1-4-10三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质
21
－1增至1.
π 3
三、余弦函数的单调性 1
-2π x -π -π y y=cosx (xR) O … π 0 1 2π …
2
？？
3π
4π
-1
…
2
x
π －1
…
cosx －1
0
0
增区间为[－π [， －0] π+2kπ，2kπ]，(k∈z) ，其值从 －1增至1.
今后所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最 小的正周期. 说明: ①当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值， 函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数.
②设f(x)是定义在实数集 D上的函数，若存在一个 常数T( T≠0)， 具有下列性质: (1)对于任何的 x∈D，有(x±T)∈D； (2)对于任何的 x∈D，有f(x+T)=f(x)成立，则f(x)叫做周期函数. ③若函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有 f(x+T)= f(x)成立，则T就不是f(x)周期. 17
(1) {x|x=
2
+2k， k z}；
(2) {x|x=6k， k z}；
25
例4 求下列函数y=sin(2x+ )的单调区间： 3 解 (1)令z=2x + ，函数y=sinz的单调增区间为: 3 [ 2k， 2k ]，（k z） 2 2 3 函数y=sinz的单调增区间为: [ 2k， 2k ]，（k z） 2 2 5 2 k 2 x 2 k ， 得 k x k , 2 3 2 12 12 3 7 2 k 2 x 2 k ， k x k， 2 3 2 12 12 12 k， k ](k z). 所以单调增区间为: [ 5 12 7 k， k ](k z). 单调减区间为: [
数学必修4——三角函数的图像与性质
数学必修4——三⾓函数的图像与性质数学必修4——三⾓函数的图像与性质⼀. 教学内容：三⾓函数的图像与性质⼆. 教学⽬标：了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会⽤“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2. 三⾓函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是，3. 函数最⼤值是，最⼩值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中⼼。
4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象⼀般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进⾏图象变换。
利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.⽆论哪种变形，请切记每⼀个变换总是对字母x⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。
途径⼀：先平移变换再周期变换（伸缩变换）先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
途径⼆：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。
5. 对称轴与对称中⼼：的对称轴为，对称中⼼为；的对称轴为，对称中⼼为；对于和来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点相联系。
6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。
【典型例题】例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最⼩值是（）A. B. C. D.解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利⽤偶函数的性质求解。
高考数学重难点解析 三角函数的图像及性质
三角函数的图像与性质【考纲说明】1．能画出y=sin x, y=cos x, y=tan x 的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最 小值、周期性、图像与x 轴交点等）；3．结合具体实例，了解)sin(ϕω+=x y 的实际意义；【知识梳理】一、三角函数的图像与性质1 sin y x =cos y x = tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性 奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭函 数性 质2、函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA 的性质振幅：A ；最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ； 其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
二、三角函数图像的变换1、五点法作y=Asin （ωx+ϕ）的简图： 五点取法是设t=ωx+ϕ，由t 取0、2π、π、2π3、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。
五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.2、三角函数的图像变换三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等． 由y ＝sinx 的图象利用图象变换作函数y ＝Asin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）（x ∈R ）的图象。
最全反三角函数概念图像完整版.doc
反三角函数图像与特征反正弦曲线图像与特征反余弦曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为－1反正切曲线图像与特征反余切曲线图像与特征拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点：，该点切线斜率为－1渐近线：渐近线：名称反正割曲线反余割曲线方程图像顶点渐近线反三角函数的定义域与主值范围函数主值记号定义域主值范围反正弦若，则反余弦若，则反正切若，则反余切若，则反正割若，则反余割若，则一般反三角函数与主值的关系为式中n为任意数数学术语将y作为的主值限在y=x对称。
其，π/2]arcsin x x的角，该角的范围在[-π/2，π/2]在[0，π]上的反函数，叫做反余弦函数。
arccosx的角，该角的范围在[0，π]区间内。
【图中蓝线】⑶在(-π/2，π/2）上的反函数，叫做反正切函数。
arctan x表示一x的角，该角的范围在（-π/2，π/2）区间内。
【图中绿线】注释：【图的画法根据反函数的性质即：反函数图像关于y=x对称】反三角函数主要是三个：y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]图象用红色线条；y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，图象用蓝色线条；y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2），图象用绿色线条；y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π），图象无；sin(arcsin x)=x，定义域[-1，1]，值域[-1，1] arcsin(-x)=-arcsinx 证明方法如下：设arcsin(x)=y，则sin(y)=x，将这两个式子代入上式即可得其他几个用类似方法可得cos(arccos x)=x，arccos(-x)=π-arccos x tan(arctan x)=x，arctan(-x)=-arctanx反三角函数其他公式：arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotxsin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……（|x|<1) !！表示双阶乘arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7）……）（|x|<1) arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……举例当x∈[-π/2，π/2] 有arcsin(sinx)=x x∈[0，π]，arccos(cosx)=x x∈（-π/2，π/2），arctan(tanx)=x x∈（0，π），arccot(cotx)=x x>0，arctanx=π/2-arctan1/x，arccotx类似若(arctanx+arctany）∈（-π/2，π/2），则arctanx+arctany=arctan((x+y)/(1-xy)) 例如，arcsinχ表示角α，满足α∈[-π/2，π/2]且sinα=χ;arccos(-4/5)表示角β，满足β∈[0，π]且cosβ=-4/5;arctan2表示角φ，满足φ∈（-π/2，π/2)且tanφ=2基本知识：1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsinx, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccosx, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsinx 可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccosx可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数；4．y＝arcsinx等价于siny＝x, y∈[－，], y＝arccosx等价于cosy＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．注意恒等式sin(arcsinx)＝x, x∈[－1, 1] , cos(arccosx)＝x, x∈[－1, 1], arcsin(sinx)＝x, x∈[－，], arccos(cosx)＝x, x∈[0, π]的运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、增减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsinx＋arccosx＝, arctgx＋arcctgx＝的应用。
三角函数的图像和性质PPT课件
2021/6/7
1
一、三角函数图像的作法 二、三角函数图像的性质 三、f(x)= Asin(x+) 的性质
几何法 五点法 图像变换法
2021/6/7
2
一、三角函数图象的作法
1.几何法 y=sinx 作图步骤:
y
(1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线;
(2)平移三角函数线; (3)用光滑的曲线连结各点.
得 到 y = s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
步骤4
各点纵的坐纵标坐标变为伸原长来或的缩A倍短(横坐标不变)；
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 某 周 期 内 的 简 图
沿x轴
扩展
步骤5
得 到 y = A s i n ( ω x + ) 在 R 上 的 图 象
3
x
11
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二、三角函数图象的性质
函数 y sin x
ycosx
y tanx
图象
y 1
0
1
2 x
y
1
0
1
2
x
y
2
3 2
2
0
3 2
x
单调性
[2k， 32k](kz)
2
2
递减
[ 2 k， 2 2 k](k 递z)增
[2k， 2k](kz) 递增 [2 k,2 k](k z)
22
递减
纵向伸长3倍
y=3sinx
左移 π 3π
y=3横si向n(缩x+短31) y=3sin(2x+ 2π) 方法2： y=sinx 3
三角函数公式、图像大全
初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA •CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin +和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a •sina+b •cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=ab ] a •sin(a)-b •cos(a) = )b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cos α cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用A •sin(ωt+θ)+B •sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA) 倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积， L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h--------------------------------------------------------------------------------------------三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。
三角函数图象和性质(总结的很全面不看后悔)
三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时 学习目标：1. 掌握常用公式的变换。
2. 明确一般三角函数化简求值的思路。
第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
三角函数的图像与性质
第三节 三角函数的图像与性质[最新考纲] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图像，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图像的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图像定义域 R R ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域[－1,1][－1,1]R1．正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．2．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．3．对于函数y ＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图像关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称． ( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1. ( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( )二、教材改编1．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z2．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________． 3．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．4．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________． ⊙考点1 三角函数的定义域和值域1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．求三角函数最值或值域的常用方法(1)直接法：直接利用sin x 和cos x 的值域求解．(2)化一法：把所给三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x ，cos x ，sin x cos x 或sin x ±cos x 换成t ，转化为二次函数求解．1.函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠π6 B ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π12 C ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6k ∈Z2．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．3．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，a ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则实数a 的取值范围是________．4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________． 求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(3)形如y ＝a sin 3x ＋b sin 2x ＋c sin x ＋d ，类似于(2)进行换元，然后用导数法求最值． ⊙考点2 三角函数的单调性(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数的单调性问题，一般是将ωx ＋φ看成一个整体，再结合图像利用y ＝sin x 的单调性求解．(2)如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性．求三角函数的单调性(1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)(2019·大连模拟)函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的单调递增区间是________．根据函数的单调性求参数(1)(2019·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．(0,2]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，则a 的最大值是( )A.π4B.π2C.3π4D ．π已知单调区间求参数范围的三种方法 子集法求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解反子集法由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解周期性法由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解1.若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，2上单调递减，则ω＝________.2．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．⊙考点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性求解三角函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期性、奇偶性、对称性问题，其实质都是根据y ＝sin x 的对应性质，利用整体代换的思想求解．三角函数的周期性(1)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．公式莫忘绝对值，对称抓住“心”与“轴” (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|；③函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求周期①两对称轴距离的最小值等于T2；②两对称中心距离的最小值等于T2；③对称中心到对称轴距离的最小值等于T4.(3)特征点法求周期①两个最大值点之差的最小值等于T ； ②两个最小值点之差的最小值等于T ； ③最大值点与最小值点之差的最小值等于T2.特征点法求周期实质上就是由图像的对称性求周期，因为最值点与函数图像的对称轴相对应．(说明：此处的T 均为最小正周期)三角函数的奇偶性已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)． (1)若f (x )为偶函数，则φ＝________； (2)若f (x )为奇函数，则φ＝________.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则①f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；②f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．三角函数的对称性(1)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称D ．关于直线x ＝5π3对称(2)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图像关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．三角函数图像的对称轴和对称中心的求解方法若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称轴，则只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x ；若求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)图像的对称中心的横坐标，则只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .1.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减 2．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且任意x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图像的一个对称中心坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎪⎫5π3，0[过关题组练]1．函数y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A ．[－π2，π2]B ．[0，π]C ．[π，3π2]D ．[3π2，2π]2．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2B.⎝⎛⎦⎥⎤π2，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π，3π2 D ．⎝⎛⎦⎥⎤3π2，2π3．函数f (x )＝12cos 2x ＋3sin x cos x ．则下列表述正确的是( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－π6上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上单调递增C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0上单调递减D ．f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，π6上单调递增4．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－125. 已知函数f (x )＝(x －a )k，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( )A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cosB ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B )C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B )D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )6. (2020·无锡期末)在函数①y ＝cos|2x |；②y ＝|cos 2x |；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6；④y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．7. 已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．8. 已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．49. 已知函数f (x )＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心．10. 已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．11.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32.(1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．。
三角函数图像及其变换
三角函数图像及其变换一、知识要点：1．正弦、余弦、正切函数图象和性质函数正弦函数R x x y ∈=,sin余弦函数R x x y ∈=,cos正切函数tan ,2y x x k ππ=≠+图象定义域),(+∞-∞ ),(+∞-∞|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域]1,1[-当)(22Z k k x ∈+=ππ时，1max =y )(22Z k k x ∈+-=ππ时，1min -=y ]1,1[-当)(2Z k k x ∈=π时，1max =y 当)(2Z k k x ∈+=ππ时，1min -=y),(+∞-∞周期性 是周期函数，最小正周期π2=T 是周期函数，最小正周期π2=T T π=奇偶性奇函数，图象关于原点对称偶函数，图象关于y 轴对称奇函数，图象关于原点对称单调性在)(],22,22[Z k k k ∈++-ππππ上是单调增函数 在)(],223,22[Z k k k ∈++ππππ上是单调减函数在)(],22,2[Z k k k ∈++ππππ上是单调增函数在)(],2,2[Z k k k ∈+πππ上是单调减函数在(,),()22k k k Z ππππ-++∈上是单调增函数对称轴 )(,2Z k k x ∈+=ππ)(,Z k k x ∈=π对称 中心)( )0,(Z k k ∈π )( )0,2(Z k k ∈+ππ (,0) ()2k k Z π∈ 2．利用“五点法”作函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的简图，是将ϕω+x 看着一个整体，先令ππππϕω2,23,,2,0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。
3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(ϕω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将ϕω+x 看着整体并与基本正弦函数加以对照而得出。
三角函数知识点归纳
三角函数知识点归纳三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1.任意角1) 角的概念推广根据旋转方向的不同，角可分为正角、负角、零角。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：不作任何旋转形成的角。
根据终边位置的不同，角可分为象限角和轴线角。
以角α的顶点为原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角。
第一象限角的集合为αk·360 < α < k·360 + 90，k∈Z。
第二象限角的集合为αk·360 +90 < α < k·360 + 180，k∈Z。
第三象限角的集合为αk·360 + 180 < α < αk·360 + 270，k∈Z。
第四象限角的集合为αk·360 + 270 < α < αk·360 + 360，k∈Z。
终边在x轴上的角的集合为α= k·180，k∈Z。
终边在y轴上的角的集合为α= k·180 + 90，k∈Z。
终边在坐标轴上的角的集合为α= k·90，k∈Z。
2) 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)。
终边与角α相同的角的集合为β= k·360 + α，k∈Z。
3) 弧度制1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度。
半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，则角α的弧度数的绝对值是α=l/r。
若扇形的圆心角为α（弧度制），半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l=rα，C=2r+l，S=lr=αr²/2.2.任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r=√(x²+y²)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。
三角函数的图象与性质-备战高考数学(理)一轮复习考点
（1）形如y=asinx＋bcosx＋k的三角函数化为y=Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；
（2）形如y=asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
（3）形如y=asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
D．函数 的一个单调递减区间为
7．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于点 对称C．函数 在区间 上单调递减D．若 ，则 的值为
8．已知函数 的部分图象如图所示，下列结论正确的有（）
A．函数 的最小正周期为
B．直线 为函数 的一条对称轴
【解析】由题图可知A＝2，T＝4π，故 ＝4π，解得ω＝ .所以f(x)＝2sin .
把点 代入可得2sin ＝2，即sin ＝1，所以φ－ ＝2kπ＋ (k∈Z)，
解得φ＝2kπ＋ (k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝ .所以f(x)＝2sin .
5.已知函数 ( )的部分图象如图所示，若 ，则 的最小值为。
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲线C2
解得 .
8.函数 的最小正周期为。
【答案】
【解析】因为 ，所以最小正周期为 .
三角函数的单调区间
三角函数的图像及性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈；cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。
类型一：三角函数的定义域、单调性及值域 例题1.求下列函数的定义域：(5)y =例题2.求下列函数的单调增区间（1）sin(21)y x =+；（2）sin(2)y x =-；（3）12log sin y x =；（4）12log tan y x =例题3.（2010重庆文）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+（D ）cos()2y x π=+ 例题4.(12全国理) 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
三角函数全解析：定理公式作图过程！你不懂的都在这
三⾓函数全解析：定理公式作图过程！你不懂的都在这三⾓函数知识点1.正弦函数图像（⼏何法）2.正切函数图像3.三⾓函数的图像与性质4.主要研究⽅法5.主要内容三⾓函数解题技巧三⾓函数是⾼考数学核⼼考点之⼀。
它侧重于考查学⽣的观察能⼒、思维能⼒和综合分析能⼒，在⾼考试题中始终保持'⼀⼤⼀⼩'甚⾄是'⼀⼤两⼩'的模式。
01见“给⾓求值”问题，运⽤“新兴”诱导公式⼀步到位转换到区间(-90o，90o)的公式1、sin(kπ+α)=(-1)ksinα(k∈Z)；2、cos(kπ+α)=(-1)kcosα(k∈Z)；3、tan(kπ+α)=(-1)ktanα(k∈Z)；4、cot(kπ+α)=(-1)kcotα(k∈Z).02见“sinα±cosα”问题，运⽤三⾓“⼋卦图”1、sinα+cosα>0(或<0)óα的终边在直线y+x=0的上⽅(或下⽅)；2、sinα-cosα>0(或<0)óα的终边在直线y-x=0的上⽅(或下⽅)；3、|sinα|>|cosα|óα的终边在Ⅱ、Ⅲ的区域内；4、|sinα|<|cosα|óα的终边在Ⅰ、Ⅳ区域内.03见“知1求5”问题，造Rt△，⽤勾股定理，熟记常⽤勾股数(3，4，5)，(5，12，13)，(7，24，25)，仍然注意“符号看象限”。
04见“切割”问题，转换成“弦”的问题。
05“见齐思弦”=>“化弦为⼀”：已知tanα，求sinα与cosα的齐次式，有些整式情形还可以视其分母为1，转化为sin2α+cos2α.06见“正弦值或⾓的平⽅差”形式，启⽤“平⽅差”公式1、sin(α+β)sin(α-β)= sin2α-sin2β；2、 cos(α+β)cos(α-β)= cos2α-sin2β.07见“sinα±cosα与sinαcosα”问题，启⽤平⽅法则(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα=1±sin2α，故1、若sinα+cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=t2-1=sin2α；2、若sinα-cosα=t，(且t2≤2)，则2sinαcosα=1-t2=sin2α.08见“tanα+tanβ与tanαtanβ”问题，启⽤变形公式tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).思考：tanα-tanβ=09见三⾓函数“对称”问题，启⽤图象特征代数关系：(A≠0)1、函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于过最值点且平⾏于y轴的直线分别成轴对称；2、函数y=Asin(wx+φ)和函数y=Acos(wx+φ)的图象，关于其中间零点分别成中⼼对称；3、同样，利⽤图象也可以得到函数y=Atan(wx+φ)和函数y=Acot(wx+φ)的对称性质。
三角函数的图象与性质总结
三角函数的图象与性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。
4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。
先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。
5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。
第2讲 三角函数的图象及性质
结合正弦函数、余弦函数的图象,同时注意考虑所有可能情况,避免漏解.
(3)若函数g(x)=f(x)+1在区间(a,b)上恰有10个零点,求b-a的最大值.
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解析
(1)由图象可得A=2,
T 4
=
3
-
12
=
2
4ω
,则ω=2,所以f(x)=2sin
2x
3
.
(2)令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z,得-5 +kπ≤x≤ +k高π考,k导∈航Z,
即g(x)在
4
,
3
4
上的值域为
3 2
,
3
.
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题型二 由三角函数的局部图象求解析式并研究其性质
例2
(2018江苏扬州中学阶段测试)已知函数f(x)=Asin
ω高x考导3航(A>0,ω>0)的
部分图象如图所示.
(1)求A和ω的值;
(2)求函数y=f(x)在[0,π]的单调增区间;
=cos 2x-
3
sin
2x+2=2cos
2x
3
+2,当2x+
3
=2kπ+π(k∈Z),即x=kπ+
3
(k∈Z)
时,f(x)取得最小值0.
此时,自变量x的取值集合为
x
|
x
k
π 3
,
k
Z.
(2)因为f(x)=2cos
2x
3
+2,
令π+2kπ≤2x+ ≤2π+2kπ(k∈Z),
三角函数图像性质
三角函数的图象与性质一、知识梳理1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质3．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念4．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.5．函数y二、例题精讲考点一 求三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为____________．(2)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0 C ．－1 D ．－1－ 3变式训练1 (1) 已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( ) A ．2 B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3 (2) 函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________． (3) 函数y ＝lg(sin 2x )＋9－x 2的定义域为________． (4) 函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C.22D ．0(5) (2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝⎛⎭⎫π2－x 的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7考点二 三角函数的单调性、周期性 例2 (1) 写出下列函数的单调区间及周期： ①y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3； ②y ＝|tan x |.(2) 已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]变式训练2 (1)函数：①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③ (2)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．(3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为( )A ．－1B ．3C ．－1或3D ．－3(4)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝ . (5)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M (m,0)，N (n,2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列哪个区间中是单调的( )A ．(0，π4)B ．(π4，2π3)C ．(π2，3π4)D ．(2π3，π)(6)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．考点三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________．(2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2变式训练3(1)若函数f (x )＝2sin(ax ＋π4)(a >0)最小正周期为1，则它的一个对称中心为( )A ．(－π8，0)B ．(0,0)C ．(－18，0)D ．(18，0)(2)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x ＝π6对称，则φ的最小值是________．(3)若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8(4)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－2π3，0 B.⎝⎛⎭⎫－π3，0 C.⎝⎛⎭⎫2π3，0D.⎝⎛⎭⎫5π3，0(5)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．考点四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R.(1)画出函数f (x )在一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？变式训练4 (1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 (2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象可由函数y ＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到．(3)为得到函数y ＝cos(2x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移5π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度(4)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9考点五 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例5 (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图3-4-2所示，则( )图3-4-2A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 (2)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋2 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3＋2 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋2变式训练5 (1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3(2)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则( )A ．ω＝12，φ＝π6B ．ω＝12，φ＝π3C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝π3(3)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．(4)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象如图3-4-3所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )图3-4-3A ．－62 B ．－32 C ．－22D ．－1 考点六 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的应用例6 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2，x ∈R )的图象的一部分如下图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[－6，－23]时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．变式训练6 (1)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则( )A ．ω＝2，θ＝π2B ．ω＝12，θ＝π2C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin(2πt ＋π6)，那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( )A ．2π sB ．π sC ．0.5 sD ．1 s(3)(2015·陕西高考)如图3-4-4，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为 ( )图3-4-4A ．5B ．6C ．8D ．10三、课后练习A 组 专项基础训练1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6(k ∈Z) D ．R 2．函数f (x )＝lg|sin x |是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数 D ．最小正周期为2π的偶函数3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 4．(2017·成都二诊)将函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 B ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 C ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3D ．g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π65．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π36．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．[－π8，3π8]B ．[π8，9π8]C ．[－3π8，π8]D ．[π8，5π8]7．若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω＞0)的图象相邻两个对称中心之间的距离为π2，则f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫－π6，π3B.⎝⎛⎭⎫－π3，π6 C.⎝⎛⎭⎫π6，2π3 D.⎝⎛⎭⎫π3，5π6 8．(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )A ．x ＝k π2－π6(k ∈Z)B ．x ＝k π2＋π6(k ∈Z)C ．x ＝k π2－π12(k ∈Z)D ．x ＝k π2＋π12(k ∈Z)9．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．10．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．11.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.12．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．13．如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．14．设函数f (x )＝3sin(πx 4－π3).(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．B 组 专项能力提升1．(2016·北京高考)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3图象上的点P ⎝⎛⎭⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图象上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π32．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( )A.12B.22C.32D.6＋243．已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则n m等于( ) A.332 B.3 C ．－233 D.334．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是_______________. 5．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos(2x ＋π3)的一个对称中心为(－5π12，0)； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为[－1，22]； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________．6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图3-4-6所示．图3-4-6(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值．7．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．。
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析
高中数学三角函数知识点归纳及常考题型分析三角函数知识点归纳及常考题型分析角的概念及表示角是指由两条射线（或直线段）共同围成的图形，其中一个射线为始边，另一个射线为终边。
正角、负角和零角是角的三种分类。
终边相同的角可以表示为{β|β=k·360+α，k∈Z}。
象限角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合的角，其终边落在第几象限就称这个角是第几象限的角。
轴线角是指顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边落在坐标轴上的角。
区间角是指角的量数在某个确定的区间内，由若干个区间构成的集合称为区间角的集合。
角度制与弧度制角度制和弧度制是两种常见的角度量方式。
它们之间的互换关系是1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ，1°≈0.（rad）。
弧长公式与扇形面积公式弧长公式是指l=|α|·r，其中α是角的量数，r是半径。
扇形面积公式是指s扇形=lr=|α|·r^2/2.三角函数的定义与符号设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）。
P与原点的距离为r，则sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x，cotα=x/y，secα=r/x，cscα=r/y。
在各象限中，正弦函数和正切函数在第一象限和第二象限中为正，余弦函数在第一象限和第四象限中为正。
三角函数的图像及基本关系式正弦线是MP，余弦线是OM，正切线是AT。
同角三角函数的基本关系式是sin^2θ+cos^2θ=1，tanθ=sinθ/cosθ。
正弦、余弦的诱导公式正弦、余弦的诱导公式是奇变偶不变，符号看象限。
其中sin(±α)和cos(±α)的值与sinα和cosα的值有关，而sin(α+π)=-sinα，cos(α+π)=-cosα。
和角与差角公式和角与差角公式是sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ，cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ，tan(α±β)=(tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)，sin(α+β)sin(α-β)=sin^2α-sin^2β，cos(α+β)cos(α-β)=cos^2α-sin^2β，asinα+bcosα=a^2+b^2sin(α+φ)，其中辅助角φ所在象限由点(a,b)的象限决定，tanφ=b/a。
三角函数性质变换及正弦余 弦定理知识总结
8、在
中，角 的对边分别为 ， ．
（Ⅰ）求 的值； 的面积．
（Ⅱ）求
9、已知函数f(x)= （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期； （Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
10、已知向量 ， ，函数 . （Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）若 ，求 的最大值和最小值．
【问题5】在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为、b、c，且.
（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，求bc的最大值.
巩固提高
1．△ABC中若面积sinA·cosB－sinB=sinC－sinA·cosC 且周长为12，
则其面积最大值为
;
2. △ABC中a=6,b=6 A=30°则边C=
3 △ABC中若sin(A+B) ，则△ABC是（ ）
解）
一、判定三角形的形状
【问题1】根据下列条件判断三角形ABC的形状：
（1）b2sin2C + c2sin2B=2bccosBcosC
二、三角形中的求角或求边长问题
【问题3】在△ABC中，已知sinB=, cosA=, 试求cosC的值。
三角函数总结大全附记忆口诀
三角函数总结大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。
它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。
通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。
其定义域为整个实数域。
另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。
现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。
而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。
下面为大家整理的三角函数公式大全：（一）任意角的三角函数及诱导公式1．任意角概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。
如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。
2．象限角、终边相同的角、区间角角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合。
那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。
终边相同的角是指与某个角α具有同终边的所有角，它们彼此相差2kπ(k∈Z)，即β∈{β|β=2kπ+α，k∈Z}，根据三角函数的定义，终边相同的角的各种三角函数值都相等。
区间角是介于两个角之间的所有角，如α∈{α|6π≤α≤65π}=[6π，65π]。
3．弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad ，或1弧度，或1(单位可以省略不写)。
三角函数的图像与性质说课课件
二.学 情 分 析
（1）高一学生有一定的抽象思维能力，而形象思
维在学习中占有不可替代的地位，所以本节要紧 紧抓住数形结合方法进行探索.
（2）本班学生对数学科特别是函数内容的学
可知：正弦函数图像每经过 2k (k Z) 单位长度就重复出现，所以
...... 6 ,4 ,2 ,2 ,4 ,6..... 都是函数的周期.
2k(kZ)
最小正周期：如果周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小整数， 那么这个最小整数就叫做f(x)的最小正周期 根据上述定义，我们有：
正弦函数是周期函数，2k (k Z且k 0) 都是它的周期，最小正周期为2
1
6
4
2
0
2
4
x
-1
1、定义域 3、最小正周期 4、单调性 : 增区间 5、最值 当x=
余弦曲线
2、值域
减区间
时，ymin
当x= 6、奇偶性
时，ymax
[设计意图]：通过把学习任务转移给学生，激发学生的主体意识和成就 动机,通过自主探索，给予学生解决问题的自主权，促进生生交流 ，最 终使学生成为独立的学习者 ，随着问题的解决，学生的积极性将被调动
单调区间为
2k
2
,2k
2
(k
Z
)
【设计意图】：通过列举正弦函数的几个
单调区间，最后归纳出函数所有的单调区 间，体现从特殊到一般的知识认识程 ，
培养学生观察、归纳的学习能力，有助于 以后理解记忆正弦型函数的相关性质.
思考：正弦函数的减区间是？ 当x取何值时，y取最值？
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高考专题训练十 三角函数的图象与性质
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．
1．(2011·黑龙江省哈六中一模)设ω>0，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移π
3个
单位后，得到下面的图象，则ω，φ的值为( )
A ．ω＝1，φ＝2π
3
B ．ω＝2，φ＝2π
3
C ．ω＝1，φ＝－π
3
D ．ω＝2，φ＝－π
3
2．(2011·济南市2月高三模拟)为了得到函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，只需把函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )
A ．向左平移π
4个长度单位
B ．向右平移π
4个长度单位
C ．向左平移π
2个长度单位
D ．向右平移π
2
个长度单位
3．(2011·南昌一模)若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m ，对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎫π8＋t ＝f ⎝⎛⎭⎫π8－t ，且f ⎝⎛⎭⎫π8＝－3，则实数m 的值等于( )
A ．－1
B ．±5
C ．－5或－1
D ．5或1
4．(2011·陕西省高考摸底试题)将函数y ＝sin x 的图象上的所有的点向右平行移动
π
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )
A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
5 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫12x －π20
5．(2011·济宁市高三2月模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则f (1)的值为( )
A ．－
3
2
B ．－
62
C. 3 D ．－ 3
6．(2011·江西师大附中、临川一中联考)已知简谐振动f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π
2的振幅为3
2，其图象上相邻的最高点和最低点间的距离是5，且过点⎝⎛⎭⎫0，34，则该简谐振动的频率和初相是( )
A.18，π
6 B.16，π6 C.18，π3
D.π6，π3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上． 7．(2011·重庆市调研第二次抽测试卷)有一学生对函数f (x )＝2x cos x 进行了研究，得到如下四条结论：
①函数f (x )在(－π，0)上单调递增，在(0，π)上单调递减； ②存在常数M >0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立； ③函数y ＝f (x )图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π2，0； ④函数y ＝f (x )图象关于直线x ＝π对称．
其中正确结论的序号是________．(写出所有你认为正确的结论的序号)
8．(2010·河北省石家庄市高三调研考试)已知定义域为R 的函数f (x )对任意实数x ，y 满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )cos y ，且f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝1.给出下列结论：
①f ⎝⎛⎭⎫π4＝1
2；②f (x )为奇函数；③f (x )为周期函数；
④f (x )在(0，π)内单调递减．其中正确结论的序号是________．
9．(2011·江苏)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图
所示，则f (0)＝________.
10．(2011·辽宁)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π
2，y ＝f (x )的部分图象如下图，则f ⎝⎛⎭⎫
π24＝________.
三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)(2011·潍坊2月模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫x ∈R ，A >0，ω>0，0<φ<π
2的部分图象如图所示．
(1)求f (x )的解析式；
(2)设g (x )＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x －π122，求函数g (x )在x ∈⎣⎡⎦
⎤－π6，π3上的最大值，并确定此时x 的值． 12．(13分)(2011·合肥市高三第二次质检)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，再向左平移π
12
个单位后，得到的图象与函数g (x )＝sin2x 的图象重合．
(1)写出函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴方程； (2)若A 为三角形的内角，且f (A )＝1
3，求g ⎝⎛⎭⎫A 2的值．。