第00章 矢量代数

加法：平行四边形法则或三角形法则。 加法：平行四边形法则或三角形法则。
二．矢量
矢量相等：两矢量大小相等，方向相同。 矢量相等：两矢量大小相等，方向相同。 负矢量：两矢量大小相等，方向相反。 负矢量：两矢量大小相等，方向相反。
矢量平移：矢量平移后，大小和方向都保持不变。 矢量平移：矢量平移后，大小和方向都保持不变。
v a v b
v a
v b
v b
v a
三．矢量的加减法（平行四边形法则） 矢量的加减法（平行四边形法则） v v
B v A
v C
v B v v v C = A+ B
v A
B v A
v C
v D
v C
v v v C = A+ B
矢量2 矢量2
v E v v v v v E = A+ B+C+ D
v v v v 说明： A− B= A+(−B)
v v v v v A×B=(A B − A By )i +(A B − A B ) j +(A By − A B )k y z z z x x z x y x v v v i j k =A x A y A z B z B By x
v v v i × j =k r v v j ×k =i v r r k ×i = j v v r r v v i ×i = j × j = k ×k =0
定义
性质
v v v v dt dt 1） ∫(A± B)dt = ∫ A ± ∫ B
v v A 量 2） ∫(m )dt = m A (m=常 ） ∫ dt
r v v v v 量 ) dt 3） ∫(C⋅ A dt = C⋅ ∫ A (C =常 ）
r v v v v ) dt 量 4） ∫(C× A dt = C×∫ A (C =常 ）
v v v v v v v （1） a +b =7i − j + 4k ， l1 = a +b = 66 =8.12 解： v v v v v v v a −b =i +7 j −6k ， l2 = a −b = 86 =9.27 v v v i j k v v v v v i （2） a×b = 4 3 −1 =11 − 23j − 25k
矢量函数积分的正交分量表示
v v v v ∫ Adt =(∫ Axdt)i +(∫ Aydt) j +(∫ Az dt)k
v v v v v v v v i 已知两矢量： 例 0-1 已知两矢量： a =4i +3j −k ， b =3 −4j +5k ，通
过矢量运算求： 过矢量运算求： v v 为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度； （1）以 a 、 b 为两邻边所作的平行四边形两对角线的长度； ） （2）该平行四边形的面积； ）该平行四边形的面积； （3）该平行四边形的内角。 ）该平行四边形的内角。
v d v dA A 2） (m ) = m dt dt v
矢量函数导数的正交分量表示 v dA dA v dA v dA v y x = i+ j+ z k dt dt dt dt
三.矢量函数的积分
v v v v v v v dB v (t = A， B称为 A 若 A= A ) ，B= B(t) ， 且 则 dt 的积分， 的积分，记为 v v B= ∫ A dt
v v （3） a⋅b = abcosθ → v v a⋅b −5 cosθ = = =0.139 =970.58' ab 26 50
3 −4 5 v v S = a×b =35.7
v v v v v v ) b t 已知两矢量函数： 例 0-2 已知两矢量函数：a =(2t −1 i + 2j ， =−i +(2 −3 ) j 。 v v b （1） t =? 时 a⊥ ； ） v v （2） t =? 时 a // b ； ） v v db da =? ， =?； （3） ） dt dt 2v 2v （4） ∫ adt =?， ∫ bdt =? ）
v v v v 1） A⋅ B= B⋅ A v v v v v v v 2） A⋅ (B+C) = A⋅ B+ A⋅ C v v v v ⊥ 3） A⋅ B=0 ⇔A B v v r v vr v v i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅i =0 4） A⋅ A= A2
矢量的标积的正交分量表示： 矢量的标积的正交分量表示：
五.矢量乘以标量 定义： 定义：v
v B= m A
小m 大 ：A v v 向 m>0, 与 同 ； <0, 与 反 方 ： A 向m A 向
性质： 性质：
v v v v m A+ B) =m +m ( A B
六.矢量的标积
定义： 定义： 性质： 性质：
v v v v ψ = A⋅ B= ABcosθ [θ =(A B)] ,
v v v S = A×B

七.矢量的矢积
性质： 性质：
v v v v 1） A×B=−B× A v v v v v v v 2） A×(B+C) = A×B+ A×C v v v v ↔ 3） A×B=0↔A// B v v 4） A×A=0
矢量的标积的正交分量表示： 矢量的标积的正交分量表示：
v v A⋅ B= A B + A By + A B x x y z z
vv r r v v i ⋅i = j ⋅ j = k ⋅ k =1
矢量的标积的正交分量表示： 矢量的标积的正交分量表示：
v v A⋅ B= A B + A By + A B x x y z z
v v v v A= A i + Ay j + A k x z v v v v B= Bxi + By j + Bz k
0
∫
2
0
v v v v v 2 2 bdt =[∫ (− )dt]i +[∫ (2−3 )dt] j = − i −2j 1 t 2
0 0
0
0
v A z
vα i v A x
v v k γ A
β
v j
v Ay
y
矢量8 矢量8
3．矢量和（差）的正交分量表示 矢量和（
v v v v A= A i + Ay j + A k x z v v v v B= Bxi + By j + Bz k v v v v v A± B=(A ± Bx )i +(Ay ± By ) j +(A ± Bz )k x z
矢量4 矢量4
2．矢量的正交分解
z
v v v v A= A i + A j + A k x y z
2 大 ： = A2 + A + A2 小 A x y z A cosα = x A A y 向 cos 方 ： β = A A cosγ = z A x
一.矢量函数 v 矢量 A与变量 t 之间存在一定的关系， 之间存在一定的关系， 如果当变 v 取定某个值后， 有唯一确定的值（ 量 t 取定某个值后，矢量 A有唯一确定的值（大小和 v 方向）与之对应，则 A称为 t 的矢量函数，即 方向）与之对应， 的矢量函数， v v A= A ) (t
二.矢量函数的导数 v v v v 定义 A t + ∆ ) − A t) ( t ( dA ∆ A = lim = lim dt ∆t→0 ∆ ∆t→0 t ∆ t
v C
v −B v A v A
v C
v B
v B
矢量3 矢量3
四．矢量的分解
1．矢量的分解 把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。 把一个矢量看成两个或两个以上的矢量相加。 一般一个矢量有无穷多种分解法
v C
v A
v Ay
v A
v A v vx v A→A + A x y
v B v v v A→B+C
0 0
5 v v v v b t ) t （1） a⊥ →a ⋅ b =0→−(2 −1 + 2(2 −3 ) =0→t = 解： 8 7 v v v v t )( t 或 （2） a // b →a×b =0→(2 −1 2 −3 ) + 2 =0→t =0 t = 6 v v v db v da （3） = 2i ， =− j 3 dt dt v v v v 2v 2 2 t ) （4） ∫ adt =[∫ (2 −1 dt]i +(∫ 2dt) j = 2i + 4j
第一篇 力学
一．标量
定义：只有大小，没有方向的量。 定义：只有大小，没有方向的量。 表示：数字（可带正负号）。 表示：数字（可带正负号）。 加法：代数和。 加法：代数和。
二．矢量
定义：既有大小，又有方向的量。 定义：既有大小，又有方向的量。 表示： 表示：
v v0 A:矢 的 小矢 的 ） 量 大 ( 量 模 1） A= A v0 A v A 向 单 矢 A :沿 方 的 位 量 度 矢 的 小矢 的 ） 长 : 量 大 ( 量 模 2）有向线段 方 : 量 方 向矢 的 向
z
∆A
v v Av= A t +∆ ) ' ( t v v v ∆A= A t +∆t) − A t) ( (
v v A= A ) (t
O
y
x
矢量10 矢量10
性质
v v d v v dA dB 1） (A± B) = ± dt dt dt
v d v v dA v v dB ⋅ B+ A⋅ 3） (A⋅ B) = dt dtv dt v d v v dA v v dB ×B+ A× 4） (A×B) = dt dt dt