无锡市梁溪区2015-2016学年八年级下期末数学试卷(word版含答案)

江苏省无锡市梁溪区2015-2016学年八年级（下）期末数学试卷(解析版)一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．扩大4倍3．下列各式中，从左到右变形正确的是（）A．=B．=a+bC．=﹣D．=4．下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上B．任意数的绝对值都是正数C．两直线被第三条直线所截，内错角相等D．13人中至少有2人的生日在同一个月5．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为（）A．﹣=3 B．﹣=3C．﹣=3 D．﹣=36．下列命题中，真命题是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质7．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y18．若代数式+的值为2，则a的取值范围是（）A．a≥4 B．a≤2 C．2≤a≤4 D．a=2或a=49．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC⊥BD且AC=BD D．不确定10．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空题如果分式有意义，那么x的取值范围是．12．当x=时，分式的值为零．13．请写出2的一个同类二次根式．14．反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是．15．在▱ABCD中，AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD=cm．16．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO=3，则菱形ABCD的周长是．17．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为．18．四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=AD=4，BC=7．以四边形的一个顶点为顶点画一个腰长为3的等腰三角形，并使得三角形的另两个顶点都在四边形的边上．如果要求画出的三角形形状大小各不相同，则最多可以画出个这样的等腰三角形．三、解答题（本大题共64分）19．（16分）计算：（1）×+（﹣1）2；（2）；（3）解方程：=+2；（4）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=．20．（6分）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标；（2）若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B″的坐标；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．21．（6分）某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补全频数分布直方图（图1）；（2）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为1小时的学生人数．22．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．23．（6分）已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）分别求出这两个函数的关系式；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣ax﹣b＞0的解集；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．24．（8分）小王乘坐公交车从A地前往B地，返程时改为乘坐出租车．已知出租车的平均时速是公交车平均时速的2倍还多9km，返程时所花的时间是去程时所花时间的．求公交车的平均时速．25．（8分）已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．26．（8分）在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．（1）第一小组的同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图2），请求出∠B′GC的度数．（2）第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA=BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH 为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．2015-2016学年江苏省无锡市梁溪区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，也是中心对称图形；C、是轴对称图形，不是中心对称图形；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故选B．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．扩大2倍B．不变C．缩小2倍D．扩大4倍【考点】分式的基本性质．【分析】可将式中的x，y都用2x，2y来表示，再将后来的式子与原式对比，即可得出答案．【解答】解：==，因此分式的值不变．故选：B．【点评】此题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．3．下列各式中，从左到右变形正确的是（）A．=B．=a+bC．=﹣D．=【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、当a≠b时，原式不成立，故本选项错误；B、当=a+b，原式不成立，故本选项错误；C、原式成立，故本选项正确；D、=，故本选项不正确．故选C．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，关键是熟练掌握分式的基本性质．4．下列事件中，属于必然事件的是（）A．抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上B．任意数的绝对值都是正数C．两直线被第三条直线所截，内错角相等D．13人中至少有2人的生日在同一个月【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：抛掷1个均匀的骰子，出现4点向上是随机事件，A错误；任意数的绝对值都是正数是随机事件，B错误；两直线被第三条直线所截，内错角相等是随机事件，C错误；13人中至少有2人的生日在同一个月是必然事件，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180元．出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费．若小组原有x人，则所列方程为（）A．﹣=3 B．﹣=3C．﹣=3 D．﹣=3【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设小组原有x人，根据题意可得，出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，列方程即可．【解答】解：设小组原有x人，可得：，故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．6．下列命题中，真命题是（）A．四边相等的四边形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质【考点】命题与定理；菱形的性质；正方形的性质；正方形的判定．【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．【解答】解：A、可判断为菱形，故本选项错误，B、对角线相等的菱形是正方形，故本选项正确，C、正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，故本选项错误，D、菱形的对角线不一定相等，故本选项错误，故选B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．若M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y2＞y3＞y1B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】将M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点分别代入函数（k＞0），求得y1、y2、y3的值，然后再来比较它们的大小．【解答】解：∵M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都在函数（k＞0）的图象上，∴M（，y1）、N（，y2）、P（，y3）三点都满足函数关系式（k ＞0），∴y1=﹣2k，y2=﹣4k，y3=2k；∵k＞0，∴﹣4k＜﹣2k＜2k，即y3＞y1＞y2．故选C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点都满足该反比例函数的解析式．8．若代数式+的值为2，则a的取值范围是（）A．a≥4 B．a≤2 C．2≤a≤4 D．a=2或a=4【考点】二次根式的性质与化简．【分析】若代数式+的值为2，即（2﹣a）与（a﹣4）同为非正数．【解答】解：依题意，得|2﹣a|+|a﹣4|=a﹣2+4﹣a=2，由结果可知（2﹣a）≤0，且（a﹣4）≤0，解得2≤a≤4．故选C．【点评】本题考查了根据二次根式的意义与化简．二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．9．如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点．若四边形EFGH为菱形，则对角线AC、BD应满足条件是（）A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC⊥BD且AC=BD D．不确定【考点】中点四边形．【分析】满足的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．【解答】解：满足的条件应为：AC=BD．理由如下：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC 且EF=AC，同理可得EH=BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．故选B【点评】此题考查学生灵活运用三角形的中位线定理，平行四边形的判断及菱形的判断进行证明，是一道综合题．10．如图，▱ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S1=2、S2=12、S3=3，则S4的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平行四边形的性质．【分析】影阴部分S2是三角形CDF与三角形CBE的公共部分，而S1，S4，S3这三块是平行四边形中没有被三角形CDF与三角形CBE盖住的部分，故△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2=平行四边形ABCD的面积，而△CDF与△CBE的面积都是平行四边形ABCD面积的一半，据此求得S4的值．【解答】解：设平行四边形的面积为S，则S△CBE=S△CDF=S，由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2=平行四边形ABCD的面积∴S=S△CBE +S△CDF+2+S4+3﹣12，即S=S+S+2+S4+3﹣12，解得S4=7，故选（D）．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，解决问题的关键是明确各部分图形面积的和差关系：平行四边形ABCD的面积=△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2．二、填空题（2011•玉溪）如果分式有意义，那么x的取值范围是x≠﹣1．【考点】分式有意义的条件．【分析】若分式有意义，则分母x+1≠0，通过解关于x的不等式求得x的取值范围即可．【解答】解：根据题意，得分母x+1≠0，即x≠﹣1．故答案是：x≠﹣1．【点评】从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．12．当x=﹣3时，分式的值为零．【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为零时：分子等于零，但是分母不等于零．【解答】解：依题意得：x+3=0且x﹣3≠0，解得x=﹣3．故答案是：﹣3．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．13．请写出2的一个同类二次根式（不唯一）．【考点】同类二次根式．【分析】直接利用同类二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：2的一个同类二次根式可以是：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了同类二次根式，正确把握定义是解题关键．14．反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是m＞1．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据反比例函数所在的象限列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，∴m﹣1＞0，解得m＞1．故答案为：m＞1．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限．15．在▱ABCD中，AB：BC=4：3，周长为28cm，则AD=6cm．【考点】平行四边形的性质．【分析】利用平行四边形的性质对边相等，进而得出AB+BC=14cm，求出AD的长即可．【解答】解：∵▱ABCD中，AB：BC=4：3，周长是28cm，∴设AB=4x，则BC=3x，AB+BC=14cm，∴7x=14，解得x=2，故BC=AD=6cm．故答案为6．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，利用未知数表示出AB，BC的长是解题关键．16．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO=3，则菱形ABCD的周长是24．【考点】菱形的性质．【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，再根据直角三角形的性质可得AB=2OP，进而得到AB长，然后可算出菱形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD，∵点P是AB的中点，∴AB=2OP，∵PO=3，∴AB=6，∴菱形ABCD的周长是：4×6=24，故答案为：24【点评】此题主要考查了菱形的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，四边相等．17．如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别于AB、BC交于点D、E，若四边形ODBE的面积为9，则k的值为3．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值．=，S△OAD=【解答】解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE ，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，=4S□ONMG=4|k|，∴S矩形ABCO由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，解得：k=3．故答案是：3．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．18．四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=AD=4，BC=7．以四边形的一个顶点为顶点画一个腰长为3的等腰三角形，并使得三角形的另两个顶点都在四边形的边上．如果要求画出的三角形形状大小各不相同，则最多可以画出4个这样的等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定．【分析】由题意可知：因为∠A、∠B是直角，∠C是钝角，确定以A、B、D为等腰三角形的一个顶点是固定的；再次探讨以C为等腰三角形的一个顶点的个数确定答案即可．【解答】解：∵∠A、∠B是直角，∠C是钝角，确定以A、B、D为等腰三角形的一个顶点是固定的；∴以∠A、∠B为顶角是等腰直角三角形算作一个，以∠C为顶角的等腰三角形一个；∵∠C是锐角，∴以∠C为顶角的等腰三角形一个，以BC、CD上的点作为顶角的顶点的两个等腰三角形相同算作一个．综上所知：则剪下的等腰三角形的底边的长度的值有4种可能．故答案为：4．【点评】此题考查的是等腰三角形的判定和图形的剪拼，掌握等腰三角形的判定定理和性质定理与分类讨论是解决问题的关键．三、解答题（本大题共64分）19．（16分）（2016春•无锡期末）计算：（1）×+（﹣1）2；（2）；（3）解方程：=+2；（4）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=．【考点】二次根式的混合运算；分式的化简求值；解分式方程．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再进行计算即可；（2）先分母、分子因式分解，再通分，计算即可；（3）先去分母，再解方程即可；（4）先化简，再把a的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式=8+3﹣2=11﹣2；（2）原式=﹣===；（3）去分母得，2x+9=12x﹣21+6x﹣18整理得，x=3经检验，x=3是原方程的增根，∴原方程无解；（4）原式=•=∴当x=时，值为﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，以及分式的化简取值、解分式方程，掌握把二次根式化为最简二次根式和解分式方程要验根是解题的关键．20．如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）．（1）请画出△ABC关于坐标原点O的中心对称图形△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标（2，﹣3）；（2）若将点B绕坐标原点O逆时针旋转90°，请直接写出点B的对应点B″的坐标（0，﹣6）；（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．【考点】作图-旋转变换；中心对称图形．【分析】（1）利用关于原点对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点坐标即可；（3）利用平行四边形的性质得出对应点位置即可．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求，A′（2，﹣3）；故答案为：（2，3）；（2）B″（0，﹣6）；故答案为：（0，﹣6）；（3）第四个顶点D的坐标为（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．故答案为：（3，3）或（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）．【点评】此题主要考查了旋转变换以及中对称图形的性质，得出对应点位置是解题关键．21．某中学为了解学生每天参加户外活动的情况，对部分学生每天参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补全频数分布直方图（图1）；（2）若该中学共有1000名学生，请估计该校每天参加户外活动的时间为1小时的学生人数．【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据时间是0.5小时的有10人，占20%，据此即可求得总人数，利用总人数乘以百分比即可求得时间是1.5小时的一组的人数，即可作出直方图；（2）先求出1小时的学生人数所占的百分比，再乘以总人数即可．【解答】解：（1）根据题意得：10÷20%=50（人），1.5小时的人数是：50×24%=12（人），如图：（2）根据题意得：1000×=400（人），答：该校每天参加户外活动的时间为1小时的学生人数是400人．【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．【分析】已知四边形ABDE是平行四边形，只需证得它的一个内角是直角即可；在等腰△ABC中，AD是底边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质即可证得∠ADC是直角，由此得证．【解答】证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB=DE，AE=BD．∵D为BC中点，∴CD=BD．∴CD∥AE，CD=AE．∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，∴平行四边形ADCE是矩形．【点评】此题主要考查了等腰三角形三线合一的性质以及矩形的判定方法．23．已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．（1）分别求出这两个函数的关系式；（2）观察图象，直接写出关于x的不等式﹣ax﹣b＞0的解集；（3）如果点C与点A关于x轴对称，求△ABC的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）根据待定系数法先求出k、点B坐标，再利用方程组求出一次函数y2即可．（2）利用图象，反比例函数图象在一次函数图象上方，由此写出不等式的解集．（3）先求出点C坐标，再根据三角形面积公式即可解决问题．【解答】解：（1）∵y1=的图象经过点A（1，4）和点B（m，﹣2）．∴k=4，m=﹣2，∵一次函数y2=ax+b的图象经过A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），∴解得∴y1=，y2=2x+2，（2）由图象可知关于x的不等式﹣ax﹣b＞0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1；（3）∵点C与点A关于x轴对称，A（1，4），∴点C坐标（1，﹣4），=×3×8=12．∴S△ABC【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．24．小王乘坐公交车从A地前往B地，返程时改为乘坐出租车．已知出租车的平均时速是公交车平均时速的2倍还多9km，返程时所花的时间是去程时所花时间的．求公交车的平均时速．【考点】分式方程的应用．【分析】设公交车的平均时速为x km/h，A、B两地的距离为S km，即可根据返程时所花的时间是去程时所花时间的，根据时间的关系列方程求解；或设公交车的平均时速为x km/h，去程时所花时间为t h，根据往返的路程相等列方程求解．【解答】解：设公交车的平均时速为x km/h，A、B两地的距离为S km，由题意得：=×解得x=27经检验x=27是原方程的解，且符合题意．答：公交车的平均时速为27 km/h．解法2：设公交车的平均时速为x km/h，去程时所花时间为t h，由题意得：xt=（2x+9）×t解得x=27答：公交车的平均时速为27 km/h．【点评】本题考查了列方程解应用题，正确设出未知数，确定相等关系是关键．25．已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC=CD，E为CD的中点．（1）如图（1）当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；（2）如图（2）当点M在线段EC上时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由．【考点】直角梯形；等腰直角三角形；平行四边形的判定；矩形的判定；正方形【分析】（1）NE=MB且NE⊥MB，可以利用测量的方法得到结论；（2）首先证明四边形ABCE为正方形，进而可以证得△NAE≌△MAB，根据全等三角形的对应边相等，即可证得：NE=MB；延长NE、BM交于点F．证明∴∠EFB=∠C=90°即可证得：NE⊥MB．【解答】解：（1）NE=MB且NE⊥MB．（2）成立．理由：连接AE．∵E为CD中点，AB=BC=CD，∴AB=EC．又AB∥CD，即AB∥CE．∴四边形ABCE为平行四边形．∵∠C=90°，∴四边形ABCE为矩形．又AB=BC，∴四边形ABCE为正方形．∴AE=AB．∵等腰直角三角形AMN中，∴AN=AM，∠NAM=90°．∴∠1+∠2=90°．又∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．∴△NAE≌△MAB．延长NE、BM交于点F．由△NAE≌△MAB可得，∠AEN=∠ABM．∴∠4=∠6．∵∠5=∠6，∴∠4=∠5．又∠EMF=∠BMC，∴∠EFB=∠C=90°．∴BM⊥NE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定与性质，正确证得四边形ABCE为平行四边形是关键．26．在一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动．（1）第一小组的同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图1）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图2），请求出∠B′GC的度数．（2）第二小组的同学，在一个矩形纸片上按照图3的方式剪下△ABC，其中BA=BC，将△ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了△CDE、△EFG和△GHI，如图4．已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH 为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得到△BB'C为等边三角形，得到答案；（2）分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，根据勾股定理的逆定理证明新三角形为直角三角形，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图2，连接BB'，由题意得EF垂直平分BC，故BB'=B'C，由翻折可得，B'C=BC，∴△BB'C为等边三角形，∴∠B'CB=60°，∴∠B'CG=30°，∴∠B'GC=60°；（2）如图4，分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，∵△ABC中，BA=BC，根据平移变换的性质，△CDE、△EFG和△GHI都是等腰三角形，∴DP⊥CE，FQ⊥EG，HR⊥GI．在Rt△AHR中，AH=AI=4a，AH2=HR2+AR2，HR2=a2，则DP2=FQ2=HR2=a2，AD2=AP2+DP2=6a2，AF2=AQ2+FQ2=10a2，新三角形三边长为4a、a、a．∵AH2=AD2+AF2，∴新三角形为直角三角形，其面积为a×a=a2．∵a2＜15，∴a2＜15，∴a的最大整数值为3．【点评】本题考查的是折叠的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的逆定理的应用，掌握矩形的性质、等腰三角形的三线合一是解题的关键．。