一个完整的连续性假设问题

流体的连续性方程

流体的连续性方程
流体的连续性方程是描述流体运动的基本方程之一，它揭示了流体
在运动过程中质量守恒的原理。

下面将从理论基础、连续性方程的推
导以及应用等方面进行讨论。

一、理论基础
连续性方程是基于流体的连续性假设而推导得出的。

连续性假设认为，在流体运动过程中，流体的体积虽然不断变化，但质量保持不变。

流体在某个截面上的质量密度乘以截面积等于流体通过该截面的质量
流量。

二、连续性方程的推导
设流体通过某个平面截面的质量流量为Q，截面的面积为A，流体
的密度为ρ，流体在通过截面进入和流出的速度分别为v1和v2。

根据
质量守恒的原理，流入流出的质量应该相等，则有：
ρA * v1 = ρA * v2
接着，我们可以对上式进行化简，得到：
v1 = v2
这就是连续性方程，它表明了流体在运动过程中速度的连续性。

三、连续性方程的应用
连续性方程在流体力学中具有广泛的应用。

例如，在管道流动中，
通过管道的流体密度是保持不变的，因此可以利用连续性方程来描述
流体在管道中的速度变化。

在自然界中，例如河流流动、空气运动等，也可以应用连续性方程来研究非定常流体运动的规律。

此外，连续性方程还与其他流体方程相互配合，如欧拉方程、伯努
利方程等，共同构成了解决流体力学问题的重要工具。

综上所述，流体的连续性方程是一种描述流体运动的基本方程，它
是基于流体的连续性假设进行推导的。

连续性方程揭示了流体在运动
过程中质量守恒的原理，具有重要的理论和应用价值。

建筑力学作业+1.2.4.5答案

建筑力学（第二次作业）1、 T形截面悬臂梁的截面尺寸如图所示，截面的惯性矩IZ=10180cm4,y2=9.64cm。

已知P=40kN，许用拉应力40MPa，许用压应力80MPa，试校核该梁的强度。

（15分）2、T形截面悬臂梁的截面尺寸如图所示，截面的惯性矩IZ=10180cm4,y2=9.64cm。

已知P=40kN，许用拉应力40MPa，许用压应力80MPa，试校核该梁的强度。

（15分）解：3、铁梁的荷载及截面尺寸如图示，材料的许可拉应力[σt]＝40MPa，许可压应力[σc]＝60MPa，已知：F1=12kN, F2=4.5kN,I z＝765×10-8m4，y1=52mm, y2=88mm。

不考虑弯曲切应力，试校核梁的强度。

4、T字形截面悬臂梁的荷载及截面尺寸如图示，已知截面惯性矩I z＝101.7×106mm4，形心坐标yc=153.6mm，试求：（1）最大拉应力；（2）最大压应力。

5、T字形截面悬臂梁，截面形状、尺寸和所受外力如图示。

已知Z为形心轴，y C=153.6mm，I z＝101.7×106mm 4。

材料的许可拉应力[σt]＝40MPa，许可压应力[σc]＝150MPa。

试校核梁的强度。

建筑力学（第一次作业）一、一直梁承受下图所示载荷，请求A、C的支反力。

二、求图示梁的支座反力。

三、由AC和CD构成的组合梁通过铰链C连接，它的支承和受力如图所示。

已知均布载荷强度q＝10kN/m，力偶矩M＝40kN・m，不计梁重，试求支座A、B、D的约束力。

四、已知：外伸梁ABC的尺寸与载荷情况如图所示，其中：m=2 kN.m，P=3kN，q=1 kN/m。

求：A、B两支座处的反力。

答案：建筑力学（第四次）1、塑性变形：材料在荷载作用下均将发生变形，在卸除荷载后，不能消失而残留下来的那一部分变形，称为塑性变形。

2、广义胡克定律：在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系，通常称为广义胡克定律。

关于实数连续性的6个基本定理的互证

1、确界定理证明单调有界定理证明：设 { xn } 是单调上升有上界的实数列 . 由确界定理可得， ∃ r ，使 r=sup { xn } .
∴ ∀ n , 有 x n ≤ r ，并且 ∀ε > 0, ∃xN , 有xN > r − ε
∴∀n > N , 有r − ε ≤ xN ≤ xn ≤ r ，即 | xn − r |< ε
0 0
n →∞
5、单调有界证明有限覆盖定理
证明：假设某一闭区间 [ a, b ] 的某个开覆盖 E 的有限个区间覆盖，等分 [ a, b ] 为两个部分区间，则至少有一个部分区间不能被 E 的有限个区间覆盖，把这个区间记为 [ a1 , b1 ] ，再等分 [ a1 , b1 ] ，记不能被 E 的有限个区间覆盖的那个部分区间为
∴{ x n } ∈ Q0且单调下降有下界的数列。
∴∃ξ s.t lim xn =ξ ,下面证明ξ =supE。
n →∞
（1）如果 ∃x0 ∈ E，s.tx0 > ξ，则
x0 − ξ x − ξ x0 + ξ > 0 ∴∃N，s.txn < ξ + 0 = < x0 2 2 2
∵ xN ∈ Q0 ∴ 这与xN 为E的上界矛盾.
n →∞
n→ ∞
an
= r， lim
n→ ∞
Hale Waihona Puke bn = r ′，由
∴ ∀ n，有 an
≤ r ≤ bn .
最后证明唯一性 . 若有 r , r ′ 满足 r ∈ ∩ [ an , bn ] ， r ' ∈ ∩ [ an , bn ] ，则

汽车结构有限元分析试题及答案(精华)

一、20分)(×) 1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置( √ ) 2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元(×) 3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型( √ ) 4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元(×) 5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案(×) 6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析( √ ) 7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好(×) 8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度( √ ) 9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小( √ ) 10 一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。

二、填空(20 分)1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内；后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。

2 ．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。

3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。

4 ．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。

5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。

6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。

等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。

7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为} = [D][B]6}e 。

连续性假设

(4)
∂y ∂y ∂y ∂x ∂x E
∂ (∂u ) = 1 ( ∂ (∂u ) + ∂ (∂u )) = − 1 ( ∂ (∂v ) + ∂ (∂w))
∂z ∂y 2 ∂z ∂y ∂y ∂z
2 ∂z ∂x ∂y ∂x
= − 1 ∂ (∂v + ∂w) = − ∂ε yz = 0
(5)
2 ∂x ∂z ∂y
A r
+ 2(1−ν )Cr]
第一个问题 A = 0, C = − p / 2 ，第二个问题 A = −a2 p, C = 0 。
u 由 (1) r r=b
+
u(2) r
r=a
= b − a ，可确定 p = E(b − a) 。 a(1+ν ) + b(1−ν )
圆域内：σ
(1) r
= − p,
σ (1) θ
σ y = σ z = τ xy = τ xz = τ yz = 0 ，试求位移表达式。解：将应力分量代入本构关系，可求出应变。
3
εx
=
∂u ∂x
=
1 E
(σ x
−ν (σ
y
+ σ z ))
=
1 E
(ax
+
by
+
cz)
εy
=
∂v ∂y
=
1 E
(σ
y
−ν
(σ x
+ σ z ))
=
−
ν E
(ax
+ by
,τ xy
= − ∂2U ， ∇2∇2U ∂x∂y
=
∂ 4U ∂x4
+
2

2013建筑力学作业 1.2.3.4.5答案

答案：
建筑力学（第四次）
1、塑性变形：材料在荷载作用下均将发生变形，在卸除荷载后，不能消失而残留下来的那一部分变形，称为塑性变形。
2、广义胡克定律：在线弹性、小变形条件下，空间应力状态下应力分量与应变分量的物理关系，通常称为广义胡克定律。
3、平面弯曲：横向力作用平面通过梁横截面形心连线，且与横截面形心主惯性轴所在纵面重合或平行，梁的挠曲线所在平面或者与横向力作用平面重合或者与之平行，称为平面弯曲。
建筑力学（第二次作业）
1、 T形截面悬臂梁的截面尺寸如图所示，截面的惯性矩IZ=10180cm4,y2=9.64cm。已知P=40kN，许用拉应力40MPa，许用压应力80MPa，试校核该梁的强度。（15分）
2、T形截面悬臂梁的截面尺寸如图所示，截面的惯性矩IZ=10180cm4,y2=9.64cm。已知P=40kN，许用拉应力40MPa，许用压应力80MPa，试校核该梁的强度。（15分）
C：杆件各横截面上的轴力不相同
D：作用于杆件的每一个外力作用线不全与杆件轴线相重合
参考答案：D
[单选题]
两杆的长度和横截面面积均相同，其中一根为钢杆，另一根为铝杆，受相同的拉力作用。下列结论正确的是
A：铝杆的应力和钢杆相同，而变形大于钢杆
B：铝杆的应力和钢杆相同，而变形小于钢杆
C：铝杆的应力和变形都大于钢杆
B：船舶推进轴
C：车床的光杆
D：发动机活塞
[单选题]关于圆轴扭转的平面假设正确的是（D）
A：横截面变形后仍为平面且形状和大小不变
B：相临两截面间的距离不变
C：变形后半径还是为直线
D：ABC
[单选题]研究纯剪切要从以下来考虑（D）
A：静力平衡
B：变形几何关系

实数的连续性

b ，则
S 中存在有限个开区间也覆盖了
闭区间 a ,
定理.
b
.
注：1.有限覆盖定理亦称为紧致性定理或海涅-波莱尔
2.在有限覆盖定理中，将被覆盖的闭区间 a , b 改为
1 ,1) n N 开区间 ( a , b ) ,定理不一定成立.例如开区间集 ( n 1

,
定理(可列化) 设 E 是非空集合，则 inf E (1) x E , x ; (2) xn E , xn ( n )
n n 1 例1 证明 sup n N 1, inf n N . n1 n1 2
2）在具有性质 . P 的区间中确定一个长度不超过该区间 1 长度的也具有性质 P 的子区间（通常采用二等分法）， 2 然后继续使用上述步骤，可得具有性质 P 的区间套. 实现将具有性质 P 的这个数“套”出来.
二、确界定理
非空数集 E 有上界,则它有无限多个上界,在这无限多个上界之中,有一个上界与数集 E 有一种特殊关系. 定义:设 E 是非空数集.若 R 使 (1) x E , x ; (2) 0, x E , 有 : x . 则称是数集 E 的上确界.表为 sup E
注:区间套定理中要求各个区间都是
闭区间，否则结论不一定成立.
1 例如开区间序列 1， . n
区间套定理的应用：一般来讲，证明问题需要找出一个具有某种性质 P 的数，常用区间套定理将这个数“套”出来.
具体方法是： 1）构造一个具有性质 . P 的区间，性质 P要根据性质 P 来定;
同样有 1 [a2 , b2 ] [a1 , b1 ], 并且 b2 a2 (b1 a1 ). 2 将上述过程无限进行下去, 可得一列闭区间[an , bn ]

流体力学的基本假设和方程组

流体力学的基本假设和方程组流体力学是研究流体运动规律和性质的学科。

在研究过程中，人们提出了一系列的基本假设和方程组，用于描述和解释流体力学现象。

本文将介绍流体力学的基本假设和方程组，并探讨它们在研究中的应用。

一、连续性假设在流体力学中，连续性假设是基本的假设之一。

它假设流体是连续的，即具有无限多的微小体积。

根据连续性假设，流体的各种性质在空间和时间上都是连续变化的。

这个假设使得我们能够用数学方法来描述和求解流体力学问题。

二、流体的运动描述流体的运动可以通过流体的速度场来描述。

速度场是流体中每个位置和时间点上速度矢量的集合。

通常，我们使用速度矢量的三个分量来描述速度场，即速度分量 u、v 和 w。

这些分量代表流体在 x、y 和 z 方向上的速度。

三、流体的运动方程流体的运动可以由一组方程来描述，即流体力学的基本方程。

其中包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。

1. 质量守恒方程质量守恒方程描述了流体质量的守恒规律。

它表达了一个简单的原理：质量既不能被创建也不能被销毁，只能通过流体的流动改变位置。

数学形式上，质量守恒方程可以表示为：∂ρ/∂t + ∇·(ρu) = 0其中，ρ表示流体的密度，t表示时间，u表示流体的速度。

方程右侧的项表示质量的输入和输出。

2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的力学特性。

它可以分解为三个方程，分别描述了流体在 x、y 和 z 方向上的动量守恒。

数学形式上，动量守恒方程可以表示为：∂(ρu)/∂t + ∇·(ρu⊗u) = -∇p + ∇·τ∂(ρv)/∂t + ∇·(ρv⊗v) = -∇p + ∇·τ∂(ρw)/∂t + ∇·(ρw⊗w) = -∇p + ∇·τ其中，p表示压力，τ表示应力张量。

3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体运动中能量的转化和传递。

它包括两个主要项：内能和流体的机械能。

《弹性力学与有限元》第1章弹性力学的基础知识

（五）小应变位移假设物体在外加因素作用下，物体变形产生的位移与物体尺寸相比极其微小，因而应变分量和转角均远小于 1。这样，在建立物体变形后的平衡方程时，可以不考虑由于变形引起的物体尺寸和位置的变化；在建立几何方程和物理方程时，可以略去应变、转角的二次幂或二次乘积以上的项，使得到的基本方程是线性偏微分方程组。这个假设又称为几何线性的假设。
物体的弹性性质是客观存在的，人类很早就可以利用物体的弹性性质了，比如在树枝上荡漾，古代的弓箭等等。
了解掌握弹性物体的客观规律，并形成弹性力学这样一门学科，则经过了三个发展时期：
弹性力学的发展初期。17 世纪开始，主要是通过实践，尤其是通过实验来探索弹性力学的基本规律。英国的胡克和法国的马略特于 1680 年分别独立地提出了弹性体的变形和所受外力成正比的定律，后被称为胡克定律。牛顿于 1687 年确立了力学三定律，奠定了力学的发展基础。
《弹性力学与有限元》
第 1 章弹性力学的基础知识
第 1 章弹性力学的基础知识
弹性力学(Elastic Mechanics)是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
材料力学的研究对象主要是杆状构件（一维弹性杆件），而且常采用一些关于变形的近似假设，如“平面截面”的假设等等，使得计算简化。
而弹性力学的分析方法在一开始并不考虑平面截面的假设，而是从变形连续性的观念出发列出几何方程，所谓变形连续性是指在变形前的连续物体在变形后仍保持连续，物体的任一部分及单元体均保持连续。在保持变形连续的情况下，平面界面变形以后可能不再保持平面，

流动流体的基本规律

流动流体的基本规律2.2.1 流动的基本概念流体和连续性假设流体是气体和液体的统称。

气体和液体的共同点是不能保持一定形状，具有流动性；而其不同点表现在液体具有一定的体积，几乎不可压缩；而气体可以压缩。

当所研究的问题并不涉及到压缩性时，所建立的流动规律，既适合于液体也适合于气体，通常称为流体力学规律；此时通常不明确区分气体和液体而泛称为流体。

当计及压缩性时，气体和液体就必须分别处理。

空气是由分子构成，在标准状态下（即在气体温度15℃、一个大气压的海平面上），每一立方毫米的空间里含有×1016个分子。

空气分子的自由行程很小，大约为6×10-6cm。

当飞行器在这种空气介质中运动时，由于飞行器的外形尺寸远远大于空气分子的自由行程，故在研究飞行器和大气之间的相对运动时，空气分子之间的距离完全可以忽略不计，即把空气看成是连续的介质。

这就是空气动力学研究中常说的连续性假设。

随着海拔高度的增加，空气的密度越来越小，空气分子的自由行程越来越大。

当飞行器在40km以下高度飞行时，可以认为是在稠密大气层内飞行，这时空气可看成连续的。

在120~150km高度上，空气分子的自由行程大约与飞行器的外形尺寸在同一个量级范围之内；在200km高度以上，气体分子的自由行程有好几千米。

在这种情况下，大气就不能看成是连续介质了。

运动的转换在空气动力学中，为了简化理论和试验研究，广泛采用运动的转换原理运动的转换原理，是根据加利略所确定的运动的相对原理而建立的。

相对原理，即如果在一个运动的物体系上附加上一个任意的等速直线运动，则此附加的等速直线运动并不破坏原来运动的物体系中各物体之间的相对运动，也不改变各物体所受的力。

利用运动的转换原理，使问题的研究大为简化。

设飞机以速度v∞在静止空气中运动(图2.2.1)，根据相对原理，可以给该物体系(飞机与周围空气)加上一个与速度v∞大小相等方向相反的速度。

这样得到的运动是，飞机静止不动，无穷远处气流以速度v∞流向飞机。

用海涅定理证明函数连续

用海涅定理证明函数连续全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在数学领域中，函数的连续性是一个非常重要的概念。

连续函数在数学分析、微积分以及其他数学领域中都有着广泛的应用。

在证明一个函数的连续性时，通常会使用一些重要的定理来帮助进行推导。

海涅定理（Heine Theorem）就是其中的一个经典定理，它被广泛应用于证明函数的连续性。

海涅定理是德国数学家埃德华·海涅在19世纪提出的一则定理，它是一种用来判断函数在某一点处是否连续的方法。

海涅定理的主要内容是：如果函数f在某一点a附近的每一个点处极限存在且相等，则该函数在点a处连续。

简而言之，海涅定理是一个判断函数在某一点处是否连续的非常有用的方法。

接下来，我们将通过一个具体的例子来演示如何使用海涅定理来证明一个函数在某一点处的连续性。

考虑以下函数：\[ f(x) = \begin{cases}x^2 & \text{if } x \neq 2 \\4 & \text{if } x = 2\end{cases}\]我们将使用海涅定理来证明函数f在点x=2处是连续的。

我们需要验证函数f在点x=2附近的每个点处的极限。

由于我们已经知道当x=2时，函数f取值为4，因此我们只需要验证当x接近2时，函数f在这些点处的极限。

首先考虑x>2时的情况，即极限\lim_{x\to 2^+} f(x)。

根据函数f 的定义，当x>2时，函数f(x)等于x^2。

我们可以直接计算极限值：\[ \lim_{x\to 2^+} f(x) = \lim_{x\to 2^+} x^2 = 4 \]通过以上计算，我们得知当x>2和x<2时，函数f在点x=2的附近的每个点处的极限都等于4。

根据海涅定理，我们可以得出结论：函数f在点x=2处是连续的。

通过以上例子，我们可以看到海涅定理在证明函数连续性时的重要性和有效性。

海涅定理为我们提供了一种简单而直接的方法来判断函数在某一点处的连续性，使得数学分析问题更加清晰和简明。

弹性力学中的基本假定

均匀性假定在弹性力学中的意义
01
均匀性假定使得弹性力学问题简化，可以通过建立统一的数学模型来描述整个物体的行为。
02
在实际问题中，许多材料都可以被视为均匀的，例如常见的金属、塑料等，因此均匀性假定具有广泛的应用价值。
均匀性假定在实际问题中的应用
在工程设计中，许多结构部件都是由均匀材料制成的，如桥梁、建筑物的梁和柱等。Leabharlann 各向异性假定在弹性力学中的作用
描述材料在不同方向上的弹性行为
各向异性假定使得弹性力学能够更准确地描述材料在不同方向上的弹性行为，从而更准确地预测结构的应力、应变等响应。
考虑材料内部微观结构的影响
各向异性假定将材料的弹性性质与其内部微观结构相联系，使得弹性力学能够考虑材料内部微观结构对宏观弹性行为的影响。
理论发展
连续性假定推动了弹性力学理论的发展，为进一步研究材料的力学行为提供了基础。
03
均匀性假定
均匀性的定义
均匀性假定是指在弹性力学中，假设材料在整个区域内具有相同的性质，即材料在各个方向上的物理性质（如弹性模量、泊松比等）都是一致的。
这一假定基于材料在宏观尺度上表现出的一致性，忽略了微观结构或局部变化对材料性质的影响。
小变形假定在弹性力学中的作用
提供数学模型简化
小变形假定使得弹性力学中的数学模型得以简化，因为物体变形后仍可视为连续介质，无需考虑离散化问题。
导出应变和应力关系
在小变形假定下，可以推导出应变和应力之间的关系，即本构方程，从而描述物体的弹塑性行为。
小变形假定在实际问题中的应用
01
02
03
薄壳结构分析
弹性力学中的基本假定
目

材料力学三大假设

材料力学三大假设嘿，你知道材料力学里的三大假设吗？这可都是材料力学的重要基础哦，就像建筑的基石一样，支撑着整个学科的发展呢！首先是连续性假设，这就好比我们把材料看成是一个没有缝隙的整体，就像一杯满满的水，没有任何空洞。

比如说我们在研究一根金属棒的受力情况时，如果不考虑连续性假设，就会觉得这根棒子好像是由一个个小颗粒组成的，那分析起来可就复杂得要命啦。

但是有了这个假设，我们就可以把它当成一个连续的物体来研究，计算它的应力、应变什么的就简单多了。

有个工程师在设计桥梁的时候，就运用了连续性假设。

他对团队成员说：“我们把这个钢梁看成是连续的，这样就能用那些公式来计算它在受力时的变化啦，可方便了。

”你能理解这种把材料看成连续的想法吗？然后是均匀性假设，这个假设就是说材料在各个地方的性质都是一样的，就像一个味道均匀的蛋糕，从哪里切一块尝起来都差不多。

比如说我们要研究一块塑料板的强度，如果它各处的性质不一样，那我们得在不同地方做各种测试，多麻烦呀。

但有了均匀性假设，我们就可以在一个小地方测试它的性能，然后认为整个板子都差不多是这样的。

有个学生在做实验的时候就体会到了这个假设的好处。

他对同学说：“我们用这块材料做实验，按照均匀性假设，只要在这一小块上测准了，就大概知道整块材料的情况啦，省了好多事儿呢。

”你觉得这个假设是不是很有用呢？最后是各向同性假设，它是说材料在各个方向上的力学性能是相同的，就像一个圆球，不管你从哪个方向捏它，它的反应都差不多。

比如说我们研究一根橡皮筋的弹性，在不考虑各向异性的情况下，我们就认为它在各个方向拉伸的效果是一样的。

有个设计师在设计一个橡胶制品的时候，就基于各向同性假设来计算它的变形。

他笑着说：“按照各向同性假设来设计，简单又实用，能让我快速地确定这个橡胶零件的性能。

”你在生活中有没有遇到过类似各向同性的东西呢？这三大假设在材料力学中可重要啦，它们让我们能够更简单、更有效地研究材料的力学性能。

材料力学三个假设

材料力学三个假设材料力学是研究材料在受力作用下的变形和破坏行为的学科。

在材料力学研究中，有三个基本假设，分别是连续性假设、线弹性假设和平面假设。

这三个假设是材料力学研究的基础，下面将对其进行详细介绍。

一、连续性假设连续性假设是指材料在微观尺度上是连续的，即材料中不存在孔洞、裂纹等微观缺陷。

这个假设是材料力学研究的基础，因为只有在材料连续的情况下，才能够应用连续介质力学的理论模型进行研究。

然而，在实际工程中，材料中的缺陷是不可避免的，比如金属材料中的晶界、孔洞和夹杂物等。

这些缺陷会对材料的力学性能产生很大的影响，因此在实际工程中，需要通过一定的方法来考虑这些缺陷对材料性能的影响。

二、线弹性假设线弹性假设是指材料在小应变范围内是线性弹性的，即材料的应变与应力之间存在线性关系。

这个假设是材料力学研究中最为基本的假设，因为只有在小应变范围内，材料的应力-应变关系才能够被近似为线性的。

然而，在实际工程中，材料的应力-应变关系并不总是线性的，特别是在大应变范围内，材料的应力-应变关系会出现非线性的行为。

这时，需要应用非线性材料力学的理论模型来描述材料的力学行为。

三、平面假设平面假设是指材料在受力作用下的变形是平面的，即材料在厚度方向上的变形可以忽略不计。

这个假设是材料力学研究中的另一个基本假设，因为在很多情况下，材料的厚度相对于其他尺寸来说非常小，可以被视为平面。

然而，在实际工程中，材料的厚度并不总是可以忽略不计的，特别是在一些薄壁结构中，材料的厚度对其力学性能有着很大的影响。

这时，需要应用板壳理论等相关理论来考虑材料厚度对其力学性能的影响。

综上所述，连续性假设、线弹性假设和平面假设是材料力学研究的基础，但在实际工程中，这些假设并不总是成立。

因此，在材料力学研究中，需要根据实际情况来选择合适的理论模型和假设，以准确地描述材料的力学行为。

函数的连续性及其在实际问题中的应用

函数的连续性及其在实际问题中的应用连续性是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某个点的变化是否平滑，是否存在断裂点或者跳跃点。

在实际问题中，连续性的概念有着广泛的应用，涉及到物理、经济、工程等多个领域。

本文将从连续性的定义与性质出发，探讨连续性在实际问题中的具体应用。

首先，我们来定义连续性。

一个函数在某个点x处连续，意味着函数在该点的极限存在，且与该点处的函数值相等。

即lim (x→x0) f(x) = f(x0)。

如果函数在定义域的每个点都连续，我们称该函数在该定义域上连续。

连续性在实际问题中的应用之一是用于分析函数的极限。

在物理学中，当我们研究一个物理过程或者现象时，往往涉及到物理量的变化与时间或者空间的关系。

而这种变化可以通过函数来描述，而函数的连续性则能够帮助我们对这个过程进行分析。

例如，当我们研究一个物体的运动时，我们可以用函数来描述它的位置随时间的变化。

通过观察这个函数在某个时间点的连续性，我们可以判断物体在该点是否存在瞬时速度或者加速度的突变。

如果函数在该点连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度是平滑变化的；如果函数在该点不连续，那么说明物体在该点的速度或者加速度发生了突变。

连续性还广泛应用于经济学领域。

在经济模型中，我们经常需要利用连续性来分析经济变量之间的关系。

例如，假设有一个模型描述了某种商品的需求量与价格之间的关系。

通过分析函数的连续性，我们可以得到在不同价格水平下，需求量的变化趋势。

另一个应用连续性的例子是工程领域中的优化问题。

在很多工程问题中，我们需要找到一个函数的最大值或最小值，以满足一定的约束条件。

这种问题可以通过函数的连续性来进行求解。

我们可以首先找到函数的连续区间，然后再利用极值定理来确定最大值或最小值所在的点。

除了以上应用，连续性还在其他领域中有着重要的作用。

在生物学中，连续性可以用于描述生物体在生长过程中的变化；在计算机科学中，连续性可以用于图像处理和数据分析等领域。

流体的连续性假设

流体的连续性假设 (1) 连续介质假设流体看成是由大量的连续质点组成的连续的介质，每个质点是一个含有大量分子的集团，质点之间没有空隙。

❖ 质点尺寸：大于分子平均自由程的100倍。

(2) 连续介质假设给分析问题带来的方便❖ 不考虑复杂的微观分子运动，只考虑在外力作用下的宏观机械运动。

❖ 能运用数学分析的连续函数工具。

1.1 流体的主要物理性质 1.1.1 流体的密度 (1) 流体密度的定义及计算1) 定义：单位体积流体的质量。

符号“ρ”，单位：kg/m3 2) 流体的密度与温度、压力的关系1) 液体：工程上液体的密度看作与温度、压力无关。

2) 气体：密度与温度和压力有关。

理想气体：工业窑炉(P ≈P0):分析： t ↑, ρ ↓；t ↓, ρ ↑【例】已知烟气的体积组成百分比为：H2O12%，CO218%，N270%，求此烟气标态在及200℃的密度。

200℃时的烟气密度：1.1.2 流体的压缩性和膨胀性 (1) 流体的压缩性定义：流体受压力作用时，体积缩小，密度增大的性质。

表示：当温度不变时，压强每增加1Pa 时，流体体积的相对变化率。

【例】流量为50m3/h ，温度为70℃的水流入暖气锅炉，经加热后升温到90℃，而水的体积膨胀系数 ℃-1，问从锅炉中每小时流出多少立方米的水？【解】由得：从锅炉中每小时流出50+0.64=50.64m3的水。

1.1.3 流体的粘性(1) 牛顿内摩擦定律流体内质点或流层间因相对运动而产生内摩擦力以反抗相对运动的性质粘性产生原因相邻流体层间分子的内聚力阻碍其相对滑动流体分子的热运动，使两层流体间有分子相互掺混产生动量交换牛顿内摩擦定律: 运动流体的内摩擦力的大小与两层流体的接触面积成正比，与两层流体之间的速度梯度成正比。

理想流体流体无粘性、完全不可压缩，运动时无抵抗剪切变形的能力。

实际流体流体具有粘性，运动时有抵抗剪切变形的能力(3) 粘度与温度的关系流体的粘度受压强的影响很小，温度的变化对粘度影响很大。

连续性假设（PDF）

复习1 理论基础：连续性假设、牛顿定律、胡克定律基本假设：线弹性、小变形、无初应力、均匀性、各向同性等。

2 变形分析位移、应变应变张量的引入，应变分量的几何意义已知应变张量可求任意方向的应变，任意两个方向夹角变形后的变化。

主应变、主方向、体积应变、不变量应变协调方程：0∇××∇=Γ 由应变求位移局部转动，1()2=∇×u ω，()(T d d d +=×+⋅u r r u r)+r r ωΓ 3 应力分析体力、面力内力、外力应力向量，柯西假设应力张量的引入斜面上的应力(柯西公式)：=T i t n 平衡方程：∇T +f =0i剪力互等：(,1,2,3)ij ji i j σσ==主应力、主方向、应力不变量最大正应力、最大剪应力、八面体上的剪应力。

4 本构关系内力做的功：:W δδ=T Γ 应变能密度：12ij ij W σε=一般形式：ij ijkl kl C σε= 各向同性材料的本构关系：2ij kk ij ij σλεδμε=+或1ij ij kk ij E Eννεσσδ+=− ijkl C 可写成()ijkl ij kl ik jl il jk C λδδμδδδδ=++体积弹性模量，剪切弹性模量各向同性材料的应力主轴和应变主轴一致。

应变能密度的正定性(对各向同性、各向异性都成立，由热力学定律推出)弹性常数的取值范围：0, 32010, 12E μλμν>+>⎧⎪⎨>−<<⎪⎩。

5 基本方程和基本原理几何方程：,,1()2ij i j j i u u ε=+应变协调方程：0∇××∇=Γ，,0pij qks jk s εεε=。

平衡方程：∇T +f =0i 本构关系：2ij kk ij ij σλεδμε=+边界条件： on u V =∂u u 位移边界条件on V σ=∂t t 应力边界条件0 (0) on e k k V +=>∂T u i n 弹性支撑边界条件以位移表示的方程 (Navier 方程)211()012νμ∇+∇∇+=−u u f i 位移解法：Navier 方程+边界条件。

变形固体的基本假设

这里要说明的是：有些假设过程是已知的，如连续性假设；而有些假设是限于当时技术手段的“猜测”，如扭转变形中认为横截面始终保持刚性平面的假设，后来发现事实上是翘曲的，但这并没有影响推导出正确的结论，从而就沿用下来了。
1
30°2 2m3 2m1 3a
2 2m F 2m
F1
2
F sin 30
F
F
3
F2
cot 30 2
2
F
F1
2
F sin
a
F2
F 2
cot
a
构件变形极小，a 变化不大
在材料力学中还有针对某一问题的假设：如扭转变形中的平面假设、弯曲变形中的平面假设、冲击载荷中冲击物的势能全部转化为应变能的假设。其目的都是：即简化了计算力学模型，又要符合工程实际，满足工程计算要求的结果。
实践证明，对于大多数常用的结构材料，如钢铁、有色金属和混凝土等，上述连续、均匀和各向同性假设是符合实际的、合理的。
另外，还有一个与结构几何尺寸有关的假设
4.小变形假设
固体在外力作用下将产生变形。假设实际构件的变形以及由变形引起的位移与构件的原始尺寸相比甚为微小。这样，在研究构件的平衡和运动时，仍可按构件的原始尺寸进行计算，从而使计算大大简化。
1.连续性假设
材料微观
材料宏观
2.均匀性假设
在材料力学中，假设在固体内到处都有相同的力学性能。就金属而言，组成金属的各晶粒的力学性能并不完全相同。但因构件中包含为数极多的晶粒，而且杂乱无序地排列，固体各部分（宏观）的力学性能，实际上是微观性能的统计平均值，所以可以认为各部分的力学性能是均匀的。按此假设，从构件内部任何部位所切取的微小体积，都具有与构件相同的性能。