工程力学 第12章压杆稳定
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压杆稳定(工程力学课件)
压杆稳定的概念
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
桁架结构
在轴向压力作用下，
短粗压杆 只要满足杆受压时的强度
条件，就能正常工作
细长压杆
破坏形式呈现出与强度问题 截然不同的现象
FN [ ]
A
压杆失稳
细长压杆:
临界压力或临界力ห้องสมุดไป่ตู้Fcr
F Fcr F Fcr
稳定的平衡 不稳定的平衡
压杆失稳
在轴向压力 F 由小逐渐增大 的过程中，压杆由稳定的平衡 转变为不稳定平衡，这种现象 称为压杆失稳。
首先判断压杆的失稳方向
(1)两端约束 1
(2)截面形状
Fcr （2 El）I2
Iz
hb3 12
140 803 12
597.3104
mm4
Iy
bh3 12
80 1403 12
1829.3104
mm4
Fcr1
2 EImin
(l)2
2 10 103 MPa 597.3104 (1 3103 mm)2
mm4
65 435 N 65.44 kN
（N、mm、MPa）
【例 1】 细长压杆，两端为球形铰支，
矩形横截面, E 10 GPa ，求其临界力。
Fcr （2 El）I2
长度影响
【例 2】细长压杆，上端约束为球形铰支，
下端约束在 xOz平面内可视为两端铰支，
Fcr （2 El）I2
在 xOy 平面内可视为一端铰支、一端固定
M
Wz
[ ]
81.67
πD4 i I 64 D 40mm
A πD2 4 4
l 1 3103 75
i
40
查表： 0.54
81.67
工程力学——压杆稳定
Pcr 2 EI 2E I 2E 2 2E cr i 2 2 2 2 A ( l ) A ( l ) A ( l )
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
欧拉公 式
其中：i
I — 截面的惯性半径；为截 面的几何性质； A
＝
l
i
称为压杆的柔度（长细 比）；反映压杆的柔软 程度。
15N
32 mm
1mm
第一节
压杆稳定的概念
FP<FPcr :直线平衡形式（稳定平衡）
在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除 去后，能够恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡构形是 稳定的。 FP>FPcr :弯曲平衡形式(不稳定平衡) 在扰动作用下，直线平衡形式转为弯曲平衡形式，扰动除去 后，不能恢复到直线平衡形式，则称原来的直线平衡形式是不稳 定的。
F
F
1.
计算柔度判断两杆的临界荷载
5m
d
9m
d
d 4 64 d I i 4 d 2 4 A 1 5 L a 125 d i 0 .5 9 4 112.5 b d 4
(a)
(b )
a b
1
0.5
2. 计算各杆的临界荷载
b a P 101
(n ) EI Fcr 2 L Fcr
n 1
kL sin 2
A
适用条件： •理想压杆（轴线为直线，压力 与轴线重合，材料均匀） •线弹性，小变形 •两端为铰支座
y sin
x 挠曲线中点的挠度 l
挠曲线为半波正弦曲线
由此得到两个重要结果：
临界载荷
(a)
z
b
h
正视图：
秦飞编著《材料力学》第12章 压杆的稳定性
27
12.4 欧拉公式的适用范围与临界应力总图
(3) 临界应力总图
如果将上式中的σs换成脆性材料的抗拉强度σb，即得到由脆 性材料制成压杆的λ0值。
不同材料的a、b值以及λ0、 λp的值
秦飞 编著《材料力学》 第12章 压杆的稳定性
28
12.4 欧拉公式的适用范围与临界应力总图
(3) 临界应力总图
x 0 : w 0, w 0 x l : w 0, w 0
将上述条件代入上式，得到联立方程
a
sin
kl
b
M0 0 Fcr
ak 0 b coskl M
0
0
Fcr
ak coskl bk sin kl 0
秦飞 编著《材料力学》 第12章 压杆的稳定性
（1）计算在F力作用下各杆的轴力，由A点的静力平衡方程得
FN1
F
cos 60
1 2
F
F 2FN1
秦飞 编著《材料力学》 第12章 压杆的稳定性
20
12.3不同杆端约束下细长压杆的临界载荷
例题 12-2
FN2 F sin 60
3F 2
F
2 3
FN2
1.15FN2
（2） 用欧拉公式计算各杆的临界力，确定结构的临界载荷
秦飞 编著《材料力学》 第12章 压杆的稳定性
24
12.4 欧拉公式的适用范围与临界应力总图
(2) 欧拉公式的适用范围
以Q235钢为例，其弹性模量E=200 GPa, 比例极限σp=200MPa ， 得Q235钢的λp值为
p π
E π
p
200109 Pa 200106 Pa
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
实验设备与步骤
实验设备：压杆实验装置、压力表、砝码、各 种不同材料和截面形状的细长杆。
01
1. 准备不同材料和截面形状的细长杆，将 其固定在压杆实验装置上；
03
02
实验步骤
04
2. 在杆的一端施加砝码，逐渐增加压力， 观察压杆在不同压力下的失稳现象；
3. 记录不同条件下（如不同材料、截面形 状、长度、直径等）压杆的失稳载荷；
析。
欧拉公式与临界应力
欧拉公式是计算细长压杆临界应力的公式，其形式为： Pcr = π²EI/L²。
输标02入题
其中，Pcr是临界力，E是弹性模量，I是压杆横截面的 惯性矩，L是压杆长度。
01
03
临界应力是衡量压杆稳定性的重要指标，当压杆所受 应力小于临界应力时，压杆处于稳定状态；当所受应
力大于临界应力时，压杆将发生屈曲失稳。
04
通过欧拉公式可以计算出不同长度和形状的细长压杆 的临界应力。
不同长度压杆的稳定性分析
对于不同长度的压杆，其稳定性分析方法有所不同。
对于细长压杆，可以采用欧拉公式进行计算；对于短粗杆，需要考虑剪切变形和弯 曲变形的影响，可以采用能量法或有限元法进行分析。
在进行稳定性分析时，需要考虑压杆的实际工作条件和载荷情况，以确定合理的分 析方法和参数。
起重机的吊臂、支腿等部位需要承受 较大的压力和弯矩，压杆稳定问题直 接关系到设备的安全性和稳定性。
发动机支架
发动机支架需要承受较大的振动和压 力，压杆稳定问题对于保证发动机的 正常运行至关重要。
其他领域的压杆稳定问题
航空航天
飞机和火箭的结构需要承受较大的气动压力和加速度，压杆稳定问题直接关系到飞行器的安全性和稳定性。
工程力学中压杆稳定PPT课件
端约束情况下的相当长度 l。
29
两杆均为细长杆的杆系如图示，若杆件在ABC面内 因失稳而引起破坏，试求载荷F为最大值时的θ角（设 0＜θ＜π／2）。设AB杆和BC杆材料截面相同。
细长压杆的失稳往往产生很大的变形甚至导致 整个结构破坏。
16
1875年俄国开伏达河上同名桥，在安装完毕后， 仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈 曲而毁坏。
17
1925年2月13日，修复后的莫济里桥在试车时出现 了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上，人 们才可看到斜杆失稳后的情景。
小球在不同 的位置状态 保持平衡状 态的能力不 同。
13
如何判断压杆的稳定与不稳定?
F<Fcr :在扰动作用下，
直线平衡构形转变为弯曲
平衡构形，扰动除去后， 能够恢复到直线平衡构形，
直 线
则称原来的直线平衡构形
平
是稳定的。
衡
构
形
弯弯 曲曲 平平 衡衡 构构 形形
14
如何判断压杆的稳定与不稳定?
F>Fcr :在扰动作用下，
表中将求临界力的欧拉公式写成了同一的形式：
Fcr
π 2 EI
l 2
式中， 称为压杆的长度因数，它与杆端约束情况有关； l
称为压杆的相当长度(equivalent length)，它表示某种杆端约束
情况下几何长度为l的压杆，其临界力相当于长度为 l 的两端
铰支压杆的临界力。表13-1的图中从几何意义上标出了各种杆
1
§13-1 压杆稳定性的概念
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆 压杆
2
工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆
液压缸顶杆
3
工程力学第12章 压杆的稳定问题
第12章 压杆的稳定问题
轴向压缩杆的强度条件为
σmax
FN max [σ ] A
即认为杆的失效都是由于强度不足引起的。事实上， 这种考虑仅对粗短的压杆才有意义。对于细长的压杆。 在其破坏之前，就已不能保持其原有的直线形状的平 衡，即丧失稳定性。构件一旦失稳，可能导致整个结 构不能安全工作。
12.1 稳定性的概念
σcr
σP
σcr
π2 E
2
2
1
12.3.2 中小柔度杆的临界应力 1.直线公式
σcr a b s a s 或 b
令
a s s b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出. s 是相应屈服极限的柔度.
s p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），反映了压杆的长度l和杆端
约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. 越大， 相应的 cr 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别
计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr 2 EI Fcr ( l )2
l 为相当长度 为压杆的长度因数，
讨论： （1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 p π π 100 6 σp 200 10
当 ＜p 但大于某一数值 s 的压杆不能应用欧拉公式，此 时需用经验公式.
轴向压缩杆的强度条件为
σmax
FN max [σ ] A
即认为杆的失效都是由于强度不足引起的。事实上， 这种考虑仅对粗短的压杆才有意义。对于细长的压杆。 在其破坏之前，就已不能保持其原有的直线形状的平 衡，即丧失稳定性。构件一旦失稳，可能导致整个结 构不能安全工作。
12.1 稳定性的概念
σcr
σP
σcr
π2 E
2
2
1
12.3.2 中小柔度杆的临界应力 1.直线公式
σcr a b s a s 或 b
令
a s s b
式中：a 和 b是与材料有关的常数，可查表得出. s 是相应屈服极限的柔度.
s p 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式.
i 为压杆横截面对中性轴的惯性半径.
称为压杆的柔度（长细比），反映了压杆的长度l和杆端
约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界应力的影响. 越大， 相应的 cr 越小，压杆越容易失稳. 若压杆在不同平面内失稳时的支承约束条件不同，应分别
计算在各平面内失稳时的柔度，并按较大者计算压杆的临界应
力 cr
π 2 EI Fcr 2 l
=1 = 0.7 = 0.5 =2
π 2 EI Fcr (0.5l )2 π 2 EI Fcr 2 EI Fcr ( l )2
l 为相当长度 为压杆的长度因数，
讨论： （1）相当长度 l 的物理意义 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长
可取 E=206GPa，p=200MPa，得
E 206 109 p π π 100 6 σp 200 10
当 ＜p 但大于某一数值 s 的压杆不能应用欧拉公式，此 时需用经验公式.
工程力学第12章压杆稳定
A 0 sinkl 0
kl n l F
EI
F n2 2EI
l2
2EI
Fcr l 2
临界力 Fc r 是杆微弯下的最小压 力，故只能取n=1。
23
12 压杆的稳定性分析
Fcr
2 EI
L2
两端铰支压杆临界力 的欧拉公式
Fcr 与杆长l2成反比， 杆长的影响很大；
2 EI y
L22
=0.7，
bh3 Iz 12 ,
③、压杆的临界力 Fcr min( Pcry ,
Fcrz
2EI z
(0.7L1 )2Pc源自z )3112 压杆的稳定性分析
例12-3-3 图示结构，两根直径为d的圆杆，上下两端分别与
刚性板固结，在总压力p作用下，求最小的临界载荷。
3
12 压杆的稳定性分析
大型桥梁的强度 刚度 稳定问题
4
12 压杆的稳定性分析
5
12 压杆的稳定性分析
一、问题的提出
在轴向拉压杆的强度计算中 ，认为杆的失效是由于强度 不足而引起的。
但在工程中，当细长杆承受轴 向压力时，作用力远未达到强 度破坏时的数值，杆就变弯而 失效了。
丧失稳定而失效
6
12 压杆的稳定性分析
1
12 压杆的稳定性分析
第十二章 压杆的稳定
12.1 压杆稳定性概念 12.2 两端铰支细长压杆的临界力 12.3 其他约束条件下细长压杆的临界力 12.4 压杆的临界应力总图 12.5 压杆的稳定性校核
22
12 压杆的稳定性分析
12.１ 压杆稳定性概念
工程构件的强度、刚度和稳定问题 强度—构件抵抗破坏的能力。 刚度—构件抵抗变形的能力。 稳定性—构件保持原有平衡状态的能力。
12 压杆稳定(第二版)详解
64
64
2.9 106 m4
FN
36
A
(D2
d2)
2
(1002
802 ) 106
2.8 103 m2
4
4
i
I A
2.9 10 6 2.8 10 3
0.032 m
∵ 两端铰支 =1
l 13.5 109
i 0.032
而 p
2E p
2 200 109
200 106
C2 0,
C1 0,
k
l
w
C1
sin
l
x
半波正弦曲线
wm ax wl 2 C1
§12.3 其他约束条件下细长压杆的临界力
一、其它约束条件下细长压杆临界力的欧拉公式
方法⑴：利用挠曲线近似微分方程，结合压杆的边 界条件进行推导，同§13-2两端铰支的情况； 方法⑵：将其他不同约束条件下细长压杆的挠曲线 形状与两端铰支细长压杆的挠曲线形状进行对比。
s=240MPa，E=206GPa，稳定安全系数为[n]st=3。试
求许可荷载[F]。
F
解：（1）以杆ACB为研究对象，A
C
B
求CD杆轴向压力与F的关系
2m
3m
3.5m
MA 0, F 5 FN 2 0
F
2 5
FN
（2）判断杆的类型
D
XA A
C
F
B
I (D4 d 4) (1004 804 ) 1012 YA
F
l
F
解： ∵该连杆为两端铰支细长压杆
Fcr
2EI (l)2
2E
(1 l)2
d 4
64
3Ed4
《工程力学》压杆稳定
粗短杆在轴向压力的作用下
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
塑性材料的低碳钢短圆柱 被压扁； 铸铁短圆柱 脆断；
2、工程中的某些细长杆在轴向压力的作用下
表现出与强度完全不同的失效形式；
细长竹片受压时
开始轴线为直线，接着必被压弯，发生较大的弯曲变形； 最后被折断；
两端承受压力的细长杆:
当压力超过一定的数值时，压杆会由原来的直线平衡形式, 突然变弯，致使结构丧失承载力；
实际使用的压杆
轴线的初曲率、压力的偏心、材料的缺陷和不均匀 等因素总是存在的，为非理想受压直杆。
４、Euler解、精确解、实验结果的比较：
F
B
C 精确解
D
E
A F
Fcr
G
A’ Euler解 H 实验结果
δ
O
截面惯性矩 临界力
269103 N 269kN
§９-３其他支座条件下细长压杆的临界压力
.
§９-1 压杆稳定的概念 §９-2 两端铰支细长压杆的临界压力 §９-3 其他支座条件下压杆的临界压力 §９-4 压杆的临界应力 §９-5 压杆的稳定校核 §９-6 提高压杆稳定性的措施
§９-1 压杆稳定的概念 1、杆件在轴向拉力的作用下：
塑性材料：工作应力达到屈服极限时出现屈服失效； 脆性材料： 工作应力达到强度极限时断裂；
2.0 l )2
2 EI
Fcr ( 1.0 l )2
Fcr
(
2 EI
0.7 l )2
两端固定
Fcr
2 EI ( l )2
Fcr
2 EI
( 0.5 l )2
欧拉公式普遍形式
长度系数
l 相当长度
2
1
建筑力学12压杆稳定
第 二 篇 材 料 力 学
6
12.1
12.1.2
压杆稳定的概念
压杆的稳定平衡
第 二 篇 材 料 力 学
为了研究细长压杆的失稳过程，取一细长直杆， 在杆端施加一个逐渐增大的轴向压力P(图12.2(a))。当 力P不大时，压杆保持直线平衡状态。这时，如果给 杆加一横向干扰力Q，杆便发生微小的弯曲变形，当 去掉干扰力后，杆经过若干次摆动，仍恢复为原来的 直线形状(图12.2(b))，杆件原来的直线形状的平衡状 态称为稳定平衡。当压力P超过某一值时，杆在横向 力干扰下发生弯曲，当除去干扰力后，杆就不能恢复 到原来的直线形状，而在弯曲状态下保持新的平衡(图 12.2(c))，此时杆件原来的直线形状的平衡状态称为不 稳定平衡。
第 二 篇 材 料 力 学
24
12.2
临界力和临界应力
【解】 (1) 计算柔度，判断失稳平面 连杆在xy平面内失稳时，中性轴为z轴，连杆 两端可简化为铰链，由表12.1查得长度系数μ=1，则
第 二 篇 材 料 力 学
连杆在xz平面内失稳时，中性轴为y轴，连杆 两端可视为固定端，由表12.1查得长度系数μ=0.7，则
压杆的稳定计算
第 二 篇 材 料 力 学
44
12.3
(1) 第一次试算 设φ1=0.5，则
压杆的稳定计算
【解】 一端固定，一端自由的柱，长度系数μ=2。
第 二 篇 材 料 力 学
由型钢表选择18号工字钢。由于Iy<Iz，失稳将在以y轴 为中性轴方向发生，所以i=iy。查型钢表得
45
12.3
压杆的稳定计算
第 二 篇 材 料 力 学
或改写为以柔度表达的形式
式中λp是与材料比例极限相对应的柔度。
材料力学第十二章压杆的稳定
Pcr
=
π 2 EI (µL)2
= π 2EI
L2e
- - - - Euler formula
where : Le = µ L - - effective length;
µ - - coefficient of length concerned with boundary conditions
12-2 Limitation of the Euler Formulas and Slenderness
3. Stability
n=Pcr/Pmax=406/42=9.7 >nallow=8
Being in stable
12-3 提高压杆稳定性的措施
●尽量减小压杆长度 对于细长杆,其临界载荷与杆长平方成反比。因此,减小杆长可以显著
地提高压杆承载能力。在某些情况下,通过改变结构或增加支点可以达到 减小杆长、提高压杆承载能力的目的。例如,图a、b所示的两种桁架,不难 分析,两种桁架中的杆①、④均为压杆,但图b中的压杆承载能力要远远高 于图a中的压干杆。
Find the shortest length L for a steel
column with pinned ends having a cross-sectional area of 60
by 100 mm, for which the elastic Euler formula applies. Let
●合理选用材料
在其它条件均相同的情形下,选用弹性模量E数值大的材料,可以提高大 柔度压杆的承载能力,例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界 载荷。但是,普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不 大。因此,对于细长杆,若选用高强度钢对压杆临界载荷影响甚微,意义不大, 反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例 极限σP,和屈服强度σYP有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
《工程力学压杆稳定》课件
压杆的应用案例
建筑
机械
压杆广泛应用于建筑领域，提供 结构稳定和支撑。
在机械工程中，压杆用于连接零 部件和传递力量。
通过案例演示，加深对压杆稳定的理解和应用。
桥梁
桥梁结构中的压杆可以增加桥梁 的稳定性和承重能力。
压杆稳定的条件
压杆稳定是杆件不发生屈曲的状态，包括杆件的截面形状、材料性质、长度等因素。
压杆的计算方法
1
确定杆件的受力状态
根据杆件受力情况进行分析。
2
计算杆件的临界压力
使用适当的公式计算杆件的临界压力。
3
判断是否稳定
根据计算结果判断杆件是否稳定。
压杆稳定的公式有等弯曲时压杆稳定公式和弯矩影响时压杆稳定公式。
《工程力学压杆稳定》 PPT课件
以图文并茂的方式介绍《工程力学压杆稳定》，让你轻松学习压杆的定义、 分类、稳定条件、计算方法和应用案例。
目录
1. 压杆的定义和分类 3. 压杆的计算方法
2. 压杆稳定的条件 4. 压杆的应用案例
压杆的定义和分类
压杆是指受到力作用的细长构件，可分为圆杆、方杆、角杆等多个分类。
材料力学 第十二章 压杆稳定
∴安全
【例12-7】图示支架，AC为圆木杆，直径d=150mm，容许应 力[]=10MPa。试确定容许荷载[P]。
B
45
A
2m
P
C
【解】
A d 2 / 4 4 l 4 2 2 l l 75 4 I d / 64 d 0.15
查表得： 0.518
Pcr cr A 182.5 106 20 30106 [ P] [ N ] 103 36.5kN nw nw 3
【例12-6】图示为型号22a的工字钢压杆，材料A3钢。已知 压力P=280kN，容许应力[]=160MPa，试校核压杆的稳定性。 【解】由型钢表查得22a工字钢的 iy 23.1mm, A 42cm2
二、临界应力总图 压杆的临界应力与柔度的关系曲线，即cr－ 曲线，称
为临界应力总图。
临界应力总图
cr
s
P
cr s
cr a b
2E cr 2
o
s
P
§12–5 压杆稳定的实用计算 可与建立压杆强度条件类似建立压杆的稳定条件：
N cr A nw Pcr 式中nw为稳定安全系数。 将 cr 代入上式，得 A N
(2) P Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 (3) P Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位
压杆于直线状态由稳定平衡过度到不稳定平衡称为失去 稳定，或简称失稳。
压杆处于稳定平衡与不稳定平衡的临界状态时，其轴向
压力称为压杆的临界力，用Pcr表示之。
压杆工作时决不允许失稳。
P 【解】 P
l
E
《压杆稳定教学》课件
临界载荷法：通过临界载荷 计算，判断系统稳定性
稳定性图解法：通过稳定性 图解，判断系统稳定性
压杆稳定实验方法
第五章
实验目的
验证压杆稳定理论 掌握压杆稳定实验的基本操作 学习压杆稳定实验数据分析方法 提高压杆稳定实验的实践能力
实验原理
压杆稳定实验是研究压杆在受力作用下的稳定性问题
实验原理基于欧拉-伯努利梁理论，通过测量压杆在不同载荷下的变形和应力分布，分析 压杆的稳定性
第二章
课件背景
压杆稳定是工程力学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解压杆稳定的原理和应用 课件包括理论讲解、实例分析、习题练习等环节 课件适用于工程力学、土木工程等专业的学生
教学目标
掌握压杆稳定的 基本概念和原理
学会分析压杆稳 定问题
掌握压杆稳定计 算的基本方法
提高学生的工程 实践能力
适用对象
工程力学专业的学生
结构工程专业的学生
土木工程专业的学生
机械工程专业的学生
相关领域的研究人员 和工程师
内容结构
压杆稳定理 论基础
压杆稳定设 计方法
压杆稳定分 析方法
压杆稳定实 验与验证
压杆稳定实 例分析
压杆稳定发 展趋势
压杆稳定基本概念
第三章
压杆定义
压杆：承受轴向压力的杆件 压杆的种类：直杆、曲杆、斜杆等 压杆的受力：轴向压力、剪切力、弯矩等 压杆的稳定性：压杆在受力作用下的稳定性能，包括临界载荷、临界应力等。
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汇报人：PPT
案例总结与启示
案例背景：某建筑工程中，压杆稳定性问题 案例分析：通过理论分析和实验验证，确定压杆稳定性的影响因素 案例启示：在实际工程中，应充分考虑压杆稳定性的影响因素，确保工程安全 案例应用：在工程设计中，采用压杆稳定性分析方法，提高工程安全性能
理论力学 第十二章 压杆稳定
2
L2
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的计算公式：欧拉公式
挠曲线方程为
w
kl sin 2
sin kx Asin kx
πx 当 kl π 时， w sin 挠曲线为半波正弦曲线. l
2 其他支座条件下细长压杆的临界压力
其他约束类型：
两端铰支
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定
a1 , b1
是与材料性能有关的常数。
抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的 中柔度压杆。
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：如图所示圆截面压杆， E=210GPa，σp=200MPa， σs =235MPa ,σcr=310-1.12λ(MPa) 1.分析哪一根压杆的临界载荷 比较大； 2.已知：d =160 mm。 求：二杆的临界载荷
第十二章
压杆稳定
§12–1 概述
一、引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1 mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
临界状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
稳 定 平 衡
对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力:
L2
——两端铰支细长压杆的临界载荷 的计算公式：欧拉公式
挠曲线方程为
w
kl sin 2
sin kx Asin kx
πx 当 kl π 时， w sin 挠曲线为半波正弦曲线. l
2 其他支座条件下细长压杆的临界压力
其他约束类型：
两端铰支
一端自由，一端固定 一端铰支，一端固定
a1 , b1
是与材料性能有关的常数。
抛物线公式适合于结构钢与低合金钢等制做的 中柔度压杆。
四、注意问题：
1、计算临界力、临界应力时，先计算柔度，判断所用公式。 2、对局部面积有削弱的压杆，计算临界力、临界应力时， 其截面面积和惯性距按未削弱的尺寸计算。但进行强度 计算时需按削弱后的尺寸计算。
例：如图所示圆截面压杆， E=210GPa，σp=200MPa， σs =235MPa ,σcr=310-1.12λ(MPa) 1.分析哪一根压杆的临界载荷 比较大； 2.已知：d =160 mm。 求：二杆的临界载荷
第十二章
压杆稳定
§12–1 概述
一、引言
第二章中，轴向拉、压杆的强度条件为 σmax
例如：一长为300mm的钢板尺，横截面尺寸为 20mm 1 mm.钢的许用应力为[]=196MPa.按强度条件计算得钢板尺所 能承受的轴向压力为 [F] = A[] = 3.92 kN 实际上，其承载能力并不取决轴向压缩的抗压强度，而是 与受压时变弯有关.当加的轴向压力达到40N时，钢板尺就突然 发明显的弯曲变形，丧失了承载能力.
临界状态
关键
确定压杆的临界力 Fcr
稳 定 平 衡
对应的
过 度
不 稳 定 平 衡
压力
临界压力:
材料力学-12压杆稳定
=λs
σ cr =a−bλ≤σ s
λs<λ<λP 的杆为中柔度杆，其临界应力用经验公式求。
②σS<σ 时：σ cr =σ s
λ<λS
的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
③临界应力总图
σ cr
σS
σ cr =a−bλ
σP
σ = π 2E
cr
λ2
λs =σs −a
b
λP = π 2E
σ P
λ=µL
i
P
∴ kL=2nπ
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
所以，临界力为：
kL=2π
Pcr
=
4π 2EI
L2
=
π 2EI
(L/2)2
µ = 0.5
例2 求下列细长压杆的临界1
L2
解：①绕
y 轴，两端铰支：
µ=1.0，
I
y
=b3h 12
,
b
Pcry
π
=
2 EI L22
y
=π
2×4.17×200 (0.7×0.5)2
=67.14kN
L L
z
y
图(b)
图(a)
(45×45× 6) 等边角钢
图(b)
Imin =I z =3.89×10−8 m4
Pcr =π(2µI2mli)n2E
=π
2×0.389×200 (2×0.5)2
=76.8kN
§12–3 超过比例极限时压杆临界应力
2.抛物线型经验公式
①σP<σ<σs 时：
σ cr =a1−b1λ2
我国建筑业常用：
σ cr
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第一节
问题思考：
压杆稳定的概念
1.什么是失稳？ 2.如何提高受压构件的稳定性？ 3.从力学的角度分析模板支架坍塌的 技术原因。
第一节
一.压杆稳定的概念
压杆稳定的概念
1.失稳——在一定轴向压力作用下，细长直杆突然丧失 其原有直线平衡形态的现象。 2.压杆稳定——细长压杆具有保持其原有直线平衡形态的能力。
稳定平衡
不稳定平衡
G
G
N
N
第一节
压杆稳定的概念
3.受压杆件平衡状态分析
P
>
当P< Pcr时，平衡是稳定的； 当P≥Pcr时，平衡是不稳定的。
压杆的稳定性——是指细长压杆在轴向力作用下 保持其原有直线平衡状态的能力。
第二节
1.临界力的欧拉公式
临界力的欧拉公式
二．影响受压构件稳定性的因素
2 EI P cr ( l ) 2
一端固定，一端铰支时的长度系数μ=0.7 临界力为：
2 EI 2 26 109 781.3 106 P cr 11365 kN 2 2 (l ) (0.7 6)
第三节
一.压杆的稳定条件
Pcr P Pcr Kw
压杆的稳定计算
Kw ——稳定安全系数， 随 λ 而变化。
E cr 2
2
式中：λ 称为压杆的柔度或细长比，
l i
λ综合反映了杆长、约束条件、截面尺寸和形状对临界应力的影响。
i为惯性半径：
i
I A
第二节
临界力的欧拉公式
3.欧拉公式的适用范围
欧拉公式的适用范围在弹性范围内，即临界应力 不超过材料的比例极限。
2E cr 2 ≤
工程力学
第十二章
压杆稳定
主要内容
第一节 压杆稳定的概念 第二节 临界力的欧拉公式 第三节 压杆的稳定计算
第一节
压杆稳定的概念
昆明在建新机场立交桥垮塌事故
2010年1月3日，云南建工集团市政公司承建的昆明 新机场配套引桥工程，发生支架垮塌事故，事故共 造成7人死亡 ，26人轻伤，8人重伤。
第一节
P 300 103 127.1MPa A 23.6 102
0.81160 128MPa
因σ＜φ【σ】，所以支柱满足稳定性条件。
第一节
压杆稳定的概念
历史上的失稳事件
1.1891年瑞士一座长 42 m 的桥，当列车通过时， 因结构失稳而坍塌，12 节车厢中的 7 节落入河 中，200 多人死亡。 2.1907 年加拿大魁北克省圣劳伦斯河上的钢结构大 桥，在施工中，由于桁架中一根受压弦杆的突然 失稳，造成了整个大桥的倒塌，九千吨钢结构变 成了一堆废铁，在桥上施工的 86 名工人中有 75 人丧生。 3.1925 年原苏联的莫兹尔桥和 1940 年美国的塔 科马桥的毁坏，也都是由压杆失稳引起的重大工 程事故。
cr
Kw
cr
折减系数：
cr
压杆稳定条件
第三节
二.压杆的稳定计算
压杆的稳定计算
P 压杆的稳定条件： A
P A
稳定条件三个应用： （1）已知压杆的材料、杆长、截面尺寸、杆端的约束条件 和作用力，校核杆件是否满足稳定条件。 （2）已知压杆的材料、杆长和杆端的约束条件，用试算法 选择压杆截面尺寸。 （3）若已知压杆的材料、杆长、杆端的约束条件，截面的形状 与尺寸，求压杆所能承受的许用压力值
第三节
压杆的稳定计算
查表7-2-1，得： 当 λ = 60 时， φ= 0.842 当 λ = 70 时， φ= 0.789 用直线插入法确定 λ = 66 时： 0.842
66 60 (0.842 0.789) 70 60 0.842 0.032 0.81
校核稳定＜性：
64
(102 4 86 4 ) 262 10 4 (mm 4 )
A
4
(D 2 d 2 )
4
(102 2 86 2 ) 23.6 10 2 (mm 2 )
惯性半径： 柔度：
i
I 262 104 33.3m m A 23.6 102
l
i
1 2200 66 33.3
第三节
压杆的稳定计算
例2.一钢管支柱高 l=2.2m,支柱的两端铰支，其外径 D=102mm,内径d=86mm，承受的轴向压力 P=300kN , 许用应力[σ]=160Mpa .试校核支柱的稳定性。
解： 钢管支柱两端铰支，故 μ= 1 钢管截面惯性矩 钢管截面面积
I
64
(D 4 d 4 )
事故原因分析：
压杆稳定的概念
• 2010年1月3日，云南建工集团市政公司承建的昆 明新机场配套引桥工程，浇筑混凝土过程中突然 发生支架垮塌事故，垮塌长度约38.5米，宽为 13.2米 ，支撑高度约为8米，事发时，作业面下 有40多人。截至1月3日20时30分昆明新机场配套 引桥工程支架垮塌共造成7人死亡 ，26人轻伤，8 人重伤。 • 据初步分析，昆明新机场建设工地航站区A3标东 引桥垮塌，是浇灌混凝土过程中其中一段支撑体 系失稳。
p
E
p
欧拉公式适用条件： p
第二节
临界力的欧拉公式
（1）大柔度（细长）压杆：
p
2E cr 2
（2）中柔度杆：S
p
采用实验基础上的经验公式
cr a b
a 和 b 是与材料有关的常数。 （3）短杆：
s
采用压缩强度公式计算
式中：E —— 材料的弹性模量 l ——杆的长度； μl 称为计算长度 I ——杆件横截面的最小惯性矩 μ——长度系数
长度系数μ与压杆两端的约束条件有关。 即： 两端固定： μ= 0.5 一端固定一端铰支： μ= 0.7 两端铰支： μ= 1 一端固定一端自由： μ= 2
第二节
2.临界应力
临界力的欧拉公式
第二节
临界力的欧拉公式
例1 钢筋混凝土柱，高 6 m ，下端与基础固结，上端与屋 架铰结。柱的截面为 b×h = 250 × 600 mm，弹性模 量 E = 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ GPa。试计算该柱的临界力。
解：柱子截面的最小惯性矩为： I min
bh3 600 2503 781.3m m4 12 12