一元二次方程求解,讲课ppt.
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21-2 解一元二次方程 课件(共33张PPT)
2×2 2
小练习
用公式法解下列一元二次方程:
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17x=8x
解:方程化为5x2-4x-1=0
解:方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0.
因式分解,可以考虑配方法;
(4)三项都有,且二次项系数不为1时的,一般可以用公式法。
小练习
例 3:解方程:x2-6x-16=0。
解:原方程变形为(x-8)(x+2)=0。
于是,得x-8=0或x+2=0
∴x1=8,x2=-2
解析:一元二次方程的解法有:配方法,公式法和因式分解法,解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单,因
(3)求解b2-4ac的值,如果b2-4ac≥0;
−± 2−4
(4)代入公式x=
,即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2:用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为( D )
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析:x2-3x-1=0。这里a=1,b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
小练习
用公式法解下列一元二次方程:
(3)5x2-3x=x+1
(4)x2+17x=8x
解:方程化为5x2-4x-1=0
解:方程化为x2-8x+17=0
a=5,b=-4,c=-1.
a=1,b=-8,c=17.
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36>0. Δ=b2-4ac=(-8)2-4×1×17=-4<0.
因式分解,可以考虑配方法;
(4)三项都有,且二次项系数不为1时的,一般可以用公式法。
小练习
例 3:解方程:x2-6x-16=0。
解:原方程变形为(x-8)(x+2)=0。
于是,得x-8=0或x+2=0
∴x1=8,x2=-2
解析:一元二次方程的解法有:配方法,公式法和因式分解法,解题时要
注意选择合适的解题方法。解此一元二次方程选择因式分解法最简单,因
(3)求解b2-4ac的值,如果b2-4ac≥0;
−± 2−4
(4)代入公式x=
,即可求出一元二次方程的根。
2
知识梳理
例 2:用公式法解方程x2-3x-1=0正确的解为( D )
−3± 13
A. x1,2=
2
3± 5
C.x1,2=
2
B.
D.
−3± 5
x1,2=
2
3± 13
x1,2=
2
解析:x2-3x-1=0。这里a=1,b=-3,c=-1。
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44>0. Δ=b2-4ac=(-2 2)2-4×2×1=0.
−± 2−4
方程有两个不等的实数根x=
2
《解一元二次方程》一元二次方程PPT(因式分解法)
分析:出现了x2 +4x,接近完全平方式的结构特点,考虑用配方法.
〔3〕9〔x+1〕2=〔2x-5〕2 ;
分析:移项易发现符合平方差公式,考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 = 0.
分析:方程的结构没有明显特殊性,考虑公式法.
解:∵ a = 9,b = -12,c = -1,
∴ Δ = b 2-4 a c =〔-12〕2-4×9×〔-1〕= 144+36
(x + m) 〔x + n〕=0
解法选择根本思路
1.一般地,当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕, 应选用直接开平方法; 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕,应选用因式分解法; 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕,先化为 一般式,看一边的整式是否容易因式分解,假设容易,宜选 用因式分解法,不然选用公式法; 4.当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法,左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ,看看图就能缓解眼疲劳, 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理,在一张二维 空间平面上,强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形,远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳,可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置,熟悉 一下最远处几个框细微的纹路,
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中,认真排除干扰,精神专注, 开始远眺,双眼看整个图表,产生向前深进的感 觉,然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
〔3〕9〔x+1〕2=〔2x-5〕2 ;
分析:移项易发现符合平方差公式,考虑用因式分解法.
〔4〕9x2-12x-1 = 0.
分析:方程的结构没有明显特殊性,考虑公式法.
解:∵ a = 9,b = -12,c = -1,
∴ Δ = b 2-4 a c =〔-12〕2-4×9×〔-1〕= 144+36
(x + m) 〔x + n〕=0
解法选择根本思路
1.一般地,当一元二次方程一次项系数为0时〔ax2+c=0〕, 应选用直接开平方法; 2.假设常数项为0〔 ax2+bx=0〕,应选用因式分解法; 3.假设一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0〕,先化为 一般式,看一边的整式是否容易因式分解,假设容易,宜选 用因式分解法,不然选用公式法; 4.当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较 简单.
不过现在教同学们一个 小办法,左边我为大家准备 了一张视力保健“远眺图” ,看看图就能缓解眼疲劳, 起到远眺解乏的作用。
远眺图是利用心理学 空间知觉原理,在一张二维 空间平面上,强烈显示出三 维空间的向远延伸的立体图 形,远视和视力良好的人在 长时间近距离用眼情况下引 起的视力疲劳,可以通过此 种方法获得一定的缓解。
远眺图使用方法
第一步、首先在能把远眺图都看清的位置,熟悉 一下最远处几个框细微的纹路,
第二步、然后逐渐加大距离至远眺图最远处的几 个框处于模糊与清晰之间的位置停止。
第三步、思想集中,认真排除干扰,精神专注, 开始远眺,双眼看整个图表,产生向前深进的感 觉,然后由外向内逐步辨认最远处几个框每一层 的绿白线条。
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
(4) 4 x2 3x 2 0.
3 1 解:两边同时除以4,得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项,得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方,得 x x = , 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即: x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项,得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算?有条 件限制吗?
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时,开平方得 x = . 2 2a 4a
(1)x 5x 4 0;
2
∵ b 4ac >0,∴方程有两个不相等的实数根.
2
(2) 4x2 7 6 x;
2 b 4ac <0,∴方程没有实数根. ∵
(3) 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac =0 ,∴方程有两个相等的实数根.
1 解:两边都除以2,得:x 2 x 0 . 2
2
1 移项,得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方,得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ,x2 =1+ . 2 2
复习引入
(2)x2 1.5= 3x;
2
分析:(1)确定a,b,cLeabharlann 值;(2)判断方程是否有根;
(3)写出方程的根.
新知应用
(1)x 7 x 18 0; 例1 解方程:
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值(注意符号);
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断:若b2-4ac ≥0,则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0,则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
(1)
(2)
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些?
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边,含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
=
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
=
,
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1= ,2= − 4.
3
(2)6x2-11x+4=2x-2;
用公式法求解一元二次方程ppt课件
题 k=0 总有实数根,∴Δ=(2 )2+4k≥0,解得 k≥-7,
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7;
破
(2)∵ 方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(2 )2+4k=0,∴k=-7,代入方程,
得x2+2 x+7=0,即(x+ )2=0,解得 x1=x2=- .
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2,则 x=______.
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
[解析] 根据题意,得(18-2x)(15-x)=144
解得 x=21(不合题意,舍去)或 x=3,
∴ 道路的宽为 3 m.
[答案] 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图,在宽为 20 m,长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x)cm,宽为(40-2x)cm,根据题意得(1 000混 2×100-4x)(40-2x)=15200, 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ,解得 x1=210,x2=10.因为当 x=210 时,1000-2×1004x<0,40-2x<0,即画心的长与宽为负值,不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围
读 成,篱笆总长为 24 m.若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形,且围成的花圃面积为50 m2,问能否成功围
成花圃?
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图,世纪广场有一块矩形绿地,AB=18 m,
型
突 ∴k 的取值范围是 k≥-7;
破
(2)∵ 方程有两个相等的实数根,
∴Δ=(2 )2+4k=0,∴k=-7,代入方程,
得x2+2 x+7=0,即(x+ )2=0,解得 x1=x2=- .
2.3 用公式法求解一元二次方程
突
破 地的面积为144 m2,则 x=______.
2.3 用公式法求解一元二次方程
重
难
题
型
突
破
[解析] 根据题意,得(18-2x)(15-x)=144
解得 x=21(不合题意,舍去)或 x=3,
∴ 道路的宽为 3 m.
[答案] 3
2.3 用公式法求解一元二次方程
变式衍生
重
难
如图,在宽为 20 m,长为 30 m 的矩形地面上修建两
错
易 2×100-4x)cm,宽为(40-2x)cm,根据题意得(1 000混 2×100-4x)(40-2x)=15200, 整理得 x2-220x+2100=0
分
析 ,解得 x1=210,x2=10.因为当 x=210 时,1000-2×1004x<0,40-2x<0,即画心的长与宽为负值,不符合实际意
清
单
解 用的最大长度为 15 m,一面利用旧墙,其余三面用篱笆围
读 成,篱笆总长为 24 m.若计划在花圃中间再用一道篱笆隔
成两个小矩形,且围成的花圃面积为50 m2,问能否成功围
成花圃?
2.3 用公式法求解一元二次方程
重 ■题型 甬道问题
难
例
如图,世纪广场有一块矩形绿地,AB=18 m,
一元二次方程的解法ppt课件
的各项系数a、b、c确定的,当 2 -4ac≥0时,它的实数根
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式,解一元二次方程时,
2
把各项系数的值直接代入这个公式,若 -4ac≥0就可以
求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx+c=0(a≠0)中,如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
,x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x+2)
解方程
小丽、小明的解法如下:
小丽、小明的解法,哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2-3x=0
② 3x2= x
③2( x-1 ) + x ( x-1 ) =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0,x2=-4
所以x1=-3,x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2-x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补,成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式,解一元二次方程时,
2
把各项系数的值直接代入这个公式,若 -4ac≥0就可以
求得方程的根,这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx+c=0(a≠0)中,如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
,x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x+2)
解方程
小丽、小明的解法如下:
小丽、小明的解法,哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2-3x=0
② 3x2= x
③2( x-1 ) + x ( x-1 ) =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0,x2=-4
所以x1=-3,x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2-x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补,成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
解一元二次方程ppt课件
21.2 解一元二次方程
重
难 ■题型二 利用根的判别式判断三角形的形状
题 型
例 2 已知△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的对边,且关于 x
突 的一元二次方程 b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0 有两个相等的实数根.判断
破 △ABC 的形状.
[解析] 根据已知条件得出 Δ=0,将等式变形,利用勾股定理的逆定理
B. 只有一个实数根
读
C. 有两个不相等的实数根
D. 没有实数根
[解题思路]
原方程
x(x-2)=1
化为一般形式
x2-2x-1=0
确定 a,b,c 的值
a=1,b=-2,c=-1
代入判别式 Δ
b2-4ac=8>0
判断根的情况
[答案] C
有两个不相等的实数根
方法点拨 应用根的判别式时要准确确定 a,b,c 的值,代入时要注意不 要丢掉各项系数的符号.
清 单
(1)x2-4x-3=0; (2)2x2-6x=1; (3)(t+3)(t-1)=12.
解
[解题思路] 按照下面的顺序进行求解.
读
[答案] 解:(1)移项,得 x2-4x=3,配方,得 x2-4x+4=3+4,即(x-
2)2=7,开方,得 x-2=±
,所以 x1=2+
,x2=2-
;
(2)二次项系数化为 1,得 x2-3x= ,配方,得 x2-3x+
21.2 解一元二次方程
考
点
21.2.1 配 方 法
清
单 ■考点一 直接开平方法
解
读
原理 根据平方根的意义进行“降次”,转化为一元一次方程求解
解一元二次方程-公式法 ppt课件
利用公式法解一元二次方程
例题
解析
解方程:x²−4x=7
一般步骤
化为一般式得:x²−4x-7=0
∵ = 1,b=−4,c=−7.
∴△= 2 − 4 =16−(−28)=44>0.
∴方程有两个不相等的实数根
∴ =
−± 2 −4
2
=
4± 44
2
= 2 ± 11
即
= 2 + 11, = 2 − 11.
x
,
2a
25
5
1
即 x1 1, x2 5 .
典型例题
用公式法解下列方程:
(1) x2 4 x 7 0
(3) 5x 2 3x x+1
(2) 2x2 2 2 x+1 0
(4) x2 17 8x
解: (4) 方程化为一般式 x2 8x 17 0
解析
意.
练习
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根,求 k的取值范围.
不解方,判断关于 x 的方程 x²-kx+k-2=0的根的
情况.
练习
若关于 x 的一元二次方程 (k-1)x2+2x-2=0 有不相
等实数根,求 k的取值范围.
k
练习
1
的取值范围为:k>2且 k
=
=
2
2
2 −4
判别式的应用
例题
关于x的一元二次方程:(m-3)x²-4x-1=0,有
实数根,求m的取值范围?
依题可得
解一元二次方程课件PPT
补充:十字相乘法
• 如6y∧2+19y+15=0
• 用因式分解法解下列方程 • 4x∧2+8x+3=0
• 6x∧2-7x+2=o
用适当的方法解下列方程
• (2x+1)(2x-1)=11 • (x+2)∧2=-6x • (4x∧2-9)-2(2x-3)=0 • x(x-3)=4
总结:选择适当的方法解一元二次方程
7
• ( 1 ) 已知方程5x^2+kx-6=0的一个跟是6,求另一个根和k. • (2)设a b是方程x^2-3x-3=0的2个解,则b∕ a+a∕ b的值为_____. • (3)若一个一元二次方程的两根为a,b,且满足a^2+b^2=10,ab=3,则这
个方程是______________. • (4)已知关于x的方程2x^2+3x-m+1=0的2个实数根的倒数和为3,求m.
• 一般来说,首选开平方法;再选因式分解发, 最后选公式法,配方法不指定则不用。
探索一下~
• 一元二次方程ax∧2+bx+c=0 (a不为0)的2个 解为多少?
• 相加等于多少? • 相乘等于多少?
• 任何一个一元二次方程的根与系数的关系是:
• 两根之和等于一次项系数与二次项系数的比 的相反数;
• (2)将二次三项式2x^2-4x+6进行配方,正确 的结果是______.
• (3)已知关于x的一元二次方程x^2-2√3x-k=0有2个相等的实数根,则k的 值是多少/
• (4)已知关于x的一元二次方程(k-1)x^2-2x+1=0有2个不相等的实数根,则 k的取值范围是_______.
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件
解一元二次方程
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程,叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 (a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗? 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中,正确的是( D )
(A)x2=-2,解方程,得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1.理解解一元二次方程降次的转化思想; • 2.会利用直接开平方法解形如x2=p或(mx
+n)2=p(p≥0)的一元二次方程; • 3.体会类比的思想;
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x-m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示? 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a,则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2:.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2?45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互为相反 数的;(2)零的平方根是零; (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
(1)x2-1.21=0
(2)4x2-1=0
解:(1)移项,得x2=1.21
直接开平方法
1、一元二次方程的概念
等号两边都是整式,只含有一个未知数 (一元),并且未知数的最高次数是2 (二次)的方程,叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax2 bx c 0 (a 0)
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x2 3x 4 x2 7 ×
首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个 完全平方式,右边是非负数的形式,然后用平方根的 概念求解 .
3.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗? 请举例说明.
练一练
1、下列解方程的过程中,正确的是( D )
(A)x2=-2,解方程,得x=± 2
(B)(x-2)2=4,解方程,得x-2=2,x=4
●学习目标
• 1.理解解一元二次方程降次的转化思想; • 2.会利用直接开平方法解形如x2=p或(mx
+n)2=p(p≥0)的一元二次方程; • 3.体会类比的思想;
重点: 能够熟练而准确的运用直接开平方法 求一元二次方程的解.
难点: 探究( x-m)2=a的解的情况,具有分类 讨论的意识.
知识回顾
问题1.什么叫做平方根?用式子如何表示? 如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫
做a的平方根。
若x2=a,则x叫做a的平方根。记作x=
即x= a 或x= a
问题如2:.9平的方平根方根有是哪_些_±__性_3_质2?45 的平方根是______
(1)一个正数有两个平方根,这两个平方根是互为相反 数的;(2)零的平方根是零; (3)负数没有平方根。
例1、解下列方程
(1)x2-1.21=0
(2)4x2-1=0
解:(1)移项,得x2=1.21
-一元二次方程的解法(全)学习课件.ppt
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21
解题步骤演示
例 (x+3)(x-1)=5 解:原方程可变形为
方程x2右+2边x-化8为=零0 左边分解(x成-两2个)(x一+4次)=因0 式 的乘积 至少有一个一x次-因2式=为0零或得x到+两4=个0一元一次方程
两个一元∴一x次1方=2程,的x2解=就-4是原方程的解
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你会变 吗?
32x 52 12 22x 52 4
2、用直接开方法解方程:
93m 52 3 0
3m 52
1 3
无论m取何值,3m 52 0;
此方程无解。
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9
方程 ax2 c 0 a 0 一定有解吗?
a0
x2
c a
;
1当
c a
0时,方程的根是x
c a
;
2当
c a
例2 解方程:
(1) x 12 4 0
将方程化成
(x a)2 b
(b≥0)的形 式,再求解
(2) 12(2 x)2 9 0
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7
解下列方程:
1x2 9 0;
2t2 450
316x2 490; 42x32 5;
5x52 360; 66x12 25;
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8
1、用直接开方法解方程:
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2
1. 判断下列方程是否一元二次方程?
1)2x2 +3x-1=0 x
2) x 2-y=0
3)ax2+bx c=0 4)(m2 1)x2 2x - 3=0
2.m何值时,方程 (m 1)x 4m 2 27mx 5 0
是关于χ的一元二次方程?
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在一元二次方程 ax bx c 0 (a 0) 中,如果b2-4ac<0,那么方程无实数根,这是 2 由于 无意义 b 4ac
2
概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 2 x 3x 4 0 , 形式为______ b2-4ac=___ 25
2
b c x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
想一想:即
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
什么条件下就能用直接开平方解?
知识回顾
二次项系数化1,移项,配方,变形,开平方,求解,定根
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
2、用配方法解下列方程
2x 4x 2 0
2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项,得 配方,得
b c x x 0 a a
在用配方法求 的根时,得
ax bx c 0 (a 0)
2
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
2
因为负数没有平方根,所以
b 4ac 0
2.在一元二 次方程 ax bx c 0 (a 0)中,如果 b2 -4ac<0,那么方程有实数根吗?为什么?
解(1)∵a=1,b=3,c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1>0
∴
3 1 x 2 1
∴x1=-1,x2=-2
典型例题
(2) x2=3x-8 解(3)移项,得x2-3x+8=0 ∵a=1,b=-3,c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23<0 ∴原方程无实数解
练一练
1、用公式法解下列方程 (1)x2-3x-4=0 (2)2x2+x-1=0 (3)x2-2x=3 (4)x(x-6)=6
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
b c 的值。 1、把方程化成一般形式,并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值,
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解: x1、
探究
1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2-4ac≥0? 2
当
b 4ac 0,且a≠0时,可以开平方
2
b b2 4ac 得 x 2a 2a
b b 2 4ac 所以 x 2a 2a
b b2 4ac 即 x 2a
你能得出什么结论?
概括总结
一般地,对于一般形式的一元二次方程 2
ax bx c 0 (a 0)
2
当
b 4ac 0 时,它的根是 2 b b 4ac ( b2 4ac 0 ) x 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公 式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确 定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数 a、b、c的值,直接求得方程的解。
(5)4x2+4x-1=-10-8x (6)2x2-7x+7=0
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤: 1.先写出a,b,c 2.再求出
b 4ac
2
3.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时,有两个实数根 时,方程无实数解
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
2.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正 确的是( D )
12 144 12 A.x= 2
12 144 12 C.x= 2
12 144 12 B.x= 2
12 144 48 D.x= 6
=
典型例题
例1 用公式法解下列方程: ⑴ x2+3x+2 = 0 (2) x2=3x-8
2
概念巩固
1.把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0) 2 x 3x 4 0 , 形式为______ b2-4ac=___ 25
2
b c x x a a
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2 b b 4ac x 2a 4a 2 2
2
2
即
想一想:即
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
什么条件下就能用直接开平方解?
知识回顾
二次项系数化1,移项,配方,变形,开平方,求解,定根
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么?
2、用配方法解下列方程
2x 4x 2 0
2
用配方法解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
解: 把方程两边都除以 a 移项,得 配方,得
b c x x 0 a a
在用配方法求 的根时,得
ax bx c 0 (a 0)
2
b 2 b 4ac (x ) 2 2a 4a
2
2
因为负数没有平方根,所以
b 4ac 0
2.在一元二 次方程 ax bx c 0 (a 0)中,如果 b2 -4ac<0,那么方程有实数根吗?为什么?
解(1)∵a=1,b=3,c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1>0
∴
3 1 x 2 1
∴x1=-1,x2=-2
典型例题
(2) x2=3x-8 解(3)移项,得x2-3x+8=0 ∵a=1,b=-3,c=8 b2-4ac=9-4×1×8=-23<0 ∴原方程无实数解
练一练
1、用公式法解下列方程 (1)x2-3x-4=0 (2)2x2+x-1=0 (3)x2-2x=3 (4)x(x-6)=6
用公式法解一元二次方程的一般步骤:
b c 的值。 1、把方程化成一般形式,并写出 a、、
2、求出 b 4ac 的值,
2
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解
b b 4ac 3、代入求根公式 : x 2a
2
x2 4、写出方程的解: x1、
探究
1.为什么在得出求根公式时有限制条件b2-4ac≥0? 2
当
b 4ac 0,且a≠0时,可以开平方
2
b b2 4ac 得 x 2a 2a
b b 2 4ac 所以 x 2a 2a
b b2 4ac 即 x 2a
你能得出什么结论?
概括总结
一般地,对于一般形式的一元二次方程 2
ax bx c 0 (a 0)
2
当
b 4ac 0 时,它的根是 2 b b 4ac ( b2 4ac 0 ) x 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用这个公 式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确 定的,利用这个公式,我们可以由一元二次方程中系数 a、b、c的值,直接求得方程的解。
(5)4x2+4x-1=-10-8x (6)2x2-7x+7=0
小结
用公式法解一元二次方程的关键是解题步骤: 1.先写出a,b,c 2.再求出
b 4ac
2
3.最后代入公式
当 当
b 2 4ac 0 b 2 4ac 0
时,有两个实数根 时,方程无实数解
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次 方程重要方法,要作为一种基本 技能来掌握. • 一元二次方程也是刻画现实世 界的有效数学模型.
2.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正 确的是( D )
12 144 12 A.x= 2
12 144 12 C.x= 2
12 144 12 B.x= 2
12 144 48 D.x= 6
=
典型例题
例1 用公式法解下列方程: ⑴ x2+3x+2 = 0 (2) x2=3x-8