－tan αtan β， 所以tan α＋tan β＝tan αtan β－1，所以(1－tan α)(1－tan β)＝1＋1－tan αtan β＋tan αtan β＝2.【答案】 27．已知tan α＝17，sin β＝1010，且α，β为锐角，则α＋2β＝________. 【66470072】【解析】 因为tan α＝17<1，且α为锐角，所以0<α<π4. 又因为sin β＝1010<22，且β为锐角，所以0<β<π4. 所以0<α＋2β<3π4. 由sin β＝1010，β为锐角，得cos β＝31010， 所以tan β＝13， tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12. 所以tan(α＋2β)＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)·tan β＝12＋131－12×13＝1， 故α＋2β＝π4. 【答案】 π48．如图3－2－1，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，。
高中数学北师大版必修四课下能力提升(26)两角和与差的正切函数含解析
课下能力提升(二十六) 两角和与差的正切函数一、选择题1.tan 51°＋tan 9°1－tan 51°tan 9°等于( ) A ．tan 42° B.33 C. 3 D ．－ 32．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则∠C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6 D.π43．已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，则tan 2α＝( )A ．－47 B.47C.18 D ．－184．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A.1318 B.1322 C.322 D.16二、填空题5.tan 20°tan （－50°）－1tan 20°－tan 50°＝________． 6.1－3tan 75°3＋tan 75°＝________．7．若A ＝18°，B ＝27°，则(1＋tan A )(1＋tan B )的值是________．8．已知tan θ和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，则p ，q 满足关系式为________． 三、解答题9. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点．已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．10．是否存在锐角α和β，使得下列两式：(1)α＋2β＝23π； (2)tan α2tan β＝2－3同时成立．答案1.解析：选C 原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝ 3.2．解析：选A 已知条件可化为tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(tan A tan B －1)． ∴tan(A ＋B )＝－tan C ＝－ 3.∴tan C ＝3，即C ＝π3. 3．解析：选A tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan （α＋β）＋tan （α－β）1－tan （α＋β）tan （α－β） ＝5＋31－5×3＝－47. 4．解析：选C ∵α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan （α＋β）－tan （β－π4）1＋tan （α＋β）tan （β－π4）＝322.5.解析：原式＝－tan 20°tan 50°＋1tan 20°－tan 50°＝1tan 50°－tan 20°1＋tan 20°tan 50°＝1tan （50°－20°）＝1tan 30°＝ 3. 答案： 36.解析：法一：原式＝33－tan 75°1＋33tan 75°＝tan 30°－tan 75°1＋tan 30°tan 75° ＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－1.法二：原式＝1－tan 60°tan 75°tan 60°＋tan 75°＝1tan （60°＋75°）＝1tan 135°＝－1. 答案：－17．解析：原式＝tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＋1＝tan(18°＋27°)(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°＋1＝2.答案：28．解析：由题意知，tan θ＋tan(π4－θ)＝－p ， tan θtan(π4－θ)＝q . 又∵θ＋π4－θ＝π4， ∴tan(θ＋π4－θ) ＝tan θ＋tan （π4－θ）1－tan θtan （π4－θ）＝－p 1－q ＝1. ∴p －q ＋1＝0.答案：p －q ＋1＝09. 解：(1)由已知条件及三角函数的定义，可知cos α＝210，cos β＝255，因α为锐角，故sin α＞0.从而sin α＝1－cos 2α＝7210. 同理可得sin β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－（－3）×12＝－1. 又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2. 从而由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝3π4. 10．解：假设存在符合题意的锐角α和β，由(1)知α2＋β＝π3， ∴tan(α2＋β)＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3. 由(2)知tan α2tan β＝2－3， ∴tan α2＋tan β＝3－ 3. ∴tan α2，tan β是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根， 得x 1＝1，x 2＝2－ 3. ∵0<α<π2，则0<tan α2<1， ∴tan α2≠1，即tan α2＝2－3，tan β＝1. 又∵0<β<π2，则β＝π4，代入(1)，得α＝π6， ∴存在锐角α＝π6，β＝π4使(1)(2)同时成立．。
【K12教育学习资料】高中数学学业分层测评26两角和与差的正切含解析新人教B版必修4
学业分层测评(二十六) 两角和与差的正切(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知1＋tan A 1－tan A ＝55，则cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝( ) A.－ 5 B. 5 C.55D.－55【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝55，∴cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B2.已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.【答案】 B3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( )【导学号：72010083】A.23 B.4211 C.3211D.324【解析】 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝α＋β－tan β1＋α＋βtan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B. 【答案】 B4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.2π3【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， ∴C ＝π3.【答案】 A5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3 B.π4 C.π6D.π8【解析】 由题意，0<β<α<π2，因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.【答案】 B 二、填空题6.设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________.【解析】 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，∴tan β－tanπ41＋tan βtanπ4＝tan β－11＋tan β＝14，∴tan β＝53，tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tan β1－α＋βtan β＝25＋531－25×53＝315.【答案】3157.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________.【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βtan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 【答案】π48.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tanC ，则B ＝________.【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B ，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3. 【答案】π3三、解答题 9.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值. 【解】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.10.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值.【解】 由题意，有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0). 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3.[能力提升]1.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A.－ 3B. 3C.－33D.33【解析】 ∵α为第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋β·tan α＝－3＋331＋－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33. 【答案】 C2.(2016·潍坊高一检测)设tan α，tan β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，则1α＋β的值为( )A.b ＋ca B.b －ca C.c －abD.a －cb 【解析】 由题意得tan α＋tan β＝－b a，tan α·tan β＝c a， 所以1α＋β＝1－tan α·tan βtan α＋tan β＝1－ca －ba＝c －a b .【答案】 C 3.计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3＋＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】 134.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.【解】 由①得α2＋β＝π3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3.将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根.解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在.故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立.。
数学人教B版必修4示范教案：3.1.3 两角和与差的正切 含解析 精品
示范教案整体设计教学分析教材把两角和与差的正切公式从正弦、余弦中分离出来，单独作为一节，这对学生的自主探究学习提供了平台．因为前面学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦公式，对其应用学生有了一定的理解，同时对于三角函数变形中，角的变换也有了一定的掌握，因此在本节课的教学中可以充分利用学生的知识迁移，更多地让学生自主学习，独立地推导两角和与差的正切公式，为学生提供进一步实践的机会．也可以说本节并不是什么新的内容，而是对前面所学知识的整合而已．在探究中让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心，培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神．对于公式成立的条件，可以在学生自主推导公式中通过观察、比较、分析、讨论，在掌握公式结构特征的基础上加以讨论解决．在学习两角和与差的正切公式中，有许多优美的三角恒等式，它可以唤起学生的美感，教学中要注意这种形式上的特点，引导学生欣赏其结构、变形之美．本节作为两角和与差的三角函数的最后一节内容，教学时可以将两角和与差的三角函数公式作一个小结，从分析公式的推导过程入手，探究问题解决的来龙去脉，揭示它们的逻辑关系，使学生更好地用分析的方法寻求解题思路．三维目标1．会由两角和与差的正弦、余弦公式推导两角和与差的正切公式，能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值及三角恒等证明．2．通过两角和与差的正切公式的推导及运用，让学生从中体会转化与化归的思想方法，培养学生用联系变化的观点观察问题，通过学生的互相交流增强学生的合作能力，加强学生对公式的理解，在公式变形美的熏陶下提高数学审美层次．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及应用．教学难点：两角和与差的正切公式的灵活运用，特别是逆用及变形用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(问题导入)通过前面的学习，你能否求出tan15°的值？学生很容易转化为30°、45°的正弦、余弦来求．教师进一步提出：能否直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？由此展开新课，探究两角和与差的正切公式．思路2.(直接导入)在研究了和与差角α±β的正弦、余弦与单角α、β的正弦、余弦间的关系后，能否探究出tan(α±β)与tanα、tanβ间的关系？是否与sin(α±β)公式相似？如何推导呢？由此展开新课，揭示课题．推进新课新知探究提出问题(1)利用所学两角和与差正弦与余弦公式很容易求出tan15°的值，那么怎样直接利用tan30°和tan45°来求出tan15°呢？(2)利用所学两角和与差的公式，对比分析公式Cα－β、Cα＋β、Sα－β、Sα＋β，能否推导出tan(α－β)＝？tan(α＋β)＝？(3)分析观察公式T α－β、T α＋β的结构特征与正、余弦公式有什么不同？(4)前面两角和与差的正、余弦公式是恒等式，和与差的正切呢？活动：教师引导学生观察思考前面我们推出的公式C α－β、C α＋β、S α＋β、S α－β，可以完全让学生自己进行探究tan(α－β)，tan(α＋β)究竟如何，教师只是适时地点拨就行了．通过教师引导学生自然会想到利用同角三角函数关系式化弦为切，通过除以cosαcosβ即可得到，在这一过程中学生很可能想不到讨论cosαcosβ等于零的情况，这时教师不要直接提醒，让学生通过观察验证自己悟出来才有好效果．对cosαcosβ讨论如下：当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ－sinαsinβ. 若cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ. 根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝tanα＋tan (－β)1－tanαtan (－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ. 由此推得两角和与差的正切公式，简记为“T α－β、T α＋β”．tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T α＋β)， tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T α－β)． 我们把公式T α＋β、T α－β分别称作两角和的正切公式与两角差的正切公式，并且从推导过程可以知道α、β、α±β有一定的取值范围，即α≠π2＋kπ(k ∈Z )，β≠π2＋kπ(k ∈Z )，α±β≠π2＋kπ(k ∈Z )，这样才能保证tan(α±β)与tanα，tanβ都有意义．教师应留出一定的时间让学生回味、反思探究过程，点明推导过程的关键是：tan(α＋β)→sin(α＋β)，cos(α＋β)→sinα、sinβ、cosα、cosβ→tanα、tanβ.我们学习公式一定要掌握公式成立的条件、公式的形式及公式的作用三个方面：①公式成立的条件是什么？(提示学生从公式的形式和推导过程看)tanα、tanβ、ta n(α±β)都有意义，且1±tanαtanβ≠0；②注意公式的形式：公式右边分子是单角α、β正切的和与差，分母是1减(或加)单角α、β正切的积公式，右边分子的符号与公式左边的符号相同，公式右边分母的符号与分子的符号相反；③公式的作用：将复角α±β的正切化为单角α、β的正切形式，用于角的变换．(基本关系式用于三角函数的变形)可用于三角函数的计算、化简、证明．至此，我们学完了两角和与差的正弦、余弦、正切公式，统一叫做三角函数的和差公式．一般地，我们把公式S α＋β，C α＋β，T α＋β都叫做和角公式，而把公式S α－β，C α－β，T α－β都叫做差角公式．要让学生明晰这六个公式的推导过程，清晰逻辑关系主线．可让学生自己画出这六个框图，通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美及数学公式的魅力．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理某些问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(π2－β)，因为tan π2的值不存在，不能应用两角和与差的正切公式，所以改用诱导公式tan(π2－β)＝sin (π2－β)cos (π2－β)＝cosβsinβ来处理．讨论结果：(1)～(4)略．应用示例例 1已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0<α<π2，π2<β<π. (1)求tan(α－β)；(2)求α＋β的值．活动：本例是两角和与差的正切公式的直接运用，教师可让学生独立解决．对于(2)教师要提醒学生注意判断角的范围，这是解这类题目的关键步骤．让学生养成良好的习惯：由三角函数值求角必先找出所求角的范围．解：(1)因为已知tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝2＋131－23＝7. (2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝2－131＋23＝1， 又因为0<α<π2，π2<β<π，所以π2<α＋β<3π2. 在π2与3π2之间，只有5π4的正切值等于1， 所以α＋β＝5π4. 例 2求下列各式的精确值．(1)tan75°；(2)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°. 解：(1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝2＋3； (2)tan17°＋tan43°1－tan17°tan43°＝tan(17°＋43°)＝tan60°＝ 3. 点评：本例体现了对公式全面理解上的要求，要求学生能够从正、反两个角度使用公式，与正用相比，反用表现的是一种逆向思维，它不仅要求有一定的反向思维意识，对思维的灵活性要求也高，而且对公式要有更深刻的认识.例 3若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，求tan(α＋π4)的值． 解：因为α＋π4＝(α＋β)－(β－π4)， 所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan (α＋β)－tan (β－π4)1＋tan (α＋β)tan (β－π4) ＝25－141＋25×14＝322. 点评：本题是典型的变角问题，就是把所求角利用已知角来表示，具有一定的拆角技巧，这就需要教师巧妙地引导，让学生亲自动手进行角的变换，使之明白此类变角的技巧，从而培养学生灵活运用公式的能力.例 4已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋ta nβ)的值．解：∵α＋β＝45°，∴tan(α＋β)＝tan45°＝1.又∵tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)， 即tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ.∴原式＝1＋tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1＋(1－tanαtanβ)＋tanαtanβ＝2.点评：本题是公式的变形应用，当出现α＋β为特殊角时，就可以考虑逆用两角和的正切公式的变形式tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan αtanβ)，这个变形式子对我们解题很有用处．解课堂小结本节课主要学习的是：推导了两角和与差的正切公式；研究了公式成立的条件、公式的形式及公式的作用；学习了公式的应用，通过公式的推导，加强了对“转化”数学思想方法的理解，通过例题我们对公式不仅要会正用，还要会逆用，有时还需要适当变形后再用，这样才能全面地掌握公式．作业 课本本节习题3—1 A 组1～3 B 组1～3.设计感想1．因为本节内容是两角和与差公式的最后一节，所以本节教案的设计目的既是两角和与差正弦余弦公式的继续，也注意了复习巩固两角和差公式．设计意图在于深刻理解公式的内在联系，学会综合利用公式解题的方法和技巧．因此本节课安排的几个例子都是围绕这个目标设计的，它们的解题方法也充分体现了公式的灵活运用．另外，通过补充的例题，教给学生正用、逆用、变形用公式的方法，培养了他们的逆向思维和灵活运用公式的能力．2．对于本节课来说，我们应该本着以学生为主体，教师为主导的原则，让学生充分发挥自己的学习智能，由学生唱好本节的主角．在设计例习题上，也是先让学生审题、独立思考、探究解法，然后教师再进行必要的点评．重在理清思路，纠正错误，点拨解法，争取一题多解，拓展思路，通过变式训练再进行方法提升，开拓题型．备课资料备用习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为( )A ．－1B ．－12C.57D.172．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于( )A.12B.22C. 2 D ．1 3.tan55°－tan385°1－tan (－305°)tan (－25°)＝________. 4．已知tan110°＝a ，则tan50°的值为________．5．若tanx ＝1－tan20°1＋tan20°，则x ＝________. 6．已知sinα＝－35，cosβ＝513，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值． 7．若3sinx ＋3cosx ＝23sin(x ＋φ)且φ∈(0，π2)，求tan(φ＋π4)的值． 8．在平面直角坐标系中，点P 在以原点O 为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP 与以O 为圆心、2为半径的圆交于R 点，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，过R 作PM 的垂线，垂足为Q ，求∠POQ 的最大值．参考答案：1．D 2.D 3.33 4.a －31＋3a5.25°＋k·180°(k ∈Z )6.6316. 7．分析：如何求φ是本题的关键． 解：∵3sinx ＋3cosx ＝23(32sinx ＋12cosx)＝23(sinxcos π6＋cosxsin π6)＝23sin(x ＋π6)， ∴23sin(x ＋φ)＝23sin(x ＋π6)． 又∵φ∈(0，π2)，∴φ＝π6. ∴tan(φ＋π4)＝1＋tanφ1－tanφ＝1＋331－33＝3＋33－3＝9＋3＋6332－3＝2＋ 3. 8．解：本应考虑点P 在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P 在第一象限，设∠xOP ＝α，∠xOQ ＝β，则∠POQ ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝2sinα6cosα＝13tanα. 故tan ∠POQ ＝tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝tanα－13tanα1＋13tan 2α＝2tanα3＋tan 2α. 设tan ∠POQ ＝y ，tanα＝t ，则y ＝2t 3＋t 2， 即yt 2－2t ＋3y ＝0.由α是锐角，可知t ＞0，从而y ＝2t 3＋t 2＞0. 又Δ＝4－12y 2≥0，故0＜y ≤33，且当t ＝3时，y ＝33. 故y 的最大值，即tan ∠POQ 的最大值为33.所以∠POQ 的最大值为π6.。
2016_2017学年高中数学学业分层测评26两角和与差的正切含解析新人教B版必修420171003
学业分层测评(二十六) 两角和与差的正切(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1＋tan A 5 π1.已知＝5，则cot(＋A)＝()1－tan A 4A.－5B. 55C. D.－5 5 51＋tan A 5【解析】∵＝，1－tan A 5π 1 1－tan A∴cot(＋A)＝＝＝.54 π1＋tan Atan(＋A)4【答案】 B3π2.已知α＋β＝，则(1－tan α)(1－tan β)＝()4A.1B.2C.3D.4tan α＋tan β3π【解析】tan(α＋β)＝＝tan ＝－1，所以tan α＋tan β＝－11－tan αtan β 4＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.【答案】 Bπ 3 2 13.(2016·沈阳高一检测)已知β∈(0，2)，满足tan(α＋β)＝，sin β＝，则tan4 3α＝()【导学号：72010083】2 4 2A. B.3 113 2 3 2C. D.11 4π 1 2 2 1 2 【解析】因为β∈(0，2)，sinβ＝，所以cosβ＝，所以tanβ＝＝，又3 3 42 23 2 tanα＋β－tan β因为tan(α＋β)＝，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝4 1＋tanα＋βtan β13 2 2－4 4 4 2＝＝，故选B.3 2 2111＋×4 4【答案】 B4.在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A tan B，则角C等于()ππA. B.3 4π2πC. D.6 3tan A＋tan B【解析】由已知得tan A＋tan B＝－3(1－tan A tan B)，∴＝－3，1－tan A tan B∴tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝3，π∴C＝.3【答案】 Aπ 4 15.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈(0，2)，tan α＝，tan β＝，则α－β等于()3 7ππA. B.3 4ππC. D.6 8π【解析】由题意，0<β<α< ，24 1－3 7 因为tan(α－β)＝＝1，4 11＋×3 7π所以α－β＝.4【答案】 B二、填空题2 π 16.设tan(α＋β)＝5，tan (β－4)＝，则tan(α＋2β)的值是________.4π 1【解析】∵tan (β－4)＝，4 πtan β－tan4 tan β－1 1∴＝＝，π1＋tan β 41＋tan βtan425 ∴tan β＝ ， 3tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] 2 5＋ tan α＋β＋tan β 5 3 31 ＝＝ ＝ . 1－tan α＋βtan β 2 5 51－ ×5 331 【答案】 537.已知 tan(α＋β)＝7，tan α＝ ，且 β∈(0，π)，则 β 的值为________.4 【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝3 7－ tan α＋β－tan α 4π＝＝1，又 β∈(0，π)，所以 β＝ .1＋tan α＋βtan α 341＋7 ×4π 【答案】48.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝3 3，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则 B ＝________.tan A ＋tan C 3 3－tan B 【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－ ＝－ ，所以 tan 3B ＝3 3， 1－tan A tan C 1－tan 2B π 所以 tan B ＝ 3，又因为 B 为三角形的内角，所以 B ＝ .3π 【答案】 3三、解答题ππ9.已知 tan( ＋α)＝ 2，tan (β－ 3)＝2 2，12π(1)求 tan (α＋β－ 4)的值；(2)求 tan(α＋β)的值.π【解】(1)tan (α＋β－ 4)ππ＝tan[( ＋α)＋(β－ 3)]12 ππtan ( ＋α)＋tan (β－ 3)122＋2 2 ＝＝＝－ 2.ππ1－2 × 2 21－tan(＋α)·tan(β－3)123ππ(2)tan(α＋β)＝tan[(α＋β－4)＋4]ππtan(α＋β－4)＋tan4 －2＋1＝＝ππ1－－2× 11－tan(α＋β－4)·tan4＝2 2－3.ππ10.已知tan α，tan β是方程x2＋3 3x＋4＝0的两个根，且α，β∈(－，，求α2)2＋β的值.【解】由题意，有Error!ππtan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈(－，，2)2π所以α，β∈(－，0)，α＋β∈(－π，0).2tan α＋tan β－3 3又因为tan(α＋β)＝＝＝ 3.1－tan αtan β1－42π在(－π，0)内，正切值为3的角只有－，32π所以α＋β＝－.3[能力提升]11.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则2tan β的值为()A.－3B. 33C.－D.3 3 3【解析】∵α为第二象限角，3 ∴cos α<0，cos α＝－，23∴tan α＝－.3tanα＋β－tan α tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝1＋tanα＋β·tanα3－3＋3 3＝＝－.3 31＋－3·(－3 )【答案】 C42.(2016·潍坊高一检测)设tan αt a ，n β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，1则 的值为( )tanα＋βb ＋c b －c A. B.a a c －a a －c C. D.bbbc 【解析】 由题意得 tan α＋tan β＝－ ，tan α·tan β＝ ， a a11－tan α·tan β 所以 ＝tan α＋βtan α＋tan βc 1－ a c －a＝＝ .b b － a【答案】 C1－tan 15°3.计算 ＝________. 3＋tan 60°tan 15°【解析】 原式＝tan 45°－tan 15° 31＋tan 45°·tan 15° 1 1 ＝ tan(45°－15°)＝ . 3 3 1 【答案】 32π α4.是否存在锐角 α 和 β，使得①α＋2β＝ 和②tan ·tan β＝2－ 3同时成立？若3 2存在，求出 α 和 β 的值；若不存在，请说明理由.α π 【解】 由①得 ＋β＝ ， 2 3αtan ＋tan βα2 ∴tan(＝＝ .＋β)32α1－tan ·tan β2α将②代入上式得 tan ＋tan β＝3－ 3.2α因此，tan 与tan β是一元二次方程x 2－(3－ 3)x ＋2－ 3＝0的两根.解之，得x 1＝1，2x 2＝2－ 3.α α π 若 tan ＝1，由于 0＜ ＜ ， 2 2 4 ∴这样的 α 不存在.5α故只能是tan ＝2－3，tan β＝1.2ππ由于α，β均为锐角，∴α＝，β＝.6 4ππ故存在锐角α＝，β＝使①②同时成立.6 46。
2018_2019学年高中数学学业分层测评25两角和与差的正弦(含解析)新人教B版必修4
(建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.(2015·全国卷Ⅰ)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( A.－ C.－ 3 2 1 2 B. 3 2 )
1 D. 2 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°
【解析】
π 2 2 β＋ 1 1 3 2 3 ＝ sin β＋ cos 1－ 3 ＝ ，∴sin 3 2 2
1 2 2 3 1 2 2＋ 3 β＝ × ＋ × ＝ . 2 3 2 3 6
【答案】
C )
4.(2016·温州高一检测)在△ABC 中，若 sin B＝2sin Acos C，那么△ABC 一定是( A.等腰直角三角形 C.直角三角形 B.等腰三角形 D.等边三角形
【答案】
π 0， 1 11 2 ，则β＝________. 7.(2016·汕头高一检测)已知 cos α＝ ，cos(α＋β)＝－ ，α，β∈ 7 14
4 3 5 3 【解析】 由题意得：sin α＝ ，sin(α＋β)＝ ，所以 cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋ 7 14 π 0， 11 1 5 3 4 3 1 π 2 ，所以β＝ . β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－ × ＋ × ＝ ，又β∈ 14 7 14 7 2 3 【答案】 π 3
8.若 8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则 sin(α＋β)＝________. 【解析】
2
由 8sin α＋5cos β＝6，两边平方，
2
得 64sin α＋80sin αcos β＋25cos β＝36.① 由 8cos α＋5sin β＝10，两边平方， 得 64cos2α＋80 cos α sin β＋25sin2β＝100.② ①＋②，得 64＋25＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136， ∴sin(α＋β)＝ 【答案】 47 80 47 . 80
2018_2019学年高中数学学业分层测评24两角和与差的余弦(含解析)新人教B版必修4
学业分层测评(二十四)两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.(2016·鞍山高一检测)cos 78°cos 18°＋sin 78°sin 18°的值为()A.12B.13C.32 D.33【解析】原式＝cos(78°－18°)＝cos 60°＝12.【答案】A2.已知sin α＝13α是第二象限角，则cos(α－60°)为() A.－3－222B.3－226C.3＋226 D.－3＋226【解析】因为sin α＝13，α是第二象限角，所以cos α＝－223，故cos(α－60°)＝cos αcos 60°＋sin αsin 60°＝－223×12＋13×32＝－22＋36.【答案】B3.在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为()A.等边三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.钝角三角形【解析】∵sin A sin B <cos A cos B ，∴cos A cos B －sin A sin B >0，即cos(A ＋B )>0，∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )<0，∴角C 为钝角，∴△ABC 一定为钝角三角形.【答案】D4.已知：cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45，且180°＜α＜270°，则tan α等于()【导学号：72010077】A.34B.－34C.45D.－45【解析】由已知得cos[(α＋β)－β]＝－45，即cos α＝－45.又180°＜α＜270°，所以sin α＝－35，所以tan α＝sin αcos α＝34.【答案】A5.(2016·淄博高一检测)已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos α·cos β＝()A.1B.－1C.12D.0【解析】由题意得：cos αcos β－sin αsin β＝45，cos αcos β＋sin αsin β＝－45，两式相加得：cos α·cos β＝0，故选D.【答案】D二、填空题6.(2016·北京高一检测)12sin 75°＋32sin 15°的值等于________.【解析】原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22.【答案】227.(2016·济南高一检测)已知cos π3－α＝18，则cos α＋3sin α的值为________.【解析】因为cos π3－α＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α＝18，所以cos α＋3sin α＝14.【答案】148.在△ABC 中，sin A ＝45，cos B ＝－1213，则cos(A －B )＝________.【解析】因为cos B ＝－1213，且0<B <π，所以π2<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝1－－12132＝513，且0<A <π2，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1－452＝35，所以cos(A －B )＝cos A cos B ＋sin A sin B ，＝35×－1213＋45×513＝－1665.【答案】－1665三、解答题9.已知sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0，求证：cos(α－β)＝－12.【证明】由sin α＋sin β＋sin γ＝0，cos α＋cos β＋cos γ＝0得(sin α＋sin β)2＝(－sin γ)2，①(cos α＋cos β)2＝(－cos γ)2.②①＋②得，2＋2(cos αcos β＋sin αsin β)＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝－12.10.已知：cos(2α－β)＝－22，sin(α－2β)＝22，且π4<α<π2，0<β<π4，求cos(α＋β).【解】因为π4<α<π2，0<β<π4，所以π4<2α－β<π.因为cos(2α－β)＝－22，所以π2<2α－β<π.所以sin(2α－β)＝22.因为π4<α<π2，0<β<π4，所以－π4<α－2β<π2.因为sin(α－2β)＝22，所以0<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝22，所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)＝－22×22＋22×22＝0.[能力提升]1.已知sin α＋sin β＝45α＋cos β＝35，则cos(α－β)的值为() A.925B.1625C.12D.－12【解析】由已知得(sin α＋sin β)2＝1625，①(cos α＋cos β)2＝925，②①＋②得：2＋2sin αsin β＋2cos αcos β＝1，∴cos αcos β＋sin αsin β＝－12，即cos(α－β)＝－12.【答案】D2.若α，β为两个锐角，则()A.cos(α＋β)>cos α＋cos βB.cos(α＋β)<cos α＋cos βC.cos(α－β)<cos αcos βD.cos(α－β)<sin αsin β【解析】cos [α－－β]－(cos α＋cos β)＝cos αcos β－sin αsin β－cos α－cos β＝cos α(cos β－1)－sin αsin β－cos β，因为α，β是锐角，所以cos β－1<0，cos α(cos β－1)<0，－sin αsin β<0，－cos β<0，故cos [α－(－β)]－(cos α＋cos β)<0，即cos(α＋β)<cos α＋cos β.因为cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，α，β均为锐角，所以cos αcos β>0，sin αsin β>0，所以cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β>cos αcos β，同理cos(α－β)>sin αsin β，故C，D 错误.【答案】B3.函数f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x 的最小正周期是________.【解析】由于f (x )＝cos 2x cos π6＋sin 2x sin π6＝cos 2x －π6T ＝2π2＝π.【答案】π4.已知函数f (x )＝2cosωx ＋π6ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈0，π2，f 5α＋53π＝－65，f 5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值；(3)求f (x )的单调递增区间.【解】(1)因为T ＝2πω＝10π，所以ω＝15.(2)f5α＋53π＝2cos 155α＋53π＋π6＝2cos α＋π2α＝－65，所以sin α＝35.f 5β－56π＝2cos 155β－56π＋π6＝2cos β＝1617，所以cos β＝817，因为α，β∈0，π2，所以cos α＝1－sin 2α＝45，sin β＝1－cos 2β＝1517，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.(3)f (x )＝2cos x 5＋π6由2k π－π≤x 5＋π6≤2k π，k ∈Z ，得10k π－35π6≤x ≤10k π－5π6，k ∈Z ，所以单调递增区间为10k π－35π6，10k π－5π6(k ∈Z ).。
高中数学 学业分层测评26 两角和与差的正切(含解析)新人教B版必修4
学业分层测评(二十六) 两角和与差的正切(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.已知1＋tan A 1－tan A ＝55，则cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝( ) A.－ 5 B. 5 C.55D.－55【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝55，∴cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B2.已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )A.1B.2C.3D.4【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.【答案】 B3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( )【导学号：72010083】A.23 B.4211 C.3211D.324【解析】 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝α＋β－tan β1＋α＋ββ＝324－241＋324×24＝4211，故选B. 【答案】 B4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( ) A.π3 B.π4 C.π6D.2π3【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3， ∴C ＝π3.【答案】 A5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3 B.π4 C.π6D.π8【解析】 由题意，0<β<α<π2，因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.【答案】 B 二、填空题6.设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________.【解析】 ∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，∴tan β－tanπ41＋tan βtanπ4＝tan β－11＋tan β＝14，∴tan β＝53，tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝α＋β＋tan β1－α＋ββ＝25＋531－25×53＝315.【答案】3157.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________.【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 【答案】π48.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tanC ，则B ＝________.【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B ，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3. 【答案】π3三、解答题 9.已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22，(1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值. 【解】 (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tanπ41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－－2×1＝22－3.10.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值.【解】 由题意，有⎩⎨⎧tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0). 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3.[能力提升]1.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )A.－ 3B. 3C.－33D.33【解析】 ∵α为第二象限角， ∴cos α<0，cos α＝－32， ∴tan α＝－33.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝－3＋331＋－3⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33. 【答案】 C2.(2016·潍坊高一检测)设tan α，tan β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，则1α＋β的值为( )A.b ＋ca B.b －ca C.c －abD.a －cb 【解析】 由题意得tan α＋tan β＝－b a，tan α·tan β＝c a， 所以1α＋β＝1－tan α·tan βtan α＋tan β＝1－ca －b a＝c －a b .【答案】 C 3.计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3＋t＝13tan(45°－15°)＝13.【答案】 134.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.【解】 由①得α2＋β＝π3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3.将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根.解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在.故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立.。
人教B数学必修四课时分层作业26 两角和与差的正切 含解析
课时分层作业(二十六) 两角和与差的正切(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.tan 105°－1tan 105°＋1的值等于( ) A.33 B. 3 C ．－ 3D ．－33 B [tan 105°－1tan 105°＋1＝tan 105°－tan 45°1＋tan 45°tan 105°＝tan(105°－45°)＝tan 60°＝ 3.]2．已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A ．2＋ 3 B ．1C ．2－ 3 D. 3C [∵1－tan α1＋tan α＝2＋3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3.] 3．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtanβ，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.]4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．4C [∵tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝4⇒tan αtan β＝12.]5．已知β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( ) A.23 B.4211 C.3211 D.324B [因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B.] 二、填空题6．若α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 1 [由已知得：tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵0<α<π2，∴－π4<π4－α<π4.又∵0<β<π2，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4.∴tan(α＋β)＝1.]7．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________．π4 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4.]8．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A tan C ，则B ＝________.π3 [tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3.]三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22， (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值．[解] (1)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22 ＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－(－2)×1 ＝22－3.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值．[解] 由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0)． 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，所以α＋β＝－2π3. [等级过关练]1．已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( ) A ．－ 3 B. 3 C ．－33 D.33C [∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32，∴tan α＝－33.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α ＝－3＋331＋(－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33.] 2．在锐角△ABC 中，tan A ·tan B 的值( )A ．不小于1B ．小于1C ．等于1D ．大于1D [∵在锐角三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，C ＝π－(A ＋B )，tan A >0，tan B >0.由tan C ＝－tan (A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B >0得tan A ·tan B >1.]3．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________. 13 [原式＝tan 45°－tan 15°3(1＋tan 45°·tan 15°)＝13tan(45°－15°)＝13.] 4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)________． 223 [(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°) ＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)](1＋tan 45°)＝2×2×2×…×223个2＝223.]5．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解] 由①得α2＋β＝π3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3. 将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根． 解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在．故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立．。
高中数学新人教B版必修4课堂测试 两角和与差的正切
课时跟踪检测（二十五） 两角和与差的正切层级一 学业水平达标1．1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( ) A. 33 B. 3C ．tan 6° D. 1tan 6° 解析：选A ∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan(27°＋33°)＝tan 60°，∴原式＝1tan 60°＝33. 2．tan 15°＋tan 105°等于( )A ．－2 3B ．2＋ 3C ．4 D. 433解析：选A tan 15°＋tan 105°＝tan(60°－45°)＋tan(45°＋60°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＋tan 45°＋tan 60°1－tan 45°tan 60°＝－23，故选A . 3．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A.1318 B. 1322 C. 322 D. 318解析：选C ∵tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝25－141＋25×14＝322. 4．在△ABC 中，若tan A tan B >1，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定 解析：选A 由tan A tan B >1，知tan A >0，tan B >0，从而A ，B 均为锐角． 又tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0，即tan C ＝－tan(A ＋B )>0， ∴C 为锐角，故△ABC 为锐角三角形．5．若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为( )A ．1B ．2C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B ∵tan 45°＝tan(20°＋25°)＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°＝1， ∴tan 20°＋tan 25°＝1－tan 20°tan 25°，∴(1＋tan α)(1＋tan β)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°·tan 25°＝1＋1－tan 20°tan 25°＋tan 20°tan 25°＝2.6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为________． 解析：将β化为(α＋β)－α，利用两角差的正切公式求解．tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3. 答案：37.cos 15°－sin 15°cos 15°＋sin 15°＝________. 解析：原式＝1－tan 15°1＋tan 15°＝tan 45°－tan 15°1＋tan 45°tan 15°＝tan(45°－15°)＝tan 30°＝33. 答案：33 8．若1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，且α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则α＋β＝________. 解析：因为1＋tan α＋tan β－tan αtan β＝0，所以tan α＋tan β＝－(1－tan αtan β)，所以tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1. 又α，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以π＜α＋β＜2π，故α＋β＝7π4. 答案：7π49．已知tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，求tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)的值． 解：因为tan(α＋β)＝2，tan(α－β)＝3，，所以tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝2＋31－2×3＝－1， tan 2β＝tan [(α＋β)－(α－β)]＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)tan (α－β)＝2－31＋2×3＝－17， 所以tan(3π＋2α)＋tan(4π＋2β)＝tan 2α＋tan 2β＝－1－17＝－87. 10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，且－π2<α<π2，－ π2<β<π2，求角α＋β的大小．解：由已知得⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33，tan α·tan β＝4，∴tan α，tan β均为负，∴－π2<α<0，－π2<β<0.∴－π<α＋β<0，又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3.∴α＋β＝－2π3.层级二 应试能力达标1．已知tan α＝12，tan(α－β)＝－25，那么tan(β－2α)的值为( )A ．－34B ．－112C ．－98 D. 98解析：选B tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－251＋12×25＝－112. 2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan Atan B ，则角C 等于() A. π3 B. 2π3C. π6D. π4解析：选A 由已知，得tan A ＋tan B ＝3(tan Atan B －1)，即tan A ＋tan B 1－tan Atan B ＝－3，∴tan(A ＋B)＝－3， ∴tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝3，∴C ＝π3. 3．已知tan α＝12，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值是( ) A ．2B. 12 C ．－1 D ．－3解析：选B 法一：因为tan α＝12，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝tan π4＋tan α1－tan π4·tan α＝1＋tan α1－tan α＝3， 所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝3－11＋3＝12.故选B . 法二：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－11＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan π41＋tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α·tan π4＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝tan α＝12.故选B . 4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)·…·(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)的值为( )A ．222B ．223C ．224D ．225解析：选B (1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 44°＋tan 1°＋tan 44°tan 1°， ∵tan 45°＝tan(1°＋44°)＝tan 1°＋tan 44°1－tan 1°tan 44°＝1， ∴(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋1－tan 1°tan 44°＋tan 44°tan 1°＝2，同理，得(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝(1＋tan 2°)(1＋tan 43°)＝ (2)∴原式＝222×(1＋tan 45°)＝223.5．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是__________三角形．(填“锐角”“钝角”或“直角”)解析：由已知得⎩⎨⎧tan A ＋tan B ＝53，tan A·tan B ＝13.∴tan(A ＋B)＝tan A ＋tan B 1－tan A·tan B ＝531－13＝52， 在△ABC 中，tan C ＝tan [π－(A ＋B)]＝－tan(A ＋B)＝－52<0，∴C 是钝角，∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角6．若(tan α－1)(tan β－1)＝2，则α＋β的最小正值为_______．解析：(tan α－1)(tan β－1)＝2⇒tan αtan β－tan α－tan β＋1＝2⇒tan α＋tan β＝tan αtan β－1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝－1， 即tan(α＋β)＝－1，∴α＋β＝k π－π4，k ∈Z. 当k ＝1，α＋β取得最小正值3π4. 答案：3π4 7．已知tan(π＋α)＝－13，tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan β的值．解：(1)因为tan(π＋α)＝－13，所以tan α＝－13， 因为tan(α＋β)＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α， 所以tan(α＋β)＝－13＋25＋13＝516. (2)因为tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α， 所以tan β＝516＋131－516×13＝3143.8．在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B 的横坐标分别为13，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α的值． 解：(1)由题意，得cos α＝13，cos β＝255. 因为α，β为锐角，所以sin α＝223，sin β＝55， 因此tan α＝22，tan β＝12， 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝22＋121－22×12＝－9＋522. (2)tan (α＋β)－tan α2＋2tan (α＋β)·tan α＝12×tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α＝12×tan [(α＋β)－α]＝12×tan β ＝12×12＝14.。
2019_2020学年高中数学课时分层作业26两角和与差的正切公式(含解析)新人教A版必修4
课时分层作业(二十六)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题 1.1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°的值为( )A ．33B ． 3C ．tan 6°D ．1tan 6°A [∵tan 27°＋tan 33°1－tan 27°tan 33°＝tan (27°＋33°)＝tan 60°＝3，∴1－tan 27°tan 33°tan 27°＋tan 33°＝33.]2．已知点P (1，a )在角α的终边上，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－13，则实数a 的值是( )A ．2B ．12 C ．－2D ．－12C [∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝－13，∴tan α＝－2，∵点P (1，a )在角α的终边上， ∴tan α＝a1＝a ，∴a ＝－2.]3．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°的值为( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．3D ．33B [由tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β变形tan(α＋β)(1－tan αtan β)＝tan α＋tan β， 故tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝tan(10°＋50°)(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50°＝3(1－tan 10°tan 50°)＋3tan 10°tan 50° ＝3－3tan 10°tan 50°＋3tan 10°tan 50° ＝ 3.]4.A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定A [由条件知tan A ＋tanB ＝53，tan A tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝531－13＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，即C 为钝角，故△ABC 是钝角三角形．]5．已知α，β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－13，则tan β＝( )A ．13 B ．3 C ．913D ．139B [∵α锐角，cos α＝35，∴sin α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝43，又tan(α－β)＝－13，∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan （α－β）1＋tan αtan （α－β）＝43－⎝ ⎛⎭⎪⎫－131＋43×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝3，故选B.] 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π4＝15，则tan α＝ ． 32 [tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－5π4＝tan α－tan5π41＋tan α·tan5π4＝tan α－11＋tan α＝15， 解方程得tan α＝32.]7．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝ ．17 [tan α＋β2＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－α21－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－α2＝12－131＋12×13＝17.]8．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于 ． 1 [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan 20°＋tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋3tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°) ＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10° ＝1.] 三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，tan β＝12，(1)求tan α的值；(2)求sin （α＋β）－2sin αcos β2sin αsin β＋cos （α＋β）的值．[解] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2，∴tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2，解得tan α＝13.(2)原式 ＝sin αcos β＋cos αsin β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos αcos β－sin αsin β＝cos αsin β－sin αcos βcos αcos β＋sin αsin β＝sin （β－α）cos （β－α）＝tan(β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝12－131＋12×13＝17.10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求：(1)tan(α＋β)的值；(2)α＋2β的大小． [解] 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan 2β＝tan(β＋β)＝2tan β1－tan 2β ＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tan α＋tan 2β1－tan α·tan 2β＝7＋431－7×43＝－1.∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.[能力提升练]1．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A ．－13B ．13C ．－3D ．3B [由a·b ＝2cos α－sin α＝0，得tan α＝2， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tanπ41＋tan αtanπ4＝2－11＋2＝13.]2．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tanC ，则角B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．120°D ．60°D [由公式变形得：tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B ) ＝tan(180°－C )(1－tan A tan B ) ＝－tan C (1－tan A tan B ) ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ， ∴tan A ＋tan B ＋tan C＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ＝3 3. ∵tan 2B ＝tan A tanC ， ∴tan 3B ＝33，∴tan B ＝3，B ＝60°.]3．已知sin α＋cos α＝13，α∈(0，π)，则sin α－cos αsin7π12的值为17（6－2）3 [因为sin α＋cos α＝13，所以两边平方可得：1＋2sin αcos α＝19，可得2sin αcos α＝－89. 又(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋89＝179，α∈(0，π)，且2sin αcos α＜0，可得：α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＞0，cos α＜0，从而sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝173， 又sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π3＝sin π4cos π3＋cos π4sin π3＝2＋64， ∴sin α－cos αsin7π12＝173×42＋6＝17（6－2）3.]4．已知tan α＝lg 10a ，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为 ．110或1 [∵α＋β＝π4， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，tan α＋tan β＝1－tan αtan β， 即lg 10a ＋lg 1a ＝1－lg 10a lg 1a，1＝1－lg 10a lg 1a，∴lg 10a lg 1a＝0，∴lg 10a ＝0或lg 1a＝0，解得a ＝110或a ＝1.]5．是否存在锐角α，β，使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．[解] 假设存在锐角α，β使得(1)α＋2β＝2π3，(2)tan α2tan β＝2－3同时成立．由(1)得α2＋β＝π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2tan β＝ 3.又tan α2tan β＝2－3，所以tan α2＋tan β＝3－3，因此tan α2，tan β可以看成是方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两个根，解得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，则α＝π2，这与α为锐角矛盾，所以tan α2＝2－3，tan β＝1，所以α＝π6，β＝π4，所以满足条件的α，β存在，且α＝π6，β＝π4.。
高中数学新人教B版必修4课堂测试两角和与差的正切
；—号7 2+:an 33的值为()tan 27 + tan 33A.2. tan 15 牛 tan 105 等于(B . 2 + 343o o oo o tan 60 — tan 45105=tan(60 — 45 ) + tan(45 + 60)= 1+tan 6 0 ta n45+2 3.已知 tan( a+3 = , tan5解析：选 C ■/ tan( a+ 3= -, tan52 — 1 5 —4 = _3 2^ 1= 22.1 + _x 45 4课时跟踪检测（二十五）两角和与差的正切层级学业水平达标tan 6D.1 tan 6解析：选Atan 27 + tan 33 1 — tan 27 t a n 33|Otan(27°+ 33。
)= tan 60 ° •••原式= 盘了 =申. 1—常器=-2 3,故选A.二tann= tan a+ 3 -4.在△ ABC 中，若tan Atan B>1，则△ ABC 的形状是（ A .锐角三角形 B .钝角三角形 C •直角三角形D .不能确定解析：选 A 由 tan Atan B>1，知 tan A>0, tan B>0，从而 A , B 均为锐角.口 tan A + tan B又 tan(A+ B)= 1 - tan Atan B<°，即 tan C =—tan(A + B)>。
，••• C 为锐角，故△ ABC 为锐角三角形.5.若 a= 20 °, 3= 25。
，则(1 + tan a )(1 + tan 3的值为()1. B.解析：选 A tan 15°+ tano 1，则tan （仇+亍丿等于（1 + tan a+ 3 tantan a+ 3 — tanC . 1+ 2D . 1 + 3解析：选 B •/ tan 45= tan(20 °+ 25°= tan 20 + tan 25 =仁1 — tan 20 tan 25 ° ••• tan 20 + tan 25 °= 1 — tan 20 tan 25 °/• (1 + tan a (1 + tan 3 = 1+ tan 20 + tan 25 °+ tan 20 ° tan 25 ° =1+ 1 — tan 20 tan25 + tan 20 °tan 25 = 2.16.已知 tan a=— 2, tan( a+ 3=〒，贝V tan B 的值为 ___________ 解析：将3化为（a+ 3 — a 利用两角差的正切公式求解.tan( a+ 3 — tan atan 3=tan [( a+ 3 — a= 1 + ；an( a+ 呼an a 答案：3cos 15 — sin 15 =7.cos 15 + sin 15 = 1 — tan 15 ° tan 45 — tan 151 + tan 15 = 1 + tan 45 tan 15所以 tan a+ tan B=— (1 — tan a an 3,tan a+ tan 3所以 tan(a+3==— 1.1 — tan a an 3又a, 3€, n ,所以 nV a+ 3< 2 n,故 a+ 3=〒.答案：7n 49.已知 tan( a+ 3 = 2, tan( a — 3= 3，求 tan(3 + 2"+ tan(4 + 2 3的值. 解：因为 tan( a+3= 2, tan( a — 3 = 3,,所以 tan 2 a= tan [( a+ 3+ ( a — 3)]答案：38.若 1 + tan a+ tan 3— tan a an 3= 0，且 a,卩€ 牙,n ,贝V a+ 3= 解析：因为 1 + tan a+ tan 3— tan a an 3= 0,=tan(45 °— 15°= tan 303 .解析:原式= 1+1X —2tan a+ 3 + tan (a— 3) = 2+ 31 —tan a+ 3 tan a— 3 1 —2 X3 tan 2 3= tan[( a+ 3) —( a— 3]_ tan ( aT B 厂 tan ( a — _ 2— 3 __ 1 1 + tan B tan (a — 1 + 2x 3 7所以 tan(3 + 2 a) + tan(4 + 2 3)= tan 2 a+ tan 2 B10.已知tan a, tan B 是方程x 2 + 3/3x + 4= 0的两根，且一扌＜ %＜扌，—扌a+ B 的大小.“ ,一 口 tan a+ tan B=— 3\f3, 解：由已知得，.tan a •an B= 4,••• tan a, tan B 均为负，--—7t< a+ B <0,• a+ B= — 2n层级二应试能力达标1 21.已知 tan a= 2，tan( a — 3) = — 5，那么 tan( B — 2 M 的值为()1 129 D. 9解析：选 B tan( B — 2 a) = — tan(2 a — B=一 tan [ a+ (a 一 B )]tan + tanf a — B \1 — tan a tan — B2.在△ ABC 中，tan A + tan B + 3= 3tan Atan B ，则角 C 等于()C. 解析：选 A 由已知，得 tan A + tan B = . 3(tan Atan B — 1),=-1-187.B ＜n ，求角- 2< a <0, 冗—2<B <o.又 tan( a+ B =tan a+ tan B1 — tan a an B —3 ,31 — 41 + 1x2 l +2 51 12.A.7tD.即 tan A + tan B 1 — tan Atan B,--tan(A + B)=—••• tan C = tan [ n — (A + B)] =— tan(A + B) = 3,• C __ n•-C =3.1tan14+13.已知tan a=1贝V-的值是()2□. -i1 + tan + aC . — 1D . — 3解析：选B 法一：因为tan a 1，所以tan 才+ a• (1 + tan 1 )(1 + tan 44 °= 1 + 1 — tan 1 tan 44 °+ tan 44 °tan 1 °= 2, 同理，得(1 + tan 1 )(1 + tan 44 ) = (1 + tan 2 )(1 + tan 43 )=••• = 2, •原式=222x (1 +tan 45 ) = 223. 5. A , B , C 是厶ABC 的三个内角，且 tan A , tan B 是方程3x 2— 5x + 1 = 0的两个实tan n+ tan an 1 — tan; • tan4 1 + tan a . =3 1 — tan aa所以3— 1 1+ 312.故选B.tan 7+ a — 1法二：tan +1 + tan j+a1 + tan 4+n-tan”a tan^=tan '7+B.4. (1 + tan 1 )(1 + tan 2 )° …(1 + tan 44 )(1 + tan 45 )1的值为( 22223B . 2224D . 225解析：选 B (1 + tan 1 )(1 + tan 44 ° = 1 + tan 44 + tan 1 + tan 44 °tan 1 ° ■/ tan 45 °=°+44°)=tan 1 + tan 441 — tan 1 t a n 44 tan1 + tan 4+1tan a= .故选数根，则△ ABC是___________ 三角形.(填“锐角” “钝角”或“直角”)f 5tan A + tan B = 3, 解析：由已知得1tan A tan B = 3.5丄―r、 tan A + tan B 3 5• tan(A + B)= = =-,1 —tan A tan B . 1 21 — 3在△ ABC 中，tan C = tan[ n —(A + B)] =—tan(A + B)—5<0,「.C是钝角，•••△ ABC是钝角三角形.答案：钝角6.若(tan a— 1)(tan 3- 1)= 2,贝U a+ B的最小正值为解析：(tan a—1)(tan 3—1) = 2? tan dtan 3—tana—tan 3+ 1 = 2? tan a+ tan 3= tan atan 3—1 ?tan + tan 3 ,=—1,1 —tan a tan 3n即tan( a+ 3 = —1, •- a+ 3= k n——, k € 乙4当k = 1, a+ 3取得最小正值g4答案：丁41 sin a+ 2cos a7.已知tan( + a =-3，tan( a+ 3= 5cos a—sin a(1)求tan( a+ 3 的值;(2)求tan 3 的值.1 1解：(1)因为tan( + a) = —3 所以tan a= —3sin a+ 2cos a tan a+ 2 因为tan( a+3= 5C0s a-sin a=匚石+；，—3 + 2所以tan( a+ 3= ------- --- =三.1 165+1tanf a+ 3 —tan a(2)因为tan 3=tan[( a+ 3)―刃=1 + ；an( a+pj tan a，5丄1+16 3 31所以tan 3=―=石1 —x116 38 .在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作两个锐角a, 圆相交于A, B两点，已知点A, B的横坐标分别为1, 罕.3 5 ，，它们的终边分别与单位(1)求tan( a+ ® 的值;⑵求tan a+ B —tan a2 + 2tan■的值.a解：(1)由题意，得COS a=1，cos B=牛5.3 5因为a, B为锐角，所以sin a=纠2 sin B= ^5,3 51因此tan a= 2 2, tan B= ?,tan a+ tan B 所以tan( a+3)= 1 —tan .tan B2 2 +1 1—22 X1— tan(a+ B—tan a 1 7 tan(a+ B—tan a 2+ 2tan a++ tan a+ B) tan a1 1—§X tan [( a+ B)—刃—2 X tan B—'X1—12 2 4.。
高一数学人教B版必修4学案：3.1.2 两角和与差的正弦 Word版含解析
3.1.2 两角和与差的正弦[学习目标] 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质．[知识链接]1．cos(α＋β)与cos α＋cos β相等吗？答 一般情况下不相等，但在特殊情况下也有相等的时候．例如，当α＝60°，β＝－60°时，cos(60°－60°)＝cos 60°＋cos(－60°)．2．你能结合三角函数诱导公式，由公式C α＋β或C α－β推导出公式S α－β吗？答 sin(α－β)＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－(α－β) ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π2－α＋β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－αcos β－sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin β ＝sin αcos β－cos αsin β.[预习导引]1．两角和与差的余弦公式C α－β：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.C α＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.2．两角和与差的正弦公式S α＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.S α－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.3．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＝a 2＋b 2cos(x －θ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，sin θ＝a a 2＋b 2，cos θ＝b a 2＋b 2，其中φ、θ称为辅助角，它的终边所在象限由点(a ，b )决定.要点一 利用和(差)角公式化简例1 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)． 解 (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝sin[(α＋β)＋α]－2cos (α＋β)sin αsin α＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin αsin α＝sin[(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α. 规律方法 化简三角函数式的标准和要求：(1)能求出值的应求出值． (2)使三角函数式的种数、项数及角的种类尽可能少．(3)使三角函数式的次数尽可能低．(4)使分母中尽量不含三角函数式和根式．跟踪演练1 化简：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°. 解 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝⎛⎭⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin 10°cos 60°－cos 10°sin 60°cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－1cos 60°＝－2. 要点二 利用和(差)角公式求值例2 若sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)的值． 解 ∵0<α<π4<β<3π4， ∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝513，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝⎛⎭⎫π4－β＝－45， ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋(α＋β)＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫3π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β－cos ⎝⎛⎭⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β ＝513×35－⎝⎛⎭⎫－1213×⎝⎛⎭⎫－45＝－3365. 规律方法 在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角．具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差．(2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．跟踪演练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值． 解 ∵π2<β<α<3π4， ∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. ∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β) ＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. ∴cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213－⎝⎛⎭⎫－35×513＝－3365， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝－45×1213＋⎝⎛⎭⎫－35×513＝－6365. 要点三 公式的变形应用例3 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan αtan β的值． 解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.① ∵sin(α－β)＝13，∴sin αcos β－cos αsin β＝13.② 由①，②解得sin αcos β＝512，cos αsin β＝112， ∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝512112＝5. 规律方法 本题考查了公式的变形应用．先结合所求结论特点，对已知进行变形，整体求值．而本题中化切为弦的求法更是巧妙，体会其中的解题思路．跟踪演练3 已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．解 (1)因为α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010>0， 所以0<α－β<π2. 所以sin α＝1－cos 2 α＝255， cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010. cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β)＝55×31010－255×1010＝210. (2)cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4. 例4 化简下列各式： (1)315sin x ＋35cos x ；(2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 解 (1)315sin x ＋35cos x＝65⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x ＝65⎝⎛⎭⎫cos π6sin x ＋sin π6cos x ＝65sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. (2)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋64cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤12sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＋32cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos π3＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－x sin π3 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫712π－x ＝－22sin ⎝⎛⎭⎫x －7π12. 规律方法 辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·sin(x ＋φ)可以把含sin x 、cos x 的一次式化为A sin(ωx ＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a ，b )决定，大小由tan φ＝b a确定．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的性质都要用到该公式．跟踪演练4 已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)f (x )＝－sin 2x ＋3cos 2x ＝－2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π3－cos 2x sin π3＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R . ∴T ＝2π2＝π，函数的值域为[－2,2]． (2)由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z . ∴函数的单调递增区间为[k π＋5π12，k π＋11π12](k ∈Z ).1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°的值是( )A ．－12 B.12C.32 D ．－32答案 A解析 原式＝sin 7°cos 37°－cos 7°sin 37°＝sin(－30°)＝－12. 2．在△ABC 中 ，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( ) A.255 B ．－255C.55 D ．－55答案 A解析 sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝22(cos B ＋1－cos 2B ) ＝22×⎝⎛⎭⎫1010＋31010 ＝255. 3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )的值域是________．答案 [－2,2]解析 ∵f (x )＝2⎝⎛⎭⎫12sin x －32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3， ∴f (x )∈[－2,2]．4．试用一个角的正弦(或余弦)形式表示下列各式：(1)sin α－cos α；(2)3sin α＋cos α； (3)12cos 15°＋32sin 15°；(4)3sin α＋4cos α. 解 (1)sin α－cos α＝2(22sin α－22cos α) ＝2(sin αcos π4－cos αsin π4) ＝2sin(α－π4)． (2)3sin α＋cos α＝2(32sin α＋12cos α) ＝2(sin αcos π6＋cos αsin π6) ＝2sin(α＋π6)． (3)方法一 原式＝sin 30°cos 15°＋cos 30°sin 15°＝sin(30°＋15°)＝sin 45°＝22. 方法二 原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝22. (4)3sin α＋4cos α＝5(35sin α＋45cos α) ＝5sin(α＋φ)(或＝5cos(α－θ))．其中cos φ＝35，sin φ＝45(或sin θ＝35，cos θ＝45)．1.公式C α±β与S α±β的联系、结构特征和符号规律四个公式C α±β、S α±β虽然形式不同、结构不同，但它们的本质是相同的，其内在联系为cos(α－β)――→以－β换βcos(α＋β)错误!sin(α＋β)错误!sin(α－β)，这样我们只要牢固掌握“中心”公式cos(α－β)的由来及表达方式，也就掌握了其他三个公式．对于公式C α－β与C α＋β，可记为“同名相乘，符号反”．对于公式S α－β与S α＋β，可记为“异名相乘，符号同”．2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．一、基础达标1．函数f (x )＝sin(2x ＋π6)＋cos(2x ＋π3)的最小正周期和最大值分别为( ) A ．π，1 B ．π， 2C ．2π，1D ．2π， 2答案 A解析 ∵f (x )＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝cos 2x ，∴最小正周期T ＝2π2＝π，f (x )max ＝1.2．已知0<α<π2<β<π，又sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，则sin β等于( ) A ．0 B ．0或2425C.2425 D ．0或－2425答案 C解析 ∵0<α<π2<β<π，sin α＝35，cos(α＋β)＝－45，∴cos α＝45，sin(α＋β)＝35或－35. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)·sin α＝2425或0. ∵π2<β<π，∴sin β＝2425. 3．已知cos αcos β－sin αsin β＝0，那么sin αcos β＋cos αsin β的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1答案 D解析 ∵cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0.∴α＋β＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝±1.4．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．1＋ 3D ．2＋ 3答案 B解析 f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2(12cos x ＋32sin x )＝2sin(x ＋π6)， ∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<2π3.∴f (x )max ＝2. 5．在三角形ABC 中，三内角分别是A 、B 、C ，若sin C ＝2cos A sin B ，则三角形ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．正三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 ∵sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B＝2cos A sin B ，∴sin A cos B －cos A sin B ＝0.即sin(A －B )＝0，∴A ＝B .6．化简sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α的结果是________． 答案 cos α解析 原式＝sin π6cos α＋cos π6sin α＋cos π3cos α－sin π3sin α＝cos α. 7．化简求值： (1)sin(π4－3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x )； (2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α；(3)sin 27°＋cos 45°sin 18°cos 27°－sin 45°sin 18°. 解 (1)原式＝cos[π2－(π4－3x )]cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos(π4＋3x )cos(π3－3x )－sin(π4＋3x )sin(π3－3x ) ＝cos[(π4＋3x )＋(π3－3x )]＝cos(π4＋π3) ＝cos π4cos π3－sin π4sin π3＝22×12－22×32 ＝2－64.(2)sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.(3)∵sin 27°＝sin(45°－18°)，cos 27°＝cos(45°－18°)，∴原式＝sin 45°cos 18°－cos 45°sin 18°＋cos 45°sin 18°cos 45°cos 18°＋sin 45°sin 18°－sin 45°sin 18°＝sin 45°cos 18°cos 45°cos 18°＝tan 45°＝1. 二、能力提升8．在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝513，则cos C 等于( ) A ．－3365 B.3365 C ．－6365 D.6365答案 B解析 由cos A ＝35知A 为锐角，∴sin A ＝45. 同理sin B ＝1213. ∴cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B＝45×1213－35×513＝3365. 9．函数f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)的最大值为________．答案 1解析 ∵f (x )＝sin(x ＋2φ)－2sin φcos(x ＋φ)＝sin[(x ＋φ)＋φ]－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ＋cos(x ＋φ)sin φ－2sin φcos(x ＋φ)＝sin(x ＋φ)cos φ－cos(x ＋φ)sin φ＝sin[(x ＋φ)－φ]＝sin x ，∴f (x )的最大值为1.10．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则tan αtan β的值是________． 答案 137解析 ∵⎩⎨⎧ sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23，sin (α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝15，∴⎩⎨⎧ sin αcos β＝1330cos αsin β＝730，∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝137. 11．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值． 解 因为π2<β<α<3π4， 所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2. 又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35， 所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝ 1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352 ＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. 12．已知sin α＝23，cos β＝－14，且α、β为相邻象限的角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． 解 ∵sin α＝23>0，cos β＝－14，且α，β为相邻象限的角，∴α为第一象限角且β为第二象限角；或α为第二象限角且β为第三象限角．(1)当α为第一象限角且β为第二象限角时，cos α＝53，sin β＝154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋53×154＝－2＋5312. ∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－53×154＝－2－5312＝－2＋5312. (2)当α为第二象限角且β为第三象限角时，∵sin α＝23，cos β＝－14， ∴cos α＝－53，sin β＝－154， ∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14＋⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝53－212. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝23×⎝⎛⎭⎫－14－⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－154＝－2＋5312， 综上可知：sin(α＋β)＝53－212，sin(α－β)＝－53＋212. 三、探究与创新13．已知函数f (x )＝A sin(x ＋π4) ，x ∈R ，且f (5π12)＝32. (1)求A 的值；(2)若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈(0，π2)，求f (3π4－θ)． 解 (1)∵f (5π12)＝A sin(5π12＋π4)＝A sin 2π3＝A sin π3＝32A ＝32，∴A ＝ 3. (2)由(1)知f (x )＝3sin(x ＋π4)， 故f (θ)＋f (－θ)＝3sin(θ＋π4)＋3sin(－θ＋π4)＝32，∴3[22(sin θ＋cos θ)＋22(cos θ－sin θ)]＝32， ∴6cos θ＝32，∴cos θ＝64. 又θ∈(0，π2)，∴sin θ＝1－cos 2θ＝104， ∴f (3π4－θ)＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304.。
高一数学人教B版必修4精练：3.1.3 两角和与差的正切 Word版含解析
第三章 3.1 3.1.3一、选择题1．若tan(π4－α)＝3，则cot α等于( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] ∵tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan α＝3，∴tan α＝－12，∴cot α＝－2.2．设tan α、tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 [答案] A[解析] 由已知，得tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.3．若tan28°tan32°＝m ，则tan28°＋tan32°＝( ) A ．3m B ．3(1－m ) C ．3(m －1) D ．3(m ＋1) [答案] B[解析] tan28°＋tan32°＝tan(28°＋32°)(1－tan28°tan32°) ＝tan60°(1－tan28°tan32°) ＝3(1－m )．4．tan20°＋tan40°＋3tan20°·tan40°的值为( ) A ．－ 3 B ． 3 C ．3 D ．33 [答案] B[解析] 原式＝tan60°(1－tan20°tan40°)＋3tan20°·tan40°＝tan60°＝ 3.5．已知tan α＝13，tan β＝－2，则cot(α－β)的值为( )A ．17B ．－17C ．1D ．－1[答案] A[解析] cot(α－β)＝1tan (α－β)＝1＋tan αtan βtan α－tan β＝17.故选A ．6．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)的值等于( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1 [答案] A[解析] ∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝－1，∴tan α＋tan β＝tan α·tan β－1， ∴原式＝1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2. 二、填空题7．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，α为第二象限角，则tan β＝________.[答案] －7[解析] ∵sin α＝45，α为第二象限角，∴cos α＝－35，tan α＝－43，tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝1－⎝⎛⎭⎫－431＋1×⎝⎛⎭⎫－43＝－7.8．已知tan ⎝⎛⎭⎫α－β2＝12，tan ⎝⎛⎭⎫β－α2＝－13，则tan α＋β2＝________. [答案] 17[解析] tan α＋β2＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2＋⎝⎛⎭⎫β－α2＝12＋⎝⎛⎭⎫－131－12×⎝⎛⎭⎫－13＝17.三、解答题9．求下列各式的值： (1)tan70°－tan10°＋tan120°tan70°tan10°；(2)tan50°－tan20°－33tan50°tan20°. [解析] (1)原式 ＝tan (70°－10°)(1＋tan70°tan10°)－3tan70°tan10°＝3＋3tan70°tan10°－3tan70°tan10°＝ 3.(2)tan50°－tan20°－33tan50°tan20° ＝tan(50°－20°)(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20° ＝tan30°(1＋tan50°tan20°)－33tan50°tan20° ＝33＋33tan50°tan20°－33tan50°tan20°＝33. 10．(2015·广东文，16改编)已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2 α＋sin αcos α－2cos 2α的值．[解析] (1) tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝2＋11－2＝－3， (2) sin 2αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.一、选择题1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( ) A ．17B ．7C ．－17D ．－7[答案] A[解析] 由于α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝35， ∴cos α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－34.∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1－341＋34＝17，故选A ． 2.cot70°tan (－50°)－1tan20°－tan50°的值是( )A ． 3B ．33 C ．－33D ．－ 3[答案] A[解析] 原式＝－tan20°·tan50°－1tan20°－tan50°＝－1tan20°－tan50°1＋tan20°·tan50°＝－1tan (20°－50°)＝－1－tan30°＝ 3.3．(1＋tan21°)(1＋tan22°)(1＋tan23°)(1＋tan24°)的值为( ) A ．16 B ．8 C ．4 D ．2[答案] C[解析] (1＋tan21°)(1＋tan24°) ＝1＋tan21°＋tan24°＋tan21°tan24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan21°tan24°)＋tan21°tan24° ＝1＋1－tan21°tan24°＋tan21°tan24°＝2，同理(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2， 故原式＝4.4．已知tan α、tan β是方程x 2－3x ＋4＝0的两个根，且－π2<α<π2，－π2<β<π2，则α＋β的是( )A ．π6B ．5π6C ．π6或－5π6D ．－π3或2π3[答案] B[解析] 由韦达定理得⎩⎨⎧tan α＋tan β＝3tan α·tan β＝4，∴tan α>0，tan β>0， ∵α∈(0，π2)，β∈(0，π2)，∴α＋β∈(0，π)．又tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－4＝－33，∴α＋β＝5π6.二、填空题5．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________． [答案] 17[解析] tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)·tan α＝3－21＋3×2＝17.6．已知点P (sin3π4，cos 3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan(θ＋π3)的值为________． [答案] 2－ 3[解析] ∵sin 3π4＝22，cos 3π4＝－22，∴点P 的坐标为P (22，－22)． ∴tan θ＝yx ＝－1.∴tan(θ＋π3)＝tan θ＋tanπ31－tan θtanπ3＝tan θ＋31－3tan θ＝－1＋31＋3＝2－ 3.三、解答题7．求证：tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β. [解析] ∵tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)] ＝tan (α＋β)－tan (α－β)1＋tan (α＋β)·tan (α－β)，∴tan2β[1＋tan(α＋β)·tan(α－β)] ＝tan(α＋β)－tan(α－β)，∴tan2β＋tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β ＝tan(α＋β)－tan(α－β)， ∴tan(α＋β)－tan(α－β)－tan2β ＝tan(α＋β)·tan(α－β)·tan2β.8．已知tan A 与tan(－A ＋π4)是方程x 2＋px ＋q ＝0的根，且3tan A ＝2tan(π4－A )，求p 与q 的值．[解析] 设t ＝tan A ，则tan(π4－A )＝1－tan A 1＋tan A ＝1－t 1＋t ，∴3tan A ＝2tan(π4－A )，∴3t ＝2(1－t )1＋t ，解得t ＝13或t ＝－2.当t ＝13时，有tan(π4－A )＝1－t 1＋t＝1－131＋13＝12，∴p ＝－[tan A ＋tan(π4－A )]＝－(13＋12)＝－56，q ＝tan A tan(π4－A )＝13×12＝16.当t ＝－2时，有tan(π4－A )＝1－t 1＋t ＝－3，∴p ＝－[tan A ＋tan(π4－A )]＝－[(－2)＋(－3)]＝5，q ＝tan A tan(π4－A )＝(－2)×(－3)＝6.综上可知，p ＝－56，q ＝16或p ＝5，q ＝6.9. 在锐角△ABC 中，(1)求证：tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A tan B tan C ； (2)化简：tan A 2tan B 2＋tan B 2tan C 2＋tan C 2tan A2.[解析] (1)∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ， ∴tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ．∴tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C (1－tan A tan B )＋tan C ＝－tan C ＋tan A tan B tan C ＋tan C ＝tan A tan B tan C ．(2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴B ＋C 2＝π2－A2，∵tan B ＋C 2＝tan(π2－A 2)＝cot A2.∴原式＝tan A 2(tan B 2＋tan C 2)＋tan B 2·tan C2＝tan A 2tan B ＋C 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2·tan C2＝tan A 2tan(π2－A 2)(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝tan A 2cot A 2(1－tan B 2tan C 2)＋tan B 2tan C 2＝1－tan B 2tan C 2＋tan B 2tan C 2＝1.。
2016-2017学年高中数学必修4学业分层测评 3.2.3 两角和与差的正切函数 含解析
学业分层测评（建议用时：45分钟）［学业达标]一、选择题1。
tan 51°＋tan 9°1－tan 51°tan 9°等于（)A．tan 42°B．错误!C.错误!D．－错误!【解析】原式＝tan（51°＋9°）＝tan 60°＝错误!.【答案】C2．在△ABC中,tan A＋tan B＋3＝错误!tan A·tan B，则∠C等于( ）A．错误!B．错误!C。
错误!D．错误!【解析】tan C＝－tan(A＋B）＝－错误!＝－错误!＝错误!,所以∠C＝错误!。
【答案】A3．(1＋tan 21°）（1＋tan 22°)（1＋tan 23°）(1＋ta n 24°）的值为（）A．16 B．2C．4 D．8【解析】∵（1＋tan 21°）（1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋(1－tan 21°tan 24°）tan(21°＋24°)＋tan 21°tan 24°＝1＋1－tan 21°tan 24°＋tan 21°tan 24°＝2。
同理（1＋tan 22°）(1＋tan 23°）＝2。
∴原式＝2×2＝4。
【答案】C4．已知tan（α＋β)＝错误!，tan错误!＝错误!，则tan错误!等于（）A．错误!B．错误!C。
错误!D．错误!【解析】∵α＋错误!＝（α＋β）－错误!，∴tan错误!＝tan错误!＝错误!＝错误!＝错误!.【答案】C5。
错误!的值应是（）A．－1 B．1C. 3 D．－错误!【解析】因为tan(10°＋50°）＝错误!,所以tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°·tan 10°·tan 50°，所以原式＝错误!＝－错误!。
2019_2020学年高中数学课时分层作业26两角和与差的正切(含解析)新人教B版必修4
课时分层作业(二十六) 两角和与差的正切(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1.tan 105°－1tan 105°＋1的值等于( ) A.33 B. 3 C ．－ 3D ．－33 B [tan 105°－1tan 105°＋1＝tan 105°－tan 45°1＋tan 45°tan 105°＝tan(105°－45°)＝tan 60°＝ 3.]2．已知1－tan α1＋tan α＝2＋3，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( ) A ．2＋ 3B ．1C ．2－ 3D. 3C [∵1－tan α1＋tan α＝2＋3， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝12＋3＝2－ 3.] 3．已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4B [tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.]4．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β等于( )A ．2B ．1 C.12 D ．4C [∵tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝4⇒tan αtan β＝12.]5．已知β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( ) A.23 B.4211 C.3211 D.324B [因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β＝324－241＋324×24＝4211，故选B.] 二、填空题6．若α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. 1 [由已知得：tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵0<α<π2， ∴－π4<π4－α<π4. 又∵0<β<π2， ∴β＝π4－α， ∴α＋β＝π4. ∴tan(α＋β)＝1.]7．已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________． π4[tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4.] 8．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A tan C ，则B ＝________.π3 [tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3.] 三、解答题9．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝22， (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值．[解] (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22 ＝－ 2.(2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－(－2)×1 ＝22－3.10．已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值．[解] 由题意，有⎩⎨⎧ tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0)．又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3， 所以α＋β＝－2π3. [等级过关练]1．已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( ) A ．－ 3 B. 3C ．－33 D.33C [∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－32，∴tan α＝－33.tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α ＝－3＋331＋(－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－33.]2．在锐角△ABC 中，tan A ·tan B 的值( )A ．不小于1B ．小于1C ．等于1D ．大于1D [∵在锐角三角形ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，C ＝π－(A ＋B )，tan A >0，tan B >0.由tan C ＝－tan (A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B >0得tan A ·tan B >1.] 3．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________.13 [原式＝tan 45°－tan 15°3(1＋tan 45°·tan 15°)＝13tan(45°－15°)＝13.]4．(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°)________． 223 [(1＋tan 1°)(1＋tan 2°)(1＋tan 3°)…(1＋tan 44°)(1＋tan 45°) ＝[(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)]…[(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)](1＋tan 45°) ＝2×2×2×…×223个2＝223.]5．是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．[解] 由①得α2＋β＝π3，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2·tan β＝ 3.将②代入上式得tan α2＋tan β＝3－ 3.因此，tan α2与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根．解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4，∴这样的α不存在．故只能是tan α2＝2－3，tan β＝1.由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4.故存在锐角α＝π6，β＝π4使①②同时成立．。
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高中数学人教b 版高一必修4学业分层测评26_两角和与差的正切 含解析
学业分层测评(二十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知1＋tan A 1－tan A ＝55
，则cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝( ) A.－5
B. 5
C.55
D.－55 【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝55
， ∴cot ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝1tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B
2.已知α＋β＝3π4
，则(1－tan α)(1－tan β)＝( ) A.1
B.2
C.3
D.4 【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】 B
3.已知β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( ) A.23 B.4211
C.3211
D.324
【解析】 因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24
，又因为tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β
＝324－241＋324×24
＝4211，故选B. 【答案】 B
4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( )
A.π3
B.π4
C.π6
D.2π3
【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴
tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3， ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，
∴C ＝π3. 【答案】 A
5.若α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( ) A.π3
B.π4
C.π6
D.π8 【解析】 由题意，0<β<α<π2
， 因为tan(α－β)＝43－171＋43×17
＝1， 所以α－β＝π4
. 【答案】 B
二、填空题
6.设tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14
，则tan ()α＋2β的值是________. 【解析】 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14
， ∴tan β－tan π41＋tan βtan π4
＝tan β－11＋tan β＝14， ∴tan β＝53
， tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝25＋531－25×53
＝315. 【答案】 315
7.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34
，且β∈(0，π)，则β的值为________. 【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α
＝7－341＋7×34＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 【答案】
π4 8.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B ＝________.
【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B
，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3
. 【答案】 π3
三、解答题
9.已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＝2，tan ⎝
⎛⎭⎪⎫β－π3＝22， (1)求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值.
【解】 (1)tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋β－π4 ＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪
⎫β－π31－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋α·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋π4 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－(－2)×1 ＝22－3.
10.已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2，求α＋β的值. 【解】 由题意，有⎩
⎪⎨⎪⎧
tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4， tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，π2， 所以α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，α＋β∈(－π，0). 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3
， 所以α＋β＝－2π3
. [能力提升]
1.昌高一期末)已知sin α＝12
，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值为( )
A.－ 3
B. 3
C.－33
D.33
【解析】 ∵α为第二象限角，
∴cos α<0，cos α＝－
32， ∴tan α＝－33
. tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α ＝－3＋3
31＋(－3)·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－33＝－33. 【答案】 C
2.设tan α，tan β是一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，则1tan (α＋β)的值为( )
A.b ＋c a
B.b －c a
C.c －a b
D.a －c b
【解析】 由题意得tan α＋tan β＝－b a ，tan α·tan β＝c a
， 所以1tan (α＋β)＝1－tan α·tan βtan α＋tan β
＝1－
c
a －
b a ＝
c －a b . 【答案】 C
3.计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°
＝________. 【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3(1＋tan 45°·tan 15°) ＝13
tan(45°－15°)＝13. 【答案】 13 4.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2
·tan β＝2－3同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由.
【解】 由①得α2＋β＝π3
， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β＝tan α2＋tan β1－tan α2
·tan β＝ 3. 将②代入上式得tan α2
＋tan β＝3－ 3. 因此，tan α2
与tan β是一元二次方程x 2－(3－3)x ＋2－3＝0的两根.解之，得x 1＝1，x 2＝2－ 3.
若tan α2＝1，由于0＜α2＜π4
， ∴这样的α不存在.
故只能是tan α2
＝2－3，tan β＝1. 由于α，β均为锐角，∴α＝π6，β＝π4
. 故存在锐角α＝π6，β＝π4
使①②同时成立.。