南京航空航天大学《高等数学》8.3全微分及其应用
《高等数学B》第八章 多元函数微分学 第三节 全微分及其应用
∆ z = A∆ x + B∆ y + o( ρ ) 总成立 ,
上式仍成立， 当 ∆ y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ = | ∆ x | ,
f ( x + ∆ x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆ x + o(| ∆ x |) ,
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
y yz 例2 计算函数 u = x + sin + e 的全微分 . 2
y ∂u 1 ∂u ∂u yz yz 解 = ye , =1, = cos + ze , ∂y 2 2 ∂z ∂x
所求全微分
1 y yz yz du = dx + ( cos + ze )dy + ye dz . 2 2
例4 试证函数
1 , ( x , y ) ≠ ( 0 , 0) , xy sin 2 2 x +y f ( x , y) = 0, ( x , y ) = ( 0 , 0) .
在点 (0 , 0) 连续且偏导数存在，但偏导数在点 (0 , 0) , 0) 可微 . 不连续， (证明略) 证明略)
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
例1 计算函数 z = e x y在点 ( 2 , 1) 处的全微分 . 解
∂z = ye xy , ∂x
∂z = e2 , ∂x ( 2 , 1 )
∂z = xe xy , ∂y
∂z = 2e 2 , ∂y ( 2 , 1 )
∆ z ≈ dz = f x ( x , y )∆ x + f y ( x , y )∆ y .
大学高等数学教材目录
大学高等数学教材目录1. 导言2. 函数与极限2.1 实数与数轴2.2 函数的概念2.3 函数的极限2.4 极限的性质2.5 极限的计算2.6 无穷小量与无穷大量2.7 极限存在准则3. 导数与微分3.1 导数的定义3.2 微分的定义3.3 高阶导数及其应用3.4 隐函数与参数方程的导数3.5 微分中值定理3.6 泰勒公式与高阶导数的应用4. 微分中值定理与导数的应用4.1 罗尔中值定理4.2 拉格朗日中值定理4.3 柯西中值定理4.4 极值与最值4.5 函数的单调性与曲线的凹凸性4.6 曲线的渐近线与图形的描绘5. 不定积分5.1 基本积分公式5.2 不定积分的计算方法5.3 定积分的概念5.4 反常积分5.5 积分中值定理与平均值定理6. 定积分6.1 可积性及其判定6.2 定积分的计算方法6.3 定积分的应用7. 微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 一阶微分方程7.3 高阶微分方程7.4 微分方程的解法7.5 应用问题8. 多元函数微积分8.1 二元函数的概念8.2 二元函数的极限8.3 偏导数与全微分8.4 多元函数的极值与条件极值 8.5 多元函数积分8.6 可变上限积分与重积分9. 无穷级数9.1 数项级数的概念与性质9.2 收敛级数的判定方法9.3 幂级数及其收敛域9.4 函数展开成幂级数9.5 泰勒级数与麦克劳林级数10. 向量代数与空间解析几何 10.1 基本概念10.2 向量的运算10.3 空间曲线与曲面10.4 向量值函数及其导数10.5 多元函数积分10.6 曲线积分10.7 曲面积分10.8 可变上限积分与重积分。
高等数学8-3全微分讲解
dz z dx z dy . x y
二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理.
叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如uf(x, y, z)的全 微分为
du
u x
dx
u y
dy
u z
dz
.
设
zf(x,
y),
则
dz
z x
dx
如果函数zfxy的偏导数xz??yz??在点xy连续?叠加原理按着习惯xy分别记作dxdy并分别称为自变量的微分这样函数zfxy的全微分可写作二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理
§8.3 全微分及其应用
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
偏增量与偏微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有
f(xx, y)f(x, y)fx(x, y)x, f(x, yy)f(x, y)fy(x, y)y, f(xx, y)f(x, y) ——函数f(x, y)对x的偏增量
f(x, yy)f(x, y) ——函数f(x, y)对y的偏增量
zdzfx(x, y)xfy(x, y)y, f(xx, yy)f(x, y)fx(x, y)xfy(x, y)y.
例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm增大
到20. 05cm, 高度由100cu减少到99cm. 求此圆柱体体积变化
的近似值.
解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,
x2 y1
e2
,
z y
x2 y1
2e2
,
dze2dx2e2dy.
§8.3 全微分及其应用
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， Ax By 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
令 y 0, 得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
Ax o ( x )
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注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点 可微.
7
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ห้องสมุดไป่ตู้ 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 du u x u y u z x y z
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
d(1z)函d数f 可 微Ax By 偏导数存在 (2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
3
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定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证 因函数在点(x, y) 可微, 故
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高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
《高等数学》 课程教学大纲
二、课程基本内容和要求
1． 函数、极限、连续
教学内容
(1) 函数概念、性质、基本初等函数图象的性质，复合函数，初等函数，建立函数关系举例。
(2) 函数极限的概念，极限的四则运算，两个重要极限，无穷小量与无穷大量概念及性质，无穷小的比较
(3) 函数的连续性，初等函数的连续性，间断点，闭区间上连续函数的性质
制定人：朱铭扬
审核人：高 枫
（2）偏导数概念，多元复合函数与隐函数的微分法
（3）全微分及其应用
（4）多元函数的极值和最值
教学要求
(1) 理解多元函数的基本概念，其定义域及图象特点，知道二元函数的极限、连续性等概念，知道有界闭区域上连续函数的性质。
(2) 理解偏导数，熟练地计算函数的一阶偏导数，熟练掌握复合函数的求导法则，会求隐函数的偏导数。
《高等数学》 课程教学大纲
总学时:128 学分：8
一、课程性质、任务和目的
高等数学是大学专科工学和理学专业一门必修的重要公共基础课，通过本课程的学习着重使学生理解极限的思想方法，掌握微积分学、级数、微分方程等内容，并通过各教学内容的有机结合，培养学生的逻辑思维能力和比较熟练的运算能力，为学生学习后继课程和解决实际问题提供必不可少的数学基础知识及常用数学方法。
（2）直角坐标系与极坐标系下二重积分的计算
（3）二重积分在几何上的应用：曲顶柱体体积计算
教学要求
(1) 理解二重积分概念及几何意义，知道其性质
(2) 掌握直角坐标系下二重积分的计算，会利用极坐标系计算二重积分。
(3) 会利用二重积分计算一些简单曲顶柱体的体积。
重点与难点：二重积分（包括概念、计算与应用）；化重积分为累次积分；元素法
人大微积分课件8-3全微分
全微分的几何解释
局部线性逼近
全微分提供了函数在某点处的局 部线性逼近，即在该点附近，函 数值可以用切平面上的值来近似。
误差估计
全微分可以用来估计函数值与切平 面值之间的误差，即 $|f(x, y) [f(x_0, y_0) + A(x - x_0) + B(y y_0)]| leq Msqrt{(x - x_0)^2 + (y y_0)^2}$，其中 $M$ 为某常数。
应用于微分方程
全微分是微分方程的基础，通过求解微分方程可以研究各种自然现象 和社会现象的变化规律，如物理、化学、经济等领域的问题。
对全微分的进一步理解和探讨
与偏微分的联系与区 别
全微分与偏微分都是研究函数变 化率的工具，但偏微分仅研究函 数沿坐标轴方向的变化率，而全 微分则研究函数在任意方向的变 化率。
提高解决实际问题的能力
学习微积分的最终目的是为了解决实际问题。在未来的学习中，需要注重提高解决实际问题的能力，通 过大量的练习和实践来掌握微积分的应用技巧和方法，培养自己的数学素养和创新能力。
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微分与增量的关系
全微分 $df$ 是函数增量 $Delta f$ 的线性主部，当 $Delta x, Delta y to 0$ 时，$Delta f approx df$。
近似计算与误差估计
利用全微分进行近似计算
当函数在某点的偏导数已知时，可以通过全微分公式近似计算函数在该点附近的值。
误差估计
在实际问题中，由于测量或计算误差的存在，我们需要对结果进行误差估计。全微分可以用来估计误差的传播和 影响。
03 全微分的几何意义
切平面与切线
《高等数学(下册)》教案 第14课 偏导数、全微分及其应用
主要教学内容及步骤
设计意图
第一节课
考勤 （2 min）
【教师】清点上课人数，记录好考勤 【学生】班干部报请假人员及原因
培养学生的组 织纪律性，掌握学 生的出勤情况
知识讲解 （33 min）
【教师】讲解偏导数的概念
定义 1 设函数 z f (x ，y) 在点 (x0 ，y0 ) 的某一邻域内有定 义，当 y 固定在 y0 ，而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应地，函 数有增量 f (x0 x ，y0 ) f (x0 ，y0 ) ．如果
教学难点：偏导数的计算方法，高阶偏导数的求法，函数可微分的条件
讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
第 1 节课：考勤（2 min）→知识讲解（33 min）→课堂测验（10 min）
第 2 节课：知识讲解（30 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）
（5）掌握函数可微分的条件
（6）了解利用全微分进行近似计算的方法
思政育人目标：
通过学习偏导数的相关知识、全微分及其应用，引导学生养成独立思考和深度 思 考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力 ；树立学生实事 求是、一丝不苟的科学精神
教学重点：偏导数、高阶偏导数和全微分的概念，偏导数的几何意义和连续性
第二节课
【教师】讲解全微分的概念
定义 1 如果函数 z f (x ，y) 在点 (x ，y) 的全增量
知识讲解 （30 min）
可表示为
z f (x x ，y y) f (x ，y)
z Ax By o() ，
其 中 ， A，B 仅 与 x ，y 有 关 而 与 x ，y 无 关 ， (x)2 (y)2 ，则称函数 z f (x ，y) 在点 (x ，y) 可微 分， Ax By 称为函数 z f (x ，y) 在点 (x ，y) 的全微分， 记作 dz ，即
高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用
§8.3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数xz ∂∂、y z ∂∂必定存在,且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A xy x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B yz =∂∂. 所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00, 从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=.二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy x z 2=∂∂, y x yz 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe yz =∂∂, 212e x zy x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==,所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yz e y x u ++=2sin的全微分. 解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye zu =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为 ||||||T Tg l l gdg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l T g l gδδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322T l TlT δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差 ||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z y z x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为y x z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.。
全微分的定义
= [ f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y + Δy )]
+ [ f ( x , y + Δy ) f ( x , y )],
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 10
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x + Δx , y + Δy ) f ( x , y + Δy )
xy 2 x + y2 f ( x, y) = 0
微分存在． 全微分存在．
x2 + y2 ≠ 0 . x2 + y2 = 0
在点(0,0)处有
f x (0,0) = f y (0,0) = 0
2007年8月 8
南京航空航天大学 理学院 数学系
Δx Δy , Δz [ f x (0 Nhomakorabea0) Δx + f y (0,0) Δy ]= 2 2 ( Δx ) + ( Δy )
定理 1（必要条件） 如果函数 z = f ( x , y ) 在点
z ( x , y ) 可微分，则该函数在点 ( x , y ) 的偏导数 、 x z 必存在，且函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 y
z z dz = Δx + Δy ． y x
为
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
6
证 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分,
P ′( x + Δx , y + Δy ) ∈ P 的某个邻域
Δ z = A Δ x + B Δ y + o( ρ )
8.3全微分
《高等数学》第十次网络课导学
学习内容：全微分
重点内容：多元函数全微分的概念与定义；二元函数可微与连续的关系；二元函数可微与偏导数存在的关系；全微分的求解
课程要求：理解二元函数全微分的定义；掌握二元函数可微与连续、可微与偏导数存在的关系；掌握二元函数全微分的求法
学习步骤：签到——阅读《高等数学》教材8.3全微分——观看视频
3.3.3全微分——完成测验——讨论问题——完成课后作业，共6个步骤
课后作业：
1.求下列函数的全微分
（1）()y x e z y x +=+sin
（2）()22ln y x z +=
2.讨论二元函数可微与可导的关系。
8-3 全微分及其应用
的任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x , y y ) f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量 x , y 的全 增量，记为 z ， 即 z f ( x x, y y ) f ( x, y )
河海大学理学院《高等数学》
全微分的定义 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z Ax By o()，其中 A, B 不依赖于x, y 而仅与 x , y 有关， (x )2 (y )2 ，则称 函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分， Ax By 称为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分， 记为 dz，即 dz = Ax By .
河海大学理学院《高等数学》
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称 这函数在 D 内可微分. 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分, 则 函数在该点连续. 事实上 z Ax By o(), lim z 0, 0 lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
f ( x, y) 故函数z f ( x , y ) 在点( x , y )处连续.
x 0 y 0Βιβλιοθήκη 0河海大学理学院《高等数学》
二、可微的条件 定理1（必要条件） 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )可微分，则 z z 该函数在点( x , y )的偏导数 、 必存在，且 x y 函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分为 z z dz x y x y 推论 若函数z= f (x, y)在点(x, y)处的偏导数不 存在, 则z= f (x, y)在点(x, y)处必不可微.
全微分及其运用范文
全微分及其运用范文全微分是微积分中一个重要的概念，它是描述多元函数在其中一点附近发生微小变化时的变化量的近似值。
全微分在物理学、经济学、工程学等领域具有重要的应用价值，能够帮助我们更好地理解和描述自然界的现象。
全微分的定义为：对于具有连续偏导数的函数f(x, y)，在点（x0, y0）处，可以将函数的增量df表示为f(x0+dx, y0+dy)与f(x0, y0)之间的线性近似，即：df = ∂f/∂x·dx + ∂f/∂y·dy其中，∂f/∂x表示函数f对变量x的偏导数，∂f/∂y表示函数f对变量y的偏导数。
dx和dy分别表示自变量x和y的微小变化量。
全微分的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用示例。
1.边际效应在经济学中，边际效应是指其中一因素增加或减少一单位时所引起的变化。
全微分可以用来描述经济学中的边际效应。
对于一种商品的需求函数，可以通过计算其价格和需求量之间的关系来求得边际效应，即：边际效应=∂Q/∂P·dP其中，∂Q/∂P表示需求函数对价格的偏导数，dP表示价格的微小变化量。
2.物理学中的位移、速度和加速度在物理学中，我们可以用全微分来描述物体的位移、速度和加速度之间的关系。
考虑一个物体在直线上做匀速直线运动，它的速度恒定为v，物体在时间t1到t2之间的位移可以用全微分表示为：ds = v·dt其中，ds表示物体在t1到t2之间的位移，dt表示时间的微小变化量，v表示物体的速度。
3.工程学中的误差和灵敏度分析在工程学中，全微分可以用来分析系统中的误差和灵敏度。
考虑一个工程系统，它的输入变量为x1, x2, ..., xn，输出变量为y。
全微分可以用来计算输入变量的微小变化量对输出变量的影响，即：dy = ∂y/∂x1dx1 + ∂y/∂x2dx2 + ... + ∂y/∂xndx其中，∂y/∂xi表示输出变量y对输入变量xi的偏导数，dxi表示输入变量xi的微小变化量。
南京航空航天大学高等工程应用数学整理资料
- 1 -例1.1.1212110,2,0,1(1,2,)k k A A k k k -⎡⎫⎡⎫=-=+=⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭，易得[)lim 0,2n n A →∞=，[]lim 0,1n n A →∞=。
因为[][)lim0,1lim 0,2n n n n A A →∞→∞=≠=，{}1n n A ∞=不收敛。
定理1.2.1 设映射 1:f X Y →，2:f Y Z →，3:f Z W →，则有（1）123123)()(f f f f f f ⋅⋅=⋅⋅ ；（2）111f I f f I A B =⋅=⋅。
证明 显然，)(123f f f ⋅⋅与123)(f f f ⋅⋅都是X 到W 的映射。
对任意x X ∈，有))](([)])([())](([123123123x f f f x f f f x f f f =⋅=⋅⋅))](([))()(()]()[(123123123x f f f x f f f x f f f =⋅=⋅⋅因此，123123)()(f f f f f f ⋅⋅=⋅⋅。
定理1.2.2 设映射:f X Y →是可逆的，则f 的逆映射1-f 是唯一的。
证明 设映射:g Y X →和:h Y X →均为f 的逆映射，则Y f g I ⋅=，X h f I ⋅= 。
于是由定理1.2.1，有()()Y X h h I h f g h f g I g g =⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=定理1.2.3 映射:f X Y →是可逆映射的充分必要条件为f 是X 到Y 的双映射。
证明1、必要性.设:f X Y →是可逆映射，则存在映射1:f Y X -→。
对任意12,x x X ∈，如果12()()f x f x =，则有1112()()()()f f x f f x --⋅=⋅从而12x x = 。
因此f是X 到Y 的单映射。
对任意y Y ∈，若1()f y x X -=∈，则11()(())()()f x f f y f f y y --==⋅=。
南京航空航天大学《高等数学》2.8微分在近似计算中的应用
计算函数增量的近似值 计算函数的近似值 误差估计
一、计算函数增量的近似值
若y = f ( x )在点x 0处的导数 f ′( x 0 ) ≠ 0, 且 Δx 很小时 ,
Δy
x = x0
≈ dy
x = x0
= f ′( x 0 ) ⋅ Δ x .
例1 半径 10厘米的金属圆片加热后 , 半径伸长了 0.05厘米 ,问面积增大了多少 ?
设A = πr 2 , r = 10厘米 , Δr = 0.05厘米 . 解
= π (厘米 2 ). ∴ ΔA ≈ d = 2πr ⋅ Δr = 2π × 10 × 0.05
二、计算函数的近似值
1.求f ( x )在点x = x0附近的近似值 ;
Δ y = f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) ≈ f ′( x 0 ) ⋅ Δ x . f ( x 0 + Δ x ) ≈ f ( x 0 ) + f ′( x 0 ) ⋅ Δ x .
问题:在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得?
办法:将误差确定在某一个范围内.
如果某个量的精度值是 A, 测得它的近似值是 a , 又知道它的误差不超过 δ A ,即 A − a ≤ δA, δA 那末δ A叫做测量 A的绝对误差限 , 而 叫做测量 a A的相对误差限 .
通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误 差与相对误差.
n n
π 3 V = D 计算球的体积时，相对误差有多大？ 6
解答
1 1、 1 + x ≈ 1 + x , ∵ n
n
∴ A +B =
n
n
A n 1+
高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用
§8.3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim 0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim 00, 从而x z ∂∂存在, 且A xz =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=.第 3 页 共 5 页二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy xz 2=∂∂, y x y z 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye xz =∂∂, xy xe y z =∂∂, 212e x z y x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==, 所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yz e y x u ++=2sin 的全微分. 解 因为1=∂∂xu , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye z u =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224Tl g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224Tl g π=的全增量的绝对值|Δg |. 1|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为||||||T Tg l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l Tg l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤|||| )21(4322T l Tl T δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. ∈ β∏⎪∑ 0, ⎤ ,X⎬πz =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差 ||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆第 5 页 共 5 页 ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z y z x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为y x z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.。
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在(0,0)可微 , 但f x ( x , y ), f y ( x , y )在点(0,0 )不连续 .
f (0 + Δx ,0 ) − f (0,0 ) = 0 = f y (0,0 ) 解 (1) f x (0,0 ) = lim Δx → 0 Δx Δy → 0
在点 p ( x 0 , y 0 )处， f x ( x 0 , y 0 ), f y ( x 0 , y 0 ) 存在
∂z ∂z dz = Δx + Δy ∂x ∂y
证明 z = f ( x , y )在点 p ( x 0 , y 0 )处可微
令Δy = 0
∴ Δ z = A( x0 , y0 )Δ x + B ( x0 , y0 )Δ y + o (ρ )
∂z ∂z Δx + Δy dz = ∂x ∂y
注1：多元函数全微分存在 ⇒ 各个偏导数存在 但是反之未必成立。
事实上,前面举例 :
⎧ x2 y x2 + y2 ≠ 0 ⎪ 4 f (x, y ) = ⎨ x + y 2 ⎪0 x2 + y2 = 0 ⎩
x→ 0 y→ 0
f x (0 , 0 ) = f y (0 , 0 ) = 0
但 lim f ( x , y )不存在 ,
f ( x , y )在 (0,0 )不连续 , 不连续一定不可微 , ∴ 偏导数存在未必可微 .
注 2 : 多元函数全微分存在 ⇒ 函数连续， 反之未必成立。
1 ⎧ 2 2 ⎪ x + y sin f ( x, y ) = ⎨ x2 + y2 ⎪ 0 ⎩
综合 : dy 是 Δ y的线性逼近
dy − − 几何上切线的纵坐标的 改变量
y N P
Δx
y =f (x) T
△y
dy Q
M
o
x + Δx
0
x0
α
Δx
x
对于 z = f ( x , y )有类似的概念 − − 全微分
~~~~~
z = f ( x , y )在点 p ( x 0 , y 0 )处全增量
全微分的概念 全微分在近似计算中的应用
一、全微分的概念
1. 问题的提出
在 ch 2§7曾讲了一元函数的微分 概念 则 dy = A( x )Δ x − −函数在 x 0点处的微分
表明 : dy是Δy的一个近似
若 Δ y = A( x )Δ x +
(Δ x )
(1)dy关于Δx是线性的 (2)误差为 Δx的高阶无穷小量
= [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 + Δ y )] + [ f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 )]
0 < θ 1 ,θ 2 < 1
分析证明思路 要证
= f x ( x 0 + θ 1 Δx , y 0 + Δy )Δx + f y ( x 0 , y 0 + θ 2 Δy )Δy
=
A( x0 , y0 )Δ x + B ( x0 , y0 )Δ y + o ( ρ )
定义2 若 f ( x , y )在 D内每点均可微则称函数 在
D内可微 .
由定义 1可推知 :
定理1 z = f ( x , y )在 P ( x 0 , y 0 )可微
⇒ z = f ( x , y )在点 p ( x 0 , y 0 )连续 .
( 2) Δz = f (0 + Δx ,0 + Δy ) − f (0,0 )
1 = 0 ⋅ Δx + 0 ⋅ Δy + ΔxΔy sin 2 Δx + Δy 2 1 = AΔx + BΔy + ΔxΔy sin 2 2 Δx + Δy 1 ΔxΔy sin Δ z − AΔ x − BΔ y Δx 2 + Δy 2 = ρ x 2 + Δy 2 Δ
3
1 1 1 cos 不存在 lim x sin 2 = 0, lim 2 y= x y= x 2 x 2x 2x x→0
y→ 0 x→ 0
lim f x ( x , y )不存在 , ∴ f x ( x , y )不连续。
x→0
偏导数连续
?
函数连续
可微
? ?
偏导数存在
同理， f y (0,0)不存在 , 故不可微 .
上面的讨论表明偏导数 存在仅是可微的必要条 件 , 而不是充分条件 , 那么还须加什么条件能 使得 z = f ( x , y )可微 ?
定理3 (充分条件)
若 z = f ( x , y )的 f x ( x , y ), f y ( x , y )在点
( x 0 , y 0 )连续
⇒ z = f ( x , y )在点 ( x 0 , y 0 )可微 .
∂z ∂z Δy + o(ρ ) Δ z = AΔ x + BΔ y + o(ρ ) = Δx + ∂y ∂x 要把 Δ z与偏导数联系上 . 证明 Δz = f ( x 0 + Δx , y 0 + Δy ) − f ( x 0 , y 0 )
( x , y ) ≠ (0,0) ( x , y ) = (0,0)
∵0 <
x→0 y→0
x + y sin
2 2
2 2
1 x2 + y2 1
x2 + y2
<
x2 + y2
∴ lim x + y sin
= 0 = f ( 0 ,0 )
Δx f ( 0 + Δ x ,0 ) − f ( 0 ,0 ) 1 ，不存在 lim sin = lim Δx → 0 Δx → 0 Δ x Δx Δx
∂z = xe xy 在任何点 P ( x , y ) ∂y
∂z ∴ ∂x
x=2 y =1
=e
2
∂z ∂y
x=2 y =1
= 2e
2
故 dz = e 2 dx + 2e 2 dy
π ⎛π ⎞ 求 z = ycos( x − 2y ) 在⎜ , π ⎟处当dx = , dy = π时的 4 ⎝4 ⎠ 全微分 , 全增量 .
能否表达
Δz = f ( x 0 + Δx , y 0 + Δy ) − f ( x 0 , y 0 ) ≈ A( x 0 , y 0 )Δ x + B ( x 0 , y 0 )Δ y Δx 2 + Δy 2
使误差 Δ z − A Δ x − B Δ y关于 ρ = 的高阶无穷小。
2定义 定义1 设 z = f ( x , y )在点 p ( x 0 , y 0 )的某个邻域
Δ z − AΔ x − BΔ y
ρ
=
1 ΔxΔy sin Δx 2 + Δy 2 Δx + Δy
2 2
1 ≤ Δx 2 + Δy 2 → 0 ( ρ → 0) 2
∴ Δz = ΔxΔy sin
1 Δx + Δy
2 2
+ o(ρ ) , ∴ 可微
(3 )
当 ( x , y ) ≠ (0 , 0 )时
事实上 ,
Δx → 0 Biblioteka y → 0lim Δz = lim [ A( x0 , y0 )Δx + B ( x0 , y0 )Δy + o(ρ )] = 0
Δx → 0 Δy → 0
即连续是可微的必要条 件
(与一元函数类似 ).
3.可微的条件
定理2 (必要条件)
若 z = f ( x , y )在点 p ( x 0 , y 0 )处可微 ⇒ 且 dz = f x ( x 0 , y 0 )Δ x + f y ( x 0 , y 0 )Δ y
则 Δz = Δ x z = f ( x0 + Δx, y0 ) − f ( x0 , y0 )
o( Δx ) ∂z Δ xz = A + lim =A = lim Δx → 0 Δ x ∂x Δx → 0 Δ x
同理证得 ∂z B= ∂y
= AΔx + o(ρ ) = AΔx + o( Δx ) ρ = Δx
f x (0 , 0 ) = 0
1 1 2x + xy cos 2 f x ( x, y ) = y sin 2 (− 2 ) 2 2 2 2 x +y x +y (x + y ) 1 2x 2 y 1 = y sin 2 − cos 2 2 2 2 2 x +y x + y2 x +y
(
)
1 1 2x cos 2 ) lim f x ( x , y ) = lim ( x sin 2 − 4 y→0 y= x 2x 2x 4x x→0 x→0
Δ
Δy = dy
Δ
∂f ∂f dz = dx + dy ∂x ∂y 全微分等于它的两个偏 微分之和
(2 )全微分定义及全微分存
在的充分条件 ,
可完全类似地推广到二 元以上的函数 .
例1 函数 z = e xy 是否可微 ? 若可微计算在 (2,1)处
的全微分
解
∂z ∵ = ye xy ∂x 处连续 .
故
Δz − f x Δx − f y Δy