江门市2010年高考模拟考试数学(理科含答案)

江门市2010年高考模拟考试数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知ABCD 是复平面内一个平行四边形，对应的复数为i +1，对应的复数为i 23-，其中 i 为虚数单位．则对应的复数为A.i 32-B.i 32+-C.i -4D.i +-4 ⒉已知集合{}是菱形或矩形x x A |=，{}是矩形x x B |=，则=B C AA.{}是菱形x x |B.{}形是内角都不是直角的菱x x |C.{}是正方形x x |D.{}是邻边都不相等的矩形x x |⒊已知)sin(ϕω+=x A y 的最大值为1，在区间32, 6[ππ上， 函数值从1减小到1-，函数图象（如图1）与y 轴的交点P 坐标是A.)21 , 0(B.)22, 0( C.23, 0( D.⒋经过25)2()1(22=++-y x 的圆心，且与向量)4 , 3(-=a 垂直的直线的方程是A.01143=--y xB.01143=+-y xC.0134=-+y xD.0234=++y x ⒌已知0>a ，0>b ，12=+b a ，则ba 11+的取值范围是 A.)6 , (-∞ B.) , 4[∞+ C.) , 6[∞+ D.) , 223[∞++ ⒍从一个三棱柱111C B A ABC -的六个顶点中任取四点，这四点不共面的概率是A.51 B.52 C.53 D.54 ⒎若)()21(2010201022102010R x x a x a x a a x ∈++++=- ，则=++++20102010221002222a a a a A.1- B.0 C.1 D.2010A CD EO 图2B ⒏用{}c b a , , max 表示a 、b 、c 三个数中的最大值，则{}243 , 12 , 3max )(x x x f x -+=在区间]2 , 0[上的最大值M 和最小值m 分别是A ．9=M ，13-=mB ．5=M ，13-=mC ．9=M ，2=mD ．5=M ，1=m二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． ㈠必做题（9～13题）⒐某高中高一、高二、高三在校学生人数分别为1200、1200、1100，现要从中抽取140名学生参加周末公益活动，若用分层抽样的方法，则高三年级应抽取 人． ⒑下列命题中，真命题是 （将真命题前面的编号填写在横线上）． ①已知平面α、β和直线a 、b ，若a =βα ，α⊂b 且b a ⊥，则βα⊥．②已知平面α、β和两异面直线a 、b ，若α⊂a ，β⊂b 且β//a ，α//b ，则βα//． ③已知平面α、β、γ和直线l ，若γα⊥，γβ⊥且l =βα ，则γ⊥l ． ④已知平面α、β和直线a ，若βα⊥且β⊥a ，则α⊂a 或α//a ． ⒒由直线x y =与曲线2x y =所围图形的面积=S ． ⒓函数)1(log 1|2|)(2---=x x x f 的定义域为 ．⒔产量相同的机床Ⅰ、Ⅱ生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数1X 、2X 的分布列分别如下：两台机床中，较好的是 ，这台机床较好的理由是 ． ㈡选做题（14～15题，考生只能从中选做两题）⒕（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==my x θθsin cos （m 是常数，] , (ππθ-∈是参数），若曲线C 与x 轴相切，则=m ． ⒖（几何证明选讲选选做题）如图2，ABC Rt ∆中，090=C ，30=A ，圆O 经过B 、C 且与AB 、AC 相交于D 、E ．若32==EC AE ，则=AD ，圆O 的半径=r ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． ⒗（本小题满分12分）ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知C ab c b a 2sin 222=-+．⑴求角C ；⑵若1=-a c ，9 =⋅AC AB ，求c ．⒘（本小题满分12分）旅行社为某旅行团预订单人房和双人房两种住房，每间单人房订金150元、每间双人房订金200元，每种房至少预订两间（含两间），旅行团不超过13人． ⑴设旅行社为这个旅行团预订了单人房x 间、双人房y 间，一共需要交订金z 元．写出z 的解析式和x 、y 所满足的约束条件，并求它的所有可行解) , (i i y x ，1=i 、2、……n ； ⑵图3是根据⑴计算这个旅行团最多需交订金S （单位：元）的程序框图．则处理框①和判断框②中的语句分别是什么？输出的S 是多少？AA 1⒙（本小题满分14分）如图4，四棱柱1111D CB A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，ABCD AA 底面⊥1，1=AD ，2=AB ，060=∠BAD ，E 、F 分别是侧棱1BB 、1CC 上一点，1=BE ，2=CF ，平面AEF 与侧棱1DD 相交于G ． ⑴证明：C C BB AEFG 11平面平面⊥； ⑵求线段CG 与平面AEFG 所成角的正弦值； ⑶求以C 为顶点，四边形AEFG 在对角面D D BB 11内的正投影为底面边界的棱锥的体积．⒚（本小题满分14分）已知圆C ：016622=--+y y x 与x 轴相交于1F 、2F ，与y 轴正半轴相交于B ，以1F 、2F 为焦点，且经过点B 的椭圆记为G ． ⑴求椭圆G 的方程；⑵根据椭圆的对称性，任意椭圆都有一个四边都与椭圆相切的正方形，这个正方形称为椭圆的外切正方形，试求椭圆G 外切正方形四边所在直线的方程．⒛（本小题满分14分）已知函数||)(a x x x f -=，R a ∈是常数．⑴若1=a ，求)(x f y =在点))1( , 1(--f P 处的切线；⑵是否存在常数a ，使12)(+<x x f 对任意)2 , (-∞∈x 恒成立？若存在，求常数a 的取值范围；若不存在，简要说明理由．21.(本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：λ=1a ，2321-+=+n a a n n ，其中R ∈λ是常数，*∈N n ．⑴若3-=λ，求2a 、3a ；⑵对R ∈∀λ，求数列{}n a 的前n 项和n S ； ⑶若012>+λ，讨论{}n S 的最小项．理科数学评分参考一、选择题 CBAA DDBC二、填空题 ⒐44 ；⒑ ②③④（若学生没有填①，则填②③④中任何一个给2分，二个给4分，三个给5分；若学生填了①，则在上面评分的基础上扣3分，扣完为止）；⒒61 ；⒓) , 3[∞+；⒔ Ⅱ(2分)，因为21EX EX =(1分)，21DX DX >(2分)；⒕1 ±（正确填1个给3分）；⒖3 （3分），7 （2分）．三、解答题⒗⑴根据余弦定理和倍角公式，C C ab C ab C ab c b a cos sin 22sin cos 2222===-+……3分，所以1sin =C 或0cos =C ……5分，2π=C ……6分．⑵由9 =⋅AC AB 得9cos cos | || |2==⨯⨯=⋅⋅b A b c A AC AB ……8分，即922=-a c ……9分，解⎩⎨⎧=-=-1922a c a c ……10分，得5=c ……12分．⒘⑴依题意，y x z 200150+=……1分，其中2≥x 、2≥y ，132≤+y x ……2分，即x 、y 所满足的约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥≥≤+., , 2, 2, 132N y x y x y x ……3分，它的所有可行解为)2 , 2(、)3 , 2(、)4 , 2(、)5 , 2(、)2 , 3(、)3 , 3(、)4 , 3(、)5 , 3(、)2 , 4(、)3 , 4(、)4 , 4(、)2 , 5(、)3 , 5(、)4 , 5(、)2 , 6(、)3 , 6(、)2 , 7(、)3 , 7(、)2 , 8(、)2 , 9(……6分．⑵处理框①中的语句是i i y x z 200150+=……8分，判断框②中的语句是n i <或20<i ……10分，单人房人均订金为150元、双人房人均订金100元，所以旅行团总人数最多且订单人房最多时，需要交的订金最多……11分，175020021509=⨯+⨯=S （元）……12分．⒙⑴连接BD ，在ABD ∆中，由余弦定理得3=BD ……1分，由勾股定理逆定理得090=∠ADB ，BD AD ⊥，又因为ABCD AA 底面⊥1，BD AA ⊥1，A AD AA = 1，所以D D AA BD 11平面⊥……2分，因为C C BB D D AA 1111//平面平面，所以FG AE //，同理EF AG //，所以AEFG 是平行四边形……3分，所以EF AG =，2222)(BE CF BC DG AD -+=+，所以BE BE CF DG ==-=1……4分，连接EG ，因为BE DG //，所以BDGE 是平行四边形，BD GE //，因为D D AA BD 11平面⊥……5分，所以C C BB GE 11平面⊥，AEFG GE 平面⊂，所以C C BB AEFG 11平面平面⊥……6分． ⑵连接CE ，因为2=CF 、EF BE BC CE ==+=222，222EF CE CF +=，所以EF CE ⊥……7分，因为C C BB AEFG 11⊥平面，EF C C BB AEFG =11 平面，C C BB CE 11平面⊂，所以AEFG CE 平面⊥……8分，连接EG ，则EG CE ⊥，CGE∠是CG 与平面AEFG 所成的角……9分，因为522=+=DG CD CG ，所以52s i n ==∠CG CE CGE ……10分． ⑶四边形AEFG 在对角面B D BB 11内的正投影为平行四边形，且点A 的正投影为点D ……11分，所以底面积3=⨯=GE DG S ……12分，高1==BC h ……14分，所以棱锥的体积3331==Sh V ……14分． 方法二：⑴连接BD ，在ABD ∆中，由余弦定理得3=BD ……1分，由勾股定理逆定理得090=∠ADB ，BD AD ⊥，又因为ABCD AA 底面⊥1，所以以D 为坐标原点，DA 、DB 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系xyz D -……2分，则)0 , 0 , 1(A 、)1 , 3 , 0(E 、)2 , 3 , 1(-F ……3分，设平面AEFG 的一个法向量为) , , (1c b a n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011EF n n ，⎩⎨⎧=+-=++-03c a c b a …4分，取1=a 得)1 , 0 , 1(1=n …5分，平面C C BB 11的一个法向量为)0 , 1 , 0(2=n ，因为0 21=⋅n n ，所以C C BB AEFG 11⊥平面……6分． ⑵设) , 0 , 0(d G ，因为C C BB D D AA 1111//平面平面，所以FG AE //，同理EF AG //，所以AEFG 是平行四边形……7分，所以 EF AG =，即)1 , 0 , 1() , 0 , 1(-=-d ，解得1=d ……8分，又)0 , 3 , 1(-C ，所以)1 , 3 , 1(--=GC ……9分，设CG 与平面AEFG 所成角为θ，则52||||| ,cos |sin 111=⋅=><=GC n GC n θ……10分．⒚⑴解⎩⎨⎧==--+0016622y y y x 得)0 , 4(1-F 、)0 , 4(2F ……2分，解⎩⎨⎧==--+0016622x y y x 得)8 , 0(B ……4分，所以4=c ，8=b ，5422=+=b a a ……6分，所以椭圆G 的方程是1648022=+y x ……7分． ⑵根据椭圆的对称性，设外切正方形一边的方程为：b x y +=……9分，由⎪⎩⎪⎨⎧+==+b x y y x 1648022得0320510922=-++b bx x ……10分，由0)3205(94)10(22=-⨯⨯-=∆b b ……11分，解得12±=b ……12分，正方形四边所在直线为12±=x y ，12±-=x y ……14分．⒛⑴1=a 时，⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=-=.1,,1,|1|)(22x x x x x x x x x f ……1分，在点))1( , 1(--f P 附近，2)(x x x f -=，x x f 21)(/-=……2分，所以)2 , 1(--P ，3)1(/=-=f k ……3分，所求切线方程为)1(32+=+x y ，即013=+-y x ……4分． ⑵12)(+<x x f 即12||+<-x a x x ……(＊)0=x 时，(＊)等价于10<，对任意R a ∈恒成立……5分． 20<<x 时，(＊)等价于x a x 12||+<-，即xx a x x 1212++<<--……6分，412≥++x x ，等号当且仅当1=x 时成立…7分，011)12(2/>+=--xx x ，x x y 12--=在20<<x 单调递增，2112-<--x x ……8分，所以421<≤-a ……9分． 0<x 时，(＊)等价于x a x 12||+>-，即x x a 12++>或xx a 12--<……10分，022)]1()[(212=-≤-+--=++xx x x ，等号当且仅当1=-x 即1-=x 时成立……11分，所以0>a ……12分，x x y 12--=在0<x 时的取值范围为R ，所以xx a 12--<恒成立的a 的解集为空集φ……13分．所以，常数a 的取值范围为{}{}40|0|421|<<=>⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-a a a a a a R ……14分．21．⑴31-=a ，3)21(3212-=-+=a a ……1分，2)22(3223-=-+=a a ……2分． ⑵设βα++=n a b n n ，α、R ∈β是常数……3分，代入得2)(32)1(1-+--=-+-+n n b n b n n βαβα，解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--+-=-232132ββααα……4分，得⎩⎨⎧=-=153βα，即153+-=n a b n n ，n n b b 321=+……5分．若12-≠λ，则{}n b 是首项为0121≠+=λb 、公比为32=q 的等比数列……6分，所以{}n b 的前n 项和])32(1)[12(31)1(1n n n q q b T -+=--=λ……7分，数列{}153-n 的前n 项和为2)273(2)153()153(-=⨯-+-n n n n ，所以2)273(])32(1)[12(3-+-+=n n S n n λ……8分．若12-=λ，则0=n b ，153-=n a n ，2)273(-=n n S n ……5.9分． 综上所述，R ∈∀λ，2)273(])32(1)[12(3-+-+=n n S nn λ……10分．⑶)]153()23()12[()32(153)32)(12(111-++=-++=---n n a n n n n λλ……11分，λ=1a ，)23(322-=λa ，)23(943-=λa ，)815(2784+=λa ……12分， 当5≥n 时0>n a ……13分， 所以，当23>λ时，*∈∀N n 有0>n a ，{}n S 的最小项是1S ；当23=λ时，{}n S 的最小项是1S 、2S 和3S ；当23815<<-λ时，{}n S 的最小项是3S ；当815-=λ时，{}n S 的最小项是3S 和4S ；当81512-<<-λ时，{}n S 的最小项是4S ……14分．。