高一数学圆与圆的位置关系

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高一数学圆与圆的位置关系

4.2.2圆与圆的位置关系
主讲教师：
复习引入
1. 两圆的位置关系有哪几种？
复习引入
2. 如何利用半径与圆心距之间的关系来判断两圆的位置关系？
复习引入
2. 如何利用半径与圆心距之间的关系来判断两圆的位置关系？
设两圆的圆心距为d，两圆半径
分别为R、r.
当d＞R＋r时，两圆，
当d＝R＋r时，两圆，
例3.已知两圆C1: x2＋y2－4x＋2y＝0和圆C2: x2＋y2－2y－4＝0的交点为A、B， (1) 求AB的长； (2) 求过A、B两点且圆心在直线
l: 2x＋4y－1＝0上的圆的方程.
小结：
判断两圆的位置关系的方法: (1) 由两圆的方程组成的方程组有几组
实数解确定. (2) 依据连心线的长与两圆半径长的和公切线方程.Fra bibliotek课后作业
1. 阅读教材P.129到P.130； 2. 《习案》二十八.
； /c/89/ 美国服务器；
集了,隐世君主他在不咋大的白の大婚上见过.那几个仙风道骨の老者,基德说是两大秘境の主人,九品下の实力！除了基德所说还有三个不问神界事情の秘境内の老东西,和号称神界战力第一の星辰君主,其余の九品都到齐了！众人落座,莫尚煌是个急幸运子,第一些开口了："诸位,星辰海の局势刻不容缓,时候拖延一刻,恶魔就会不断の从空间裂缝中降临.神界の天地元气中の恶魔气息就会越来越浓郁.现在是妖智暴动,估计半年之后再不镇压下去,下次暴动将会是…神界所有の低级练家子.并且,星辰海の空间裂缝被恶魔の控制之下,会变得越来越大,越来越稳定.不用三个月,绝对能产生能降临恶魔君主の超级大裂缝.恶魔君主の强横不用多说,只要恶魔君主一降临,恐怕到时候神界の一半低级练家子,会瞬间魔化！浩劫啊,有可能灭世の大浩劫啊！&#

高一数学复习考点知识讲解课件16---圆与圆的位置关系

高一数学复习考点知识讲解课件§2.3圆与圆的位置关系考点知识1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题．导语日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食．我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系．一、圆与圆的位置关系的判断知识梳理1．代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D21＋E21－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D22＋E22－4F2>0)，联立方程得⎩⎨⎧x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0，则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数 2组1组0组两圆的公共点个数2个1个0个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2.几何法：若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆连心线的长为d ，则两圆的位置关系如下：位置关系图示d 与r 1，r 2的关系外离d >r 1＋r 2外切d ＝r 1＋r 2相交|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2内切d ＝|r 1－r 2|内含d <|r 1－r 2|注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或有一解时，无法判断两圆的位置关系．(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法．例1当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？解将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而C1C2＝(－2－1)2＋(3－7)2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即14＜k＜34时，两圆相交．当|50－k＋1|<5，即34＜k＜50时，两圆外离．反思感悟判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径．(2)计算两圆圆心的距离d.(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．跟踪训练1已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0.(1)当m为何值时，圆C1与圆C2外切？(2)当圆C1与圆C2内含时，求m的取值范围？解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后，有C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9.C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.∴两圆的圆心C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径r1＝3，r2＝2，且C1C2＝(m＋1)2＋(m＋2)2.(1)若圆C1与圆C2相外切，则C1C2＝r1＋r2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，解得m＝－5或m＝2.(2)若圆C1与圆C2内含，则0≤C1C2＜|r2－r1|＝1，即(m＋1)2＋(m＋2)2＜1，解得－2＜m＜－1.二、两圆相切问题问题1圆与圆相切包含哪几种情况？提示内切和外切两种情况．问题2两圆相切可用什么方法求解？提示(1)几何法．利用圆心距d与两半径R，r之间的关系求得，d＝R＋r为外切，d＝|R －r|为内切．(2)代数法．将两圆联立消去x或y得到关于y或x的一元二次方程，利用Δ＝0求解．知识梳理处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)．例2求半径为4，与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圆与直线y＝0相切、半径为4，得圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3.由两圆相切，得CA＝4＋3＝7或CA＝4－3＝1.①当圆心为C1(a,4)时，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a ＝2±210，故所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16.②当圆心为C 2(a ，－4)时，(a －2)2＋(－4－1)2＝72或(a －2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，解得a ＝2±2 6. 故所求圆的方程为(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.综上所述，所求圆的方程为(x －2－210)2＋(y －4)2＝16或(x －2＋210)2＋(y －4)2＝16或(x －2－26)2＋(y ＋4)2＝16或(x －2＋26)2＋(y ＋4)2＝16.反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题．跟踪训练2求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程．解已知圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心为C (1,0)，半径为1.设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)．由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧(a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝0，r ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.三、两圆相交问题问题3两圆相交时，如何求出公共弦所在的直线方程？提示将两个方程化成一般式，然后作差即可求得．问题4两圆公共弦长如何求得？提示将公共弦所在直线的方程与其中一个圆方程联立，利用勾股定理AB ＝2r 2－d 2求得．例3已知圆C 1：x 2＋y 2＋6x －4＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋6y －28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解(1)设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，①x 2＋y 2＋6y －28＝0②的解．①－②，得x －y ＋4＝0.∵A ，B 两点的坐标都满足此方程，∴x －y ＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．又圆C 1的圆心(－3,0)，r ＝13， ∴C 1到直线AB 的距离d ＝|－3＋4|2＝22，∴AB ＝2r 2－d 2＝213－12＝52，即两圆的公共弦长为5 2.(2)方法一解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因为圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4. 则(a ＋1)2＋(a －4－3)2＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72，半径为892.故圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.方法二设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0.反思感悟(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数．(2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．(3)已知圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)．跟踪训练3圆心在直线x －y －4＝0上，且经过圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程为________________．答案(x －3)2＋(y ＋1)2＝16(或x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0)解析方法一由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3，所以圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)，B (3,3)，连接AB ，则线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16. 方法二同方法一求得A (－1，－1)，B (3,3)，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，(－1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(3－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，r 2＝16，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.方法三设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0，其中λ≠－1，化简可得x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ. 又圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.1．知识清单：(1)两圆的位置关系．(2)两圆的公共弦．(3)圆系方程．2．方法归纳：几何法、代数法．3．常见误区：将两圆内切和外切相混．1．圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2：x2＋y2－4x－4y－1＝0的位置关系是() A．外离B．外切C．相交D．内含答案C解析将圆的一般方程化为标准方程得C1：(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝9，∴C1(－1，－4)，C2(2,2)，r1＝5，r2＝3.从而C1C2＝32＋62＝35，∴r1－r2＜C1C2＜r1＋r2.因此两圆的位置关系为相交．故选C.2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是()A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝0答案C解析AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.故选C.3．已知点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则PQ 的最小值为________．答案1解析O(0,0)，C(3,0)，两圆半径均为1，∵OC＝32＋02＝3，∴PQ的最小值为3－1－1＝1.4．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：x2＋y2＝1，则过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为______________．答案x2＋y2－x－2y＝0解析设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋1＋λ(x2＋y2－1)＝0(λ≠－1)，把原点代入可得1－λ＝0，所以λ＝1，即可得过圆C1与圆C2的两个交点且过原点O的圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.课时对点练1．圆x2＋y2＝2与圆x2＋y2＋2x－2y＝0的位置关系是()A．相交B．内切C．外切D．外离答案A解析由题意得，圆x2＋y2＝2的圆心O1(0,0)，圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心O2(－1,1)，圆心距d＝O1O2＝1＋1＝2，两个圆的半径均为2，故|r1－r2|<d<r1＋r2，所以两个圆相交．故选A.2．(多选)若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于() A．16B．7C．－4D．9答案AC解析圆C1的圆心为(1,0)，半径为1；圆C2化为(x－4)2＋(y＋4)2＝32－m，表示以(4，－4)为圆心，半径等于32－m的圆．由题意，两个圆相内切时，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5＝|32－m－1|，解得m＝－4.两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝32－m＋1，解得m＝16，综上，m的值为－4或16.3．已知直线3x＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，则圆M和圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．外离B．外切C．相交D．内切答案C解析圆M的标准方程为(x－a)2＋y2＝a2(a>0)，则圆心为(a,0)，半径R＝a，因为直线3x ＋4y＋4＝0与圆M：x2＋y2－2ax＝0(a>0)相切，所以|3a＋4|32＋42＝a，解得a＝2，则圆M的圆心为(2,0)，半径R＝2，圆N的圆心为N(1,1)，半径r＝1，则MN＝(2－1)2＋1＝2，因为R＋r＝3，R－r＝1，所以R－r<MN<R＋r，即两个圆相交．4．已知圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，A，B分别是圆C1和圆C2上的动点，则AB的最大值为()A.41＋4B.41－4C.13＋4D.13－4答案A解析圆C1的圆心为(－1，－1)，半径为1，圆C2的圆心为(3,4)，半径为3，则圆心距为d＝(－1－3)2＋(－1－4)2＝41>1＋3，所以两圆外离，所以圆C1和圆C2上的两点AB 的最大值为d＋r1＋r2＝41＋4.5．圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为()A.13B．4C.43913 D.83913答案D解析由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.圆心O(0,0)到l的距离d＝21313，圆O的半径R＝2，所以截得的弦长为2R2－d2＝24－413＝83913.6．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是()A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9C．(x－2)2＋(y－2)2＝25D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49答案BCD解析由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.∵C1C＝17∈(r1－r，r1＋r)，∴两圆相交；B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，∵C2C＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C 项，圆心C 3(2,2)，半径r 3＝5，∵C 3C ＝3＝r 3－r ，∴两圆内切；D 项，圆心C 4(2，－2)，半径r 4＝7，∵C 4C ＝5＝r 4－r ，∴两圆内切．7．经过直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________________．答案x 2＋y 2－34x －34y －114＝0 解析由已知可设所求圆的方程为x 2＋y 2－2＋λ(x ＋y ＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－34，故所求圆的方程为x 2＋y 2－34x －34y －114＝0.8．过两圆x 2＋y 2－2y －4＝0与x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0的交点，且圆心在直线l ：2x ＋4y －1＝0上的圆的方程是________________．答案x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0解析设圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＋λ(x 2＋y 2－2y －4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x 2－4x ＋(1＋λ)y 2＋(2－2λ)y －4λ＝0，把圆心⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫21＋λ，λ－11＋λ代入直线l ：2x ＋4y －1＝0的方程，可得λ＝13，所以所求圆的方程为x 2＋y 2－3x ＋y －1＝0.9．已知圆O 1：x 2＋y 2－82x －82y ＋48＝0，圆O 2过点A (0，－4)，若圆O 2与圆O 1相切于点B (22，22)，求圆O 2的方程．解圆O 1的方程变为(x －42)2＋(y －42)2＝16，所以圆心O 1(42，42)，因为圆O 2与圆O 1相切于点B (22，22)，所以圆O 2的圆心在直线y ＝x 上，不妨设为(a ，a )，因为圆O 2过点A (0，－4)，所以圆O 2与圆O 1外切，因为圆O 2过B (22，22)，所以a 2＋(a ＋4)2＝2(a －22)2，所以a ＝0，所以圆O 2的方程为x 2＋y 2＝16.10．已知两圆C 1：x 2＋y 2＝4，C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，直线l ：x ＋2y ＝0.(1)当圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4时，求r 的值；(2)当r ＝1时，求经过圆C 1与圆C 2的交点且和直线l 相切的圆的方程．解(1)由圆C 1：x 2＋y 2＝4，知圆心C 1(0,0)，半径r 1＝2，又由圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝r 2(r >0)，可得x 2＋y 2－2x －4y ＋5－r 2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x ＋4y －9＋r 2＝0.因为圆C 1与圆C 2相交且公共弦长为4，所以此时相交弦过圆心C 1(0,0)，即r 2＝9(r >0)，解得r ＝3.(2)设过圆C 1与圆C 2的圆系方程为(x －1)2＋(y －2)2－1＋λ(x 2＋y 2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x 2＋(1＋λ)·y 2－2x －4y ＋4(1－λ)＝0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1λ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2λ＋12＝4λ2＋1(λ＋1)2，由圆心到直线x ＋2y ＝0的距离等于圆的半径，可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1λ＋1＋4λ＋15＝4λ2＋1|λ＋1|，解得λ＝1，故所求圆的方程为x 2＋y 2－x －2y ＝0.11．过点P (2,3)向圆C ：x 2＋y 2＝1上作两条切线P A ，PB ，则弦AB 所在的直线方程为()A ．2x －3y －1＝0B ．2x ＋3y －1＝0C ．3x ＋2y －1＝0D ．3x －2y －1＝0答案B解析因为PC 垂直平分AB ，故弦AB 可以看作是以PC 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝1的公共弦，而以PC 为直径的圆的方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝134.根据两圆的公共弦的求法，可得弦AB 所在的直线方程为(x －1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－134－(x 2＋y 2－1)＝0，整理可得2x ＋3y －1＝0.12．(多选)圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，则有()A ．公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0B ．线段AB 中垂线的方程为x ＋y －1＝0C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆O 1上一动点，则P 到直线AB 距离的最大值为22＋1答案ABD解析对于A ，由圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0与圆O 2：x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的交点为A ，B ，两式作差可得4x －4y ＝0，即公共弦AB 所在直线的方程为x －y ＝0，故A 正确；对于B ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，又k AB ＝1，则线段AB 中垂线的斜率为－1，即线段AB 中垂线的方程为y －0＝－1×(x －1)，整理可得x ＋y －1＝0，故B 正确；对于C ，圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离d ＝|1－0|12＋(－1)2＝22，半径r ＝1，所以AB ＝21－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故C 不正确；对于D ，P 为圆O 1上一动点，圆心O 1(1,0)到直线x －y ＝0的距离为d ＝22，半径r ＝1，即P 到直线AB 距离的最大值为22＋1，故D 正确．13．已知两圆C 1、C 2和x 轴正半轴、y 轴正半轴及直线x ＋y ＝2都相切，则两圆圆心的距离C 1C 2＝________.答案4解析因为两圆C 1，C 2和x 轴正半轴、y 轴正半轴及直线x ＋y ＝2都相切，所以两圆圆心都在直线y ＝x 上，设C 1(a ，a )，则圆C 1的方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2，设C 2(b ，b )，则圆C 2的方程为(x －b )2＋(y －b )2＝b 2，因为两圆均与直线x ＋y －2＝0相切，所以|a ＋a －2|2＝a ⇒(a －2)2＝2⇒a ＝2±2，令a ＝2－2，则b ＝2＋2，所以两圆圆心的距离C 1C 2＝(b －a )2＋(b －a )2＝4.14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1 : x 2＋y 2＝8与圆C 2 : x 2＋y 2＋2x ＋y －a ＝0相交于A ，B 两点．若圆C 1上存在点P ，使得△ABP 为等腰直角三角形，则实数a 的值组成的集合为________________．答案{}8，8－25，8＋25解析由题意知，直线AB 为2x ＋y ＋8－a ＝0，当∠P AB ＝90°或∠PBA ＝90°时，设C 1到AB 的距离为d ，因为△ABP 为等腰直角三角形，所以d ＝12AB ，即d ＝8－d 2，所以d ＝2，所以|8－a |22＋12＝d ＝2，解得a ＝8±25；当∠APB ＝90°时，AB 经过圆心C 1，则8－a ＝0，即a ＝8.15．若点M ，N 在圆C 1：x 2＋y 2＝1上运动，且MN ＝3，点P (x 0，y 0)是圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋24＝0上一点，则|PM→＋PN →|的取值范围为________.答案[7,13]解析设圆C 1的半径为r ＝1，因为点M ，N 在圆C 1：x 2＋y 2＝1上运动，且MN ＝3，所以圆心C 1到线段MN 中点的距离为r 2－MN 24＝12，故线段MN 的中点H 在圆C 3：x 2＋y 2＝14上，而|PM →＋PN →|＝2|PH →|，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝1.故C 2C 3－12－1≤PH ≤C 2C 3＋12＋1，即72≤PH ≤132，故|PM→＋PN →|＝2|PH →|∈[7,13]． 16．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0.(1)若直线l 1过定点A (1,1)，且与圆C 相切，求l 1的方程；(2)若圆D 的半径为3，圆心在直线l 2：x －y ＋2＝0上，且与圆C 外切，求圆D 的方程．解(1)圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4，所以圆C 的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l 1的斜率不存在，即直线为x ＝1，符合题意． ②若直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为y －1＝k (x －1)．即kx －y －k ＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2，所以|3k－4－k＋1|k2＋1＝2，即|2k－3|k2＋1＝2，解得k＝512，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.综上，所求l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0.(2)依题意，设D(a，a＋2)．又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知CD＝5，∴(a－3)2＋(a＋2－4)2＝5，解得a＝－1或a＝6.∴D(－1,1)或D(6,8)，∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.。

2.2.3.2 圆与圆的位置关系课件(北师大必修2)

C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程： C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝ 50－k(k<50)．从而|C1C2|＝－2－12＋3－72＝5，当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．
2 2
2λ ∵圆心( ，0)在直线x－ 3y－6＝0上， 1＋λ 2λ ∴ －6＝0. 1＋λ 3 解得λ＝－2. ∴所求圆的方程为x2＋y2－12x＋8＝0.
[一点通] (1)法一是求出两已知圆的交点、所求圆的圆心及半径，得出了圆的方程．法二是利用了过两曲线系方程的特点，利用待定系数法求出λ得出圆的方程，需特别指出的是法二中若取λ＝－1，则曲线系方程变成直线的方程，此方程即为经过两圆交点的直线方程．
a＝1.
答案：1
[例3]
过两圆x2＋y2－4＝0和x2－4x＋y2＝0的交点，且
圆心在直线x－ 3y－6＝0上的圆的方程． [思路点拨] 求出交点，再求圆心和半径得圆的方程．
[精解详析]
法一：
x2＋y2－4＝0，由 2 2 x ＋y －4x＝0， x＝1，得 y＝ 3， x＝1，或 y＝－ 3，
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只需把两个
圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方程．

2-5-2圆与圆的位置关系课件-高中数学人教A版选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 2.5.2 圆与圆的位置关系
数学
学习指点 1.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题，体会用代数方法处理几何问题的思想.
核心素养
1.数学抽象、数学运算：圆与圆的位置关系的判断. 2.直观想象、数学运算：两圆相交及相切的问题.
1. 圆O₁ :x²+y²-4y+3=0 与圆O₂ :x²+y²—16y=0 的位置关系是( )
A. 相离
B. 相交
C. 相切
D . 内含
解析：因为O₁ (0,2),r₁=1,O₂ (0,8),r₂=8,|O₁O₂I=
(0 — 0)²+(2 - 8)²=6,则 |O₁O₂I<r₂—r₁, 所以两圆内含.
即两圆的公共弦长 ●
(1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0
与圆C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0 相
交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D₁-D₂)x+ (E₁ 一E₂)y+F₁-F₂=0.
(2)圆系方程
一般地过圆C₁:x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0 与圆C₂:x²+y²+D₂x+E₂y+ F₂=0 交点的圆的方程可设为：x²+y²+D₁x+E₁y+F₁+λ(x²+y²+D₂x+
探究点1 圆与圆位置关系的判断 [问题探究] 根据代数法确定两个圆的位置关系时，能否准确得出两圆的位置关系? 提示：不能，如两圆方程组成的方程组有一组解，两圆外切或内切.

高一数学：4.2.2《圆与圆的位置关系》学案

自学设计：自学设计：一、课前准备：预习教材 P129～P130 内容二、导学：
1．两圆的位置关系及其判定：设两圆圆心分别为 O1 , O2 ，半径分别为 r1 , r2 ，则：（1）两圆相交 ⇔ （2）两圆外切 ⇔ （3）两圆内切 ⇔ （4）两圆外离 ⇔ （5）两圆内含 ⇔ 合作探究：合作探究：探究圆的位置关系探究一探究圆的位置关系例 1 已知圆 C1 ： x 2 + y 2 − 6 x − 6 = 0 ①，圆 C2 ： x 2 + y 2 − 4 y − 6 = 0 ② （1）试判断两圆的位置关系； 2）求公共弦所在的直线方程. （；；；；；
＞0，若 A∩B 中有且仅有一个元素，则 r 的值是延伸拓展：伸拓展：
.
8．求与圆 x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 1 = 0 同心，且与直线 2 x − y + 1 = 0 相切的圆的方程.
9．求圆 x 2 + y 2 + 4 x − 12 y + 39 = 0 关于直线 3x − 4 y − 5 = 0 的对称圆方程.
2
例 2 求经过两圆 x 2 + y 2 + 6 x − 4 = 0 和 x 2 + y 2 + 6 y − 28 = 0 的交点，并且圆心在直线 x − y − 4 = 0 上的圆的方程.
例 3 求圆 x 2 + y 2 − 4 = 0 与圆 x 2 + y 2 − 4 x + 4 y − 12 = 0 的公共弦的长.
）.
4． 1995 全国文）圆 x2＋y2－2x＝0 和 x2＋y2＋4y＝0 的位置关系是（（ A.相离 B.外切 C.相交 D.内切

高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析

高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5－4B．－1C．6－2D．【答案】A【解析】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径不变，圆的圆心坐标半径的最小值为连接圆与圆圆心，再减去两圆的半径因此的最小值【考点】圆与圆的位置关系．2.若圆与圆（）的公共弦长为，则_____.【答案】1【解析】因为圆与圆（）的公共弦所在的直线方程为：；又因为两圆的公共弦长为，所以有．【考点】圆与圆的位置关系．3.圆和圆的位置关系为．【答案】内切【解析】通过利用两点间的距离公式计算,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知,所以内切.【考点】两圆位置关系的判断.4.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程5.圆与圆的位置关系为（）A．两圆相交B．两圆相外切C．两圆相内切D．两圆相离【答案】A【解析】∵，，∴两圆的圆心距，所以两圆相交，故选A．【考点】圆与圆的位置关系．6.两圆相交于点A（1，3）、B（m，－1），两圆的圆心均在直线x－y+c=0上，则m+c的值为（）A．3B．2C．0D．－1【答案】A【解析】由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心，中点为代入直线得，【考点】圆与圆的位置关系点评：两圆相交时，两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线7.圆: 与圆: 的位置关系是A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】∵的圆心为（-2，2）半径为1圆的圆心为（2，5）半径为4，∴，∴两圆外切，故选D【考点】本题考查了两圆的位置关系点评：通过两圆心的距离与半径和（差）的比较即可得到两圆的位置关系8.已知圆与圆相交，则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴两圆的公共弦所在直线方程为x+2y-1=0，【考点】本题考查了圆与圆的位置关系点评：两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程9.两圆x2+y2－4x+6y=0和x2+y2－6x=0的连心线方程为（）A．x+y+3=0B．2x－y－5=0．C．3x－y－9=0．D．4x－3y+7=0【答案】C【解析】解：因为两圆的圆心为（2,3）（3,0），则由两点式可知连心线的方程为3x－y－9=0．选C10.（本题满分14分）已知圆，圆，动点到圆,上点的距离的最小值相等.（1）求点的轨迹方程；（2）点的轨迹上是否存在点，使得点到点的距离减去点到点的距离的差为，如果存在求出点坐标，如果不存在说明理由.【答案】（1）点的轨迹方程是.（2）点的轨迹上不存在满足条件的点.【解析】本试题主要是考查了动点的轨迹方程的求解，以及满足动点到定点的距离差为定值的点是否存在的探索性问题的运用。

高一数学人教版A版必修二课件：4.2.2 圆与圆的位置关系

思考2 已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？答案联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含.
答案
解析答案
1 23 4
2.圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋(y－3)2＝1的内公切线有且仅有( B )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
解析圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，内公切线条数为2.
解析答案
1 23 4
3.若圆C1：x2＋y2＝16与圆C2：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( D )
解析由题意知：直线AB与直线x－y＋c＝0垂直， ∴kAB×1＝－1， 3－－1
1－m ＝－1，得 m＝5， AB的中点坐标为(3,1)， AB的中点在直线x－y＋c＝0上. ∴3－1＋c＝0，∴c＝－2， ∴m＋c＝5－2＝3.
解析答案
(2)求圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在直线
为啥总是听懂了，但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑-思考内化
思维导图 &超级记忆法 &费曼学习法
1
外脑-体系优化
知识体系 &笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆规律
记忆前
选择记忆的黄金时段前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进入大脑的信息
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题型探究
重点难点个个击破

【备课精选】2012年高一数学新人教B版必修二课件2.3.4《圆与圆之间的位置关系》

2 2
相切于B(1, 2)的圆的方程。
解：设圆的方程为x 2 y 2 Dx Ey F 0
14 1 4D E F 0 将A, B坐标代入得： 1 4 D 2E F 0
将两圆方程相减得： (2 D) x (6 E ) y 5 F 0 即经过B点的公切线方程 D 1 2 D 2 1 E 6 E 3 2
直线与圆的位置关系 1、直线和圆相离 2、直线和圆相切

判定方法
C2
d r
0

C2
d r
d r
0 0
3、直线和圆相交

C2
圆与圆的位置关系 : (d为两圆心间距离，即圆心距) 1、圆和圆相离 2、圆和圆外切 3、圆和圆相交
4、圆和圆内切
C1

C2
d r1 r2
公切线条数 4条 3条
a 5或 2 时, 两圆外切 .
2 2 当 | AB || r 1r 2 | 即 (a 1) (a 2) 3 2
a 2或 1时两圆内切.
(2) 当 | r 1 (a 1)2 (a 2)2 5 1r 2 || AB | r 1r 2 即
C
1

C2
d r1 r2
| r1 r2 | d r1 r2
C
1

C2
2条
C1

C2
| r1 r2 | d | r1 r2 | d
1条
5、圆和圆内含
C1

C2
0条
例题讲解例 1.a 何值时 , 两圆 :C1:x2+y2-2ax+4y+a2-5=0,C2 ： x2+y2+2x2ay+a2-3=0，(1) 相切；（2）相交；（3）相离 . C1 : ( x a) 2 ( y 2) 2 9,圆心A(a,2, ) , 半径r1 3 解：由已知得 C2 : ( x 1) 2 ( y a) 2 4,圆心B(1, a) , 半径r2 2 2 2 (1) 当 | AB | r 1r 2 即 (a 1) (a 2) 3 2

高一数学必修圆与圆的位置关系》优质课课件

内切 d R r 1个公共点
内含 0 d R r 无公共点
回首—温故知新
判断直线和圆的位置关系
几何方法
代数方法
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线的距离公式）
( x a)2 ( y b)2 r2 Ax By C 0
消去y
圆与圆的位置关系的判定：
几何方法
两圆心坐标及半径 (配方法)
圆心距d (两点间距离公式)
比较d和r1，r2的大小，下结论
代数方法
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12 r22
消去y(或x)
px2 qx r 0
0 : 相交

0
:内切或外切
0 : 外离或内含
感知—应用方法
变式1、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0 和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0相交，求交点坐标.
反思
判断两圆位置关系

几何方法代数方法
各有何优劣，如何选用？
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系如何？
内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系如何？
内含或相离
几何方法直观准确，但不能求出交点；代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判断圆的位置关系。
感知—应用方法
变式2、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0相交，求公共弦所在的直线方程.

圆和圆的位置关系

两个公共点
归纳与总结
相离:当两个圆没有公共点
时,叫做两圆相离.
外离：相离的两个圆,如果一个圆上的点都在另一个圆
的外部,叫做这两个圆外离.
特例
内含：相离的两个圆,如果一个圆上的点都在另一个圆
的内部,叫做这两个圆内含.
相切:当两个圆有唯一公共点时,叫做两圆相切.
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一圆的外部时, 我们就说这两个圆外切;
相切的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,我们就说这两个圆内切.
相交:当两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交.
圆
外离
与
圆
内含
的
外切
位
置
内切
关
系
相交
没
有
相
公共
离
点
一
个相
公共
切
点
两
个
相
公共
交
点
在图中有两圆的多种位置关系，请你找出还没有的
位置关系是相交 .
【引例】已知两个圆 C1 : x2 y2 2 y 4 0，与圆C2 : x2 y2 4x 16 0，如何判断这两圆的位置关系 ?
条件是 _m______5___1_或___m_. 5 1
3.已知圆O1 : x2 y2 2x 10 y 24 0与圆O2 : x2 y2 2x 2 y 8 0
(1)求两圆的公共弦长； 2 5
(2)求以公共弦为直径圆的方程.
(x 2)2 ( y 1)2 5
（1）试求两圆的公共弦所在直线的方程（2）试求两圆的公共弦长（3）试求以两圆的公共弦为直径的圆方程
大显身手
求经过两圆 x2＋y2－4x－6＝0 和 x2＋y2－4y－6＝0 的交点 (1) 且圆心在直线 x－y－4＝0 上的圆的方程; (2) 面积最小的圆的方程．

高一数学圆与圆的位置关系

设方程组( x ( x

a)2 c)2
(y (y
b)2 d)2

r12 r2 2
的解的个数为n
△<0
n=0
两个圆相离
△=0
n=1
两个圆相切
△>0
n=2
两个圆相交
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系.
| r1 r2 | 5 10 | r1 r2 | 5 10
例3、已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2 的位置关系.
而5 10 3 5 5 10 即 | r1 r2 | 3 5 | r1 r2 |
能等...梅林村发生の事,远在大都市の陆羽、婷玉丝毫不知.她们与到S市玩の云非雪、周子叶联系上了,云非雪很有门路,第二天便找到真枪射击俱乐部の入门资格.费用贼贵,里边有介绍世界各国设计の轻武器.摸完真枪,她们再去野.战俱乐部,让婷玉领略一下枪战の残酷.当然,这是陆羽の真正意图,而云非雪和周子叶以为她俩玩の就是心跳,陪の也高兴.“感觉如何？”末了,陆羽问婷玉什么感想.“我の速度比不过子弹,”婷玉坦言道,“但你可以.”她只有把握避开对方の瞄准,听到枪响再避开不大可能,除非对方瞄不准.而陆羽の速度绝对比子弹快了不止一倍,但她敏感度不够,无法提前察觉敌人の叩气作出防备,必须靠临场反应.到那时候,她绝对不能慌.各有优缺点,所以,最好の锻炼方法是实践.野.战还是儿戏了些.陆羽知道婷玉一直想去未来看看,可是,那些捕食者の速度与婷玉相当,爪子、牙齿有毒,若被爪上一把会被尸化の.林师

高一数学圆与圆的位置关系

λ=-7
பைடு நூலகம்
1.已知C1:x2+y2=9,C2: (x-2)2+y2=r2，若C1与C2内切，求r的值 2.已知C1:x2+y2=9,C2: (x-5)2+y2=r2，若C1与C2内切，求r的值
/ 玻璃瓶生产厂家
有负担//是马上休假吗？/吖德问/封噢点咯点头/又道：/我会料办法の///谢谢//吖德轻轻握咯壹下封噢の手臂/努力勾起壹各笑容//那我先去跟老师说壹声//说完/就走咯出去/封噢拿起手机打咯各电话：/别管用啥啊方法/那次壹定要找到寄那张照片の人/听到没什么//他壹定别会放过陷害吖德の人/吖德找到李湘/十分抱歉地说道：/对别起/老师/接下来の工作可能需要您壹各人完成咯//李湘壹脸别可思议地看着吖德：/怎么咯？//是那样の/家里突然有急事所以要休假壹段时间/总经理已经批准咯//吖德别料对方担心/便胡诌咯壹各理由//那……我晓得咯/您就放心吧//虽然自己是吖德の老师/但李湘晓得/人家家里の事他也别方便过问//那就谢谢老师咯//吖德跟李湘告别后就壹各人回咯租房/坐在空空荡荡の家中/吖德有些茫然 /那各时候/她非常料念跟许文坷在壹起の日子/也许是他们两各都把对方看成咯自己の亲人/所以他们在壹起の时候都是很和谐の/吖德拿出手机/看着通讯录上许文坷の名字/犹豫咯许久/终于是忍别住打咯过去//洛洛？/手机另壹边传来吖德熟悉の声音/有些沙哑/吖德酝酿咯壹下情绪/说：/文坷/好久没见/您过得怎么样？/许文坷没料到吖德会打电话给他/他以为吖德搬出去之后/就别会主动找他咯/是出咯啥啊事吗？/怎么咯/是出啥啊事咯吗？/许文坷焦急地问//没什么//吖德尽量让自己の语气平静些//就是有点料您咯///您现在别是应该在上班吗？/吖德随便说：/啊/身体有点别舒服/请咯各假///怎么咯？哪里别舒服？要别要我去看您？/吖德急忙

高一数学(文)圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版知识精讲

高一数学（文）圆和圆的位置关系、空间直角坐标系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆和圆的位置关系、空间直角坐标系二. 教学目标：1、理解并掌握圆与圆的五种位置关系，并能用圆心距和半径之间的大小关系来判断圆与圆的位置关系。

2、了解空间直角坐标系的定义、建立方程、会用空间直角坐标系刻画点的位置。

3、掌握空间两点间的距离公式及空间两点间中点坐标公式。

三. 知识要点：（一）圆和圆的位置关系1、外离2、外切3、内切4、相交5、内含判断方法：第一步计算两圆的半径12,r r ；第二步计算两圆的圆心距d ；第三步根据d 与12,r r 之间的关系，判断两圆的位置关系。

12d r r >+⇔圆和圆外离 12d r r =+⇔圆和圆外切1212r r d r r -<<+⇔圆和圆相交 12d r r =-⇔圆和圆内切 12d r r <-⇔圆和圆内含二、空间点的直角坐标系 1、空间直角坐标系的定义过定点O ，作三条互相垂直的数轴，它们都以O 为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)；统称坐标轴。

通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z 轴，当右手的四指从正向x 轴以90角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O 叫做坐标原点。

（如下图所示）说明：（1）三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。

过x 轴与y 轴，y 轴与z 轴及z 轴与x 轴的平面分别称为： xOy 面，yOz 面，zOx 面。

（2）三个坐标平面将空间分成八个卦限。

空间直角坐标系共有八个卦限2、空间点和坐标设点M 为空间一已知点。

我们过点M 作三个平面分别垂直于x 轴、y 轴、z 轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为P 、Q 、R ，这三点在x 轴、y 轴、z 轴的坐标依次为x 、y 、z 。

2.2.3.2 圆与圆的位置关系课件(北师大必修2)

[悟一法] 1．针对这个类型的题目，常用的方法有两种：其一是利用圆系方程，其二是利用圆的几何性质求圆心和半径，这两种方法运算量小且简便适用． 2．若两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋
y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过这两圆交点的圆的方程
可表示为C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y ＋F2)＝0.(不含圆C2)
2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度．准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50， C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10. 则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5 2；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝ 10. 又|C1C2|＝2 5，r1＋r2＝5 2＋ 10. r1－r2＝5 2－ 10. ∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－ 2y＋4＝0.
[通一类] 4．已知直线l：4x＋3y－2＝0和圆C：x2＋y2－12x－ 2y－13＝0相交于A、B两点，求过A、B两点的圆中面积最小的圆的方程．
4x＋3y－2＝0，解：法一：联立方程 2 2 x ＋y －12x－2y－13＝0， x＝－1，解得 y＝2， x＝5，或 y＝－6，
[错因]
上述错解只考虑了圆心在直线y＝0上方
的情形，而漏掉了圆心在直线y＝0下方的情形，另外
错解没有考虑两圆内切的情况，也是不全面的． [正解] 由题意，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2
＝r2，圆心为C，又圆C与直线y＝0相切且半径为4，故圆
心C的坐标为(a,4)或(a，－4)．又因为圆x2＋y2－4x－2y－

高一数学圆相关知识点总结

高一数学圆相关知识点总结一、圆的基本概念1. 圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点的集合。

其中，距圆心等于半径的线段叫做圆的弦；过圆心的弦叫做直径，它把圆分成两个等大的圆弧；有一个公共端点的两个相交圆弧是圆周角。

2. 圆的元素：圆由圆心O和半径r确定，记作圆O(r)。

其中，O称为圆心，r称为半径。

3. 圆与圆的位置关系：两个圆可能相离、相切、相交或内含。

二、圆的性质1. 弧长和弧度：圆的弧长等于圆心角的度数除以360度再乘以2πr；圆的圆心角对应的圆周角等于圆心角的弧度数。

2. 切线和切点：直线与圆相切，就是直线上有且只有一个与圆有公共点，这个点叫做切点，直线叫做切线。

3. 切线与半径的关系：切线与半径垂直，且切线的切点到圆心的距离等于半径的长度。

4. 圆的性质定理：包括如下的性质（1）定理1：平行于底端的直线都通过圆心O，故垂直于底端的弦OA都等于直径。

（2）定理2：直径等于两个垂直弦中较长的一个。

（3）定理3：三角形中，含有直径的角等于直角。

（4）定理4：如果点在圆上则它的最大距离是圆的半径。

三、圆的参数方程1. 直角坐标系下的圆的参数方程：设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，则它的参数方程为：x=a+r*cosθy=b+r*sinθ其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径，θ为参数角。

2. 极坐标系下的圆的参数方程：在极坐标系下，圆的参数方程为：r=acosθ+b（其中，a为极坐标中弧的长度，θ为极角，b为极坐标中圆心到原点的距离）。

四、圆的切线和法线1. 切线的判别式：设直线y=kx+b与圆(x-a)²+(y-b)²=r²相切，则有以下情况：（1）k=-1；直线y=-x+b与圆相切，此时直线在第二象限；（2）k=1；直线y=x+b与圆相切，此时直线在第一象限；（3）k不存在；直线x=b与圆相切，此时直线在第一象限；（4）b²=a²-r²；直线y=kx+b与圆相切，此时直线在第三象限；（5）b²>a²-r²；直线y=kx+b与圆相切，此时直线在第四象限。

高中数学 2.3 圆的方程 2.3.4 圆与圆的位置关系教案新人教B版必修2-新人教B版高一必修2

圆与圆的位置关系示X教案整体设计教学分析教材通过例题介绍了利用方程判断两圆的位置关系．让学生进一步感受坐标方法在研究几何问题中的作用．值得注意的是针对学生的实际情况来学习坐标法讨论两圆的位置关系，对于基础较差的学生，建议不学习，对于基础较好的学生可以作为课后阅读教材，否那么本节课的教学目标完不成．三维目标1．掌握圆与圆的位置关系的判定，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．了解用坐标方法讨论两圆位置关系，体会坐标方法在研究几何问题中的作用，提高应用能力．重点难点教学重点：利用方程判定两圆位置关系．教学难点：用坐标方法讨论两圆位置关系．课时安排1课时教学过程导入新课设计1.前面我们学习了利用方程判断点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，那么，圆与圆的位置关系有哪几种呢？如何利用方程判断圆与圆之间的位置关系呢？教师板书课题：圆与圆的位置关系．设计 2.我们知道，日食和月食都是一种自然现象，如果把月球、地球、太阳都抽象成圆，那么这两种自然现象就展现了两圆的位置关系，如何利用方程来描述这一现象呢？教师点出课．推进新课新知探究提出问题初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几种？画图表示，并指出判断方法.讨论结果：应用示例思路1例1判断以下两个圆的位置关系：(1)C1：x2＋y2－2x－3＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋3＝0；(2)C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－23x－6＝0.解：(1)两圆的方程可分别变形为(x－1)2＋y2＝22，(x－2)2＋(y＋1)2＝(2)2.由此可知圆心C1的坐标为(1,0)，半径r1＝2；圆心C2的坐标为(2，－1)，半径r2＝ 2.设两圆的圆心距为d，那么：d＝|C1C2|＝2－12＋－12＝ 2.r1＋r2＝2＋2，r1－r2＝2－ 2.所以r1－r2<d<r2＋r2.因此这两个圆相交．(2)两圆的方程分别变形为：x2＋(y－1)2＝12，(x－3)2＋y2＝32.由此可知圆心C1的坐标为(0,1)，半径r1＝1；圆心C2的坐标为(3，0)，半径r2＝3，那么两圆的圆心距d＝32＋12＝2，所以d＝r2－r1.因此这两个圆内切．点评：判断两个圆的位置关系．几何法：即两个圆的圆心坐标、半径长、连心线长的关系来判别两个圆的位置关系．设两圆的连心线长为d，那么判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当d>R＋r时，圆C1与圆C2外离；②当d＝R＋r时，圆C1与圆C2外切；③当|R－r|<d<R＋r时，圆C1与圆C2相交；④当d＝|R－r|时，圆C1与圆C2内切；⑤当d<|R－r|时，圆C1与圆C2内含．变式训练1．在平面直角坐标系中分别作出圆心为C1(0,0)，C2(1,1)，半径分别为1,2的两圆，并判断两圆的位置关系．解：作出两圆，如下图．两圆半径分别记作r1和r2，那么r1＝1，r2＝2，圆心距d＝|C1C2|＝0－12＋0－12＝2，于是，1＝|r1－r2|<d<r1＋r2＝3，所以两圆相交．2．判断圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0与圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系，并画出图形．解：由得圆C1：(x＋1)2＋(y－3)2＝36，其圆心C1(－1,3)，半径r1＝6；圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝1，其圆心C2(2，－1)，半径r2＝1.于是|C1C2|＝2＋12＋－1－32＝5.又|r1－r2|＝5，即|C1C2|＝|r1－r2|，所以两圆内切．如下图．3．x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0(x －1)2＋y 2＝1，故圆心为(1,0)，半径为1.圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0x 2＋(y －2)2＝4，故圆心为(0,2)，半径为2.那么圆心距d ＝1－02＋0－22＝ 5. 而2－1<5<1＋2，即两圆相交．答案：B例2试用坐标方法讨论两圆位置关系．(此题针对学生实际选用)解：如下图所示，以O 1为坐标原点，使x 轴通过O 1，O 2，且O 2在x 轴的正半轴上，建立直角坐标系xOy.这样，可设⊙O 2的圆心的坐标为(d,0)．这时两圆的圆心距等于d ，两圆的方程分别为 x 2＋y 2＝r 21 ①(x －d)2＋y 2＝r 22. ②将①②两式联立，研究此方程组的解． ①－②，整理可得x ＝r 21－r 22＋d22d .将x 值代入①，得 y 2＝r 21－r 21－r 22＋d224d2＝2dr 1＋r 21－r 22＋d 22dr 1－r 21＋r 22－d 24d2＝[r 1＋d2－r 22][r 22－r 1－d2]4d2＝r 1＋r 2＋d r 1－r 2＋dr 1＋r 2－dr 2－r 1＋d4d2＝[r 1＋r 22－d 2][d 2－r 1－r 22]4d2.由此可见，如果 |r 1－r 2|<d<r 1＋r 2那么等式右边两个因式都为正数，于是方程组有解，且有两解．这时相应的两圆相交于两点(如下图)．如果：r 1＋r 2＝d 或|r 1－r 2|＝d ，那么等式右边分子的因式中至少有一个为0，那么方程组有唯一解，这时两圆相切(外切或内切)(上图(2)(3))．如果：r 1＋r 2<d 或|r 1－r 2|>d ，那么方程组无解，这时两圆不相交(相离或内含)(上图(4)(5))．思路2例3圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．分析：因两圆的交点坐标同时满足两个圆方程，联立方程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线方程，利用勾股定理可求出两圆公共弦长．解：设两圆交点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，那么A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，①②①－②，得3x －4y ＋6＝0. 因为A 、B 两点坐标都满足此方程，所以3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3.又点C 1到直线的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－42＝95. 所以AB ＝2r 2－d 2＝232－952＝245，即两圆的公共弦长为245. 点评：处理圆有关的问题，利用圆的几何性质往往比较简单，要注意体会和应用．此题中求两圆公共弦所在直线方程可以作为结论记住．变式训练判断以下两圆的位置关系，如果两圆相交，请求出公共弦的方程．(1)(x ＋2)2＋(y －2)2＝1与(x －2)2＋(y －5)2＝16，(2)x 2＋y 2＋6x －7＝0与x 2＋y 2＋6y －27＝0.解：(1)根据题意，得两圆的半径分别为r 1＝1和r 2＝4，两圆的圆心距d ＝[2－－2]2＋5－22＝5. 因为d ＝r 1＋r 2，所以两圆外切．(2)将两圆的方程化为标准方程，得(x ＋3)2＋y 2＝16，x 2＋(y ＋3)2＝36. 故两圆的半径分别为r 1＝4和r 2＝6，两圆的圆心距d ＝0－32＋－3－02＝3 2.因为|r 1－r 2|<d<r 1＋r 2，所以两圆相交．两圆方程相减得公共弦的方程： 6x －6y ＋20＝0，即3x －3y ＋10＝0.例4求过点A(0,6)且与圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0切于原点的圆的方程．分析：如下图．所求圆经过原点和A(0,6)，且圆心应在圆的圆心与原点的连线上．根据这三个条件可确定圆的方程．解：将圆C 化为标准方程，得(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50，那么圆心为C(－5，－5)，半径为5 2.所以经过此圆心和原点的直线方程为x －y ＝0.设所求圆的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2.由题意，知O(0,0)，A(0,6)在此圆上，且圆心M(a ，b)在直线x －y ＝0上，那么有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋0－b 2＝r 2，0－a 2＋6－b 2＝r 2，a －b ＝0，解得⎩⎨⎧a＝3，b ＝3，r ＝3 2.于是所求圆的方程是(x －3)2＋(y －3)2＝18.点评：求圆的方程，一般可从圆的标准方程和一般方程入手，至于选择哪一种方程形式更恰当，要根据题目的条件而定，总之要让所选择的方程形式使解题过程简单．变式训练求经过点A(4，－1)，且与圆C ：(x ＋1)2＋(y －3)2＝5相外切于点B(1,2)的圆的方程．解：如下图，设所求的圆C′的方程为(x －a)2＋(y －b)2＝R 2.因为C′既在弦AB 的垂直平分线上，又在直线BC 上，AB 中垂线方程为x －y －2＝0，BC 所在直线的方程为x ＋2y －5＝0，所以，圆心C′的坐标应满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b －2＝0，a ＋2b －5＝0.解得a ＝3，b ＝1.因为所求圆C′过点A(4，－1)，所以(4－3)2＋(－1－1)2＝R 2＝5.所以，所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝5.知能训练1．在(x ＋k)2＋(y ＋2k ＋5)2＝5(k ＋1)2(k≠－1)所表示的一切圆中，任意两圆的位置关系是( )A ．相切或相交B ．相交C ．相切D ．内切或相交答案：C2．圆x 2＋y 2＋m ＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，那么实数m 的取值X 围为( ) A ．－10<m<0 B ．－100<m<－10 C ．m<－100 D ．答案：C3．半径为5且与圆x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0相切于原点的圆的方程是________．答案：x 2＋y 2＋6x －8y ＝04．一圆过两圆x 2＋y 2＋6x －3＝0和x 2＋y 2－6y －3＝0的交点，圆心在直线x ＋y ＋6＝0上，求此圆的方程．答案：x 2＋y 2＋9x ＋3y －3＝05．求圆心在直线x －y －4＝0上，且经过两圆x 2＋y 2－4x －3＝0和x 2＋y 2－4y －3＝0的交点的圆的方程．解：设经过两圆的交点的圆的方程为x 2＋y 2－4x －3＋λ(x 2＋y 2－4y －3)＝0(λ≠－1)，那么其圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ)．∵所求圆的圆心在直线x －y －4＝0上，∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，λ＝－13.∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －3＝0.拓展提升求经过原点，且过圆x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0和直线x －y ＋5＝0的两个交点的圆的方程．解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＝0，x －y ＋5＝0，求得交点(－2,3)或(－4,1)．设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.因为(0,0)，(－2 3)，(－4,1)三点在圆上，所以⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋1－4D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，E ＝－95，D ＝195.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.解法二：设过交点的圆系方程为x 2＋y 2＋8x －6y ＋21＋λ(x－y ＋5)＝0(λ为参数)．将原点(0,0)代入上述方程得λ＝－215.那么所求方程为x 2＋y 2＋195x －95y ＝0.课堂小结本节课学习了：利用方程判断两圆位置关系，解决与两圆有关的问题．作业本节练习A 1,2题．设计感想这堂课是建立在初中已经对圆与圆的位置关系有个粗略地了解的基础上，对这个位置关系的进一步深化，而且前一堂课学习过直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系的研究和直线与圆的位置关系的研究方法是类似的，所以可以用类比的思想来引导学生自主地探究圆与圆的位置关系．作为解析几何的一堂课，判断圆与圆的位置关系，表达的正是解析几何的思想：用代数方法处理几何问题，用几何方法处理代数问题．所以在教材处理上，对判断两圆位置关系用了几何方法，使学生对解析几何的本质有所了解．备课资料圆的参数方程一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝gt.①并且对于t 的每一个允许值，由方程①所确定的点M(x ，y)都在一条曲线上，那么方程组①就叫这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间的关系的变数叫做参变数，简称参数．参数方程中的参数可以是有物理、几何意义的变数，也可以是没有明显意义的变数．相对于参数方程来说，前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程．参数方程能把曲线上的点坐标通过参数直接地写出来，因此，能比较清楚地说明曲线上点的坐标的特点，尤其是借助于参数方程，可以使有的问题变得容易解决．这也正是在解有关问题时，将普通方程化为参数方程来解的原因．当然在解答有关问题时，根据问题的需要，有时也将参数方程化为普通方程，比如研究有关曲线的性质时，由于我们对普通方程下曲线性质比较熟悉，这时，常把曲线参数方程化为普通方程来研究问题．圆的参数方程参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rsinθ.其中，θ为参数，圆心为(a ，b)，r 为半径．需注意的两点：(1)标准方程含有a ，b ，r ，当a ，b ，r 确定下来时，圆的参数方程才唯一地确定下来，确定圆的参数方程同样需要三个独立条件．(2)要掌握圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2与参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rcosθ(θ为参数)之间的互化．。

人教新课标版数学高一- 人教A版必修二 4.2.2圆与圆的位置关系

4.2.2 圆与圆的位置关系问题导学一、两圆位置关系的判定活动与探究1已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．试求a为何值时两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含．迁移与应用1．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离2．两圆x2＋y2＝1和(x－1)2＋(y－a)2＝4相切，求实数a的值．判断两圆的位置关系一般有两种方法：一是代数法，二是几何法，但因代数法运算烦琐，且容易出错，因此一般采用几何法．二、与两圆相交有关的问题活动与探究2已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0．(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．迁移与应用1．圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程为__________．2．已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0．求两圆的公共弦所在直线的方程及公共弦长．已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则(1)两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程．(2)过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．三、与两圆相切有关的问题活动与探究3求与圆C：x2＋y2－2x＝0外切且与直线l：x＋3y＝0相切于点M(3，－3)的圆的方程．迁移与应用1．圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0，圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0的公切线条数是__________．2．半径为3的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－1)2＝1外切，求此圆的方程．两圆相切包括外切与内切，外切时，圆心距等于两半径之和，内切时圆心距等于两半径差的绝对值．在题目没有说明是内切还是外切时，要分两种情况进行讨论．当堂检测1．圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋4y＝0的位置关系是()A．相离B．外切C．内切D．相交2．已知圆A，圆B相切，圆心距为10 cm，其中圆A的半径为4 cm，则圆B的半径为()A．6 cm或14 cm B．10 cmC．14 cm D．无解3．设r＞0，两圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与x2＋y2＝16的位置关系不可能是()A．相切B．相交C．内切和内含D．外切和外离4．两圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0和x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦中，最长的弦等于__________．5．以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程是__________．答案：课前预习导学【预习导引】1．外离、外切、相交、内切内含预习交流1提示：两圆相切包括外切与内切两种情况，在解答两圆相切问题时，不能漏掉某种情况．2．(1)r1＋r2|r1－r2|(2)210内切外切外离内含预习交流2提示：代数法有时不能确切判定两圆的位置关系，如方程组只有一组解时，不能判定两圆是内切还是外切，方程组没有解时，不能判定两圆是外离还是内含，通常用几何方法判断两圆的位置关系．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：求出圆心距，与两半径的和或差比较求出a的值．解：圆C1，C2的方程，经配方后可得：C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1．∴|C1C2|＝(a－2a)2＋(1－1)2＝a．(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切，当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切．(2)当3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5时，两圆相交．(3)当|C1C2|＞5，即a＞5时，两圆外离．(4)当|C1C2|＜3，即a＜3时，两圆内含．迁移与应用1．B2．解：两圆圆心距为a2＋1，因为两圆相切，所以a2＋1＝2＋1或a2＋1＝2－1，即a2＋1＝3或a2＋1＝1．所以a＝±22或a＝0．活动与探究2思路分析：(1)因为两圆的交点同时满足两个圆的方程，所以两个圆的方程联立消去x2项与y2项，即得两圆的公共弦所在直线的方程．(2)可求出两圆的交点坐标，结合圆心在直线x－y－4＝0上求出圆心坐标与半径，也可利用圆系方程求解．解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0， ①x 2＋y 2＋6y －28＝0 ②的解． ①－②得x －y ＋4＝0．∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴x －y ＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．(2)方法一：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋6x －4＝0，x 2＋y 2＋6y －28＝0，得两圆的交点A (－1,3)，B (－6，－2)．设所求圆的圆心为(a ，b )，因圆心在直线x －y －4＝0上，故b ＝a －4．则(a ＋1)2＋(a －4－3)2＝(a ＋6)2＋(a －4＋2)2，解得a ＝12，故圆心为⎝⎛⎭⎫12，－72，半径为892．故圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋722＝892，即x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．方法二：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －4＋λ(x 2＋y 2＋6y －28)＝0(λ≠－1)，其圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－31＋λ，－3λ1＋λ，代入x －y －4＝0解得λ＝－7．故所求圆的方程为x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0．迁移与应用 1．x ＋y －1＝02．解：联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0. ①②①－②得3x －4y ＋6＝0．∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r ＝3．又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95， ∴|AB |＝2r 2－d 2 ＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245，即两圆的公共弦长为245．活动与探究3 思路分析：设出圆的标准方程，根据条件列出方程组求解参数．解：圆C 的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1．设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －1)2＋b 2＝r ＋1，b ＋3a －3×⎝⎛⎭⎫－33＝－1，|a ＋3b |2＝r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝0，r ＝2.所以所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4．迁移与应用 1．3 解析：圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，圆C 2：(x －4)2＋(y ＋2)2＝13，因此两圆的圆心坐标分别为C 1(－2,2)，C 2(4，－2)，两圆的半径r 1＝r 2＝13．圆心距|C 1C 2|＝(－2－4)2＋(2＋2)2＝213＝r 1＋r 2，∴两圆外切，有3条公切线．2．解：因为所求圆的半径为3且与x 轴相切，所以设圆心坐标为(a ，－3)或(a,3)．又因为所求圆与圆x 2＋(y －1)2＝1外切，所以a 2＋4＝4或a 2＋16＝4，即a ＝±23或a ＝0．所以所求圆的方程为(x ±23)2＋(y －3)2＝9或x 2＋(y ＋3)2＝9．【当堂检测】1．D 2．A 3．D 4．25．(x －3)2＋(y ＋4)2＝9或(x －3)2＋(y ＋4)2＝169。

数学高一年级圆与圆的位置关系

几何法2、代数法三、问题深入四、巩固练习五、归纳小结
七、课后反思与评价
1、本节课是研究圆与圆的位置关系，重点在两圆位置关系的判
断方法上，教材中只强调了几何法，对代数法没有作出要求，
但本人考虑到学生对几何法的原理初中有一定基础，应该问题
不是很大。几何的代数化是解析几何的精髓，也是以后处理圆
锥曲线的常见方法。我认为本课时增加代数法分析圆与圆的位
2、可能出现的学习障碍：数形分家
①由给出圆方程画出图形判断圆与圆的位置关系 ②通过两点间距离公式得出圆与圆的位置关系 ③由方程组的解理论讨论曲线交点个数
“学的真谛在于悟，教的真谛在于度”。考虑到学生还只有直线和圆初步解析几何知识，用代数方法处理几何问题的探究要适可而止，既要不加重学生的过重负担，又要不扼杀学生的勇于探索的精神。
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（三）情感与态度：
1、通过演示，培养学生用运动变化的观点来分析和发现问题的能力。 2、通过探索活动，让学生体验成功的喜悦，激励学生的学习兴趣和信心。
三、教学重点、难点
教学重点：两圆位置关系的判断。
教学难点：通过两圆方程联立方程组的解研究两圆位置关系
及曲线系方程。
四、教法分析
根据教材的重点、难点、教学目标及学生情况分析，本着教法为学法服务的宗旨，确定这节课宜采用探究发现式教学法。积极创设问题情景，始终围绕问题展开，由教师与学生一起发现问题、提出问题，在教师的主导下，分析问题、解决问题。同时向学生渗透问题意识，培养学生发现问题、解决问题的能力。
位置关系图形
交点情况
外离
r
外切相交内切内含
2024/8/3

圆与圆的位置关系综合问题

圆与圆的位置关系综合问题
圆与圆之间的位置关系有以下几种情况：
1.相离：两个圆之间没有交集，彼此之间没有任何交点。

此时，两个圆的中心点之间的距离大于两个圆的半径之和。

2.外切：两个圆之间有且只有一个交点，且两个圆的交点恰好是两个圆的外切点。

此时，两个圆的中心点之间的距离等于两个圆的半径之和。

3.相交：两个圆之间有两个交点，但是不包含在彼此内部。

此时，两个圆的中心点之间的距离小于两个圆的半径之和。

4.内切：两个圆之间有且只有一个交点，且两个圆的交点恰好是两个圆的内切点。

此时，两个圆的中心点之间的距离等于两个圆的半径之差的绝对值。

5.包含：一个圆完全包含在另一个圆的内部。

此时，两个圆的中心点之间的距离小于两个圆的半径之差的绝对值。

6.同心：两个圆的中心点重合，半径可以相等也可以不等。

在判断两个圆的位置关系时，可以通过计算两个圆的中心点之间的距离和两个圆的半径之和或半径之差的绝对值来确定。

同时，还需要考虑两个圆是否具有相同的半径，以及是否有共同的交点。

总结一下，圆与圆的位置关系综合问题主要包括相离、外切、相交、内切、包含和同心这几种情况。

判断两个圆的位置关系
可以通过计算两个圆的中心点之间的距离和半径之和或半径之
差的绝对值来确定。

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高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.圆和圆的公切线条数为（）A．1条B．2条C．3条D．4条【答案】B【解析】由圆整理得，它的圆心坐标，半径为1.由圆整理得，它的圆心坐标，半径为2.,所以两个圆相交，所以两个圆的公切线有2条．【考点】两圆的公切线条数及方程的确定；圆与圆的位置关系及其判定.2.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点，并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程．【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理：.圆心坐标为，代入直线方程，解得：，代入得圆的方程：.【考点】经过两圆交点的圆的方程3.圆与圆的位置关系是（）A．外离B．相交C．内切D．外切【答案】D【解析】由两圆的方程可知，，∴，故两圆的位置关系为外切．【考点】圆与圆的位置关系．4.圆和的位置关系为（）A．外切B．内切C．外离D．内含【答案】A【解析】两圆的圆心为，半径为，而，则两圆相外切.【考点】本题考查两圆的位置关系，可以通过圆心距与半径和差的大小比较来判断.5.已知圆，交于A、B两点；（1）求过A、B两点的直线方程；（2）求过A、B两点，且圆心在直线上的圆的方程.【答案】（1）（2）【解析】（1）过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线.所以过A、B两点的直线方程. 5分（2）设所求圆的方程为. 6分则圆心坐标为 8分∵圆心在直线上∴将圆心坐标代入直线方程，得 9分解得. 11分∴所求圆的方程为. 12分【考点】圆与圆的位置关系与圆的方程点评：两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程6.圆和的位置关系是（）A．相离B．外切C．相交D．内切【答案】D【解析】根据题意，由于圆的圆心（1,0），半径为1，和的圆心为（-2,0），半径为4，则可知圆心距d=3,而半径和为5，半径差为3，可知圆心距小于半径差，因此可知是两圆的相互内切，故选D.【考点】两圆的位置关系点评:解决两圆的位置关系的关键是根据圆心距和半径和的关系来确定，属于基础题，也是重要的知识点。

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