数学高一必修同步训练题
高中数学必修一全册同步练习含参考答案
高中数学必修一同步练习1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12．集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有①集合，用列举法表示为{1,0,l}；②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．【解析】由于P，Q相等，故，从而.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a 的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设，，，，∴，又∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设，，若，则的取值范围是A. B. C. D.2．设集合，，则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3．已知集合，，若，求实数的值.4．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55．设集合和，那么与的关系为 .6．含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成，则.7．设集合，，求A∩B.8．已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知，，是否存在实数，使得对于任意实数，都有?若存在,求出对应的的值；若不存在，说明理由.答案【基础过关】1．D【解析】∵，∴a≥22．D【解析】本题考查集合间的基本关系.,；而；即N.选D.3．由A＝B，可得，解得x＝1.4．C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C. 5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即；此时，所以，，且，解得.所以.7．，解得；所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8．解：M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时，N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4＜0, ∴-2＜a ＜2;当N≠∅时，∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时，32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有，则1，2是A 中的元素，又∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴或这两个方程组均无解，故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪BB.A∩BC.(∁U A)∩(∁U B)D.(∁U A)∪(∁U B)3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}.4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}.5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=B.y=C.y=D.y=x2+12．下列式子中不能表示函数的是A. B. C. D.3．函数y=+的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4．若满足，且，，则等于A. B. C. D.5．若为一确定区间，则的取值范围是 .6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 .7．求下列函数的定义域.(1)；(2).8．已知.(1)求，的值；(2)求的值. 【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】1．B【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.2．A【解析】一个x对应的y值不唯一.3．D【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D.4．B【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.5．【解析】由题意3a－1＞a，则.【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误.6．2【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2.【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错.7．(1)由已知得∴函数的定义域为.(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，得x≠－3，x≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(―1，＋∞).8．(1)，.(2)∵，∴＝＝1＋1＋1＋＋1(共2012个1相加)＝2012.【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q .【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为A. B. C. D.2．已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知则A.2B.-2C.D.5．已知函数，且，则 .6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵，∴.【备注】无5．【解析】，∴，∴，解得.6．-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f[f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，∴.8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；当t∈(2，＋∞)时，，所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．化简的结果为A. B. C.- D.2．计算的结果是A. B. C. D.3．设，则有A. B.C. D.4．下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)=a(a≥0);(3)()5=a5; (4)=(-3.A.1B.2C.3D.45．若10m=2,10n=4,则= . 6．已知x=(2 01-2 01),n∈N*,则(x+)n的值为. 7．化简下列各式:(1)(·)÷;(2)()·(-3)÷().8．求下列各式的值:(1)2; (2)(; (3)+(-π0.【能力提升】已知+=3,求下列各式的值:(1)x+x-1;(2).答案【基础过关】1．A【解析】要使式子有意义，需，故x＜0，所以原式.2．A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设任意角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），角α+θ的终边与单位圆的交点为P 2（y ，﹣x ），则下列说法中正确的是（ ） A ．sin （α+θ）=sinα B ．sin （α+θ）=﹣cosα C ．cos （α+θ）=﹣cosα D ．cos （α+θ）=﹣sinα2.已知角α的终边与单位圆相交于点P （sin ，cos），则sinα=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．3.如图，以Ox 为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A ，B 点，则的值等于（ ）A ．sin （α+β）B ．sin （α﹣β）C ．cos （α+β）D ．cos （α﹣β）二、填空题1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角α的终边与单位圆交于B 点，且点B 的纵坐标为．若将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点，则点A 的坐标为 ．2.（1）若sin （3π+θ）=，求+的值；（2）已知0＜x ＜，利用单位圆证明：sinx ＜x ＜tanx ．三、解答题1.如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为，三角形AOB 为直角三角形．（1）求sin ∠COA ，cos ∠COA 的值； （2）求cos ∠COB 的值． 2.已知，用单位圆求证下面的不等式：（1）sinx ＜x ＜tanx ； （2）．3.已知点A （2，0），B （0，2），点C （x ，y ）在单位圆上． （1）若|+|=（O 为坐标原点），求与的夹角； （2）若⊥，求点C 的坐标．4.如图，已知A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为，点B 在第二象限，且△AOB 为正三角形．（Ⅰ）求sin ∠COA ； （Ⅱ）求△BOC 的面积．5.如图，以Ox 为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（，）．（1）求sin2α的值； （2）若β﹣α=，求cos （α+β）的值．全国高一高中数学同步测试答案及解析一、选择题1.设任意角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ），角α+θ的终边与单位圆的交点为P 2（y ，﹣x ），则下列说法中正确的是（ ）A ．sin （α+θ）=sinαB ．sin （α+θ）=﹣cosαC ．cos （α+θ）=﹣cosαD ．cos （α+θ）=﹣sinα【答案】B【解析】根据三角函数的定义和题意，分别求出角α、α+θ的正弦值和余弦值，再对比答案项即可． 解：∵任意角α的终边与单位圆的交点为P 1（x ，y ）， ∴由三角函数的定义得，sinα=y ，cosα=x ， 同理sin （α+θ）=﹣x ，cos （α+θ）=y ， 则sin （α+θ）=﹣cosα，cos （α+θ）=sinα， 故选：B ．点评：本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.已知角α的终边与单位圆相交于点P （sin ，cos），则sinα=（ ） A ．﹣B ．﹣C ．D ．【答案】D【解析】利用单位圆的性质求解． 解：∵角α的终边与单位圆相交于点P （sin ，cos），∴sinα=cos =cos （2）=cos=．故选：D ．点评：本题考查角的正弦值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的灵活运用．3.如图，以Ox 为始边作任意角α，β，它们的终边与单位圆分别交于A ，B 点，则的值等于（ ）A ．sin （α+β）B ．sin （α﹣β）C ．cos （α+β）D ．cos （α﹣β）【答案】D【解析】直接求出A ，B 的坐标，利用向量是数量积求解即可． 解：由题意可知A （cosα，sinα），B （cosβ，sinβ）， 所以=cosαcosβ+sinαsinβ=cos （α﹣β）． 故选D ．点评：本题是基础题，考查向量的数量积的应用，两角差的余弦函数公式的推导过程，考查计算能力．二、填空题1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，钝角α的终边与单位圆交于B 点，且点B 的纵坐标为．若将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点，则点A 的坐标为 ．【答案】（）．【解析】首先求出点B 的坐标，将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点，利用两角和与差的三角函数即可求出点A 的坐标．解：在平面直角坐标系xOy 中，锐角α的终边与单位圆交于B 点， 且点B 的纵坐标为， ∴sinα=，cosα=将点B 沿单位圆逆时针旋转到达A 点， 点A 的坐标A （cos （），sin （）），即A （﹣sinα，cosα），∴A （）故答案为：（）．点评：本题主要考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．2.（1）若sin （3π+θ）=，求+的值；（2）已知0＜x ＜，利用单位圆证明：sinx ＜x ＜tanx ．【答案】（1）32，（2）见解析【解析】（1）利用诱导公式、平方关系对条件和所求的式子化简后，代入值求解； （2）由S △OPA ＜S 扇形OPA ＜S △OAE ，分别表示出3个面积，可推得，所以sinx ＜x ＜tanx ，据此判断即可．解：（1）由sin （3π+θ）=，可得sinθ=﹣， ∴======32，（2）∵S △OPA ＜S 扇形OPA ＜S △OAE ，，，， ∴，∴sinx ＜x ＜tanx ．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，三角函数线，以及单位圆的性质的运用，属于基础题．三、解答题1.如图，A 、B 是单位圆O 上的点，C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，点A 的坐标为，三角形AOB 为直角三角形．（1）求sin ∠COA ，cos ∠COA 的值； （2）求cos ∠COB 的值． 【答案】（1），．（2）﹣【解析】（1）利用任意角的三角函数的定义，先找出x ，y ，r ，代入公式计算． （2）利用∠AOB=90°，cos ∠COB=cos （∠COA+90°）=﹣sin ∠COA=﹣． 解：（1）∵A 点的坐标为，根据三角函数定义可知，，r=1；（3分） ∴，．（6分） （2）∵三角形AOB 为直角三角形， ∴∠AOB=90°， 又由（1）知sin ∠COA=，cos ∠COA=；∴cos ∠COB=cos （∠COA+90°）=﹣sin ∠COA=﹣．（12分） 点评：本题考查任意角的三角函数的定义，诱导公式cos （+θ）=﹣sinθ 的应用．2.已知，用单位圆求证下面的不等式：（1）sinx ＜x ＜tanx ； （2）．【答案】见解析【解析】（1）利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx ＜x ＜tanx ； （2）利用（1）的结论，采用放缩法，求出=推出结果．证明：（1）如图，在单位圆中，有sinx=MA ，cosx=OM ， tanx=NT ，连接AN ，则S △OAN ＜S 扇形OAN ＜S △ONT ， 设的长为l ，则，∴，即MA ＜x ＜NT ，又sinx=MA ，cosx=OM ，tanx=NT ， ∴sinx ＜x ＜tanx ； （2）∵均为小于的正数，由（1）中的sinx ＜x 得，，将以上2010道式相乘得=，即．点评：本题考查单位圆的应用，不等式的证明的方法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．3.已知点A（2，0），B（0，2），点C（x，y）在单位圆上．（1）若|+|=（O为坐标原点），求与的夹角；（2）若⊥，求点C的坐标．【答案】（1）30°或150°（2）点C的坐标为（，）或（）．【解析】（1）由已知得，从而cos＜＞===y=，由此能求出与的夹角．（2）=（x﹣2，y），=（x，y﹣2），由得，由此能求出点C的坐标．解：（1），，．且x2+y2=1，=（2+x，y），由||=，得（2+x）2+y2=7，由，联立解得，x=，y=．（2分）cos＜＞===y=，（4分）所以与的夹角为30°或150°．（6分）（2）=（x﹣2，y），=（x，y﹣2），由得，=0，由，解得或，（10分）所以点C的坐标为（，）或（）．（12分）点评：本题考查两向量的夹角的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意单位圆的性质的合理运用．4.如图，已知A、B是单位圆O上的点，C是圆与x轴正半轴的交点，点A的坐标为，点B在第二象限，且△AOB为正三角形．（Ⅰ）求sin∠COA；（Ⅱ）求△BOC的面积．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆的交点坐标时，这个点的纵标就是角的正弦值．（Ⅱ）根据第一问所求的角的正弦值和三角形是一个等边三角形，利用两个角的和的正弦公式摸到的这个角的正弦值，根据正弦定理做出三角形的面积．解：（Ⅰ）由三角函数在单位圆中的定义可以知道，当一个角的终边与单位圆的交点是，∴sin∠COA=，（Ⅱ）∵∠BOC=∠BOA+∠AOC，∴sin∠BOC==∴三角形的面积是点评：本题考查单位圆和三角函数的定义，是一个基础题，这种题目解题的关键是正确使用单位圆，注意数字的运算不要出错．5.如图，以Ox为始边分别作角α与β（0＜α＜β＜π），它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（，）．（1）求sin2α的值；（2）若β﹣α=，求cos（α+β）的值．【答案】（1）（2）﹣【解析】（1）由三角函数的定义，得出cosα、sinα，从而求出sin2α的值；（2）由β﹣α=，求出sinβ，cosβ的值，从而求出cos（α+β）的值．解：（1）由三角函数的定义得，cosα=，sinα=；∴sin2α=2sinαcosα=2××=；（2）∵β﹣α=，∴sinβ=sin（+α）=．cosβ=cos（+α）=﹣sinα=﹣，∴cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×（﹣）﹣×=﹣．点评：本题考查了三角函数的求值与应用问题，解题时应根据三角函数的定义以及三角恒等公式进行计算，是基础题．。
高中数学必修一同步练习题库：指数函数(简答题：较易)
指数函数（简答题：较易）1、设函数，.（1）解方程：；（2）令，求值:.2、已知函数，，且，设函数．（1）当时，求的定义域和值域；（2）当时，求的取值范围．3、（1）求值：；（2）已知，求的值．4、（1）计算：；（2）已知，求的值.5、已知：，且，求证：．6、已知求的值7、（1）化简：（2）求值：已知，求的值.8、若xlog34＝1，求的值．9、已知a，b是方程的两根，且，求的值．10、化简下列各式(式中字母均为正数)．(1)；(2) (结果为分数指数幂)．11、(1)(124＋22)－27＋16－2(8－)－1；(2)lg5(lg8＋lg1 000)＋(lg2)2＋lg＋lg0.06.12、讨论函数f(x)＝的单调性．13、若b＝9a>0，求的值．14、化简求值：(1)；(2)；(3)；(4).15、∀x∈[－1,2]，使4x－2x＋1＋2－a<0恒成立，求实数a的取值范围．16、（1）已知，求x的值（2）计算：．17、计算:（1）（2）18、计算：（Ⅰ）．（Ⅱ）．19、计算：(1)；(2)20、计算下来各式：（1）化简：a••；（2）求值：log535+2log0.5﹣log5﹣log514+5．21、（1）已知，求的值；（2）化简．22、已知函数的定义域为，（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域．23、计算下列各式的值：(1)(2)24、已知，求的值.25、计算：（1）；（2）．26、已知函数，．（1）求函数的值域；（2）求满足方程的的值．27、已知函数是偶函数．（1）求的值；（2）若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．28、已知函数的值域为，函数的定义域为．⑴求集合、；⑵若，求实数的取值范围．29、⑴计算：；⑵计算：．30、已知函数，函数．⑴若的定义域为，求实数的取值范围；⑵当时，求函数的最小值；⑶是否存在非负实数、，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出、的值；若不存在，则说明理由．31、计算下列各式的值：（1）（2）[32、设y1＝，y2＝，其中a>0，且a≠1，试确定x为何值时，有：(1)y1＝y2；(2)y1>y2.33、计算：(1)；(2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.34、下列各式的值（12分）⑴⑵35、化简并求值：（1）；（2）．36、设a＞0，f（x）＝是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）判断并证明函数f（x）在[0，＋∞）上的单调性；（3）求函数的值域．37、计算下列各式的值：（1）（2）.38、计算：（1）（2）已知，求的值.39、已知命题的定义域是；命题在第一象限为增函数，若“”为假，“”为真，求的取值范围.40、计算：（1）.（2）.41、化简求值：（1）；（2）．42、化简或求值：（1）；（2）.43、计算：44、若函数是指数函数，试确定函数在区间(0，3)上的值域45、(Ⅰ)已知，计算：；(Ⅱ)求的值.46、计算下列各式的值：(1)(2).47、求下列各式的值：（1）；（2）设，求的值。
(人教A版)高中数学必修1(全册)课时同步作业汇总
(人教A版 )高中数学必修1 (全册 )课时同步作业汇总活页作业(一) 集合的含义(时间：45分钟总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．以下几组对象可以构成集合的是( )A．充分接近π的实数的全体B．善良的人C．世|界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人 解析：A 、B 、C 中标准不明确 ,应选D. 答案：D2．下面有四个语句： ①集合N *中最|小的数是0； ②－a ∉N ,那么a ∈N ；③a ∈N ,b ∈N ,那么a ＋b 的最|小值是2； ④x 2＋1＝2x 的解集中含有两个元素． 其中正确语句的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：N *是不含0的自然数 ,所以①错误； 取a ＝ 2 ,那么－2∉N ,2∉N ,所以②错误；对于③ ,当a ＝b ＝0时 ,a ＋b 取得最|小值是0 ,而不是2 ,所以③错误；对于④ ,解集中只含有元素1 ,故④错误．答案：A3．集合A 含有三个元素2,4,6 ,且当a ∈A 时 ,有6－a ∈A ,那么a 为( ) A ．2 B ．2或4 C ．4D ．0解析：假设a ＝2∈A ,那么6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ,那么6－a ＝2∈A ；假设a ＝6∈A ,那么6－a ＝0∉A .应选B.答案：B4．假设集合M 中的三个元素a ,b ,c 是△ABC 的三边长 ,那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：由集合中元素的互异性可知△ABC 的三边长满足a ≠b ≠c .应选D. 答案：D5．设a ,b ∈R ,集合A 中含有0 ,b ,ba三个元素 ,集合B 中含有1 ,a ,a ＋b 三个元素 ,且集合A 与集合B 相等 ,那么a ＋2b ＝( )A ．1B ．0C ．－1D ．不确定解析：由题意知a ＋b ＝0 ,∴b a＝－1 ,∴a ＝－1 ,b ＝1 ,∴a ＋2b ＝1.答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合A中只含有1 ,a2两个元素 ,那么实数a不能取的值为________．解析：由a2≠1 ,得a≠±1.答案：±17．假设集合P含有两个元素1,2 ,集合Q含有两个元素1 ,a2 ,且P ,Q相等 ,那么a ＝________.解析：由于P ,Q相等 ,故a2＝2 ,从而a＝± 2.答案：± 28．集合P中元素x满足：x∈N ,且2＜x＜a ,又集合P中恰有三个元素 ,那么整数a ＝________.解析：∵x∈N ,且2＜x＜a ,∴结合数轴可得a＝6.答案：6三、解答题(每题10分 ,共20分)9．假设所有形如3a＋2b(a∈Z,b∈Z)的数组成集合A,判断6－22是不是集合A中的元素．解：∵3a＋2b(a∈Z ,b∈Z)中 ,令a＝2 ,b＝－2 ,可得6－2 2 ,∴6－22是集合A中的元素．10．设集合A中含有三个元素3 ,x ,x2－2x.(1)求实数x应满足的条件；(2)假设－2∈A ,求实数x.解：(1)由集合中元素的互异性可知 ,x≠3 ,且x≠x2－2x ,x2－2x≠3.解得x≠3 ,且x≠0 ,且x≠－1.(2)∵－2∈A ,∴x＝－2或x2－2x＝－2.由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1 ,∴x＝－2.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．2a∈A ,a2－a∈A ,假设A只含这两个元素 ,那么以下说法中正确的选项是( ) A．a可取全体实数B．a可取除去0以外的所有实数C．a可取除去3以外的所有实数D ．a 可取除去0和3以外的所有实数解析：∵2a ∈A ,a 2－a ∈A ,∴2a ≠a 2－a .∴a (a －3)≠0.∴a ≠0且a ≠3.应选D. 答案：D2．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1 ,假设t ∈A ,那么t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于等于1解析：∵y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1 ,∴y ＝0或1.∵t ∈A ,∴t ＝0或1. 答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A 是由m －1,3m ,m 2－1三个元素组成的集合 ,且3∈A ,那么实数m 的值为________．解析：由m －1＝3 ,得m ＝4 ,此时3m ＝12 ,m 2－1＝15 ,故m ＝4符合题意；由3m ＝3 ,得m ＝1 ,此时m －1＝m 2－1＝0 ,故舍去；由m 2－1＝3 ,得m ＝±2 ,经检验m ＝±2符合题意．故填4或±2.答案：4或±24．假设a ,b ∈R 且a ≠0 ,b ≠0 ,那么|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a ＞0 ,b ＞0时 ,|a |a ＋|b |b＝2；当ab ＜0时 ,|a |a ＋|b |b ＝0；当a ＜0 ,b ＜0时 ,|a |a＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2,0 ,－2.即集合中元素的个数为3. 答案：3三、解答题(每题10分 ,共20分)5．集合A 的元素由kx 2－3x ＋2＝0的解构成 ,其中k ∈R ,假设A 中的元素只有一个 ,求k 的值．解：由题意知A 中元素即方程kx 2－3x ＋2＝0(k ∈R )的解． 假设k ＝0 ,那么x ＝23 ,知A 中只有一个元素 ,符合题意；假设k ≠0 ,那么方程为一元二次方程．当Δ＝9－8k ＝0 ,即k ＝98时 ,方程kx 2－3x ＋2＝0有两个相等的实数解 ,此时A 中只有一个元素．综上所述 ,k ＝0或98.6．集合A 中的元素全为实数 ,且满足：假设a ∈A ,那么1＋a1－a ∈A .(1)假设a ＝2 ,求出A 中其他所有元素． (2)0是不是集合A 中的元素 ?请说明理由． 解：(1)由2∈A ,得1＋21－2＝－3∈A .又由－3∈A, 得1－31＋3＝－12∈A .再由－12∈A ,得1－121＋12＝13∈A .由13∈A ,得1＋131－13＝2∈A . 故A 中除2外 ,其他所有元素为－3 ,－12 ,13.(2)0不是集合A 中的元素．理由如下： 假设0∈A ,那么1＋01－0＝1∈A ,而当1∈A 时 ,1＋a1－a不存在 ,故0不是集合A 中的元素．活页作业(二) 集合的表示(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．集合A ＝{x ∈N |－3≤x ≤3} ,那么有( ) A ．－1∈A B ．0∈A C.3∈AD ．2∈A解析：∵0∈N 且－3＜0＜ 3 ,∴0∈A . 答案：B2．集合M ＝{y |y ＝x 2} ,用自然语言描述M 应为( ) A ．函数y ＝x 2的函数值组成的集合B．函数y＝x2的自变量的值组成的集合C．函数y＝x2的图象上的点组成的集合D．以上说法都不对解析：从描述法表示的集合来看 ,代表元素是函数值 ,即集合M表示函数y＝x2的函数值组成的集合．答案：A3．集合{－2,1}等于( )A．{(x－1)(x＋2)＝0} B．{y|y＝x＋1 ,x∈Z}C．{x|(x＋1)(x－2)＝0} D．{x|(x－1)(x＋2)＝0}解析：选项A是含有一个一元二次方程的集合 ,选项B是函数y＝x＋1 ,x∈Z的函数值组成的集合 ,有无数多个元素 ,选项C是方程(x＋1)(x－2)＝0的解的集合为{－1,2} ,选项D是方程(x－1)(x＋2)＝0的解的集合为{1 ,－2}．应选D.答案：D4．假设1∈{x ,x2} ,那么x＝( )A．1 B．－1C．0或1 D．0或1或－1解析：∵1∈{x ,x2} ,∴x＝1或x2＝1 ,∴xx＝1 ,那么x＝x2＝1 ,不符合集合中元素的互异性．答案：B5．以下集合中表示同一集合的是( )A．M＝{(3,2)} ,N＝{(2,3)}B．M＝{3,2} ,N＝{2,3}C．M＝{(x ,y)|x＋y＝1} ,N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{1,2} ,N＝{(1,2)}解析：A中M、N都为点集 ,元素为点的坐标 ,顺序不同表示的点不同；C中M、N分别表示点集和数集；D中M为数集 ,N为点集 ,应选B.答案：B二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合A＝{x|x2＝a ,x∈R} ,那么实数a的取值范围是________．解析：当x∈R时 ,a＝x2≥0.答案：a≥07．集合A＝{－1,0,1} ,集合B＝{y|y＝|x| ,x∈A} ,那么B＝____________.解析：∵|－1|＝1 ,|0|＝0 ,|1|＝1 ,∴B＝{0,1}．答案：{0,1}8．集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫125－x ∈N x ∈N ,那么用列举法表示为__________________．解析：根据题意 ,5－x 应该是12的因数 ,故其可能的取值为1,2,3,4,6,12 ,从而可得到对应xx ∈N ,所以x 的值为4,3,2,1.答案：{4,3,2,1}三、解答题(每题10分 ,共20分) 9．用另一种方法表示以下集合． (1){绝|对值不大于2的整数}； (2){能被3整除 ,且小于10的正数}； (3){x |x ＝|x | ,x ＜5 ,且x ∈Z }； (4){(x ,y )|x ＋y ＝6 ,x ∈N *,y ∈N *}； (5){－3 ,－1,1,3,5}． 解：(1){－2 ,－1,0,1,2}． (2){3,6,9}．(3)∵x ＝|x | ,∴x ∵x ∈Z ,且x ＜5 , ∴x ＝0或1或2或3或4. ∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．(4){(1,5) ,(2,4) ,(3,3) ,(4,2) ,(5,1)}． (5){x |x ＝2k －1 ,－1≤k ≤3 ,k ∈Z }．10．集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0 ,x ∈R } ,假设A 中至|多有一个元素 ,求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时 ,A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43；当a ≠0时 ,关于x 的方程ax 2－3x －4＝0应有两个相等的实数根或无实数根 , ∴Δ＝9＋16a ≤0 ,即a ≤－916. 综上 ,所求实数a 的取值范围是a ＝0或a ≤－916.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．设x ＝13－52 ,y ＝3＋2π ,集合M ＝{m |m ＝a ＋2b ,a ∈Q ,b ∈Q } ,那么x ,y 与集合M 的关系是( )A ．x ∈M ,y ∈MB ．x ∈M ,y ∉MC ．x ∉M ,y ∈MD ．x ∉M ,y ∉M 解析：x ＝13－52＝3＋523－523＋52＝－341－2×541∈M ,y ∉M .应选B. 答案：B2．用描述法表示如下图阴影局部的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )A ．{－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}B ．{(x ,y )|－2≤x ≤0且－2≤y ≤0}C ．{(x ,y )|－2≤x ≤0且－2≤y ＜0}D ．{(x ,y )|－2≤x ≤0或－2≤y ≤0}解析：阴影局部为点集 ,且包括边界上的点 ,所以－2≤x ≤0且－2≤y ≤0. 答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{(x ,y )|y ＝2x ＋1} ,B ＝{(x ,y )|y ＝x ＋3} ,a ∈A 且a ∈B ,那么a 为________．解析：∵a ∈A 且a ∈B ,∴a 是方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋1 y ＝x ＋3的解．解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2 y ＝5 ∴a为(2,5)．答案：(2,5)4．A ＝{1,2,3} ,B ＝{1,2} ,定义集合间的运算A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2 ,x 1∈A ,x 2∈B } ,那么集合A ＋B 中元素的最|大值是________．解析：当x 1＝1 ,x 2＝1或2时 ,x ＝2或3；当x 1＝2 ,x 2＝1或2时 ,x ＝3或4；当x 1＝3 ,x 2＝1或2时 ,x ＝4或5.∴集合A ＋B 中元素的最|大值是5.答案：5三、解答题(每题10分 ,共20分)5．集合A ＝{(x ,y )|2x －y ＋m ＞0} ,B ＝{(x ,y )|x ＋y －n ≤0} ,假设点P (2,3)∈A ,且P (2,3)∉B ,试求m ,n 的取值范围．解：∵点P ∈A ,∴2×2－3＋m ＞0.∴m ＞－1. ∵点P ∉B ,∴2＋3－n ＞0.∴n ＜5.∴所求m ,n 的取值范围分别是{m |m ＞－1} ,{n |n ＜5}．6．集合P ＝{x |x ＝2k ,k ∈Z } ,M ＝{x |x ＝2k ＋1 ,k ∈Z } ,a ∈P ,b ∈M ,设c ＝a ＋b ,那么c 与集合M 有什么关系 ?解：∵a ∈P ,b ∈M ,c ＝a ＋b , 设a ＝2k 1 ,k 1∈Z ,b ＝2k 2＋1 ,k 2∈Z , ∴c ＝2k 1＋2k 2＋1＝2(k 1＋k 2)＋1. 又k 1＋k 2∈Z , ∴c ∈M .活页作业(三) 集合间的根本关系(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分) 1．以下关系中 ,表示正确的选项是( ) A ．1∈{0,1} B ．1{0,1} C ．1⊆{0,1}D ．{1}∈{0,1}解析：、⊆表示集合之间的关系 ,故B 、C 错误；∈表示元素与集合之间的关系 ,故D 错误．答案：A2．假设x ,y ∈R ,A ＝{(x ,y )|y ＝x } ,B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫xy ⎪⎪⎪y x ＝1 ,那么A ,B 的关系为( ) A ．A B B ．A B C ．A ＝BD ．A ⊆B解析：集合A 表示函数y ＝x 图象上所有点组成的集合 ,集合B 中要求x ≠0 ,所以集合B 表示除点(0,0)以外的y ＝x 图象上的点组成的集合 ,A B 成立．答案：B3．全集U ＝R ,那么正确表示集合M ＝{－1,0,1}和N ＝{x |x 2＋x ＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )解析：∵M＝{－1,0,1} ,N＝{0 ,－1} ,∴N M.应选B.答案：B4．集合A＝{x|0≤x＜3 ,x∈N}的真子集的个数是( )A．16 B．8C．7 D．4解析：易知集合A＝{0,1,2} ,∴A的真子集为∅ ,{0} ,{1} ,{2} ,{0,1} ,{0,2} ,{1,2} ,共有7个．答案：C5．设A＝{x|1＜x＜2} ,B＝{x|x＜a} ,假设A⊆B ,那么a的取值范围是( )A．a≤2B．a≤1C．a≥1D．a≥2解析：如图 ,在数轴上表示出两集合 ,只要a≥2 ,就满足A⊆B.答案：D二、填空题(每题5分 ,共15分)6.右图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系 ,那么A ,B ,C ,D ,E分别代表的图形的集合为______________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形} ,集合B＝{梯形} ,集合C ＝{平行四边形} ,集合D＝{菱形} ,集合E＝{正方形}．答案：A＝{四边形} ,B＝{梯形} ,C＝{平行四边形} ,D＝{菱形} ,E＝{正方形}7．设集合M＝{(x ,y)|x＋y＜0 ,xy＞0}和P＝{(x ,y)|x＜0 ,y＜0} ,那么M与P的关系为________．解析：∵xy＞0 ,∴x ,y同号．又x＋y＜0 ,∴x＜0 ,y＜0 ,即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点 ,故M＝P.答案：M＝P8．集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x≥m} ,假设A⊆B ,那么实数m的取值范围为_________________________________．解析：集合A ,B 在数轴上的表示如下图．由图可知 ,假设A ⊆B ,那么m ≤－2. 答案：m ≤－2三、解答题(每题10分 ,共20分)9．集合A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2 ,x ,y ∈N } ,试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ,y )|x ＋y ＝2 ,x ,y ∈N } , ∴A ＝{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}． ∴A 的子集有：∅ ,{(0,2)} ,{(1,1)} ,{(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1)} ,{(0,2) ,(2,0)} ,{(1,1) ,(2,0)} ,{(0,2) ,(1,1) ,(2,0)}．10．集合A ＝{x |1<ax <2} ,B ＝{x |－2<x ＜2} ,求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 解：B ＝{x |－2＜x ＜2}． (1)当a ＝0时 ,A ＝∅ ,显然A ⊆B . (2)当a ＞0时 ,A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a＜x ＜2a . ∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－2 2a ≤2 解得a ≥1.(3)当a <0时 ,A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a<x <1a .∵A ⊆B ,由以下图可知 ,∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤22a ≥－2 解得a ≤－1.综上可知 , a ＝0 ,或a ≥1 ,或a ≤－1时 ,A ⊆B .一、选择题(每题5分 ,共10分)1．集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0 ,x ∈R } ,B ＝{x |0＜x ＜5 ,x ∈N } ,那么满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：因为集合A ＝{1,2} ,B ＝{1,2,3,4} ,所以当满足A ⊆C ⊆B 时 ,集合C 可以为{1,2} ,{1,2,3} ,{1,2,4} ,{1,2,3,4} ,故满足条件的集合C 有4个．答案：D2．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x ＝m ＋16 m ∈Z,N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝n 2－13 n ∈Z ,那么集合M ,N 的关系是( )A ．M ⊆NB ．M NC ．N ⊆MD ．N M解析：设n ＝2m 或2m ＋1 ,m ∈Z , 那么有N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪x ＝2m 2－13或x ＝2m ＋12－13m ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪⎪ x ＝m －13或x ＝m ＋16 m ∈Z . 又∵M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪⎪⎪x ＝m ＋16 m ∈Z ,∴M N .答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．假设A ＝{1,2} ,B ＝{x |x ⊆A } ,那么B ＝________.解析：∵x ⊆A ,∴x ＝∅ ,{1} ,{2} ,{1,2} ,∴B ＝{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}．答案：{∅ ,{1} ,{2} ,{1,2}}4．集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0 ,a ∈R } ,假设集合A 有且仅有2个子集 ,那么a 的取值构成的集合为________________．解析：∵集合A 有且仅有2个子集 ,∴A 仅有一个元素 ,即方程ax 2＋2x ＋a ＝0(a ∈R )仅有一个根．当a ＝0时 ,方程化为2x ＝0 , ∴x ＝0 ,此时A ＝{0} ,符合题意．当a ≠0时 ,Δ＝22－4·a ·a ＝0 ,即a 2＝1 ,∴a ＝±1. 此时A ＝{－1} ,或A ＝{1} ,符合题意． ∴a ＝0或a ＝±1. 答案：{0,1 ,－1}三、解答题(每题10分 ,共20分)5．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x x ＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝0 x ∈Z ,B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0} ,假设B ⊆A ,求实数a 的值．解：由题意得A ＝{0 ,－4}．(1)当B ＝∅时 ,方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无解 , ∴Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0. ∴a ＜－1. (2)当BA (B ≠∅)时 ,那么B ＝{0}或B ＝{－4} ,即方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0只有一解 , ∴Δ＝8a ＋8＝0. ∴aB ＝{0}满足条件．(3)当B ＝A 时 ,方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0 有两实根0 ,－4 ,∴⎩⎨⎧16－8a ＋1＋a 2－1＝0 a 2－1＝0.∴a ＝1.综上可知 ,a ≤－1 ,或a ＝1.6．设集合A ＝{x |－1≤x ＋1≤6} ,B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1}． (1)当x ∈Z 时 ,求A 的非空真子集的个数； (2)假设A ⊇B ,求m 的取值范围． 解：化简集合A 得A ＝{x |－2≤x ≤5}． (1)∵x ∈Z ,∴A ＝{－2 ,－1,0,1,2,3,4,5} ,即A 中含有8个元素．∴A 的非空真子集的个数为28－2＝254(个)． (2)①当m ≤－2时 ,B ＝∅⊆A ；②当m ＞－2时 ,B ＝{x |m －1＜x ＜2m ＋1} , 因此 ,要B ⊆A ,那么只要⎩⎨⎧m －1≥－22m ＋1≤5⇒－1≤m ≤2.综上所述 ,m 的取值范围是{m |－1≤m ≤2或m ≤－2}．活页作业(四)并集、交集(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2} ,N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3} ,那么M ∩N ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：由题意 ,得M ＝{－2 ,－1,0,1} ,N ＝{－1,0,1,2,3} ,∴M ∩N ＝{－1,0,1}． 答案：B2．假设集合M ＝{x |－2≤x ＜2} ,N ＝{0,1,2} ,那么M ∩N 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1,2}D ．{0,1}解析：M ＝{x |－2≤x ＜2} ,N ＝{0,1,2} ,那么M ∩N ＝{0,1} ,应选D. 答案：D3．以下各组集合 ,符合Venn 图所示情况的是( )A ．M ＝{4,5,6,8} ,N ＝{4,5,6,7,8}B ．M ＝{x |0＜x ＜2} ,N ＝{x |x ＜3}C ．M ＝{2,5,6,7,8} ,N ＝{4,5,6,8}D ．M ＝{x |x ＜3} ,N ＝{x |0＜x ＜2}解析：因为{4,5,6,8}⊆{4,5,6,7,8} ,即M ⊆N ,所以选项A 错误．又因{x |0＜x ＜2}⊆{x |x ＜3} ,所以选项B 错误 ,选项C 显然错误 ,选项D 正确．答案：D4．设集合A ＝{1,2} ,那么满足A ∪B ＝{1,2,3}的集合B 的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．4D ．8解析：∵A ＝{1,2} ,且A ∪B ＝{1,2,3} ,∴B ＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}． 答案：C5．设集合A ＝{x ∈N |1≤x ≤10} ,B ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0} ,那么图中阴影表示的集合为( )A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}解析：∵A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} ,B ＝{－3,2} ,∴图中阴影表示的集合为A ∩B ＝{2}．答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合M ＝{x |－3＜x ≤5} ,N ＝{x |－5＜x ＜－2 ,或x ＞5} ,那么M ∪N ＝____________ ,M ∩N ＝__________________.解析：借助数轴可知：M ∪N ＝{x |x ＞－5} ,M ∩N ＝{x |－3＜x ＜－2}．答案：{x |x ＞－5} {x |－3＜x ＜－2}7．集合A ＝{(x ,y )|y ＝x 2,x ∈R } ,B ＝{(x ,y )|y ＝x ,x ∈R } ,那么A ∩B 中的元素个数为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0 或⎩⎨⎧x ＝1y ＝1.答案：28．设集合A ＝{x |－1＜x ＜2} ,B ＝{x |x ＜a } ,假设A ∩B ≠∅ ,那么a 的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知 ,a ＞－1.答案：a ＞－1三、解答题(每题10分 ,共20分)9．集合A ＝{1,3,5} ,B ＝{1,2 ,x 2－1} ,假设A ∪B ＝{1,2,3,5} ,求x 及A ∩B . 解：∵B ⊆(A ∪B ) , ∴x 2－1∈(A ∪B )．∴x 2－1＝3或x 2－1＝5 ,解得x ＝±2或x ＝± 6. 假设x 2－1＝3 ,那么A ∩B ＝{1,3}； 假设x 2－1＝5 ,那么A ∩B ＝{1,5}．10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0} ,B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0} ,假设A ∪B ＝A ,求实数a 的取值范围．解：A ＝{1,2} ,∵A ∪B ＝A ,∴B ⊆A .集合B 有两种情况：B ＝∅或B ≠∅. (1)B ＝∅时 ,方程x 2－4x ＋a ＝0无实数根 , ∴Δ＝16－4a ＜0.∴a ＞4. (2)B ≠∅时 ,当Δ＝0时 ,a ＝4 ,B ＝{2}⊆A 满足条件；当Δ＞0时 ,假设1,2是方程x 2－4x ＋a ＝0的根 , 由根与系数的关系知1＋2＝3≠4 ,矛盾 ,∴a ＝4. 综上 ,a 的取值范围是a ≥4.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．集合A ＝{1,2} ,B ＝{x |mx －1＝0} ,假设A ∩B ＝B ,那么符合条件的实数m 的值组成的集合为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 12 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1 12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 0 12D ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1 －12解析：当m ＝0时 ,B ＝∅ ,A ∩B ＝B ；当m ≠0时 ,x ＝1m ,要使A ∩B ＝B ,那么1m ＝1或1m＝2 ,即m ＝1或m ＝12,选C.答案：C2．定义集合{x |a ≤x ≤b }的 "长度〞是b －a .m ,n ∈R ,集合M ＝xm ≤x ≤m ＋23 ,N ＝xn－34≤x ≤n ,且集合M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,那么集合M ∩N 的 "长度〞的最|小值是( )A.23B.12C.512D ．13解析：集合M ,N 的 "长度〞分别为23 ,34 ,又M ,N 都是集合{x |1≤x ≤2}的子集 ,如图 ,由图可知M ∩N 的 "长度〞的最|小值为53－54＝512.答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{1,3 ,m } ,B ＝{1 ,m } ,A ∪B ＝A ,那么m ＝________.解析：由A ∪B ＝A 得B ⊆A ,所以有m ＝3或m ＝m .由m ＝m 得m ＝0或1 ,经检验 ,m ＝1时 ,B ＝{1,1}矛盾 ,m ＝0或3时符合题意．答案：0或34．设集合A ＝{5 ,a ＋1} ,集合B ＝{a ,b }．假设A ∩B ＝{2} ,那么A ∪B ＝______________. 解析：∵A ∩B ＝{2} ,∴2∈A .故a ＋1＝2 ,a ＝1 ,即A ＝{5,2}；又2∈B ,∴b ＝2 ,即B ＝{1,2}．∴A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}三、解答题(每题10分 ,共20分)5．A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3} ,B ＝{x |x ＜－1或x ＞5} ,假设A ∩B ＝∅ ,求a 的取值范围． 解：A ∩B ＝∅ ,A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}． (1)假设A ＝∅ ,有2a ＞a ＋3 ,∴a ＞3. (2)假设A ≠∅ ,如下图．那么有⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1a ＋3≤5 2a ≤a ＋3解得－12≤a ≤2.综上所述 ,a 的取值范围是－12≤a ≤2或a ＞3.6．集合M ＝{x |2x －4＝0} ,N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}． (1)当m ＝2时 ,求M ∩N ,M ∪N . (2)当M ∩N ＝M 时 ,求实数m 的值． 解：由得M ＝{2}． (1)当m ＝2时 ,N ＝{1,2}． ∴M ∩N ＝{2} ,M ∪N ＝{1,2}． (2)假设M ∩N ＝M ,那么M ⊆N , ∴2∈N . ∴4－6＋m ＝0. ∴m ＝2.活页作业(五) 补集及集合运算的综合应用(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．全集U ＝{0,1,2} ,且∁U A ＝{2} ,那么A 等于( ) A ．{0} B ．{1} C ．∅D ．{0,1}解析：∵∁U A ＝{2} ,∴A ＝{0,1}． 答案：D2．A ＝{x |x ＋1＞0} ,B ＝{－2 ,－1,0,1} ,那么(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2 ,－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1}D ．{0,1} 解析：解不等式求出集合A ,进而得∁R A ,再由集合交集的定义求解． 因为集合A ＝{x |x ＞－1} ,所以∁R A ＝{x |x ≤－1}． 那么(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2 ,－1,0,1} ＝{－2 ,－1}． 答案：A3．如下图 ,U 是全集 ,A ,B 是U 的子集 ,那么图中阴影局部表示的集合是( )A．A∩B B．B∩(∁U A)C．A∪B D．A∩(∁U B)解析：阴影局部在B中且在A的外部 ,由补集与交集的定义可知阴影局部可表示为B∩(∁U A)．答案：B4．设集合M＝{x|x＝3k ,k∈Z} ,P＝{x|x＝3k＋1 ,k∈Z} ,Q＝{x|x＝3k－1 ,k∈Z} ,那么∁Z(P∪Q)＝( )A．M B．PC．Q D．∅解析：x＝3k ,k∈Z表示被3整除的整数；x＝3k＋1 ,k∈Z表示被3整除余1的整数；x＝3k－1表示被3整除余2的整数 ,所以∁Z(P∪Q)＝M.答案：A5．集合A＝{x|x<a} ,B＝{x|1<x<2} ,且A∪(∁R B)＝R,那么实数a的取值范围是( ) A．a≤1B．a<1C．a≥2D．a>2解析：如下图 ,假设能保证并集为R ,那么只需实数a在数2的右边 ,注意等号的选取．选C.答案：C二、填空题(每题5分 ,共15分)6．集合U＝{2,3,6,8} ,A＝{2,3} ,B＝{2,6,8} ,那么(∁U A)∩B＝________.解析：(∁U A)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案：{6,8}7．设全集U＝R ,集合A＝{x|x≥0} ,B＝{y|y≥1} ,那么∁U A与∁U B的包含关系是______________．解析：∵∁U A＝{x|x<0} ,∁U B＝{y|y<1} ,∴∁U A∁U B.如图．答案：∁U A∁U B8．设全集S＝{1,2,3,4} ,且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0} ,假设∁S A＝{2,3} ,那么m＝________.解析：因为S＝{1,2,3,4} ,∁S A＝{2,3} ,所以A＝{1,4} ,即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根 ,由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.答案：4三、解答题(每题10分 ,共20分)9．全集U＝{2,3 ,a2－2a－3} ,A＝{2 ,|a－7|} ,∁U A＝{5} ,求a的值．解：由|a－7|＝3 ,得a＝4或a＝10.当a＝4时 ,a2－2a－3＝5 ,当a＝10时 ,a2－2a－3＝77∉U ,所以a＝4.10．集合A＝{x|3≤x＜7} ,B＝{x|2＜x＜10} ,C＝{x|x＜a}．(1)求(∁R A)∩B；(2)假设A⊆C ,求a的取值范围．解：(1)∵A＝{x|3≤x＜7} ,∴∁R A＝{x|x＜3或x≥7}．∴(∁R A)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．(2)∵C＝{x|x＜a} ,且A⊆C ,如下图 ,∴a≥7.∴a的取值范围是{a|a≥7}．一、选择题(每题5分 ,共10分)1．全集U＝R,集合A＝{x|－2≤x≤3} ,B＝{x|x＜－2或x＞4} ,那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}解析：∵∁U A＝{x|x＜－2或x＞3} ,∁U B＝{x|－2≤x≤4} ,如图 ,∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}．应选A.答案：A2．设A ,B ,I均为非空集合 ,且满足A⊆B⊆I ,那么以下各式中错误的选项是( ) A．(∁I A)∪B＝I B．(∁I A)∪(∁I B)＝IC．A∩(∁I B)＝∅D．(∁I A)∩(∁I B)＝∁I B解析：方法一符合题意的Venn图 ,如图．观察可知选项A ,C ,D 均正确 ,(∁I A )∪(∁I B )＝∁I A ,应选项B 错误．方法二 运用特例法 ,如A ＝{1,2,3} ,B ＝{1,2,3,4} ,I ＝{1,2,3,4,5}．逐个检验只有选项B 错误．答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．全集U ＝R ,A ＝{x |x ＜－3 ,或x ≥2} ,B ＝{x |－1＜x ＜5} ,那么集合C ＝{x |－1＜x ＜2}＝______________.(用A ,B 或其补集表示)解析：如下图 ,由图可知C ⊆∁U A ,且C ⊆B ,∴C ＝B ∩(∁U A )． 答案：B ∩(∁U A )4．某班共50人 ,参加A 项比赛的共有30人 ,参加B 项比赛的共有33人 ,且A ,B 两项都不参加的人数比A ,B 都参加的人数的13多1人 ,那么只参加A 项不参加B 项的有____人．解析：如下图 ,设A ,B 两项都参加的有x 人 ,那么仅参加A 项的共(30－x )人 ,仅参加B 项的共(33－x )人 ,A ,B 两项都不参加的共⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1人 ,根据题意得x ＋(30－x )＋(33－x )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋1＝50 ,解得x ＝21 ,所以只参加A 项不参加B 项的共有30－21＝9(人)．故填9.答案：9三、解答题(每题10分 ,共20分)5．设全集是实数集R ,A ＝{x |2x 2－7x ＋3≤0} ,B ＝{x |x 2＋a ＜0}． (1)当a ＝－4时 ,求A ∩B 和A ∪B ；(2)假设(∁R A )∩B ＝B ,求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤3,当a ＝－4时 ,B ＝{x |－2＜x ＜2} ,∴A ∩B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ＜2 ,A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＜12 或x ＞3 ,当(∁R A )∩B ＝B 时 ,B ⊆∁R A .①当B ＝∅ ,即a ≥0时 ,满足B ⊆∁R A ；②当B ≠∅ ,即a ＜0时 ,B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }． 要使B ⊆∁R A ,需－a ≤12 ,解得－14≤a ＜0.综上可得 ,实数a 的取值范围是⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫a ≥－14.6．设全集I ＝R ,集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0} ,N ＝{x |x 2＋x －6＝0}． (1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ,集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ,a ∈R } ,假设B ∪A ＝A ,求实数a 的取值范围．解：(1)∵M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3} ,N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．∴∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}． ∴(∁I M )∩N ＝{2}． (2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2} , ∵B ∪A ＝A ,∴B ⊆A . ∴B ＝∅或B ＝{2}．当B ＝∅时 ,a －1>5－a ,∴a >3；当B ＝{2}时 ,⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2解得a ＝3.综上所述 ,所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．活页作业(六) 函数的概念(时间：30分钟 总分值：60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1．设f：x→x2是集合A到集合B的函数 ,如果集合B＝{1} ,那么集合A不可能是( ) A．{1} B．{－1}C．{－1,1} D．{－1,0}解析：假设集合A＝{－1,0} ,那么0∈A ,但02＝0∉B.应选D.答案：D2．各个图形中 ,不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )解析：因垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至|多有一个交点．应选A.答案：A3．假设函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2} ,值域为N＝{y|0≤y≤2} ,那么函数y＝f(x)的图象可能是( )解析：选项A ,定义域为{x|－2≤x≤0} ,不正确．选项C ,当x在(－2,2]取值时 ,y 有两个值和x对应 ,不符合函数的概念．选项D ,值域为[0,1] ,不正确 ,选项B正确．答案：B二、填空题(每题4分 ,共8分)4．假设(2m ,m＋1)表示一个开区间 ,那么m的取值范围是________．解析：由2m＜m＋1 ,解得m＜1.答案：(－∞ ,1)5．函数y＝f(x)的图象如下图 ,那么f(x)的定义域是________________；其中只与x 的一个值对应的y值的范围是________________．解析：观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]； 只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 答案：[－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] 三、解答题6．(本小题总分值10分)求以下函数的定义域． (1)y ＝2x ＋1＋3－4x . (2)y ＝1|x ＋2|－1.解：由得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1≥0⇒x ≥－12 3－4x ≥0⇒x ≤34∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1234. (2)由得 ,|x ＋2|－1≠0 , ∴|xx ≠－3 ,x ≠－1.∴函数的定义域为(－∞ ,－3)∪(－3 ,－1)∪(－1 ,＋∞)．一、选择题(每题5分 ,共10分)1．四个函数：(1)y ＝x ＋1；(2)y ＝x 3；(3)y ＝x 2－1； (4)y ＝1x.其中定义域相同的函数有( )A ．(1) ,(2)和(3)B ．(1)和(2)C ．(2)和(3)D ．(2) ,(3)和(4)解析：(1) ,(2)和(3)中函数的定义域均为R ,而(4)函数的定义域为{x |x ≠0}． 答案：A2．函数f (x )＝－1 ,那么f (2)的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．不确定解析：∵f (x )＝－1 ,∴f (2)＝－1. 答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．集合A ＝{1,2,3} ,B ＝{4,5} ,那么从A 到B 的函数f (x )有________个．解析：抓住函数的 "取元任意性 ,取值唯一性〞 ,利用列表方法确定函数的个数.f (1) 4 4 4 4 5 5 5 5 f (2) 4 4 5 5 4 4 5 5 f (3)45454545由表可知 ,这样的函数有8个 ,故填8. 答案：8 4．函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域为________．(并用区间表示)解析：要使函数解析式有意义 ,需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2≥06－2x ≥0 6－2x ≠1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－2x ≤3x ≠52⇒－2≤x ≤3 ,且x ≠52.∴函数的定义域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3.答案：⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－2 52∪⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤52 3三、解答题5．(本小题总分值10分)将长为a 的铁丝折成矩形 ,求矩形面积y 关于边长x 的解析式 ,并写出此函数的定义域．解：设矩形一边长为x ,那么另一边长为12(a －2x ) ,所以y ＝x ·12(a －2x )＝－x 2＋12ax .由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜a 2 0＜12a －2x ＜a2解得0＜x ＜a2,即函数定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0 a 2.活页作业(七) 函数概念的综合应用(时间：30分钟 总分值：60分)一、选择题(每题4分 ,共12分)1．函数f (x )＝x ＋1x,那么f (1)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0解析：f (1)＝1＋11＝2.答案：B2．以下各组函数表示相等函数的是( )A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1 C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0) D ．y ＝2x ＋1 ,x ∈Z 与y ＝2x －1 ,x ∈Z解析：A 中两函数定义域不同 ,B 、D 中两函数对应关系不同 ,C 中定义域与对应关系都相同．答案：C3．函数y ＝x ＋1的值域为( ) A ．[－1 ,＋∞) B ．[0 ,＋∞) C ．(－∞ ,0]D ．(－∞ ,－1]解析：∵x ＋1≥0 ,∴y ＝x ＋1 ≥0. 答案：B二、填空题(每题4分 ,共8分) 4．函数y ＝x ＋1x的定义域为________． 解析：要使函数式有意义 ,需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ≠0 ,所以函数的定义域为{x |x ≥－1且x ≠0}．答案：{x |x ≥－1且x ≠0}5．函数f (x )＝2x －3 ,x ∈{x ∈N |1≤x ≤5} ,那么函数的值域为__________________． 解析：函数的定义域为{1,2,3,4,5}． 故当x ＝1,2,3,4,5时 ,y ＝－1,1,3,5,7 ,即函数的值域为{－1,1,3,5,7}． 答案：{－1,1,3,5,7} 三、解答题6．(本小题总分值10分)假设f (x )＝ax 2－ 2 ,且f (f (2))＝－ 2 ,求a 的值． 解：因为f (2)＝a (2)2－2＝2a － 2 ,所以f (f (2))＝a (2a －2)2－2＝－ 2.于是a (2a －2)2＝0,2a －2＝0或a ＝0 ,所以a＝22或a ＝0.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．以下函数中 ,值域为(0 ,＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝x 的值域为[0 ,＋∞)； C 中y ＝16x的值域为(－∞ ,0)∪(0 ,＋∞)；D 中y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34的值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫34 ＋∞；B 中函数的值域为(0 ,＋∞) ,应选B. 答案：B2．假设函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ,那么a 的值是( )A ．－1或3B ．－1C ．3D ．不存在解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0 a －3≠0得a ＝－1.答案：B二、填空题(每题5分 ,共10分)3．函数f (x )＝x －1.假设f (a )＝3 ,那么实数a ＝________. 解析：因为f (a )＝a －1＝3 ,所以a －1＝9 ,即a ＝10. 答案：104．给出定义：假设m －12＜x ≤m ＋12(其中m 为整数) ,那么m 叫做离实数x 最|近的整数 ,记作{x } ,即{x }＝m .在此根底上给出以下关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个结论．①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12； ②f (3.4)＝－0.4；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14； ④y ＝f (x )的定义域为R ,值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1212. 那么其中正确的序号是________．解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12－－12＝－12－(－1)＝12 ,①正确； f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4 ,②错误； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－14－－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝14－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14 ,③正确； y ＝f (x )的定义域为R ,值域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－1212 ,④错误．答案：①③ 三、解答题5．(本小题总分值10分)函数f (x )＝x 21＋x2.(1)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值． (2)求证：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x是定值．(3)求f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋ f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017的值．(1)解：∵f (x )＝x 21＋x2 ,∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝221＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1221＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝1. f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝321＋32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1321＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2 ＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1. (3)解：由(2)知f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1 ,∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1 ,f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1 ,f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1 ,… ,f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎪⎫12 017＝1.∴f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋…＋f (2 017)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝2 016.活页作业(八) 函数的表示法(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．小明骑车上学 ,开始时匀速行驶 ,途中因交通堵塞停留了一段时间 ,后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最|好的图象是( )解析：方法一：出发时距学校最|远 ,先排除A ,中途堵塞停留 ,距离不变 ,再排除D ,堵塞停留后比原来骑得快 ,因此排除B ,选C.方法二：由小明的运动规律知 ,小明距学校的距离应逐渐减小 ,由于小明先是匀速运动 ,故前段是直线段 ,途中停留时距离不变 ,后段加速 ,直线段比前段下降得快 ,故应选C.答案：C 2．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ,那么f (x )＝( )A.x ＋1x －1B ．1－x 1＋x C.1＋x1－xD ．2x x ＋1解析：设t ＝1－x 1＋x ,那么x ＝1－t 1＋t ,f (t )＝1－t 1＋t ,即f (x )＝1－x1＋x .答案：B3．函数f (x )是一次函数 ,2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1 ,那么f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3D ．2x －3解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) ,那么⎩⎨⎧22k ＋b －3k ＋b ＝52b －－k ＋b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3 b ＝－2∴f (x )＝3x －2. 答案：B4．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＝2x ＋3 ,且f (m )＝6 ,那么m 等于( )A ．－14B.14C.32D ．－32解析：设12x －1＝m ,那么x ＝2m ＋2 ,∴f (m )＝2(2m ＋2)＋3＝4m ＋7＝6 ,∴m ＝－14.答案：A5．函数f (2x ＋1)＝3x ＋2 ,且f (a )＝2 ,那么a 的值等于( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．－1解析：由f (2x ＋1)＝3x ＋2 ,令2x ＋1＝t , ∴x ＝t －12.∴f (t )＝3·t －12＋2.∴f (x )＝3x －12＋2.∴f (a )＝3a －12＋2＝2.∴a ＝1.答案：A二、填空题(每题5分 ,共15分)6．如图 ,函数f (x )的图象是曲线OAB ,其中点O ,A ,B 的坐标分别为(0,0) ,(1,2) ,(3,1) ,那么f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 3的值等于________．解析：∵f (3)＝1 ,1f 3＝1 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f 3＝f (1)＝2.答案：27．函数f (x ) ,g (x )分别由下表给出：x 1 2 3 f (x )131x 1 2 3 g (x )321那么f (g (1))＝____________． 解析：∵g (1)＝3 ,∴f (g (1))＝f (3)＝1. 又∵x ,f (g (x )) ,g (f (x ))的对应值表为x 1 2 3 f (g (x ))131g (f (x ))3 1 3∴f (g (x ))＞g (f (x ))答案：1 28．假设f (x )是一次函数 ,f (f (x ))＝4x －1 ,那么f (x )＝______.解析：设f (x )＝kx ＋b (k ≠0) ,那么f (f (x ))＝kf (x )＋b ＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ＝4x ⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4 kb ＋b ＝－1解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2b ＝－13或⎩⎨⎧k ＝－2b ＝1.所以f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.答案：2x －13或－2x ＋1三、解答题(每题10分 ,共20分) 9．下表表示函数y ＝f (x ).x0＜x ＜5 5≤x ＜1010≤x ＜1515≤x ≤20y ＝f (x )－46810(1)写出函数的定义域、值域； (2)写出满足f (x )≥x 的整数解的集合．解：(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]．函数的值域为{－4,6,8,10}．(2)由于当5≤x ＜10时 ,f (x )＝6 ,因此满足f (x )≥x 的x 的取值范围是5≤xx ∈Z ,故x ∈{5,6}．10．函数f (x )＝g (x )＋h (x ) ,g (x )关于x 2成正比 ,h (x )关于x 成反比 ,且g (1)＝2 ,h (1)＝－3 ,求：(1)函数f (x )的解析式及其定义域； (2)f (4)的值．解：(1)设g (x )＝k 1x 2(k 1≠0) ,h (x )＝k 2x(k 2≠0) , 由于g (1)＝2 ,h (1)＝－3 , 所以k 1＝2 ,k 2＝－3. 所以f (x )＝2x 2－3x,定义域是(0 ,＋∞)． (2)由(1)得f (4)＝2×42－34＝612.一、选择题(每题5分 ,共10分)1．正方形的周长为x ,它的外接圆的半径为y ,那么y 关于x 的解析式为( )A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28x D ．y ＝216x 解析：正方形边长为x4 ,而(2y )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42,∴y 2＝x 232.∴y ＝x 42＝28x .答案：C2．以下函数中 ,不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：对于A ,f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于B ,f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；对于C ,f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )；对于D ,f (2x )＝－2x ＝2f (x )．答案：C二、填空题(每题5分 ,共10分)3．观察以下图形和所给表格中的数据后答复以下问题：梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长58111417…当梯形个数为． 解析：由表格可推算出两变量的关系 ,或由图形观察周长与梯形个数关系为l ＝3n ＋2(n ∈N *)．答案：l ＝3n ＋2(n ∈N *)4．R 上的函数f (x )满足：(1)f (0)＝1；(2)对任意实数x ,y ,有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1) ,那么f (x )＝________.解析：因为对任意实数x ,y ,有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1) ,所以令y ＝x ,有f (0)＝f (x )－x (2x －x ＋1) ,即f (0)＝f (x )－x (x ＋1) ,又f (0)＝1 ,所以f (x )＝x (x ＋1)＋1＝x 2＋x ＋1 ,即f (x )＝x 2＋x ＋1.答案：x 2＋x ＋1三、解答题(每题10分 ,共20分)5．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象 ,并根据图象答复以下问题： (1)比拟f (0) ,f (1) ,f (3)的大小；(2)假设x 1<x 2<1 ,比拟f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．解：因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ,列表：x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y…－5343－5…连线 ,描点 ,得函数图象如图：(1)根据图象 ,容易发现f (0)＝3 ,f (1)＝4 ,f (3)＝0 ,所以f (3)＜f (0)＜f (1)． (2)根据图象 ,容易发现当x 1＜x 2＜1时 ,有f (x 1)＜f (x 2)．(3)根据图象 ,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点 ,开口向下的抛物线 ,因此 ,函数值域为(－∞ ,4]．6．函数f (x )＝xax ＋b(a ,b 为常数 ,且a ≠0)满足f (2)＝1 ,方程f (x )＝x 有唯一解 ,求函数f (x )的解析式 ,并求f (f (－3))的值．解：由f (x )＝x ,得xax ＋b＝x , 即ax 2＋(b －1)x ＝0.因为方程f (x )＝x 有唯一解 , 所以Δ＝(b －1)2＝0 ,即b ＝1. 又f (2)＝1 , 所以22a ＋1＝1 ,a ＝12.所以f (x )＝x 12x ＋1＝2x x ＋2.所以f (f (－3))＝f (6)＝128＝32.活页作业(九) 分段函数、映射(时间：45分钟 总分值：100分)一、选择题(每题5分 ,共25分)1．集合M ＝{x |0≤x ≤6} ,P ＝{y |0≤y ≤3} ,那么以下对应关系中 ,不能构成M 到P 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝xD ．f ：x →y ＝16x解析：由映射定义判断 ,选项C 中 ,x ＝6时 ,y ＝6∉P . 答案：C2．在给定映射f ：A →B ,即f ：(x ,y )→(2x ＋y ,xy )(x ,y ∈R )的条件下 ,与B 中元素⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 －16对应的A 中元素是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫16 －136 B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13 －12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14 23 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫136 －16 D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12 －13或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－23 14 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝16 xy ＝－16 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝13y ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－14y ＝23.应选B.答案：B3．以下图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x ＜0x －1 x ≥0的图象的是( )解析：由于f (0)＝0－1＝－1 ,所以函数图象过点(0 ,－1)；当x ＜0时 ,y ＝x 2,那么函数图象是开口向上的抛物线y ＝x 2在y 轴左侧的局部．因此只有图象C 符合．答案：C4．f (x )＝⎩⎨⎧ x －5x ≥6f x ＋2x <6那么f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：f (3)＝f (5)＝f (7)＝7－5＝2. 答案：A5．f (x )＝⎩⎨⎧2xx ＞0f x ＋1x ≤0那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43等于( ) A ．－2 B ．4 C ．2D ．－4解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83 ,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43 ,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：B二、填空题(每题5分 ,共15分)6．函数f (x )的图象如下图 ,那么f (x )的解析式是____________________．解析：由图可知 ,图象是由两条线段组成．当－1≤x ＜0时 ,设f (x )＝ax ＋b ,将(－1,0) ,(0,1)代入解析式 ,那么⎩⎨⎧ －a ＋b ＝0 b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1b ＝1.∴f (x )＝x ＋1.当0≤x ≤1时 ,设f (x )＝kx ,将(1 ,－1)代入 ,那么k ＝－1 ,∴f (x )＝－x .。
人教版高中数学必修一《集合》同步练习(含答案)
1.1 集合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若｛1,2｝⊆A⊆｛1,2,3,4,5｝，则这样的集合A有（）A.6个B.7个C.8个D.9个2.设A={y|y=a²-6a+10,a∈N*}，B={x|x=b²+1,b∈N*}，则（）A.A⊆BB.A∈BC.A=BD.B⊆A3.设A={x|x=6m+1,m∈Z}，B={y|y=3n+1,n∈Z}，C={z|z=3p2,p∈Z}，D={a|a=3q²2,q∈Z}，则四个集合之间的关系正确的是（）A.D=B=CB.D⊆B=CC.D⊆A⊆B=CD.A⊆D⊆B=C4.A={a,a+b,a+2b}，B={a,ac,ac²}，若A=B，则c的值为（）A.1B.1或C. D.15.映射f:A→A满足f()≠，若A={1,2,3}，则这样的映射有（）A.8个B.18个C.26个D.27个6.50名同学参加跳远和铅球测验，跳远和铅球测验成绩分别为及格40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是（）A．35B．25C．28D．157.设S={x||x2|>3}，T={x|a<x<a+8}，S∪T=R，则 a 的取值范围是（）A.3<a<1B.3≤a≤1C.a≤3或a≥1D.a<3或a>18. 设全集U={(x,y)|x,y∈R}，集合M={(x,y)|32yx--=1}，N={(x,y)|y≠x+1}，那么(U M)∩(U N)=( )A. ∅B.{(2,3)}C.(2,3)D.{(x,y)|y=x+1}9.设U 为全集，123,,S S S 为U 的三个非空子集且1S ∪2S ∪3S =U ，下列推断正确的是（ ）A.( U 1S )∩(2S ∪3S )=∅B. (U1S )∩(U2S )∩(U3S )=∅C. 1S ⊆(U2S )∩(U3S )D. 1S ⊆(U2S )∪(U3S )10.集合A ={a ²,a +1,3}，B ={a 3,2a 1,a ²1}，若A ∩B ={3}，则a 的值是（ ）A.0B.1 C .1 D.2二、 填空题（本大题共5小题，每小题5分，共 25分） 11.M ={65a-∈N |a ∈Z }，用列举法表示集合 M =___ ___. 12.设集合{}{}{}1,2,1,2,3,2,3,4A B C ===，则A B C =（） . 13.已知集合P 满足{}{}464P=，，{}{}81010P =，，并且{}46810P ⊆，，，，则P =14.某校有17名学生,每人至少参加全国数学、物理、化学三科竞赛中的一科，已知其中参加数学竞赛的有11人，参加物理竞赛的有7人，参加化学竞赛的有9人，同时参加数学和物理竞赛的有4人，同时参加数学和化学竞赛的有5人，同时参加物理和化学竞赛的有3人，则三科竞赛都参加的人数是_ __.15.A ={2,1,x ²x 1}，B ={2y ,4,x 4}，C ={1,7}，A ∩B =C ，则x ,y 的值分别是__ _. 三、解答题 （本大题共5小题，共75分） 16.（12分）已知集合A ={x |x ²3x 10≤0}.(1)设U =R ，求UA ；(2)B ={x |x <a }，若A ⊆B ，求a 的取值范围.17. （15分）设A ={x ∈R |ax ²+2x +1=0,a ∈R }. (1)当A 中元素个数为1时，求a 和A ；(2)当A 中元素个数至少为1时，求a 的取值范围； (3)求A 中各元素之和.18.（15分）已知集合{}|2A x x a =-≤≤,{}|23,B y y x x A ==+∈,{}2|,C z z x x A ==∈,且C B ⊆,求a 的取值范围19.（16分）已知A ={12345,,,,a a a a a }，B ={2222212345,,,,a a a a a }，其中12345,,,,a a a a a ∈Z ，12345a a a a a <<<<，且A ∩B ={14,a a }，14a a +=10，又A ∪B 的元素之和为224，求：(1)14,a a ；(2)5a ；(3)A .20.（17分）设}019|{22=-+-=a ax x x A ，22{|560}{|280}B x x x C x x x =-+==+-=，.(1)AB =A B ，求a 的值；(2)A B =A C ≠∅，求a 的值一、选择题1.C 解析：列举法，易知满足条件的集合共8个，选C.2.D 解析：A ={y |y =(a 3)²+1,a ∈N *}，因此a 3∈N ，故集合A 比集合B 多出一个元素，为1，选D.3.B 解析：首先看B 和C ，这两个集合都表示被3除余1的所有整数，故B =C. 而D 相对于C 而言，相当于C 中的p 只能取完全平方数，故D ⊆C ，也可以说D ⊆B . A 表示被6除余1的所有整数，与D 是交叉的关系，故选B. 4.C 解析：A =B 有两种可能：①2,2,a b ac a b ac +=⎧⎨+=⎩易解出c =1，但此时a =ac =ac ²，与集合元素的互异性矛盾，故c ≠1. ②2,2,a b ac a b ac ⎧+=⎨+=⎩易解出c =12-或，经检验c =12-符合题意.综上，应选C.5.A 解析：直接列举出每种情况即可，共有8种，选A.6. B 解析：全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x ；仅跳远及格的人数为40x -；仅铅球及格的人数为31x -；两项均不及格的人数为4 .∴4031450x x x -+-++=，∴25x =.7.A 解析：易解出S =(∞,1)∪(5,∞)，因此可列出不等式组1,85,a a <-⎧⎨+>⎩解得3<a <1，选A.8. B 解析：(UM )∩(UN )=U(M ∪N )，集合M 表示直线y =x +1上除(2,3)点外的所有点，集合N 表示不在直线y =x +1上的所有点，因此所求的集合是一个单元素点集{(2,3)}，选B. 9.B 解析：排除法，对于A 选项，不在1S 中的元素可以在2S 或3S 中，即一定在集合(2S ∪3S )中，故两集合的交集不为空，A 错，对于C,D 两项画出Venn 图易知C,D 均错，选B. 10.B 解析：集合A 中已经有元素3，集合B 中a ²+1不会为负，故a 3=3或2a 1=3，解出a =0或a =1，但a 0时a 1a ²11，不合题意，故a 不为0，而a =1符合题意，选B. 二、填空题11. {1,2,3,6} 解析：注意集合中的元素是65a-而不是a ，否则极易出错.要满足集合的条件只需让5a 为6的正约数，相应地得出集合中的4个元素：1,2,3,6. 12.{}1234，，， 解析：{}12A B =，，故(){}12,3,4.A B C =，13. {4,10} 解析：由第一个条件知P 中有元素4而没有元素6，由第二个条件知P 中有元素10而没有元素8，再由最后一个条件知P ={4,10}.14. 2 解析：设三科竞赛都参加的人数为，由题意可列方程1179453x =17，解得x =2.15. 3,0.5 解析：对于集合A 易得x ²x +1=7，解得x =3或x =2，但x =2时B 中有元素2不满足题意，故x =3，对于B 易得2y =1，故y =0.5. 三、解答题16.解：（1）A ={x |x ²3x 10≤0}={x |2≤x ≤5}.∵ U =R,∴UA ={x |x <2或x >5}.（2）∵A ⊆B ={x |x <a }, ∴a >5. 故a 的取值范围是(5,+∞). 17. 解：（1）当A 中元素个数为1时，包括两种情况，分类讨论如下： 当0a =时，有210x +=，解得12x =-，此时12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；当0a ≠时，有∆=044a -=，得1a =，代入解得x ＝－1，此时{}1A =-. 综上可得0a =，12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭或1a =，{}1A =-.（2）当A 中元素个数至少为1时有0a =或∆=044a -≥，解得1a ≤. 即a 的取值范围是(]1,-∞.（3）当∆=044a -<，即a >1时，A =∅，无元素； 当a =1时，元素之和为1-；当∆=4－4a >0，即a <1且时，元素之和为2a-. 当a =0时，元素之和为12-. 18.解： {}|123B y y a =-≤≤+，当20a -≤≤时，{}2|4C z a z =≤≤，而C B ⊆，则1234,,20,2a a a +≥≥-≤≤即而 这是矛盾的；当02a <≤时，{}|04C z z =≤≤，而C B ⊆，则1234,,22a a a +≥≥≤≤1即所以2； 当2a >时，{}2|0C z z a=≤≤，而C B ⊆，则223,323a a a a a +≥>即-1≤≤，又，所以2＜≤.综上所述，132a ≤≤.19.解：（1）∵A ∩B ={14,a a }, ∴14,a a ∈B ，因此14,a a 均为完全平方数.∵14a a +=10，14a a <，∴只能有1a =1，4a =9. （2）∵1234a a a a <<<，∴2a =3或3a =3 . 若3a =3，则2a =2，这时A ∪B 的元素之和224=1+2+4+3+9+81+5a +25a ，此时5a 不是整数，因此应该是2a =3.这时224>1+3+9+81+5a +25a ，故5a <11，而5a >4a =9，故5a =10. （3）由上面的结论知道224=1+3+9+81+10+100+3a +23a ，解得3a =4. ∴A ={1,3,4,9,10} . 20.解：（1）∵AB =A B ,∴A =B ,∴25196a a =⎧⎨-=⎩，，解得a =5.（2）∵AB =AC ≠∅,∴A B =A C ={2},∴ 2A .将x =2代入A 中的方程得a =5或a =3 . a =5时经检验A B ≠A C ，舍去.∴ a =3。
(精品)高中数学必修1全套-同步练习册
第一章 集合与函数概念 1.1.1（1）集合的含义与表示1．下列几组对象可以构成集合的是( )．A ．充分接近π的实数的全体B ．善良的人C ．某校高一所有聪明的同学D ．某单位所有身高在1.7 m 以上的人2．下面有四个语句：①集合N *中最小的数是0；②－a ∉N ，则a ∈N ；③a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值是2；④x 2＋1＝2x 的解集中含有2个元素． 其中正确语句的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．下列所给关系正确的个数是( )．①π∈R ； ②3∉Q ； ③0∈N *； ④|－4|∉N *.A ．1B ．2C ．3D ．44．已知x 、y 、z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )．A ．0∉M B ．2∈M C ．－4∉M D ．4∈M5．满足“a ∈A 且4－a ∈A ”，a ∈N 且4－a ∈N 的有且只有2个元素的集合A 的个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．36．设集合M 中的元素为平行四边形，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p ________M ，q ________M .7．已知集合A 中只含有1，a 2两个元素，则实数a 不能取的值为________．8．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为________．9．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．10．设1,0，x 三个元素构成集合A ，若x 2∈A ，求实数x 的值．11．已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a,2，b 2，且M ＝N ，求a ，b 的值．12．(能力提升)设P 、Q 为两个非空实数集合，P 中含有0,2,5三个元素，Q 中含有1,2,6三个元素，定义集合P ＋Q 中的元素是a ＋b ，其中a ∈P ，b ∈Q ，则P ＋Q 中元素的个数是多少？1.1.1（2）集合的含义与表示1．下列集合表示法正确的是( )．A ．{1,2,2}B ．{全体实数}C ．{有理数}D ．{祖国的大河} 2．集合M ＝{(x ，y )|xy >0，x ∈R ，y ∈R }是指( )．A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第一、三象限内的点集D ．第二、四象限内的点集 3．下列语句：①0与{0}表示同一个集合；②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x －1)2(x －2)2＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}； ④集合{x |4<x <5}可以用列举法表示． 正确的是( )．A ．只有①和④B ．只有②和③C ．只有②D ．以上语句都不对 4．直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合为( )．A ．{0,1}B ．{(0,1)}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12，0 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，05．集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．选项中元素与集合的关系都正确的是( )．A ．2∈A ，且2∈B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈BC ．2∈A ，且(3,10)∈BD ．(3,10)∈A ，且2∈B 6．集合A ＝{a ，b ，(a ，b )}含有________个元素．7．用列举法表示集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈Z ，86－x ∈N ＝________.8．已知集合{－1,0,1}与集合{0，a ，b }相等，则a 2 010＋b 2 011的值等于________．9．设－5∈{x |x 2－ax －5＝0}，则集合{x |x 2＋ax ＋3＝0}中所有元素之和为________．10．用另一种方法表示下列集合．(1){绝对值不大于2的整数}；(2){能被3整除，且小于10的正数}；(3){x |x ＝|x |，x <5且x ∈Z }；(4){(x ，y )|x ＋y ＝6，x ∈N *，y ∈N *}；(5){－3，－1,1,3,5}．11．用适当的方法表示下列对象构成的集合． (1)绝对值不大于3的整数；(2)平面直角坐标系中不在第一、三象限内的点； (3)方程2x ＋1＋|y －2|＝0的解．12．(能力提升)已知集合M ＝{0,2,4}，定义集合P ＝{x |x ＝ab ，a ∈M ，b ∈M }，求集合P .1.1.2 集合间的基本关系1．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集；④若∅A ，则A ≠∅. 其中正确的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．如果A ＝{x |x >－1}，那么正确的结论是( )．A ．0⊆AB ．{0}AC ．{0}∈AD ．∅∈A3．集合A ＝{x |0≤x <3且x ∈Z }的真子集的个数是( )．A ．5B ．6C ．7D ．84．下列关系中正确的是________．①∅∈{0}；②∅{0}；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．5．集合U 、S 、T 、F 的关系如图所示，下列关系错误的有________．①S U ；②F T ；③S T ；④S F ；⑤S F ；⑥F U .6．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N }，试写出A 的所有子集．7．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k3，k ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k6，k ∈Z ，则( )．A ．AB B ．B AC ．A ＝BD ．A 与B 关系不确定8．满足{a }⊆M {a ，b ，c ，d }的集合M 共有( )．A ．6个B ．7个C ．8个D ．15个9．设A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，若B A ，则a 的值为________．10．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，集合Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，那么a 的取值是________．11．已知M ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，N ＝{－2,4a －3,3a －1}，若M ＝N ，求实数a 的值．12．(能力提升)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈Z ，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若没有元素使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．1.1.3（1）集合的基本运算（交集与并集）1．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x <－5或x >5}，则M ∪N 等于( )．A ．{x |x <－5或x >－3}B ．{x |－5<x <5}C ．{x |－3<x <5}D ．{x |x <－3或x >5}2．满足条件M ∪{1}＝{1,2,3}的集合M 的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( )．A ．{0,1}B ．{－1,0,1}C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}4．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．45．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{x|y＝x－1}，则A∩B＝()．A．{－2} B．{(－2，－3)}C．∅D．{－3}6．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A是________．7．若集合P＝{x|x2＝1}，集合M＝{x|x2－2x－3＝0}，则P∩M＝________.8．设集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B＝________.9．集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∩B＝{1}，则a＝________.10．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.11．若A∩B＝A，A∪C＝C，B＝{0,1,2}，C＝{0,2,4}，写出满足上述条件的所有集合A. 12．(能力提升)设U＝{1,2,3}，M，N是U的子集，若M∩N＝{1,3}，则称(M，N)为一个“理想配集”，求符合此条件的“理想配集”的个数(规定(M，N)与(N，M)不同)．1.1.3（2）集合的基本运算（补集及综合运算）1．设全集U＝R，A＝{x|0≤x≤6}，则∁R A＝( )．A．{0,1,2,3,4,5,6} B．{x|x<0或x>6}C．{x|0<x<6} D．{x|x≤0或x≥6}2．已知全集U＝{2,5,8}，且∁U A＝{2}，则集合A的真子集个数为( )．A．3 B．4 C．5 D．63．若A为全体正实数的集合，B＝{－2，－1,1,2}，则下列结论中正确的是( )．A．A∩B＝{－2，－1} B．(∁R A)∪B＝{－2，－1,1}C．A∪B＝{1,2} D．(∁R A)∩B＝{－2，－1}4．在如图中，用阴影表示出集合(∁U A)∩(∁U B)．5．已知U 为全集，集合M 、N 是U 的子集，若M ∩N ＝N ，则( )．A ．(∁U M )⊇(∁U N )B ．M ⊆(∁U N )C ．(∁U M )⊆(∁U N )D ．M ⊇(∁U N )6．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )．A ．a ≤2 B．a <1 C ．a ≥2 D．a >27．已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若∁A B ＝{5}，则实数m ＝________.8．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|0<x <10}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0,1,2,3,4}，则集合B ＝________.9．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.10．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则∁U A 与∁U B 的包含关系是________．11．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1<x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(1)求A ∩B ；(2)求(∁U B )∪P ；(3)求(A ∩B )∩(∁U P )．12．(能力提升)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，且B ⊆∁U A ，求实数p 的取值范围．1.2.1函数的概念1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )．A ．x ＝y 2＋1B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )．A ．{x |x ≥0} B．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1}∪{0}D ．{x |0≤x ≤1} 3．与y ＝|x |为相等函数的是( )．A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2C ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x x >0－x x <0D ．y ＝3x 34．给出下列函数：①y ＝x 2－x ＋2，x >0；②y ＝x 2－x ，x ∈R ；③y ＝t 2－t ＋2，t ∈R ；④y ＝t 2－t ＋2，t >0.其中与函数y ＝x 2－x ＋2，x ∈R 是相等函数的是________．5．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．6．已知函数f (x )＝x 2－4x ＋5，f (a )＝10，求a 的值．7．下列各组函数表示相等函数的是( )．A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z8．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f 2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )．A ．1B ．－1 C.35 D ．－359．y ＝x ＋4x ＋2的定义域为________．10．集合{x |－1≤x <0或1<x ≤2}用区间表示为________．11．求函数y ＝x ＋26－2x －1的定义域，并用区间表示．12．(能力提升)若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域．1.2.2（1）函数的表示法1．若g (x ＋2)＝2x ＋3，g (3)的值是( )． A ．9 B ．7 C ．5 D ．32．已知正方形的周长为x ，它的外接圆的半径为y ，则y 关于x 的解析式为( )．A ．y ＝12xB ．y ＝24xC ．y ＝28xD ．y ＝216x3．下列图形中，不可能作为函数y ＝f (x )图象的是( )．4．已知f (2x ＋1)＝3x －2且f (a )＝4，则a 的值为________． 5．已知f (x )与g (x )分别由下表给出那么f (g (3))＝________.6．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解x 1 2 3 4 g (x ) 3 1 4 2x 1 2 3 4 f (x ) 4 3 2 1析式．7．下列表格中的x 与y 能构成函数的是( )． A.B.C.D.8．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋2，则f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝3x ＋2B ．f (x )＝3x ＋1C ．f (x )＝3x －1D ．f (x )＝3x ＋4 9．下列图形中，可以是函数y ＝f (x )图象的是________．11．作出下列函数的图象：(1)f (x )＝x ＋x 0；(2)f (x )＝1－x (x ∈Z ，且－2≤x ≤2)．12．(能力提升)已知函数f (x )对任意实数a 、b ，都有f (ab )＝f (a )＋f (b )成立． (1)求f (0)与f (1)的值；(2)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )；(3)若f (2)＝p ，f (3)＝q (p ，q 均为常数)，求f (36)的值．1.2.2.（2）函数的表示法（分段函数及映射）1．下列对应不是映射的是( )．2．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段； ③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1、D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b ，a a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)4．设集合P ＝{x |0≤x ≤4}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则下列的对应不表示从P 到Q 的映射的是( )．A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23x D ．f ：x →y ＝xx 非负数 非正数 y 1 －1 x 奇数 0 偶数y 1 0 －1 x 有理数 无理数 y 1 －1 x 自然数 整数 有理数y 1 0 －15．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x <0x －1，x ≥0的图象的是________．6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0，x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．7．作出函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x0<x <1，xx ≥1的图象，并求其值域．8．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )．9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2 x ≤2，2x x >2，若f (x 0)＝8，则x 0＝________.10．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ＋4x ≥0，x x －4 x <0，若f (1)＋f (a ＋1)＝5，求a 的值．12．(能力提升)在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．1.3.1（1）函数的单调性1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( )．A ．[0，＋∞)B．(－∞，0]C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞) 2．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f a －f ba －b>0，则必有( )．A ．函数f (x )先增后减B ．函数f (x )先减后增C ．函数f (x )是R 上的增函数D ．函数f (x )是R 上的减函数 3．下列说法中正确的有( )．①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．函数f (x )＝－2x 2＋mx ＋1在区间[1,4]上是单调函数，则实数m 的取值范围是________．5．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间为________．6．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －1)<f (1－3x )，求x 的取值范围．7．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )∪(b ，c )上( )．A ．必是增函数B ．必是减函数C ．是增函数或减函数D ．无法确定单调性8．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，－3)B ．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围为________． 10．已知函数y ＝8x 2＋ax ＋5在[1，＋∞)上递增，那么a 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上单调，求实数a 的取值范围．12．(能力提升)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数y ＝f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．1.3.1（2）函数的最大（小）值1．函数y ＝f (x )在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( )．A ．f (－2)，0B ．0,2C ．f (－2)，2D ．f (2)，22．函数y ＝1x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )． A.14B ．－1C ．4D ．－4 3．函数f (x )＝x 2＋3x ＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )．A ．42,12B ．42，－14C ．12，－14D ．无最大值，最小值为－144．函数y ＝2x 2＋1，x ∈N *的最小值为________．5．若函数y ＝k x(k >0)在[2,4]上的最小值为5，则k 的值为________． 6．画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x，x ∈－∞，0，x 2＋2x －1，x ∈[0，＋∞的图象，并写出函数的单调区间，函数最小值．7．函数y ＝2x在区间[2,4]上的最大值、最小值分别是( )．A ．1，12B.12，1 C.12，14D.14，128．函数f (x )＝11－x 1－x的最大值是( )．A.45B.54C.34D.439．已知函数y *f (x )是(0，＋∞)上的减函数，则f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小关系是________．10．已知函数f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[1，a ]，并且f (x )的最小值为f (a )，则实数a 的取值范围是________．11．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费60元．(1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？12．(能力提升)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．1.3.2函数的奇偶性1. 已知y ＝f (x )是偶函数，且f (4)＝5，那么f (4)＋f (－4)的值为( )． A ．5 B ．10 C ．8 D ．不确定2．对于定义域是R 的任意奇函数y ＝f (x )，都有( )．A ．f (x )－f (－x )>0B ．f (x )－f (－x )≤0C ．f (x )·f (－x )≤0 D．f (x )·f (－x )>03．已知函数f (x )＝1x2(x ≠0)，则这个函数( )．A ．是奇函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数4．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．25．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必定经过点( )．A ．(a ，f (－a ))B ．(－a ，f (a ))C ．(－a ，－f (a )) D.⎝⎛⎭⎪⎫a ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a6．已知函数y ＝f (x )为奇函数，若f (3)－f (2)＝1，则f (－2)－f (－3)＝________.7．如果定义在区间[2－a,4]上的函数y ＝f (x )为偶函数，那么a ＝________.8．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a 的值为________．9．若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)、f (1)、f (－2)从小到大的顺序是________．10．如图是偶函数y ＝f (x )在x ≥0时的图象，请作出y ＝f (x )在x <0时的图象．11．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝2x －1＋1－2x ；(2)f (x )＝x 4＋x ；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋20－x 2－2x >0，x ＝0，x <0；(4)f (x )＝x 3－x 2x －1.12．(能力提升)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，求f (6)的值．章末质量评估一、选择题1．如果集合A ＝{x |x ≤3}，a ＝2，那么( )．A ．a ∉AB ．{a }AC ．{a }∈AD ．a ⊆A2．函数y ＝2x ＋1＋3－4x 的定义域为( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞)3．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，那么集合A ∩(∁U B )等于 A ．{x |－2≤x <4} B ．{x |x ≤3或x ≥4}C．{x |－2≤x <－1} D ．{x |－1≤x ≤3} 4．若函数f (x )满足f (3x ＋2)＝9x ＋8，则f (x )的解析式是( )．A ．f (x )＝9x ＋8B ．f (x )＝3x ＋2C ．f (x )＝－3x －4D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 5．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，满足A B ，则实数a 的取值范围是( )．A ．{a |a ≥2} B．{a |a ≤1}C．{a |a ≥1} D．{a |a ≤2}6．如果奇函数y ＝f (x )在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么y ＝f (x )在区间 [－5，－1]上是( )．A ．增函数且最小值为3B ．增函数且最大值为3C ．减函数且最小值为－3D ．减函数且最大值为－37．设函数f (x )＝1＋x21－x2，则有( )．A ．f (x )是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )B ．f (x )是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x )C ．f (x )是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )D ．f (x )是偶函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝f (x ) 8．设f ，g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)：表 1 映射f 的对应法则表2 映射g 的对应法则则与f [g (1)]相同的是( )．A ．g [f (1)]B ．g [f (2)]C ．g [f (3)]D ．g [f (4)]9．设集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，若对于函数y ＝f (x )，其定义域为A ，值域为B ，则这个函数的图象可能是( )．10．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f x ＋f －x 2x<0的解集为( )．A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3) 二、填空题11．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值________．12．用列举法表示集合：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x ＋1∈Z ，x ∈Z ＝________. 13．函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋1，则当x <0时，f (x )＝________.14．某城市出租车按如下方法收费：起步价8元，可行3 k m(含3 k m)，3 k m 后到10 k m(含10 k m)每走1 k m 加价1.5元，10 k m 后每走1 k m 加价0.8元，某人坐该城市的出租车走了20 k m ，他应交费________元．三、解答题，（解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(10分)设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}．原象 1 2 3 4 象 3 4 2 1 原象 1 2 3 4 象 4 3 1 2(1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．16．已知y ＝f (x )为二次函数，且f (x ＋1)＋f (x －1)＝2x 2－4x ，求f (x )的表达式．17．已知函数f (x )＝2x ＋1x ＋1.(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．18．某工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂价是60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购1个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价降为51元？(2)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式．19已知函数f (x )对任意x 、y ∈R 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2. (1)判断函数f (x )的奇偶性．(2)当x ∈[－3,3]时，函数f (x )是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由．2.1.1指数与指数幂的运算（1）1. 若242x x =-，则x 的取值范围是（ ）A.0x >B.0x <C.0x ≥D.0x ≤2．计算20032004(32)(32)+⋅-的值是（ ） A.1 B.32- C.32+ D.23- 3．化简：()⎪⎭⎫⎝⎛<+-2391246322b a bab a 的结果是（ ）A.23a b -B.32b a -C. (23)a b ±-D.32ba - 4下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2； ③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中正确的是( ) A ．①③④ B ．②③④ C ．②③ D ．③④5．求值（1）33(2)-=；（22(2)-=；（344(32)-=．6．当810x <<22(8)(10)x x --= ______． 70(52)9454552+-=-． 8726726+-．9化简：1212--+-+x x x x ） (12)x <<．10．化简：24334(1)(1)(1)x x x -+--1132343(1)(1)8x x ++ 12x y x y y x++．2.1.1指数与指数幂的运算（2）１．下列运算中，正确的是（ ）A.5552a a a ⋅=B.56a a a +=C.5525a a a ⋅= D.5315()a a -=-２．下列根式与分数指数幂的互化中．正确的是（ ）A.12()(0)x x =->13(0)y y =<C.340)xx -=>D.130)x x -=≠3．式子a ） A.111144a b B.111142a b C.114a D.114b4． 3216842111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++的值等于（ ） A.64112- B.63122- C.651122- D.32314(1)2-5．化简：（1）131121373222[()()()]ab ab b ---⋅⋅⋅=．（2）21131133344()()x y z x y z ---⋅⋅⋅⋅⋅=．（3)20a >=．6．若103,104x y==，则10x y-=． 7.计算：π0＋2－2×21412⎪⎭⎫⎝⎛＝________. 8.已知3a ＝2,3b ＝15，则32a －b ＝________.9．求值： 341681⎛⎫ ⎪⎝⎭， 12100-， 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭10．已知0,0a b >>，化简：11112244()()a b a b -÷-11．化简求值： (1)()31064.0-－(－18)0＋4316＋2125.0；(2)a －1＋b －1(ab )－1(a ，b ≠0)．12．(能力提升)化简1111124242(1)(1)(1)x x x x x x -+++-+．13．(能力提升)已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2；(2)2121--aa .2.1.2 指数函数及其性质（1）1．函数2(232)xy a a a =-+是指数函数，则a 的取值范围是（ ） A.0,1a a >≠ B.1a = C.12a = D.1a =或12a = 2．函数211327x y -=-） A.(2,)-+∞ B.[1,)+∞ C.(,1]-∞- D.(,2)-∞-3．函数f (x )＝3x -3(1<x ≤5)的值域是( )A ．(0，＋∞) B．(0,9)C.⎝ ⎛⎦⎥⎤19，9D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，27 4．若函数y ＝(1－2a )x是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，0)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 5． 若221(2)(2)xxa a a a -++>++，则x 的范围为．6已知函数()f x 满足：对任意的12x x <，都有12()()f x f x <，且有1212()()()f x x f x f x +=⋅，则满足上述条件的一个函数是．7．将三个数10.20.7321.5,1.3,()3-按从小到大的顺序排列是8．（1）函数15x y -=（2）函数15x y =-的定义域是；值域是．9已知指数函数y ＝f (x )的图象过点M (3,8)，则f (4)＝________，f (－4)＝________.10．已知 2223422(),()(0,1)x x x x f x a g x a a a +-+-==>≠，确定x 的范围，使得()()f x g x >．11．实数,a b 满足11111212a b ++=--，则a b +=．12．(能力提升)若函数2121x x a ay ⋅--=-为奇函数，（1）确定a 的值；（2）讨论函数的单调性．2.1.2 指数函数及其性质（2）１．如图指数函数①x y a =②x y b =③x y c =④xy d =的图象，则（ ） A.01a b c d <<<<< B.01b a d c <<<<< C.1a b c d <<<< D.01a b d c <<<<<2．在同一坐标系中，函数xy a =与函数1y ax =+的图象只能是 （ ）A B C D3．要得到函数122xy -=的图象，只要将函数1()4xy =的图象 （ ）A.向左移1个单位B.向右移1个单位C.向左移0.5个单位D.向右移0.5个单位4．已知()|21|xf x =-，当a b c <<时，有()()()f a f c f b >>，则下列各式中正确的是 ( ) A.22a c > B.22a b > C.22ac -< D.222a c +<5函数y ＝2－x的图象是( )．6．若函数(1)(0,1)xy a b a a =-->≠图象不经过第二象限，则,a b 的满足的条件是_____________．7． 将函数21()3xy =图象的左移2个单位，再下移1个单位所得函数的解析式是；8．函数21x y a +=-(0,1)a a >≠的图象过定点．9．函数22363xx y -+=的单调递减区间是．10．已知函数311()()212x f x x =+-，(1)求()f x 的定义域； 11．如果75+->x xa a(a >0，a ≠1)， (2)讨论()f x 的奇偶性； (3)证明：()0f x >． 求x 的取值范围．12已知指数函数()(0,1)xf x a a a =>≠，根据它的图象判断121[()()]2f x f x +和12()2x x f +的大小（不必证明）．13．函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．2.1.2 指数函数及其性质（3）1．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）A.511个B.512个C.1023个D.1024个2．某商场进了A B 、两套服装，A 提价20%后以960元卖出，B 降价20%后以960元卖出，则这两套服装销售后 （ ）A.赚不亏B. 赚了80元C.亏了80元D.赚了2000元 3.某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价（ ）A. 25%B.20%C.30%D.15%4.已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )． A.a >b >c B.b >a >c C.c >a >b D.b >c >a5．某新型电子产品2002年初投产，计划到2004年初使其成本降低36%，那么平均每年应降低成本.6. 据报道，1992年底世界人口达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为%x ，到2005年底全世界人口为y 亿，则y 与x 的函数关系是.7.某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年增加21%，第三年比第二年增加44%，则这两年的平均增长率是.8．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是________．9．函数y ＝a x在[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a ＝________.10.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄。
基本不等式(同步检测)(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
2.2 基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD 解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD 解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C 解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C 解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B 解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A 解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A 解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C 解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D 解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0 解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25 解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8 解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。
高一必修一数学同步练习题大全
高一必修一数学同步练习题大全高一数学同步练习题1、函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为( )A.2B.12C.13D.-12解析：选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数，ymin=13-1=12.2、某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x辆(015，x为正整数)，则在乙地销售(15-x)辆，公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.当x=9或10时，L最大为120万元，故选C.3、已知函数f(x)=-x2+4x+a，x[0,1]，若f(x)有最小值-2，则f(x)的.最大值为( )A.-1B.0C.1D.2解析：选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.函数f(x)图象的对称轴为x=2，f(x)在[0,1]上单调递增.又∵f(x)min=-2，f(0)=-2，即a=-2.f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.高一数学练习题一、选择题(每题4分，共40分)1、下列四组对象，能构成集合的是 ( )A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2、集合{a，b，c }的真子集共有个 ( )A 7B 8C 9D 103、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是 ( )A. 6B. 7C. 8D. 94、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U(M∪N)= ( )A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}xy15、方程组xy1 的解集是 ( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1}6、以下六个关系式：00，0，0.3Q, 0N, a,bb,a ，x|x220,xZ是空集中，错误的个数是 ( )A 4B 3C 2D 17、点的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指 ( )A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集8、设集合A=_2，B=_a，若AB，则a的取值范围是 ( )A aa2B aa1C aa1D aa29、满足条件M1=1,2,3的.集合M的个数是 ( )A 1B 2C 3D 410、集合Px|x2k,kZ，Qx|x2k1,kZ，Rx|x4k1,kZ，且aP,bQ，则有 ( )A abPB abQCabR Dab不属于P、Q、R中的任意一个二、填空题(每题3分，共18分)11、若A{2,2,3,4}，B{x|xt2,tA}，用列举法表示12、集合A={x| x+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若BA，则a=__________13、设全集U=2,3,a2a3，A=2,b，CUA=5，则a= ，b= 。
高一数学必修同步训练题高一
2019年高一数学必修同步训练题高一高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了2019年高一数学必修同步训练题，希望对大家有帮助。
1.化简( )(A) (B) (C) (D)2.设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则( )(A) (B)5 (C) (D)3.设向量满足，，则( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)54.钝角三角形的面积是，，，则( )(A)5 (B) (C)2 (D)15.设实数满足约束条件，则的最大值为( )(A)10 (B)8 (C)3 (D)26.若正数满足，则的最小值是( )(A) (B) (C)5 (D)67.若两条直线与互相平行，则等于( )(A)2 (B)1 (C) (D)8.直线与连接，的线段相交，则的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)9.光线从点发出，经过轴反射，再经过轴反射，最后光线经过点，则经轴反射的光线的方程为( )(A) (B) (C) (D)10.圆与直线相交于两点，圆心为，若，则的值为( )(A)8 (B) (C) (D)311.已知向量，向量，向量，则向量与向量的夹角的取值范围是( )(A) (B) (C) (D)12.已知为圆的两条互相垂直的弦，且垂足为，则四边形面积的最大值为( )(A)5 (B)10 (C)15 (D)20二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.两个圆，的公切线有条14.已知直线和两点，，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为15.已知分别为的三个内角的对边，，且，则面积的最大值为16.直线与曲线有公共点，则的取值范围是唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。
而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。
“教授”和“助教”均原为学官称谓。
前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。
2021-2022学年度人教版高一数学必修一各章节同步练习(含答案)
2021-2022学年度人教版高一数学必修一各章节同步练习（含答案）第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( ) A ．{x |x ＝1} B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C[解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( ) A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C.2．下列命题中，正确的有( ) ①空集是任何集合的真子集；②若A B ，BC ，则A C ；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B 的元素也不属于A ，则A ⊆B .A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A ＝{x |x 是三角形}，B ＝{x |x 是等腰三角形}，C ＝{x |x 是等腰直角三角形}，D ＝{x |x 是等边三角形}，则( )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆C D ．A ⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C ⊆B . 4．下列四个集合中，是空集的是( ) A ．{0}B ．{x |x ＞8，且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0} D ．{x |x ＞4}[答案] B[解析] 选项A 、C 、D 都含有元素．而选项B 无元素，故选B.5．若集合A ⊆{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A B，则实数a的取值范围为( )A．a≥2B．a≤1C．a≥1D．a≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B，所以a≥2.二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x|x是菱形}________{x|x是平行四边形}；{x|x是三角形}________{x|x是斜三角形}．(2)Z________{x∈R|x2＋2＝0}；0________{0}；Ø________{0}；N________{0}．[答案] (1)(2)∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x∈R|x2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x∈R|x2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B⊆A，则m＝________.[答案] 0或2或－1[解析] 由B⊆A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A＝{x|x－3＞2}，B＝{x|2x－5≥0}；(2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}．[解析] (1)∵A＝{x|x－3＞2}＝{x|x＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴BA .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ， 解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}． (2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， ∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立， ∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意； 当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C．3 D．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x>3}，则M∪N＝( )A．{x|x>－3} B．{x|－3<x≤5}C．{x|3<x≤5}D．{x|x≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A ∩B ＝Ø，应有a <－1. 二、填空题7．若集合A ＝{2,4，x }，B ＝{2，x 2}，且A ∪B ＝{2,4，x }，则x ＝________. [答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B ⊆A ，∴x 2＝4或x 2＝x ，∴x ＝0,1，±2，由元素的互异性知x ≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B . ∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0， 此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}， 但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾， ∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}． 综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． [解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ，∴－a2<2，∴a ＞－4.能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0} C ．{－1,0,1} D ．{－1,1}[答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( ) A ．(1，－1) B ．{x ＝1或y ＝－1} C ．{1，－1} D ．{(1，－1)}[答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C[答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3}[答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}． 二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2，所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}， 所以A ∪B ＝{－2，－1,4}． 三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围． [解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12.8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . 当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解， 即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2. 当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2.[点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,2}，则(∁I B)∩A为( )A．{2} B．{3,5}C．{1,3,4,5} D．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{1,2}，则∁I B＝{3,4,5}．所以(∁I B)∩A为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A ．a ≥2B ．a ＞2C ．a ＜2D ．a ≤2[答案] A[解析] ∁R B ＝{x |x ≥2}，则由A ∪(∁R B )＝R 得a ≥2，故选A. 二、填空题7．已知集合A ＝{3,4，m }，集合B ＝{3,4}，若∁A B ＝{5}，则实数m ＝________. [答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________. [答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4} 三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值． [解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧|a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解． [解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}， ∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}， ∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}． ∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}， (∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A．(∁U A)∩B B．(∁U A)∪(∁U B)C．A∩(∁U B) D．A∪(∁U B)[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R ，集合M ＝{x ∈R |－2＜x ＜2}，P ＝{x |x ≥a }，并且M ⊆∁R P ，则a 的取值范围是________．[答案] a ≥2[解析] M ＝{x |－2＜x ＜2}，∁R P ＝{x |x ＜a }． ∵M ⊆∁R P ，∴由数轴知a ≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________. [答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12. 三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁UB )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.① 又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127.[点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A . (2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3， 即－12≤a <3.综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∩B ＝( )A．{x|－1<x<3} B．{x|－1<x<0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |3＜x ≤4}，故选C.方法2：A ∪B ＝{x |x ≤3或x ＞4}，(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )＝{x |3＜x ≤4}．故选A. 5．已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |－1≤x ≤a }，且(A ∪B )⊆(A ∩B )，则实数a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B )(3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A．3 B．4C．5 D．6[答案] D[解析] S＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D.3．(2015·陕西模拟)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x ＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是________．[答案]112[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞)三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}．(2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a ⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33.(3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7 [答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：考试次数x12345。
高中数学必修一各章节同步练习(附答案解析)
第一章 1.1 1.1.1集合的含义与表示基础巩固一、选择题1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是( )A ．②B ．③C ．②③D ．①②③[答案] C[解析] 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.2．已知集合A ＝{x |x ≤10}，a ＝2＋3，则a 与集合A 的关系是( ) A ．a ∈A B ．a ∉A C ．a ＝A D ．{a }∈A[答案] A[解析] 由于2＋3＜10，所以a ∈A .3．(2015·山东临沂检测)集合{x ∈N *|x －2＜3}的另一种表示形式是( ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5} D ．{1,2,3,4,5}[答案] B[解析] 由x －2＜3，得x ＜5，又x ∈N *，所以x ＝1,2,3,4，即集合的另一种表示形式是{1,2,3,4}．4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7B ．{x ，y |x ＝3且y ＝－7}C ．{3，－7}D ．{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7} [答案] D[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝22x －3y ＝27得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝－7，用描述法表示为{(x ，y )|x ＝3且y ＝－7}，用列举法表示为{(3，－7)}，故选D. 5．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形[答案] D[解析] 由集合中元素的互异性知a ，b ，c 互不相等，故选D.6．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．0或3D ．0或2或3[答案] B[解析] 因为2∈A ，所以m ＝2或m 2－3m ＋2＝2，解得m ＝0或m ＝2或m ＝3.又集合中的元素要满足互异性，对m 的所有取值进行一一检验可得m ＝3，故选B.二、填空题7．用符号∈与∉填空：(1)0________N *；3________Z ； 0________N ；(－1)0________N *； 3＋2________Q ；43________Q .(2)3________{2,3}；3________{(2,3)}； (2,3)________{(2,3)}；(3,2)________{(2,3)}． (3)若a 2＝3，则a ________R ，若a 2＝－1，则a ________R . [答案] (1)∉ ∉ ∈ ∈ ∉ ∈ (2)∈ ∉ ∈ ∉ (3)∈ ∉[解析] (1)只要熟记常用数集的记号所对应的含义就很容易辨别．(2)中3是集合{2,3}的元素；但整数3不是点集{(2,3)}的元素；同样(2,3)是集合{(2,3)}的元素；因为坐标顺序不同，(3,2)不是集合{(2,3)}的元素．(3)平方等于3的数是±3，当然是实数，而平方等于－1的实数是不存在的．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba，b ，则b －a ＝________.[答案] 2[解析] 显然a ≠0，则a ＋b ＝0，a ＝－b ，b a＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，b －a ＝2. 三、解答题9．已知集合A 含有a －2,2a 2＋5a,12三个元素，且－3∈A ，求a 的值． [解析] ∵－3∈A ，则－3＝a －2或－3＝2a 2＋5a ， ∴a ＝－1或a ＝－32.当a ＝－1时，a －2＝－3,2a 2＋5a ＝－3，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去． 当a ＝－32时，经检验，符合题意．故a ＝－32.[注意] (1)分类讨论意识的建立．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识，如本例按照元素－3与a －2,2a 2＋5a,12的关系分类 ，即可做到不重不漏．(2)注意集合中元素的互异性．求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来检验所求参数是否符合要求，如本例在求出a 的值后，需代入验证是否满足集合中元素的互异性．10．已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}． (1)若A 是单元素集合，求集合A ；(2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．[分析] 将求集合中元素问题转化为方程根问题．(1)集合A 为单元素集合，说明方程有唯一根或两个相等的实数根．要注意方程ax 2－3x ＋2＝0可能不是一元二次方程．(2)至少有一个元素，说明方程有一根或两根．[解析] (1)因为集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0的解集，则当a ＝0时，A ＝{23}，符合题意；当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0应有两个相等的实数根， 则Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98，此时A ＝{43}，符合题意．综上所述，当a ＝0时，A ＝{23}，当a ＝98时，A ＝{43}．(2)由(1)可知，当a ＝0时，A ＝{23}符合题意；当a ≠0时，要使方程ax 2－3x ＋2＝0有实数根， 则Δ＝9－8a ≥0，解得a ≤98且a ≠0.综上所述，若集合A 中至少有一个元素，则a ≤98.[点评] “a ＝0”这种情况容易被忽视，如“方程ax 2＋2x ＋1＝0”有两种情况：一是“a ＝0”，即它是一元一次方程；二是“a ≠0”，即它是一元二次方程，只有在这种情况下，才能用判别式“Δ”来解决．能力提升一、选择题1．(2015·河北衡水中学期末)下列集合中，不同于另外三个集合的是( )A ．{x |x ＝1}B ．{x |x 2＝1} C ．{1} D ．{y |(y －1)2＝0}[答案] B[解析] {x |x 2＝1}＝{－1,1}，另外三个集合都是{1}，选B.2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y )|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y )|x ＝－1或y ＝2}．能表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是( )A ．①②③④⑤⑥B ．②③④⑤C ．②⑤D ．②⑤⑥[答案] C [解析] 方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.故选C.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x |＋y |y |＋z |z |＋|xyz |xyz的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M[答案] D[解析] 当x ＞0，y ＞0，z ＞0时，代数式的值为4，所以4∈M ，故选D.4．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则集合A ＋B 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] B[解析] 当x 1＝1时，x 1＋x 2＝1＋2＝3或x 1＋x 2＝1＋3＝4；当x 1＝2时，x 1＋x 2＝2＋2＝4或x 1＋x 2＝2＋3＝5；当x 1＝3时，x 1＋x 2＝3＋2＝5或x 1＋x 2＝3＋3＝6.∴A ＋B ＝{3,4,5,6}，共4个元素．二、填空题5．已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R }，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________．[答案] {k |5＜k ≤6}[解析] x 只能取3,4,5，故5＜k ≤6.6．(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{33－x ∈Z |x ∈Z }＝________.[答案] {－3，－1,1,3} [解析] ∵33－x∈Z ，x ∈Z ， ∴3－x 为3的因数． ∴3－x ＝±1，或3－x ＝±3. ∴33－x ＝±3，或33－x＝±1. ∴－3，－1,1,3满足题意． 三、解答题7．数集A 满足条件：若a ∈A ，则1＋a 1－a ∈A (a ≠1)．若13∈A ，求集合中的其他元素．[分析] 已知a ∈A ，1＋a 1－a ∈A ，将a ＝13代入1＋a1－a 即可求得集合中的另一个元素，依次，可得集合中的其他元素．[解析] ∵13∈A ，∴1＋131－13＝2∈A ，∴1＋21－2＝－3∈A ，∴1－31＋3＝－12∈A ，∴1－121＋12＝13∈A . 故当13∈A 时，集合中的其他元素为2，－3，－12.8．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”． (1)判断集合A ＝{－1,1,2}是否为可倒数集； (2)试写出一个含3个元素的可倒数集．[解析] (1)由于2的倒数为12不在集合A 中，故集合A 不是可倒数集．(2)若a ∈A ，则必有1a ∈A ，现已知集合A 中含有3个元素，故必有一个元素有a ＝1a，即a ＝±1，故可以取集合A ＝{1,2，12}或{－1,2，12}或{1,3，13}等．第一章 1.1 1.1.2集合间的基本关系基础巩固一、选择题1．对于集合A，B，“A⊆B”不成立的含义是( )A．B是A的子集B．A中的元素都不是B的元素C．A中至少有一个元素不属于BD．B中至少有一个元素不属于A[答案] C[解析] “A⊆B”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素．不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选C.2．下列命题中，正确的有( )①空集是任何集合的真子集；②若A B，B C，则A C；③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B.A．①②B．②③C．②④D．③④[答案] C[解析] ①空集只是空集的子集而非真子集，故①错；②真子集具有传递性；故②正确；③若一个集合是空集，则没有真子集，故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确，故选C.3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则( )A．A⊆B B．C⊆BC．D⊆C D．A⊆D[答案] B[解析] ∵正方形必为矩形，∴C⊆B.4．下列四个集合中，是空集的是( )A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x＞4}[答案] B[解析] 选项A、C、D都含有元素．而选项B无元素，故选B.5．若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析] 集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．6．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则实数a 的取值范围为( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2[答案] A[解析] 在数轴上表示出两个集合(图略)，因为A B ，所以a ≥2. 二、填空题7．用适当的符号填空：(1){x |x 是菱形}________{x |x 是平行四边形}； {x |x 是三角形}________{x |x 是斜三角形}． (2)Z ________{x ∈R |x 2＋2＝0}； 0________{0}；Ø________{0}；N ________{0}． [答案] (1)(2) ∈[解析] (1)判断两个集合之间的关系，可以根据子集的定义来加以判断，特别要注意判断出包含关系后，还要进一步判断是否具有真包含关系．(2)集合{x ∈R |x 2＋2＝0}中，由于实数范围内该方程无解，因此{x ∈R |x 2＋2＝0}＝Ø；0是集合{0}中的元素，它们之间是属于关系；{0}是含有一个元素0的集合；Ø是不含任何元素的集合，故Ø{0}；自然数集N 中含有元素0，但不止0这一个元素．8．(2012·大纲全国改编)已知集合A ＝{1,2，m 3}，B ＝{1，m }，B ⊆A ，则m ＝________. [答案] 0或2或－1[解析] 由B ⊆A 得m ∈A ，所以m ＝m 3或m ＝2，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝1或m ＝0，又由集合中元素的互异性知m ≠1.所以m ＝0或2或－1.三、解答题9．判断下列集合间的关系：(1)A ＝{x |x －3＞2}，B ＝{x |2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }． [解析] (1)∵A ＝{x |x －3＞2}＝{x |x ＞5}，B ＝{x |2x －5≥0}＝{x |x ≥52}，∴利用数轴判断A 、B 的关系． 如图所示，AB .(2)∵A ＝{x ∈Z |－1≤x <3}＝{－1,0,1,2}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A ，∴B ＝{0,1,2}，∴B A .10．已知集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }，试确定M ，N ，P 之间的关系．[解析] 解法一：集合M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }，对于集合N ，当n 是偶数时，设n ＝2t (t ∈Z )， 则N ＝{x |x ＝t －13，t ∈Z }；当n 是奇数时，设n ＝2t ＋1(t ∈Z )，则N ＝{x |x ＝2t ＋12－13，t ∈Z }＝{x |x ＝t ＋16，t ∈Z }．观察集合M ，N 可知M N .对于集合P ，当p 是偶数时，设p ＝2s (s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝s ＋16，s ∈Z }，当p 是奇数时，设p ＝2s －1(s ∈Z )，则P ＝{x |x ＝2s －12＋16，s ∈Z } ＝{x |x ＝s －13，s ∈Z }．观察集合N ，P 知N ＝P . 综上可得：MN ＝P .解法二：∵M ＝{x |x ＝m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝6m ＋16，m ∈Z }＝{x |x ＝3×2m ＋16，m ∈Z }，N ＝{x |x ＝n 2－13，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －26，n ∈Z }＝{x |x ＝3n －1＋16，n －1∈Z }，P ＝{x |x ＝p 2＋16，p ∈Z }＝{x |x ＝3p ＋16，p ∈Z }，比较3×2m ＋1,3(n －1)＋1与3p ＋1可知，3(n －1)＋1与3p ＋1表示的数完全相同， ∴N ＝P,3×2m ＋1只相当于3p ＋1中当p 为偶数时的情形， ∴MP ＝N .综上可知M P ＝N .能力提升一、选择题1．(2015·瓮安一中高一期末试题)设集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k∈Z }，则( )A ．M ＝NB ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定[答案] B[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得M ＝{…－34，－14，14，34，54…}， N ＝{…0，14，12，34，1…}，∴MN ，故选B.解法2：集合M 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合N 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴M N ，故选B.[点评] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．2．(2015·湖北孝感期中)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }和B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5，则下列结论中正确的是( )A ．1∈AB ．B ⊆AC ．(1,1)⊆BD ．Ø∈A[答案] B[解析] B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y |⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝1x ＋4y ＝5＝{(1,1)}，故选B. 3．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |ax －2＝0}，若B ⊆A ，则a 的值不可能是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] D[解析] 由题意知，a ＝0时，B ＝Ø，满足题意；a ≠0时，由2a∈A ⇒a ＝1,2，所以a 的值不可能是3.4．集合P ＝{3,4,5}，Q ＝{6,7}，定义P *Q ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则P *Q 的子集个数为( )A ．7B ．12C ．32D ．64[答案] D[解析] 集合P *Q 的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P *Q 的子集个数为26＝64.二、填空题5．已知集合M ＝{x |2m ＜x ＜m ＋1}，且M ＝Ø，则实数m 的取值范围是________． [答案] m ≥1[解析] ∵M ＝Ø，∴2m ≥m ＋1，∴m ≥1.6．集合⎩⎨⎧x ，y ⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ＝－x ＋2，y ＝12x ＋2⊆{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.[答案] 2[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2y ＝12x ＋2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2，代入y ＝3x ＋b 得b ＝2. 三、解答题7．设集合A ＝{－1,1}，集合B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，若B ≠Ø且B ⊆A ，求实数a 、b 的值．[解析] ∵B 中元素是关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根，且B ⊆{－1,1}，∴关于x 的方程x 2－2ax ＋b ＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.∵B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}⊆A ＝{－1,1}，且B ≠Ø， ∴B ＝{－1}或B ＝{1}或B ＝{－1,1}． 当B ＝{－1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1＋2a ＋b ＝0，解得a ＝－1，b ＝1. 当B ＝{1}时，Δ＝4a 2－4b ＝0且1－2a ＋b ＝0，解得a ＝b ＝1. 当B ＝{－1,1}时，有(－1)＋1＝2a ，(－1)×1＝b ，解得a ＝0，b ＝－1.8．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围；(2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝Ø，满足B ⊆A .当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}．(2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴集合A 的非空真子集个数为28－2＝254.(3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}， B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，∴当B ＝Ø，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意；当B ≠Q ，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，m ＋1>5，或⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥2，2m －1<－2，解得m >4.综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．第一章 1.1 1.1.3 第一课时并集和交集基础巩固一、选择题1．下面四个结论：①若a ∈(A ∪B )，则a ∈A ；②若a ∈(A ∩B )，则a ∈(A ∪B )；③若a ∈A ，且a ∈B ，则a ∈(A ∩B )；④若A ∪B ＝A ，则A ∩B ＝B .其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] ①不正确，②③④正确，故选C.2．已知集合M ＝{x |－3<x ≤5}，N ＝{x |x >3}，则M ∪N ＝( )A ．{x |x >－3}B ．{x |－3<x ≤5}C ．{x |3<x ≤5}D ．{x |x ≤5}[答案] A[解析] 在数轴上表示集合M，N，如图所示，则M∪N＝{x|x>－3}．3．(2015·全国高考卷Ⅰ文科，1题)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为( )A．5 B．4C．3 D．2[答案] D[解析] A∩B＝{8,14}，故选D.4．(2015·浙江省期中试题)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝( )A．{1,2,3} B．{1,2,4}C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}[答案] D[解析] A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D.5．若A∪B＝Ø，则( )A．A＝Ø，B≠ØB．A≠Ø，B＝ØC．A＝Ø，B＝ØD．A≠Ø，B≠Ø[答案] C6．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝Ø，则实数a的取值集合为( )A．{a|a<2} B．{a|a≥－1}C．{a|a<－1} D．{a|－1≤a≤2}[答案] C[解析] 如图．要使A∩B＝Ø，应有a<－1.二、填空题7．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.[答案] 0,1或－2[解析] 由已知得B⊆A，∴x2＝4或x2＝x，∴x＝0,1，±2，由元素的互异性知x≠2，∴x ＝0,1或－2.8．已知集合A ＝{x |x ≥5}，集合B ＝{x |x ≤m }，且A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，则实数m ＝________.[答案] 6[解析] 用数轴表示集合A 、B 如图所示．由于A ∩B ＝{x |5≤x ≤6}，得m ＝6.三、解答题9．设集合A ＝{a 2，a ＋1，－3}，B ＝{a －3,2a －1，a 2＋1}，A ∩B ＝{－3}，求实数a 的值．[解析] ∵A ∩B ＝{－3}，∴－3∈B .∵a 2＋1≠－3，∴①若a －3＝－3，则a ＝0，此时A ＝{0,1，－3}，B ＝{－3，－1,1}，但由于A ∩B ＝{1，－3}与已知A ∩B ＝{－3}矛盾，∴a ≠0.②若2a －1＝－3，则a ＝－1，此时A ＝{1,0，－3}，B ＝{－4，－3,2}，A ∩B ＝{－3}．综上可知a ＝－1.10．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵B ＝{x |x ≥2}，A ＝{x |－1≤x ＜3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)∵C ＝{x |x ＞－a 2}，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， ∴－a 2<2，∴a ＞－4. 能力提升一、选择题1．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M 且a ≠b }，则M ∪N ＝( )A ．{0,1}B ．{－1,0}C ．{－1,0,1}D ．{－1,1} [答案] C[解析] 由题意可知，集合N ＝{－1,0}，所以M ∪N ＝M .2．若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，P ＝{(x ，y )|x －y ＝2}，则M ∩P 等于( )A ．(1，－1)B ．{x ＝1或y ＝－1}C ．{1，－1}D ．{(1，－1)} [答案] D[解析] M ∩P 的元素是方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0x －y ＝2的解∴M ∩P ＝{(1，－1)}．3．(2015·衡水高一检测)若集合A ，B ，C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系为( )A ．C AB ．AC C ．C ⊆AD ．A ⊆C [答案] D[解析] ∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，又B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选D.4．当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合M ＝{0,1,3}的孤星集为M ′，集合N ＝{0,3,4}的孤星集为N ′，则M ′∪N ′＝( )A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3} [答案] D[解析] 由条件及孤星集的定义知，M ′＝{3}，N ′＝{0}，则M ′∪N ′＝{0,3}．二、填空题5．以下四个推理：①a ∈(A ∪B )⇒a ∈A ；②a ∈(A ∩B )⇒a ∈(A ∪B )；③A ⊆A ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B .其中正确的为________．[答案] ②③④[解析] ①是错误的，a ∈(A ∪B )时可推出a ∈A 或a ∈B ，不一定推出a ∈A .6．已知集合A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，B ＝{x |x 2－px －2q ＝0}，且A ∩B ＝{－1}，则A ∪B ＝________.[答案] {－2，－1,4}[解析] 因为A ∩B ＝{－1}，所以－1∈A ，－1∈B ，即－1是方程x 2＋px ＋q ＝0和x 2－px －2q ＝0的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －12－p ＋q ＝0，－12＋p －2q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝3，q ＝2， 所以A ＝{－1，－2}，B ＝{－1,4}，所以A ∪B ＝{－2，－1,4}．三、解答题7．已知A ＝{x |2a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．[解析] ∵B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，A ∪B ＝R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，a ＋8≥5，解得－3≤a ＜－12. 8．设A ＝{x |x 2＋8x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0}，其中a ∈R .如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．[解析] ∵A ＝{x }x 2＋8x ＝0}＝{0，－8}，A ∩B ＝B ，∴B ⊆A .当B ＝Ø时，方程x 2＋2(a ＋2)x ＋a 2－4＝0无解，即Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＜0，得a ＜－2.当B ＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式 Δ＝4(a ＋2)2－4(a 2－4)＝0，得a ＝－2.将a ＝－2代入方程，解得x ＝0，∴B ＝{0}满足．当B ＝{0，－8}时，⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，－2a ＋2＝－8，a 2－4＝0，可得a ＝2.综上可得a ＝2或a ≤－2. [点评] (1)当集合B ⊆A 时，如果集合A 是一个确定的集合，而集合B 不确定，运算时，要考虑B ＝Ø的情形，切不可漏掉．(2)利用集合运算性质化简集合，有利于准确了解集合之间的关系．第一章 1.1 1.1.3 第二课时补集基础巩固一、选择题1．(2015·重庆三峡名校联盟)设全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{2,3,5}，集合B ＝{1,2}，则(∁I B )∩A 为( )A ．{2}B ．{3,5}C ．{1,3,4,5}D ．{3,4,5}[答案] B[解析] 因为全集I ＝{1,2,3,4,5}，集合B ＝{1,2}，则∁I B ＝{3,4,5}．所以(∁I B )∩A 为{3,5}．故选B.[易错警示] 本小题的关键是先求出集合B的补集，再求交集．集合的运算是集合关系的基础知识，要理解清楚，可能渗透在一个大题中，不熟练会导致整体看不懂或理解错误．2．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则∁U A的所有非空子集的个数为( )A．4 B．3C．2 D．1[答案] B[解析] ∵∁U A＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B.3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．(∁R P)⊆Q D．Q⊆∁R P[答案] C[解析] ∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}．又Q＝{x|x＞－1}，∴(∁R P)⊆Q，故选C.4．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于( )A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U M) D．(∁U M)∩(∁U N)[答案] D[解析] ∵M∪N＝{1,2,3,4}，∴(∁U M)∩(∁U N)＝∁U(M∪N)＝{5,6}，故选D.5．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∪(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x＜－1}D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 由题意可得∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－2≤x≤3}，所以A∪(∁U B)＝{x|－2≤x≤4}，故选A.6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(∁R B)＝R，则a满足( )A．a≥2B．a＞2C．a＜2 D．a≤2[答案] A[解析] ∁R B＝{x|x≥2}，则由A∪(∁R B)＝R得a≥2，故选A.二、填空题7．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁A B＝{5}，则实数m＝________.[答案] 58．U ＝R ，A ＝{x |－2<x ≤1或x >3}，B ＝{x |x ≥4}，则∁U A ＝________，∁A B ＝________.[答案] {x |x ≤－2或1<x ≤3} {x |－2<x ≤1或3<x <4}三、解答题9．已知全集U ＝{2,3，a 2－2a －3}，A ＝{2，|a －7|}，∁U A ＝{5}，求a 的值．[解析] 解法1：由|a －7|＝3，得a ＝4或a ＝10.当a ＝4时，a 2－2a －3＝5，当a ＝10时，a 2－2a －3＝77∉U ，∴a ＝4.解法2：由A ∪∁U A ＝U 知⎩⎪⎨⎪⎧ |a －7|＝3a 2－2a －3＝5，∴a ＝4.10．(2015·唐山一中月考试题)已知全集U ＝{x |x ≤4}，集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，求A ∩B ，(∁U A )∪B ，A ∩(∁U B )．[分析] 利用数轴，分别表示出全集U 及集合A ，B ，先求出∁U A 及∁U B ，然后求解．[解析] 如图所示，∵A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |－3≤x ≤2}，∴∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}．∴A ∩B ＝{x |－2<x ≤2}，(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}，A ∩(∁UB )＝{x |2<x <3}．[点评] (1)数轴与Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解．(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集．能力提升一、选择题1．如图，阴影部分用集合A 、B 、U 表示为( )A ．(∁U A )∩BB ．(∁U A )∪(∁U B )C ．A ∩(∁U B )D ．A ∪(∁U B )[答案] C[解析] 阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在∁U B中，因此是A与∁U B的公共部分．2．设S为全集，则下列说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝Ø，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝Ø；③若A∪B＝Ø，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3[答案] A[解析] 借助文氏图可知，①②正确，对于③于由A∪B＝Ø，∴A＝Ø，B＝Ø，∴A＝B，故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合S与T都是U的子集，满足S∩T＝{2}，(∁U S)∩T＝{4}，(∁U S)∩(∁U T)＝{1,5}则有( )A．3∈S,3∈T B．3∈S,3∈∁U TC．3∈∁U S,3∈T D．3∈∁U S,3∈∁U T[答案] B[解析] 若3∈S,3∈T，则3∈S∩T，排除A；若3∈∁U S，3∈T，则3∈(∁U S)∩T，排除C；若3∈∁U S,3∈∁U T，则3∈(∁U S)∩(∁U T)，排除D，∴选B，也可画图表示．4．(2008·北京)已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，那么集合A∩(∁U B)等于( )A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|－2≤x<－1} D．{x|－1≤x≤3}[答案] D[解析] ∁U B＝{x|－1≤x≤4}，A∩∁U B＝{x|－1≤x≤3}，故选D.二、填空题5．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M⊆∁R P，则a的取值范围是________．[答案] a≥2[解析] M＝{x|－2＜x＜2}，∁R P＝{x|x＜a}．∵M⊆∁R P，∴由数轴知a≥2.6．已知U ＝R ，A ＝{x |a ≤x ≤b }，∁U A ＝{x |x ＜3或x ＞4}，则ab ＝________.[答案] 12[解析] ∵A ∪(∁U A )＝R ，∴a ＝3，b ＝4，∴ab ＝12.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a ，b 的值．[提示] 由2∈B,4∈A ，列方程组求解．[解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B ，∴4－2a ＋b ＝0.①又∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A ，∴16＋4a ＋12b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2a ＋b ＝0，16＋4a ＋12b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝87，b ＝－127.经检验，符合题意：∴a ＝87，b ＝－127. [点评] 由题目中所给的集合之间的关系，通过分析得出元素与集合之间的关系，是解决此类问题的关键．8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．[分析] 本题从条件B ⊆∁R A 分析可先求出∁R A ，再结合B ⊆∁R A 列出关于a 的不等式组求a 的取值范围．[解析] 由题意得∁R A ＝{x |x ≥－1}．(1)若B ＝Ø，则a ＋3≤2a ，即a ≥3，满足B ⊆∁R A .(2)若B ≠Ø，则由B ⊆∁R A ，得2a ≥－1且2a <a ＋3，即－12≤a <3. 综上可得a ≥－12.第一章 1.1 1.1.3 第三课时习题课基础巩固一、选择题1．(2015·全国高考卷Ⅱ文科，1题)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－1<x <3}B ．{x |－1<x <0}C．{x|0<x<2} D．{x|2<x<3}[答案] A[解析] A∪B＝{x|－1<x<3}，故选A.2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)等于( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}[答案] B[解析] 画出数轴，如图所示，∁U B＝{x|x≤1}，则A∩∁U B＝{x|0＜x≤1}，故选B.3．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C))B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B)D．[∁U(A∩C)]∪B[答案] A[解析] 阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(∁U(A∪C))，故选A.4．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(∁U A)∩(∁U B)等于( )A．{x|3＜x≤4}B．{x|x≤3或x≥4}C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}[答案] A[解析] 方法1：∁U A＝{x|x＜－2或x＞3}，∁U B＝{x|－2≤x≤4}∴(∁U A)∩(∁U B)＝{x|3＜x≤4}，故选C.方法2：A∪B＝{x|x≤3或x＞4}，(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)＝{x|3＜x≤4}．故选A.5．已知集合A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x≤a}，且(A∪B)⊆(A∩B)，则实数a＝( )A．0 B．1C．2 D．3[答案] B[解析] ∵(A ∪B )⊆(A ∩B )，∴(A ∪B )＝(A ∩B )， ∴A ＝B ，∴a ＝1.6．设U 为全集，对集合X ，Y 定义运算“*”，X *Y ＝∁U (X ∩Y )，对于任意集合X ，Y ，Z ，则(X *Y )*Z ＝( )A ．(X ∪Y )∩∁U ZB ．(X ∩Y )∪∁U ZC ．(∁U X ∪∁U Y )∩ZD ．(∁U X ∩∁U Y )∪Z [答案] B[解析] X *Y ＝∁U (X ∩Y )(X *Y )*Z ＝∁U [∁U (X ∩Y )∩Z ]＝∁U (∁U (X ∩Y ))∪∁U Z ＝(X ∩Y )∪∁U Z ，故选B. 二、填空题7．(河北孟村回民中学2014～2015学年高一九月份月考试题)U ＝{1,2}，A ＝{x |x 2＋px ＋q ＝0}，∁U A ＝{1}，则p ＋q ＝________.[答案] 0[解析] 由∁U A ＝{1}，知A ＝{2}即方程x 2＋px ＋q ＝0有两个相等根2，∴p ＝－4，q ＝4，∴p ＋q ＝0.8．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，若m ∈A ，m ∈B ，则m 为________．[答案] (4,7)[解析] 由m ∈A ，m ∈B 知m ∈(A ∩B )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1y ＝x ＋3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝7，∴A ∩B ＝{(4,7)}．三、解答题9．已知全集U ＝R ，A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3≤x <7}，求： (1)(∁R A )∩(∁R B ) (2)∁R (A ∪B ) (3)(∁R A )∪(∁R B ) (4)∁R (A ∩B )[分析] 在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A 、B ，然后求出A ∩B ，A ∪B ，∁R A ，∁R B ，最后可逐一写出各小题的结果．[解析] 如图所示，可得A ∩B ＝{x |3≤x <5}，A ∪B ＝{x |2≤x <7}．∁R A ＝{x |x <2或x ≥5}， ∁R B ＝{x |x <3或x ≥7}． 由此求得(1)(∁R A )∩(∁R B )＝{x |x <2或x ≥7}． (2)∁R (A ∪B )＝{x |x <2或x ≥7}．(3)(∁R A )∪(∁R B )＝{x |x <2或x ≥5}∪{x <3或x ≥7}＝{x |x <3或x ≥5}． (4)∁R (A ∩B )＝{x |x <3或x ≥5}．[点评] 求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现． 10．已知U ＝R ，A ＝{x |x 2＋px ＋12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋q ＝0}，若(∁U A )∩B ＝{2}，(∁UB )∩A ＝{4}，求A ∪B .[分析] 先确定p 和q 的值，再明确A 与B 中的元素，最后求得A ∪B . [解析] ∵(∁U A )∩B ＝{2}，∴2∈B 且2∉A . ∵A ∩(∁U B )＝{4}，∴4∈A 且4∉B .∴⎩⎪⎨⎪⎧42＋4p ＋12＝0，22－5×2＋q ＝0.解得p ＝－7，q ＝6，∴A ＝{3,4}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{2,3,4}．能力提升一、选择题1．设A 、B 、C 为三个集合，(A ∪B )＝(B ∩C )，则一定有( ) A ．A ⊆C B ．C ⊆A C ．A ≠C D ．A ＝Ø[答案] A[解析] ∵A ∪B ＝(B ∩C )⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )，∴A ∪B ＝B ，∴A ⊆B ， 又B ⊆(A ∪B )＝B ∩C ，且(B ∩C )⊆B ， ∴(B ∩C )＝B ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C .2．设P ＝{3,4}，Q ＝{5,6,7}，集合S ＝{(a ，b )|a ∈P ，b ∈Q }，则S 中元素的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6[答案] D[解析] S ＝{(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)}共6个元素，故选D. 3．(2015·陕西模拟)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x ＝2a ，a ∈A }，则集合∁U (A ∪B )中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 因为集合A＝{1,2}，B＝{2,4}，所以A∪B＝{1,2,4}，所以∁U(A∪B)＝{3,5}．4．设全集U＝R，集合A＝{x|x≤1或x≥3}，集合B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，且B∩(∁U A)≠Ø，则( )A．k＜0 B．k＜2C．0＜k＜2 D．－1＜k＜2[答案] C[解析] ∵U＝R，A＝{x|x≤1或x≥3}，∴∁U A＝{x|1＜x＜3}．∵B＝{x|k＜x＜k＋1，k＜2}，∴当B∩(∁U A)＝Ø时，有k＋1≤1或k≥3(不合题意，舍去)，如图所示，∴k≤0，∴当B∩(∁U A)≠Ø时，0＜k＜2，故选C.二、填空题5．(2014·福建，理)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2，④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．[答案] 6[解析] 根据题意可分四种情况：(1)若①正确，则a＝1，b＝1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组有0个；(2)若②正确，则a≠1，b≠1，c≠2，d＝4，符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4)；(3)若③正确，则a≠1，b＝1，c＝2，d＝4，符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；(4)若④正确，则a≠1，b＝1，c≠2，d≠4，符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(4,1,3,2)，(3,1,4,2)．所以共有6个．故答案为6.6．设数集M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________．[答案]1 12[解析] 如图，设AB 是一长度为1的线段，a 是长度为34的线段，b 是长度为13的线段，a ，b 可在线段AB 上自由滑动，a ，b 重叠部分的长度即为M ∩N 的“长度”，显然，当a ，b各自靠近线段AB 两端时，重叠部分最短，其值为34＋13－1＝112.三、解答题7．已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，试探求a 取何实数时，(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立．[解析] B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}＝{2，－4}，由A ∩BØ与A ∩C ＝Ø同时成立可知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解，将3代入方程得a 2－3a －10＝0，解得a ＝5或a ＝－2.当a ＝5时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，此时A ∩C ＝{2}，与此题设A ∩C ＝Ø矛盾，故不适合．当a ＝－2时，A ＝{x |x 2＋2x －15＝0}＝{3，－5}，此时(A ∩B )Ø与A ∩C ＝Ø同时成立，则满足条件的实数a ＝－2.8．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？说明理由；(3)已知A ＝{x |x >4}，B ＝{x |－6<x <6}，求A －(A －B )和B －(B －A )． [解析] (1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}， 则A －B ＝{1}． (2)不一定相等，由(1)B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}， 故A －B ≠B －A .又如，A ＝B ＝{1,2,3}时，A －B ＝Ø，B －A ＝Ø，此时A －B ＝B －A ，故A －B 与B －A 不一定相等． (3)因为A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6<x ≤4}， A －(A －B )＝{x |4<x <6}， B －(B －A )＝{x |4<x <6}．第一章 1.2 1.2.1函数的概念基础巩固一、选择题1．下列四种说法中，不正确的是( )A ．在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素 [答案] B2．f (x )＝1＋x ＋x1－x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)∪(1，＋∞)[答案] D[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥01－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥－1，x ≠1，故定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)，选D.3．各个图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )[答案] A[解析] 因为垂直x 轴的直线与函数y ＝f (x )的图象至多有一个交点，故选A. 4．(2015·曲阜二中月考试题)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数是( )A ．f x →y ＝12xB ．f x →y ＝13xC ．f x →y ＝23xD ．f x →y ＝x[答案] C[解析] 对于选项C ，当x ＝4时，y ＝83＞2不合题意．故选C.5．下列各组函数相同的是( )A ．f (x )＝x 2－1x －1与g (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－2x 3与g (x )＝x ·－2x C ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxD ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝t 2－12[答案] D[解析] 对于A.f (x )的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同，故不是相同函数；对于B.f (x )＝|x |·－2x ，g (x )＝x ·－2x 的对应法则不同；对于C ，f (x )的定义域为R 与g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同，故不是相同函数；对于D.f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，定义域与对应关系都相同，故是相同函数，故选D.6．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点个数有( ) A ．必有一个 B ．一个或两个 C ．至多一个 D ．可能两个以上[答案] C[解析] 当a 在f (x )定义域内时，有一个交点，否则无交点． 二、填空题 7．已知函数f (x )＝11＋x，又知f (t )＝6，则t ＝________. [答案] －56[解析] f (t )＝1t ＋1＝6.∴t ＝－568．用区间表示下列数集： (1){x |x ≥1}＝________； (2){x |2＜x ≤4}＝________； (3){x |x ＞－1且x ≠2}＝________.[答案] (1)[1，＋∞) (2)(2,4] (3)(－1,2)∪(2，＋∞) 三、解答题9．求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝x ＋12x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.[分析] 列出满足条件的不等式组⇒解不等式组⇒求得定义域[解析] (1)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠01－x ≥0，解得x ≤1且x ≠－1，即函数定义域为{x |x ≤1且x ≠－1}＝(－∞，－1)∪(－1,1]．(2)要使函数有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}＝(－∞，－3)∪(－3,3)∪(3,5]． [规律总结] 定义域的求法：(1)如果f (x )是整式，那么函数的定义域是实数集R ；(2)如果f (x )是分式，那么函数的定义域是使分母不为0的实数的集合；(3)如果f (x )为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；(4)如果f (x )是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合．(5)如果函数有实际背景，那么除符合上述要求外，还要符合实际情况． 函数定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 10．已知函数f (x )＝x ＋3＋1x ＋2. (1)求函数的定义域； (2)求f (－3)，f (23)的值；(3)当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．[解析] (1)使根式x ＋3有意义的实数x 的集合是{x |x ≥－3}，使分式1x ＋2有意义的实数x 的集合是{x |x ≠－2}，所以这个函数的定义域是{x |x ≥－3}∩{x |x ≠－2}＝{x |x ≥－3，且x ≠－2}． (2)f (－3)＝－3＋3＋1－3＋2＝－1； f (23)＝23＋3＋123＋2＝113＋38＝38＋333. (3)因为a ＞0，故f (a )，f (a －1)有意义．f (a )＝a ＋3＋1a ＋2；f (a －1)＝a －1＋3＋1a －1＋2＝a ＋2＋1a ＋1.能力提升一、选择题1．给出下列从A 到B 的对应：①A ＝N ，B ＝{0,1}，对应关系是：A 中的元素除以2所得的余数 ②A ＝{0,1,2}，B ＝{4,1,0}，对应关系是f ：x →y ＝x 2③A ＝{0,1,2}，B ＝{0,1，12}，对应关系是f ：x →y ＝1x其中表示从集合A 到集合B 的函数有( )个．( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．0[答案] B[解析] 由于③中，0这个元素在B 中无对应元素，故不是函数，因此选B. 2．(2012·高考安徽卷)下列函数中，不满足：f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x [答案] C[解析] f (x )＝kx 与f (x )＝k |x |均满足：f (2x )＝2f (x )得：A ，B ，D 满足条件． 3．(2014～2015惠安中学月考试题)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤2}，下列图形中能表示以A 为定义域，B 为值域的函数的是( )[答案] B[解析] A 、C 、D 的值域都不是[1,2]，故选B. 4．(2015·盘锦高一检测)函数f (x )＝11－2x 的定义域为M ，g (x )＝x ＋1的定义域为N ，则M ∩N ＝( )A ．[－1，＋∞)B ．[－1，12)C ．(－1，12)D ．(－∞，12)[答案] B 二、填空题5．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围是________． [答案] (1,2)[解析] 由区间的定义知⎩⎪⎨⎪⎧2a －1＜a ＋1，a ＋3＜4a⇒1＜a ＜2.6．函数y ＝f (x )的图象如图所示，那么f (x )的定义域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．[答案] [－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5] [解析] 观察函数图象可知f (x )的定义域是[－3,0]∪[2,3]；只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]． 三、解答题7．求下列函数的定义域： (1)y ＝31－1－x；(2)y ＝x ＋10|x |－x；(3)y ＝2x ＋3－12－x ＋1x.[解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0⇔x ≤1且x ≠0，所以函数y ＝31－1－x的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x |－x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≠－1，|x |≠x ，∴x ＜0且x ≠－1，∴原函数的定义域为{x |x ＜0且x ≠－1}． (3)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3≥0，2－x ＞0，x ≠0.解得－32≤x ＜2且x ≠0，所以函数y ＝2x ＋3－12－x ＋1x 的定义域为[－32，0)∪(0,2)．[点评] 求给出解析式的函数的定义域的步骤为：(1)列出使函数有意义的x 所适合的式子(往往是一个不等式组)；(2)解这个不等式组；(3)把不等式组的解表示成集合(或者区间)作为函数的定义域．8．已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2，(1)求f (x )的定义域． (2)若f (a )＝2，求a 的值．(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )． [解析] (1)要使函数f (x )＝1＋x 21－x 2有意义，只需1－x 2≠0，解得x ≠±1，所以函数的定义域为{x |x ≠±1}． (2)因为f (x )＝1＋x21－x2，且f (a )＝2，所以f (a )＝1＋a 21－a 2＝2，即a 2＝13，解得a ＝±33. (3)由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝x 2＋1x 2－1，－f (x )＝－1＋x 21－x 2＝x 2＋1x 2－1， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．第一章 1.2 1.2.2 第一课时函数的表示方法基础巩固一、选择题1．已知y 与x 成反比，且当x ＝2时，y ＝1，则y 关于x 的函数关系式为( ) A ．y ＝1xB ．y ＝－1xC ．y ＝2xD ．y ＝－2x[答案] C[解析] 设y ＝k x ，由1＝k 2得，k ＝2，因此，y 关于x 的函数关系式为y ＝2x.2．一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为( ) A ．y ＝20－2xB ．y ＝20－2x (0＜x ＜10)C ．y ＝20－2x (5≤x ≤10)D ．y ＝20－2x (5＜x ＜10)[答案] D[解析] 由题意得y ＋2x ＝20，∴y ＝20－2x .又∵2x ＞y ，∴2x ＞20－2x ，即x ＞5.由y ＞0，即20－2x ＞0得x ＜10，∴5＜x ＜10.故选D.3．设函数f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的解析式是( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋7[答案] B[解析] ∵g (x ＋2)＝f (x )＝2x ＋3，∴令x ＋2＝t ，则x ＝t －2，g (t )＝2(t －2)＋3＝2t －1.∴g (x )＝2x －1.4．(2015·安丘一中月考)某同学在一学期的5次大型考试中的数学成绩(总分120分)如下表所示：A ．成绩y 不是考试次数x 的函数B ．成绩y 是考试次数x 的函数C ．考试次数x 是成绩y 的函数D ．成绩y 不一定是考试次数x 的函数 [答案] B5．如果二次函数的二次项系数为1，图象开口向上，且关于直线x ＝1对称，并过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1 D ．f (x )＝(x －1)2－1[答案] D6．(2015·武安中学周测题)若f (x )满足关系式f (x )＋2f (1x)＝3x ，则f (2)的值为( )。
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成的集合为 M ，求 C U M .
10.（ 1）设全集 U R, A x | x 1 , B x | x a 1 , 且 CU A B ，求 a 的范围 . （ 2）已知全集 U 2,3,a2 2a 3 , A 2, b ,CU A 5 , 求实数 a和 b 的值 .
【拓展提高 】
10 ． 已 知 全 集 U { 不大于 5的自然数 } ， 集 合 A { 0,1} ， B { x x A且x 1} ， C { x x 1 A且x U } ．
4．已知集合 A={ x|-5<x<5} ，B={ x|-7<x<a} ，C={ x|b<x<2} ，且 A∩B=C，则 a，b 的值分别为
.
【思考应用 】
5．设全集 U={1 ， 2， 3，4} ， A 与 B 是 U 的子集，若 A∩B＝{1 ， 3 } ，则称 (A,B) 为一个 “理 想配集 ”（．若 A＝ B，规定 (A,B)＝ (B, A)；若 A≠B，规定 (A,B)与 ( B, A)是两个不同的 “理想
是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由
.
7．定义集合运算： A B { z z xy(x y), x A, y B} ，设集合 A { 0,1}, B { 2,3} ， 求集合 A B .
8．关于 x 的方程 ax2 bx c 0(a 0) ，当 a,b, c 分别满足什么条件时，解集为空集、含
x | 2 x 5 ,Q
x | k 1 x k 1 , 求使 P Q
的实数 k 的取
9．已知集合 A 2,3, a2 1 , B
a2
a
4,2a
13
1,
,且 A
B
2 ，求实数 a 的值 .
高中数学必修1同步训练资料(有答案)
必修1—集合【基础知识】①();();()Cu AB CuA CuB Cu A B CuA CuB A B A B A A B B ==⊆⇔==②A 集合中有n 个元素时,其子集个数:2n真子集个数: 21n -非空真子集个数:22n- 【题型训练】【题型1】集合定义及基本运算类 1.如图，阴影部分表示的集合是( D )（A ）B ∩ [C U (A ∪C)] （B ）(A ∪B)∪ (B ∪C) （C ）(A ∪C) ∩( C U B) （D ）[C U (A ∩C)]∪B2.已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是B3.若集合{}A=|1x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =∈，，则A B ⋂=（ C ） A. {}|11x x -≤≤B. {}|0x x ≥C. {}|01x x ≤≤D. ∅变式:1. 如果{}|3,xS y y x R ==∈,{}2|1,T y y x x R ==-∈,则S T = S .2.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--，则()R C A B ⋂= （ C ） （A ）{}2,1--（B ）{}2-（C ）{}1,0,1-（D ）{}0,13.已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则AB =（ B ）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 4.已知集合{|31}M x x =-<<，{3,2,1,0,1}N =---，则MN =（ C ）（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{3,2,1,0}--- （C ）{2,1,0}-- （D ）{3,2,1}--- 5.已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ A ）（A ）｛0｝（B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1}（D ）｛-1，,0，1}4.已知集合{}2,0xA y y x -==<，集合{}12B x y x ==，则A B ⋂=（ B ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．()0,+∞D ．[)0,+∞ 5.设集合{|101},{|5}A x Z x B x Z x =∈--=∈≤≤≤，则AB 中元素的个数是（C ）A 、11B 、10C 、16D 、15 6.若集合{}1213A x x =-≤+≤，20,x B x x -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭则A B ⋂= ( B ) A.{}10x x -≤< B..{}01x x <≤ C. {}02x x ≤≤ D. {}01x x ≤≤7.设集合1|,24K M x x K Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,1|,42K N x x K Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭,则( B ) A.M=N B.M N ⊂ C. M N ⊃ D.M N φ=【题型2】点集问题1.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ D ）A 、3,1x y ==-B 、(3,1)-C 、{3,1}-D 、{(3,1)}- 2.设集合13{(,)|log }A x y y x ==，{(,)|3}xB x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是(C )A ．4B ．3C ．2D ．1 【题型3】子集问题1.已知全集 u={1、2、3、4、5}，A={1、5}，B C U A,则集合B 的个数是（ D ）（A ）5(B) 6（C) 7(D)83．若集合}4,3,1{},3,2,1{==B A ，则B A 的子集个数为（ C ）A ．2B ．3C ．4D ．162.集合{},,,,S a b c d e =,包括{},a b 的S 的子集共有( D ) A.2个 B.3个 C.4个 D.8个变式:1.满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =，，，的集合M 的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知集合M={2,0,11},若A M ≠⊂,且A 的元素中至少含有一个偶数,则满足条件的集合A 的个数为 5 .【题型4】集合运算1.设全集{,,,,}I a b c d e =，集合{,,},{,,}M a b c N b d e ==，那么I IMN 是（ A ）A 、∅B 、{}dC 、{,}a cD 、{,}b e变式:1.已知{}21|log ,1,|,2U y y x x P y y x x ⎧⎫==>==>⎨⎬⎩⎭,则U C P =A A ．1[,)2+∞B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．()0,+∞ D ．1(,0][,)2-∞+∞2.已知集合{1,2,3,4}U =，集合={1,2}A ，={2,3}B ，则()UA B =D（A ）{1,3,4} （B ）{3,4} （C ）{3} （D ）{4}2.若集合121log 2A x x ⎧⎫⎪⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A =R( A )A.2(,0],2⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ B.⎫+∞⎪⎪⎝⎭C.2(,0][,)2-∞+∞ D.)+∞ 3.设全集是实数集R ，{|22}M x x =-≤≤，N x x =<{|}1，则RM N 等于（ A ）A 、{|}xx <-2B 、{|}x x -<<21C 、{|}xx <1D 、{|}x x -≤<21 4.设集合U 为全集,集合,M N U ≠⊂,若MN N =,则( C )A.U U C M C N ⊇B.U M C N ⊆C.U U C M C N ⊆D.U M C N ⊇ 5.设集合{|12},{|}M x x N x x a =-<=≤≤，若MN ≠∅，则a 的取值范围是1a ≥-.6.已知集合2{|||1},{|40}A x x a B x x x =-≤=-≥,若A B φ=，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．（0，4）B ．（0，3）C ．（1，3）D ．（2，3）变式:1.{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值范围是( C ) A {}a |0a 6≤≤ B {}|2,a a ≤≥或a 4 C {}|0,6a a ≤≥或a D {}|24a a ≤≤设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ A ） (A) (,2)-∞(B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞(D) [2,)+∞7.已知集合P=｛x ︱x 2≤1｝,M=｛a ｝.若P ∪M=P,则a 的取值范围是C A ．(-∞, -1] B ．[1, +∞） C ．[-1，1] D ．（-∞，-1] ∪[1，+∞）变式:设集合{}|||2A x x a =-<,21|12x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭,若A B A =,求实数a 取值范围.([0,1]) 8.设A 、B 、C 是三个集合,若A B B C =,则有( D ) A. A B = B. C B ⊆ C. B A ⊆ D. A C ⊆ 变式:设I 为全集,123,,S S S 是I 的三个非空子集且123S S S I =,则下面论断正确的是( C )A.123()I C S S S φ⋂⋃=B.123()I I S C S C S ⊆C.123I I I C S C S C S φ=D.123()I I S C S C S ⊆【题型4】集合与函数综合运用1. 知集合A={-1，a²+1,a²-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值。
全国高一高中数学同步测试带答案解析
全国高一高中数学同步测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.以下命题正确的是A ．两个平面可以只有一个交点B ．一条直线与一个平面最多有一个公共点C ．两个平面有一个公共点，它们可能相交D ．两个平面有三个公共点，它们一定重合2.下面四个说法中，正确的个数为（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内A ．1B ．2C ．3D ．43.ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论中错误的是A ．A 、M 、O 三点共线B ．M 、O 、A 1、A 四点共面C ．A 、O 、C 、M 四点共面D ．B 、B 1、O 、M 四点共面4.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么A ．α∥βB ．α与β相交C ．α与β重合D ．α∥β或α与β相交5.两等角的一组对应边平行，则A ．另一组对应边平行B ．另一组对应边不平行C ．另一组对应边也不可能垂直D ．以上都不对6.如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB ＝AC ＝2， E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（ ）A ．1B ．C ．D ．7.平面α∥平面β，AB 、CD 是夹在α和β间的两条线段，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 与α的关系是A ．平行B ．相交C ．垂直D ．不能确定8.经过平面外两点与这个平面平行的平面A ．只有一个B ．至少有一个C ．可能没有D ．有无数个9.已知ABCD 是空间四边形形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC ＝4，BD ＝2，那么EG2＋HF2的值等于A ．10B ．15C ．20D ．2510.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是A ．三个平面共线；B ．有两个平面平行且都与第三个平面相交；C ．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交；D ．三个平面两两相交。
高中数学必修一同步练习题库：函数模型及其应用(填空题：容易)
函数模型及其应用〔填空题：容易〕1、某电视台应某企业之约播放两套连续剧.连续剧甲每次播放时间为80分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40分钟,其中广告时间为1分钟,收视观众为20万.假设企业与电视台达成协议,要求电视台每周至少播放6分钟广告,而电视台每周只能为该企业提供不多于320分钟的节目时间.那么该电视台每周按要求并合理安排两套连续剧的播放次数,可使收视观众的最大人数为_______x2、长为6米、宽为4米的矩形,当长增加工米,且宽减少2米时面积最大,此时宽减少了米, 面积取得了最大值.3、某医院用甲、乙两种原材料为手术后病人配制营养餐,甲种原料每克含蛋白质5个单位和维生素C 10个单位,售价2元；乙种原料每克含蛋白质6个单位和维生素 C 20个单位,售价3元；假设病人每餐至少需蛋白质50个单位、维生素 C 140个单位,在满足营养要求的情况下最省的费用为4、〔10分〕某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用分为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费；乙厂直接按印刷数量收取印刷费.甲厂的总费用y1〔千元〕、乙厂的总费用y2 〔千元〕与印制证书数量x 〔千个〕的函数关系图分别如图中甲、乙所示.it f于元〕.1234567B9 *〔l〕甲厂的制版费为千元,印刷费为平均每个—元,甲厂的费用y i与证书数量x之间的函数关系为,〔2〕当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费为平均每个元；〔3〕当印制证书数量超过2千个时,求乙厂的总费用与证书数量x之间的函数关系式为 ;〔4〕假设该单位需印制证书数量为8千个,该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由5、如图,函数f(x)的图象是曲线 OAB,其中点O, A, B 的坐标分别为(0,0), (1,2), (3,1),那么f(f(3))的值 等于.[Log ->26、设,那么J SQ))的值为|log 2x(x >0 ][〞三.).那么打川.上) 八」_X 2+K (工)0)卜8、函数f (x) =l x+l (工<0) ,对任意的xC [0,「恒有f (x-a) wf(x) ( a>0)成立,那么实数a=.(3 A--.49--9、二次函数F 二的顶点坐标为I 2 ,,且,〞工)二°的两个实根之差等于7 ,/« =10、如图,二次函数 y=ax 2+ bx+c(a, b, c 为实数,点,假设ACXBC,那么实数a 的值为11、某地高山上温度从山脚起每升高 100m 降低0.6C.山顶的温度是 146C,山脚的温度是 26C,那么此山的高为 m.12、我国古代数学名著?数书九章?中有 天池盆测雨〞题：在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.假设盆中积水深九寸,那么平地降雨量是 ________ 寸.(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)13、里氏震级M 的计算公式为：二】趴4一坨遥,其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅, 工二是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001,那么此次地震的震级为 级；9级地震的最大振幅是 5级地震最大振幅的 倍.7、函数aw0的图像过点 C(t,2),且与x 轴交于 A, B 两14、/3 =」＜％-3丁+9 - +4,那么/(X)的最大值是.15、如下图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2, P为线段CB上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点 D.设CP=x, 4CPD的面积为f(x),那么f(x)的定义域为; f'(即零点j ------------------- 〜* *AA~~CP B是?第15曲用)16、对于定义域和值域均为1°刀的函数,㈤,定义工⑸/式力=/5(项, 兀(力二八九3 , n=1, 2, 3,….满足九㈤=’的点称为f的程阶周期点.(1)设“那么f的2阶周期点的个数是 ______________________________ ；"*)= 12-2x x = [-=l](2)设〔 2 那么f的2阶周期点的个数是.,y ...... . ...................................... P^4BC J - , k」F(芭F),…、、一口17、如图放置的边长为1的正方形沿轴滚动.设顶点- /的轨迹方程是y二/(月,那么｝二〃月在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积/3 二/一工一二人-= ir18、函数''' 的一个零点所在的区间为I -,那么比的值为 .19、在一定范围内,某种产品的购置量y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购置1000吨,每吨为800元,购置2000吨,每吨700元,那么客户购置400吨,单价应该为元.20、〔此题总分值9分〕某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.投资1万元时,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元〔如图〕〔1〕分别写出两种产品的收益与投资的函数关系.〔2〕该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问：怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元？21、某汽车油箱中存油22 kg,油从管道中匀速流出, 200分钟流尽,油箱中剩余量y〔kg〕与流出时间x 〔分钟〕之间的函数关系式为 .周一4口工+1|飞卜1 txWR〕的最大值为M,最小值为m ,那么的值为23、我市某旅行社组团参加香山文化一日游,预测每天游客人数在：“至13"人之间,游客人数 ' 〔人〕与游客的消费总额* 〔元〕之间近似地满足关系：.那么游客的人均消费额最高为_________ 元24、某工厂2002年生产某种产品2万件,以后每一年比上一年增产20%,那么从年开始这家工厂、土工由* 口M金* 曰加一八flfi- = 0.3010L1E3= 0,4771〕生厂这种广品的年广重超过12万件.6中22、函数25、用长为18cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为 2： 1,那么长方体的最大体积是 ______________其中正确命题是27、设函数〃方=皿口/-1) .假设了 有唯一的零点工(7立R ),那么实数a= 128、函数上的零点个数是于(%) -- + : (工于己29、设, 21：二,那么f(x)+f(1-x)=,并利用推导等差数列前 n 项和公式的方法,求得 f(-5)+f(-4)+ +f(0)+ ■ +f(5)+f(6)的值为30、假设关于工的方程 匕- I"山工有解,那么实数巳的取值范围是 ▲.31、设口力u 克,关于X 的方程Xy "Xx-F + D =0的四个实根构成以"为公比的等比数列,假设32、、一种新款 的价格原来是 a 元,在今后m 个月内,价格平均每两个月减少p%,那么这款 的价格 y 元随月数x 变化的函数解析式： —(1)方程角鼠处]-°有且仅有 6个根 (2)方程处八年1 . °有且仅有3个根 (3)方程/[/")] = °有且仅有5个根(4)方程W 式期=°有且仅有4个根26、函数〃工.叮=且付在一工？]的图象如下所示:给出以下四个命题:口'的取值范围是33、设函数7⑶的定义域为,假设存在非零实数k使得对于任意工三口有,伏-幻：/〔工〕,那么称人工〕为Q上的定调函数〞.如果定义域是「L-工〕的函数为「L-M〕上的无调函数〞,那么实数4的取值范围是▲34、假设函数八,“疗+ / Tin,一〞-ig/1〕有三个零点,那么?的值是35、如果关于实数的所有解中,仅有一个正数解,那么实数口的取值范围为36、在同一平面直角坐标系中, > =虱力的图象与J'=卜〞的图象关于直线丁= '对称,而A /⑸的图象与J =式公的图象关于点对称,假设•"⑸=T ,那么实数网的值为37、.函数*2 =,-X - 1的单调递减区间为▲ 38、放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象成为衰变,假设在放射性同位素葩137的衰变过程中,其含量〔单位：太贝克〕与时间才〔单位：年〕满足函数关系："〔f〕=/上:,其中乂为『=.时葩137的含量,「二卸时,葩137的含量的变化率是一1讪2 〔太贝克/年〕,那么必那么二—太贝克.39、°<日<1 ,那么函数J 一" 一'呜〞的零点的个数为40、假设是方程产,",.一侬,匚亡的的根,其中：是虚数单位,那么一.x+z= 1< -j'sinE -33=2*w" 尸科** ^3^ 鼻m41、假设关于T1' 一的三元一次方程组I " " ■有唯一解,那么8的取值的集合是------------- ------ .42、〔文〕方程1Og上仅7〕=工的解是43、某区的绿化覆盖率的统计数据如下表所示,如果以后的几年继续依此速度开展绿化,那么到44、1992年底世界人口到达54.8亿,假设人口的平均增长率为1%,经过工年后世界人口数为3〔亿〕,那么与工的函数解析式为45、对任意一,函数一⑴满足㈤T,设/=【了⑴⑺,数列31同〕的前15项的和为16 ,那么/QA.46、假设函数"工〕一国+ " ' 没有零点,那么以的取值范围为47、函数/〔幻满足/住+1> = 一&〕,且/'〔工〕是偶函数,当工H01］时,,⑴三亡；假设在区间［T3］内,函数= —有4个零点,那么实数k的取值范围为一.48、关于*的方程V- + 2x + C^0有一个正根与一个负根的充要条件是49、某校要建造一个容积为8^',深为2m的长方体无盖水池,池底和池壁的造价每平方米分别为240元和160元,那么水池的最低总造价为元.50、购置的全球通〞卡,使用须付根本月租费〞每月需交的固定费用〕50元,在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购置神州行〞卡,使用时不收根本月租费〞,但在市内通话时每分钟话费为0.60元.假设某用户每月费预算为120元,那么它购置卡才合算.51、方程2x|=2 —x的实数解有个.52、以初速度40 A,垂直向上抛一物体,,时刻的速度〔卜的单位是八〕为'=40-10.,那么该物体达到最大高度为.米53、一批设备价值*万元,由于使用磨损,每年比上一年价值降低b%,那么建年后这批设备的价值为___________ 万元.54、定义在R上的奇函数门口和偶函数目⑸满足『3 ’虱月=丁,假设不等式喈⑴*虱2»士0对,苣〔0,1］恒成立,那么实数交的取值范围是.55、建造一个容积为18m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,那么这个水池的最低造价为〔单位：元〕.56、某种化学反响需要一种催化剂加速反响,但这种催化剂用多了对生成物有影响〔影响它的纯度〕.假设这种催化剂参加量在^到〞断1兄之间,那么第二次参加的催化剂的量为芸.57、用二分法求方程x3-2x-5=0在区间［2, 3］上的近似解,取区间中点x°=2 . 5,那么下一个有解区间为.58、一辆汽车沿直线轨道前进,假设司机踩刹车后汽车速度叫r-i 八〔单位：米/秒〕,那么汽车刹车后前进二米才停车；59、由曲线?.和露次= = 所围成的图形的面积的最小值是_.60、092年底世界人口到达’4无亿,假设人口的年平均增长率为不整上河.年底世界人口为丁亿,那么手与之的函数关系式为 .61、某厂2021年12月份产值方案为当年1月份产值的a倍,那么该厂2021年度产值的月平均增长率为.62、,〔灯是周期为2的奇函数,当.工至工1时,那么\ 5』63、将函数户小,S XT'-二缶在仁曲的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角59 W⑴,得到曲线Q.假设对于每一个旋转角,曲线C都是一个函数的图像,那么,的最大值为(1) 1; 0. 5; y=0. 5x+1 (2) 1 . 5(3) 尸?=—上+ —4 2(4)选择乙厂更节省费用1、200万2、0.5 (或一米)3、23参考答案5、6、7、8、9、-4/—12工十4010、11、19004、13、5, 10000.15、16、2,417、18、119、500020、(1)八6二:封了?与近可二不同工之可8 2(2)当* = 2 ,即至=之6万元时,收益最大,,但=二万元1121、y= 22- I..x22、233、34、2(f 0]u[226、⑴(3)(4)27、428、329、1,630、11231、32、 • 一 .」•'〔：二二〕37、38、150 15.39、ffl40、7T—,Z} 41、42、43、ID44、54.8(1 +1%)x45、3/4(OJ) 工)46、49、352050、神州行51、252、8053 '53、55、540056、,二-57、[2, 2, 5]63、【解析】1每次播放时间〔单位皿电广告时间〔单位口回1收视观众〔单位连续剧甲「80P 1连线配4012C i限制条件播放最长时间320戢少厂告时间6设每周播放连续剧甲?次,播放连续剧乙丁次,收视率为-,那么目标函数为工-.约束条件为SOx+401 <320 x + y>6 x>G. v>G由图可知,:=60*+?0N在点,』g书处取到最大值200,所以可使收视观众的最大人数为200万X 1 -I5=(6+ 工)(4——) => y = - -JT +X-H 24(0 < r < 8) 2、试题分析：由题意有：设面积为 3 ,那么 2 , 2>3 =2/米1 1 = 0.5 i当K = 1米时, ~ 2那么2 米.故填0.5 〔或2米〕.考点：此题考查数学建模水平和二次函数求最值点的方法.3、解：设每盒盒饭需要甲、乙原料分别为x 〔克〕,y 〔克〕,所需费用为S=2x+3y,61、62、arctafi—作出可行域如图.且x、y满足由图可知,直线s=2x+3y过A 〔4, 5〕时,s最小,即S 最/」、=2X4+3X5=23.故甲、乙原料应该分别使用4, 5时,才能既满足营养,又使病人所需费用最省,最省的费用为23.故答案为：23.【点评】用图解法解决线性规划问题时,分析题目的条件,找出约束条件和目标函数是关键,可先将题目中的量分类、列出表格,理清头绪,然后列出不等式组〔方程组〕寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数.然后将可行域各角点的值一一代入,最后比拟,即可得到目标函数的最优解,该题是中档题.4、试题分析：〔1〕由函数图像可知甲厂印刷量为2千元时,费用为2千元,因此可得到一次函数关系式〔23〕的系数,从而得到函数解析式；〔2〕由乙的函数图像过点时可得到印刷费3千时印刷量为2千个,从而得到平均值；〔3〕利用待定系数法,设出解析式后由函数图像过的两点坐标代入函数式可得到参数值,从而得到函数式；〔4〕利用两函数解析式分别求出自变量为8时的函数值,比拟可得选择哪个厂更节省费用试题解析：〔1〕印刷量为0时费用为1千元,因此制版费为1千元；图像过点,所以印刷2千时,〔2 21 f 0 fl费用为1千,因此平土费用为0. 5;由函数过点V 1X —,因此方程为y=0. 5x+1 ;〔2〕印刷量为2千时费用为3千,因此平均费用为1. 5〔3〕设y2=kx+b ,由图可知,当 x=6 时,y 2=y i =0 , 5><6+1=4 , 所以函数图象经过点〔2,3〕和〔6,4〕[2H8二3所以把〔2,3〕和〔6,4〕代入y 2=kx+b ,得色〞 =4 ,b ——解得- ~ ,所以y 2与x 之间的函数关系式为〔4〕由图象可知,当 x=8时,y I >y 2,因此该单位选择乙厂更节省费用.〔求出当x=8时,y 1和y 2的值,用比拟大小的方法得到结论也正确〕 考点：1.函数图像；2.函数解析式5、由图可知 f(3) = 1, f(f(3)) =f(1) = 2.一 ,⑵二 1鸣〔〞-1〕二6、试题分析：由于 -考点：1.分段函数；2.指数、对数运算.考点：1.二次函数的图象与性质； 2.分段函数的性质；3.恒成立问题9、试题分析：由题意,设的两根为9三口1f 〕,那么可得:6 % r » 一、 八—〕=49 = 〔_二_2乂_二+5〕口=49=>口=14,设/〔力=口.7〕〔工+9,又「'『 七八2'.= 7/ -12X + 40考点：二次函数解析式求解 10、设点 A(x i,0), B(x 2,0),那么仁4 = (x i —t, —2), CS =(x 2-t, —2),所以仁4 CB = x i X 2—t(x i + X 2)+t 2 cb bec + 4=0.又 x i x 2= a , x i + x 2=- 口 ,所以 t 2+口 +4 +4=0.又点 C(t,2)在抛物线上,所以 at 2+bt+c=1,所以川⑵/10〕 = 3c =1 7、试题分析：由得考点：分段函数求值.川〕=啕】=.,所以/[".〕]=.8、试题分析：数形结合法,由图象可知当 =1时,对任意的上,°』,恒有f 〔x-a 〕 wf 〔x 〕成立；当 0 nl 时容易举出反例,答案为 1.Ar c 2 2 12,所以t2+ 0 + 口= 口,即—4=°,解得a=—二.ii、(26—14.6) 06 X00=i900.i2、天池盆中水的形状是以上底半径i0寸,下底半径6寸,高9寸的圆台,,平均降雨量==3.i3、试题分析：解析：由灯=1吐1科=以00.-1的001=0当为9级地震时,那么有1纠="-1居=£-1%当为5级地震时,那么有1魏・〃-1配・5十口故4・5皿d・WJ*三=10' =10000所以,事.答案为5,10000.考点：函数应用问题,对数函数的性质.点评：中档题,函数的应用问题,要注意遵循审清题意,设出变量,列出关系式,解,答〞.i4、试题分析/3二火工一3〕：十9 _ J〔x _ 1〕二十4= 33〕二+9一可］-必川*〔0-以的几何意义可以看做点d到点3 G3〕和点C Q2〕距离之差的最大值.而g-'〕所以- I考点：函数的最值两点的距离公式点评：此题的关键是根据函数的几何意义将代数问题转化成几何问题.属中木^题.i5、在三角形DCP中,CP=X, DC=2, DP=6-X.由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边得2 <x< 4.16、试题分析：〔1〕当xC ［0, 1］时,后〔-丫〕一/〔此=工,由工=x 得,x=0,1 , f 的1阶周期点的个数是 2； 当xC ［0, 1］时,/2〔工〕=『0；］工〕〕=*',由H 」=x ,得x=0,1,所以f 的2阶周期点的个数是2.J〔2〕当 xC ［0,2］时,f ［〔x 〕 =2x=x ,解得 x=0,I 2当xC 〔2,1］时,f 1 〔x 〕 =2-2x=x ,解得x= -,.二f 的1阶周期点的个数是 2;£当 xC ［0, A ］时,f ［〔x 〕 =2x, f 2 〔x 〕 =4x=x ,解得 x=0;II 1当 xC 〔4, 2］时,f ［〔x 〕 =2x, f2 〔x 〕 =2-4x=x ,解得 x=-; I 3 2当 xC 〔 2,4］时,f ［〔x 〕 =2-2x, f 2 〔x 〕 =-2+4x=x ,解得 x=-; 34 当 xC 〔 4 , 1］时,f ［〔x 〕 =2-2x , f 2 〔x 〕 =4-4x=x ,解得 x= ’ .二. f 的 2 阶周期点的个数是 22=4. 故答案为2, 4. 考点：此题主要考查函数的 2阶周期点的个数的求法.点评：新定义问题是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意分类讨论思想和等价转化思想的灵活运 用.1P 点从x 轴上开始运动的时候,首先是围绕 A 点运动4个圆,该圆半径为1,然后以B 点为中央,滚动到 C 点落地,其间是以 BP 为半径,旋转90.,再以C 为 17、考查P 点的运动轨迹,不妨考查正方形向右滚动,7C+ —xl xlq —JI +1圆心,再旋转90°,这时候以CP 为半径,因此最终构成图象如下： S=4- 4故答案为：兀+118、略19、本试题主要是考查了待定系数法的函数解析式的求解和运用. 购置1000吨,每吨为 800元,1000=800k+b; 假设购置2000吨,每吨为700元,2000=700k+b . 解方程组 1000=800k+b , 2000=700k+b得到k=-10 , b=9000函数关系式为y=-10x+9000 .当y=400时,解得x=5000 .故答案为单价应是 5000元, 故答案为5000元.解决这类问题的关键是设出解析式,然后将的变量和函数值代入解析式得到参数的值,进而运用其求 解别的变量的函数值.门向=处乳上〞与正=5 ggf =一=土;,, 二= I -伏〕旗号二彳£0〕即-y — 7［月+ 式20 - 电】二一 十-J20 —< 2€〕依题意得：..一 ：-令「-20-? I 1-我 +v =■ -------- + 一〞一一-那么 ,■:至二羲万元时,收益最大, ,包=’万元20、解〔1〕设〔2〕设投资债券类产品 W 万元,那么股票类投资为〔」〕万元2221、流速为一 ••1111ICO 八裕可应100,x 分钟可流X.那么g(x)为奇函数,所以g(x)的最大值与最小值和为0,所以『卜耳-1 -『(工)工日-1 = °：即,11 +冽=2 .消费额最高且为40元.国2-坨2 卜］-2+1* 1lg2+ (n-1) lg1.2=lg12 , • . n= 二二 二二一匚="0.7781" 0.0791 +1〜10.84由于y=JxL2A ,是增函数,现x 取正整数,可知从 2021年开始,这家工厂生产这种产品的产量超过 12万台25、设长方体的宽为 xcm,那么长为2xcm,高为L8-8x-4x 9、---------- —— —3JC4- cm ；它的体积为 V=2x?x?3苒、： ：)=9犷-6M ,(其中0<x<2)；对V 求导,并令V' (x) =0,得1舐—13 =0,解得x=0,或x=1 ;当0vxv 1时,函数 V (x)单调递增,当1vxv -时,函数 V (x)单调递减；所以,当 x=1时,函数V (x)有最大值3,此时长为2cm,宽为1cm,高为1.5cm.故答案为3.26、解：由于方程过观幻】二° ,中当旦区=0那么有且仅有2个根,因此错误.而其余的方程的根,方程 /I 虱功=0中,纲=0, x 两个值,一个负数一个正数.而无论取正数函数复数,在函数 y=f(x)中,总有 6个交点,因此有且仅有 6个根分别对g(x),f(x)令值,注意验证都可以满足题意.因此选择 (1)(3)(4) 27、由"")"也.有唯一的零点三,口松+1=心有唯一的零点飞记= -axd-122、由于|jd-sinjc+1 /W = U ---/⑴= 1-,所以sin JC],令-23、解：由于根据二次函数的性质可知当每天游客人数在50至130人之间,而其对称轴为x=120,时,人均24、设?为这家工厂2002年生产这种产品的年产量,即 "二=2,并将这家工厂2003、2004年生产这种产品 的年产量分别记为 %、%,根据题意,数列｛"肛｝是 个公比为1.2的等比数列,其通项公式为। - 7 X 1 小 更 ,根据题意,设2Mb• =12两边取常用对数,得①当 a=^0 时=②当国=.时=1=0 〔舍去〕> =〔-〕r28、函数2的零点个数即函数‘ ? 与函数卜图象的交点个数,⑻十八一)=三 Y+占29、-那么 - -由于f(6)+f(-5) = /(5)+/(-4)=…=/(0) +/(!)=』= /(-4) + /⑸=/(-5) + 〃6)=得,■:一 • ■ 「一- 所以■ " ■由图象可知,两个函数有三个交点,即函数/〔x 〕=dy-jc 22的零点个数为3两式相加可t lnjc-130、因X>° ,所以别离参数可得上,即方程氏+1=1口*有解,即兀的取值l nx -l-xx-Qnx-1)为函数缶丁的值域—")二当时/V0>°,当其)时/r S)<0 ,所以/8==/(屋)=4 小山人 j ,士巾 E 」］卷,故实数上的取值范围是寸.31、设关于、的方程(1-皿+ 1村一改+ 1)=0的四个实根为网』三口鼻,其中X ；三是方程/一必+1=0的两根,三=三是方程f — b 工十1 二 0的两根由于再三二当下,所以网三和三不分别是等比数列的第一、四项和第二、三项_ 3 _ 1 N 一 二不妨设巧为等比数列的首项,那么三二砧1,由七七二1可得 『 口方二(七+FX 三+.)二(及+豌=4a-4'Xq +j)〔1+/X4+铲〕<r“、:…IJ2--2_d)Q/+g+2)----- J (5) = ------------------------- : ------- = --------------- j ------------ 记 q q~,那么 q g由于"仁」,所以当"中"时,/⑷©,此时 ;④ 单调递减；当 〞［口 时/go ,此 时,9」单调递增J 112 27 八1 112尸产■-/1, —) = > — = /( 2)q =-.....所以/⑷在@=1处取到极小值4,而“3,9 *',所以/⑷在, 3处取到极大值91 in11；q 已1不/ F ⑷三乩子］品七乩子］所以当 ,时, 9 ,即 932、由于根据关系式得到 f(3)=f (5) =f(7)=7-5=2,选C二—Lu x /,令/(外二°那么所以 七十七 二日二内三 二1；冯一三二比毛』=1其一 —七 上WT2,不符合；假设左<0那么 2 ,所以2 ,解得^之2.综上可得,k>2人E G) = 4,+*〞—尤加&-f34、令^g r (x) = a x I )ia^2x-Ina=(a x -l\Ina+2x;口 > 1,当“式岭町时,EG" ° 当时,/⑶<口故s (可在其=0处取得极小值,且式=2⑼=1 T 由于函数 声 =,量+£ rh 日-0-1(" 1)有三个零点 故：■’1二 1 即"二—二 3K x = +--— GC C — — = 3H35、当口三°时,方程为工 ,解得 3 ,符合条件.方程 工 即方程1 「 ： 1 □ 1—=—OJT T Hax —— = JXj五,那么方程 上仅有一个正数解〞等价于函数.工与函数卜=一"一 , '工的图象在J 轴右侧只有一个交点_F当口 二0时,抛物线卜二一"- 4」,开口向下经过原点且对称轴3 人2万二^一<0当白〈°时,抛物线卜二一"- 4」,开口向上经过原点且对称轴 la,所以此时双曲线与抛物线在33、依题意可得,(工+处土工当工1-1时恒成立,即时恒成立.假设k<0 3 人真二——>2a1> =—,由于双曲线 上的图象位于第一、三象限,所以此时双曲线与抛物线相切.设切点坐标为 &谕,那么双曲线与抛物线在该点处的切线方程相同斜率相同,所以有 一工喉 + 3 =--L不:r 1 —y +3飞=—飞,解得叮二二1轴右侧恒有一个交点.综上可得,或.=36、由于J⑹=T ,所以点〔叽-D是函数3 =,⑸的图象,0*7关于点口口」对称点是!?-阳D,而1 =/〔工〕的图象与｝二g⑶的图象关于点〔】◎对称,那么匚-也」〕是｝=或稳的图象上的点,即虱2 一同=七点〔2-mJ〕关于直线y=x对称的点是〔1:一用〕,又1二以上〕的图象与J=1n x的图象关于直线y = £对称,所以点〔1二一间是> =瓜工的图象上的点,那么 2 —m=ln L/. m = 2,37、由/㈤々-L*.得/?1 ,所以富0 口,故函数"幻〞Y-1的单调递减区间为〔一K , 0〕〔此处也可以写成〔T,.】〕.38、略39、略40、略41、略42、略43、略44、略45、略46、略48、略49、考点：根据实际问题选择函数类型.4 S分析：设底面一边长x 〔m〕,那么令一边长为工〔m〕,底面积为4,侧面积为2X2X+2XH ,这样,可得总造价y,再利用根本不等式,可求得水池的最低总造价解：设底面一边长x 〔m〕,那么另一边长为工〔m〕,如图：8 4总造价为：y= 〔2X2X+2X工〕X160+4X240= 〔x+工〕＞€40+960工^640+960=3520 元4当且仅当x=x,即x=2时,函数y的值最小,即当底面边长为 2 〔m〕的正方形时,建造的水池造价最少.故答案为：3520点评：此题考查了长方形模型的应用,由长方形的侧面积建立函数解析式,由解析式判断单调性并求最值,是中档题.50、考点：分段函数的应用.分析：分别计算出120元两种卡能拨打的分钟数,进而确定哪种卡比拟合算.120 - 50解答：解：购置的全球通卡120元能打的分钟数为：0 4=175 〔分钟〕120购置神州行卡120元能打的分钟数为：山6二2..〔分钟〕由于175V200所以购置神州行的卡比拟适宜.故答案为：神州行.51、方程2|x|=2-x的实数解个数就是函数y=2|x|与y="2-x〞的图象交点的个数,结合图象作答.解：如图：方程2|x|=2-x的实数解个数就是函数y=2|x|与y="2-x"的图象交点的个数,由图象可知,交点个数是2, 故答案为2.52、先求物体到达最大高度即其速度为0时,物体运动时间,再将物体最大高度问题转化为速度函数在时间上的定积分问题,利用微积分根本定理计算定积分的值即得最大高度解：令v=0,得t=4,该物体到达最大高度为h=〈(4OT0t)dt=(40t7J) |A=160-80-0=80故答案为8053、略54、略55、略56、略57、略58、略tan/"——那么 ,2.当切线方程和‘轴重合时,曲线上的点满足函数的定义,即是一个函数图象,再逆时针旋一 ［加白伊-打转,曲线不再是一个函数的图象,所以,旋转角为能“一 / ,那么60、 增长率类型题目61、 先假设增长率为 p,再根据条件可得(1+p)1Ja,从而可解. 解: 由题意,该厂去年产值的月平均增长率为p,那么(1+p) 11=a,p=^ -1,62、点评：考察函数的奇偶性的性质和灵活运用,容易出错的是奇函数__ , 1 = J4T1 - 2y 曰 f 工一 63、由一 “可得,『仃-/二".-川,所以函数>二小+6才一/ -2表示的图象是在y.<6:y>-2时,以为圆心、半径为 行 的一段圆弧,设过原点且与曲线c 相切的直线方程为2,设此时直线的倾斜角为22—3 — arc taii —m ,即 3。
高一数学必修同步训练题
高一数学必修同步训练题
高一数学必修同步训练题
高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了高一数学必修同步训练题，希望对大家有帮助。
1.在△ABC中，a=2，b=2，A=45，则B等于()
A.45
B.30
C.60
D.30或150
2.已知△ABC中，三内角A，B，C依次成等差数列，三边a，b，c成等比数列，则△ABC是()
A.等边三角形
B.等腰直角三角形
C.钝角三角形
D.直角三角形
3.已知、，、、、成等差数列，、、、成等比数列，则的最小值是()
A. B. C. D.
4.设，，若是与的等比中项，则的最小值为()
A. B. C. D.
5.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A.垂直且相交
B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交
D.不垂直也不相交
6.已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：
①若m∥,n∥,则m∥n;②若m∥,n，则n③若m,m∥,则.
其中真命题的个数是( )
查字典数学网小编为大家整理了高一数学必修同步训练题，希望对大家有所帮助。
高中数学必修一全册同步训练及解析(共64页)
高中数学必修一同步训练及解析1．下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．2．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．② C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2. 3．用描述法表示不等式x <－x －3的解集为________．答案：{x |x <－x －3}(或{x |x <－32})4．集合A ＝{x ∈N|2x 2－x －1＝0}用列举法表示为__________．解析：解方程2x 2－x －1＝0，得x ＝1或x ＝－12.又因为x ∈N ，则A ＝{1}．答案：{1}[A 级 基础达标]1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，但a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确，故选C.2．设集合M ＝{x ∈R|x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈M C ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c .4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：35．已知x 2∈{1,0，x }，则实数x ＝________.解析：∵x 2∈{1,0，x }，∴x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x . ∴x ＝±1或x ＝0.但当x ＝0或x ＝1时，不满足元素的互异性． ∴x ＝－1. 答案：－16．设集合B ＝{x ∈N|62＋x∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B .(2)令x ＝0,3,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．[B 级 能力提升]7．设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选B.∵x ∈{2,3,4}且x ∉{2,4,6}，∴x ＝3.8．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 10.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B . 解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z}；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z}．11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求a 的取值范围； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个解，若a ＝0，则x ＝－12；若a ≠0，则Δ＝0，解得a ＝1，此时x ＝－1. ∴a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素． (2)①A 中只有一个元素时，a ＝0或a ＝1.②A 中有两个元素时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，解得a <1且a ≠0.综上，a ≤1.高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是( ) A ．{x |x 2＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R}C ．{x |－x 2≥0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R}解析：选D.∵方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D 选项为空集，A 选项中只有一个元素0，B 选项中有无数个元素，即抛物线y ＝－x 2上的点，C 选项中只有一个元素0.2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．A B C ．B A D ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立． 3．下列关系中正确的是________． ①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}． 解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②. 答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}[A 级 基础达标]1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈A D ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的． 2．若{1,2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( ) A ．b ＝－3，c ＝2 B ．b ＝3，c ＝－2 C ．b ＝－2，c ＝3 D ．b ＝2，c ＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2.3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1. 答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级 能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3， ∴A ＝{2,3}． 答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合． 解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}．11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}解析：选D.如图所示．A ∩B ＝{x |x >1}∩{x |－1<x <2}＝{x |1<x <2}．2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M⊆NB．N⊆MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．设M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝________.解析：M∩N＝{1,4}，M∩P＝{4,7}，所以(M∩N)∪(M∩P)＝{1,4,7}．答案：{1,4,7}4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥2[A级基础达标]1．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C.由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.3．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所示的集合共有2个元素．4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：35．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知，a>－1.答案：a>－16．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求：A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}＝{x |－2<x <3}，B ＝{m |3>2m －1}＝{m |m <2}．用数轴表示集合A ，B ，如图．∴A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．[B 级 能力提升]7．设A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}，B ＝{－2，－1}，则必有( ) A ．A ⊇B B ．A ⊆B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：选D.A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}＝{(－2，－1)}是点集，B ＝{－2，－1}是数集，所以A ∩B ＝∅.8．若集合A ＝{参加2012年奥运会的运动员}，集合B ＝{参加2012年奥运会的男运动员}，集合C ＝{参加2012年奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．A ∩B ＝CD ．B ∪C ＝A解析：选D.参加2012年奥运会的运动员是参加2012年奥运会的男运动员和女运动员的总和，即A ＝B ∪C .9．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：410．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值． 解：由题意得M ＝{2}．(1)当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}． (2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N . ∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2. 11．集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.高中数学必修一同步训练及解析1．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P解析：选C.∵P＝{x|x<1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，∴∁R P⊆Q.2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.∵U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或2[A级基础达标]1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}解析：选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．2．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝UD．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U.3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 解析：∵A ∪∁U A ＝U ，∴A ＝{x |1≤x ＜2}．∴a ＝2. 答案：25．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝x －3，－1≤x ≤3}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析：∵A ＝{x |0≤x ≤4}， B ＝{y |－4≤y ≤0}， ∴A ∩B ＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}． 答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．[B 级 能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |－3≤x ≤4} B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |－3≤x ≤－2或3≤x ≤4}D ．{x |－2≤x ≤4}解析：选B.∁U A ＝{x |－2≤x ≤4}．由图可知：(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤3}． 8.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．9．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m 的值为________．解析：如图，∵U ＝{0,1,2,3}， ∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}，∴方程x 2＋mx ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝3， ∴0＋3＝－m ，即m ＝－3. 答案：－310．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1,5,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，求A ，B .解：如图所示，由图可得A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．11．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2.高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ， x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxC ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝(t 2－1)2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝x解析：选C.A ：f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同． B ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同．C ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应法则都相同．D ：f (x )＝|x |，g (x )＝x ，对应法则不相同．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)4．函数y ＝x 2－2x (－2≤x ≤4，x ∈Z)的值域为________．解析：∵－2≤x ≤4，x ∈Z ，∴x 取－2，－1,0,1,2,3,4.可知y 的取值为8,3,0，－1,0,3,8，∴值域为{－1,0,3,8}． 答案：{－1,0,3,8}[A 级 基础达标]1．下列对应关系中能构成实数集R 到集合{1，－1}的函数的有( ) ①②③A ．①B ．②C ．③D ．①③解析：选B.①中将自变量分为两类：一类是奇数，另一类是偶数．而实数集中除奇数、偶数之外，还有另外的数，如无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；③中实数集除整数、分数之外，还有无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；②符合题干要求．2．函数y ＝31－1－x的定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B.由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0.即得x ≤1且x ≠0，故选B.3．区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5或x >8}B ．{x |5<x ≤8}C ．{x |5≤x <8}D ．{x |5≤x ≤8} 答案：C4．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的值域是________．解析：y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，∴y 的值域为[0,1)． 答案：[0,1)5．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x .(x ≠0，且x ≠1)答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1)6．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2x －1－3－x ＋1；(2)f (x )＝4－x 2x ＋1.解：(1)要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，3－x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤3⇔12≤x ≤3.∴f (x )的定义域是[12，3]．(2)函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≠－1 ⇔{x |－2≤x ≤2，且x ≠－1}．∴f (x )的定义域是[－2，－1)∪(－1,2]．[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2解析：选A.f (－1)＝a －1，f [f (－1)]＝f (a －1) ＝a (a －1)2－1＝－1，所以a ＝1. 8．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同．9．已知函数f (x )对任意实数x 1，x 2，都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立，则f (0)＝________，f (1)＝________.解析：令x 1＝x 2＝0，有f (0×0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. 答案：0 010．求下列函数的值域． (1)y ＝x ＋1；(2)y ＝xx ＋1.解：(1)因为函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0，∴x ＋1≥1.所以函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)．(2)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1，且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. 所以函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}．11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1， (1)求f (2)，f (a )；(2)若f (a )＝11，求a 的值； (3)求f (x )的值域．解：(1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (a )＝a 2＋a －1.(2)∵f (a )＝a 2＋a －1，∴若f (a )＝11，则a 2＋a －1＝11， 即(a ＋4)(a －3)＝0. ∴a ＝－4或a ＝3.(3)∵f (x )＝x 2＋x －1＝(x ＋12)2－54≥－54，∴f (x )的值域为[－54，＋∞)．高中数学必修一同步训练及解析1．下列点中不在函数y ＝2x ＋1的图象上的是( )A ．(1,1)B ．(－2，－2)C ．(3，12)D ．(－1,0) 答案：D2．已知一次函数的图象过点(1,0)，和(0,1)，则此一次函数的解析式为( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x ＋1解析：选D.设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.∴f (x )＝－x ＋1.3．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：324．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－1[A 级 基础达标]1．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－3xB ．f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x 答案：B2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B. 4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；当g [f (x )]＝2时，x ＝________. 解析：f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2， ∴x ＝1. 答案：1 15．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．解析：由题意，知长方体的宽为x cm ，长为(10＋x ) cm ，则根据长方体的体积公式，得y ＝(10＋x )x ×80＝80x 2＋800x .所以y 与x 之间的表达式是y ＝80x 2＋800x (x >0)． 答案：y ＝80x 2＋800x (x >0)6．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[B 级 能力提升]7．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 8.已知函数f (x )的图象如图所示，则此函数的定义域、值域分别是( ) A ．(－3,3)；(－2,2) B ．[－3,3]；[－2,2] C ．[－2,2]；[－3,3] D ．(－2,2)；(－3,3)解析：选B.结合f (x )的图象知，定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1.由于x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)10．2012年，第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦举行，其门票价格从20英磅到2000英磅不等，但最高门票：7月27日开幕式的贵宾票，价格高达2012英磅，折合人民币21352元，是2008年北京奥运会门票的四倍．为鼓励伦敦青少年到现场观看比赛，伦敦奥组委为伦敦市的14000名学生提供了一次免费门票机会，16岁以下青少年儿童的门票价格比最低价门票还要优惠些，有些比赛项目则无需持票观看，如马拉松、三项全能和公路自行车比赛均向观众免费开放．某同学打算购买x 张价格为20英磅的门票(x ∈{1,2,3,4,5}，需用y 英磅，试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数． 解：解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 列表法：图象法：11．作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋2，|x |≤3；(2)y ＝x 2－2，x ∈Z 且|x |≤2.解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)． (2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516B ．－2716C.89 D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________.答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________． 答案：21[A 级 基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2. 答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案：46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)；(2)求f (14)；(3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74)＝－74＋2＝14；(2)f (14)＝2×14＝12；(3)f (4)＝422＝8；(4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2，当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6.综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6.[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)． 设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？ 解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元， 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[A 级 基础达标]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，32]解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32]，故选D.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3.其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]． 答案：[3，＋∞) (－∞，3]5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴2a －1>0，∴a >12.答案：(12，＋∞)6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间． 解：由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．[B 级 能力提升]7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( ) A ．一定是增函数 B ．一定是减函数 C ．可能是常数函数 D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案：－1≤x <1210．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间． 解：当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12]．11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．高中数学必修一同步训练及解析1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1， ∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？ 解：设总长为b ， 由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称．3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________. 解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴1－a ＝0，a ＝1. 答案：1[A 级 基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32.答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， 即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：136．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x －1＋1－x ； (2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |， 定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )． 则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级 能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( ) A ．f (x )≤2 B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数． 又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)， 且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________． 解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0.。
14高一数学必修同步训练题
14高一数学必修同步训练题高中最重要的阶段，大家一定要把握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了14高一数学必修同步训练题，希望对大家有帮助。
1.如果向量与共线且方向相反，则 =( )A、 B、 C、2 D、02. ④中，与相等的是( )A. ①和②B. ③和④C. ①和④D. ②和③3.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：父亲身高 174175176176179儿子身高 175175176177177则，对的线性回归方程为( )A. B. C. D.4.若，则等于 ( )A. B. C. D.5.已知 ABC和点M满足 0 ，若存在实数n使得成立,则 = ( )A.2B.3C.4D.56.已知A(-3，0)、B(0，2)，O为坐标原点，点C在AOB内，且AOC=45，设，则的值为( )A、 B、 C、 D、7.如下图所示程序框图，已知集合是程序框图中输出的值}，集合是程序框图中输出的值},全集U=Z，Z为整数集,当时，等于( )A. B.{-3. -1，5，7}C.{-3, -1，7}D.{-3, -1,7，9}8.已知函数 ,将图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到的图象沿轴向左平移个单位,这样得到的曲线与的图象相同, 那么的解析式为( ) A. B.C. D.9.己知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则的值为( )A. B. C. D.10.函数，的图象与轴交于点，过点的直线与函数的图象交于两点，则 ( )A.4B.8C.16D. 3211.关于有以下命题，其中正确的个数( )①若则;② 图象与图象相同;③ 在区间上是减函数;④ 图象关于点对称。
其中正确的命题是 .A、0B、1C、2D、312.在四边形ABCD中，，，则四边形ABCD的面积为( )A. B. C.2 D.1查字典数学网小编为大家整理了14高一数学必修同步训练题，希望对大家有所帮助。
数学高一必修同步训练题统计综合评估测试
数学高一必修同步训练题统计综合评估测试
高中是重要的一年，大家一定要好好掌握高中，查字典数学网小编为大家整理了数学2021年高一必修同步训练题，希望大家喜欢。
11.某高校甲、乙、丙、丁四个专业区分有150、150、400、300名先生.为了解先生的失业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名先生停止调查，应在丙专业抽取的先生人数为________.
解析抽样比为40150+150+400+300=4100，
因此从丙专业应抽取4100400=16(人).
答案 16
12.从某地域15 000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的状况如下表所示.
性他人数生活能否自理男女
能178278
不能2321
那么该地域生活不能自理的老人中男性比女性约多
________人.
解析由表知500人中生活不能自理的男性比女性多2人，所以该地域15 000位老人生活不能自理的男性比女性多215 000500=60(人).
答案 60
13.某企业有3个分厂消费同一种电子产品，第一、二、三分厂的产量之比为1∶2∶1，用分层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从3个分厂消费的电子产品中共取100件作运用寿命的测试，由所得的测试结果算得从第一、
在高中温习阶段，大家一定要多练习题，掌握考题的规律，掌握常考的知识，这样有助于提矮小家的分数。
查字典数学网为大家整理了数学2021年高一必修同步训练题，供大家参考。
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2019年数学高一必修同步训练题高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，查字典数学网小编为大家整理了2019年数学高一必修同步训练题，希望大家喜欢。
1.不等式2x2﹣x﹣10的解集是( )
A. B.(1，+)
C.(﹣，1)(2，+)
D. (1，+)
2.在△ABC中，BC=2，B= ，当△ABC的面积等于时，AB= ( )
A. B. C.1 D.
3.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则△ABC 是( )
A. 钝角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 等边三角形
4.在△ABC中，，则( )
A. B. C. D.
5.数列中，，则等于()
A. B. C.1 D.
6.已知数列中，，，则的值为
A.50
B.51
C.52
D.53
7.在等比数列中，，则= ( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足, ，则的前10项和等于()
A. B. C. D.
9.已知，，那么( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的首项为，公差为，且方程的解为1和，则数列的前n项和为()
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
A. B. C. D.
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
在高中复习阶段，大家一定要多练习题，掌握考题的规律，掌握常考的知识，这样有助于提高大家的分数。
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