广东省深圳市普通高中学校2018届高考高三数学12月月考试题 09 (word版含答案)

2018高考高三数学12月月考试题09（满分150分，时间120分钟）一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知集合{}0,A a =,{}21,B a =，若{}0,1,4,16A B = ，则a = ．2．若行列式124012x -=，则x = ．3．若函数()23x f x =+的图像与()g x 的图像关于直线y x =对称，则(5)g ＝ ． 4．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 ．5．已知数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，则3a = ．6．己知(1,2sin )a θ=，cos 1b θ=- （，），且b a ⊥，则tan θ= ．． 7．抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆的中心，则抛物线方程为 8．已知lg lg 1x y +=，则25x y+的最小值为 ．9．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且8bc =， 则△ABC 的面积等于 ．10．若二项式7()+x a 展开式中5x 项的系数是7，则)(lim 242nn aa a +++∞→ = ．11．给出四个函数：①xx x f 1)(+=，②x x x g -+=33)(，③3)(x x u =，④x x v sin )(=，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，都有()()0f x f x -+=及()()f x m f x +>的函数为 ．（写出所有满足条件的函数的序号）12．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜想甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且{}9,3,2,1,0, ∈b a ，若1≤-b a ，则称甲乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为 ．13．已知)(x f y =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图像关于点(6,0)对称．若实数y x ,满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22y x +的取值范围是 ．14．定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点Q ． 若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质： ①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ；④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是 ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是 A ．210x y +-= B ．210x y -+=C ．220x y +-=D ．210x y --= 16．对于原命题：“已知a b c R ∈、、，若a b > ，则22ac bc >”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个17．右图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意x R ∈，都有(2)(2),f x f x -=+且当[2,0]x ∈-时，1()()12xf x =-．若在区间(2,6]-内关于x 的方程()log (2)0(1)a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则实数a 的取值范围是A ．(1,2)B ．(2,)+∞C ．D ．三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）已知(2cos ,1)a x = ，(cos )b x x = ，其中x R ∈.设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最小正周期、最大值和最小值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知z C ∈，且满足2()52z z z i i ++=+． （1）求z ；（2）若m R ∈，w zi m =+，求证：w 1≥．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数．当x 不超过4（尾/立方米）时，v 的值为2（千克/年）；当420x ≤≤时，v 是x 的一次函数；当x 达到20（尾/立方米）时，因缺氧等原因，v 的值为0（千克/年）。

（1）当020x <≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设数列}{n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n nc c c a ++++= 成立，求122012c c c +++ 的值． （3）若1n n na b a +=*()n N ∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分对于双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b -=>>，定义1:C 22221x y a b+=为其伴随曲线，记双曲线C 的左、右顶点为A 、B .（1）当a b >时，记双曲线C 的半焦距为c ，其伴随椭圆1C 的半焦距为1c ，若12c c =，求双曲线C 的渐近线方程；（2）若双曲线C 的方程为22142x y -=，弦PQ ⊥x 轴，记直线PA 与直线QB 的交点为M ，求动点M 的轨迹方程；（3）过双曲线22:1C x y -=的左焦点F ，且斜率为k 的直线l 与双曲线C 交于1N 、2N 两点，求证：对任意的1144[2,2]k --∈-，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅= .参考答案1． 4 2． 2 3． 1 4． 20 5． 5 6． 217．24yx = 8． 29． 10． 21 11．③ 12．25713． [16,36] 14． ③④ 15．D 16． C 17．C 18．D19．解：由题意知2()2cos 2f x a b x x =⋅=……………………… 3分cos 2122x x +=⋅+cos221x x =+2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ………………………………… 6分∴最小正周期 22T ππ== ……………………8分 当2262x k πππ+=+，即(),Z 6x k k ππ=+∈时，max ()213f x =+=………………10分当32262x k πππ+=+，即()2,Z 3x k k ππ=+∈时，()min 211f x =-+=-…………12分 20．解：（1）设(,)z a bi a b R =+∈，则222z a b =+，()2z z i ai += …………2分由22252a b ai i ++=+得22522a b a ⎧+=⎨=⎩ ……………………………4分 解得12a b =⎧⎨=⎩ 或 12a b =⎧⎨=-⎩……………………………… 5分∴12z i =+或12z i =-……………………………… 7分 （2）当12z i =+时，(12)2w zi m i i m i m =+=++=-++=1≥…………………… 10分当12z i =-时，(12)2w zi m i i m i m =+=-+=++=1≥………………………13分∴w 1≥ ……………………………14分 21．解：（1）由题意：当04x <≤时，()2v x =； …………………………2分 当420x <≤时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[4,20]是减函数，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………4分故函数()x v =**2,04,15,420,82x x N x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ …………………………6分 （2）依题意并由（1）可得()=x f *2*2,04,15,420,.82x x x N x x x x N ⎧<≤∈⎪⎨-+≤≤∈⎪⎩ ………8分 当04x ≤≤时，()x f 为增函数，故()max (4)f x f ==428⨯=； …………10分当420x ≤≤时，()22221511100(20)(10)82888f x x x x x x =-+=--=--+，()max (10)12.5f x f ==． …………………………12分所以，当020x <≤时，()x f 的最大值为12.5．当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．…………………………14分 22．解：（1）∵{}n a 是递增的等差数列，设公差为d (0)d >……………………1分1a 、2a 、4a 成等比数列，∴2214=a a a ⋅ ……………………2分由 2(1)1(13)d d +=⨯+ 及0d >得 1d = ……………………………3分 ∴(*)n a n n N =∈ ……………………………4分（2）∵11n a n +=+，1221222n n c c c n +++=+ 对*n N ∈都成立 当1n =时，122c =得14c = ……………………………5分 当2n ≥时，由1221222n n c c c n +++=+ ①，及11221222n n c c c n --+++= ② ①－②得12n n c=，得2n n c = …………7分 ∴4(1)2(2)n nn c n =⎧=⎨≥⎩ ……………8分 ∴2201123201220131220122(12)42224212c c c -+++=++++=+=- …………10分（3）对于给定的*n N ∈，若存在*,,,k t n k t N ≠∈，使得n k t b b b =⋅ ………11分∵1n n b n +=，只需111n k t n k t +++=⋅， …………………12分即1111(1)(1)n k t +=+⋅+，即1111n k t kt=++即kt nt nk n =++，(1)n k t k n+=- 取1k n =+，则(2)t n n =+ …………………14分∴对数列{}n b 中的任意一项1n n b n +=，都存在121n n b n ++=+和2222212n n n n b n n+++=+使得212n n n n b b b ++=⋅ ………………………16分23．解：（1）∵c =1c =………………………1分由12c c ==，即22224()a b a b +=-可得 2235b a = ………………………3分∴C的渐近线方程为y x = ………………………4分（2）设00(,)P x y ，00(,)Q x y -，又(2,0)A -、(2,0)B ，∴直线PA 的方程为00(2)2y y x x =++…………①直线QB 的方程为00(2)2y y x x -=--…………② ……………………6分由①②得0042x xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………………………8分∵ 00(,)P x y 在双曲线22142x y -=上 ∴222244142yx x -= ∴22142x y += ………………………………10分（3）证明：点F的坐标为(F ，直线l的方程为(y k x =， 设1N 、2N 的坐标分别为111(,)N x y 、222(,)N x y ……………………………11分则由22(1y k x x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得222(1x k x -=，即2222(1)(21)0k x x k ---+=， 当1k ≠±时，∵422442284(1)(21)8844440k k k k k k k ∆=+-+=-++=+>∴21221x x k+=-，2122211k x x k+⋅=-- ………………………13分1211221212()()(FN FN x y x y x x y y ⋅=⋅=+212121212((((1)[)2]x x k x k x k x x x x =+=+++2222222211(1)(2)111k k k k k k ++=+-+=---由1144[2,2]k --∈- 知 2[0,2k ∈，∴221[1,31k k+∈+- …………………………………16分 ∵双曲线22:1C x y -=的伴随曲线是圆221:1C x y +=，圆1C 上任意一点S 到F 的距离1,1SF ∈+，∴2[3SF ∈-+ …………………………………17分∵ [1,32]222]+⊆ ∴对任意的1144[2,2]k --∈-，在伴随曲线1C 上总存在点S ，使得212FN FN FS ⋅= ………………………………18分。