“杨辉三角”与二项式系数的性质

第 0行 第 1行 第 2行 第 3行 第 4行 1
1
1
1 1 1 4 3
2 3 6
1 1 4 1
探 究 ４
第 5行 1 5 10 10 5 1 第 6行 1 6 15 20 15 6 1 第 7行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
……
1，1，2，3，5，8，13，21， 34，．．．此数列{an}满足, a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2 (n≥3) 这就是著名的 斐波那契数列．
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二 卷． 其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日
本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
二.应用: 1.斐波那契“兔子繁殖问题”
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中 提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子出生的第 个月长大到第三个月才生下一对小兔子，并且以后每个月都生 一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问 一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
分析:设第 n 行的第 2 个数为 an ,则a2 = 2 ,
an+1 - an =n
n2 n 2 ∴ an = 2 + 2 + 3 +…+ ( n-1)= 2
四、总结
1、杨辉三角蕴含的基本性质
2、杨辉三角蕴含的数字排列规律 3、利用杨辉三角进行简单的应用
五、作业：１．Ｐ３７ 7、8
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小球 (黑 色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物 再等可能地向两侧第三层跌落，如是，一直下跌，最终小球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什么两边区奖品高于中间区奖品？ 小球从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一 个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能 情形相加。 于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是： 第一层 第二层 第三层 第四层 第五层 1 1 1 1 1 3 4 1 2 1 3 1 6 4 1
…… ……… 杨辉三角的各行数字的和等于与 2 r n2 r 1 1 C C C 第n-1行 1 Cn 1 n 1 n C n 1 n 1 … n 1 1 … 之对应的 ( a + b ) 的展开式的各个二项 r n 1 2 1 … … Cn Cn 第n 行 1 C n C n 1 n 式系数的和为2 …… 。 ……
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现 的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡 三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早 500 年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．
a b
0
a b c
n
……
a b 2 a b 3 a b 4 a b 5 a b 6 a b
2、杨辉三角的基本性质和对称性
对 称 性：杨辉三角形的每一行中的数
字左右对称.
即C C
r n
nr n
基本性质：杨辉三角形的两条斜边都是 数字1，而其余的数都等于它肩上的两个
数字相加.
即C C
r n
r 1 n 1
C
r n 1
练习1:
如上表，在由二项式系数所构成的杨辉三 角形中，第_____ 34 行中从左至右第14与第15 个数的比为 2 : 3 .
C
r n
Байду номын сангаас
尝 表中的数字左右对称 ，即 试 r nr Cn Cn 探 索
3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和， r r 1 r 即
C n C n 1 C n 1
１、杨辉三角第n行各数的特点
第0 行 1 第1行 杨辉三角的第 1 1 n行中的数对应于 第2 行 1 2 1 二项式 (a+b)n展开式的二项式系数 第 3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5 行 1 5 10 10 5 1 第6 行 1 6 15 20 15 6 1
a10 21 34 55 a11 34 55 89 a12 55 89 144
兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
练习2：
3 5
1 2 4 2 3 14
4 16
11
7 25
7 25
11
4 16
5
6
6
则第n 行（n≥ 2 ）第2个数是什么？
探究３、横行规律
第 0行
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1）杨辉三角中的第1，3，7，15，…行，即第 各个数字为奇数？ 2n-1
行的
则第2n行的数字有什么特点？ 除两端的1之外都是偶数.
从第三个数起，任一数都等于前两个数的和; 想一想：如图，写出斜线上各行数字的和，有什么 规律？ 这就是著名的斐波那契数列 。
n(n 1) (n 12) 14 2 13 14 13 ！ Cn : Cn n(n 1) （n 13) n 13 3 14 ！ n 34
探究２：研究斜行规律：
第一条斜线上：
1 1+1+1+1+1+1= 6 C6
第二条斜线上：
2 15 C 1+2+3+4+5= 6
1 2 n r 1 n r 1 即 Cr0 Cr Cn ( n r ) 1 Cr 2 Cn 1
想一想：（07）湖南理（15）将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成0，得到如图所示的0——1数表，从上往下 数：第一次全行的数都为1 的是第一行，第二次全行的 数都为1 的是第3行，……第n次全行的数都为1 的是第 2n－1 行 第一行 1 1 第二行 1 0 1 第三行 1 1 1 1 第四行 1 0 0 0 1 第五行 1 1 0 0 1 1 分析：本题是对杨辉三角的考察，一行全１即本身全 为奇数，因此，我们继续探究下表
n r 1 n 1
(n>r)
n r 1 n
C
(n r )
结论：杨辉三角中，第m条斜线(从右上 到左下)上前n个数字的和，等于第m+1 条斜线上第n个数
即 C C
r r r r 1
C
r r 2
C
r n 1
C
r 1 n
(n r )
根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角 中，第m条斜线(从左上到右下)上前n个数字的 和，等于第m+1条斜线上第n个数。
1 （第 （第1 1条斜线 条斜线 ） ） n
2 n1
（第2条斜线 ）
C C C C
2 2 2 3 2 4
C
3 n （第3条斜线 ）
C C
r r
r r 1
C
0 r
r r 2
C
2 r 2
r n 1
根据对称性C C C
1 r 1
C
C nr 1
1 4 1 8 1
1 2
２.选做题(课后探讨）
“概率三角形” 1
1 2
2 4
3 8 3 8
1 4
„„„ 照这样计算第n+1层有n+1个通道， 弹子通过各通道的概率将是？
与杨辉三角有何关系？
1 8
1
1 1 1 1 1 1 1
0 n
1 2 1 3 6 4 10 20 1 1 5 15 1 6 1
3 4
5 6
10 15
…… 1 2 r cn cn …… cn ……
c
n 1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式 系数，第n行的第r+1个数是 第n行各数的和为２n 2、对称性：
1+3+6+10= 第三条斜线上：
3 20 C6
第四条斜线上：1+4+10= 15 C64
猜想：在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下） 上前n个数字的和，等于 第m+1条斜线上的第n个数.
1 1＋ ＋1 1＋ ＋1 1＋ ＋ ．．．＋ ．．．＋1 1＝ ＝
C
1 1 1 1 2 C1 C2 C3 Cn Cn 1