振动与波动(上) 振动
物理波动与振动公式整理
物理波动与振动公式整理在物理学中，波动和振动是两个重要的概念。
它们可以描述很多自然界中的现象，如光的传播、声音的传播以及弹簧的震动等。
本文将对物理波动和振动的相关公式进行整理，帮助读者更好地理解和应用这些公式。
一、振动公式1.简谐振动公式对于简谐振动，振动系统的运动可以用简单的正弦函数来描述。
其中，振幅A表示振动的幅度，角频率ω表示振动的快慢，初始相位φ表示振动的初始状态。
振动方程：x = A*sin(ωt + φ)2.振动周期公式振动周期T表示振动完成一个完整的往复运动所需要的时间，单位为秒。
振动周期公式：T = 1/ƒ其中，ƒ表示振动的频率，单位为赫兹（Hz）。
3.振动频率与角频率关系振动频率ƒ和角频率ω互相转换的关系如下：振动频率与角频率关系：ω = 2πƒ二、波动公式1.波速公式波速v表示波动在介质中传播的速度，单位为米/秒。
波速公式：v = λƒ其中，λ表示波长，单位为米。
2.波长公式波长λ是波动中相邻两个相位相同点之间的距离，单位为米。
波长公式：λ = v/ƒ3.周期与频率关系波的周期T和频率ƒ之间存在以下关系：周期与频率关系：T = 1/ƒ4.波数与波长关系波数k和波长λ之间存在以下关系：波数与波长关系：k = 2π/λ三、衍射和干涉公式1.衍射公式衍射是波动传播过程中遇到障碍物或孔径时发生弯曲和扩散的现象。
衍射现象可以用以下公式描述：衍射公式：sinθ = nλ/d其中，θ表示衍射角，n为衍射级次，λ为波长，d表示障碍物或孔径的尺寸。
2.干涉公式干涉是波动传播过程中两个或多个波相遇形成叠加的现象。
干涉现象可以用以下公式描述：干涉公式：d*sinθ = nλ其中，d表示两个光源（波源）之间的距离，θ为干涉角，n为干涉级次，λ表示波长。
综上所述，物理波动与振动的公式整理为上述内容。
这些公式是物理学中描述波动和振动现象的重要工具，对于研究和应用波动与振动具有重要意义。
通过掌握这些公式，读者可以更好地理解和解决与波动与振动相关的问题。
波动图象与振动图象
在交叉学科领域的应用拓展
生物医学工程
波动和振动图象在生物医学工程中具有广泛的应用前景，如生物 力学、生物医学材料等。
环境科学
在环境科学领域，波动和振动图象可用于监测地质结构、地震活 动等，为灾害预警和环境保护提供支持。
航空航天
在航空航天领域，波动和振动图象可用于研究飞行器结构的动态 特性，提高飞行器的安全性和性能。
特点
波动图象通常以时间和空 间为坐标轴，呈现波动能 量的传播和变化规律。
表现形式
波动图象通常以波形曲线 表示，可以反映波的振幅、 频率、相位等信息。
振动图象的定义与特点
定义
振动图象是指描述振动现 象的图象，如机械振动、 电磁振动等。
特点
振动图象通常以时间和位 移为坐标轴，呈现物体振 动的规律和变化。
02
波动图象的绘制与分析
波动图象的绘制方法
直接绘制法
根据实验或观测数据，直接在坐 标纸上绘制波动图象。这种方法 需要手工操作，精度较低，但简
单易行。
计算机绘图法
利用计算机软件进行波动图象的绘 制。这种方法精度高，可以绘制复 杂波动图象，但需要一定的计算机 绘图技能。
数学模型法
通过建立波动方程，利用数学软件 求解，并绘制波动图象。这种方法 适用于理论研究和模拟分析。
在人工智能与大数据分析中的应用前景
人工智能算法
利用人工智能算法对波动和振动图象进行自动识别、分类和预测， 提高数据处理和分析的效率和准确性。
数据挖掘技术
通过数据挖掘技术，可以从大量的波动和振动图象数据中提取有价 值的信息，为相关领域的研究和应用提供支持。
机器学习模型
利用机器学习模型对波动和振动图象进行学习和预测，实现自适应的 监测和控制。
震动和波动周期性运动和波的传播
震动和波动周期性运动和波的传播震动和波动是物理学中重要的概念和现象。
它们在自然界和科学研究中扮演着至关重要的角色。
本文将讨论震动和波动的特性以及它们的周期性运动和传播。
一、震动的特性震动是指物体在时间和空间上周期性地来回振动。
它可以是机械波中的一部分，也可以是由其他因素引起的，如声音和光。
1. 震动的周期震动的周期是指物体完成一次完整振动所需要的时间。
通常用符号T来表示。
周期的单位是秒。
2. 震动的频率震动的频率是指在单位时间内发生的振动次数。
它的倒数即为周期。
频率用符号f来表示，单位是赫兹（Hz）。
3. 震动的幅度震动的幅度是指物体振动时达到的最大偏离位置。
它是描述振动强度和能量的重要指标。
二、波动的特性波动是能量传递的一种形式，它通过介质的振动传播。
波可以是机械波、电磁波、声波等。
1. 波长波长是指在一个完整的周期中，波从一个点传播到相邻点所需要的距离。
波长通常用符号λ表示，单位是米（m）。
2. 波速波速是指波传播的速度。
它可以通过波长和波的周期计算得出。
波速通常用符号v表示，单位是米每秒（m/s）。
3. 波的传播方向波动的传播方向是波的传播路径所指的方向。
它可以是沿着直线的传播，也可以是以圆形或球形扩散。
三、周期性运动周期性运动是指物体在一定时间内按照固定的规律重复出现的运动。
震动和波动都属于周期性运动。
1.简谐振动简谐振动是指物体在弹簧等恢复力作用下进行的周期性振动。
它具有以下特点：振动频率为恢复力常数和物体质量的函数；振动周期与振幅无关；振动轨迹为正弦曲线。
2. 波的周期性波的周期性是指波沿传播方向重复出现的规律性。
波可以是机械波，如水波、声波等，也可以是非机械波，如电磁波等。
波的周期性表现为波的形状、频率和幅度的重复性。
四、波的传播波的传播是指波从一个地点传递到另一个地点的过程。
波在传播过程中会遵循一定的物理规律。
1. 机械波的传播机械波传播需要介质的存在。
在机械波传播中，介质的振动会传递能量，并通过相邻分子或粒子的相互作用传播到其他地区。
大学物理知识点总结：振动及波动
利用超声波的能量作用于人体组织，产生热效应、机械效应等，达到治疗目的，如超声碎石、超声刀 等。
地震监测和预测中振动分析
地震波监测
通过监测地震波在地球内部的传播情况和变化特征，研究地震的发生机制和震源性质。
振动传感器应用
在地震易发区域布置振动传感器，实时监测地面振动情况，为地震预警和应急救援提供 数据支持。
图像
简谐振动的图像是正弦或余弦曲线，表示了物体的位移随时间的变化关系。
能量守恒原理在简谐振动中应用
能量守恒
在简谐振动中，系统的机械能（动能 和势能之和）保持不变。
应用
利用能量守恒原理可以求解简谐振动 的振幅、角频率等物理量。
阻尼振动、受迫振动和共振现象
阻尼振动
当物体受到阻力作用时，其振动会逐渐减弱，直至停止。 这种振动称为阻尼振动。
惠更斯原理在波动传播中应用
01
惠更斯原理指出，波在传播过程中，每一点都可以看作是新的 波源，发出子波。
02
惠更斯原理可以解释波的反射、折射等现象，并推导出斯涅尔
定律等波动传播规律。
在实际应用中，惠更斯原理被为波动现象的研究提供了重要的理论基础。
04
干涉、衍射和偏振现象
误差分析
分析实验过程中可能出现的误差来源，如仪 器误差、操作误差等；对误差进行定量评估 ，了解误差对实验结果的影响程度；提出减 小误差的方法和措施，提高实验精度和可靠
性。
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THANKS
实例
钟摆的摆动、琴弦的振动、地震波的传播等 。
振动量描述参数
振幅
描述振动大小的物理量，表示物体离开平衡 位置的最大距离。
频率
描述振动快慢的物理量，表示单位时间内振 动的次数。
高中物理第七讲---振动与波动
第七讲 振动与波动湖南郴州市湘南中学 陈礼生一、知识点击1．简谐运动的描述和基本模型⑴简谐振动的描述：当一质点，或一物体的质心偏离其平衡位置x ，且其所受合力F 满足(0)F kx k =->，故得2ka x x m ω=-=-，ω=则该物体将在其平衡位置附近作简谐振动。
⑵简谐运动的能量：一个弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，即222111222E m kx kA υ=+=∑ ⑶简谐运动的周期：如果能证明一个物体受的合外力F k x =-∑，那么这个物体一定做简谐运动，而且振动的周期22T πω==m 是振动物体的质量。
⑷弹簧振子：恒力对弹簧振子的作用：只要m 和k 都相同，则弹簧振子的振动周期T 就是相同的，这就是说，一个振动方向上的恒力一般不会改变振动的周期。
多振子系统：如果在一个振动系统中有不止一个振子，那么我们一般要找振动系统的等效质量。
悬点不固定的弹簧振子：如果弹簧振子是有加速度的，那么在研究振子的运动时应加上惯性力．⑸单摆及等效摆：单摆的运动在摆角小于50时可近似地看做是一个简谐运动，振动的周期为2T =，在一些“异型单摆”中，l g 和的含义及值会发生变化。
〔6〕同方向、同频率简谐振动的合成：假设有两个同方向的简谐振动，它们的圆频率都是ω，振幅分别为A 1和A 2，初相分别为1ϕ和2ϕ，则它们的运动学方程分别为111cos()x A t ωϕ=+ 222cos()x A t ωϕ=+因振动是同方向的，所以这两个简谐振动在任一时刻的合位移x 仍应在同一直线上，而且等于这两个分振动位移的代数和，即12x x x =+由旋转矢量法，可求得合振动的运动学方程为cos()x A t ωϕ=+这说明，合振动仍是简谐振动，它的圆频率与分振动的圆频率相同，而其合振幅为A =合振动的初相满足11221122sin sin tan cos cos A A A A ϕϕϕϕϕ+=+2．机械波：〔1〕机械波的描述：如果有一列波沿x 方向传播，振源的振动方程为y=Acos ωt ，波的传播速度为υ，那么在离振源x 远处一个质点的振动方程便是cos ()x y A t ωυ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，在此方程中有两个自变量：t 和x ，当t 不变时，这个方程描写某一时刻波上各点相对平衡位置的位移；当x 不变时，这个方程就是波中某一点的振动方程．〔2〕简谐波的波动方程：简谐振动在均匀、无吸收的弹性介质中传播所形成的波叫做平面简谐波。
振动和波动有什么区别和联系【精品推荐-doc】
习题五5-1 振动和波动有什么区别和联系?平面简谐波动方程和简谐振动方程有什么不同?又有什么联系?振动曲线和波形曲线有什么不同?解: (1)振动是指一个孤立的系统(也可是介质中的一个质元)在某固定平衡位置附近所做的往复运动，系统离开平衡位置的位移是时间的周期性函数，即可表示为)(t f y =；波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动，因此介质中任一质元离开平衡位置的位移既是坐标位置x ，又是时间t 的函数，即),(t x f y =．(2)在谐振动方程)(t f y =中只有一个独立的变量时间t ，它描述的是介质中一个质元偏离平衡位置的位移随时间变化的规律；平面谐波方程),(t x f y =中有两个独立变量，即坐标位置x 和时间t ，它描述的是介质中所有质元偏离平衡位置的位移随坐标和时间变化的规律．当谐波方程)(cos uxt A y -=ω中的坐标位置给定后，即可得到该点的振动方程，而波源持续不断地振动又是产生波动的必要条件之一．(3)振动曲线)(t f y =描述的是一个质点的位移随时间变化的规律，因此，其纵轴为y ，横轴为t ；波动曲线),(t x f y =描述的是介质中所有质元的位移随位置，随时间变化的规律，其纵轴为y ，横轴为x ．每一幅图只能给出某一时刻质元的位移随坐标位置x 变化的规律，即只能给出某一时刻的波形图，不同时刻的波动曲线就是不同时刻的波形图．5-2 波动方程y =A cos ［ω(u x t -)+0ϕ］中的ux表示什么?如果改写为y =A cos (0ϕωω+-u x t )，u x ω又是什么意思?如果t 和x 均增加，但相应的［ω(ux t -)+0ϕ］的值不变，由此能从波动方程说明什么?解: 波动方程中的u x /表示了介质中坐标位置为x 的质元的振动落后于原点的时间；uxω则表示x 处质元比原点落后的振动位相；设t 时刻的波动方程为)cos(0φωω+-=uxt A y t则t t ∆+时刻的波动方程为])()(cos[0φωω+∆+-∆+=∆+ux x t t A y t t其表示在时刻t ，位置x 处的振动状态，经过t ∆后传播到t u x ∆+处．所以在)(uxt ωω-中，当t ，x 均增加时，)(uxt ωω-的值不会变化，而这正好说明了经过时间t ∆，波形即向前传播了t u x ∆=∆的距离，说明)cos(0φωω+-=uxt A y 描述的是一列行进中的波，故谓之行波方程．5-3 波在介质中传播时，为什么介质元的动能和势能具有相同的位相，而弹簧振子的动能和势能却没有这样的特点?解: 我们在讨论波动能量时，实际上讨论的是介质中某个小体积元dV 内所有质元的能量．波动动能当然是指质元振动动能，其与振动速度平方成正比，波动势能则是指介质的形变势能．形变势能由介质的相对形变量(即应变量)决定．如果取波动方程为),(t x f y =，则相对形变量(即应变量)为x y ∂∂/.波动势能则是与x y ∂∂/的平方成正比．由波动曲线图(题5-3图)可知，在波峰，波谷处，波动动能有极小(此处振动速度为零)，而在该处的应变也为极小(该处0/=∂∂x y )，所以在波峰，波谷处波动势能也为极小；在平衡位置处波动动能为极大(该处振动速度的极大)，而在该处的应变也是最大(该处是曲线的拐点)，当然波动势能也为最大．这就说明了在介质中波动动能与波动势能是同步变化的，即具有相同的量值．题5-3图对于一个孤立的谐振动系统，是一个孤立的保守系统，机械能守恒，即振子的动能与势能之和保持为一个常数，而动能与势能在不断地转换，所以动能和势能不可能同步变化．5-4 波动方程中，坐标轴原点是否一定要选在波源处? t =0时刻是否一定是波源开始振动的时刻? 波动方程写成y =A cos ω(uxt -)时，波源一定在坐标原点处吗?在什么前提下波动方程才能写成这种形式?解: 由于坐标原点和开始计时时刻的选全完取是一种主观行为，所以在波动方程中，坐标原点不一定要选在波源处，同样，0=t 的时刻也不一定是波源开始振动的时刻；当波动方程写成)(cos uxt A y -=ω时，坐标原点也不一定是选在波源所在处的．因为在此处对于波源的含义已做了拓展，即在写波动方程时，我们可以把介质中某一已知点的振动视为波源，只要把振动方程为已知的点选为坐标原点，即可得题示的波动方程． 5-5 在驻波的两相邻波节间的同一半波长上，描述各质点振动的什么物理量不同，什么物理量相同?解: 取驻波方程为vt x A y απλπcos 2cos2=，则可知，在相邻两波节中的同一半波长上，描述各质点的振幅是不相同的，各质点的振幅是随位置按余弦规律变化的，即振幅变化规律可表示为x A λπ2cos2．而在这同一半波长上，各质点的振动位相则是相同的，即以相邻两波节的介质为一段，同一段介质内各质点都有相同的振动位相，而相邻两段介质内的质点振动位相则相反．5-6 波源向着观察者运动和观察者向波源运动都会产生频率增高的多普勒效应，这两种情况有何区别?解: 波源向着观察者运动时，波面将被挤压，波在介质中的波长，将被压缩变短，(如题5-6图所示)，因而观察者在单位时间内接收到的完整数目(λ'/u )会增多，所以接收频率增高；而观察者向着波源运动时，波面形状不变，但观察者测到的波速增大，即B v u u +='，因而单位时间内通过观察者完整波的数目λu '也会增多，即接收频率也将增高．简单地说，前者是通过压缩波面(缩短波长)使频率增高，后者则是观察者的运动使得单位时间内通过的波面数增加而升高频率．题5-6 图多普勒效应5-7 一平面简谐波沿x 轴负向传播，波长λ=1.0 m ，原点处质点的振动频率为ν=2. 0 Hz ，振幅A ＝0.1m ，且在t =0时恰好通过平衡位置向y 轴负向运动，求此平面波的波动方程．解: 由题知0=t 时原点处质点的振动状态为0,000<=v y ，故知原点的振动初相为2π,取波动方程为])(2cos[0φλπ++=xT t A y 则有]2)12(2cos[1.0ππ++=x t y)224cos(1.0πππ++=x t m5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y =A cos(Cx Bt -)，其中A ，B ，C 为正值恒量．求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差．解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知：波振幅为A ，频率πυ2B=，波长Cπλ2=，波速C B u ==λυ，波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为)(212x x -=∆λπφ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得Cd =∆φ．5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y =0.05cos(10x t ππ4-)，式中x ,y 以米计，t 以秒计．求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求x =0.2m 处质点在t =1s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t =1.25s 时刻到达哪一点?解: (1)将题给方程与标准式)22cos(x t A y λππυ-=相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -⋅．(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅ 222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相，即 2.9=φπ．设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m5-10 如题5-10图是沿x 轴传播的平面余弦波在t 时刻的波形曲线．(1)若波沿x 轴正向传播，该时刻O ，A ，B ，C 各点的振动位相是多少?(2)若波沿x 轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少?解: (1)波沿x 轴正向传播，则在t 时刻，有题5-10图对于O 点：∵0,0<=O O v y ，∴2πφ=O 对于A 点：∵0,=+=A A v A y ，∴0=A φ 对于B 点：∵0,0>=B B v y ，∴2πφ-=B 对于C 点：∵0,0<=C C v y ，∴23πφ-=C(取负值：表示C B A 、、点位相，应落后于O 点的位相)(2)波沿x 轴负向传播，则在t 时刻，有对于O 点：∵0,0>'='O Ov y ，∴2πφ-='O对于A 点：∵0,='+='A A v A y ，∴0='A φ对于B 点：∵0,0<'='B B v y ，∴2πφ=B 对于C 点：∵0,0>'='C Cv y ，∴23πφ='C(此处取正值表示C B A 、、点位相超前于O 点的位相)5-11 一列平面余弦波沿x 轴正向传播，波速为5m ·s -1，波长为2m ，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；(2)作出t =0时的波形图及距离波源0.5m 处质点的振动曲线．解: (1)由题5-11(a)图知，1.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，∴230πφ=，又5.225===λυuHz ，则ππυω52==题5-11图(a)取 ])(cos[0φω+-=uxt A y ，则波动方程为)]235(5cos[1.0ππ+-=x t y m (2) 0=t 时的波形如题5-11(b)图题5-11图(b) 题5-11图(c)将5.0=x m 代入波动方程，得该点处的振动方程为)5cos(1.0)235.05.055cos(1.0πππππ+=+⨯-=t t y m 如题5-11(c)图所示．5-12 如题5-12图所示，已知t =0时和t =0.5s 时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x 轴正向传播，试根据图中绘出的条件求：(1)波动方程；(2)P 点的振动方程．解: (1)由题5-12图可知，1.0=A m ，4=λm ，又，0=t 时，0,000<=v y ，∴20πφ=，而25.01==∆∆=t x u 1s m -⋅，5.042===λυu Hz ，∴ππυω==2故波动方程为]2)2(cos[1.0ππ+-=x t y m(2)将1=P x m 代入上式，即得P 点振动方程为t t y ππππcos 1.0)]22cos[(1.0=+-= m题5-12图5-13 一列机械波沿x 轴正向传播，t =0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m ·s -1，波长为2m ，求：(1)波动方程；(2) P 点的振动方程及振动曲线；(3) P 点的坐标；(4) P 点回到平衡位置所需的最短时间．解: 由题5-13图可知1.0=A m ，0=t 时，0,200<=v A y ，∴30πφ=，由题知2=λm ，10=u 1s m -⋅，则5210===λυuHz∴ ππυω102==(1)波动方程为]3)10(10cos[.01ππ+-=x t y m题5-13图(2)由图知，0=t 时，0,2<-=P P v A y ，∴34πφ-=P (P 点的位相应落后于0点，故取负值)∴P 点振动方程为)3410cos(1.0ππ-=t y p(3)∵ πππ34|3)10(100-=+-=t x t∴解得 67.135==x m(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P 点回到平衡位置应经历的位相角题5-13图(a)πππφ6523=+=∆ ∴所属最短时间为121106/5==∆=∆ππωφt s 5-14 如题5-14图所示，有一平面简谐波在空间传播，已知P 点的振动方程为P y =A cos(0ϕω+t )．(1)分别就图中给出的两种坐标写出其波动方程；(2)写出距P 点距离为b 的Q 点的振动方程．解: (1)如题5-14图(a)，则波动方程为])(cos[0φω+-+=uxu l t A y 如图(b)，则波动方程为题5-14图])(cos[0φω++=uxt A y (2) 如题5-14图(a)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω+-=ubt A A Q 如题5-14图(b)，则Q 点的振动方程为])(cos[0φω++=ubt A A Q5-15 已知平面简谐波的波动方程为)24(cos x t A y +=π(SI)．(1)写出t =4.2 s 时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何时通过原点? (2)画出t =4.2 s 时的波形曲线．解:(1)波峰位置坐标应满足ππk x t 2)24(=+ 解得 )4.8(-=k x m (,2,1,0±±=k …)所以离原点最近的波峰位置为4.0-m ．∵uxt t t ωωππ+=+24 故知2=u 1s m -⋅,∴ 2.024.0=-='∆t s ，这就是说该波峰在2.0s 前通过原点，那么从计时时刻算起，则应是42.02.4=-s ，即该波峰是在4s 时通过原点的．题5-15图(2)∵2,4==u πω1s m -⋅，∴12===ωπλuuT m ，又0=x 处，2.4=t s 时，ππφ8.1642.40=⨯=A A y 8.02.44cos 0-=⨯=π又，当A y -=时，πφ17=x ，则应有πππ1728.16=+x解得 1.0=x m ，故2.4=t s 时的波形图如题5-15图所示 5-16 题5-16图中(a)表示t =0时刻的波形图，(b)表示原点(x =0)处质元的振动曲线，试求此波的波动方程，并画出x =2m 处质元的振动曲线．解: 由题5-16(b)图所示振动曲线可知2=T s ,2.0=A m ，且0=t 时，0,000>=v y ，故知20πφ-=,再结合题5-16(a)图所示波动曲线可知，该列波沿x 轴负向传播，且4=λm ，若取])(2cos[0φλπ++=xT t A y题5-16图则波动方程为]2)42(2cos[2.0ππ-+=x t y 5-17 一平面余弦波，沿直径为14cm 的圆柱形管传播，波的强度为18.0×10-3J ·m -2·s -1，频率为300 Hz ，波速为300m ·s -1，求 ：(1)波的平均能量密度和最大能量密度?(2)两个相邻同相面之间有多少波的能量?解: (1)∵ uw I =∴ 53106300100.18--⨯=⨯==u I w 3m J -⋅4max 102.12-⨯==w w 3m J -⋅(2) νπλπωud w d wV W 224141===7251024.9300300)14.0(41106--⨯=⨯⨯⨯⨯=πJ5-18 如题5-18图所示，1S 和2S 为两相干波源，振幅均为1A ，相距4λ，1S 较2S 位相超前2π，求：(1) 1S 外侧各点的合振幅和强度；(2) 2S 外侧各点的合振幅和强度解：（1）在1S 外侧，距离1S 为1r 的点，1S 2S 传到该P 点引起的位相差为πλλππφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∆)4(2211r r 0,0211===-=A I A A A（2）在2S 外侧.距离2S 为1r 的点，1S 2S 传到该点引起的位相差.0)4(2222=-+-=∆r r λλππφ2121114,2A A I A A A A ===+=5-19 如题5-19图所示，设B 点发出的平面横波沿BP 方向传播，它在B 点的振动方程为t y π2cos 10231-⨯=;C 点发出的平面横波沿CP 方向传播，它在C 点的振动方程为)2cos(10232ππ+⨯=-t y ，本题中y 以m 计，t 以s 计．设BP ＝0.4m ，CP ＝0.5m ，波速u =0.2m ·s -1，求：(1)两波传到P 点时的位相差；(2)当这两列波的振动方向相同时，P 处合振动的振幅；*(3)当这两列波的振动方向互相垂直时，P 处合振动的振幅．解: (1) )(2)(12BP CP ---=∆λπϕφφ)(BP CP u --=ωπ0)4.05.0(2.02=--=ππ题5-19图(2)P 点是相长干涉，且振动方向相同，所以321104-⨯=+=A A A P m(3)若两振动方向垂直，又两分振动位相差为0，这时合振动轨迹是通过Ⅱ，Ⅳ象限的直线，所以合振幅为33122211083.210222--⨯=⨯==+=A A A A m5-20 一平面简谐波沿x 轴正向传播，如题5-20图所示．已知振幅为A ，频率为ν 波速为u ．(1)若t =0时，原点O 处质元正好由平衡位置向位移正方向运动，写出此波的波动方程；(2)若从分界面反射的波的振幅与入射波振幅相等，试写出反射波的波动方程，并求x 轴上 因入射波与反射波干涉而静止的各点的位置．解: (1)∵0=t 时，0,000>=v y ，∴20πφ-=故波动方程为]2)(2cos[ππ--=u x t v A y m题5-20图(2)入射波传到反射面时的振动位相为(即将λ43=x 代入)2432πλλπ-⨯-，再考虑到波由波疏入射而在波密界面上反射，存在半波损失，所以反射波在界面处的位相为πππλλπ-=+-⨯-2432 若仍以O 点为原点，则反射波在O 点处的位相为 ππλλπ25432-=-⨯-，因只考虑π2以内的位相角，∴反射波在O 点的位相为2π-，故反射波的波动方程为]2)(2cos[ππυ-+=u x t A y 反此时驻波方程为]2)(2cos[ππυ--=uxt A y ]2)(2cos[ππυ-++u x t A )22cos(2cos 2ππυπυ-=t u x A 故波节位置为2)12(22πλππυ+==k x u x 故 4)12(λ+=k x (,2,1,0±±=k …)根据题意，k 只能取1,0，即λλ43,41=x5-20 一驻波方程为y =0.02cos20x cos750t (SI)，求：(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速；(2)相邻两波节间距离． 解: (1)取驻波方程为t uxA y πυπυ2cos 2cos 2= 故知 01.0202.0==A m7502=πυ，则πυ2750=， 202=uπυ∴ 5.37202/7502202=⨯==πππυu 1s m -⋅ (2)∵314.01.020/2====πυπυυλu m 所以相邻两波节间距离157.02==∆λx m5-22 在弦上传播的横波，它的波动方程为1y =0.1cos(13t +0.0079x ) (SI)试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在x =0处为波节．解: 为使合成驻波在0=x 处形成波节，则要反射波在0=x 处与入射波有π的位相差，故反射波的波动方程为)0079.013cos(1.02π--=x t y5-23 两列波在一根很长的细绳上传播，它们的波动方程分别为1y =0.06cos(t x ππ4-)(SI), 2y =0.06cos(t x ππ4+)(SI)．(1)试证明绳子将作驻波式振动，并求波节、波腹的位置；(2)波腹处的振幅多大?x =1.2m 处振幅多大?解: (1)它们的合成波为)4cos(06.0)4cos(06.0t x x y ππππ++-= t x ππ4cos cos 12.0=出现了变量的分离，符合驻波方程特征，故绳子在作驻波振动．令ππk x =，则k x =，k=0,±1，±2…此即波腹的位置；令2)12(ππ+=k x ,则21)12(+=k x ，,2,1,0±±=k …，此即波节的位置．(2)波腹处振幅最大，即为12.0m ；2.1=x m 处的振幅由下式决定，即097.0)2.1cos(12.0=⨯=π驻A m5-24 汽车驶过车站时，车站上的观测者测得汽笛声频率由1200Hz 变到了1000 Hz ，设空气中声速为330m ·s -1，求汽车的速率．解: 设汽车的速度为s v ，汽车在驶近车站时，车站收到的频率为01υυs v u u-=汽车驶离车站时，车站收到的频率为02υυsv u u +=联立以上两式，得3010012001000120030021211=+-⨯=+-=υυυυυu1s m -⋅5-25 两列火车分别以72km ·h -1和54 km ·h -1的速度相向而行，第一 列火车发出一个600 Hz 的汽笛声，若声速为340 m ·s -1，求第二列火车上的观测者听见该声音的频率在相遇前和相遇后分别是多少?解: 设鸣笛火车的车速为201=v 1s m -⋅，接收鸣笛的火车车速为152=v 1s m -⋅，则两者相遇前收到的频率为66560020340153400121=⨯-+=-+=υυv u v u Hz 两车相遇之后收到的频率为54160020340153400121=⨯+-=+-=υυv u v u Hz。
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程在物理学中，振动和波动是两个非常重要的概念。
振动是指物体在某个中心位置附近来回运动的现象，而波动则是一种能量传播的方式，它可以是机械波，也可以是电磁波。
振动方程和波动方程则是描述振动和波动现象的数学模型。
振动方程是描述振动现象的数学方程。
它通常采用简谐振动的形式来描述，即物体在平衡位置附近以固定频率和振幅进行振动。
简谐振动的振动方程可以表示为：x = A * sin(ωt + φ)其中，x是物体的位移，A是振幅，ω是角频率，t是时间，φ是相位常数。
这个方程描述了物体在时间t上的位移x。
振动方程不仅可以用来描述物体的机械振动，还可以用来描述其他类型的振动现象，比如电磁振荡和量子力学中的波函数振动等。
波动方程是描述波动现象的数学方程。
它可以用来描述波在介质中传播的行为。
最常见的波动方程是一维波动方程，它可以表示为：∂²u/∂t² = c²∂²u/∂x²其中，u是波的振幅，t是时间，x是空间坐标，c是波速。
这个方程描述了波在时间和空间上的变化。
波动方程可以用来描述各种类型的波动现象，比如声波、光波和电磁波等。
它是波动现象研究的重要工具，可以帮助我们理解波的传播规律和特性。
振动方程和波动方程是物理学中的重要概念和工具。
它们可以帮助我们理解和描述振动和波动现象的行为。
振动方程描述了物体在平衡位置附近的振动行为，而波动方程描述了波在介质中传播的行为。
通过研究和解决这些方程，我们可以深入了解振动和波动现象的本质，并应用于各个领域的研究和实际应用中。
总结起来，振动方程和波动方程是描述振动和波动现象的数学模型。
它们在物理学和工程学中发挥着重要的作用，帮助我们理解和应用振动和波动现象。
通过研究和解决这些方程，我们可以深入了解振动和波动现象的本质，并应用于各个领域的研究和实际应用中。
大学物理学振动与波动习题答案
大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章振动P174．4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x= 0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π．当t = 0时，x = 0.06m，所以cosφ = 0.5，因此φ = ±π/3．物体的速度为v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)．当t = 0时，v = -ωA sinφ，由于v > 0，所以sinφ < 0，因此φ = -π/3．简谐振动的表达式为x = 0.12cos(πt –π/3)．（2）当t = T/4时物体的位置为x = 0.12cos(π/2–π/3)= 0.12cosπ/6 = 0.104(m)．速度为v = -πA sin(π/2–π/3)= -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．加速度为a = d v/d t = -ω2A cos(ωt + φ)= -π2A cos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x= -0.06m 时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5，因此πt1 - π/3 = ±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0，可得πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2，可得t2 = 11/6 = 1.83(s)．所需要的时间为Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x= -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x 轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得πt - π/3 = π/2，解得t = 5/6 = 0.83(s)．[注意]根据振动方程x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，可得φ = ±arccos(x0/A)，（-π < φ≦π），初位相的取值由速度决定．由于v = d x/d t = -ωA sin(ωt + φ)，当t = 0时，v = -ωA sinφ，当v > 0时，sinφ < 0，因此φ = -arccos(x0/A)；当v < 0时，sinφ > 0，因此φ = arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，φ = 0；当初位置x0 = -A时，φ = π．4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x = A cosΦ，其中A表示振幅，Φ = ωt + φ表示相位．由于x a = A，所以cosΦa = 1，因此Φa = 0．由于x b = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此Φb = ±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此Φb = π/3．由于x c = 0，所以cosΦc = 0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．同理可得其他两点位相为Φd = 2π/3，Φe = π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为t a = T/6．到达b点的时刻为t b = 2t a = T/3．到达c点的时刻为t c = t a + T/4 = 5T/12．到达d点的时刻为t d = t c + T/12 = T/2．到达e点的时刻为t e = t a + T/2 = 2T/3．（2）设振动表达式为x = A cos(ωt + φ)，当t = 0时，x = A/2时，所以cosφ = 0.5，因此φ =±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ = -π/3，因此振动表达式为cos(2)3tx ATπ=π-．另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于x f = 0，根据运动方程，可得cos(2)03tTππ-=所以232ftTπππ-=±．图6.2显然f 点的速度大于零，所以取负值，解得t f = -T /12．从f 点到达a 点经过的时间为T /4，所以到达a 点的时刻为t a = T /4 + t f = T /6，其位相为203a a t T Φπ=π-=．由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．4．3如图所示，质量为10g 的子弹以速度v = 103m ·s -1水平射入木块，并陷入木块中，使弹簧压缩而作简谐振动．设弹簧的倔强系数k= 8×103N ·m -1，木块的质量为 4.99kg ，不计桌面摩擦，试求：（1）振动的振幅； （2）振动方程．[解答]（1）子弹射入木块时，由于时间很短，木块还来不及运动，弹簧没有被压缩，它们的动量守恒，即mv = (m + M )v 0．解得子弹射入后的速度为v 0 = mv/(m + M ) = 2(m ·s -1)，这也是它们振动的初速度．子弹和木块压缩弹簧的过程机械能守恒，可得(m + M ) v 02/2 = kA 2/2，所以振幅为A v =×10-2(m)． （2）振动的圆频率为ω=·s -1)．取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x 的正方向，振动方程可设为x = A cos(ωt + φ)．当t = 0时，x = 0，可得φ = ±π/2；由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为x = 5×10-2cos(40t - π/2)(m)． 4．4 如图所示，在倔强系数为k 的弹簧下，挂一质量为M 的托盘．质量为m 的物体由距盘底高h 处自由下落与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时刻，求振动方程．[解答]物体落下后、碰撞前的速度为v =物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为0m v v m M ==+这也是它们振动的初速度． 设振动方程为x = A cos(ωt + φ)，其中圆频率为ω=物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x 1，则x 1 = Mg/k ．物体与托盘碰撞之后，在新的平衡位置，弹簧伸长为x 2，则x 2 = (M + m )g/k ．取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为x 0 = x 1 - x 2 = -mg/k ． 因此振幅为A ==图4.3图4.4= 初位相为00arctanv x ϕω-==4．5重量为P 的物体用两根弹簧竖直悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率．[解答]（1）可以证明：当两根弹簧串联时，总倔强系数为k = k 1k 2/(k 1 + k 2)，因此固有频率为2πων===．（2）因为当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为2πων===4．6 一匀质细圆环质量为m ，半径为R ，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的周期．[解答]方法一：用转动定理．通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为 I c = mR 2． 根据平行轴定理，环绕过O点的平行轴的转动惯量为I = I c + mR 2 = 2mR 2．当环偏离平衡位置时，重力的力矩为M = -mgR sin θ，方向与角度θ增加的方向相反．根据转动定理得I β = M ，即 22d sin 0d I mgR tθθ+=，由于环做小幅度摆动，所以sin θ≈θ，可得微分方程22d 0d mgRt Iθθ+=． 摆动的圆频率为ω=周期为2πT ω=22==方法二：用机械能守恒定律．取环的质心在最底点为重力势能零点，当环心转过角度θ时，重力势能为E p = mg (R - R cos θ)， 绕O 点的转动动能为212k E I =ω， 总机械能为21(cos )2E I mg R R =+-ωθ． 环在转动时机械能守恒，即E 为常量，将上式对时间求导，利用ω = d θ/d t ，β = d ω/d t ，得0 = I ωβ + mgR (sin θ) ω，由于ω ≠ 0，当θ很小有sin θ≈θ，可得振动的微分方程22d 0d mgRt Iθθ+=， 从而可求角频率和周期．[注意]角速度和圆频率使用同一字母ω，不要将两者混淆．(b)图4.54.7 横截面均匀的光滑的U 型管中有适量液体如图所示，液体的总长度为L ，求液面上下微小起伏的自由振动的频率。
振动与波动振动
y
y
x2
x1
x3
x
1
2 3
x
例3、 图（a）、（b）分别表示t=0s和t=2s时的 某一平面简谐波的波形图。 试写出此平面简谐波波方程。
y/m
y/m
2
2
O
x/m
12
O1
2
x/m
2
2
(a)
(b)
五、波的能量和能流
波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振动能量的传播。
（1）波长与周期；（2）波源的振动方程；
（3）波方程； （4）离波源0.1m 处质点的振动方程； （5）离波源0.2m和0.3m两点处质点振动的
相位差； （6）在波源振动0.0021s 时的波形方程。
波的干涉
波传播的独立性
?
两不同形状的正(向上)脉冲
两脉冲一正一负, 且位置重合时互为镜象
结论：
(1)波的传播不是介质质元的传播， 是振动状态的传播，是相位的传播
(2) “上游”的质元依次带动“下游”的质元振动。 (3) 某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”
某处出现---波是振动状态的传播。 (4) 同相点----质元的振动状态相同。
3、波长、周期、波速、频率
三、平面简谐波的波方程
v
这就是右行波的波方程。
y
v
0
P
x
x
左行波的波方程为 y( x ,t ) Acos( t x )
v
y( x ,t ) Acos( t x )
v
y
四、波方程的物理意义
0
1. x x1 （常数）
振动方程和波动方程
振动方程和波动方程振动方程和波动方程是物理学中两个重要的方程，它们描述了振动和波动现象的规律和特性。
本文将分别介绍振动方程和波动方程的定义、推导以及应用。
一、振动方程振动是物体在某一平衡位置附近往复运动的现象。
振动方程描述了物体振动的规律。
一般来说，振动方程可以分为简谐振动方程和非简谐振动方程。
简谐振动方程是指物体在平衡位置附近以固定频率和振幅往复振动的情况。
对于简谐振动，振动方程可以表示为x=A*sin(ωt+φ)，其中x表示物体的位移，A表示振幅，ω表示角频率，t表示时间，φ表示初相位。
非简谐振动方程是指物体在振动过程中受到了非线性的力或阻尼的影响，使得振动不再是简谐的情况。
非简谐振动方程的形式较为复杂，可以根据具体情况进行推导。
非简谐振动方程的求解需要借助数值模拟或近似方法。
振动方程在物理学、工程学、生物学等领域有着广泛的应用。
例如，在机械振动中，振动方程可以用于描述机械系统的振动特性，从而进行振动控制和优化设计；在生物学中，振动方程可以用于研究人体内部的生物振动，从而帮助诊断疾病和设计医疗设备。
二、波动方程波动是指能量在空间中传播的过程。
波动方程描述了波动现象的规律。
一般来说，波动方程可以分为机械波动方程和电磁波动方程。
机械波动方程是指介质中的能量以波的形式传播的情况。
对于机械波，波动方程可以表示为∂²u/∂t²=c²∇²u，其中u表示介质的位移，t表示时间，c表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
电磁波动方程是指电磁场的能量以电磁波的形式传播的情况。
对于电磁波，波动方程可以表示为∇²E=με∂²E/∂t²，其中E表示电场强度，∇²表示拉普拉斯算子，μ表示磁导率，ε表示介电常数。
波动方程在物理学、电子学、光学等领域有着广泛的应用。
例如，在声学中，波动方程可以用于研究声波的传播和衍射现象，从而进行声学设计和噪声控制；在光学中，波动方程可以用于研究光的传播和干涉现象，从而进行光学设计和光学仪器的优化。
简述振动和波动
简述振动和波动
振动是一个质点的来回往复运动.
波动是有联系作用的大量质点的运动,一个质点的运动可以通过与相邻质点的作用把它的运动传播出去,这种运动在大量质点中传播.
联系：振动是波动的原因，波动是振动的结果；有波动必然有振动，有振动不一定有波动。
区别：发现历史不同；原理不同；应用不同。
振动是指一个孤立的系统（也可是介质中的一个质元）在某固定平衡位置附近所做的往复运动，波动是振动在连续介质中的传播过程，此时介质中所有质元都在各自的平衡位置附近作振动。
波动：无线电波、光波、X射线等。
振动：振动原理广泛应用于音乐、建筑、医疗、制造、建材、探测、军事等行业，有许多细小的分支，对任何分支的深入研究都能够促进科学的向前发展，推动社会进步。
初中物理振动与波动知识点总结
初中物理振动与波动知识点总结振动与波动是物理学中重要的概念，涉及到我们日常生活中的许多现象，例如钟摆摆动、声音的传播等。
本文将对初中物理中与振动与波动相关的知识点进行总结。
1. 振动的基本概念与特征振动是物体围绕某个平衡位置来回周期性移动的现象。
物体在振动过程中呈现出周期性、往复性和传递能量的特征。
2. 振动的分类根据振动的方向和物体的形状，振动可以分为线性振动和角形振动。
线性振动是物体在直线上往复运动，例如弹簧振子的振动；角形振动是物体在角度上往复运动，例如摆钟的摆动。
3. 振动的描述方法振动可以用周期、频率和振幅来描述。
周期是指振动完成一次往复运动所需要的时间；频率是指单位时间内振动发生的次数；振幅是指物体离开平衡位置的最大位移。
4. 波的传播与波的分类波是一种通过介质传递能量的现象。
根据介质的振动方向，波可以分为机械波和电磁波。
机械波需要通过物质介质传播，例如声波和水波；电磁波可以在真空中传播，例如光波和无线电波。
5. 波的特性与性质波具有传播速度、频率、波长和振幅等特性。
传播速度是波在单位时间内向前传播的距离；频率是单位时间内波的起伏次数；波长是波的一个完整周期的空间长度；振幅是波的最大振动位移。
6. 声音的传播与性质声音是机械波在介质中传播的一种波动现象。
声音是由物体的振动产生的，通过震动传播给周围介质，并被耳朵接收。
声音的传播速度与介质的性质有关，一般在气体中的传播速度较小，在固体中的传播速度较大。
声音的频率决定了声音的音调，而振幅则决定了声音的音量。
7. 光的传播与性质光是一种电磁波，具有波粒二象性。
光是以电磁波的形式在真空中传播，而在介质中的传播速度较慢。
光的频率决定了光的颜色，不同频率的光呈现不同的色彩；光的波长与频率有反比关系，即波长越短，频率越高。
光的传播可以遵循直线传播和直线传播的原理。
8. 光的反射与折射当光线遇到界面时，一部分光会被反射回原来的介质，称为反射；另一部分光会穿过界面进入新的介质中，称为折射。
第8章振动与波动
第八章振动与波动思考题8-1 从运动学角度看什么是简谐振动?从动力学角度看什么是简谐振动?一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，它是否一定作简谐振动?答：从运动学角度看，物体在平衡位置附近作来回往复运动，运动变量(位移、角位移等)随时间t的变化规律可以用一个正(余)弦函数来表示，则该物体的运动就是简谐振动。
从动力学角度看，物体受到的合外力(合外力矩)与位移(角位移)的大小成正比，而且方向相反，则该物体就作简谐振动。
根据简谐振动的定义可以看出，物体所受的合外力不仅要与位移方向相反，而且大小应与位移大小成正比。
所以，一个物体受到一个使它返回平衡位置的力，不一定作简谐振动。
8-2 试说明下列运动是不是简谐振动：(1)小球在地面上作完全弹性的上下跳动；(2)小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动；(3)曲柄连杆机构使活塞作往复运动；(4)小磁针在地磁的南北方向附近摆动。
答：简谐振动的运动学特征是：振动物体的位移(角位移)随时间按余弦或正弦函数规律变化；动力学特征是：振动物体所受的合力(合力矩)与物体偏离平衡位置的位移(角位移)成正比而反向；从能量角度看，物体在系统势能最小值附近小范围的运动是简谐振动，所以：(1)不是简谐振动，小球始终受重力，不满足上述线性回复力特征；(2)是简谐振动，小球只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征；(3)不是简谐振动．活塞所受的力与位移成非线性关系，不满上述动力学特征；(4)是简谐振动，小磁针只有在“小幅度”摆动时才满足上述特征。
8-3 下列表述是否正确，为什么?(1)若物体受到一个总是指向平衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；(2)简谐振动过程是能量守恒的过程，因此，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。
答：(1)正确。
当该合力的方向总是指向平衡位置，并且其大小总是正比于位移的大小时，物体所作的周期运动是简谐振动；当该合力的方向总是指向平衡位置，但合力的大小并不仅仅正比于位移的大小时，物体所作的振动就不一定是简谐振动，比如阻尼振动、受迫振动等。
《振动和波动》课件
由摩擦力或阻尼器对振动物体的影响。
波动的类型——机械波、电磁波、声 波等
1 机械波
需要媒质传播的波动。
3 声波
由物体振动产生的机械波。
2 电磁波
不需要媒质传播的波动。
波动的传播——波的速度、波长与频 率的关系
1 波速
波动传播的速度。
2 波长
波动中相邻两个点之间的距离。
3 频率
波动在单位时间内重复的次数。
振动物体复位受力与位移成正比。
2 非线性振动
振动物体复位受力与位移不成正比。
自由振动和受迫振动
1 自由振动
物体在没有外力作用下的振动。
2 受迫振动
物体在外部力作用下的振动。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
振动的频率和周期
1 频率
振动在单位时间内重复的次数。
2 周期
振动完成一个完整循环的时间。
谐振和阻尼振动
1 谐振
物体在外界周期性作用力下产生共振现象。
《振动和波动》PPT课 件 什么是振动和波动
振动是物体周围的来回运动，而波动则是物质在空间传递的起伏运动。了解 振动和波动的基本概念对深入研究其它相关领域至关重要。
振动和波动的区别
振动
是物体周围的来回运动。
波动
是物质在空间传递的起伏运动。
区别
振动是局部的，波动是传递的。
线性振动和非线性振动
1 线性振动
大学物理 振动和波动
ox 0
x
为半径作圆周（参考圆）
c
3、过 x 0 点作o x 轴的垂线，与圆交点为 b 、c
4、从o到 b、c 分别作矢量
5、
v0
v0
0
0
，下方矢量为旋转矢量
，上方矢量为旋转矢量
（
t
t
）
0
20
o 画旋转矢量图：取坐标、画圆周、通过 x 0 作垂线
到交点画矢量，若 v0 0 ，在下 方; 反之在上方.
3
一、简谐振动(Simple Harmonic Vibration)
1. 特征
k FN
★ 动力学特征
m
x
o x
F合外力（矩）kx
p 运动物体相 对平衡位置 的位移或角
位移
合外力（矩）
坐标原点必须在平 衡位置的运动物体
（广义弹性力） 的广义坐标
（准弹性力）
平动：（线）坐标
转动：角坐标 4
★ 微分方程特征
结论：夹角 t0
② 写运动方程
xA co s(t )
A
x02
v0
2
夹角 t0
21
例2 两个物体作同方向、
同频率、同振幅的 谐振动，在振动过 程中，每当第一个 物体经过位移为 A / 2 的位置向平衡位 置运动时，第二个物体也经过此位置， 但向远离平衡位置的方向运动，试利用 旋转矢量法求它们的相位差。
旋转角速度 固有圆频率
t
A t 0
A
t
o
x
满足上述四个条件的矢量称为旋转矢量
17
结论：
◆ 相位 t
振动与波动的共振现象
振动与波动的共振现象在自然界中，存在着许多振动和波动现象。
其中，振动是指物体沿某一方向上往复运动，而波动则是指能量在空间中传播的过程。
这两种现象都具有共振现象，即当外界的激励频率与物体或介质内固有频率相匹配时，振动和波动可以达到最大的幅度或强度。
共振现象在日常生活中随处可见。
我们常常在操场上看到孩子们推动秋千时，通过匀速的摆动来增加秋千的幅度。
这就是秋千发生了共振现象。
当孩子们推动秋千的频率与秋千本身的固有频率相匹配时，秋千的幅度会不断增大，给人一种非常奇妙的感觉。
共振现象不仅发生在机械振动中，也发生在声音、光和电磁波等波动中。
以声音为例，当一个声音波传播到一个空腔或共鸣器中时，如果声音波的频率与共鸣器的固有频率相等，则共鸣器的振幅会极大增加，使声音更加响亮。
这也是为什么乐器共鸣箱中的空气柱与乐器本身的音高有关系的原因。
共振现象还广泛应用于各个领域。
在工程领域中，共振现象在桥梁、建筑物和风力发电机等结构设计中扮演重要的角色。
这些结构在遭受外部激励时，如果没有合适的减振措施，就会发生共振现象，从而导致结构破裂或崩溃。
为了防止共振现象的发生，工程师往往需要通过改变结构的频率特性或添加阻尼器等手段来消除共振。
除了结构设计外，共振现象还在医学诊断、天文学观测和电子技术等领域中有广泛的应用。
在医学诊断中，超声波的共振特性被用于检测人体内部的器官和组织。
天文学家通过监测星系中的引力波共振现象，来研究宇宙的演化和结构。
在电子技术中，共振电路可以用来选择特定频率的信号，进行滤波和放大等处理。
尽管共振现象在各个领域中发挥着重要作用，但过度的共振也会带来不利影响。
例如，桥梁共振可以产生破坏性的振动，导致桥梁的倒塌。
此外，在电子技术中，共振现象也可能导致电路的不稳定和干扰。
因此，对于振动与波动的共振现象，我们既需要充分利用其优势，也要注意其潜在风险。
在工程设计中，我们需要充分了解结构的固有频率，并进行相应的控制措施，以确保结构的稳定性。
振动和波动的例子
振动和波动的例子一、引言振动和波动是物理学中两个非常重要的概念，它们在我们的日常生活中随处可见。
从简单的摆钟摆动到复杂的声波传播，这些都是振动和波动现象的例子。
本文档将详细介绍一些振动和波动的例子，以帮助读者更好地理解这两个概念。
二、振动的例子1. 摆钟：摆钟是振动的一个常见例子。
摆钟的工作原理是利用一个固定的支点和一个悬挂的重物（摆锤）组成的简单振动系统。
当摆锤在重力的作用下往复运动时，就会产生周期性的振动。
摆钟的振动周期与摆长和重力加速度有关，可以通过调节摆长来调整振动周期。
2. 电磁振荡器：电磁振荡器是一种利用电磁感应原理产生振动的装置。
当电流通过电磁线圈时，会产生磁场。
当磁场发生变化时，会在线圈中产生感应电动势，从而产生电流。
这个过程会不断重复，导致线圈中的电流产生周期性的振动。
3. 音叉：音叉是一种简单的发声装置，通常由两个呈叉状的金属片组成。
当敲击音叉时，音叉会产生振动，进而产生声波。
声波在空气中传播，到达我们的耳朵时，我们就能听到声音。
音叉的振动频率决定了声音的音调。
三、波动的例子1. 水波：水波是液体表面的一种波动现象。
当水面受到外力作用时，如风吹、石头投入等，水面会产生波动。
水波的传播速度与水深和波长有关，一般情况下，水深越浅，波速越快；波长越短，波速越快。
2. 声波：声波是一种机械波，是由物体振动产生的。
声波可以在气体、液体和固体中传播。
声波的传播速度与介质的性质和温度有关。
例如，声波在空气中的传播速度约为340米/秒，而在固体中的传播速度要快得多。
3. 光波：光波是一种电磁波，是由电场和磁场相互作用产生的。
光波在真空中的传播速度为299792458米/秒，约为每秒30万公里。
光波可以在无边界的空间中传播，不需要介质。
光波具有干涉、衍射和偏振等性质，是现代科学技术的基础之一。
四、振动和波动的联系与区别振动和波动虽然有很大的区别，但它们之间也有一定的联系。
振动是物体在一定时间内往复运动的过程，而波动是振动在空间中传播的过程。
物理振动和波动
( 20 10 )
2
y o x
x
x2 y 2 2 1 2 A1 A2
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为 A2 的椭圆方程，且顺时针旋转。
讨论4
2
3 ( 20 10 ) 2
2
y
x y 2 1 2 A1 A2
o
x
所以是在X轴半轴长为 A1 ， Y轴半轴长为 A2 的椭圆方程，且逆时针旋转。 讨论5
500 v (Hz)
北京大钟寺内的巨钟的频谱图
⒈在平衡位置附近来回做往复运动的现象 叫做机械振动，简称振动。
⒉机械振动的主要特征是：
“空间运动”的往复性和“时间”上的周 期性。
产生机械振动的基本条件：
1.
物体受到回复力的作用（指向平衡位置）；
2.
回复力和物体惯性交替作用，维持机械振动。
二、简谐振动
这两类波本质不同，但有许多共同特征，如能 产生折射、反射、衍射和干涉等现象，且都伴随 着能量的传播。
第一节
振动的传播过程称为波动。 机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。 产生机械波的必要条件：
波源 媒质 作机械振动的物体； 能够传播机械振动的弹性媒质。
波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动，振动相继 传播到后面各相邻质点，其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现，各质点仍 在其各自平衡位置附近作振动。
补充:简谐振动的速 度和加速度 位移： x
1.简谐振动的各阶导数也 都作简谐振动 2. x,a,v相位依次相差/2
t A cos t
dx A sin t 速度： v dt A cos t
理论力学中的波动与振动分析
理论力学中的波动与振动分析波动与振动是理论力学中重要的研究方向，涉及到许多实际应用和科学理论。
本文将从经典力学和量子力学两个方面，对波动与振动进行深入分析。
一、经典力学中的波动与振动在经典力学中，波动可以用以下形式的波动方程来描述：ψ(x, t) = A * sin(kx - ωt + φ)其中，ψ是波函数，A代表振幅，k是波数，x表示位置变量，ω代表角频率，t为时间变量，φ为相位角。
振动是波动的一种特殊形式，当振动发生在一维系统中时，可以用简谐振动方程来描述：x(t) = A * cos(ωt + φ)其中，x为位移，A为最大位移量，ω为角频率，t为时间，φ为初相位角。
二、量子力学中的波动与振动在量子力学中，粒子的波动性由波函数来描述，而波函数的演化满足薛定谔方程：i * ℏ * ∂ψ/∂t = -Ĥψ其中，Ĥ为哈密顿算符，ℏ为普朗克常数除以2π。
量子力学中的波动性表现为粒子的波粒二象性，即既具有粒子性又具有波动性。
粒子的波函数通过薛定谔方程得到后，可以用波包的形式表示。
波包是一个由多个简谐波组合而成的波动形式，可以用高斯波包表达。
对于振动来说，在量子力学中，可以用谐振子模型进行描述。
谐振子模型是量子力学中的一个重要模型，它是简谐振动的量子版本。
谐振子的哈密顿算符表达式为：Ĥ = (ℏω/2) * (a^†a + aa^†)其中，a和a^†分别是谐振子的湮灭算符和产生算符，ℏ是普朗克常数除以2π，ω为角频率。
谐振子的能级由能量本征值给出。
三、波动与振动的应用波动和振动在物理学、工程学和其他学科中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1.声学：声音是通过空气中的波动传播的，声学研究了声音的起源、传播和感知。
声波的频率和振幅可以影响我们对声音的感知。
2.光学：光是一种电磁波，光学研究了光的传播、反射、折射等现象。
波动光学理论可以解释光的干涉、衍射等现象。
3.无线通信：通过调制载波的振幅和频率，可以实现无线信号的传输。
震动与波动的传播方式的差异
震动与波动的传播方式的差异震动和波动是物理学中两个重要的概念，它们描述了物质在空间中传播的方式。
虽然它们都是以振动为基础，但它们的传播方式和特性却有着明显的差异。
一、震动的传播方式震动是指物体在一点上的振动，它以机械波的形式传播。
当物体受到外力的作用时，它会发生振动，并将这种振动通过相邻的分子或粒子传递给周围的物质。
这种传递方式是通过分子之间的相互作用来实现的。
在固体中，震动的传播方式是以纵波和横波的形式进行的。
纵波是指物质中的分子沿着波的传播方向进行压缩和稀疏的振动。
横波则是指物质中的分子在垂直于波的传播方向上进行的振动。
这两种波的传播速度取决于物质的性质，如密度、弹性等。
在液体和气体中，震动的传播方式是以纵波的形式进行的。
当物体受到外力作用时，它会在液体或气体中产生压缩和稀疏的振动，这种振动会通过分子之间的碰撞传递给周围的分子，从而实现能量的传播。
二、波动的传播方式波动是指能量在空间中传播的过程，它以电磁波的形式进行。
电磁波是由电场和磁场相互耦合而形成的波动，它可以在真空中传播，也可以在介质中传播。
电磁波的传播方式是通过电场和磁场的相互作用来实现的。
当电场发生变化时，它会引起磁场的变化，而当磁场发生变化时，它又会引起电场的变化。
这种电场和磁场的变化会相互耦合，从而形成电磁波的传播。
电磁波的传播速度是一个常数，即光速。
在真空中，光速是一个恒定的值，约为3.00×10^8米/秒。
而在介质中，光速会受到介质的性质影响，如折射率等。
三、震动和波动的差异从传播方式上来看，震动是通过分子之间的相互作用来实现的，而波动是通过电场和磁场的相互作用来实现的。
这种差异决定了它们的传播速度和传播特性的不同。
首先，震动的传播速度取决于物质的性质，如密度、弹性等。
不同的物质具有不同的传播速度，这也是为什么在不同的介质中声音的传播速度不同的原因。
而波动的传播速度在真空中是一个常数，即光速，不受介质的影响。
其次，震动的传播方式是以纵波和横波的形式进行的，而波动的传播方式是以电磁波的形式进行的。
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W p 1 kA2 cos2( t ) (2) 2 Wk 1 kA2 sin2( t ) (3) 2
(2)式 + (3)式得：
W总 Wk Wp 1 kA2
2
同理:
1 m 2 A2 1 mv 2 W 总 2 2 max
1º简谐振动系统的动能、势能随时间变 化，总能量为常数。 2ºW总A2 对任意谐振动适用。
3 例 当 > 时， 2
一般不说x2比 x1超前 3
1 0
2 3 2
13
而说x1 比 x2 超前 2
2
例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s 当t = 0时, x0= 6cm, 且向x正方向运动。 求（1） 初位相。 （2）t =0.5s 时, 物体的位置、速度、加速度。 t 0 解：（1）由旋转矢量图看
15
最简单的解法是用旋转矢量法
“ t ”如图 x 6 cm 时，
t 1(s)
t+
6
与t =0 相比较知： 振动物体经过了T/2 故t =1（s）再求得 v , a
x(cm )
t 0
从这一位置回到平衡位置 所需的时间：
t ? + π 5π t π 3 2 6 t t 5π 5 0 833(s ) 6π 6
6
*圆频率 ： 2 秒内振动的次数（描述简谐振动快慢）
=2π ， T=1/ = 2/ = 2 /T 由系统的性质决定故称 “ 固有频率”.
*初位相 ： 表征振子在 t=0 时刻的运动状态.
7
5. 特征量、A、 的求法： （1）求 （注意举一反三）
*写出振子所受的合外力 *根据牛顿第二定律 * 联立得 ma kx *与
18
原 长
h
x0
例2.将天平盘子挂在一个倔强系数为k的弹 簧下端,有一质量为m的物体,从离盘高 为h处自由下落至盘中后不再跳离盘子, 因此盘子和物体一起开始运动(盘和弹 簧的质量忽略)， 问(1)是否为谐振动？ 解: 盘、弹簧、物体构成的一个系统 t 0 设物体 m 落入盘中后,系统运动至o处 所受合力为零（o为平衡位置）。 建立坐标如左图, 则
3
(π t π ) 2π t 1(s) 3 3 将t =1s代入(2)中 v、a 的解析式，求得： 1) π 32 7( cm s v 12π sin(π 1 )
3 a 12π2 cos(π 1 π) 59 2(cm s2) 3
t
t=t
x (cm) t 0
17
★ 谐振动的判据
线谐振动
F kx
a 2x
d2 x 2 x 0 dt 2
x A cos( t )
角谐振动
M k
2
d 2 2 0 dt 2
m cos( t )
27
注意:
注意:
1 kA2 2
W
3º假定 =0, 则
W p 1 kA2 cos2 t 2 Wk 1 kA2sin2 t 2
W总 Wk
WP
能量—时间曲线
t
o
x
T
4° Wk W p 1W总 2
振动曲线
t
由图看出: Wk、Wp的变化频率是振动频率的2倍.
1 kA2 W W W 总 k p 2
f o
x
mg
X
mg kx0 0
mg kx0
系统在任一时刻所受的合力为：
F mg f kx0 k(x0 x) 即 F kx 是谐振动！
19
（2）求振动时的周期 T 振幅 A 位相 及振动方程。
原 长
解：根据
h
t 0
F kx F ma
14
例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s 当t = 0时, x0= 6cm, 且向x正方向运动。 求（3）在x = 6cm处且向 x负方向运动时, 物体 的速度、加速度以及从这一位置回到平衡 位置需的时间。 解:（用解析法） 6 12 cos( π t π )
1 ? π 3 2 ? π
（2）t =0.5s 时
1
0 2
12
3
x(cm)
x Acos( 2π t ) 12cos(2π 0 5 π) 2 3 T 10 4(cm) v A sin(t ) 18 9(s1) a A2 cos(t ) 103(cm s2)
28
第2节
谐振动的合成
Combination of Simple Harmonic Motions 1.同振动方向、同频率的两个谐振动的合成 设两谐振动分别为：
1 A o x1 合振动 : x = x1+ x2 x 由矢量合成法 可得: x =A cos(t+ ) 合振动是谐振动, 其频率仍为， 结论：
16
例1. 一物体沿 x 轴作简谐振动，A= 12cm, T = 2s 当t = 0时, x0= 6cm, 且向x正方向运动。 求（4）从初始时刻开始，第二次通过平衡位置 的时刻t。 解: 如图所示, t = t 时物体第二次过平衡位置
π π π+ t = 3 2 11 π 6 11 (s) t 6
注意: 板在运动, x是变化的!
23
2d mg
N 2d N1d mgx 0 mgx N1 N2 d
Fx ( N 1 N 2 )
mg Fx d x
y
N1
o c
f1 f2
N2
x
是简谐振动！
mg
mg a x md g
d
2d
2 d 2 T g
12
t 0
t π 2
t 3 2
位相差:
x1 A1 cos( t 1) x2 A2 cos( t 2)
2 1
注意
0 （或2的整数倍） 步调一致 （或 的奇数倍） 步调相反 0 x2 比 x1 超前 或 x1 比 x2 落后
其中 2
k m
变加速运动
特点：物体在某一时刻的加速度和该时刻的位移 成正比, 而方向相反。
3
2.谐振动的数学表示式 位相
(1).谐振动的数学表示式
d2 x 2 x 0 dt 2
x A cos( t ) d x v A sin(t ) dt dv a A2 cos(t ) dt
kx ma
x0
a k x 则 k m m 即 T 2 2 m k
mg t 0 时 x0 v0 2gh k
f o
x
mg
X
A
2 x0
v0 2 mg 1 2kh ( ) k mg
20
v0 ) tg ( x0
1
tg 1( 2kh ) mg
F kx F ma
a k x m
2
d2 x 2 x 相比较，得 dt 2 k m
8
（2）求 A 由
初始条件t = 0时，x0、v0共同决定。
根据
x Acos(t ) v A sin(t )
x0 A cos (1) 当t=0时 v0 A sin （） 2
最基本、最简单、最重要的振动是谐振动。
1
第1节
谐振动
Simple Harmonic Motion 1. 定义及运动方程 动力学观点定义 运动学观点定义 （1）动力学观点定义 物体在回复力
F kxi
作用下的运动。
2
（2）运动学观点定义 以水平弹簧振子为例：
d2x 2x 0 dt 2
t tt t A A t 以匀角速 t 逆时针转动 M ( t ) t O O t T t 时刻的
振动相位
(t﹢
M(t )
M(t )
M(t ) 矢量端点 在X 轴上 的投影对 M ( t ) 应振子的 位置坐标
X
A
A
A
位相“t+ ”: 表示物体任意时刻 的运动状态。 x 例：由“t+ ”看( x , v ) 物体在正向位移极大处,速度为零. 下个时刻要向 x轴的负方向运动. 物体正越过原点,以最大速率运动. 下个时刻要向 x轴的负方向运动. 物体正越过原点,以最大速率运动. 下个时刻要向 x轴的正方向运动.
第四篇 振动与波动
第11章 振动与波动（上） Oscillations and Waves
第1节 谐振动 第2节 振动的合成与分解 第3节 阻尼振动与受迫振动 共振 第4节 振动的相空间描述
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。 力学量（如位移 x ） 电磁量（如 I、V、E、B） 机械振动 电磁振荡
t + ：位相 任一时刻t的运动状态.
4
3. 谐振动的种类 （1）线谐振（例弹簧振子）
F kx
x Acos(t )
（2）角谐振（例单摆）
轨迹是直线
M k
mcos(t )
轨迹是曲线
5
4. 描述简谐振动的物理量 *描述运动状态： 位置、速度. （平衡位置—— 振动物体受合外力为零的位置） *位移x： 振动物体任一时刻离开平衡位置的距离. *振幅A： 振动物体离开平衡位置最大距离的绝对值. *周期T： 物体完成一次全振动所需的时间. *频率： 物体在单位时间内完成全振动的次数.