2017-2018版高中数学第三章不等式2.1一元二次不等式的解法学案北师大版必修5

2．1 一元二次不等式的解法

学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图像法解一元二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想．

知识点一一元二次不等式的概念

思考我们知道，方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么你能写出不等式x2>1的解集吗？

梳理(1)形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的不等式(其中a≠0)，叫作一元二次不等式．

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的解．

(3)一元二次不等式所有解组成的集，叫作一元二次不等式的解集．

知识点二“三个二次”的关系

思考分析二次函数y＝x2－1与一元二次方程x2－1＝0和一元二次不等式x2－1>0之间的关系．

梳理一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系，如下表．Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图像

ax2＋bx＋c＝0

(a>0)的根

没有实数根

ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x≠－

b

2a

}R

ax2＋bx＋c<0

(a>0)的解集

∅

知识点三一元二次不等式的解法

思考根据上表，尝试解不等式x2＋2>3x.

梳理解一元二次方程的步骤

解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；

(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；

(3)由图像得出不等式的解集．

类型一一元二次不等式的解法

命题角度1 二次项系数大于0

例1 求不等式4x2－4x＋1>0的解集．

反思与感悟当所给不等式是非一般形式的不等式时，应先化为一般形式，在具体求解一个一般形式的一元二次不等式的过程中，要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图像．

跟踪训练1 求不等式2x2－3x－2≥0的解集．

命题角度2 二次项系数小于0

例2 解不等式－x2＋2x－3>0.

反思与感悟将－x2＋2x－3>0转化为x2－2x＋3<0的过程注意符号的变化，这是解本题关键之处．

跟踪训练2 求不等式－3x2＋6x>2的解集．

命题角度3 含参数的二次不等式

例3 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.

反思与感悟解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确定因素时再讨论．

跟踪训练3 解关于x的不等式(x－a)(x－a2)＜0.

类型二“三个二次”间对应关系的应用

例4 已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集．

反思与感悟给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数．

跟踪训练4 已知不等式ax2－bx＋2<0的解集为{x|1

1．不等式2x2－x－1>0的解集是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪

⎫x ⎪⎪⎪

－1

2

＜x ＜1 B ．{x |x ＞1}

C ．{x |x ＜1或x ＞2}

D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭

⎬

⎫x ＜－1

2或x ＞1

2．不等式－6x 2

－x ＋2≤0的解集是( )

A.⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭⎬

⎫

－23≤x ≤12

B.⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭⎬

⎫

x ≤－23或x ≥12

C.⎩⎨⎧

x ⎪

⎪⎪⎭⎬

⎫

x ≥12

D.⎩⎨⎧

x ⎪

⎪⎪⎭⎬

⎫

x ≤－32

3．若不等式ax 2

＋8ax ＋21<0的解集是{x |－7

4．不等式x 2

＋x －2<0的解集为_________________________________________________． 5．若不等式(a －2)x 2

＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．

1．解一元二次不等式的常见方法

(1)图像法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤

①化不等式为标准形式：ax 2

＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2

＋bx ＋c <0(a >0)；

②求方程ax 2

＋bx ＋c ＝0(a >0)的根，并画出对应函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 图像的简图； ③由图像得出不等式的解集．

(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m 0，则可得x >n 或x

在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑：

(1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a >0，a <0，a ＝0.

(2)关于不等式对应的方程根的讨论：两根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0)． (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x 1>x 2，x 1＝x 2，x 1