非欧几何的产生与发展

•体验·感受
•
•庞加莱罗氏几何模型
•C
•
•罗氏几何五条公设
•过圆内任意两点可以作一条非欧直线段。
•一非欧直线可以沿两个方向无限延长。
。
•以非欧平面内任一点为中心，
•以任意正数长为半径可以作
•C
•一个非欧圆。
•凡直角都相等。
。
•
•B
•l •l1
•l2
•C
•A
•
•角 非 •之 欧 •和 三 •小 角 •于 形
•
•罗氏几何的五条公设：
• （1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。 • （2）一条有限直线可以继续延长。 • （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。 • （4）凡直角都彼此相等。
• （5）过直线外的一点至少可以引两条直线与已
•
知直线平行。
•10 •
•p •A
•C •q
•a
•B •D
•假设过直线外一点，至少可以
•几何上的哥白尼——罗巴切夫斯基
•在创立和发展非欧几何的艰难历程上，罗巴切夫
•斯基始终没能遇到他的公开支持者，就连非欧几
•何的另一位发现者德国的高斯也不肯公开支持他
•C
引两条直线与已知直线平行。
•p •A
•C •q
•a •B
•D
•p
•q
•a
•A
•B
•D
•
•罗氏几何推出的一些结论
•（1）三角形内角之和小于两直角，并且
• 内角和是变化的；
•（2）不存在面积任意大的三角形；
•（3）同一直线的垂线和斜线不一定相交；
•（4）如果两个三角形的三个内角
•
相等，它们就全等。 •
• 理学、天文学和人类时空观念的变革都产生深远影响
• 1913年，物理学家给出了罗氏几何在相对论里的应用
• 1947年，人们在心理学的研究中，发现视觉空间最好
• 用罗氏几何来描述。
•
•18
•传记·感悟
•
•“欧洲数学之王”高斯
• 高斯是当时数学界首屈一指的数 • 学巨匠，负有“欧洲数学之王”的 • 盛名。
•2
•三角形的内角 和是180度。
•1
•过直线外一点， 只能作一条直线与 已知直线平行。
•
•4
•一些平行公设研究者
•托勒密 •（古希腊
）
•萨凯里 •（意大利
）
•古代数学家
•奥马·海亚姆 •（古阿拉伯
）
•近代数学家
•纳西尔·丁 •（古阿拉伯）
•克吕格尔 •（德国）
•兰伯特 •（瑞士）
•
•替换平行公设也 能展开新的无矛 盾的几何学道路
•
罗巴切夫斯基
•（俄国，1792—1856 ）
•
•刚毅的罗巴切夫斯基
• 此后，罗巴切夫斯基就饱尝“黄蜂绕耳”的滋味 ： •不少权威人物称其学说是“荒唐透顶的伪科学”;有 人 •写匿名信说他是“疯子”;有人用漫画进行讽刺挖苦; •德国大诗人歌德的讽刺诗： • 有几何兮，名曰非欧，自己嘲笑，莫名奇妙！ •彼得堡科学院院士奥斯特罗格拉茨基： • 看来，作者旨在写出一部使人不能理解的著 •作，他达到了自己的目的……由此我得出结论，罗 •马切夫斯基校长的这部著作谬误连•篇，因而不值得
• （2）一条有限直线可以继续延长。
• （3）以任意点为心及任意的距离可以画圆。
• （4）凡直角都彼此相等。
•
• （5）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若
•
在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，
•
则这两条直线经无限延长后在这一侧相交。
•
——几何学• 中的家丑 •3
•平行公设的一些等价命题
•相似三角形存在。
非欧几何的产生与发展
2020/8/9
•（1）是古希腊数学家所著的一部 数 •（2）学是著世作界；上最著名、最完整且流
传最广的数学著作；
• （3）是数学史上的第一座理论丰碑， 最大功绩是确立数学演绎范式。
•（4）被誉为西方科学的“圣经”。
•
•欧几里得《几何原本》的五条公设：
• （1）由任意一点到另外任意一点可以画直线。
吗？
•兰伯特
三角形的三内角之和小于 两个直角？ 过直线外一点，有无穷多 条直线不与该直线相交？ 怎么可能？？?
•萨凯里，你没错 哦！只是结论似 乎与经验不符。 平行公设能证明 吗？
•萨凯里 •
•克吕格尔
非欧几何的产生 和发展
•
•探索·发现
•
高J罗 斯·巴 鲍切 耶夫 斯 基
•非欧几何 •的诞生
• 他曾在给贝塞尔的一封信中说： • 如果他公布自己的这些发现， • “黄蜂就会围着耳朵飞”，并会 • “引起波哀提亚人的叫嚣”。
•
•进取的J·鲍耶
•J·鲍耶的父亲是数学教授，也是
•高斯的朋友。当父亲知道儿子的
•志趣时，坚决反来自百度文库并写信责令其
•停止研究，“它将剥夺你所有的
•
鲍耶·亚诺什
•（匈牙利，1802－1860）
•思路和获得的结果，与我在30至35
•年前的思考不谋而合。”小鲍耶对
•高斯的答复深感失望。又1840年俄
•国数学家罗巴切夫斯基关于非欧几
•何的德文著作出版后，更使小鲍耶
•灰心丧气，他从此便完全放弃了研
•究数学。
•
•创新的罗巴切夫斯基
•罗巴切夫斯基是从1815年着手 •研究平行线理论的。1826年2 •月23日，罗巴切夫斯基于喀山 •大学物理数学系学术会议上宣 •读了他的第一篇关于非欧几何 •的论文《几何学原理及平行线 •定理严格证明的摘要》，这篇 •首创性论文的问世，标志着非 •欧几何的诞生。
• 早在1792年，即罗巴切夫斯基诞
• 生的那一年，他就已经产生了非
• 欧几何思想萌芽，到了1817年已
• 达成熟程度。
•高斯（德，1777－1855）
•
•保守的高斯
• 但是，高斯感到自己的发现与当时流行的康德空间 • 哲学相抵触，担心受到世俗的攻击并激起学术界的 • 不满和社会的反对，因此，他生前一直没敢把自己 • 的这一重大发现公之于世，只是谨慎地把部分成果 • 写在日记和与朋友的往来书信中。
•闲暇、健康、思维的平衡以及一生的快乐，这个
无
•底的黑暗将会吞吃掉一千个灯塔般的牛顿。”但小
•鲍耶仍乐此不疲。
•
•懦弱的J·鲍耶
•1832年2月14日，父亲将小鲍耶的一篇有关非欧几
•何的论文寄给高斯，请高斯对他儿子的论文发表意
•见，然而高斯回信说：“称赞他就等于称赞我自己
。
•整篇文章的内容，你儿子所采取的
180 三
181度 内
•3 •1 •2 •4
•
•非欧几何的意义：
•（1）是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它把人 • 从传统的思想束缚中解放出来，从此，数学认识从以 • 直观为基础的时代进入了以理性为基础的时代，数学 • 表现为人类思维的自由想象。
•（2）不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物