【小初高学习】2018_2019学年高中数学4.4.4平摆线与圆的渐开线学案苏教版选修4_4

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高中数学新人教版A版精品教案《四渐开线与摆线》1

渐开线与摆线教学设计教学目标：1、通过课堂活动、动手操作，使学生感知圆的渐开线和平摆线的存在，并能说出渐开线和摆线内的几何等量关系.2、通过活动问题的转化，引导学生利用数学向量和坐标的知识建立渐开线和摆线的参数方程，能说出其中参数的含义.3、通过实例介绍，增长学生视野，感受数学语言的特点和数学在生活中的运用.学情分析：本节课是在学生已经掌握了直线、圆的参数方程，对圆锥曲线的参数方程有了初步的了解的基础之上进行的一堂概念课。

学生对参数方程的建立有了初步的了解和认识，但是并不是很熟练，尤其是对平面坐标系中依据动点坐标与参数的关系的建立坐标等式的能力不足的情况下进行的。

所以，本节课需要教师从中做好引导。

但学生对平面向量的基本数学知识与平面直角坐标系建立的依据在必修教材的解析几何部分还是有一定的基础。

所以对本节的学习旨在让学生能够多参与多思考,培养他们的分析解决问题和解决问题的能力,提高应用所学知识的能力。

教学重难点：教学重点：渐开线与摆线的生成过程与其参数方程的建立；教学难点：渐开线与摆线中动点的几何等量关系的确定.教学过程：课堂导入：前面，我们学习了直线、圆、椭圆的参数方程，使我们认识到：在平面直角坐标系中，曲线上点的坐标也可由参数表示，建立等量关系。

我们今天继续学习两种生产、生活中重要的曲线类型：渐开线与摆线.课堂活动（一）：下面请同学们做以下活动：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线.思考：这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？活动材料：透明胶卷（代替圆盘）、透明胶带（代替绳子）、白色作业纸一张、笔芯一只小组分工：甲同学将透明胶卷固定在白色作业纸上；乙同学将笔芯固定在胶带揭口上，慢慢揭起胶带，并始终保持胶带与胶卷圆盘相切.丙同学认真观察，记录活动过程，并不断提醒组员始终保持胶带与胶卷圆盘相切。

完成之后画上笔尖的轨迹。

高中数学课件4.4.4 平摆线与圆的渐开线

(φ 为参数)
求出该渐开线的基圆的方程，当参数 φ 取π2时，求对应曲线上点的坐标．【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得 r＝3，把 φ＝π2代入即得对
Hale Waihona Puke 应的坐标．上一页返回首页
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【自主解答】
∵yx＝＝33scions
φ＋3φsin φ－3φcos
φ φ
，∴半径为 3.
此渐开线的基圆方程为 x2＋y2＝9.
(其中 φ 为参数，k∈N＋)．
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[再练一题] 1．已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．
【解】令 y＝0，可得 r(1－cos φ)＝0，由于 r＞0，即得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)．代入 x＝r(φ－sin φ)，得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)．又因为 x＝2，所以 r(2kπ－sin 2kπ)＝2，即得 r＝k1π(k∈N＋)．
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易知，当 k＝1 时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的平摆线的参数方程为
x＝1πφ－sin φ， y＝1π1－cos φ
(φ 为参数).
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圆的渐开线
已知圆的渐开线的参数方程
x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1，
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所以 φ＝2kπ(k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 所以 r＝21kπ. 又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 所以，所求摆线的参数方程是

2018-2019学年高中数学第二章参数方程四渐开线与摆线优质课件新人教A版选修4-4

36－π，
Bπ2 ，1.
归纳升华 1．求圆的渐开线的参数方程，关键是根据渐开线定
︵义及形成过程获得动点轨迹的几何条件|AM|＝AM0＝rθ. 合理建立平面直角坐标系后，借助几何图形，运用三角函数和平面向量知识将几何条件代数化，得到参数方程．
2．圆的渐开线的参数方程可作为公式使用，只要不要求用定义求解就可直接将半径 r 的值代入．
的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为 4，所
以面积为 16π，该圆对应的渐开线的参数方程是
x＝4cos φ＋4φsin φ，
(φ 为参数)．
y＝4sin φ－4φcos φ
1．渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹．
第二讲参数方程
四、渐开线与摆线
[学习目标] 1.了解圆的渐开线的产生过程及它的参数方程(重点)． 2.了解摆线的产生过程及它的参数方程 (重点)． 3.体会用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤(难点)．
1.圆的渐开线的参数方程以基圆圆心 O 为原点，直线 OA 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为 r，绳子外端 M 的坐标为(x，y)，则有 x＝r（cos φ＋φsin φ）， _y_＝__r_（__s_in__φ_－__φ_c_o_s_φ_）____ (φ 是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．
[变式训练] 已知圆的渐开线的参数方程 x＝3cos φ＋3φsin φ， y＝3sin φ－3φcos φ
(φ 为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：对照渐开线参数方程可知半径 r＝3.
答案：3

苏教版高二数学选修4-4 4.4.4 平摆线与圆的渐开线学案

4．4.4 平摆线与圆的渐开线1．平摆线(1)半径为r 的圆所产生的摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (θ－sin θ)，y ＝r (1－cos θ)(θ为参数)．由上述参数方程所确定的曲线称为平摆线(或称旋轮线)． (2)平摆线的几何特性：①由无数个呈周期性排列的拱组成； ②每个拱的高为2r ；③拱的底为2πr ，即在x 轴上每隔2πr 拱将重复一次．2．圆的渐开线(1)半径为r 的圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos θ＋θsin θ)，y ＝r (sin θ－θcos θ)(θ为参数)．(2)渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．[例1] 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时刻平摆线的参数方程．[思路点拨] 将点(2,0)代入平摆线的参数方程中求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r >0，即得cos φ＝1，所以φ＝2 π( ∈ )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2 π－sin 2 π)．[对应学生用书P26][对应学生用书P27]又因为x ＝2，所以r (2 π－sin 2 π)＝2，即得 r ＝1k π( ∈ )．又r >0，所以r ＝1k π( ∈N *)．易知，当＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)．由圆的平摆线的参数方程的形式可知，只要确定了平摆线生成圆的半径，就能确定平摆线的参数方程．要确定圆的半径，通常的做法有：①根据圆的性质或参数方程(普通方程)确定其半径；②利用待定系数法，将平摆线上的已知点代入参数方程，从而确定半径．1．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋6cos α，y ＝－2＋6sin α(α为参数)和直线l ：x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线满足什么关系？ (2)写出平移后圆的平摆线方程； (3)求平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以可得平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数)． (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1. 所以φ＝2 π( ∈ )．代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12 π( ∈ )，即圆的平摆线和x 轴的交点为(12 π，0)( ∈ )．2．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的平摆线方程中，求参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝⎛⎭⎫3π2，2之间的距离．解：根据圆的参数方程，可知圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(φ－sin φ)，y ＝3(1－cos φ)(φ为参数)．把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝⎛⎭⎫3π2－3，3， ∴AB ＝ ⎝⎛⎭⎫3π2－3－3π22＋(3－2)2＝10.[例2] 当θ＝π4，π2时，求圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．[思路点拨] 把θ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．[精解详析] 把θ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎨⎧x ＝22⎝⎛⎭⎫1＋π4，y ＝22⎝⎛⎭⎫1－π4，和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22⎝⎛⎭⎫1＋π4，22⎝⎛⎭⎫1－π4，⎝⎛⎭⎫π2，1，∴AB ＝⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1＋π4－π22＋⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1－π4－12 ＝14(5－22)π2－42π＋32－16 2.圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母θ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．3．渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(cos φ＋φsin φ)，y ＝6(sin φ－φcos φ)(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，求得到的曲线的焦点坐标．解：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝⎛⎭⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1.它表示焦点在x 轴上的椭圆，其中c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0)．4．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为22 mm ，求齿廓线所在的渐开线的参数方程．解：因为基圆的直径为22 mm ，所以基圆的半径为11 mm ，因此齿廓线所在的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11(cos φ＋φsin φ)，y ＝11(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．1．给出直径为6的圆，写出此圆的渐开线的参数方程．解：以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系．因为的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．2．求平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(t －sin t )，y ＝2(1－cos t )(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标．解：当y ＝2时，有2(1－cos t )＝2， ∴t ＝π2或t ＝3π2.当t ＝π2时，x ＝π－2；当t ＝3π2时，x ＝3π＋2.[对应学生用书P28]∴平摆线与直线y ＝2的交点为 (π－2,2)，(3π＋2,2)．3．已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积．解：由平摆线方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)知圆的半径为4，故圆的面积为16π.4．已知圆的半径为1，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A ，B 的参数值分别为π3和π2，求A 与B 两点的距离．解：圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)．当θ＝π3时，得x ＝3＋3π6，y ＝33－π6；当θ＝π2时，得x ＝π2，y ＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎫π2，1，故AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16(13－63)π2－6π－363＋72.5．已知平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2(φ－sin φ)，y ＝2(1－cos φ)(φ为参数)，求平摆线一个拱的宽度与高度．解：法一：由平摆线参数方程可知，产生平摆线的圆的半径r ＝2，又由平摆线的产生过程可知，平摆线一个拱的宽度等于圆的周长为2πr ＝4π，平摆线的拱高等于圆的直径为4.法二：由于平摆线的一个拱的宽度等于平摆线与x 轴两个相邻交点的距离，令y ＝0，即1－cos φ＝0，解得φ＝2 π( ∈ )，不妨分别取＝0,1，得φ1＝0，φ2＝2π，代入参数方程，得x 1＝0，x 2＝4π，所以平摆线与x 轴两个相邻交点的距离为4π，即平摆线一个拱的宽度等于4π；又因为平摆线在每一拱的中点处达到最高点，不妨取(x 1,0)，(x 2,0)的中点，此时φ＝φ1＋φ22＝π，所以平摆线一个拱的高度为|y |＝2(1－cos π)＝4.6．已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t >0)，它表示半径为t 的圆．(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆心平移到(0，t )，求出圆对应的平摆线的参数方程．解：(1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t >0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2. (2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t (φ－sin φ)，y ＝t (1－cos φ)(φ为参数)． 7．有一个直径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 与轮子中点连线的中点P 的轨迹方程．解：以M 落在轨道上的某一位置为原点，轨道所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则x M ＝a (φ－sin φ)，y M ＝a (1－cos φ)．设轮子中心为C ，则x c ＝aφ，y c ＝a . 而P 是CM 中点，则P 的轨迹方程是⎩⎨⎧x P ＝12a (2φ－sin φ)，y P＝12a (2－cos φ).(φ为参数)8.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平平摆线，取AQ ＝r 2或AQ ＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程．解：设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (rθ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).当AQ ＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －rθ，y 0＝2y －r ，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r (θ－12sin θ)，y ＝r (1－12cos θ)(θ为参数)．当AQ ＝3r2时，有⎩⎨⎧x 0＝rθ＋2x 3，y 0＝r ＋2y3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r (θ－sin θ)，y 0＝r (1－cos θ).∴点Q 的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝r ⎝⎛⎭⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝⎛⎭⎫1－32cos θ(θ为参数)．对应学生用书P29]考情分析从考试内容上来看，极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化是考查的重点，着重考查直线与圆的极坐标方程或参数方程的应用，难度中等．真题体验1．(江西高考)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________________．解析：消去曲线C 中的参数t 得y ＝x 2，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝x 2中，得ρ2cos 2θ＝ρsin θ，即ρcos 2θ－sin θ＝0.答案：ρcos 2θ－sin θ＝02．(重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则AB ＝________.解析：ρcos θ＝4化为直角坐标方程为x ＝4①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3，化为普通方程为y 2＝x 3② ①②联立得A (4,8)，B (4，－8)，故AB ＝16. 答案：163．(广东高考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝ 2 cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)，C 在点(1,1)处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为______________．解析：曲线C 是圆x 2＋y 2＝2，点(1,1)处的切线l 为x ＋y ＝2，其极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝2，化简得ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2. 答案：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ 2 4．(湖南高考)在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.解析：曲线C 1的直角坐标方程为2x ＋y ＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＝a 2，C 1与x 轴的交点坐标为(22，0)，此点也在曲线C 2上，代入解得a ＝22. 答案：225．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为______________________．解析：椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m ，可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线l 的普通方程为x ＋y －m ＝0，经过焦点(±c,0)，m ＝±c ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，直线与圆相切，|m |2＝b ，m 2＝2b 2，c 2＝2a 2－2c 2，c 2a 2＝23，e ＝63.答案：636．(上海高考)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π6.若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝________.解析：在直线l 上任取点P (ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定理得OM sin ∠OPM ＝OPsin ∠OMP ，即2sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝ρsin 5π6，化简得ρ＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ，故f (θ)＝1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ.答案：1sin ⎝⎛⎭⎫π6－θ 7．(辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.5．(湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m (m 为非零数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为________________．解析：椭圆的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，设焦点坐标为(±c,0)．由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22m ，可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线l 的普通方程为x ＋y －m ＝0，经过焦点(±c,0)，m ＝±c ，圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2，直线与圆相切，|m |2＝b ，m 2＝2b 2，c 2＝2a 2－2c 2，c 2a 2＝23，e ＝63.答案：638．(福建高考)在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心为(1,0)，半径r ＝1，以为圆心到直线的距离d ＝22<1，所以直线与圆C 相交．对应学生用书P30]简单曲线的极坐标方程及应用1.线与圆的位置关系问题．2．极坐标与直角坐标的互化公式：ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝yx ，常用方法有代入法、平方法等，还会用到同乘以(或除以)ρ等技巧．[例1] (新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ .(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．[解] (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.[例2] (江苏高考)在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin(θ－π3)＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程． [解] 在ρsin(θ－π3)＝－32中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C 的圆心坐标为(1,0)．因为圆C 经过点P (2，π4)，所以圆C 的半径 PC ＝ (2)2＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.是代入法和三角公式法．但将曲线的参数方程化为普通方程，不只是把其中的参数消去，还要注意x ，y 的取值范围在消参前后应该是一致的．对于曲线的普通方程转化为参数方程，一定要看清以谁为参数，然后利用普通方程中x ，y 的关系求得参数方程．同样，转化前后要注意参数的范围．[例3] 求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程： (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率为参数． [解] (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到 4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ， ∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ，因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )是方程4x 2＋y 2＝16上异于A 的任意一点，则y －4x ＝ (x ≠0)，将y ＝ x ＋4代入方程，得x [(4＋ 2)x ＋8 ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2( ≠0)，∵曲线上还有一点A (0,4)，∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2( ≠0)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2( 为参数)．[例4] 分别在下列两种情况下，把曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝12(e t ＋e －t )cos θ，y ＝12(e t－e－t)sin θ，化为普通方程，并指出方程表示什么曲线．(1)θ为参数，t 为非零常数； (2)t 为参数，θ(θ≠k π2， ∈ )为常数．[解] (1)∵t ≠0时，∴cos θ＝x12(e t ＋e －t )，sin θ＝y12(e t －e －t )，消去θ得x 214(e t ＋e －t )2＋y 214(e t －e －t )2＝1.∵(e t ＋e －t )2>(e t －e －t )2.∴方程表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆．(2)∵θ≠k π2( ∈ )，∴⎩⎨⎧e t ＋e －t＝2x cos θ，e t－e－t ＝2y sin θ，平方后相减得4＝4x 2cos 2θ－4y 2sin 2θ，即x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1. 方程表示的曲线是焦点在x 轴上的双曲线.过定点(x 0，y 0)，倾斜角为θ的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ(t 为参数)，其中|t |表示直线上任意一点到定点的距离，其应用十分广泛，解决问题要注意判断直线的参数式是否符合标准形式，否则t 无几何意义．[例5] (湖南高考改编)在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝1－2t ，(t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sin θ，y ＝3cos θ，(θ为参数，a ＞0)有一个公共点在x 轴上，求a 的值．[解] 曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＝3，曲线C 2的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1，直线2x ＋y ＝3与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫32，0，故曲线x 2a 2＋y 29＝1也经过这个点，代入解得a ＝32⎝⎛⎭⎫舍去－32. [例6] (江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．[解] 因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t(t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2(x －1)，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，⎝⎛⎭⎫12，－1.位置关系，这是综合应用考查的重点．解决此类问题时要注意数形结合思想的运用．[例7] (辽宁高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2 2. (1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1 (t ∈R 为参数)．求a ，b 的值．[解] (1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝2. 所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，π2，⎝⎛⎭⎫22，π4. 注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0，由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1.所以⎩⎨⎧b2＝1，－ab2＋1＝2.解得a ＝－1，b ＝2.[例8] (新课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方形ABCD 的顶点都在C 1上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由已知可得 A ⎝⎛⎭⎫2cos π3，2sin π3， B ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π2，C ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π，D ⎝⎛⎭⎫2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)， C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则 S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．。

《4.4.4 平摆线与圆的渐开线》课件-优质公开课-苏教选修4-4精品

课时作业
是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式．
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SJ ·数学选修4-4
令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.
课前自主导学当堂双基达标
类型2
课前自主导学
圆的渐开线
已知圆的渐开线的参数方程
当堂双基达标
x＝3cos φ＋3φsin y＝3sin φ－3φcos
φ， (φ为参数) φ
课堂互动探究
π 求出该渐开线的基圆的方程，当参数φ取 2 时，求对应曲线上点的坐标．
【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得r＝
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当堂双基达标
课时作业
SJ ·数学选修4-4
课前自主导学
当堂双基达标
圆的渐开线参数方程
课堂互动探究
x＝rcos φ＋φsin y＝rsin φ－φcos
φ，其中φ为参数． φ，
课时作业
菜
单
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当堂双基达标
三步：选参、用参、消参．其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以
课堂互动探究
用曲线的参数方程作为答案．
课时作业
菜
单
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2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？
课前自主导学
【提示】
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课时作业

2018-2019学年度最新北师大版数学选修4-4教学案：第二章4平摆线和渐开线

§4平摆线和渐开线[对应学生用书P35][自主学习]1．平摆线(1)平摆线的概念：一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线)．(2)摆线的参数方程：①定点M 在滚动过程中满足的几何条件：在平面直角坐标系中，设圆的半径为r ，圆在x 轴上滚动，开始时点M 在原点O (如图)．设圆转动的角度为α时，圆和x 轴的切点是S ，圆心是N ，M 的坐标为(x ，y )，取角度α为参数．连接NM ，NS ，过M 作x 轴的垂线MP ，垂足为点P ，过M 作NS 的垂线MQ ，垂足为Q .因为∠MNQ ＝α，所以OS ＝S M ＝rα.这就是圆周上的定点M 在圆N 沿直线滚动过程中满足的几何条件．②摆线的参数方程：如图(1)，由①分析可得：x ＝OP ＝OS －PS ＝S M －MQ ＝rα－r sin α＝r (α－sin α)，y ＝PM ＝SQ ＝SN －QN ＝r －r cos α＝r (1－cos α)．图(1)所以摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞<α<＋∞)． 2．渐开线(1)渐开线的相关概念：把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，此时，我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆．(2)渐开线的参数方程：①动点(笔尖)所满足的几何条件：如图(2)，我们把圆盘抽象成一个圆，把铅笔尖抽象成一个动点M ，它的初始位置记作A ，绳子离开圆盘的位置记作B ，随着绳子逐渐展开，动点B 从点A 出发在圆周上运动，动点M 满足以下条件：(Ⅰ)MB 与圆相切于B ；(Ⅱ)MB 的长度与B 在圆周上走过的弧长相等，即MB ＝A B .图(2) 图(3)②渐开线的参数方程：如图(3)，以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立平面直角坐标系．设圆的半径为r ，则动点M 的初始位置A 的坐标为(r,0)，设动点M 的坐标为(x ，y )，φ是以OA 为始边、OB 为终边的正角，令φ为参数，此时A B 的弧长为rφ.作ME ⊥Ox ，BC ⊥Ox ，垂足分别为E ，C ；作MD ⊥BC ，垂足为D ，则∠MBD ＝∠AOB ＝φ，由此可得圆的渐开线的参数方程是：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(其中φ是参数)． [合作探究]1．在摆线的参数方程中α的取值范围是什么？提示：α的取值范围为(－∞，＋∞)2．在图(1)中点O ，E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少？提示：这一个拱的宽度等于滚动圆的周长2πr ，拱高等于圆的直径2r .其中r 为滚动圆的半径．[对应学生用书P35][例1] 方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解，解答此题，根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(α为参数)和渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可．[精解详析] 令y ＝0，可得r (1－cos α)＝0，由于r >0，即得cos α＝1，所以α＝2k π (k ∈Z)．代入x ＝r (φ－sin φ)，而φ＝α得x ＝r (2k π－sin2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈Z)．又由实际可知r >0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π. 代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1π(α－sin α)，y ＝1π(1－cos α)(α为参数)．圆的渐开线的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝1π(cos φ＋φsin φ)，y ＝1π(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程，关键记住推导圆的平摆线、渐开线的参数方程的过程及得到的方程，确定出待定系数即可．1．基圆直径为10，求其渐开线的参数方程．解：取φ为参数，φ为基圆上点与原点的连线与x 轴正方向的夹角．∵直径为10，∴半径r ＝5.代入圆的渐开线的参数方程得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5(cos φ＋φsin φ)，y ＝5(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．这就是所求的圆的渐开线的参数方程.。

北师大版高中数学选修4-4 2.4平摆线和渐开线_学案设计(无答案)

平摆线和渐开线
【学习目标】
1．掌握平摆线和渐开线的定义。

2．熟练运用平摆线和渐开线解决问题。

3．亲历平摆线和渐开线性质的探索过程，体验分析归纳得出平摆线和渐开线性质结论的过程，发展探究、交流能力。

【学习重难点】
重点：掌握平摆线和渐开线的定义。

难点：平摆线和渐开线性质的实际应用。

【学习过程】
一、新课学习
知识点一：平摆线
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫做平摆线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．平摆线的定义是什么？
2.平摆线有什么作用？
2．知识点二：渐开线
在平面上，一条动直线（发生线）沿着一个固定的圆（基圆）作纯滚动时，此动直线上一点的轨迹叫做渐开线。

根据前面的知识做一做：
练习：
1．什么是渐开线？
2．渐开线有什么作用？
三、课程总结
1．这节课我们主要学习了哪些知识？
2．这节课我们主要学习了哪些解题方法？步骤是什么？
四、习题检测
1．有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径为32mm，求齿廓线的渐开线的参数方程。

2．平面直角坐标系中，若圆的摆线过点（1,0），求这条摆线的参数方程。

高中数学圆锥曲线 24 平摆线和渐开线学案北师大版选修41

§4 平摆线和渐开线 4.1 平摆线 4.2 渐开线1.了解平摆线和渐开线的生成过程.2.能推导平摆线和渐开线的参数方程.(难点)3.掌握平摆线和渐开线参数方程的简单应用.(重点)[基础·初探]教材整理1 平摆线及其参数方程1.一个圆在平面上沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线，简称摆线，又叫作旋轮线.2.设圆的半径为r ，圆滚动的角为α，那么摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rα－sin α，y ＝r －cos α(－∞<α<＋∞).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)圆的摆线实质上就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆圈上一个定点的轨迹.( )(2)求圆的摆线时，建立的坐标系不同，会得到不同的参数方程.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ 教材整理2 渐开线的参数方程1.把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离开圆周，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫作圆的渐开线，相应的定圆叫作渐开线的基圆.2.设基圆的半径为r ，圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ＋φsin φ，y ＝rφ－φcos φ(φ是参数).关于渐开线和摆线的叙述正确的是________(填序号).①只有圆才有渐开线；②平摆线和渐开线的概念是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才得到了不同的图形；③正方形也可以有渐开线；④对于同一个圆，如果建立的平面直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同.【解析】对于①，不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，故①不正确；对于②，两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同的，因此②不正确；对于③，正确；对于④，同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.【答案】③[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：.【精彩点拨】定点，―→滚动圆的半径―→平摆线的参数方程【自主解答】令r(1－cos α)＝0，可得cos α＝1.∴α＝2kπ(k∈Z)，∴x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1，∴r＝12kπ. 又由题意可知，r是圆的半径，故r＞0. ∴应有k＞0且k∈Z，即k∈N＋.∴所求平摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πα－sin α，y＝12k π－cos α(α为参数，k ∈N ＋).根据圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r α－sin α，y ＝r －cos α(α为参数)，可知只需求出其中的半径r .圆摆线的参数方程即可写出，也就是说圆的摆线的参数方程是由圆的半径唯一确定的.[再练一题]1.平摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α(0≤α≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2,2)，(3π＋2,2)B.(π－3,2)，(3π＋3,2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2,2)，(2π＋2,2)【解析】 y ＝2时，2＝2(1－cos α)， ∴cos α＝0.∵0≤α≤2π，∴α＝π2或32π，∴x 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－sin π2＝π－2，x 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫32π－sin 32π＝3π＋2.∴交点坐标为(π－2,2)，(3π＋2,2).故选A. 【答案】 AA ，B 对应的参数分别是π2和3π2，求A ，B 两点间的距离.【精彩点拨】根据渐开线的参数方程，分别求出A ，B 两点的坐标，再由A ，B 两点间的距离公式求出.【自主解答】由题意，知r ＝1，则圆的渐开线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数).当φ＝π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1，所以A ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1. 当φ＝3π2时，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos3π2＋3π2·sin 3π2＝－3π2，y ＝sin 3π2－3π2·cos 3π2＝－1，所以B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－1.所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋3π22＋＋2＝2π2＋1.利用圆的渐开线的参数方程求解有关问题时，关键是记住其参数方程的形式，并且弄清其中哪些字母已知，哪些字母待求.[再练一题]2.给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ(φ为参数).根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是________，当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是________.【导学号：12990031】【解析】所给的圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ，所以基圆半径r ＝4.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝4⎝⎛⎭⎪⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π，y ＝4.所以当参数φ取π2时对应的曲线上的点的坐标是(2π，4).【答案】 4 (2π，4)[构建·体系]1.给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化出的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题.③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点. 其中正确的说法有( ) A.①③ B.②④ C.②③D.①③④【解析】结合圆的渐开线的知识可知②③正确. 【答案】 C2.当φ＝2π时，圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ上的点是( )A.(6,0)B.(6,6π)C.(6，－12π)D.(－π，12π)【解析】当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程.∴x ＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，y ＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.【答案】 C3.半径为3的圆的平摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12πD.14π【解析】根据条件可知圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3α－3sin α，y ＝3－3cos α(α为参数).把y ＝0代入可得cos α＝1，所以α＝2k π(k ∈Z ).而x ＝3α－3sin α＝6k π(k ∈Z ).故应选C.【答案】 C4.已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________.【解析】圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.【答案】 35.已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程.【导学号：12990032】【解】令y ＝0，可得r (1－cos α)＝0. ∵r ＞0，∴cos α＝1， ∴α＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝r (α－sin α)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)(k ∈Z ).又∵x ＝2，∴r (2k π－sin 2k π)＝2，得r ＝1k π(k ∈Z ). 又由实际可知r ＞0，所以r ＝1k π(k ∈N ＋)，易知当k ＝1时，r 取最大值1π. 代入，得圆的摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πα－sin α，y＝1π－cos α(α为参数).我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2)。

2018-2019学年北师大版高中数学选修4-42.4平摆线和渐开线

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【做一做 2】
π 当 φ为 , π 时 , 圆的渐开线 2
�� = cos�� + ��sin��, �� = sin��- ��cos��
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1半径为2的圆的渐开线方程是( ). �� = 2( cos�� + ��sin��) , A. (��为参数) �� = 2( sin��- ��cos��) �� = 2cos��, B. (��为参数) �� = 2sin�� = 2��sin��, C. (��为参数) �� = -2��cos�� = 2(sin��-��cos��), D. (��为参数) �� = 2(cos�� + ��sin��) 答案:A
答案:
2 π +1 2
+ (1-π) =
2
5 2 π -π 4
+2 =
5π2 -4π+8 . 2
5π2 -4π+8 2
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(江苏专用版)2018-2019学年高中数学4.4.4平摆线与圆的渐开线学案苏

4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程．2．在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位．3．体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性．[基础·初探]1．平摆线(1)如图4-4-7所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过θ(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OB＝rθ.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件．我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．图4-4-7(2)以定直线为x轴，点O为原点建立直角坐标系，则定点P(x，y)的参数方程为x＝rθ－sin θ，(θ为参数)．y＝r－cos θ2．圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．[思考·探究]1．用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参．其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案．2．圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB相对于Ox转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P由参数φ惟一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________摆线已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．【自主解答】根据圆的摆线的参数方程的表达式x＝rφ－sin φ，y＝r－cos φ(φ为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式．令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1.所以r＝12kπ.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0. 所以，应有k>0且k∈Z，即k∈N＋.所以，所求摆线的参数方程是。

18学年高中数学参数方程四渐开线与摆线教学案新人教A版4_4180302143

四渐开线与摆线[对应学生用书P30] 1．渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆．2．摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线．3．圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ＋φsin φy ＝rφ－φcos φ(φ为参数)．(2)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φy ＝r－cos φ.(φ为参数)．[对应学生用书P30][例1] 求半径为4的圆的渐开线的参数方程．[思路点拨] 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系．[解] 以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，的长和线段AM 的长相等，x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角函数和向量知识，得(4cos θ，4sin θ)．由几何知识知∠MAB ＝θ，(4θsin θ，－4θcos θ)，＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ))．(x ，y )，因此有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝θ＋θsin θ，y ＝θ－θcos θ这就是所求圆的渐开线的参数方程．圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．已知圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应基圆的半径是________．解析：圆的渐开线的参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ＋φsin φ，y ＝φ－φcos φ(φ为参数)，圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径r ＝3.答：32．已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A ，B 对应的参数分别是π3和π2，求A ，B 两点的距离．解：根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A ，B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A ，B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16－63π2－6π－363＋72.即A ，B 两点之间的距离为 16 －63π2－6π－363＋72.[例2] 求半径为2的圆的摆线的参数方程．(如图所示，开始时定点M 在原点O 处，取圆滚动时转过的角度α，(以弧度为单位)为参数)[思路点拨] 利用向量知识和三角函数的有关知识求解．[解] 当圆滚过α角时，圆心为点B ，圆与x 轴的切点为A ，定点M 的位置如图所示，∠ABM ＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA 它们的长都等于2α，从而B 点坐标为(2α，2)，(2α，2)，(2sin α，2cos α)，(－2sin α，－2cos α)，＝(2α－2sin α，2－2cos α)＝(2(α－sin α)，2(1－cos α))．动点M 的坐标为(x ，y )(x ，y )所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α－sin α，y ＝－cos α这就是所求摆线的参数方程．(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． (2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r 是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．3．摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －sin t ，y ＝－cos t(0≤t ≤2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是________．答案：(π－2,2)；(3π＋2,2)4．圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O .圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角．试求点M 的轨迹方程．解：x M ＝r ·φ－r ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π2＝r (φ－sin φ)，y M ＝r ＋r ·sin(φ－π2)＝r (1－cos φ)．即点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ[对应学生用书P31] 一、选择题1．半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A ．π B ．2π C ．12πD ．14π解析：根据条件可知，圆的摆线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y ＝0代入，得φ＝2k π(k ∈Z )，此时x ＝6k π(k ∈Z )．答案：C2．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x 轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①③④ 解析：对于一个圆，只要半径确定，渐开线和摆线的形状就是确定的，但是随着选择体系的不同，其在坐标系中的位置也会不同，相应的参数方程也会有所区别，至于渐开线和坐标轴的交点要看选取的坐标系的位置．答案：C3．已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，那么圆的摆线方程中参数取π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝φ－sin φ，y ＝－cos φ(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2－，y ＝3，即A (3(π2－1)，3)，∴|AB |＝ π2－－3π2]2＋－2＝10.答案：C4．如图ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( )A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π解析：1的14圆周长，长度为π2，得是半径为2的14圆周长，长度为π3的14圆周长，长度为3π2；为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π.答案：C 二、填空题5．我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r φ－sin φ，y ＝r －cos φ(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________．解析：关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换，所以要写出摆线方程关于y ＝x 对称的曲线方程，只需把其中的x ，y 互换．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r－cos φ，y ＝r φ－sin φ，(φ为参数)6．已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是__________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________．解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为 2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案：2 ⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π87．已知一个圆的摆线过点(1,0)，则摆线的参数方程为______________．解析：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝rφ－sin φ，y ＝r －cos φ，令r (1－cos φ)＝0，得：φ＝2k π代入x ＝r (φ－sin φ) 得：x ＝r (2k π－sin2k π)，又过(1,0)， ∴r (2k π－sin2k π)＝1，∴r ＝12k π又r ＞0，∴k ∈N *答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k πφ－sin φ，y ＝12k π－cos φ，(φ为参数，k ∈N *)三、解答题8．有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程．解：设轮子中心为O ，则OM ＝a .点M 的轨迹即是以O 为圆心，a 为半径的基圆的摆线．由参数方程知点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝aφ－sin φ，y ＝a －cos φ9．已知一个圆的摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4φ－4sin φ，y ＝4－4cos φ(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程．解：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积是16π，该圆对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ＋4φsin φ，y ＝4sin φ－4φcos φ.(φ为参数)10．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程．解：令y ＝0，可得a (1－cos φ)＝0，由于a ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝a (φ－sin φ)，得x ＝a (2k π－sin2k π)．又因为x ＝2，所以a (2k π－sin2k π)＝2，即得a ＝1k π(k ∈Z )．又由实际可知a ＞0，所以a ＝1k π(k ∈N *)．易知，当k ＝1时，a 取最大值为1π.代入即可得圆的摆线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ－sin φ，y ＝1π－cos φ(φ为参数)圆的渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1πφ＋φsin φ，y ＝1πφ－φcos φ(φ为参数)。

《4.4.4 平摆线与圆的渐开线》教案新部编本

教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《4.4.4 平摆线与圆的渐开线》教案教学目标：1.了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.2.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤教学重､难点:用向量知识推导运动轨迹曲线的方法教学过程:一:情境引入复习:圆的参数方程二:数学建构1､以基圆圆心O 为原点,直线OA 为x 轴,建立平面直角坐标系,可得圆渐开线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos ϕϕϕϕϕϕr y r x (ϕ为参数) 2､在研究平摆线的参数方程中,取定直线为x 轴,定点M 滚动时落在直线上的一个位置为原点,建立直角坐标系,设圆的半径为r,可得摆线的参数方程为｡⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (ϕϕϕr y r x (ϕ为参数) 三:例题讲解例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程变式训练1 当2πϕ=,π时,求圆渐开线⎩⎨⎧-=+=ϕϕϕϕϕϕcos sin sin cos y x 上对应点A ､B 坐标并求出A ､B 间的距离｡变式训练2 求圆的渐开线⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)cos (sin 2)sin (cos 2t t t y t t t x 上当4π=t 对应的点的直角坐标｡例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程变式训练3求摆线⎩⎨⎧-=-=ty t t x cos 1sin π20≤≤t 与直线1=y 的交点的直角坐标例3､设圆的半径为8,沿x 轴正向滚动,开始时圆与x 轴相切于原点O,记圆上动点为M 它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上纵坐标y 的最大值,说明该曲线的对称轴教学反思:。

2019-2020年高中数学4.4参数方程4.4.4平摆线与圆的渐开线课后训练苏教版选修

2019-2020年高中数学4.4参数方程444平摆线与圆的渐幵线课后训练苏教版选修1 •渐开线（0为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的焦点坐标为__________ •2•已知一个圆的参数方程为（0为参数），那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为 ___________ •3. 已知圆的方程为x2+ y2= 4,点P为其渐开线上一点，对应的参数，则点P的坐标为4•已知圆的渐开线的参数方程是（0为参数），则此渐开线对应的基圆的直径是 ___________ ，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_________ •5. 参数方程（0为参数）表示的曲线是____________ •6. ________________________________________________________ 平摆线（0 < t W2 n ）与直线y= 2的交点的直角坐标是_______________________________________ •7・如图，ABC［是边长为1的正方形，曲线AEFGH・叫做“正方形的渐开线”，其中AE EF,FGGH…的圆心依次按B,C,D,A循环，它们依次相连接，贝U曲线AEFG的长是 _________ •&我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数，则圆的平摆线（0为参数）关于直线y=x对称的曲线的参数方程为______________ •9•已知平摆线的生成圆的直径为80 mm写出平摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高.10.已知圆的渐开线（0为参数，0W 0 < 2n ）上有一点的坐标为（3,0），求渐开线对应的基圆的面积.参考答案1. 答案：（，0）和（，0）解析：根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r = 6,其方程为X + y = 36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的方程为，整理可得，这是一个焦点在x轴上的椭圆.c"a—」144一36 =6 •一3，故焦点坐标为（，0）和（，0）.2. 答案：解析：根据圆的参数方程可知，圆的半径为3,那么它的平摆线的参数方程为（$为参数），把代入参数方程中可得x = 3（$ -1）,）即.l y =3,- .23 I n」+（3—2）2=后.1辽丿2」'3. 答案：（n , 2）解析：由题意，圆的半径r = 2，其渐开线的参数方程为（$为参数）.当时，X = n , y= 2,故点P的坐标为（n , 2）.4. 答案：2解析：圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1, 故直径为2.求当时对应的坐标，只需把代入曲线的参数方程，得，，由此可得对应的点的坐标为•5. 答案：半径为3的圆的渐开线解析：由参数方程的形式可直接得出答案.6. 答案：（n —2,2）或（3 n + 2,2）解析：由y= 2 得2= 2（1 —COS t）,二COS t = 0. T 0W t W2 n ,•••或.二X i = = n —2,<3 3 、,X?= 2 - n-sin —n = 3 n 2\、2 2 丿•交点的直角坐标为（n —2,2）或（3 n + 2,2）.7. 答案：5n解析：根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为n ;是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2 n . 所以曲线AEFG!的长是5n .8. 答案：（$为参数）解析：关于直线y = x对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出平摆线方程关于直线y=x的对称曲线方程，只需把其中的x与y互换.9. 解：•••平摆线的生成圆的半径r = 40 mm •••此平摆线的参数方程为（t为参数），它一拱的拱宽为 2 n r = 2 n X 40= 80 n （mm）,拱咼为2r = 2 X 40= 80（mm）.10. 解：把已知点（3,0）代入参数方程得解得所以基圆的面积S= n r2= n X3= 9 n .1在方程（0为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）、选择题（每题只有一个选项是正确的，请把正确选项填在题后的括号内）1在方程（0为参数）所表示的曲线上的一点的坐标为（）A.(2,-7)B.()C.(,)D.(1,0)思路解析：把参数方程化为普通方程要注意范围的等价性 ,普通方程是y=1-2x 2(-1w x w 1),再根据选择肢逐个代入进行验证即可 •答案：C2下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2-y=0表示同一曲线的方程是…() A.B.x = tan t,C. 1 cos2tD.y 二I 1 -cos2t思路解析：注意参数范围，可利用排除法.普通方程x 2-y 中的x € Ry > 0,A 中x= | t |> 0,B 中 x=cost€[ -1,1 ],故排除 A 和 B.而 C 中 y==cot t=, 即x 2y=1,故排除C. 答案：D3直线：3x-4y-9=0与圆：(0为参数)的位置关系是() A.相切 B. 相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心思路解析：把圆的参数方程化为普通方程得 x 2+y 2=4,得到半径为2,圆心为(0,0),再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系 .答案：Ci x = t + —t'(t 为参数)所表示的曲线是()y 「2A. 一条射线B. 两条射线C. 一条直线D.两条直线思路解析：根据参数中y 是常数可知，方程表示的是平行于 x 轴的直线，再利用不等式知识求出x 的范围可得x <-2,或x >2,可知方程表示的图形是两条射线 .答案：B5双曲线(0为参数)的渐近线方程为() A.y- 1 = ± (x+2) B.y= ±xC.y- 1 = ± 2(x+2)D.y+ 仁土 2(x -2)思路解析：根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程得 -(x+2) 2=1,可知这是中心在 (1,-2)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可 .答案：C6设r>0,那么直线xcos 0 +ysin 0 =r 与圆($是参数)的位置关系是…() A.相交 C.相离B. 相切 D.视r 的大小而定思路解析：根据已知圆的圆心在原点，半径是r,则圆心(0,0)到直线的距离为d==r,恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切. 答案：B7设直线l 1：(t 为参数),如果a 为锐角，那么直线l 1到直线l 2：X+仁0的角是()'x =ta nt, 1 -cos2t y = -1 +cos2t4参数方程A.- aB.+ aC. aD. n - a思路解析：根据方程可知，1 i的倾斜角为n - a ,1 2的倾斜角为，根据直线到角的定义，只需让l i逆时针旋转+a即与12重合.所以,直线I i到I 2的角为+a .答案：B8直线(t为参数)上与点P(-2,3)的距离等于的点的坐标是…()A.(-4,5)B.(-3,4)C.(-3,4)或(-1,2)D.(-4,5) 或(0,1)思路解析：可以把直线的参数方程转化为标准式，或者直接根据直线参数方程的非标准式中参数的几何意义可得(丨t | =,将t代入原方程，得•••所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2).答案：C9半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0,那么其横坐标可能是()A. nB.2 nC.12 nD.14 n思路解析：根据条件可知圆的摆线的参数方程为(0为参数),把y=0代入可得cos $ =1,所以0 =2k n (k € Z).而x=3 0 -3sin $ =6k n .根据选项可知选C.答案：C二、填空题(请把正确的答案直接填写在题后的横线上)10已知参数方程(a,b,入均不为零,0 < 0 <2n ),当(1)t是参数时，(2)入是参数时,(3) 0是参数时，分别对应的曲线为__________ , ________ , ________ .思路解析：本题主要考查参数方程的有关含义，强调在一个方程中，不同的量作为参数会得到不同的含义.把t作为参数消去t可得bx-ay-b入cos 0 -a入sin 0 =0表示直线；把入看作参数可得y-bt=cot 0 (x-at)表示直线;同理，把0看作参数，消去0可得(x-at) 2+(y-bt) 2=入2 表示圆.答案：直线直线圆11圆锥曲线(0为参数)的准线方程是_______________ .思路解析：根据条件和三角函数的性质可知，对应的普通方程为=1,表示的曲线是焦点在y 轴的双曲线，且对应的a=3,b=2,c=,所以准线方程是y=±.答案：y=±12直线I经过点M(1,5),倾斜角是，且与直线x-y-=0 交于点M,则| 丨的长为1X =汀思路解析：直线l的参数方程是(t为参数)，代入方程x-y-=0中，解得|y訣tI 2t=-(10+),根据t的几何意义，可知| MM| = | t | =10+.答案：10+13在圆的摆线上有点(n ,0),那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上,参数0 =对应点的坐标为______________ .思路解析：首先根据摆线的参数方程(0为参数),把点(n ,0)代入可得则sin 0 =0, 0 =2k n (k € Z),所以r=(k € Z),又r>0,所以k€ N,当k=1 时r 最大为.再把0 =代入即可.答案：()三、解答题(请写出详细的解答过程)14A为椭圆=1上任意一点,B为圆(x-1) 2+y2=1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值.v思路分析：化普通方程为参数方程，再求出圆心坐标，利用两点间距离公式转化为三角函数求值域问题来解决•解：化普通方程为参数方程(0为参数),圆心坐标为C(1,0),再根据平面内两点之间的距离公式可得丨AC |=.(5cos v -1)2 9sinS - .. 16cosl -10cos，10 =. ：16(cos 5 )2 135,V 16 16所以当cos 0 =时,|AC|取最小值为,cos 0 =-1时,|AC|取最大值为6,所以当cos 0 =时,|AB| 取最小值为+1;当cos 0 =-1时,|AB|取最大值为6+仁7.15设抛物线y2=4x有内接△ OAB其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长.思路分析：因为抛物线的焦点恰为三角形的垂心，则抛物线的对称轴即x轴与AB垂直，且A、B关于x轴对称，所以△ OAB为等腰三角形.解：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),F OAB的垂心,所以x轴丄AB,A、B关于x轴对称.设A(4t 2,4t)(t>0), 则B(4t 2,-4t), 所以k AF=,k OE=.因为AF丄OB所以k AF 7。

苏教版高二数学选修4-4 平摆线与圆的渐开线学案

4.4.4 平摆线与圆的渐开线1．平摆线的参数方程半径为r 的圆的平摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (α－sin α)，y ＝r (1－cos α)(－∞＜α＜＋∞)．预习交流1圆的平摆线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据圆的平摆线的定义和建立参数方程的过程，可以知道其中的字母r 是指圆的半径，参数α是过圆周上点M 的半径与过圆与x 轴切点的半径的夹角．参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程．当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况．2．圆的渐开线的参数方程半径为r 的圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r(sin φ－φcos φ)(其中φ为参数)．预习交流2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？提示：根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r 是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时，半径OB 相对于Ox 转过的角度，如图，其中的∠AOB 即是角φ.显然点P 由参数φ唯一确定．在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单．一、求平摆线的参数方程已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程．思路分析：根据圆的平摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，只需把点(2,0)代入参数方程求出r 的表达式，根据表达式求出r 的最大值，再确定对应的平摆线的参数方程即可．解：令y ＝0，可得r (1－cos φ)＝0，由于r ＞0，即得cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因为x ＝2，所以r (2k π－sin 2k π)＝2，即得r ＝1k π(k ∈N ＋)．易知，当k ＝1时，r 取最大值为1π.代入即可得圆的平摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1π(φ－sin φ)，y ＝1π(1－cos φ)(φ为参数)．已知一个圆的摆线过点(1,0)，请写出该摆线的参数方程．解：圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (φ－sin φ)，y ＝r (1－cos φ)(φ为参数)，令r (1－cos φ)＝0，可得cos φ＝1，解得φ＝2k π(k ∈Z )．代入x ＝r (φ－sin φ)，可得x ＝r (2k π－sin 2k π)．又因圆的摆线过点(1,0)，所以r (2k π－sin 2k π)＝1，解得r ＝12k π(k ∈Z )．又r ＞0，所以k ＞0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.故所求摆线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝12k π(φ－sin φ)，y ＝12k π(1－cos φ)(φ为参数，k ∈N ＋)．要熟知平摆线的参数方程及每个字母的含义．二、圆的渐开线的参数方程当φ＝π4，π2时，求出渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ上的对应点A ，B ，并求出A ，B 的距离．思路分析：把φ＝π4，π2分别代入参数方程即可求出相应两点的坐标，从而求出两点间的距离．解：把φ＝π4，π2分别代入参数方程得⎩⎨⎧x ＝22⎝⎛⎭⎫1＋π4，y ＝22⎝⎛⎭⎫1－π4和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝π2，y ＝1，即A ，B 两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫22⎝⎛⎭⎫1＋π4，22⎝⎛⎭⎫1－π4，⎝⎛⎭⎫π2，1， ∴|AB |＝⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1＋π4－π22＋⎣⎡⎦⎤22⎝⎛⎭⎫1－π4－12＝14(5－22)π2－42π＋32－16 2.给出圆的渐开线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数)．根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是______；当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是______．答案：3 ⎝⎛⎭⎫3π2，3解析：所给的圆的渐开线的参数方程可化为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3(cos φ＋φsin φ)，y ＝3(sin φ－φcos φ)，所以基圆半径r ＝3.然后把φ＝π2代入方程，可得⎩⎨⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫cos π2＋π2sin π2，y ＝3⎝⎛⎭⎫sin π2－π2cos π2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3π2，y ＝3.所以当参数φ取π2时，对应的曲线上的点的坐标是⎝⎛⎭⎫3π2，3. 圆的渐开线的参数方程中，字母r 表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M 相对于圆心的张角；另外，渐开线的参数方程不宜化为普通方程．1．半径为4的圆的摆线方程为__________．答案：4(sin )()4(1cos )x y ϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝－，为参数＝－解析：把r ＝4代入摆线参数方程即可．2．半径为2的圆的渐开线方程为__________．答案：2(cos sin )()2(sin cos )x y ϕϕϕϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝＋，为参数＝－3．面积为36π的圆的平摆线参数方程为__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)解析：S ＝36π，∴r ＝6.∴平摆线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6(φ－sin φ)，y ＝6(1－cos φ)(φ为参数)．4．面积为64π的圆的渐开线的参数方程为__________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(cos φ＋φsin φ)，y ＝8(sin φ－φcos φ)(φ为参数)解析：S ＝64π，∴r ＝8.∴渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8(cos φ＋φsin φ)，y ＝8(sin φ－φcos φ)(φ为参数)．5．已知圆C 的参数方程是16cos ()26sin x y ααα⎧⎨⎩＝＋，为参数＝－＋，直线l 对应的普通方程是x－y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请判断平移后圆和直线的位置关系； (2)写出平移后圆的平摆线方程；(3)求平移后圆的平摆线和x 轴的交点．解：(1)圆C 平移后圆心为O (0,0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．(2)由于圆的半径是6，所以平移后圆的平摆线的参数方程是6(sin )()6(1cos )x y ϕϕϕϕ⎧⎨⎩＝－，为参数＝－ (3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z )．则x ＝12k π(k ∈Z )，即平移后圆的平摆线和x 轴的交点为(12k π，0)(k ∈Z )．。

苏教版高中数学选修4-4 4.4.4平摆线和圆的渐开线_学案(无答案)

平摆线与圆的渐开线【学习目标】1．知识目标：了解圆的渐开线的参数方程2．能力目标：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤3．德育目标：学习用数学的眼光来欣赏曲线【学习重难点】了解摆线的生成过程及它的参数方程【学习指导】了解摆线生成过程，欣赏曲线形成过程【学习过程】一、自主学习探究：把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。

这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程我们把笔尖画出的曲线叫做：相应的定圆叫做：合作学习：渐开线的参数方程：A摆线的定义：摆线的参数方程为：思考：圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？圆的摆线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【达标检测】1．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上的两点A 、B 对应的参数分别是3π和2π，求A 、B 两点的距离2．当3=22ππϕ，，求渐开线cos sin sin cos {x y ϕϕϕϕϕϕ=+=-，上的对应点A 、B ，并求出A 、B 的距离3．已知一个圆的摆线过一定点（2，0），请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程及对应的圆的渐开线的参数方程4．已知一个圆的摆线方程是44sin44cos{xyϕϕϕ=-=-ϕ为参数，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程【学习拓展】曲线的参数方程【学习小结】1．圆的渐开线参数方程：2．圆的摆线的参数方程：【学后反思】B M Oϕx。